Derivada e antiderivada de uma função exponencial. Antiderivada de uma função e forma geral

Hoje vamos falar sobre o estudo das funções. É importante notar que a matemática é organizada da mesma maneira que casa comum: primeiro a fundação é colocada e, em seguida, os tijolos são dispostos camada por camada. O papel da fundação em matemática é desempenhado por uma função (correspondência entre dois conjuntos). Depois de introduzir o conceito de função, eles começam a estudá-la como um objeto da mesma forma que foi feito com os números.

De fato, na vida também usamos frequentemente não apenas objetos, mas também correspondências entre eles, relações entre objetos. Um exemplo são os livros sobre o amor (o amor é uma relação entre as pessoas).

Após o estudo das funções em matemática, começa-se a estudar conjuntos de funções, depois espaços de funções e assim por diante. Mas hoje vamos falar sobre a análise primária da função.

O que é uma função? Uma função é uma correspondência entre conjuntos. Nesta aula, falaremos sobre funções numéricas, ou seja, sobre correspondências entre conjuntos numéricos. Também falaremos sobre a propriedade local da função (o comportamento da função neste ponto específico) e a propriedade global (a propriedade associada a todo o escopo da função). A derivada é uma descrição das propriedades locais das funções, e a integral é uma descrição das globais.

Por exemplo, existem duas funções diferentes, mas em um ponto seus gráficos coincidem (veja a Fig. 1). Mas qual é a diferença entre o comportamento das funções nas proximidades desse ponto? Isso será discutido.

Arroz. 1. Intersecção de gráficos de duas funções diferentes

A partir do gráfico de uma função, você pode determinar facilmente suas propriedades: monotonicidade (função crescente ou decrescente), paridade (ímpar) e periodicidade (veja a Fig. 2).

Arroz. 2. Especificações de recursos

Todas essas características são matemáticas. Mas a derivada é frequentemente usada na vida. Na maioria das vezes, quando descrevemos um processo usando um gráfico, estamos interessados ​​na dinâmica desse processo, ou seja, não no valor da função em um determinado ponto, mas em como a função se comportará no futuro (se aumentará ou diminuir?). Por exemplo, quando queremos analisar aumentos de preços ou comparar preços de diferentes períodos Tempo ( valores absolutos poderia mudar, mas a dinâmica permaneceu a mesma) (ver Fig. 3).

Arroz. 3. Dinâmica dos preços do ouro

A derivada ajuda a descobrir como a função se comportará na vizinhança de um determinado ponto.

Vale esclarecer que na escola, na maioria das vezes, a derivada de uma função é buscada em todo o domínio da definição. Isso se deve ao fato de que as características sob investigação são “boas”, ou seja, seu comportamento é previsível em todo o eixo. Mas, em geral, a derivada é uma característica local de uma função.

Por exemplo, ao visualizar fotos com diferentes velocidades do obturador, pode haver várias opções:

1. os carros estão parados e as pessoas estão cada uma no seu lugar (ver Fig. 4);
2. uma imagem desfocada, você pode ver quem está indo para onde (veja a Fig. 5).

Arroz. 4. Foto com exposição a

Arroz. 5. Foto com exposição a

A segunda opção é uma ilustração visual da derivada (desfocando a imagem).

Nesse ponto, a função assume um valor específico e é praticamente impossível tirar conclusões sobre seu comportamento a partir dele. E se considerarmos a vizinhança desse ponto, já podemos dizer qual lado é menor (qual é maior) e concluir se aumenta ou diminui. Ou seja, quando a velocidade do obturador é curta, vemos o valor da função em um ponto, e quando consideramos o atraso do quadro, já podemos analisar o comportamento da função (ver Fig. 6).

Arroz. 6. Analogia entre derivação e fotografia

NO Vida cotidiana muitas vezes analisamos uma situação como a análise de funções em matemática. Por exemplo, quando dizemos que está ficando mais quente (mais frio) lá fora, não indicamos a temperatura específica em este momento, mas queremos dizer que em breve a temperatura vai subir (diminuir). Isso é semelhante ao cálculo da derivada (veja a Fig. 7).

Arroz. 7. Análise de mudança de temperatura

Vamos apresentar definição precisa derivado.

Função derivadano ponto o limite é chamado de razão do incremento da função neste ponto para o incremento do argumento (desde que este limite exista):

Como queremos introduzir um conceito como a taxa de variação de uma função (a palavra principal é Rapidez), então podemos traçar um paralelo com a física. A velocidade instantânea é uma grandeza física vetorial igual à razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo durante o qual esse deslocamento ocorreu, se o intervalo de tempo tende a zero:

Velocidade instantânea, m/s; - deslocamento do corpo, m (em ); - tendendo ao intervalo de tempo zero, s.

Mas é importante esclarecer que quando falamos em temperatura, indicamos apenas as características qualitativas do processo, mas não falamos sobre a taxa de variação de temperatura. A derivada leva em conta a taxa de variação da função. Os recursos podem crescer de maneiras diferentes. Por exemplo, a parábola () aumenta mais rápido que o logaritmo () (veja a Fig. 8).

Arroz. 8. A taxa de aumento de gráficos de funções e

É para comparar a taxa de aumento (diminuição) da função que introduzimos característica específica funções - derivada. Fazendo uma analogia entre a derivada e a velocidade de movimento de um objeto (velocidade é a razão da distância percorrida pelo tempo, ou a mudança de coordenadas por unidade de tempo), podemos dizer que no limite, a derivada é a razão de a mudança na função (ou seja, o caminho que o ponto percorreu, se ele se moveu ao longo do gráfico da função) para o incremento do argumento (o tempo durante o qual o movimento foi realizado) (ver Fig. 9). Este é o significado mecânico (físico) da derivada.

Arroz. 9. Analogia entre velocidade e derivada

A derivada é uma propriedade local de uma função. É importante distinguir entre o cálculo da derivada sobre todo o domínio de definição e em uma área específica, porque a função em um intervalo pode ser quadrática, no outro - linear e assim por diante. Mas tudo isso é uma função, e em diferentes pontos tal função terá Significados diferentes derivado.

Para a maioria das funções dadas analiticamente (por uma fórmula específica), temos uma tabela de derivadas (veja a Fig. 10). Este é um análogo da tabuada, ou seja, existem funções básicas para as quais as derivadas já foram calculadas (pode-se provar que elas têm exatamente essa forma), e depois existem algumas regras (veja a Fig. 11) ( análogos de multiplicação ou divisão em uma coluna), com o qual pode ser usado para calcular derivadas de funções complexas, produtos derivados e assim por diante. Assim, para quase todas as funções expressas em termos de funções conhecidas por nós, podemos descrever o comportamento da função em todo o domínio de definição.

Arroz. 10. Tabela de derivativos

Arroz. 11. Regras de diferenciação

Mas ainda assim, a definição da derivada, que demos anteriormente, é pontual. Para generalizar a derivada em um ponto para todo o domínio da função, é necessário provar que em cada ponto o valor da derivada coincidirá com os valores da mesma função.

Se imaginarmos uma função que não é escrita analiticamente, então na vizinhança de cada ponto podemos representá-la na forma Função linear. A derivada de uma função linear em uma vizinhança de algum ponto é fácil de calcular. Se representarmos uma função linearmente, então ela coincide com sua tangente (veja a Fig. 12).

Arroz. 12. Representação da função em cada ponto como uma função linear

A partir de triângulo retângulo sabemos que a tangente é igual à razão perna oposta à adjacente. Consequentemente, sentido geométrico derivada está no fato de que a derivada é a tangente da inclinação da tangente neste ponto (veja a Fig. 13).

Arroz. 13. O significado geométrico da derivada

Falando sobre a derivada como sobre a velocidade, podemos dizer que se a função é decrescente, então sua derivada é negativa, e vice-versa, se a função é crescente, então sua derivada é positiva. Por outro lado, definimos a derivada como a tangente da inclinação da tangente. Isso também é fácil de explicar. Se a função é crescente, então a tangente forma um ângulo agudo e a tangente ângulo agudo positivo. Portanto, a derivada é positiva. Como você pode ver, o significado físico e geométrico da derivada coincidiu.

Aceleração é a taxa de variação da velocidade (ou seja, a derivada da velocidade). Por outro lado, a velocidade é a derivada do deslocamento. Acontece que a aceleração é a segunda derivada (derivada da derivada) do deslocamento (veja a Fig. 14).

Arroz. 14. Aplicação da derivada em física

Uma derivada é um meio de estudar as propriedades de uma função.

A derivada é usada para resolver problemas de otimização. Há uma explicação para isso. Como a derivada mostra o crescimento da função, ela pode ser usada para encontrar os máximos e mínimos locais da função. Sabendo que a função aumentou em uma seção e depois começou a diminuir, assumimos que existe um máximo local em algum ponto. Da mesma forma, se a função estava diminuindo e depois começando a aumentar, há um mínimo local em algum ponto (veja a Fig. 15).

Arroz. 15. Mínimos e máximos locais de uma função

Na prática, isso pode ser usado para encontrar, por exemplo, o lucro máximo sob determinadas condições. Para fazer isso, você precisa encontrar um ponto em que haverá um máximo local. Se precisarmos definir custos mínimos, então, portanto, é necessário determinar o ponto em que o mínimo local está localizado (ver Fig. 16).

Arroz. 16. Encontrando o lucro máximo e o custo mínimo

A escola resolve muitos problemas de otimização. Vamos considerar um deles.

O que deve ser uma cerca retangular de comprimento fixo para que ela envolva a área máxima (veja a Fig. 17)?

Arroz. 17. Problema de otimização

Acontece que a cerca deve ser quadrada.

Existem muitas dessas tarefas, quando um parâmetro é fixo e o segundo precisa ser otimizado. O parâmetro que é fixo são nossos dados de tarefa (por exemplo, o material para a cerca). E há um parâmetro que queremos obter o mínimo ou máximo (por exemplo, a área máxima, tamanho mínimo). Ou seja, um par de "recurso - efeito" é formado. Há algum recurso que é definido inicialmente e algum efeito que queremos obter.

Agora vamos passar para as propriedades globais da função. Considere o caso mais simples de uma integral. Vamos pegar uma série de números: . Uma série também é uma função (de um argumento natural), cada número tem seu próprio número de série e valor. .

Vamos escrever a fórmula para encontrar a soma desta série:

A soma até algum valor específico será o valor da integral.

Por exemplo, para:

Ou seja, a integral é na verdade a soma (em este caso soma dos valores da função).

A maioria dos alunos associa a integral com a área. Vamos tentar conectar o exemplo com a soma da série e a área. Vamos reescrever esta série como uma função linear: .

Então a soma desta série será a soma das áreas das partes sob o gráfico (neste caso, trapézios) (ver Fig. 18).

Arroz. 18. Área sob o gráfico de uma função

A soma das áreas é igual à área da soma (se as partes em que a figura é dividida não se cruzam). Portanto, a integral é a área sob o gráfico da função. Assim, tendo encontrado a integral, podemos encontrar a área de alguma parte do plano. Por exemplo, você pode encontrar a área sob o gráfico.

Se quisermos introduzir estritamente a definição da integral em termos da área da figura sob a função, precisamos quebrar a própria figura em pedaços muito pequenos. Nem sempre é tão conveniente calcular a área como no caso de uma função linear. Vamos pegar uma função por exemplo. Se aproximarmos linearmente a função (como propusemos fazer no caso da derivada), então, assim como no exemplo anterior, obteremos uma partição de toda a área na soma das áreas dos trapézios (veja a Fig. 19).

Então, no limite, essa é a integral, ou seja, a área sob o gráfico da função.

Arroz. 19. Área sob o gráfico de uma função

Mas como calcular essa área (integral)? Para funções conhecidas, existe uma tabela de integrais (semelhante a uma tabela de derivadas). Mas no caso geral, aproximamos a função por segmentos e calculamos a soma das áreas dos trapézios sob esses segmentos. Reduzindo os segmentos, no limite obtemos o valor da integral.

Em contraste com a derivada, quando uma derivada "boa" é sempre obtida para uma função "boa", esse não é o caso de uma integral. Por exemplo, para uma função tão simples como não podemos calcular a integral e apresentá-la na forma de funções analíticas (ver Fig. 20).

Calcular a integral não é uma tarefa fácil e, portanto, a existência de uma fórmula tão simples de Newton-Leibniz (ver Fig. 20), que nos permite calcular rapidamente o valor da integral, se conhecermos sua forma, facilita muito os cálculos . Caso contrário, seria difícil calcular a área limite todas as vezes.

Arroz. 20. Fórmula de Newton-Leibniz para calcular integrais

Portanto, os principais métodos de cálculo são:

1. tabela de integrais para as funções que podemos calcular (ver Fig. 21);
2. propriedades da integral que permitem calcular diferentes combinações funções de tabela(ver fig. 22);
3. Fórmula de Newton-Leibniz (se calcularmos o valor no ponto extremo direito e subtrairmos o valor no extremo esquerdo, obtemos a área) (ver Fig. 20).

Arroz. 21. Tabela de integrais

Arroz. 22. Propriedades de uma integral definida

Na escola, a fórmula de Newton-Leibniz não é derivada, embora isso não seja difícil de fazer se você definir a integral como a área sob o gráfico.

Mais sobre a derivação da fórmula de Newton-Leibniz:

Para entender melhor a diferença entre propriedades locais e globais de uma função, considere o exemplo de tiro ao alvo. Se você der vários tiros ao redor (nenhum atingiu o centro) e calcular a média, você obtém praticamente (veja a Fig. 23). Embora, de fato, o atirador pudesse acertar o tempo todo acima ou abaixo do alvo, a média ainda seria próxima de .

Arroz. 23. Tiro ao alvo

Podemos dar um exemplo da física - o centro de gravidade. A mesma massa com o mesmo centro de gravidade pode ser distribuída de maneiras completamente diferentes (ver Fig. 24).

Arroz. 24. Variantes de distribuição de massa com o mesmo centro de gravidade

Como outro exemplo, pode-se temperatura média por hospital. Se alguém tem temperatura e alguém tem, então, em média, acontece e parece que os pacientes não estão tão doentes.

Se falamos sobre a conexão entre a derivada (característica local) e a integral (característica global), fica intuitivamente claro que esses são conceitos mutuamente inversos. Na verdade, é. Se tomarmos a derivada da integral ou a integral da derivada, obtemos a função original. Para explicar isso, considere o movimento de um corpo. Já sabemos que a velocidade é a derivada do deslocamento. Vamos tentar realizar a operação inversa. Para fazer isso, expressamos o movimento em termos de velocidade e tempo:

E se olharmos para o gráfico (a velocidade muda linearmente), veremos que o caminho é o produto da velocidade pelo tempo. Por outro lado, é a área sob o gráfico (ver Fig. 25).

Arroz. 25. Relação entre derivada e integral

Se você calcular a integral da velocidade, obterá o valor do caminho. E a velocidade é a derivada da distância.

Portanto, a derivada e a integral são funções mutuamente inversas. Há fortes evidências para isso.

Arroz. 26. Relação entre derivada e integral

Mas para analisar, para entender o que em questão, e trabalhar com as operações de diferenciação (calculando a derivada) e integração (calculando a integral), o que foi dito nesta lição e os materiais das lições principais serão suficientes.

Quando precisamos encontrar uma casa em st. Neva, e saímos na frente da casa, depois vamos para a esquerda ou direita dessa casa para entender como é a numeração.

Cronograma função exponencialé uma linha curva lisa sem dobras, à qual em cada ponto por onde passa, uma tangente pode ser traçada. É lógico supor que se for possível traçar uma tangente, então a função será diferenciável em cada ponto de seu domínio de definição.

Exibir em um eixos de coordenadas vários gráficos da função y \u003d x a, Para a \u003d 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.

No ponto com coordenadas (0;1). Os ângulos de inclinação dessas tangentes serão de aproximadamente 35, 40, 48 e 51 graus, respectivamente. É lógico supor que no intervalo de 2 a 3 haja um número no qual o ângulo de inclinação da tangente será de 45 graus.

Vamos dar a formulação exata desta afirmação: existe um número maior que 2 e menor que 3, denotado pela letra e, que a função exponencial y = e x no ponto 0 tem uma derivada igual a 1. Ou seja: (e ∆x -1) / ∆x tende a 1 enquanto ∆x tende a zero.

Número fornecido eé irracional e é escrito como uma fração decimal não periódica infinita:

e = 2,7182818284…

Como o número e é positivo e diferente de zero, há um logaritmo na base e. Esse logaritmo é chamado Logaritmo natural. Denotado ln(x) = log e (x).

Derivada da função exponencial

Teorema: A função e x é diferenciável em todos os pontos de seu domínio, e (e x)’ = e x .

A função exponencial a x é diferenciável em cada ponto de seu domínio de definição e, além disso, (a x)' = (a x)*ln(a).
Uma consequência deste teorema é o fato de que a função exponencial é contínua em qualquer ponto de seu domínio de definição.

Exemplo: encontre a derivada da função y = 2 x .

De acordo com a fórmula para a derivada da função exponencial, temos:

(2x)' = (2x)*ln(2).

Resposta: (2x)*ln(2).

Antiderivada da função exponencial

Para uma função exponencial a x dada no conjunto dos números reais, a primitiva será a função (a x)/(ln(a)).
ln(a) é alguma constante, então (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x para qualquer x. Provamos este teorema.

Considere um exemplo de encontrar uma função exponencial antiderivada.

Exemplo: encontre a primitiva da função f(x) = 5 x . Vamos usar a fórmula acima e as regras para encontrar as primitivas. Obtemos: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Contente

Elementos de conteúdo

Derivada, tangente, antiderivada, gráficos de funções e derivadas.

Derivado Seja a função \(f(x)\) definida em alguma vizinhança do ponto \(x_0\).

A derivada da função \(f\) no ponto \(x_0\) chamado de limite

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

se este limite existir.

A derivada de uma função em um ponto caracteriza a taxa de variação dessa função em um determinado ponto.

Tabela de derivativos

Função	Derivado
\(const\)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\sen x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sen x\)
\(\tgx\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

Regras de diferenciação\(f\) e \(g\) são funções que dependem da variável \(x\); \(c\) é um número.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - derivada de função complexa

O significado geométrico da derivada Equação de uma reta- eixo não paralelo \(Oy\) pode ser escrito como \(y=kx+b\). O coeficiente \(k\) nesta equação é chamado inclinação de uma linha reta. Ele igual a tangente ângulo de inclinaçao esta linha reta.

Ângulo reto- o ângulo entre a direção positiva do eixo \(Ox\) e a linha dada, contada na direção dos ângulos positivos (ou seja, na direção de menor rotação do eixo \(Ox\) para o \(Oy \) eixo).

A derivada da função \(f(x)\) no ponto \(x_0\) é igual à inclinação da tangente ao gráfico da função no ponto dado: \(f"(x_0)=\tg \alfa.\)

Se \(f"(x_0)=0\), então a tangente ao gráfico da função \(f(x)\) no ponto \(x_0\) é paralela ao eixo \(Ox\).

Equação tangente

A equação da tangente ao gráfico da função \(f(x)\) no ponto \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotonicidade da função Se a derivada de uma função é positiva em todos os pontos de um intervalo, então a função é crescente nesse intervalo.

Se a derivada de uma função é negativa em todos os pontos de um intervalo, então a função é decrescente nesse intervalo.

Pontos mínimo, máximo e de inflexão positivo no negativo neste ponto, então \(x_0\) é o ponto máximo da função \(f\).

Se a função \(f\) é contínua no ponto \(x_0\), e o valor da derivada desta função \(f"\) muda de negativo no positivo neste ponto, então \(x_0\) é o ponto mínimo da função \(f\).

Os pontos em que a derivada \(f"\) é igual a zero ou não existe são chamados Pontos críticos funções \(f\).

Pontos internos da área de definição da função \(f(x)\), onde \(f"(x)=0\) podem ser pontos de mínimo, máximo ou de inflexão.

O significado físico da derivada Se um ponto material se move em linha reta e sua coordenada muda dependendo do tempo de acordo com a lei \(x=x(t)\), então a velocidade desse ponto é igual à derivada do tempo da coordenada:

A aceleração de um ponto material é igual à derivada da velocidade desse ponto em relação ao tempo:

\(a(t)=v"(t).\)

Arquivo para a lição 29.

Derivado. Aplicação derivada. Primitivo.

Declive tangente ao gráfico da função no ponto com a abcissa x 0 igual à derivada da função no ponto x 0. .

Aqueles. a derivada da função no ponto x 0 é igual à tangente da inclinação da tangente traçada ao gráfico da função no ponto (x 0; f (x 0)).

Exercício 1. A figura mostra um gráfico da função y \u003d f (x) e uma tangente a este gráfico, desenhada em um ponto com uma abcissa x x 0 .

Resposta: 0,25

Exercício 2. A figura mostra um gráfico da função y \u003d f (x) e uma tangente a este gráfico, desenhada em um ponto com uma abcissa x 0. Encontre o valor da derivada da função f(x) no ponto x 0. Resposta: 0,6

Exercício 3. A figura mostra um gráfico da função y \u003d f (x) e uma tangente a este gráfico, desenhada em um ponto com uma abcissa x 0. Encontre o valor da derivada da função f(x) no ponto x 0. Resposta: -0,25

Exercício 4. A figura mostra um gráfico da função y \u003d f (x) e uma tangente a este gráfico, desenhada em um ponto com uma abcissa x 0. Encontre o valor da derivada da função f(x) no ponto x 0. Resposta: -0,2.

sentido mecânico derivado.

v ( t 0 ) = x' ( t 0 )

velocidade é a derivada da coordenada sobre Tempo. Da mesma maneira, aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo :

uma = v' ( t ).

Exercício 5 . Ponto material move-se retilineamente de acordo com a lei x(t)=12 t 2 +4 t+27, onde x é a distância do ponto de referência em metros, t é o tempo em segundos medido a partir do momento em que o movimento começou. Encontre sua velocidade (em metros por segundo) no instante t = 2 s. Resposta: 52

Tarefa 6. O ponto material se move em linha reta de acordo com a leix (t) \u003d 16   t 3 + t 2 - 8   t + 180, Onde x- distância do ponto de referência em metros,t- tempo em segundos, medido desde o início do movimento. Em que momento (em segundos) sua velocidade foi igual a 42 m/s? Resposta 1

Sinal suficiente função crescente (decrescente)

1. Se f `(x ) em cada ponto do intervalo (, então a função aumenta em (.

2. Se f `(x ) em cada ponto do intervalo (, então a função diminui em (.

Condição necessaria extremo

Se o ponto x 0 é o ponto extremo da função e neste ponto há uma derivada, então f `( x 0 )=0

Condição extrema suficiente

Se um f `( x 0 x 0 o valor da derivada muda de sinal de "+" para "-", então x 0 é o ponto de máximo da função.

Se um f `( x 0 ) = 0 e ao passar pelo ponto x 0 o valor da derivada muda de sinal de "-" para "+", então x 0 é o ponto de mínimo da função.

Tarefa 7. A figura mostra um gráfico da derivada da função f(x), definido no intervalo (−7; 10). Encontre o número de pontos de mínimo de uma função f(x) no segmento [−3; oito].

Solução. Os pontos mínimos correspondem aos pontos onde o sinal da derivada muda de menos para mais. No intervalo [−3; 8] a função tem um ponto mínimo x= 4. Portanto, tal ponto é 1. Resposta: 1.

Tarefa 8. A figura mostra um gráfico de uma função diferenciável y=f(x) e sete pontos marcados no eixo x: x​1, x​2, x​3, x​4, x​5, x​6, x 7. Em quantos desses pontos a derivada da função f(x) é negativa? Resposta: 3

Tarefa 9. A figura mostra um gráfico de uma função diferenciável y=f(x) definida no intervalo (− 11 ; − 1). Encontre um ponto do segmento [− 7 ; − 2], em que a derivada da função f(x) é igual a 0. Resposta: -4

Tarefa 10. A figura mostra um gráfico da função y=f′(x) - a derivada da função f(x), definida no intervalo (2 ; 13). Encontre o ponto de máximo da função f(x). Resposta: 9

Tarefa 11. A figura mostra o gráfico y=f′(x) da derivada da função f(x) definida no intervalo (− 3; 8). Em que ponto do segmento [− 2; 3] a função f(x) leva menor valor? Resposta: -2

Tarefa 12. A figura mostra um gráfico de y=f "(x) - a derivada da função f(x) definida no intervalo (− 2 ; 11). Encontre a abcissa do ponto no qual a tangente ao gráfico da função y=f(x) é paralelo ao eixo das abcissas ou coincide com ela Resposta: 3

Tarefa 13. A figura mostra um gráfico de y=f "(x) - a derivada da função f(x), definida no intervalo (− 4 ; 6). Encontre a abcissa do ponto em que a tangente ao gráfico do função y=f(x) é paralela à linha y=3x ou corresponde a ela.Resposta: 5

Tarefa 14. A figura mostra o gráfico y=f "(x) - a derivada da função f(x) definida no intervalo (− 4 ; 13). Encontre o número de pontos onde a tangente ao gráfico da função y=f (x) é paralela à reta y=− 2x−10 ou igual a ela Resposta: 5

Tarefa 15. A reta y =5x -8 é tangente ao gráfico da função 4x 2 -15x +c . Achar c. Resposta: 17.

antiderivada

função antiderivada F(x) para função f(x) é chamada de função derivado que é igual à função original. F " ( x )= f ( x ).

Tarefa 16. A figura mostra um gráfico s=F (x) uma das primitivas de alguma função f(x) definido no intervalo (1;13). Usando a figura, determine o número de soluções para a equação f (x)=0 no segmento . Resposta: 4

Tarefa 17. A figura mostra um gráfico y=F(x) de uma das primitivas de alguma função f(x) definida no intervalo (− 7; 8). Usando a figura, determine o número de soluções da equação f(x)=0 no intervalo . Resposta 1

Tarefa 18. A figura mostra um gráfico y=F(x) de uma das primitivas de alguma função f(x) e oito pontos são marcados no eixo x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Em quantos desses pontos a função f(x) é negativa? Resposta: 3

Tarefa 19. A figura mostra um gráfico de alguma função y=f(x). A função F(x)=12x 3 −3x 2 +152x−92 é uma das primitivas da função f(x). Encontre a área da figura sombreada. Resposta: 592

Algoritmo para encontrar pontos extremos

Encontre o escopo da função.

Encontre a derivada de uma função f "( x)

Encontre os pontos onde f "( x) = 0.

Marque na reta real o domínio da função e todos os zeros da derivada.

Definir sinal derivadopara cada intervalo. (Para isso, substituímos o valor "conveniente" x deste intervalo para f "( x)).

Determine pelos sinais da derivada as áreas de aumento e diminuição da função e tire conclusões sobre a presença ou ausência de um extremo e sua natureza ( máximo oumin ) em cada um desses pontos.

Tarefa 20. Encontre o ponto máximo da função y=(2x−1)cosx−2sinx+5, que pertence ao intervalo (0 ; π/2). Resposta: 0,5

Tarefa 21.Encontre o ponto de máximo da funçãoy=. Resposta: 6

Algoritmo de localização o maior e o menor valor da função no segmento

Tarefa 22. Encontre o menor valor da função y =x −6x +1 no segmento . Resposta: -31

Tarefa 23. Encontre o menor valor da função y=8cosx+30x/π+19 no intervalo [− 2π/3; 0]. Resposta: -5

Adicionalmente. 1. Encontre o ponto máximo da função y=(x−11) 2​ ⋅e x − 7 .

2. Encontre valor mais alto funções y=x 5 -5x 3 -20x no intervalo [− 9 ; 1]. Resposta: 48

Esta lição é a primeira de uma série de vídeos sobre integração. Nele, vamos analisar o que é a primitiva de uma função, e também estudar os métodos elementares para calcular essas mesmas primitivas.

Na verdade, não há nada complicado aqui: em essência, tudo se resume ao conceito de derivada, com o qual você já deve estar familiarizado. :)

Observo desde já que, uma vez que esta é a primeira lição da nossa novo topico, hoje não haverá cálculos e fórmulas complexas, mas o que estudaremos hoje formará a base de cálculos e estruturas muito mais complexas ao calcular integrais e áreas complexas.

Além disso, ao começar a estudar integração e integrais em particular, assumimos implicitamente que o aluno já está pelo menos familiarizado com os conceitos de derivada e possui pelo menos habilidades elementares para calculá-los. Sem uma compreensão clara disso, não há absolutamente nada a fazer na integração.

No entanto, aqui reside um dos problemas mais frequentes e insidiosos. O fato é que, ao começar a calcular suas primeiras antiderivadas, muitos alunos as confundem com derivadas. Assim, em exames e trabalho independente erros estúpidos e ofensivos são cometidos.

Portanto, agora não darei uma definição clara de antiderivada. E, em troca, sugiro que você veja como isso é considerado em um simples exemplo concreto.

O que é primitivo e como é considerado

Conhecemos esta fórmula:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Esta derivada é considerada elementar:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Vamos olhar atentamente para a expressão resultante e expressar $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Mas também podemos escrever assim, de acordo com a definição da derivada:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

E agora atenção: o que acabamos de escrever é a definição da primitiva. Mas para escrevê-lo corretamente, você precisa escrever o seguinte:

Vamos escrever a seguinte expressão da mesma forma:

Se generalizarmos essa regra, podemos derivar a seguinte fórmula:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Agora podemos formular uma definição clara.

Uma antiderivada de uma função é uma função cuja derivada é igual à função original.

Dúvidas sobre a função antiderivada

Parece que uma definição bastante simples e compreensível. No entanto, ao ouvi-lo, o aluno atento terá imediatamente várias dúvidas:

1. Digamos, bem, esta fórmula está correta. Porém, neste caso, quando $n=1$, temos problemas: “zero” aparece no denominador e é impossível dividir por “zero”.
2. A fórmula é limitada apenas aos poderes. Como calcular a primitiva, por exemplo, seno, cosseno e qualquer outra trigonometria, bem como constantes.
3. Uma questão existencial: é sempre possível encontrar uma antiderivada? Em caso afirmativo, o que dizer da soma, diferença, produto, etc. da antiderivada?

Vou responder a última pergunta imediatamente. Infelizmente, a primitiva, ao contrário da derivada, nem sempre é considerada. Não existe tal fórmula universal, segundo o qual de qualquer construção inicial obteremos uma função que será igual a esta construção semelhante. Quanto às potências e constantes, falaremos sobre isso agora.

Resolvendo problemas com funções de potência

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Como vemos, fórmula dada para $((x)^(-1))$ não funciona. Surge a pergunta: o que então funciona? Não podemos contar $((x)^(-1))$? Claro que podemos. Vamos apenas começar com isso:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Agora vamos pensar: a derivada de qual função é igual a $\frac(1)(x)$. Obviamente, qualquer aluno que tenha se envolvido pelo menos um pouco neste tópico lembrará que essa expressão é igual à derivada do logaritmo natural:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime))=\frac(1)(x)\]

Portanto, podemos escrever com segurança o seguinte:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Esta fórmula precisa ser conhecida, assim como a derivada de uma função potência.

Então o que sabemos até agora:

• Para uma função de potência — $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Para uma constante - $=const\to \cdot x$
• Um caso especial de uma função de potência - $\frac(1)(x)\to \ln x$

E se começarmos a multiplicar e dividir as funções mais simples, como então calcular a primitiva de um produto ou um quociente. Infelizmente, analogias com a derivada de um produto ou quociente não funcionam aqui. Não existe uma fórmula padrão. Para alguns casos, existem fórmulas especiais complicadas - vamos conhecê-las em futuros tutoriais em vídeo.

No entanto, lembre-se: Fórmula geral, não há fórmula semelhante para calcular a derivada de um quociente e um produto.

Resolvendo problemas reais

Tarefa nº 1

Vamos cada um funções de energia contar separadamente:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Voltando à nossa expressão, escrevemos a construção geral:

Tarefa nº 2

Como já disse, não são considerados trabalhos primitivos e "blank through" privados. No entanto, aqui você pode fazer o seguinte:

Nós dividimos a fração na soma de duas frações.

Vamos calcular:

A boa notícia é que uma vez que você conhece as fórmulas para calcular as primitivas, você já é capaz de calcular mais estruturas complexas. No entanto, vamos em frente e expandir um pouco mais nosso conhecimento. O fato é que muitas construções e expressões que, à primeira vista, nada têm a ver com $((x)^(n))$ podem ser representadas como uma potência com indicador racional, a saber:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Todas essas técnicas podem e devem ser combinadas. Expressões de poder posso

• multiplique (as potências são adicionadas);
• dividir (os graus são subtraídos);
• multiplique por uma constante;
• etc.

Resolvendo expressões com um grau com um expoente racional

Exemplo 1

Vamos contar cada raiz separadamente:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4))))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

No total, toda a nossa construção pode ser escrita da seguinte forma:

Exemplo #2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Portanto, obteremos:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

No total, reunindo tudo em uma expressão, podemos escrever:

Exemplo #3

Primeiro, observe que já calculamos $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Vamos reescrever:

Espero não surpreender ninguém se disser que o que acabamos de estudar é apenas o mais cálculos simples construções primitivas, mais elementares. Vamos agora ver um pouco mais exemplos complexos, em que, além das antiderivadas tabulares, também será necessário relembrar currículo escolar, ou seja, as fórmulas de multiplicação reduzidas.

Resolvendo exemplos mais complexos

Tarefa nº 1

Lembre-se da fórmula do quadrado da diferença:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Vamos reescrever nossa função:

Agora temos que encontrar a primitiva de tal função:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Coletamos tudo em um design comum:

Tarefa nº 2

Nesse caso, precisamos abrir o cubo de diferença. Vamos lembrar:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Dado este fato, pode-se escrever da seguinte forma:

Vamos modificar um pouco nossa função:

Consideramos, como sempre, para cada termo separadamente:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\to \ln x\]

Vamos escrever a construção resultante:

Tarefa nº 3

Em cima temos o quadrado da soma, vamos abri-lo:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x) )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Vamos escrever a solução final:

E agora atenção! Uma coisa muito importante, que está associada à maior parte dos erros e mal-entendidos. O fato é que até agora, contando as primitivas com a ajuda de derivadas, dando transformações, não pensávamos no que é igual a derivada de uma constante. Mas a derivada de uma constante é igual a "zero". E isso significa que você pode escrever as seguintes opções:

1. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Isso é muito importante para entender: se a derivada de uma função é sempre a mesma, então a mesma função tem um número infinito de primitivas. Podemos simplesmente adicionar quaisquer números constantes aos nossos primitivos e obter novos.

Não é por acaso que na explicação das tarefas que acabamos de resolver, estava escrito “Anote Forma geral primitivos." Aqueles. já se supõe de antemão que não há um, mas toda uma multidão deles. Mas, na verdade, eles diferem apenas na constante $C$ no final. Portanto, em nossas tarefas, corrigiremos o que não concluímos.

Mais uma vez, reescrevemos nossas construções:

Nesses casos, deve-se acrescentar que $C$ é uma constante — $C=const$.

Em nossa segunda função, obtemos a seguinte construção:

E o último:

E agora realmente conseguimos o que era exigido de nós na condição inicial do problema.

Resolvendo problemas em encontrar primitivas com um determinado ponto

Agora, quando sabemos sobre constantes e sobre as peculiaridades de escrever antiderivadas, surge logicamente próximo tipo problemas, quando do conjunto de todas as antiderivadas é necessário encontrar uma e somente tal que passaria por dado ponto. Qual é essa tarefa?

O fato é que todas as primitivas de uma determinada função diferem apenas por serem deslocadas verticalmente por algum número. E isso significa que não importa em que ponto do plano coordenado tomemos, uma antiderivada definitivamente passará e, além disso, apenas uma.

Assim, as tarefas que vamos resolver agora são formuladas da seguinte forma: não é fácil encontrar a antiderivada, conhecendo a fórmula da função original, mas escolher exatamente uma delas que passe por um determinado ponto, cujas coordenadas serão ser dado na condição do problema.

Exemplo 1

Primeiro, vamos calcular cada termo:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Agora substituímos essas expressões em nossa construção:

Esta função deve passar pelo ponto $M\left(-1;4 \right)$. O que significa que ele passa por um ponto? Isso significa que se em vez de $x$ colocarmos $-1$ em todos os lugares, e em vez de $F\left(x \right)$ - $-4$, devemos obter a igualdade numérica correta. Vamos fazer isso:

Vemos que temos uma equação para $C$, então vamos tentar resolvê-la:

Vamos escrever a solução que estávamos procurando:

Exemplo #2

Antes de tudo, é necessário abrir o quadrado da diferença usando a fórmula de multiplicação abreviada:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

A estrutura original será escrita da seguinte forma:

Agora vamos encontrar $C$: substitua as coordenadas do ponto $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Expressamos $C$:

Resta exibir a expressão final:

Resolvendo problemas trigonométricos

Como acorde final do que acabamos de analisar, proponho considerar mais duas Tarefas desafiantes contendo trigonometria. Nelas, da mesma forma, será necessário encontrar antiderivadas para todas as funções, então escolher desse conjunto a única que passa pelo ponto $M$ no plano de coordenadas.

Olhando para o futuro, gostaria de observar que a técnica que agora usaremos para encontrar antiderivadas de funções trigonométricas, na verdade, é recepção universal para autoteste.

Tarefa nº 1

Vamos lembrar a seguinte fórmula:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Com base nisso, podemos escrever:

Vamos substituir as coordenadas do ponto $M$ em nossa expressão:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Vamos reescrever a expressão com este fato em mente:

Tarefa nº 2

Aqui vai ser um pouco mais difícil. Agora você vai ver o porquê.

Vamos relembrar esta fórmula:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Para se livrar do "menos", você deve fazer o seguinte:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Aqui está o nosso projeto

Substitua as coordenadas do ponto $M$:

Vamos anotar a construção final:

Isso é tudo que eu queria te dizer hoje. Estudamos o próprio termo antiderivadas, como contá-las de funções elementares, bem como encontrar a antiderivada que passa por um ponto específico no plano de coordenadas.

Espero que esta lição ajude você pelo menos um pouco a entender esse tópico complexo. De qualquer forma, é nas antiderivadas que indefinidas e integrais indefinidas, por isso é absolutamente necessário contá-los. Isso é tudo para mim. Vejo você em breve!