Exemplos de funções trigonométricas inversas. Expressamos em termos de todas as funções trigonométricas inversas
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Marcha ré funções trigonométricas tenho ampla aplicação dentro analise matemática. No entanto, para a maioria dos alunos do ensino médio, as tarefas associadas a esse tipo de função causam dificuldades significativas. Isso se deve principalmente ao fato de que em muitos livros didáticos e material didáctico tem sido dada muito pouca atenção a problemas deste tipo. E se os alunos de alguma forma lidam com as tarefas de calcular os valores das funções trigonométricas inversas, as equações e desigualdades que contêm essas funções, na maioria das vezes, confundem as crianças. Na verdade, isso não é surpreendente, porque praticamente nenhum livro explica o método para resolver até mesmo as equações e inequações mais simples contendo funções trigonométricas inversas.
Considere várias equações e desigualdades contendo funções trigonométricas inversas e resolva-as com uma explicação detalhada.
Exemplo 1
Resolva a equação: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.
Solução.
Expressamos a função trigonométrica inversa da equação, obtemos:
arcos (2x + 3) = 5π/6. Agora vamos usar a definição do arcoseno.
O arcosseno de um certo número a pertencente ao segmento de -1 a 1 é tal ângulo y do segmento de 0 a π que seu cosseno é igual ao número x. Portanto, pode ser escrito assim:
2x + 3 = cos 5π/6.
Escrevemos o lado direito da equação resultante de acordo com a fórmula de redução:
2x + 3 = cos(π - π/6).
2x + 3 = -cos π/6;
2x + 3 = -√3/2;
2x = -3 - √3/2.
Vamos trazer o lado direito para um denominador comum.
2x = -(6 + √3)/2;
x = -(6 + √3) / 4.
Responda: -(6 + √3) / 4 .
Exemplo 2
Resolva a equação: cos (arccos (4x - 9)) = x 2 - 5x + 5.
Solução.
Como cos (arcos x) = x com x pertencendo a [-1; 1], então esta equação é equivalente ao sistema:
(4x - 9 = x 2 - 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.
Vamos resolver a equação incluída no sistema.
4x - 9 = x 2 - 5x + 5.
É quadrado, então temos que
x 2 - 9x + 14 \u003d 0;
D \u003d 81 - 4 14 \u003d 25;
x 1 \u003d (9 + 5) / 2 \u003d 7;
x 2 \u003d (9 - 5) / 2 \u003d 2.
Vamos resolver a dupla desigualdade incluída no sistema.
1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Adicione 9 a todas as partes, teremos:
8 ≤ 4x ≤ 10. Divida cada número por 4, temos:
2 ≤ x ≤ 2,5.
Agora vamos combinar as respostas. É fácil ver que a raiz x = 7 não satisfaz a resposta da inequação. Portanto, a única solução para a equação será x = 2.
Resposta: 2.
Exemplo 3
Resolva a equação: tg (arctg (0,5 - x)) = x 2 - 4x + 2,5.
Solução.
Como tg (arctg x) = x para todos os números reais, esta equação é equivalente à equação:
0,5 - x \u003d x 2 - 4x + 2,5.
Vamos resolver o recebido Equação quadrática utilizando o discriminante, trazendo-o previamente para o formulário padrão.
x 2 - 3x + 2 = 0;
D \u003d 9 - 4 2 \u003d 1;
x 1 \u003d (3 + 1) / 2 \u003d 2;
x 2 \u003d (3 - 1) / 2 \u003d 1.
Resposta 1; 2.
Exemplo 4
Resolva a equação: arcctg (2x - 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).
Solução.
Como arcctg f(x) = arcctg g(x) se e somente se f(x) = g(x), então 
2x - 1 \u003d x 2 / 2 + x / 2. Resolvemos a equação quadrática resultante:
4x - 2 \u003d x 2 + x;
x 2 - 3x + 2 = 0.
Pelo teorema de Vieta, obtemos que
x=1 ou x=2.
Resposta 1; 2.
Exemplo 5
Resolva a equação: arcsin (2x - 15) = arcsin (x 2 - 6x - 8).
Solução.
Uma vez que uma equação da forma arcsin f(x) = arcsin g(x) é equivalente ao sistema
(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],
então a equação original é equivalente ao sistema:
(2x - 15 = x 2 - 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.
Vamos resolver o sistema resultante:
(x 2 - 8x + 7 \u003d 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.
Da primeira equação, de acordo com o teorema de Vieta, temos que x = 1 ou x = 7. Resolvendo a segunda desigualdade do sistema, obtemos que 7 ≤ x ≤ 8. Portanto, apenas a raiz x = 7 é adequada em a resposta definitiva.
Resposta: 7.
Exemplo 6
Resolva a equação: (arccos x) 2 - 6 arccos x + 8 = 0.
Solução.
Seja arccos x = t, então t pertence ao segmento e a equação se torna:
t 2 - 6t + 8 = 0. Resolvemos a equação quadrática resultante usando o teorema de Vieta, obtemos que t = 2 ou t = 4.
Como t = 4 não pertence ao segmento , obtemos que t = 2, ou seja. arccos x \u003d 2, o que significa x \u003d cos 2.
Resposta: cos 2.
Exemplo 7
Resolva a equação: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.
Solução.
Usamos a igualdade arcsin x + arccos x = π/2 e escrevemos a equação como
(arco seno x) 2 + (π/2 - arco seno x) 2 = 5π 2 /36.
Seja arcsin x = t, então t pertence ao intervalo [-π/2; π/2] e a equação se torna:
t 2 + (π / 2 - t) 2 \u003d 5π 2 / 36.
Vamos resolver a equação resultante:
t 2 + π 2 /4 - πt + t 2 = 5π 2 /36;
2t 2 - πt + 9π 2 /36 - 5π 2 /36 = 0;
2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;
2t 2 - πt + π 2 / 9 = 0. Multiplique cada termo por 9 para se livrar das frações na equação, temos:
18t 2 - 9πt + π 2 \u003d 0.
Encontre o discriminante e resolva a equação resultante:
D \u003d (-9π) 2 - 4 18 π 2 \u003d 9π 2.
t = (9π - 3π) / 2 18 ou t = (9π + 3π) / 2 18;
t = 6π/36 ou t = 12π/36.
Após a redução temos:
t = π/6 ou t = π/3. Então
arco seno x = π/6 ou arco seno x = π/3.
Então x = sen π/6 ou x = sen π/3. Ou seja, x = 1/2 ou x = √3/2.
Resposta: 1/2; √3/2.
Exemplo 8
Encontre o valor da expressão 5nx 0, onde n é o número de raízes e x 0 é a raiz negativa da equação 2 arcsen x = - π - (x + 1) 2.
Solução.
Como -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, então -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Além disso, (x + 1) 2 ≥ 0 para todo x real,
então -(x + 1) 2 ≤ 0 e -π – (x + 1) 2 ≤ -π.
Assim, uma equação pode ter solução se ambas as suas partes forem simultaneamente iguais a –π, ou seja, a equação é equivalente ao sistema:
(2 arcsin x = -π,
(-π - (x + 1) 2 = -π.
Vamos resolver o sistema de equações resultante:
(arco seno x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.
Da segunda equação, temos que x \u003d -1, respectivamente, n \u003d 1, depois 5nx 0 \u003d 5 1 (-1) \u003d -5.
Resposta: -5.
Como mostra a prática, a capacidade de resolver equações com funções trigonométricas inversas é Condição necessaria entrega bem sucedida exames. É por isso que o treinamento para resolver esses problemas é simplesmente necessário e obrigatório na preparação para o exame.
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As funções trigonométricas inversas são funções matemáticas que são o inverso das funções trigonométricas.
Função y=arcsin(x)
O arco-seno do número α é um número α do intervalo [-π/2;π/2], cujo seno é igual a α.
Gráfico de funções
A função y \u003d sin (x) no intervalo [-π / 2; π / 2], é estritamente crescente e contínua; por isso ela tem função inversa, estritamente crescente e contínua.
A função inversa para a função y= sin(x), onde x ∈[-π/2;π/2], é chamada de arco seno e é denotada y=arcsin(x), onde x∈[-1;1 ].
Assim, de acordo com a definição da função inversa, o domínio de definição do arco-seno é o segmento [-1; 1], e o conjunto de valores é o segmento [-π/2; π/2].
Observe que o gráfico da função y=arcsin(x), onde x ∈[-1;1] é simétrico ao gráfico da função y=sen(x), onde x∈[-π/2;π /2], em relação à bissetriz ângulos coordenados primeiro e terceiro trimestres.
O escopo da função y=arcsin(x).
Exemplo número 1.
Encontrar arcsin(1/2)?
Como o intervalo da função arcsin(x) pertence ao intervalo [-π/2;π/2], apenas o valor π/6 é adequado, portanto, arcsin(1/2) = π/6.
Resposta: π/6
Exemplo #2.
Encontre arcsin(-(√3)/2)?
Como o intervalo de arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], apenas o valor -π/3 é adequado, portanto, arcsin(-(√3)/2) =- π/3.
Função y=arccos(x)
O arcoseno de um número α é um número α do intervalo cujo cosseno é igual a α.
Gráfico de funções
A função y= cos(x) no intervalo é estritamente decrescente e contínua; portanto, tem uma função inversa que é estritamente decrescente e contínua.
A função inversa para a função y= cosx, onde x ∈, é chamada arco cosseno e denotado y=arccos(x), onde x ∈[-1;1].
Então, de acordo com a definição da função inversa, o domínio de definição do arcoseno é o segmento [-1; 1], e o conjunto de valores é o segmento.
Observe que o gráfico da função y=arccos(x), onde x ∈[-1;1] é simétrico ao gráfico da função y= cos(x), onde x ∈, em relação à bissetriz do ângulos coordenados do primeiro e terceiro quartos.
O escopo da função y=arccos(x).
Exemplo #3.
Encontrar arccos(1/2)?
Como o intervalo de arccos(x) é x∈, apenas o valor π/3 é adequado, portanto, arccos(1/2) =π/3.
Exemplo número 4.
Encontrar arccos(-(√2)/2)?
Como o intervalo da função arccos(x) pertence ao intervalo , então somente o valor 3π/4 é adequado, portanto, arccos(-(√2)/2) =3π/4.
Resposta: 3π/4
Função y=arctg(x)
O arco tangente de um número α é um número α do intervalo [-π/2; π/2], cuja tangente é igual a α.
Gráfico de funções 
A função tangente é contínua e estritamente crescente no intervalo (-π/2; π/2); portanto, tem uma função inversa que é contínua e estritamente crescente.
A função inversa para a função y= tg(x), onde x∈(-π/2;π/2); é chamado de arco tangente e denotado y=arctg(x), onde x∈R.
Então, de acordo com a definição da função inversa, o domínio de definição do arco tangente é o intervalo (-∞;+∞), e o conjunto de valores é o intervalo
(-π/2;π/2).
Observe que o gráfico da função y=arctg(x), onde x∈R, é simétrico ao gráfico da função y=tgx, onde x ∈ (-π/2;π/2), em relação a a bissetriz dos ângulos coordenados do primeiro e terceiro quartos.
O escopo da função y=arctg(x).
Exemplo #5?
Encontre arctg((√3)/3).
Como o intervalo de arctan(x) x ∈(-π/2;π/2), apenas o valor π/6 é adequado, portanto, arctg((√3)/3) =π/6.
Exemplo número 6.
Encontrar arctg(-1)?
Como o intervalo de arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), apenas o valor -π/4 é adequado, portanto, arctg(-1) = - π/4.
Função y=arctg(x)
O arco tangente de um número α é um número α do intervalo (0; π) cuja cotangente é igual a α.
Gráfico de funções
No intervalo (0;π), a função cotangente decresce estritamente; além disso, é contínua em todos os pontos desse intervalo; portanto, no intervalo (0;π), esta função tem uma função inversa que é estritamente decrescente e contínua.
A função inversa para a função y=ctg(x), onde x ∈(0;π), é chamada de arco cotangente e é denotada y=arcctg(x), onde x∈R.
Então, de acordo com a definição da função inversa, o domínio de definição da tangente inversa será R valores – intervalo (0; π). O gráfico da função y=arcctg(x), onde x∈R é simétrico ao gráfico da função y=ctg(x) x∈(0; π), com em relação à bissetriz dos ângulos coordenados do primeiro e terceiro quartos.
O escopo da função y=arcctg(x).
Exemplo número 7.
Encontre arcctg((√3)/3)?
Como o intervalo de arcctg(x) x ∈(0;π), apenas o valor π/3 é adequado, portanto, arccos((√3)/3) =π/3.
Exemplo número 8.
Encontre arcctg(-(√3)/3)?
Como o intervalo de arcctg(x) x∈(0;π), apenas o valor 2π/3 é adequado, portanto, arccos(-(√3)/3) =2π/3.
Editores: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
Lições 32-33. Funções trigonométricas inversas
09.07.2015 5917 0Alvo: considere funções trigonométricas inversas, seu uso para escrever soluções para equações trigonométricas.
I. Comunicação do tema e objetivos das aulas
II. Aprendendo novos materiais
1. Funções trigonométricas inversas
Vamos iniciar este tópico com o exemplo a seguir.
Exemplo 1
Vamos resolver a equação: a) sen x = 1/2; b) sen x \u003d a.
a) No eixo y, separe o valor 1/2 e trace os ângulos x 1 e x2, para o qual pecado x = 1/2. Neste caso, x1 + x2 = π, de onde x2 = π – x 1 . De acordo com a tabela de valores das funções trigonométricas, encontramos o valor x1 = π/6, então
Levamos em conta a periodicidade da função seno e escrevemos as soluções desta equação:
onde k ∈ Z .
b) É óbvio que o algoritmo para resolver a equação pecado x = a é o mesmo que no parágrafo anterior. Claro, agora o valor a é plotado ao longo do eixo y. Há uma necessidade de designar de alguma forma o ângulo x1. Concordamos em denotar tal ângulo pelo símbolo arco pecado uma. Então as soluções desta equação podem ser escritas comoEssas duas fórmulas podem ser combinadas em uma: em que 
Outras funções trigonométricas inversas são introduzidas de forma semelhante.
Muitas vezes é necessário determinar o valor do ângulo por valor conhecido sua função trigonométrica. Tal problema é multivalorado - há um número infinito de ângulos cujas funções trigonométricas são iguais ao mesmo valor. Portanto, com base na monotonicidade das funções trigonométricas, as seguintes funções trigonométricas inversas são introduzidas para determinar exclusivamente os ângulos.
O arco-seno de a (arc-seno , cujo seno é igual a a, ou seja.
Arco cosseno de um número a(arcos a) - tal ângulo a do intervalo, cujo cosseno é igual a a, ou seja
Arco tangente de um número a(arctg a) - tal ângulo a do intervalocuja tangente é a, ou seja.
tg a = a.
Arco tangente de um número a(arctg a) - tal ângulo a do intervalo (0; π), cuja cotangente é igual a a, ou seja ctg a = a.
Exemplo 2
Vamos encontrar:
Dadas as definições de funções trigonométricas inversas, temos:
Exemplo 3
Calcular 
Seja ângulo a = arco seno 3/5, então por definição sen a = 3/5 e . Portanto, precisamos encontrar porque uma. Usando o principal identidade trigonométrica, Nós temos:
Leva-se em conta que cos a ≥ 0. Então, 
Propriedades da função | Função |
|||
y = arco seno x | y = arcos x | y = arctg x | y = arcctg x |
|
Domínio | x ∈ [-1; 1] | x ∈ [-1; 1] | x ∈ (-∞; +∞) | x ∈ (-∞ +∞) |
Faixa de valores | y ∈ [-π/2 ; π/2] | y ∈ | y ∈ (-π/2 ; π /2 ) | y ∈ (0; π) |
Paridade | ímpar | Nem par nem ímpar | ímpar | Nem par nem ímpar |
Função zeros (y = 0) | Quando x = 0 | Para x = 1 | Quando x = 0 | s ≠ 0 |
Intervalos de constância | y > 0 para x ∈ (0; 1], no< 0 при х ∈ [-1; 0) | y > 0 para x ∈ [-1; 1) | y > 0 para x ∈ (0; +∞), no< 0 при х ∈ (-∞; 0) | y > 0 para x ∈ (-∞; +∞) |
Monótono | Aumentando | Diminui | Aumentando | Diminui |
Relação com a função trigonométrica | sin y \u003d x | cosy = x | tg y = x | ctg y = x |
Cronograma | ||||
Vamos dar alguns exemplos típicos relacionados às definições e propriedades básicas das funções trigonométricas inversas.
Exemplo 4
Encontre o domínio da função
Para que a função y seja definida, é necessário que a desigualdade
que é equivalente ao sistema de desigualdades
A solução da primeira inequação é o intervalo x∈
(-∞; +∞), o segundo - Esta lacuna e é uma solução para o sistema de desigualdades e, portanto, o domínio da função
Exemplo 5
Encontre a área de mudança da função
Considere o comportamento da função z \u003d 2x - x2 (veja a figura).
Pode-se ver que z ∈ (-∞; 1]. Dado que o argumento z função da tangente inversa varia dentro dos limites especificados, dos dados da tabela obtemos que
Assim, a área de mudança
Exemplo 6
Vamos provar que a função y = arco x ímpar. Deixar
Então tg a \u003d -x ou x \u003d - tg a \u003d tg (- a), e 
Portanto, - um \u003d arctg x ou um \u003d - arctg X. Assim, vemos queisto é, y(x) é uma função ímpar.
Exemplo 7
Expressamos em termos de todas as funções trigonométricas inversas
Deixar 
É óbvio que 
Então desde
Vamos introduzir um ângulo 
Porque 
então 
Da mesma forma, portanto 
e 
Então,
Exemplo 8
Vamos construir um gráfico da função y \u003d cos (arco seno x).
Denote um arco \u003d em x, então 
Levamos em conta que x \u003d sen a e y \u003d cos a, ou seja, x 2 + y2 = 1, e restrições em x (x∈
[-1; 1]) e y (y ≥ 0). Então o gráfico da função y = cos(arcsin x) é um semicírculo.
Exemplo 9
Vamos construir um gráfico da função y \u003d arcos(cosx).
Como a função cos x muda no segmento [-1; 1], então a função y é definida em todo o eixo real e muda no intervalo . Lembrando que y = arcos(cosx) \u003d x no segmento; a função y é par e periódica com um período de 2π. Considerando que a função tem essas propriedades cos x , Agora ficou fácil plotar.
Observamos algumas igualdades úteis:
Exemplo 10
Encontre o menor e maior valor funções Indicar 
então 
Obter uma função 
Esta função tem um mínimo no ponto z = π/4, e é igual a 
O valor máximo da função é atingido no ponto z = -π/2, e é igual a 
Assim, e
Exemplo 11
Vamos resolver a equação
Levamos em conta que 
Então a equação fica assim:
ou 
Onde Pela definição do arco tangente, temos:
2. Solução das equações trigonométricas mais simples
Da mesma forma que no exemplo 1, você pode obter soluções para as equações trigonométricas mais simples.
A equação | Solução |
tgx = a | |
ctg x = a |
Exemplo 12
Vamos resolver a equação 
Como a função seno é ímpar, escrevemos a equação na forma
Soluções para esta equação:
onde encontramos 
Exemplo 13
Vamos resolver a equação 
De acordo com a fórmula acima, escrevemos as soluções da equação:
e encontra 
Observe que em casos particulares (a = 0; ±1) ao resolver as equações sen x = a e cos x = a é mais fácil e conveniente de usar não fórmulas gerais, e escreva soluções com base no círculo unitário:
para a equação sen x = 1 solução
para a equação sen x \u003d 0 soluções x \u003d π k;
para a equação sen x = -1 solução 
para a equação cos x = 1 soluções x = 2π k;
para a equação cos x = 0 solução
para a equação cos x = -1 solução 
Exemplo 14
Vamos resolver a equação 
Como neste exemplo há caso especial equações, então, de acordo com a fórmula correspondente, escrevemos a solução:
onde encontramos 
III. perguntas do teste(enquete frontal)
1. Defina e liste as principais propriedades das funções trigonométricas inversas.
2. Dê gráficos de funções trigonométricas inversas.
3. Solução das equações trigonométricas mais simples.
4. Atribuição nas aulas
§ 15, nº 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12(b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;
§ 16, nº 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);
§ 17, nº 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).
V. Lição de casa
§ 15, nº 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (d); 16(b); 18 (c, d); 19 (d); 22;
§ 16, nº 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18(b); 19 (a, b);
§ 17, nº 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).
VI. Tarefas criativas
1. Encontre o escopo da função:
Respostas :
2. Encontre o intervalo da função:
Respostas:
3. Faça o gráfico da função:
VII. Resumindo as lições
São dadas definições de funções trigonométricas inversas e seus gráficos. Bem como fórmulas que relacionam funções trigonométricas inversas, fórmulas para somas e diferenças.
Definição de funções trigonométricas inversas
Como as funções trigonométricas são periódicas, as funções inversas a elas não são de valor único. Então, a equação y = pecado x, para dado , tem infinitas raízes. De fato, devido à periodicidade do seno, se x é uma tal raiz, então x + 2n(onde n é um inteiro) também será a raiz da equação. Nesse caminho, funções trigonométricas inversas são multivaloradas. Para facilitar o trabalho com eles, é introduzido o conceito de seus principais valores. Considere, por exemplo, o seno: y = pecado x. Se limitarmos o argumento x ao intervalo , então nele a função y = pecado x aumenta monotonicamente. Portanto, tem uma função inversa de valor único, que é chamada de arco-seno: x = arco seno y.
Salvo indicação em contrário, as funções trigonométricas inversas significam seus valores principais, que são definidos pelas seguintes definições.
Arcsine ( y= arco seno x) é a função inversa do seno ( x= sinuoso
Arco cosseno ( y= arcos x) é a função inversa do cosseno ( x= aconchegante), que possui um domínio de definição e um conjunto de valores.
Arctangente ( y= arco x) é a função inversa da tangente ( x= tg y), que possui um domínio de definição e um conjunto de valores.
Arco tangente ( y= arco x) é a função inversa da cotangente ( x= ctg y), que possui um domínio de definição e um conjunto de valores.
Gráficos de funções trigonométricas inversas
Gráficos de funções trigonométricas inversas são obtidos a partir de gráficos de funções trigonométricas reflexo do espelho em relação à reta y = x . Consulte as seções Seno, cosseno, Tangente, cotangente.
y= arco seno x
y= arcos x
y= arco x
y= arco x
Fórmulas básicas
Aqui, atenção especial deve ser dada aos intervalos para os quais as fórmulas são válidas.
arcsin(sen x) = x no
sen(arco sen x) = x
arcos(cos x) = x no
cos(arcos x) = x
arctg(tg x) = x no
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x no
ctg(arctg x) = x
Fórmulas que relacionam funções trigonométricas inversas
Fórmulas de soma e diferença
em ou
em e
em e
em ou
em e
em e
no
no
no
no