Escreva um algoritmo para resolver as raízes de uma equação quadrática. Lição "algoritmo para resolver equações do segundo grau"

Descrição bibliográfica: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Métodos para resolver equações quadráticas // Jovem cientista. - 2016. - Não. 6.1. - S. 17-20..04.2019).



Nosso projeto é dedicado às formas de resolver equações quadráticas. O objetivo do projeto: aprender a resolver equações quadráticas de maneiras que não estão incluídas no currículo escolar. Tarefa: encontre todas as maneiras possíveis de resolver equações do segundo grau e aprenda a usá-las você mesmo e apresente esses métodos aos colegas.

O que são "equações quadráticas"?

Equação quadrática- equação da forma machado2 + bx + c = 0, Onde uma, b, c- alguns números ( a ≠ 0), x- desconhecido.

Os números a, b, c são chamados de coeficientes da equação quadrática.

• a é chamado de primeiro coeficiente;
• b é chamado de segundo coeficiente;
• c - membro livre.

E quem foi o primeiro a "inventar" equações quadráticas?

Algumas técnicas algébricas para resolver equações lineares e quadráticas eram conhecidas há 4.000 anos na antiga Babilônia. As antigas tábuas de argila babilônicas encontradas, datadas em algum lugar entre 1800 e 1600 aC, são as primeiras evidências do estudo de equações quadráticas. As mesmas tabuinhas contêm métodos para resolver certos tipos de equações quadráticas.

A necessidade de resolver equações não só de primeiro, mas também de segundo grau na antiguidade foi provocada pela necessidade de resolver problemas relacionados com a localização das áreas de terra e terraplenagem de natureza militar, bem como o desenvolvimento da astronomia e matemática em si.

A regra para resolver essas equações, indicada nos textos babilônicos, coincide essencialmente com a moderna, mas não se sabe como os babilônios chegaram a essa regra. Quase todos os textos cuneiformes encontrados até agora dão apenas problemas com soluções enunciadas na forma de receitas, sem indicação de como foram encontradas. Apesar do alto nível de desenvolvimento da álgebra na Babilônia, os textos cuneiformes carecem do conceito de número negativo e métodos gerais para resolver equações quadráticas.

Matemáticos babilônicos do século IV a.C. usou o método do complemento quadrado para resolver equações com raízes positivas. Por volta de 300 a.C. Euclides surgiu com um método de solução geométrica mais geral. O primeiro matemático que encontrou soluções para uma equação com raízes negativas na forma de uma fórmula algébrica foi um cientista indiano. Brahmagupta(Índia, século VII d.C.).

Brahmagupta delineou uma regra geral para resolver equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica:

ax2 + bx = c, a>0

Nesta equação, os coeficientes podem ser negativos. O governo de Brahmagupta coincide essencialmente com o nosso.

Na Índia, concursos públicos para resolver problemas difíceis eram comuns. Em um dos antigos livros indianos, o seguinte é dito sobre tais competições: “Assim como o sol supera as estrelas com seu brilho, uma pessoa instruída ofuscará a glória em reuniões públicas, propondo e resolvendo problemas algébricos.” As tarefas eram muitas vezes vestidas de forma poética.

Em um tratado algébrico Al-Khwarizmi uma classificação de equações lineares e quadráticas é dada. O autor lista 6 tipos de equações, expressando-as da seguinte forma:

1) “Quadrados são iguais a raízes”, ou seja, ax2 = bx.

2) “Quadrados são iguais a número”, ou seja, ax2 = c.

3) "As raízes são iguais ao número", ou seja, ax2 = c.

4) “Quadrados e números são iguais a raízes”, ou seja, ax2 + c = bx.

5) “Quadrados e raízes são iguais ao número”, ou seja, ax2 + bx = c.

6) “Raízes e números são iguais a quadrados”, ou seja, bx + c == ax2.

Para Al-Khwarizmi, que evitou o uso de números negativos, os termos de cada uma dessas equações são adendos, não subtrações. Neste caso, as equações que não possuem soluções positivas obviamente não são levadas em consideração. O autor descreve os métodos para resolver essas equações, usando os métodos de al-jabr e al-muqabala. A decisão dele, é claro, não coincide completamente com a nossa. Para não mencionar o fato de ser puramente retórico, deve-se notar, por exemplo, que ao resolver uma equação quadrática incompleta do primeiro tipo, Al-Khwarizmi, como todos os matemáticos antes do século XVII, não leva em consideração o zero solução, provavelmente porque em tarefas práticas específicas, isso não importa. Ao resolver equações quadráticas completas, Al-Khwarizmi estabelece as regras para resolvê-las usando exemplos numéricos específicos e, em seguida, suas provas geométricas.

Formas para resolver equações quadráticas no modelo de Al-Khwarizmi na Europa foram descritas pela primeira vez no "Livro do Ábaco", escrito em 1202. matemático italiano Leonard Fibonacci. O autor desenvolveu de forma independente alguns novos exemplos algébricos de resolução de problemas e foi o primeiro na Europa a abordar a introdução de números negativos.

Este livro contribuiu para a difusão do conhecimento algébrico não só na Itália, mas também na Alemanha, França e outros países europeus. Muitas tarefas deste livro foram transferidas para quase todos os livros didáticos europeus dos séculos XIV-XVII. A regra geral para resolver equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica x2 + bx = c para todas as combinações possíveis de sinais e coeficientes b, c, foi formulada na Europa em 1544. M. Stiefel.

Vieta tem uma derivação geral da fórmula para resolver uma equação quadrática, mas Vieta reconheceu apenas raízes positivas. matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli entre os primeiros do século XVI. levar em conta, além de raízes positivas e negativas. Somente no século XVII. graças ao trabalho Girard, Descartes, Newton e outros cientistas, a forma de resolver equações quadráticas assume uma forma moderna.

Considere várias maneiras de resolver equações quadráticas.

Maneiras padrão de resolver equações quadráticas do currículo escolar:

1. Fatoração do lado esquerdo da equação.
2. Método de seleção de quadrados completos.
3. Solução de equações quadráticas por fórmula.
4. Solução gráfica de uma equação quadrática.
5. Solução de equações usando o teorema de Vieta.

Detenhamo-nos com mais detalhes na solução de equações quadráticas reduzidas e não reduzidas usando o teorema de Vieta.

Lembre-se de que, para resolver as equações quadráticas acima, basta encontrar dois números tais que o produto seja igual ao termo livre e a soma seja igual ao segundo coeficiente com o sinal oposto.

Exemplo.x 2 -5x+6=0

Você precisa encontrar números cujo produto seja 6 e a soma seja 5. Esses números serão 3 e 2.

Resposta: x 1 =2,x 2 =3.

Mas você pode usar esse método para equações com o primeiro coeficiente diferente de um.

Exemplo.3x 2 +2x-5=0

Pegamos o primeiro coeficiente e o multiplicamos pelo termo livre: x 2 +2x-15=0

As raízes desta equação serão números cujo produto é - 15, e a soma é - 2. Esses números são 5 e 3. Para encontrar as raízes da equação original, dividimos as raízes obtidas pelo primeiro coeficiente.

Resposta: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Solução de equações pelo método de "transferência".

Considere a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0, onde a≠0.

Multiplicando ambas as partes por a, obtemos a equação a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Seja ax = y, de onde x = y/a; então chegamos à equação y 2 + by + ac = 0, que é equivalente à dada. Encontramos suas raízes em 1 e em 2 usando o teorema de Vieta.

Finalmente, obtemos x 1 = y 1 /a e x 2 = y 2 /a.

Com este método, o coeficiente a é multiplicado pelo termo livre, como se fosse "transferido" para ele, por isso é chamado de método de "transferência". Este método é usado quando é fácil encontrar as raízes de uma equação usando o teorema de Vieta e, mais importante, quando o discriminante é um quadrado exato.

Exemplo.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Vamos "transferir" o coeficiente 2 para o termo livre e fazendo a substituição obtemos a equação y 2 - 11y + 30 = 0.

De acordo com o teorema inverso de Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Resposta: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Propriedades dos coeficientes de uma equação quadrática.

Seja a equação quadrática ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Se a + b + c \u003d 0 (ou seja, a soma dos coeficientes da equação é zero), então x 1 \u003d 1.

2. Se a - b + c \u003d 0, ou b \u003d a + c, então x 1 \u003d - 1.

Exemplo.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Como a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), então x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Resposta: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Exemplo.132x 2 + 247x + 115 = 0

Porque a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), depois x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Resposta: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Existem outras propriedades dos coeficientes de uma equação quadrática. mas seu uso é mais complicado.

8. Resolver equações quadráticas usando um nomograma.

Fig 1. Nomograma

Este é um método antigo e atualmente esquecido para resolver equações quadráticas, colocado na página 83 da coleção: Bradis V.M. Tabelas matemáticas de quatro dígitos. - M., Educação, 1990.

Tabela XXII. Nomograma para Resolução de Equações z2 + pz + q = 0. Este nomograma permite, sem resolver a equação quadrática, determinar as raízes da equação pelos seus coeficientes.

A escala curvilínea do nomograma é construída de acordo com as fórmulas (Fig. 1):

Assumindo OS = p, ED = q, OE = a(todos em cm), da Fig. 1 semelhança de triângulos SAN e CDF obtemos a proporção

de onde, após substituições e simplificações, a equação segue z 2 + pz + q = 0, e a carta z significa o rótulo de qualquer ponto na escala curva.

Arroz. 2 Resolvendo uma equação quadrática usando um nomograma

Exemplos.

1) Para a equação z 2 - 9z + 8 = 0 o nomograma dá as raízes z 1 = 8,0 e z 2 = 1,0

Resposta: 8,0; 1,0.

2) Resolva a equação usando o nomograma

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Divida os coeficientes desta equação por 2, obtemos a equação z 2 - 4,5z + 1 = 0.

O nomograma fornece as raízes z 1 = 4 e z 2 = 0,5.

Resposta: 4; 0,5.

9. Método geométrico de resolução de equações quadráticas.

Exemplo.X 2 + 10x = 39.

No original, esse problema é formulado da seguinte forma: "O quadrado e as dez raízes são iguais a 39".

Considere um quadrado com lado x, retângulos são construídos em seus lados para que o outro lado de cada um deles seja 2,5, portanto, a área de cada praia é 2,5x. A figura resultante é então complementada com um novo quadrado ABCD, completando quatro quadrados iguais nos cantos, o lado de cada um deles é 2,5 e a área é 6,25

Arroz. 3 Forma gráfica de resolver a equação x 2 + 10x = 39

A área S do quadrado ABCD pode ser representada como a soma das áreas: o quadrado original x 2, quatro retângulos (4∙2,5x = 10x) e quatro quadrados anexados (6,25∙4 = 25), ou seja, S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Substituindo x 2 + 10x pelo número 39, obtemos S \u003d 39 + 25 \u003d 64, o que implica que o lado do quadrado ABCD, ou seja, segmento AB \u003d 8. Para o lado x desejado do quadrado original, obtemos

10. Solução de equações usando o teorema de Bezout.

Teorema de Bezout. O resto depois de dividir o polinômio P(x) pelo binômio x - α é igual a P(α) (ou seja, o valor de P(x) em x = α).

Se o número α é a raiz do polinômio P(x), então este polinômio é divisível por x -α sem resto.

Exemplo.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Divida P(x) por (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ou x-3=0, x=3; Resposta: x1 =2, x2 =3.

Conclusão: A capacidade de resolver rapidamente e racionalmente equações quadráticas é simplesmente necessária para resolver equações mais complexas, por exemplo, equações racionais fracionárias, equações de potências mais altas, equações biquadráticas e em equações trigonométricas, exponenciais e logarítmicas do ensino médio. Tendo estudado todos os métodos encontrados para resolver equações quadráticas, podemos aconselhar os colegas, além dos métodos padrão, a resolver pelo método de transferência (6) e resolver equações pela propriedade dos coeficientes (7), pois são mais acessíveis para compreensão .

Literatura:

1. Bradis V. M. Tabelas matemáticas de quatro dígitos. - M., Educação, 1990.
2. Álgebra 8ª série: livro didático para 8ª série. Educação geral instituições Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15ª ed., revisada. - M.: Iluminismo, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. História da matemática na escola. Um guia para professores. /Ed. V.N. Mais jovem. - M.: Iluminismo, 1964.

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Ciclo de equações quadráticas de aulas de álgebra na 8ª série de acordo com o livro didático de A.G. Mordkovich

Professor MBOU Grushevskaya escola secundária Kireeva T.A.

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Objetivos: introduzir os conceitos de uma equação quadrática, raiz de uma equação quadrática; mostrar soluções de equações quadráticas; formar a capacidade de resolver equações quadráticas; mostrar uma maneira de resolver equações quadráticas completas usando a fórmula das raízes de uma equação quadrática.

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Um pouco de história Equações quadráticas na antiga Babilônia. A necessidade de resolver equações não só de primeiro, mas também de segundo grau, mesmo na antiguidade, foi ocasionada pela necessidade de resolver problemas relacionados a encontrar as áreas de terra e terraplenagem de natureza militar, bem como o desenvolvimento da astronomia e a própria matemática. Os babilônios sabiam como resolver equações quadráticas cerca de 2.000 anos antes de nossa fé. Aplicando a notação algébrica moderna, pode-se dizer que em seus textos cuneiformes existem, além de incompletos, como, por exemplo, equações quadráticas completas.

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A regra para resolver essas equações, apresentada nos textos babilônicos, coincide com a moderna, mas não se sabe como os babilônios chegaram a essa regra. Quase todos os textos cuneiformes encontrados até agora dão apenas problemas com soluções apresentadas em forma de receitas, sem indicação de como foram encontradas. Apesar do alto nível de desenvolvimento da álgebra na Babilônia, o conceito de número negativo e métodos gerais para resolver equações quadráticas estão ausentes nos textos cuneiformes.

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Definição 1. Uma equação quadrática é uma equação da forma em que os coeficientes a, b, c são quaisquer números reais, e o polinômio é chamado de trinômio quadrado. a é o primeiro ou maior coeficiente c é o segundo coeficiente c é um termo livre

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Definição 2. Uma equação quadrática é dita reduzida se o seu coeficiente principal for igual a 1; uma equação quadrática é chamada não reduzida se o coeficiente principal for diferente de 1. Exemplo. 2 - 5 + 3 = 0 - equação quadrática não reduzida - equação quadrática reduzida

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Definição 3. Uma equação quadrática completa é uma equação quadrática na qual todos os três termos estão presentes. a + in + c \u003d 0 Uma equação quadrática incompleta é uma equação na qual nem todos os três termos estão presentes; é uma equação para a qual pelo menos um dos coeficientes em, c é igual a zero.

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Métodos para resolver equações quadráticas incompletas.

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Resolva as tarefas No. 24.16 (a, b) Resolva a equação: ou Responda. ou Resposta.

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Definição 4 A raiz de uma equação quadrática é qualquer valor da variável x no qual o trinômio quadrado se anula; tal valor da variável x também é chamado de raiz de um trinômio quadrado.Resolver uma equação quadrática significa encontrar todas as suas raízes ou estabelecer que não há raízes.

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O discriminante de uma equação quadrática D 0 D=0 A equação não tem raízes A equação tem duas raízes A equação tem uma raiz Fórmulas para as raízes de uma equação quadrática

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D>0 a equação quadrática tem duas raízes, que são encontradas pelas fórmulas Exemplo. Resolva a equação Solução. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, Resposta: 1; -3

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Algoritmo para resolver uma equação quadrática 1. Calcule o discriminante D usando a fórmula D = 2. Se D 0, então a equação quadrática tem duas raízes.

Programação em Lázaro para escolares.

Lição número 12.

Solução de uma equação quadrática.

Matytsin Igor Vladimirovich

Professor de matemática e informática

MBOU escola secundária com. donzela

Objetivo: escrever um programa para resolver uma equação quadrática, dada qualquer entrada.

Garota 2013.

A equação quadrática é uma das equações mais comuns do curso escolar. Embora seja bastante fácil de resolver, às vezes você precisa verificar as respostas. Você pode usar um programa simples para isso. Não vai demorar muito para escrevê-lo.

Você precisa começar com a própria equação quadrática. Do curso de álgebra, sabemos que uma equação quadrática é uma equação da forma machado 2 + bx + c =0, onde x - variável, uma , b e c são alguns números, e uma .

Pode-se ver a partir da definição que apenas os coeficientes mudam na equação uma , b e c . Estes são os parâmetros que vamos inserir em nosso programa, e para isso vamos criar três campos de entrada dos componentes.

Fig 14.1 Campos de entrada para coeficientes.

Também decorre da definição que uma . Neste caso, a equação não será quadrática. E vamos verificar esta condição em primeiro lugar. Vamos criar um botão "Resolver" e seu manipulador de eventos usando o operador E se verifique a condição uma . E se uma =0 dizemos que nossa equação não é quadrática.Aqui está o manipulador de eventos para o botão:procedimento TForm1.Button1Click(Remetente: TObject); var a,b,c:real; começar a:=strtofloat(edit1.Text); b:=strtofloat(edit2.Text); c:=strtofloat(edit3.Text); se a=0 então Label4.Caption:="A equação não é quadrada";fim;

Arroz. 14.2 Teste para a existência de uma equação.

Agora é necessário descrever o que acontecerá se a equação for quadrática. Isso também estará na mesma declaração E se depois da palavra senão e ao usar o operador composto.

Se a equação for quadrática, então a resolveremos imediatamente usando a fórmula do discriminante e as raízes da equação quadrática.

Encontramos o discriminante pela fórmula: D := b * b – 4* uma * c ;

Se o discriminante for menor que zero, então a equação não tem soluções. Será descrito assim:

Se d então etiqueta 4. Rubrica :='A equação não tem soluções' senão …

E depois senão haverá uma busca direta pelas raízes da equação usando as fórmulas:

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Aqui está o código completo do operador E se :

se a=0 então Label4.Caption:="A equação não é quadrada" senão

começar

D:=b*b-4*a*c;

se d

começar

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Label4.Caption:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2);

fim;

fim;

Arroz. 14.3 A janela de trabalho da equação quadrática do programa.

Equações quadráticas são estudadas na 8ª série, então não há nada complicado aqui. A capacidade de resolvê-los é essencial.

Uma equação quadrática é uma equação da forma ax 2 + bx + c = 0, onde os coeficientes a , b e c são números arbitrários e a ≠ 0.

Antes de estudar métodos específicos de resolução, notamos que todas as equações quadráticas podem ser divididas em três classes:

1. Não têm raízes;
2. Eles têm exatamente uma raiz;
3. Eles têm duas raízes diferentes.

Esta é uma diferença importante entre equações quadráticas e lineares, onde a raiz sempre existe e é única. Como determinar quantas raízes uma equação tem? Há uma coisa maravilhosa para isso - discriminante.

Discriminante

Seja dada a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0. Então o discriminante é simplesmente o número D = b 2 − 4ac .

Esta fórmula deve ser conhecida de cor. De onde vem não é importante agora. Outra coisa é importante: pelo sinal do discriminante, você pode determinar quantas raízes tem uma equação quadrática. Nomeadamente:

1. Se D< 0, корней нет;
2. Se D = 0, há exatamente uma raiz;
3. Se D > 0, haverá duas raízes.

Por favor, note: o discriminante indica o número de raízes, e não seus sinais, como por algum motivo muitas pessoas pensam. Dê uma olhada nos exemplos e você entenderá tudo sozinho:

Uma tarefa. Quantas raízes as equações quadráticas têm:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Escrevemos os coeficientes para a primeira equação e encontramos o discriminante:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Então, o discriminante é positivo, então a equação tem duas raízes diferentes. Analisamos a segunda equação da mesma maneira:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

O discriminante é negativo, não há raízes. A última equação permanece:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

O discriminante é igual a zero - a raiz será um.

Observe que os coeficientes foram escritos para cada equação. Sim, é longo, sim, é tedioso - mas você não vai misturar as probabilidades e não cometer erros estúpidos. Escolha você mesmo: velocidade ou qualidade.

A propósito, se você “encher a mão”, depois de um tempo, não precisará mais escrever todos os coeficientes. Você realizará tais operações em sua cabeça. A maioria das pessoas começa a fazer isso em algum lugar depois que 50-70 equações foram resolvidas - em geral, não muitas.

As raízes de uma equação quadrática

Agora vamos para a solução. Se o discriminante D > 0, as raízes podem ser encontradas usando as fórmulas:

A fórmula básica para as raízes de uma equação quadrática

Quando D = 0, você pode usar qualquer uma dessas fórmulas - você obtém o mesmo número, que será a resposta. Finalmente, se D.< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Primeira equação:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ a equação tem duas raízes. Vamos encontrá-los:

Segunda equação:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ a equação novamente tem duas raízes. Vamos encontrá-los

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(alinhar)\]

Por fim, a terceira equação:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ a equação tem uma raiz. Qualquer fórmula pode ser usada. Por exemplo, o primeiro:

Como você pode ver pelos exemplos, tudo é muito simples. Se você conhece as fórmulas e consegue contar, não haverá problemas. Na maioria das vezes, os erros ocorrem quando os coeficientes negativos são substituídos na fórmula. Aqui, novamente, a técnica descrita acima ajudará: olhe para a fórmula literalmente, pinte cada etapa - e se livre dos erros muito em breve.

Equações quadráticas incompletas

Acontece que a equação quadrática é um pouco diferente do que é dado na definição. Por exemplo:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

É fácil ver que um dos termos está faltando nessas equações. Essas equações quadráticas são ainda mais fáceis de resolver do que as padrão: elas nem precisam calcular o discriminante. Então vamos introduzir um novo conceito:

A equação ax 2 + bx + c = 0 é chamada de equação quadrática incompleta se b = 0 ou c = 0, ou seja. o coeficiente da variável x ou do elemento livre é igual a zero.

Obviamente, um caso muito difícil é possível quando ambos os coeficientes são iguais a zero: b \u003d c \u003d 0. Nesse caso, a equação assume a forma ax 2 \u003d 0. Obviamente, essa equação tem um único raiz: x \u003d 0.

Vamos considerar outros casos. Seja b \u003d 0, então obtemos uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 + c \u003d 0. Vamos transformá-la levemente:

Como a raiz quadrada aritmética existe apenas a partir de um número não negativo, a última igualdade só faz sentido quando (−c / a ) ≥ 0. Conclusão:

1. Se uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 + c = 0 satisfaz a desigualdade (−c / a ) ≥ 0, haverá duas raízes. A fórmula é dada acima;
2. Se (−c/a)< 0, корней нет.

Como você pode ver, o discriminante não era necessário - não há cálculos complexos em equações quadráticas incompletas. Na verdade, nem é preciso lembrar da desigualdade (−c / a ) ≥ 0. Basta expressar o valor de x 2 e ver o que está do outro lado do sinal de igual. Se houver um número positivo, haverá duas raízes. Se negativo, não haverá raízes.

Agora vamos lidar com equações da forma ax 2 + bx = 0, nas quais o elemento livre é igual a zero. Tudo é simples aqui: sempre haverá duas raízes. Basta fatorar o polinômio:

Tirando o fator comum dos colchetes

O produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero. É daí que vêm as raízes. Em conclusão, vamos analisar várias dessas equações:

Uma tarefa. Resolva equações do segundo grau:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Não há raízes, porque o quadrado não pode ser igual a um número negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.