Elementos retangulares. O que é um retângulo? Casos especiais de um retângulo

11.10.2019

Livros

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Retângulo, Vilyunova V.A. O livro "Retângulo" destina-se aos leitores mais pequenos. Com sua ajuda, seu bebê se familiarizará com formas geométricas - um retângulo e um trapézio, aprenderá a distinguir e nomear ...

Definição.

RetânguloÉ um quadrilátero com dois lados opostos iguais e todos os quatro ângulos iguais.

Os retângulos diferem um do outro apenas na proporção do lado comprido para o curto, mas todos os quatro cantos estão certos, ou seja, 90 graus cada.

O lado maior de um retângulo é chamado comprimento do retângulo, e o curto largura do retângulo.

Os lados de um retângulo também são suas alturas.

Propriedades básicas de um retângulo

Um retângulo pode ser um paralelogramo, um quadrado ou um losango.

1. Os lados opostos de um retângulo têm o mesmo comprimento, ou seja, são iguais:

AB=CD, BC=AD

2. Os lados opostos do retângulo são paralelos:

3. Os lados adjacentes de um retângulo são sempre perpendiculares:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Todos os quatro cantos do retângulo são retos:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. A soma dos ângulos de um retângulo é 360 graus:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. As diagonais de um retângulo têm o mesmo comprimento:

7. A soma dos quadrados da diagonal de um retângulo é igual à soma dos quadrados dos lados:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Cada diagonal de um retângulo divide o retângulo em duas figuras idênticas, ou seja, triângulos retângulos.

9. As diagonais do retângulo se cruzam e são divididas ao meio no ponto de interseção:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. O ponto de interseção das diagonais é chamado de centro do retângulo e também é o centro do círculo circunscrito

11. A diagonal de um retângulo é o diâmetro do círculo circunscrito

12. Um círculo sempre pode ser descrito em torno de um retângulo, pois a soma dos ângulos opostos é 180 graus:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Um círculo não pode ser inscrito em um retângulo cujo comprimento não é igual à sua largura, pois as somas dos lados opostos não são iguais entre si (um círculo só pode ser inscrito em um caso especial de retângulo - um quadrado).

Lados de um retângulo

Definição.

Comprimento do retângulo chame o comprimento do par mais longo de seus lados. Largura do retângulo nomeie o comprimento do par mais curto de seus lados.

Fórmulas para determinar os comprimentos dos lados de um retângulo

1. A fórmula para o lado de um retângulo (o comprimento e a largura do retângulo) em termos da diagonal e do outro lado:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. A fórmula para o lado de um retângulo (o comprimento e a largura do retângulo) em termos da área e do outro lado:

b = dcos	β
	2

Retângulo Diagonal

Definição.

Retângulo Diagonal Qualquer segmento conectando dois vértices de vértices opostos de um retângulo é chamado.

Fórmulas para determinar o comprimento da diagonal de um retângulo

1. A fórmula para a diagonal de um retângulo em termos de dois lados do retângulo (através do teorema de Pitágoras):

d = √ a 2 + b 2

2. A fórmula para a diagonal de um retângulo em termos de área e qualquer lado:

4. A fórmula para a diagonal de um retângulo em termos do raio do círculo circunscrito:

d=2R

5. A fórmula para a diagonal de um retângulo em termos do diâmetro do círculo circunscrito:

d = D o

6. A fórmula da diagonal de um retângulo em função do seno do ângulo adjacente à diagonal e o comprimento do lado oposto a esse ângulo:

8. A fórmula para a diagonal de um retângulo em termos do seno ângulo agudo entre as diagonais e a área do retângulo

d = √2S: sinβ

Perímetro de um retângulo

Definição.

O perímetro de um retânguloé a soma dos comprimentos de todos os lados do retângulo.

Fórmulas para determinar o comprimento do perímetro de um retângulo

1. A fórmula para o perímetro de um retângulo em termos de dois lados do retângulo:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. A fórmula para o perímetro de um retângulo em termos de área e qualquer lado:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	uma		b

3. Fórmula para o perímetro de um retângulo em função da diagonal e de qualquer lado:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. A fórmula para o perímetro de um retângulo em termos do raio do círculo circunscrito e qualquer lado:

P = 2(a + √4R 2 - um 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. A fórmula para o perímetro de um retângulo em termos do diâmetro do círculo circunscrito e de qualquer lado:

P = 2(a + √D o 2 - um 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Área retangular

Definição.

Área retangular chamado de espaço limitado pelos lados do retângulo, isto é, dentro do perímetro do retângulo.

Fórmulas para determinar a área de um retângulo

1. A fórmula para a área de um retângulo em termos de dois lados:

S = ab

2. A fórmula para a área de um retângulo através do perímetro e de qualquer lado:

5. A fórmula para a área de um retângulo em termos do raio do círculo circunscrito e qualquer lado:

S = a √4R 2 - um 2= b √4R 2 - b 2

6. A fórmula para a área de um retângulo em termos do diâmetro do círculo circunscrito e de qualquer lado:

S \u003d a √ D o 2 - um 2= b √ D o 2 - b 2

Círculo circunscrito em torno de um retângulo

Definição.

Um círculo circunscrito em torno de um retângulo Um círculo é chamado de círculo que passa por quatro vértices de um retângulo, cujo centro está na interseção das diagonais do retângulo.

Fórmulas para determinar o raio de um círculo circunscrito em torno de um retângulo

1. A fórmula para o raio de um círculo circunscrito em torno de um retângulo por dois lados:

Lição sobre o tema "Retângulo e suas propriedades"

Lições objetivas:

Repita o conceito de retângulo, com base no conhecimento adquirido pelos alunos no curso de matemática de 1º a 6º ano.

Considere as propriedades de um retângulo como um tipo particular de paralelogramo.

Considere uma propriedade particular de um retângulo.

Mostrar a aplicação das propriedades à resolução de problemas.

Durante as aulas.

EU Omomento organizador.

Informar o objetivo da aula, o tema da aula. (slide 1)

IIAprendendo novos materiais.

· Repetir:

1. Que figura é chamada de paralelogramo?

2. Que propriedades tem um paralelogramo? (slide 2)

● Apresente o conceito de retângulo.

Qual paralelogramo pode ser chamado de retângulo?

Definição: Um retângulo é um paralelogramo com todos os ângulos retos.(slide 3)

Então, como um retângulo é um paralelogramo, então ele tem todas as propriedades de um paralelogramo. Como o retângulo tem um nome diferente, ele deve ter sua própria propriedade (slide 4).

● Tarefa do aluno (autoguiada): Explore os lados, ângulos e diagonais de um paralelogramo e um retângulo, registrando os resultados em uma tabela.

	Paralelogramo	Retângulo


Diagonais

Faça uma conclusão: as diagonais do retângulo são iguais.

● Esta saída é uma propriedade privada do retângulo:

Teorema. D diagonais de um retângulo são iguais.(slides 5)

Prova:

1) Considere ∆ACD e ∆ABD:

a) ADC = https://pandia.ru/text/78/059/images/image005_65.jpg" width="120" height="184 src="> a) b) 181">

2. Encontre os lados de um retângulo sabendo que seu perímetro é 24 cm.

1) ACD - retangular, nele CAD \u003d 30 °,

então CD = 0,5AC = 6 cm.

2) AB = CD = 6 cm.

3) Em um retângulo, as diagonais são iguais e o ponto de interseção é dividido ao meio, ou seja, AO \u003d VO \u003d 6 cm.

4) p (aow) \u003d AO + BO + AB \u003d 6 + 6 + 6 \u003d 18 cm.

Resposta: 18 cm.

4 Resumindo a lição.

O retângulo tem as seguintes propriedades:

1. A soma dos ângulos de um retângulo é 360°.

2. Os lados opostos de um retângulo são iguais.

3. As diagonais do retângulo se cruzam e o ponto de interseção é dividido ao meio.

4. A bissetriz de um retângulo corta dele um triângulo isósceles.

5. As diagonais do retângulo são iguais.

V Trabalho de casa.

P. 45, questões 12,13. Nº 000, 401 a), 404 (slide 16)

Em casa, considere o sinal de um retângulo por conta própria.

O retângulo é em primeiro lugar figura plana geométrica. Consiste em quatro pontos, que estão conectados entre si por dois pares de segmentos iguais que se cruzam perpendicularmente apenas nesses pontos.

Um retângulo é definido através de um paralelogramo. Em outras palavras, um retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são todos retos, ou seja, iguais a 90 graus. Na geometria de Euclides, se figura geométrica 3 de 4 ângulos são iguais a 90 graus, então o quarto ângulo é automaticamente igual a 90 graus e tal figura pode ser chamada de retângulo. Da definição de um paralelogramo, fica claro que um retângulo é um conjunto de variedades dessa figura em um plano. Segue-se disso que as propriedades de um paralelogramo também se aplicam a um retângulo. Por exemplo: em um retângulo, os lados opostos são iguais em comprimento. Ao construir uma diagonal em um retângulo, ele dividirá a figura em dois triângulos idênticos. Esta é a base do teorema de Pitágoras, que diz que o quadrado da hipotenusa em triângulo retânguloé igual à soma dos quadrados de seus catetos. Se todos os lados de um retângulo regular são iguais, então esse retângulo é chamado de quadrado. Um quadrado também é definido como um losango, no qual todos os seus lados são iguais entre si e todos os ângulos são retos.

Quadrado retânguloé encontrado pela fórmula: S=a*b, onde a é o comprimento retângulo dado, b – largura. Por exemplo: a área de um retângulo com lados 4 e 6 cm será igual a 4 * 6 = 24 centímetros quadrados.

Perímetro etcoporé calculado pela fórmula: P= (a+b)*2, onde a é o comprimento dos retângulos, b é a largura do dado retângulo. Por exemplo: o perímetro de um retângulo com lados de 4 e 8 cm é 24 cm As diagonais de um retângulo inscrito em um círculo coincidem com o diâmetro desse círculo. O ponto de interseção dessas diagonais será o centro do círculo.

Ao provar o envolvimento de uma figura geométrica em um retângulo, a figura é verificada para qualquer uma das condições: 1 - o quadrado da diagonal figurasé igual à soma dos quadrados dos dois lados de um ponto comum; 2 - diagonais figuras tenho comprimento igual; 3 - todos os ângulos são de 90 graus. Se pelo menos uma condição for atendida, a figura pode ser chamada de retângulo.

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