Como são os ângulos agudos e obtusos? O conceito e os tipos de ângulos

Um ângulo é uma figura geométrica, que consiste em dois raios diferentes que emanam de um ponto. NO este caso, esses raios são chamados lados do ângulo. O ponto que é o início dos raios é chamado de vértice do ângulo. Na imagem você pode ver o canto com o vértice no ponto O, e as partes k e m.

Nas laterais do canto estão marcados os pontos A e C. Este canto pode ser designado como o ângulo AOC. No meio deve estar o nome do ponto no qual o vértice do canto está localizado. Existem também outras designações, o ângulo O ou o ângulo km. Na geometria, em vez da palavra ângulo, geralmente é escrito um ícone especial.

Ângulo revolvido e não revolvido

Se ambos os lados de um ângulo estão na mesma linha reta, então esse ângulo é chamado implantadoângulo. Ou seja, um lado do canto é uma continuação do outro lado do canto. A figura abaixo mostra o ângulo O.

Deve-se notar que qualquer ângulo divide o plano em duas partes. Se o canto não for expandido, uma das partes é chamada de região interna do canto e a outra é a região externa desse canto. A figura abaixo mostra um canto não achatado e marcou as áreas externa e interna desse canto.

No caso de um ângulo desenvolvido, qualquer uma das duas partes em que divide o plano pode ser considerada a região externa do ângulo. Podemos falar sobre a posição de um ponto em relação a um ângulo. O ponto pode estar fora do canto (na região externa), pode estar em um de seus lados, ou pode estar dentro do canto (na região interna).

Na figura abaixo, o ponto A está fora do canto O, o ponto B está em um lado do canto e o ponto C está dentro do canto.

Medição de ângulo

Para medir ângulos, existe um dispositivo chamado transferidor. A unidade de ângulo é grau. Deve-se notar que cada ângulo tem uma medida de certo grau, que é maior que zero.

Dependendo da medida de grau, os ângulos são divididos em vários grupos.

Este artigo irá considerar uma das principais formas geométricas - o ângulo. Depois de uma introdução geral a este conceito, vamos nos concentrar em espécies separadas tal figura. O ângulo reto é um conceito importante em geometria e será o foco deste artigo.

Introdução ao conceito de ângulo geométrico

Na geometria, há uma série de objetos que formam a base de toda a ciência. O ângulo apenas se refere a eles e é determinado usando o conceito de raio, então vamos começar com ele.

Além disso, antes de prosseguir para a definição do ângulo em si, você precisa se lembrar de vários objetos igualmente importantes na geometria - este é um ponto, uma linha reta em um plano e o próprio plano. Uma linha reta é a figura geométrica mais simples, que não tem começo nem fim. Um plano é uma superfície que tem duas dimensões. Bem, um raio (ou uma meia linha) em geometria é uma parte de uma linha reta que tem começo, mas não tem fim.

Usando esses conceitos, podemos afirmar que um ângulo é uma figura geométrica que se encontra completamente em um determinado plano e consiste em dois raios incompatíveis com uma origem comum. Tais raios são chamados os lados do ângulo, e o início comum dos lados é o seu vértice.

Tipos de ângulos e geometria

Sabemos que os ângulos podem ser bem diferentes. E, portanto, será dada a seguir uma pequena classificação, que ajudará a entender melhor os tipos de ângulos e suas principais características. Portanto, existem vários tipos de ângulos na geometria:

1. Ângulo certo. É caracterizada por um valor de 90 graus, o que significa que seus lados são sempre perpendiculares entre si.
2. Canto afiado. Esses ângulos incluem todos os seus representantes, com tamanho inferior a 90 graus.
3. Ângulo obtuso. Todos os ângulos com um valor de 90 a 180 graus também podem estar aqui.
4. Canto expandido. Tem um tamanho de estritamente 180 graus e externamente seus lados formam uma linha reta.

O conceito de um ângulo reto

Agora vamos ver o ângulo desenvolvido com mais detalhes. Este é o caso quando ambos os lados estão na mesma linha reta, o que pode ser visto claramente na figura abaixo. Isso significa que podemos dizer com confiança que um de seus lados é, de fato, uma continuação do outro.

Vale lembrar que tal ângulo sempre pode ser dividido por meio de um raio que sai de seu vértice. Como resultado, obtemos dois ângulos, que em geometria são chamados de adjacentes.

Além disso, o ângulo desenvolvido possui vários recursos. Para falar sobre o primeiro deles, você precisa se lembrar do conceito de "medida do ângulo". Lembre-se de que este é um raio que divide qualquer ângulo estritamente pela metade. Quanto ao ângulo reto, sua bissetriz o divide de tal forma que dois ângulos retos de 90 graus são formados. Isso é muito fácil de calcular matematicamente: 180˚ (grau de um ângulo reto): 2 = 90˚.

Se dividirmos o ângulo desenvolvido por um raio completamente arbitrário, como resultado, sempre obteremos dois ângulos, um dos quais será agudo e o outro obtuso.

Propriedades de canto plano

Será conveniente considerar esse ângulo, reunindo todas as suas principais propriedades, o que fizemos nesta lista:

1. Os lados de um ângulo reto são antiparalelos e formam uma linha reta.
2. O valor do ângulo desenvolvido é sempre 180˚.
3. Dois ângulos adjacentes juntos sempre formam um ângulo reto.
4. O ângulo completo, que é de 360˚, consiste em dois desdobrados e é igual à soma deles.
5. Metade de um ângulo reto é um ângulo reto.

Assim, conhecendo todas essas características desse tipo de ângulo, podemos usá-las para resolver uma série de problemas geométricos.

Problemas com cantos retos

Para entender se você domina o conceito de ângulo reto, tente responder a algumas das seguintes perguntas.

1. O que é um ângulo reto se seus lados formam uma linha vertical?
2. Dois ângulos serão adjacentes se o módulo do primeiro for 72° e o outro for 118°?
3. Se um ângulo completo consiste em dois ângulos retos, quantos ângulos retos ele tem?
4. Um ângulo reto é dividido por um feixe em dois ângulos que suas medidas de grau estão relacionadas como 1:4. Calcule os ângulos obtidos.

Soluções e respostas:

1. Não importa como o ângulo reto esteja localizado, ele é sempre, por definição, igual a 180˚.
2. Os cantos adjacentes têm um lado comum. Portanto, para calcular o tamanho do ângulo que eles formam, basta somar o valor de suas medidas de grau. Então, 72 +118 = 190. Mas, por definição, um ângulo reto é 180˚, o que significa que dois ângulos dados não podem ser adjacentes.
3. Um ângulo reto contém dois ângulos retos. E como há dois implantados no completo, significa que haverá 4 linhas retas nele.
4. Se chamarmos os ângulos desejados de a e b, então seja x o coeficiente de proporcionalidade para eles, o que significa que a \u003d x e, portanto, b \u003d 4x. Um ângulo reto em graus é 180˚. E de acordo com suas propriedades, que a medida em graus de um ângulo é sempre igual à soma das medidas em graus dos ângulos em que é dividido por qualquer raio arbitrário que passa entre seus lados, podemos concluir que x + 4x = 180 ˚, o que significa 5x = 180˚. A partir daqui encontramos: x=a=36˚ eb = 4x = 144˚. Resposta: 36˚ e 144˚.

Se você conseguiu responder a todas essas perguntas sem avisos e sem espiar as respostas, então você está pronto para passar para a próxima lição de geometria.

O que é um ângulo?

Um ângulo é uma figura formada por dois raios saindo de um ponto (Fig. 160).
Os raios que formam injeção, são chamados de lados do ângulo, e o ponto de onde eles saem é chamado de vértice do ângulo.
Na Figura 160, os lados do ângulo são os raios OA e OB, e seu vértice é o ponto O. Este ângulo é assim designado: AOB.

Ao escrever um ângulo no meio, escreva uma letra denotando seu vértice. Um ângulo também pode ser denotado por uma única letra - o nome de seu vértice.

Por exemplo, em vez de "ângulo AOB", eles escrevem mais curto: "ângulo O".

Em vez da palavra "canto", eles escrevem um sinal.

Por exemplo, AOB, O.

Na figura 161, os pontos C e D estão dentro do ângulo AOB, os pontos X e Y estão fora desse ângulo e pontos M e H - nas laterais do canto.

Como todos figuras geométricas, os ângulos são comparados usando sobreposição.

Se um ângulo pode ser sobreposto a outro para que coincidam, então esses ângulos são iguais.

Por exemplo, na Figura 162 ABC = MNK.

Do topo do ângulo SOK (Fig. 163) uma viga OR foi desenhada. Ele divide o ângulo SOC em dois ângulos - COP e ROCK. Cada um desses ângulos é menor que o ângulo ROC.

Escrito por: COP< COK и POK < COK.

Reto e angular

Dois complementares entre si feixe formar um canto dobrado. Os lados desse ângulo juntos formam uma linha reta na qual se encontra o topo do ângulo expandido (Fig. 164).

Os ponteiros das horas e minutos do relógio formam um ângulo desenvolvido às 6 horas (Fig. 165).

Vamos dobrar um pedaço de papel ao meio duas vezes e depois desdobrá-lo (Fig. 166).

As linhas de dobra formam 4 ângulos iguais. Cada um desses ângulos é igual à metade do ângulo reto. Esses ângulos são chamados de ângulos retos.

Um ângulo reto é metade de um ângulo reto.

desenho de triângulo

Para construção ângulo certo usar desenho triângulo(Fig. 167). Para construir um ângulo reto, um dos lados do qual é o raio OL, é necessário:

a) disponha o triângulo desenhado de modo que o vértice de seu ângulo reto coincida com o ponto O, e um dos lados siga ao longo do raio OA;

b) desenhe um raio OB ao longo do segundo lado do triângulo.

Como resultado, obtemos um ângulo reto AOB.

Perguntas ao tópico

1.O que é um ângulo?
2. Que ângulo é chamado de desdobrado?
3. Que ângulos são chamados iguais?
4. Que ângulo é chamado de reto?
5. Como se constrói um ângulo reto usando um triângulo desenhado?

Já sabemos que qualquer ângulo divide o plano em duas partes. Mas, se em um ângulo ambos os lados estiverem na mesma linha reta, esse ângulo é chamado de desdobrado. Ou seja, em um ângulo desenvolvido, um lado dele é uma continuação do outro lado do ângulo.

Agora vamos olhar para a figura, que mostra apenas o ângulo desenvolvido O.

Se pegarmos e desenharmos um raio do vértice de um ângulo reto, ele dividirá esse ângulo reto em mais dois ângulos, que terão um lado comum, e os outros dois ângulos formarão uma linha reta. Ou seja, de um canto desdobrado, temos dois adjacentes.

Se pegarmos um ângulo reto e desenharmos uma bissetriz, essa bissetriz dividirá o ângulo reto em dois ângulos retos.

E, no caso de desenharmos um raio arbitrário do vértice do ângulo desenvolvido, que não é uma bissetriz, esse raio dividirá o ângulo expandido em dois ângulos, um dos quais será agudo e o outro obtuso.

Propriedades de canto plano

O ângulo expandido tem as seguintes propriedades:

Primeiro, os lados de um ângulo reto são antiparalelos e formam uma linha reta;
em segundo lugar, o ângulo desenvolvido é de 180°;
em terceiro lugar, dois ângulos adjacentes formam um ângulo reto;
em quarto lugar, o ângulo desenvolvido é metade ângulo completo;
em quinto lugar, o ângulo total será igual à soma de dois ângulos desenvolvidos;
sexto, metade do ângulo reto é um ângulo reto.

Medição de ângulo

Para medir qualquer ângulo, um transferidor é mais frequentemente usado para esses fins, em que a unidade de medida é um grau. Ao medir ângulos, deve-se lembrar que qualquer ângulo tem sua própria medida de grau específica e, naturalmente, essa medida é maior que zero. E o ângulo desenvolvido, como já sabemos, é igual a 180 graus.

Ou seja, se pegarmos qualquer plano de um círculo e dividi-lo por raios por 360 partes iguais, então 1/360 deste círculo será um grau angular. Como você já sabe, um grau é indicado por um determinado ícone, que se parece com isso: "°".

Agora também sabemos que um grau 1° = 1/360 de um círculo. Se o ângulo for igual ao plano do círculo e for 360 graus, esse ângulo estará completo.

E agora pegamos e dividimos o plano do círculo com a ajuda de dois raios situados em uma linha reta em duas partes iguais. Então, neste caso, o plano do semicírculo será metade do ângulo completo, ou seja, 360: 2 = 180 °. Recebemos um ângulo que é igual ao semiplano do círculo e tem 180°. Este é o ângulo torcido.

Tarefa prática

1613. Dê um nome aos ângulos mostrados na Figura 168. Anote suas designações.

1614. Desenhe quatro raios: OA, OB, OS e OD. Escreva os nomes dos seis ângulos cujos lados são esses raios. Em quantas partes esses raios se dividem plano?

1615. Indique quais pontos na Figura 169 estão dentro do ângulo KOM Quais pontos estão fora desse ângulo? Quais pontos estão do lado OK e quais estão do lado OM?

1616. Desenhe um ângulo MOD e desenhe um raio OT dentro dele. Nomeie e rotule os ângulos em que este raio divide o ângulo MOD.

1617. O ponteiro dos minutos em 10 minutos virou para o ângulo AOB, nos próximos 10 minutos - para o ângulo BOC, e em outros 15 minutos - para o ângulo COD. Compare os ângulos AOB e BOC, BOC e COD, AOC e AOB, AOC e COD (Fig. 170).

1618. Use o triângulo de desenho para desenhar 4 ângulos retos em diferentes posições.

1619. Usando o triângulo desenhado, encontre os ângulos retos na figura 171. Anote suas designações.

1620. Mostre os ângulos retos na sala de aula.

a) 0,09 200; b) 208 0,4; c) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. Quantos por cento de 400 é o número 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. Encontre o número que falta:

a) 2 5 3 b) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Desenhe um quadrado cujo lado é igual ao comprimento de 10 células do caderno. Deixe este quadrado representar um campo. O centeio ocupa 12% do campo, a aveia - 8%, o trigo - 64%, e o restante do campo é ocupado pelo trigo sarraceno. Mostre na imagem a parte do campo ocupada por cada cultura. Que porcentagem do campo é trigo mourisco?

1632. Durante o ano letivo, Petya consumiu 40% dos cadernos comprados no início do ano, restando 30 cadernos. Quantos cadernos foram comprados para Petya no início do ano letivo?

1633. O bronze é uma liga de estanho e cobre. Que porcentagem da liga é cobre em uma peça de bronze, consistindo de 6 kg de estanho e 34 kg de cobre?

1634. O farol de Alexandria, construído na antiguidade, que foi chamado de uma das sete maravilhas do mundo, é 1,7 vezes mais alto que as torres do Kremlin de Moscou, mas mais baixo que o prédio da Universidade de Moscou em 119 m. Encontre a altura de cada uma dessas estruturas se as torres do Kremlin de Moscou estão 49 m abaixo do Farol de Alexandria.

1635. Encontre com a ajuda de uma microcalculadora:

a) 4,5% de 168; c) 28,3% de 569,8;
b) 147,6% de 2.500; d) 0,09% de 456.800.

1636. Resolva o problema:

1) A área do jardim é de 6,4 a. No primeiro dia, 30% da horta foi desenterrada e, no segundo dia, 35% da horta. Quantos ares faltam para cavar?

2) Serezha teve 4,8 horas de tempo livre. Ele passou 35% desse tempo lendo um livro e 40% assistindo a programas de TV. Quanto tempo ele tem?

1637. Faça o seguinte:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638 Desenhe um ângulo BAC e marque um ponto dentro do ângulo, fora do ângulo e nas laterais do ângulo.

1639. Qual dos pontos marcados na figura 172 está dentro do ângulo AMK. Qual ponto está dentro do ângulo AMB> mas fora do ângulo AMK. Quais pontos estão nos lados do ângulo AMK?

1640. Use o triângulo desenhado para encontrar os ângulos retos na figura 173.

1641. Construa um quadrado com um lado de 43 mm. Calcule seu perímetro e área.

1642. Encontre o valor da expressão:

a) 14,791: a + 160,961: b, se a = 100, b = 10;
b) 361,62s + 1848: d se c = 100, d = 100.

1643. O trabalhador tinha que fazer 450 peças. No primeiro dia, ele fez 60% das peças, e o restante no segundo. Quantas partes fez trabalhador no segundo dia?

1644. Havia 8.000 livros na biblioteca. Um ano depois, seu número aumentou em 2.000 livros. Em que porcentagem o número de livros na biblioteca aumentou?

1645. Caminhões no primeiro dia percorreram 24% do trajeto pretendido, no segundo dia - 46% do trajeto, e no terceiro - os 450 km restantes. Quantos quilômetros esses caminhões percorreram?

1646. Descubra quantos são:

a) 1% de uma tonelada; c) 5% de 7 toneladas;
b) 1% de um litro; d) 6% de 80 km.

1647. A massa de um filhote de morsa é 9 vezes menor que a massa de uma morsa adulta. Qual é a massa de uma morsa adulta se, juntamente com o filhote, sua massa é de 0,9 toneladas?

1648. Durante as manobras, o comandante deixou 0,3 de todos os seus soldados para guardar a passagem, e dividiu o resto em 2 destacamentos para defender duas alturas. O primeiro destacamento tinha 6 vezes mais soldados que o segundo. Quantos soldados havia no primeiro destacamento se houvesse 200 soldados no total?

N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matemática 5ª série, Livro didático para instituições educacionais

Os alunos estão familiarizados com o conceito de ângulo em escola primaria. Mas como uma figura geométrica com certas propriedades, eles começam a estudá-la a partir da 7ª série em geometria. Parece, suficiente figura simples o que pode ser dito sobre ela. Mas, adquirindo novos conhecimentos, os alunos entendem cada vez mais que você pode aprender fatos bastante interessantes sobre ela.

Em contato com

Quando são estudados

O curso de geometria escolar é dividido em duas seções: planimetria e geometria sólida. Cada um deles tem muita atenção. dado aos cantos:

• Na planimetria, seu conceito básico é dado, ocorre o conhecimento de seus tipos em tamanho. As propriedades de cada tipo de triângulo são estudadas com mais detalhes. Aparecem novas definições para os alunos - são formas geométricas formadas na interseção de duas linhas entre si e na interseção de várias linhas de uma secante.
• Na estereometria, são estudados ângulos espaciais - diedro e triédrico.

Atenção! Este artigo discute todos os tipos e propriedades de ângulos na planimetria.

Definição e medição

Começando a estudar, primeiro determine, o que é um ângulo em planimetria.

Se pegarmos um certo ponto no plano e desenharmos dois raios arbitrários, obtemos uma figura geométrica - um ângulo, composto pelos seguintes elementos:

• o vértice - o ponto de onde os raios foram desenhados é indicado por uma letra maiúscula do alfabeto latino;
• os lados são meia linha desenhada a partir do topo.

Todos os elementos que formam a figura que estamos considerando dividem o plano em duas partes:

• interno - em planimetria não excede 180 graus;
• externo.

O princípio de medição de ângulos em planimetria explicado intuitivamente. Para começar, os alunos são apresentados ao conceito de ângulo desenvolvido.

Importante! Diz-se que um ângulo está desenvolvido se as semi-retas que emanam de seu vértice formam uma linha reta. Um ângulo desdobrado é todos os outros casos.

Se for dividido em 180 partes iguais, costuma-se considerar a medida de uma parte igual a 10. Nesse caso, dizem que a medida é feita em graus, e a medida em graus de tal figura é 180 graus.

Tipos principais

Os tipos de ângulos são subdivididos de acordo com critérios como medida de grau, a natureza de sua formação e as categorias abaixo.

Por tamanho

Dada a magnitude, os ângulos são divididos em:

• implantado;
• Em linha reta;
• cego;
• apimentado.

Qual ângulo é chamado de desdobrado foi apresentado acima. Vamos definir o conceito de linha reta.

Pode ser obtido dividindo o implantado em duas partes iguais. Nesse caso, é fácil responder à pergunta: um ângulo reto, quantos graus tem?

Divida 180 graus por 2 para obter ângulo reto é 90 graus. Esta é uma figura maravilhosa, pois muitos fatos da geometria estão associados a ela.

Também possui características próprias na designação. Para mostrar um ângulo reto na figura, ele é indicado não por um arco, mas por um quadrado.

Os ângulos que são obtidos pela divisão de um raio arbitrário de uma linha reta são chamados agudos. De acordo com a lógica das coisas, segue-se que um ângulo agudo é menor que um ângulo reto, mas sua medida é diferente de 0 graus. Ou seja, tem um valor de 0 a 90 graus.

Um ângulo obtuso é maior que um ângulo reto, mas menor que um ângulo reto. Sua medida de grau varia de 90 a 180 graus.

Este elemento pode ser dividido em tipos diferentes figuras consideradas, excluindo a ampliada.

Independentemente de como o ângulo não girado é quebrado, o axioma básico da planimetria é sempre usado - “a principal propriedade da medida”.

No dividindo o ângulo com um feixe ou vários, a medida em graus de uma dada figura é igual à soma das medidas dos ângulos em que ela é dividida.

No nível do 7º ano, os tipos de ângulos em sua magnitude terminam aí. Mas para aumentar a erudição, pode-se acrescentar que existem outras variedades que possuem medida de grau superior a 180 graus, são chamadas de convexas.

Figuras na interseção de linhas

Os próximos tipos de ângulos aos quais os alunos são apresentados são os elementos formados quando duas linhas se cruzam. Figuras que são colocadas em frente uma da outra são chamadas de verticais. Eles característica distintiva- eles são iguais.

Os elementos adjacentes à mesma linha são chamados de adjacentes. O teorema que mapeia sua propriedade diz que Ângulos adjacentes somam 180 graus.

Elementos em um triângulo

Se considerarmos a figura como um elemento de um triângulo, os ângulos são divididos em internos e externos. O triângulo é limitado por três segmentos e consiste em três vértices. Os ângulos localizados dentro do triângulo em cada vértice, chamado interno.

Se pegarmos qualquer elemento interno em qualquer vértice e estendermos qualquer lado, o ângulo formado e adjacente ao interno é chamado de externo. Este par de elementos tem próxima propriedade: sua soma é 180 graus.

Intersecção de duas retas

Interseção de linha

Quando duas retas se cruzam, os ângulos também são formados, que geralmente são distribuídos em pares. Cada par de elementos tem seu próprio nome. Se parece com isso:

• reticulação interna: ∟4 e ∟6, ∟3 e ∟5;
• interno unilateral: ∟4 e ∟5, ∟3 e ∟6;
• correspondentes: ∟1 e ∟5, ∟2 e ∟6, ∟4 e ∟8, ∟3 e ∟7.

Quando uma secante cruza duas

Neste artigo, analisaremos de forma abrangente uma das principais formas geométricas - o ângulo. Vamos começar com conceitos e definições auxiliares que nos levarão à definição de ângulo. Depois disso, fornecemos os métodos aceitos para designar ângulos. A seguir, trataremos em detalhes do processo de medição de ângulos. Em conclusão, mostraremos como você pode marcar os cantos no desenho. Fornecemos toda a teoria com os desenhos e ilustrações gráficas necessárias para melhor memorização do material.

Navegação da página.

Definição de ângulo.

O ângulo é uma das figuras mais importantes da geometria. A definição de um ângulo é dada através da definição de um raio. Por sua vez, a ideia de um raio não pode ser obtida sem o conhecimento de figuras geométricas como um ponto, uma linha reta e um plano. Portanto, antes de se familiarizar com a definição do ângulo, recomendamos atualizar a teoria das seções e.

Assim, partiremos dos conceitos de um ponto, uma linha reta em um plano e um plano.

Vamos primeiro dar a definição de um raio.

Seja-nos dada alguma linha reta no plano. Vamos denotar com a letra a. Seja O algum ponto da reta a. O ponto O divide a reta a em duas partes. Cada uma dessas partes junto com o ponto O é chamada feixe, e o ponto O é chamado o início do raio. Você também pode ouvir que o feixe é chamado semidireto.

Por brevidade e conveniência, a seguinte notação para raios foi introduzida: um raio é denotado por uma pequena letra latina (por exemplo, raio p ou raio k), ou por duas grandes letras latinas, a primeira das quais corresponde ao início de o raio, e o segundo denota algum ponto deste raio (por exemplo, raio OA ou raio CD). Vamos mostrar a imagem e a designação dos raios no desenho.

Agora podemos dar a primeira definição de um ângulo.

Definição.

Injeção- trata-se de uma figura geométrica plana (isto é, que se encontra inteiramente em um determinado plano), que é composta por dois raios desencontrados de origem comum. Cada um dos raios é chamado canto lateral, o início comum dos lados do ângulo é chamado canto superior.

É possível que os lados de um ângulo formem uma linha reta. Este ângulo tem seu próprio nome.

Definição.

Se ambos os lados de um ângulo estão na mesma linha, então o ângulo é chamado implantado.

Chamamos a sua atenção uma ilustração gráfica de um ângulo desenvolvido.

Um símbolo de ângulo é usado para denotar um ângulo. Se os lados do ângulo forem indicados em pequenas letras latinas (por exemplo, um lado do ângulo é k e o outro é h), para designar esse ângulo, após o ícone do ângulo, as letras correspondentes aos lados são escritas em uma linha, e a ordem de gravação não importa (ou seja, ou). Se os lados do ângulo são indicados por duas letras latinas grandes (por exemplo, um lado do ângulo OA e o segundo lado do ângulo OB), o ângulo é indicado da seguinte forma: após o sinal do ângulo, três letras são escritos que participam da designação dos lados do ângulo, e a letra correspondente ao vértice do ângulo, localizado no meio (no nosso caso, o ângulo será indicado como ou ). Se o vértice de um ângulo não for o vértice de algum outro ângulo, então tal ângulo pode ser denotado pela letra correspondente ao vértice do ângulo (por exemplo, ). Às vezes você pode ver que os cantos nos desenhos estão marcados com números (1, 2, etc.), esses cantos são indicados como e assim por diante. Para maior clareza, apresentamos uma figura na qual os cantos são mostrados e indicados.

Qualquer ângulo divide o plano em duas partes. Além disso, se o ângulo não é desenvolvido, então uma parte do plano é chamada área do canto interno, e o outro área de canto externa. A imagem a seguir explica qual parte do plano corresponde à parte interna do canto e qual parte à parte externa.

Qualquer uma das duas partes em que um ângulo achatado divide um plano pode ser considerada uma região interior do ângulo achatado.

A definição do interior de um ângulo nos leva à segunda definição de ângulo.

Definição.

Injeção- esta é uma figura geométrica, que é composta por dois raios descasados ​​com origem comum e a região interna correspondente do ângulo.

Deve-se notar que a segunda definição do ângulo é mais estrita que a primeira, pois contém mais condições. No entanto, não se deve descartar a primeira definição do ângulo, nem considerar a primeira e a segunda definições do ângulo separadamente. Vamos explicar este ponto. Quando nós estamos falando sobre um ângulo como uma figura geométrica, então um ângulo é entendido como uma figura composta por dois raios com origem comum. Se for necessário realizar alguma ação com esse ângulo (por exemplo, medir um ângulo), então um ângulo já deve ser entendido como dois raios com uma origem comum e uma região interna (caso contrário, surgiria uma situação dupla devido a a presença de uma região interna e externa do ângulo ).

Vamos dar mais definições de ângulos adjacentes e verticais.

Definição.

Cantos adjacentes- são dois ângulos em que um lado é comum e os outros dois formam um ângulo reto.

Segue da definição que ângulos adjacentes se complementam até um ângulo reto.

Definição.

Ângulos verticais são dois ângulos em que os lados de um ângulo são extensões dos lados do outro.

A figura mostra ângulos verticais.

Obviamente, duas linhas que se cruzam formam quatro pares de ângulos adjacentes e dois pares de ângulos verticais.

Comparação de ângulos.

Neste parágrafo do artigo, trataremos das definições de ângulos iguais e desiguais, e também no caso de ângulos desiguais, explicaremos qual ângulo é considerado grande e qual é menor.

Lembre-se de que duas figuras geométricas são chamadas iguais se podem ser sobrepostas.

Sejam-nos dados dois ângulos. Vamos dar um raciocínio que nos ajude a responder à pergunta: “Esses dois ângulos são iguais ou não”?

Obviamente, sempre podemos combinar os vértices de dois vértices, assim como um lado do primeiro vértice com qualquer um dos lados do segundo vértice. Vamos combinar o lado do primeiro canto com o lado do segundo canto para que os lados restantes dos cantos fiquem do mesmo lado da linha reta em que os lados combinados dos cantos estão. Então, se os outros dois lados dos cantos estiverem alinhados, os cantos serão chamados igual.

Se os outros dois lados dos ângulos não coincidem, então os ângulos são chamados desigual, e menor o ângulo é considerado parte de outro ( grandeé o ângulo que contém completamente outro ângulo).

Obviamente, os dois ângulos retos são iguais. Também é óbvio que um ângulo desenvolvido é maior do que qualquer ângulo não desenvolvido.

Medição de ângulo.

A medição do ângulo baseia-se na comparação do ângulo medido com o ângulo tomado como unidade de medida. O processo de medição de ângulos é assim: a partir de um dos lados do ângulo medido, sua área interna é preenchida sequencialmente com ângulos únicos, empilhando-os firmemente um ao outro. Ao mesmo tempo, o número de cantos empilhados é lembrado, o que fornece a medida do ângulo medido.

De fato, qualquer ângulo pode ser tomado como unidade de medida para ângulos. No entanto, existem muitas unidades de medida de ângulos geralmente aceitas relacionadas a várias áreas ciência e tecnologia, eles receberam nomes especiais.

Uma das unidades para medir ângulos é grau.

Definição.

um graué um ângulo igual a cento e oitenta de um ângulo reto.

Um grau é denotado pelo símbolo "", portanto, um grau é denotado como.

Assim, em um ângulo desenvolvido, podemos encaixar 180 ângulos em um grau. Parecerá metade de uma torta redonda cortada em 180 pedaços iguais. Muito importante: os "pedaços da torta" se encaixam bem (ou seja, os lados dos cantos estão alinhados), com o lado do primeiro canto alinhado com um lado do canto achatado e o lado do canto da última unidade coincidiu com o outro lado do canto achatado.

Ao medir ângulos, descubra quantas vezes um grau (ou outra unidade de medida de ângulos) se encaixa no ângulo medido para Cobertura total a área interna do ângulo medido. Como já vimos, em um ângulo desenvolvido, o grau cabe exatamente 180 vezes. Abaixo estão exemplos de ângulos em que um ângulo de um grau se encaixa exatamente 30 vezes (tal ângulo é um sexto de um ângulo reto) e exatamente 90 vezes (meio ângulo reto).

Para medir ângulos inferiores a um grau (ou outra unidade de medida de ângulos) e nos casos em que o ângulo não pode ser medido por um número inteiro de graus (unidades de medida tomadas), você deve usar partes de um grau (partes de unidades de medida). Certas partes do grau receberam nomes especiais. Mais difundido tem os chamados minutos e segundos.

Definição.

Minutoé um sexagésimo de grau.

Definição.

Segundoé um sexagésimo de minuto.

Em outras palavras, há sessenta segundos em um minuto e sessenta minutos (3600 segundos) em um grau. O símbolo "" é usado para denotar minutos, e o símbolo "" é usado para denotar segundos (não confunda com os sinais da derivada e da segunda derivada). Então, com as definições e notações introduzidas, temos , e o ângulo no qual 17 graus 3 minutos e 59 segundos se encaixam pode ser denotado como .

Definição.

Medida em grau de um ângulo chamado de número positivo, que mostra quantas vezes o grau e suas partes se encaixam determinado ângulo.

Por exemplo, a medida em graus de um ângulo reto é cento e oitenta, e a medida em graus de um ângulo é .

Para medir ângulos, existem medindo instrumentos, o mais famoso deles é o transferidor.

Se a designação do ângulo (por exemplo,) e sua medida de grau (seja 110) forem conhecidas, use uma notação curta da forma e diga: "O ângulo AOB é cento e dez graus."

Das definições do ângulo e da medida em grau do ângulo, segue-se que na geometria a medida do ângulo em graus é expressa por um número real do intervalo (0, 180] (em trigonometria, ângulos com um grau arbitrário medem são considerados, eles são chamados). Um ângulo de noventa graus tem um nome especial, é chamado ângulo certo. Um ângulo menor que 90 graus é chamado ângulo agudo. Um ângulo maior que noventa graus é chamado ângulo obtuso. Então a medida ângulo agudo em graus, é expresso como um número do intervalo (0, 90), a medida de um ângulo obtuso - como um número do intervalo (90, 180), um ângulo reto é igual a noventa graus. Aqui estão ilustrações de um ângulo agudo, um ângulo obtuso e um ângulo reto.

Do princípio de medir ângulos, segue-se que as medidas em graus de ângulos iguais são as mesmas, a medida em graus de um ângulo maior é maior que a medida em graus de um menor, e a medida em graus de um ângulo que consiste em vários ângulos é igual à soma das medidas em graus dos ângulos componentes. A figura abaixo mostra o ângulo AOB, que é formado pelos ângulos AOC, COD e DOB, enquanto .

Por isso, a soma dos ângulos adjacentes é cento e oitenta graus, pois formam um ângulo reto.

Segue-se desta afirmação que . De fato, se os ângulos AOB e COD são verticais, então os ângulos AOB e BOC são adjacentes e os ângulos COD e BOC também são adjacentes, portanto, as igualdades e são válidas, das quais decorre a igualdade.

Junto com o grau, uma unidade conveniente para medir ângulos é chamada radiano. A medida radiano é amplamente utilizada em trigonometria. Vamos definir um radiano.

Definição.

Um ângulo radiano- Esse canto central, que corresponde ao comprimento do arco, igual ao comprimento o raio do círculo correspondente.

Vamos dar uma ilustração gráfica de um ângulo de um radiano. No desenho, o comprimento do raio OA (assim como o raio OB ) é igual ao comprimento do arco AB , portanto, por definição, o ângulo AOB é igual a um radiano.

A abreviatura "rad" é ​​usada para denotar radianos. Por exemplo, escrever 5 rad significa 5 radianos. No entanto, por escrito, a designação "rad" é ​​frequentemente omitida. Por exemplo, quando se escreve que o ângulo é igual a pi, significa pi rad.

Deve-se notar separadamente que o valor do ângulo, expresso em radianos, não depende do comprimento do raio do círculo. Isso se deve ao fato de que as figuras limitadas por um determinado ângulo e um arco de círculo centrado no vértice de um determinado ângulo são semelhantes entre si.

Medir ângulos em radianos pode ser feito da mesma forma que medir ângulos em graus: descubra quantas vezes um ângulo de um radiano (e suas partes) cabe em um determinado ângulo. E você pode calcular o comprimento do arco do ângulo central correspondente e depois dividi-lo pelo comprimento do raio.

Para as necessidades da prática, é útil saber como as medidas de graus e radianos se relacionam umas com as outras, já que uma boa parte deve ser realizada. Neste artigo, é estabelecida uma relação entre o grau e a medida em radianos de um ângulo, e são dados exemplos de conversão de graus para radianos e vice-versa.

Designação de cantos no desenho.

Nos desenhos, por conveniência e clareza, os cantos podem ser marcados com arcos, que geralmente são desenhados na região interna do canto de um lado do canto ao outro. Ângulos iguais marca com o mesmo número de arcos, ângulos desiguais - quantidade diferente arcos. Os ângulos retos no desenho são indicados por um símbolo da forma "", que é representado na região interna do ângulo reto de um lado do canto ao outro.

Se no desenho você tiver que marcar muitos ângulos diferentes (geralmente mais de três), ao designar ângulos, além dos arcos comuns, é permitido usar arcos de alguns tipo especial. Por exemplo, você pode representar arcos irregulares ou algo semelhante.

Deve-se notar que você não deve se empolgar com a designação de ângulos nos desenhos e não desordenar os desenhos. Recomendamos marcar apenas os ângulos que são necessários no processo de resolução ou prova.

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Grades 7 - 9: um livro para instituições de ensino.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Livro didático para 10-11 anos do ensino médio.
• Pogorelov A.V., Geometria. Livro didático para as séries 7-11 de instituições de ensino.