Característica do gráfico de uma função quadrática. Como construir eixos coordenados corretamente? Traçar uma função quadrática

21.09.2019

Livros

Um conjunto de mesas. Matemática. Gráficos de funções (10 tabelas) , . Álbum educativo de 10 folhas. Função linear. Atribuição gráfica e analítica de funções. Função quadrática. Transformação do gráfico função quadrática. Função y=senx. Função y=cosx.…
A função mais importante da matemática escolar - quadrática - em problemas e soluções, Petrov N.N. A função quadrática é a função principal curso escolar matemática. Não admira. Por um lado, a simplicidade desta função e, por outro, significado profundo. Muitas tarefas da escola...

Em muitos problemas, é necessário calcular o máximo ou valor mínimo função quadrática. O máximo ou mínimo pode ser encontrado se a função original for escrita em forma padrão: ou pelas coordenadas do vértice da parábola: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Além disso, o máximo ou mínimo de qualquer função quadrática pode ser calculado usando operações matemáticas.

Passos

A função quadrática é escrita na forma padrão

Escreva a função na forma padrão. Uma função quadrática é uma função cuja equação inclui uma variável x 2 (\estilo de exibição x^(2)). A equação pode ou não incluir uma variável x (\displaystyle x). Se uma equação inclui uma variável com um expoente maior que 2, ela não descreve uma função quadrática. Se necessário, traga termos semelhantes e reorganize-os para escrever a função na forma padrão.

Por exemplo, dada uma função f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Adicionar termos com uma variável x 2 (\estilo de exibição x^(2)) e membros com uma variável x (\displaystyle x) para escrever a equação na forma padrão:
- f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Os ramos de uma parábola apontam para cima ou para baixo. Se o coeficiente a (\displaystyle a) com uma variável x 2 (\estilo de exibição x^(2)) a (\displaystyle a)
- f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Aqui a = 2 (\displaystyle a=2)
- f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Aqui , então a parábola está apontando para baixo.
- f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Aqui a = 1 (\displaystyle a=1) então a parábola está apontando para cima.
- Se a parábola estiver direcionada para cima, você precisa procurar seu mínimo. Se a parábola estiver apontando para baixo, procure seu máximo.
Calcule -b/2a. Significado − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a)))é a coordenada x (\displaystyle x) topo da parábola. Se a função quadrática for escrita na forma padrão a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), use os coeficientes para x (\displaystyle x) e x 2 (\estilo de exibição x^(2)) Da seguinte maneira:
- Em coeficientes de função a = 1 (\displaystyle a=1) e b = 10 (\displaystyle b=10)
  - x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
  - x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
- Como um segundo exemplo, considere a função . Aqui a = − 3 (\displaystyle a=-3) e b = 6 (\displaystyle b=6). Portanto, calcule a coordenada x do topo da parábola da seguinte forma:
  - x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
  - x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
  - x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
  - x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
  - x = 1 (\displaystyle x=1)
Encontre o valor correspondente de f(x). Substitua o valor encontrado de "x" na função original para encontrar o valor correspondente de f(x). É assim que você encontra o mínimo ou o máximo da função.
- No primeiro exemplo f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) você calculou que a coordenada x do topo da parábola é x = − 5 (\displaystyle x=-5). Na função original, em vez de x (\displaystyle x) substituto − 5 (\displaystyle -5)
  - f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
  - f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
  - f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
  - f (x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
- No segundo exemplo f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) você descobriu que a coordenada x do vértice da parábola é x = 1 (\displaystyle x=1). Na função original, em vez de x (\displaystyle x) substituto 1 (\displaystyle 1) para encontrar seu valor máximo:
  - f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
  - f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
  - f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
  - f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)
Escreva a resposta. Releia a condição do problema. Se você precisar encontrar as coordenadas do vértice da parábola, anote os dois valores em sua resposta x (\displaystyle x) e y (\displaystyle y)(ou f (x) (\displaystyle f(x))). Se você precisar calcular o máximo ou o mínimo de uma função, anote apenas o valor em sua resposta y (\displaystyle y)(ou f (x) (\displaystyle f(x))). Olhe novamente para o sinal do coeficiente a (\displaystyle a) para verificar se você calculou o máximo ou o mínimo.
- No primeiro exemplo f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) significado a (\displaystyle a)é positivo, então você calculou o mínimo. O vértice da parábola está no ponto de coordenadas (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26)), e o valor mínimo da função é − 26 (\displaystyle -26).
- No segundo exemplo f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) significado a (\displaystyle a) negativo, então você encontrou o máximo. O vértice da parábola está no ponto de coordenadas (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), e o valor máximo da função é igual a − 1 (\displaystyle -1).
Determine a direção da parábola. Para fazer isso, observe o sinal do coeficiente a (\displaystyle a). Se o coeficiente a (\displaystyle a) positivo, a parábola é direcionada para cima. Se o coeficiente a (\displaystyle a) negativo, a parábola aponta para baixo. Por exemplo:
- . Aqui a = 2 (\displaystyle a=2), ou seja, o coeficiente é positivo, então a parábola é direcionada para cima.
- . Aqui a = − 3 (\displaystyle a=-3), ou seja, o coeficiente é negativo, então a parábola é direcionada para baixo.
- Se a parábola está apontando para cima, você precisa calcular o valor mínimo da função. Se a parábola estiver direcionada para baixo, é necessário encontrar o valor máximo da função.
Encontre o valor mínimo ou máximo da função. Se a função é escrita em termos das coordenadas do vértice da parábola, o mínimo ou máximo é igual ao valor do coeficiente k (\displaystyle k). Nos exemplos acima:
- f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Aqui k = − 4 (\displaystyle k=-4). Este é o valor mínimo da função porque a parábola está apontando para cima.
- f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Aqui k = 2 (\displaystyle k=2). Este é o valor máximo da função porque a parábola está apontando para baixo.
Encontre as coordenadas do vértice da parábola. Se no problema for necessário encontrar o vértice da parábola, suas coordenadas são (h , k) (\displaystyle (h,k)). Observe que quando uma função quadrática é escrita em termos das coordenadas do vértice da parábola, a operação de subtração deve ser colocada entre colchetes (x − h) (\displaystyle (x-h)), então o valor h (\displaystyle h) tomada com o sinal oposto.
- f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Aqui, a operação de adição (x+1) é colocada entre colchetes, que pode ser reescrita da seguinte forma: (x-(-1)). Por isso, h = − 1 (\displaystyle h=-1). Portanto, as coordenadas do vértice da parábola desta função são (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1,-4)).
- f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Aqui entre parênteses está a expressão (x-2). Conseqüentemente, h = 2 (\displaystyle h=2). As coordenadas do vértice são (2,2).

Como calcular o mínimo ou máximo usando operações matemáticas

Vamos primeiro considerar a forma padrão da equação. Escreva a função quadrática na forma padrão: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Se necessário, traga termos semelhantes e reorganize-os para obter a equação padrão.
- Por exemplo: .
Encontre a primeira derivada. A primeira derivada de uma função quadrática, que é escrita na forma padrão, é igual a f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).
- f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). A primeira derivada desta função é calculada da seguinte forma:
  - f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)
Defina a derivada para zero. Lembre-se de que a derivada de uma função é igual à inclinação da função em um determinado ponto. No mínimo ou máximo inclinação igual a zero. Portanto, para encontrar o valor mínimo ou máximo de uma função, a derivada deve ser igualada a zero. No nosso exemplo.

Lição 15.
Influência dos coeficientesa, b ecom para o local
gráfico de uma função quadrática

Metas: continuar a formação da capacidade de construir um gráfico de uma função quadrática e listar suas propriedades; revelar a influência dos coeficientes uma, b e com sobre a localização do gráfico de uma função quadrática.

Durante as aulas

I. Momento organizacional.

II. trabalho oral.

Determine qual gráfico de função é mostrado na figura:

no = X 2 – 2X – 1;

no = –2X 2 – 8X;

no = X 2 – 4X – 1;

no = 2X 2 + 8X + 7;

no = 2X 2 – 1.

no = X 2 – 2X;

no = –X 2 + 4X + 1;

no = –X 2 – 4X + 1;

no = –X 2 + 4X – 1;

no = –X 2 + 2X – 1.

III. Formação de competências e habilidades.

Exercícios:

1. Nº 127 (a).

Decisão

Em linha reta no = 6X + b toca a parábola no = X 2 + 8, ou seja, tem apenas um ponto em comum com ele no caso em que a equação 6 X + b = X 2 + 8 terá uma solução única.

Esta equação é quadrática, vamos encontrar seu discriminante:

X 2 – 6X + 8 + b = 0;

D 1 = 9 – (8 – b) = 1 + b;

D 1 = 0 se 1 + b= 0, ou seja b= –1.

Responda: b= –1.

3. Revelar a influência dos coeficientes uma, b e com para a localização do gráfico da função no = Oh 2 + bx + com.

Os alunos têm conhecimento suficiente para completar esta tarefa por conta própria. Eles devem ser convidados a anotar todos os achados em um caderno, destacando o papel “principal” de cada um dos coeficientes.

1) Coeficiente uma afeta a direção dos ramos da parábola: quando uma> 0 - os ramos são direcionados para cima, com uma < 0 – вниз.

2) Coeficiente b afeta a localização do vértice da parábola. No b= 0 vértice está no eixo UO.

3) Coeficiente com mostra o ponto de intersecção da parábola com o eixo UO.

Um exemplo pode então ser dado para mostrar o que pode ser dito sobre os coeficientes uma, b e com de acordo com o gráfico da função.

Significado com pode ser chamado com precisão: uma vez que o gráfico cruza o eixo UO no ponto (0; 1), então com = 1.

Coeficiente uma pode ser comparado com zero: como os ramos da parábola são direcionados para baixo, então uma < 0.

sinal de coeficiente b pode ser encontrado a partir da fórmula que determina a abcissa do vértice da parábola: t= , porque uma < 0 и t= 1, então b> 0.

4. Determine qual gráfico de função é mostrado na figura, com base no valor dos coeficientes uma, b e com.

no = –X 2 + 2X;

no = X 2 + 2X + 2;

no = 2X 2 – 3X – 2;

no = X 2 – 2.

Decisão

uma, b e com:

uma> 0, pois os ramos da parábola estão direcionados para cima;

b UO;

com= -2, pois a parábola intercepta o eixo y no ponto (0; -2).

no = 2X 2 – 3X – 2.

no = X 2 – 2X;

no = –2X 2 + X + 3;

no = –3X 2 – X – 1;

no = –2,7X 2 – 2X.

Decisão

De acordo com o gráfico mostrado, tiramos as seguintes conclusões sobre os coeficientes uma, b e com:

uma < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

b≠ 0, pois o vértice da parábola não está no eixo UO;

com= 0, pois a parábola intercepta o eixo UO no ponto (0; 0).

Todas essas condições são satisfeitas apenas pela função no = –2,7X 2 – 2X.

5. Função agendada no = Oh 2 + bx + com uma, b e com:

a) b)

Decisão

a) Os ramos da parábola são direcionados para cima, então uma > 0.

A parábola intercepta o eixo y no semiplano inferior, então com < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b usamos a fórmula para encontrar a abcissa do vértice da parábola: t= . Pode-se ver no gráfico que t < 0, и мы определим, что uma> 0. Portanto b> 0.

b) Da mesma forma, determinamos os sinais dos coeficientes uma, b e com:

uma < 0, com > 0, b< 0.

Estudantes que são fortes em seus estudos também podem receber o nº 247.

Decisão

no = X 2 + px + q.

a) Pelo teorema de Vieta, sabe-se que se X 1 e X 2 - as raízes da equação X 2 +
+ pixels + q= 0 (ou seja, os zeros desta função), então X 1 · X 2 = q e X 1 + X 2 = –R. Nós entendemos isso q= 3 4 = 12 e R = –(3 + 4) = –7.

b) O ponto de intersecção da parábola com o eixo UO dará o valor do parâmetro q, ou seja q= 6. Se o gráfico da função cruzar o eixo OH no ponto (2; 0), então o número 2 é a raiz da equação X 2 + px + q= 0. Substituindo o valor X= 2 nesta equação, obtemos que R = –5.

c) Esta função quadrática atinge seu menor valor no vértice da parábola, portanto , de onde R= -12. Por condição, o valor da função no = X 2 – 12X + q no ponto x= 6 é igual a 24. Substituindo x= 6 e no= 24 pol. esta função, encontramos que q= 60.

4. Trabalho de verificação.

Opção 1

1. Faça um gráfico da função no = 2X 2 + 4X– 6 e encontre usando o gráfico:

a) zeros da função;

b) os intervalos em que no> 0 e y < 0;

G) menor valor funções;

e) o escopo da função.

2. Não plotar uma função no = –X 2 + 4X, encontrar:

a) zeros da função;

c) o escopo da função.

3. Função agendada no = Oh 2 + bx + com determine os sinais dos coeficientes uma, b e com:

opção 2

1. Faça um gráfico da função no = –X 2 + 2X+ 3 e encontre usando o gráfico:

a) zeros da função;

b) os intervalos em que no> 0 e y < 0;

c) intervalos de aumento e diminuição da função;

G) valor mais alto funções;

e) o escopo da função.

2. Não plotar uma função no = 2X 2 + 8X, encontrar:

a) zeros da função;

b) intervalos de aumento e diminuição da função;

c) o escopo da função.

3. Função agendada no = Oh 2 + bx + com determine os sinais dos coeficientes uma, b e com:

V. Os resultados da lição.

Questões

– Descreva o algoritmo para construir uma função quadrática.

– Listar propriedades da função no = Oh 2 + bx + com no uma> 0 e uma < 0.

– Como os coeficientes afetam uma, b e com sobre a localização do gráfico de uma função quadrática?

Trabalho de casa: Nº 127 (b), Nº 128, Nº 248.

Complementar: Nº 130.

Nas aulas de matemática na escola, você já se familiarizou com as propriedades mais simples e o gráfico de uma função y=x2. Vamos expandir nosso conhecimento função quadrática.

Exercício 1.

Plotar uma função y=x2. Escala: 1 = 2 cm. Marque um ponto no eixo Oy F(0; 1/4). Usando uma bússola ou tira de papel, meça a distância do ponto F em algum ponto M parábolas. Em seguida, prenda a tira no ponto M e gire-a em torno desse ponto para que fique na vertical. A extremidade da tira cairá ligeiramente abaixo do eixo x (Figura 1). Marque na tira o quão longe ele vai além do eixo x. Pegue agora outro ponto na parábola e repita a medição novamente. Quanto a borda da tira agora caiu além do eixo x?

Resultado: não importa em que ponto da parábola y \u003d x 2 você tome, a distância deste ponto ao ponto F (0; 1/4) será maior que a distância do mesmo ponto ao eixo x sempre pelo mesmo número - por 1/4.

Pode-se dizer de outra forma: a distância de qualquer ponto da parábola ao ponto (0; 1/4) é igual à distância do mesmo ponto da parábola à reta y = -1/4. Este maravilhoso ponto F(0; 1/4) é chamado foco parábolas y \u003d x 2 e a linha reta y \u003d -1/4 - diretora esta parábola. Cada parábola tem uma diretriz e um foco.

Propriedades interessantes de uma parábola:

1. Qualquer ponto da parábola é equidistante de algum ponto, chamado de foco da parábola, e de alguma linha, chamada de sua diretriz.

2. Se você girar uma parábola em torno do eixo de simetria (por exemplo, uma parábola y \u003d x 2 em torno do eixo Oy), obterá uma superfície muito interessante, chamada de parabolóide de revolução.

A superfície de um líquido em um recipiente giratório tem a forma de um parabolóide de revolução. Você pode ver essa superfície se mexer com força com uma colher em um copo incompleto de chá e depois remover a colher.

3. Se você jogar uma pedra no vazio em um certo ângulo em relação ao horizonte, ela voará ao longo de uma parábola (Figura 2).

4. Se você cruzar a superfície do cone com um plano paralelo a qualquer um de seus geradores, na seção você obterá uma parábola (Fig. 3).

5. Nos parques de diversões, às vezes eles organizam uma atração engraçada chamada Paraboloid of Wonders. Para cada um que está dentro do parabolóide giratório, parece que ele está de pé no chão, e o resto das pessoas, por algum milagre, continua nas paredes.

6. Em telescópios de espelho, também são usados espelhos parabólicos: a luz de uma estrela distante, viajando em um feixe paralelo, caindo no espelho do telescópio, é coletada em foco.

7. Para holofotes, o espelho geralmente é feito na forma de um parabolóide. Se você colocar uma fonte de luz no foco do parabolóide, então os raios, refletidos de espelho parabólico, formam um feixe paralelo.

Traçar uma função quadrática

Nas lições de matemática, você estudou como obter gráficos de funções da forma do gráfico da função y \u003d x 2:

1) y=ax2– expansão do gráfico y = x 2 ao longo do eixo Oy em |a| vezes (para |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, arroz. 4).

2) y=x2+n– deslocamento gráfico por n unidades ao longo do eixo Oy, e se n > 0, então o deslocamento é para cima, e se n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m)2– deslocamento gráfico por m unidades ao longo do eixo Ox: se m< 0, то вправо, а если m >0, depois para a esquerda, (Fig. 5).

4) y=-x2- exibição simétrica em torno do eixo Ox do gráfico y = x 2 .

Vamos nos deter em traçar um gráfico de função com mais detalhes. y = a(x - m) 2 + n.

Uma função quadrática da forma y = ax 2 + bx + c sempre pode ser reduzida à forma

y \u003d a (x - m) 2 + n, onde m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a).

Vamos provar isso.

Sério,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x (b/a) + b 2 /(4a 2) - b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a).

Vamos introduzir uma nova notação.

Deixe ser m = -b/(2a), uma n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),

então obtemos y = a(x - m) 2 + n ou y - n = a(x - m) 2 .

Vamos fazer mais algumas substituições: seja y - n = Y, x - m = X (*).

Então obtemos a função Y = aX 2 , cujo gráfico é uma parábola.

O vértice da parábola está na origem. x=0; Y = 0.

Substituindo as coordenadas do vértice em (*), obtemos as coordenadas do vértice do gráfico y = a(x - m) 2 + n: x = m, y = n.

Assim, para traçar uma função quadrática representada como

y = a(x - m) 2 + n

por transformação, você pode proceder da seguinte forma:

a) construir um gráfico da função y = x 2 ;

b) por translação paralela ao longo do eixo Ox por m unidades e ao longo do eixo Oy por n unidades - transfira o topo da parábola da origem para o ponto com coordenadas (m; n) (Fig. 6).

Transformações de escrita:

y = x 2 → y = (x - m) 2 → y = a(x - m) 2 → y = a(x - m) 2 + n.

Exemplo.

Usando transformações, construa um gráfico da função y = 2(x - 3) 2 no sistema de coordenadas cartesianas – 2.

Decisão.

Cadeia de transformações:

y=x2 (1) → y = (x - 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x - 3) 2 - 2 (4) .

A construção do gráfico é mostrada em arroz. 7.

Você pode praticar a plotagem de função quadrática sozinho. Por exemplo, construa um gráfico da função y = 2(x + 3) 2 + 2 em um sistema de coordenadas usando transformações. Se você tiver alguma dúvida ou quiser obter conselhos de um professor, terá a oportunidade de conduzir aula gratuita de 25 minutos com um tutor online após o registro. Por mais trabalho Com um professor, você pode escolher o plano tarifário que mais lhe convier.

Você tem alguma pergunta? Não sabe como representar graficamente uma função quadrática?
Para obter a ajuda de um tutor - registre-se.
A primeira aula é grátis!

site, com cópia total ou parcial do material, é necessário um link para a fonte.

Característica do gráfico de uma função quadrática. Como construir eixos coordenados corretamente? Traçar uma função quadrática

Leia também

Livros

Passos

A função quadrática é escrita na forma padrão

Como calcular o mínimo ou máximo usando operações matemáticas