A inclinação da tangente ao gráfico da função é positiva. Inclinação Tangente como Inclinação Tangente

Aprenda a derivar funções. A derivada caracteriza a taxa de variação de uma função em um determinado ponto do gráfico dessa função. NO este caso O gráfico pode ser uma linha reta ou uma linha curva. Ou seja, a derivada caracteriza a taxa de variação da função em um determinado ponto no tempo. Lembrar regras gerais para os quais derivativos são obtidos, e só então prossiga para a próxima etapa.

• Leia o artigo.
• Como obter as derivadas mais simples, por exemplo, a derivada equação exponencial, descrito. Os cálculos apresentados nas etapas a seguir serão baseados nos métodos ali descritos.

Aprenda a distinguir entre problemas em que a inclinação precisa ser calculada em termos da derivada de uma função. Nas tarefas, nem sempre é sugerido encontrar a inclinação ou a derivada de uma função. Por exemplo, você pode ser solicitado a encontrar a taxa de variação de uma função no ponto A(x, y). Você também pode ser solicitado a encontrar a inclinação da tangente no ponto A(x, y). Em ambos os casos, é necessário obter a derivada da função.

Em matemática, um dos parâmetros que descrevem a posição de uma linha reta no plano de coordenadas cartesianas é a inclinação dessa linha reta. Este parâmetro caracteriza a inclinação da linha reta para o eixo x. Para entender como encontrar a inclinação, primeiro lembre-se da forma geral da equação de uma linha reta no sistema de coordenadas XY.

NO visão geral qualquer linha pode ser representada pela expressão ax+by=c, onde a, b e c são números reais arbitrários, mas necessariamente a 2 + b 2 ≠ 0.

Com a ajuda de transformações simples, tal equação pode ser trazida para a forma y=kx+d, na qual ke d são números reais. O número k é uma inclinação, e a equação de uma linha reta desse tipo é chamada de equação com inclinação. Acontece que para encontrar a inclinação, você só precisa trazer a equação original para a forma acima. Para uma melhor compreensão, considere um exemplo específico:

Tarefa: Encontre a inclinação da linha dada pela equação 36x - 18y = 108

Solução: Vamos transformar a equação original.

Resposta: A inclinação desejada desta linha é 2.

Se, durante a transformação da equação, obtivermos uma expressão do tipo x = const e como resultado não pudermos representar y em função de x, trata-se de uma reta paralela ao eixo X. A inclinação de tal linha reta é igual ao infinito.

Para linhas expressas por uma equação como y = const, a inclinação é zero. Isso é típico para linhas retas paralelas ao eixo x. Por exemplo:

Tarefa: Encontre a inclinação da linha dada pela equação 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Solução: Trazemos a equação original para uma forma geral

24x + 12a - 12a + 28 = 4

É impossível expressar y a partir da expressão resultante, portanto, a inclinação dessa linha é igual ao infinito e a própria linha será paralela ao eixo Y.

sentido geométrico

Para entender melhor, vejamos a imagem:

Na figura, vemos um gráfico de uma função do tipo y = kx. Para simplificar, tomamos o coeficiente c = 0. No triângulo OAB, a razão entre o lado BA e AO será igual à inclinação k. Ao mesmo tempo, a razão VA/AO é a tangente ângulo agudoα em triângulo retângulo OAV. Acontece que a inclinação de uma linha reta é igual à tangente do ângulo que essa linha reta faz com o eixo x da grade de coordenadas.

Resolvendo o problema de como encontrar a inclinação de uma linha reta, encontramos a tangente do ângulo entre ela e o eixo x da grade de coordenadas. Os casos de contorno, quando a linha considerada é paralela aos eixos coordenados, confirmam o acima. De fato, para uma linha reta descrita pela equação y=const, o ângulo entre ela e o eixo x é igual a zero. A tangente do ângulo zero também é zero e a inclinação também é zero.

Para linhas retas perpendiculares ao eixo x e descritas pela equação x=const, o ângulo entre elas e o eixo x é de 90 graus. Tangente ângulo certoé igual ao infinito, e a inclinação de retas semelhantes é igual ao infinito, o que confirma o que foi escrito acima.

Inclinação Tangente

Uma tarefa comum, frequentemente encontrada na prática, é também encontrar a inclinação da tangente ao gráfico da função em algum ponto. A tangente é uma linha reta, portanto, o conceito de inclinação também se aplica a ela.

Para descobrir como encontrar a inclinação de uma tangente, precisaremos relembrar o conceito de derivada. A derivada de qualquer função em algum ponto é uma constante, numericamente igual a tangente o ângulo que se forma entre a tangente no ponto especificado ao gráfico desta função e o eixo das abcissas. Acontece que, para determinar a inclinação da tangente no ponto x 0, precisamos calcular o valor da derivada da função original neste ponto k \u003d f "(x 0). Vamos considerar um exemplo:

Tarefa: Encontre a inclinação da reta tangente à função y = 12x 2 + 2xe x em x = 0,1.

Solução: Encontre a derivada da função original na forma geral

y "(0,1) = 24 . 0,1 + 2 . 0,1 . e 0,1 + 2 . e 0,1

Resposta: A inclinação desejada no ponto x \u003d 0,1 é 4,831

O tópico "O coeficiente angular da tangente como a tangente do ângulo de inclinação" no exame de certificação recebe várias tarefas ao mesmo tempo. Dependendo de sua condição, o graduado pode ser obrigado a fornecer uma resposta completa e uma resposta curta. Em preparação para passando no exame em matemática, o aluno deve definitivamente repetir as tarefas em que é necessário calcular a inclinação da tangente.

Fazer isso vai te ajudar portal educacional"Shkolkovo". Nossos especialistas prepararam e apresentaram as bases teóricas e material prático máximo disponível. Tendo se familiarizado com ele, graduados com qualquer nível de treinamento serão capazes de resolver com sucesso problemas relacionados a derivadas, nos quais é necessário encontrar a tangente da inclinação da tangente.

Momentos básicos

Para encontrar o correto e decisão racional tarefas semelhantes no exame devem ser lembradas definição básica: a derivada é a taxa de variação da função; é igual à tangente da inclinação da tangente traçada ao gráfico da função em um determinado ponto. É igualmente importante completar o desenho. Ele permitirá que você encontre a decisão certa USE tarefasà derivada, na qual é necessário calcular a tangente da inclinação da tangente. Para maior clareza, é melhor traçar um gráfico no plano OXY.

Se você já se familiarizou com o material básico sobre o tema da derivada e está pronto para começar a resolver problemas para calcular a tangente do ângulo de inclinação de uma tangente, semelhante a USE atribuições você pode fazê-lo online. Para cada tarefa, por exemplo, tarefas no tópico "Relação da derivada com a velocidade e aceleração do corpo", anotamos a resposta correta e o algoritmo de solução. Neste caso, os alunos podem praticar a execução de tarefas de vários níveis de complexidade. Se necessário, o exercício pode ser salvo na seção "Favoritos", para que posteriormente você possa discutir a decisão com o professor.

Você vai precisar

• - livro de referência matemática;
• - caderno;
• - um lápis simples;
• - uma caneta;
• - transferidor;
• - circular.

Instrução

Observe que o gráfico da função diferenciável f(x) no ponto x0 não difere do segmento tangente. Portanto, está próximo o suficiente do segmento l que passa pelos pontos (х0; f(х0)) e (х0+Δx; f(x0 + Δx)). Para especificar uma linha reta passando pelo ponto A com coeficientes (x0; f(x0)), especifique sua inclinação. Ao mesmo tempo, é igual a Δy/Δx da tangente secante (Δх→0), e também tende ao número f'(x0).

Se não houver valores f'(x0), então não há tangente, ou corre verticalmente. Com base nisso, a derivada da função no ponto x0 é explicada pela existência de uma tangente não vertical que está em contato com o gráfico da função no ponto (x0, f(x0)). Neste caso, a inclinação da tangente é igual a f "(x0). A derivada geométrica fica clara, ou seja, a inclinação da tangente.

Ou seja, para encontrar a inclinação da tangente, você precisa encontrar o valor da derivada da função no ponto de contato. Exemplo: encontre a inclinação da tangente à função y \u003d x³ no ponto com a abcissa X0 \u003d 1. Solução: Encontre a derivada desta função y΄ (x) \u003d 3x2; encontre o valor da derivada no ponto X0 = 1. y΄(1) = 3 × 1² = 3. A inclinação da tangente no ponto X0 = 3.

Desenhe tangentes adicionais na figura para que fiquem em contato com o gráfico da função nos pontos: x1, x2 e x3. Marque os ângulos que são formados por essas tangentes com o eixo das abcissas (o ângulo é medido na direção positiva - do eixo à linha tangente). Por exemplo, o ângulo α1 será agudo, enquanto (α2) será obtuso, e o terceiro (α3) será igual a zero, pois a linha tangente traçada é paralela ao eixo OX. Neste caso, a tangente ângulo obtusoé um valor negativo, e a tangente de um ângulo agudo é positiva, em tg0 e o resultado é zero.

Uma tangente a um círculo dado é uma linha reta que tem apenas uma ponto comum com este círculo. A tangente a um círculo é sempre perpendicular ao seu raio traçado ao ponto de contato. Se duas tangentes são traçadas a partir do mesmo ponto, então pertencente ao círculo, as distâncias deste ponto aos pontos de toque serão sempre as mesmas. Tangentes para círculos estão sendo construídos jeitos diferentes dependendo de sua localização em relação ao outro.

Instrução

Construção de uma tangente a um círculo.
1. Constroi-se um círculo de raio R e toma-se A, pelo qual passará a tangente.
2. Um círculo é construído com o centro no meio do segmento OA e raios iguais a este segmento.
3. Interseções de dois pontos tangentes desenhados através do ponto A a um círculo dado.

Tangente externa a dois círculos.

2. Um círculo é desenhado com raio R - r centrado no ponto O.
3. Uma tangente de O1 é desenhada para o círculo resultante, o ponto tangente é indicado por M.
4. O raio R passando pelo ponto M até o ponto T - o ponto tangente do círculo.
5. Um raio r é desenhado através do centro O1 do pequeno círculo paralelo a R do grande círculo. O raio r aponta para o ponto T1, o ponto tangente do pequeno círculo.
círculos.

Tangente interna a dois círculos.
1. São construídos dois círculos de raio R e r.
2. Desenhe um círculo com raio R + r centrado no ponto O.
3. Uma tangente é desenhada para o círculo resultante do ponto O1, o ponto tangente é indicado pela letra M.
4. O raio OM intercepta o primeiro círculo no ponto T - no ponto de contato do círculo maior.
5. Um raio r é desenhado através do centro O1 do pequeno círculo paralelo ao raio OM. O raio r aponta para o ponto T1, o ponto tangente do pequeno círculo.
6. Reta TT1 - tangente ao dado círculos.

Fontes:

• tangente interna

Angular armário – opção perfeita para cantos vazios no apartamento. Além disso, a configuração do ângulo armário ov dá ao interior uma atmosfera clássica. Como acabamento de canto armário ov qualquer material adequado para esta finalidade pode ser usado.

Você vai precisar

• Chapa de fibra, MDF, parafusos, pregos, lâmina de serra, friso.

Instrução

Corte um gabarito de compensado ou painel de fibra com 125 mm de largura e 1065 mm de comprimento. As bordas devem ser cortadas em um ângulo de 45 graus. Por modelo pronto determinar as dimensões das paredes laterais, bem como o local onde será localizado armário.

Conecte a tampa às paredes laterais e às prateleiras triangulares. A tampa deve ser fixada nas bordas superiores das paredes laterais com parafusos. Para resistência estrutural, a cola é usada adicionalmente. Fixe as prateleiras nas tábuas.

Incline a lâmina de serra em um ângulo de 45 graus e chanfre a borda de ataque das paredes laterais ao longo da barra guia. Fixe as prateleiras fixas às tábuas de MDF. Conectar paredes laterais com parafusos. Certifique-se de que não há lacunas.

Faça marcas na parede, entre as quais coloque a moldura do canto armário uma. Fixe com parafusos armário para Muralha. O comprimento da cavilha deve ser de 75 mm.

De todo placas de MDF corte a moldura frontal. Usando Serra circular corte aberturas nele usando uma régua. Finalize os cantos.

Encontre o valor da abcissa do ponto de contato, que é indicado pela letra "a". Se coincidir com o ponto tangente dado, então "a" será sua coordenada x. Determine o valor funções f(a), substituindo na equação funções o tamanho da abcissa.

Determine a primeira derivada da equação funções f'(x) e substitua o valor do ponto "a" nele.

Pegue a equação geral da tangente, que é definida como y \u003d f (a) \u003d f (a) (x - a), e substitua os valores encontrados de a, f (a), f "( a) nele, como resultado, a solução do gráfico será encontrada e tangente.

Resolva o problema de uma maneira diferente se o ponto tangente dado não coincidir com o ponto tangente. Neste caso, é necessário substituir "a" em vez de números na equação tangente. Depois disso, em vez das letras "x" e "y", substitua o valor das coordenadas dado ponto. Resolva a equação resultante em que "a" é a incógnita. Coloque o valor resultante na equação tangente.

Escreva uma equação para uma tangente com a letra "a", se a equação for dada na condição do problema funções e a equação de uma reta paralela em relação à tangente desejada. Depois disso, você precisa de um derivado funçõesà coordenada no ponto "a". Insira o valor apropriado na equação da tangente e resolva a função.

Ao compilar a equação de uma tangente ao gráfico de uma função, o conceito de "abcissa do ponto tangente" é usado. Este valor pode ser definido inicialmente nas condições do problema, ou deve ser determinado independentemente.

Instrução

Desenhe os eixos coordenados xey em uma folha de papel. Explorar dada equação para o gráfico da função. Se for , então dois valores para o parâmetro y são suficientes para qualquer x, então trace os pontos encontrados no eixo de coordenadas e conecte-os com uma linha. Se o gráfico não for linear, faça uma tabela da dependência de y em x e selecione pelo menos cinco pontos para plotagem.

Determine o valor da abcissa do ponto tangente para o caso em que o ponto tangente especificado não coincide com o gráfico da função. Definimos o terceiro parâmetro com a letra "a".

Escreva a equação da função f(a). Para fazer isso, substitua a em vez de x na equação original. Encontre a derivada da função f(x) ef(a). Substitua os dados necessários na equação tangente geral, que se parece com: y \u003d f (a) + f "(a) (x - a). Como resultado, obtenha uma equação que consiste em três parâmetros desconhecidos.

Substitua nele em vez de x e y as coordenadas do ponto dado pelo qual a tangente passa. Em seguida, encontre a solução da equação resultante para todo a. Se for quadrado, haverá dois valores da abcissa do ponto de contato. Isto é que a tangente passa duas vezes perto do gráfico da função.

desenhe um gráfico determinada função e , que são dados pela condição do problema. Nesse caso, também é necessário definir um parâmetro desconhecido a e substituí-lo na equação f(a). Equacione a derivada f(a) com a derivada da equação da linha paralela. Isso deixa a condição de paralelismo de dois. Encontre as raízes da equação resultante, que serão as abcissas do ponto de contato.

A linha y \u003d f (x) será tangente ao gráfico mostrado na figura no ponto x0 se passar pelo ponto com coordenadas (x0; f (x0)) e tiver uma inclinação f "(x0). Encontre tal coeficiente, conhecendo as características da tangente, não é difícil.

Você vai precisar

• - livro de referência matemática;
• - um lápis simples;
• - caderno;
• - transferidor;
• - bússola;
• - uma caneta.

Instrução

Se o valor f'(x0) não existir, então ou não há tangente ou passa verticalmente. Diante disso, a presença da derivada da função no ponto x0 se deve à existência de uma tangente não vertical que está em contato com o gráfico da função no ponto (x0, f(x0)). Neste caso, a inclinação da tangente será igual a f "(x0). Assim, fica claro sentido geométrico derivada - cálculo da inclinação da tangente.

Defina um comum. Esse tipo de informação pode ser obtido consultando os dados do censo populacional. Para determinar as taxas totais de nascimento, morte, casamento e divórcio, você precisa encontrar o produto população total e período de cobrança. Escreva o número resultante no denominador.

Coloque no numerador um indicador correspondente ao relativo desejado. Por exemplo, se você tiver que determinar a taxa de fecundidade total, então no lugar do numerador deve haver um número que reflita total nascidos no período de seu interesse. Se o seu objetivo é a taxa de mortalidade ou a taxa de casamento, coloque o número de mortes no lugar do numerador. período de pagamento ou o número de pessoas casadas, respectivamente.

Multiplique o número resultante por 1000. Este será o coeficiente geral que você está procurando. Se você se deparar com a tarefa de encontrar a taxa de crescimento total, subtraia a taxa de mortalidade da taxa de natalidade.

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Fontes:

• Probabilidades gerais movimento natural população

O principal indicador de eficiência de extração é coeficiente distribuição. É calculado de acordo com a fórmula: Co/Sw, onde Co é a concentração da substância extraída no solvente orgânico (extrator), e Sw é a concentração da mesma substância na água após o equilíbrio ter sido alcançado. Como pode empiricamente encontrar o coeficiente de distribuição?

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