O valor do seno e cosseno de um ângulo agudo. Seno, cosseno, tangente: o que é? Como encontrar seno, cosseno e tangente

Lição sobre o tema "Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo"

Lições objetivas:

educacional - introduzir o conceito de seno, cosseno, tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo, explorar as dependências e relações entre essas quantidades;

desenvolvendo - a formação do conceito de seno, cosseno, tangente como funções de um ângulo, o domínio da definição de funções trigonométricas, o desenvolvimento do pensamento lógico, o desenvolvimento da fala matemática correta;

educacional - desenvolvimento da habilidade de trabalho independente, cultura de comportamento, precisão na manutenção de registros.

Curso da lição:

1. Momento organizacional

“Educação não é o número de lições ouvidas, mas o número de lições compreendidas. Então, se você quiser seguir em frente, apresse-se devagar e tenha cuidado.

2. Motivação da lição.

Um homem sábio disse: “A manifestação mais elevada do espírito é a mente. A manifestação mais elevada da mente é a geometria. A célula de geometria é um triângulo. É tão inesgotável quanto o universo. O círculo é a alma da geometria. Conheça a circunferência e você não apenas conhecerá a alma da geometria, mas elevará sua alma”.

Juntos vamos tentar fazer uma pequena pesquisa. Vamos compartilhar todas as ideias que vierem à sua mente, e não tenha medo de errar, qualquer pensamento pode nos dar uma nova direção para buscar. Que nossas conquistas não pareçam grandes para alguém, mas serão nossas próprias conquistas!

3. Atualização de conhecimentos básicos.

Quais são os ângulos?

O que são triângulos?

Quais são os principais elementos que definem um triângulo?

O que são triângulos baseados em lados?

O que são triângulos baseados em ângulos?

O que é um cateto?

O que é uma hipotenusa?

Como se chamam os lados de um triângulo retângulo?

Quais são as relações entre os lados e os ângulos desse triângulo?

Por que você precisa saber a relação entre lados e ângulos?

Que tarefas da vida podem levar à necessidade de calcular os lados desconhecidos de um triângulo?

O termo "hipotenusa" vem da palavra grega "iponeinous", que significa "esticar sobre algo", "puxar". A palavra tem origem na imagem das antigas harpas gregas, nas quais as cordas são esticadas nas extremidades de dois suportes mutuamente perpendiculares. O termo "katetos" vem da palavra grega "katetos", que significa o início de "prumo", "perpendicular".

Euclides disse: "As pernas são os lados que formam um ângulo reto".

Na Grécia antiga, já era conhecido um método para construir um triângulo retângulo no chão. Para isso, foi utilizada uma corda, na qual foram amarrados 13 nós, à mesma distância um do outro. Durante a construção das pirâmides no Egito, foi assim que os triângulos retângulos foram feitos. É provavelmente por isso que um triângulo retângulo com lados 3,4,5 foi chamado de triângulo egípcio.

4. Aprendendo novos materiais.

Nos tempos antigos, as pessoas seguiam os luminares e, com base nessas observações, mantinham um calendário, calculavam as datas de semeadura, o tempo da cheia dos rios; navios no mar, caravanas em terra foram guiadas ao longo do caminho pelas estrelas. Tudo isso levou à necessidade de aprender a calcular os lados de um triângulo, cujos dois vértices estão no chão e o terceiro é representado por um ponto no céu estrelado. Com base nessa necessidade, surgiu uma ciência - a trigonometria - uma ciência que estuda as relações entre os lados de um triângulo.

O que você acha, as relações já conhecidas por nós são suficientes para resolver tais problemas?

O objetivo da lição de hoje é explorar novas conexões e dependências, para derivar relacionamentos, usando os quais nas lições de geometria a seguir, você pode resolver esses problemas.

Vamos nos sentir no papel de cientistas e, seguindo os gênios da antiguidade Tales, Euclides, Pitágoras, seguiremos o caminho da busca da verdade.

Para isso, precisamos de uma base teórica.

Destaque o canto A e a perna BC em vermelho.

Destaque a perna AC em verde.

Vamos calcular qual parte é o cateto oposto de um ângulo agudo A à sua hipotenusa, para isso compomos a razão do cateto oposto para a hipotenusa:

Essa proporção tem um nome especial - de modo que todas as pessoas em todos os pontos do planeta entendam que estamos falando de um número que representa a proporção da perna oposta de um ângulo agudo para a hipotenusa. A palavra é seno. Anotá-la. Como a palavra seno sem o nome do ângulo perde todo o significado, a notação matemática é a seguinte:

Agora faça a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa para o ângulo agudo A:

Essa razão é chamada de cosseno. Sua notação matemática:

Considere mais uma relação para um ângulo agudo A: a razão entre a perna oposta e a perna adjacente:

Essa razão é chamada de tangente. Sua notação matemática:

5. Consolidação de novo material.

Vamos consolidar nossas descobertas intermediárias.

Sinus é...

Cosseno é...

Tangente é...

Resolva verbalmente os números 88, 889, 892 (trabalhar em pares).

Utilizar os conhecimentos adquiridos para resolver um problema prático:

“Da torre do farol, com 70 m de altura, vê-se um navio a um ângulo de 3º em relação ao horizonte. O que é

distância do farol ao navio?

A tarefa é resolvida frontalmente. Durante a discussão, fazemos um desenho e as anotações necessárias no quadro e nos cadernos.

Ao resolver o problema, são utilizadas as tabelas Bradis.

Considere a solução do problema p.175.

Resolva #902(1).

6. Fizminutka para os olhos.

Sem virar a cabeça, olhe ao redor da parede da sala de aula no sentido horário ao redor do perímetro, o quadro-negro ao redor do perímetro no sentido anti-horário, o triângulo representado no suporte no sentido horário e seu triângulo igual no sentido anti-horário. Vire a cabeça para a esquerda e olhe para a linha do horizonte e agora para a ponta do nariz. Feche os olhos, conte até 5, abra os olhos e...

Colocamos as mãos nos olhos,
Vamos fortalecer nossas pernas.
Virando para a direita
Vamos parecer majestosos.
E para a esquerda também
Olhe debaixo das palmas das mãos.
E - para a direita! E mais
Sobre o ombro esquerdo!
e agora vamos continuar a trabalhar.

7. Trabalho independente dos alunos.

Resolva não.

8. Os resultados da lição. Reflexão. D/s.

O que você aprendeu de novo? Na lição:

você considerou...

você analisou...

Você recebeu …

você concluiu...

você reabasteceu seu vocabulário com os seguintes termos ...

A ciência mundial começou com a geometria. Uma pessoa não pode se desenvolver verdadeiramente cultural e espiritualmente se não estudou geometria na escola. A geometria surgiu não apenas das necessidades práticas, mas também espirituais do homem.

Foi assim que ela explicou poeticamente seu amor pela geometria

Eu amo geometria...

Eu estudo geometria porque amo

A geometria é necessária, sem ela não estamos em lugar nenhum.

Seno, cosseno, círculo - tudo é importante aqui,

Tudo é necessário aqui

Você só precisa ser muito claro e entender tudo.

Conclua tarefas e listas de verificação no prazo.

Acho que você merece mais do que isso. Aqui está minha chave para a trigonometria:

• Desenhe a cúpula, parede e teto
• As funções trigonométricas nada mais são do que porcentagens dessas três formas.

Metáfora para seno e cosseno: cúpula

Em vez de apenas olhar para os próprios triângulos, imagine-os em ação encontrando algum exemplo particular da vida real.

Imagine que você está no meio de uma cúpula e deseja pendurar uma tela de projetor de filme. Você aponta o dedo para a cúpula em algum ângulo "x", e uma tela deve ser pendurada nesse ponto.

O ângulo para o qual você aponta determina:

• seno(x) = sin(x) = altura da tela (ponto de montagem do piso ao domo)
• cosseno(x) = cos(x) = distância de você até a tela (por andar)
• hipotenusa, a distância de você até o topo da tela, sempre a mesma, igual ao raio da cúpula

Você quer que a tela seja o maior possível? Pendure-o bem acima de você.

Você quer que a tela fique o mais longe possível de você? Pendure-o perpendicularmente. A tela terá altura zero nesta posição e ficará tão para trás quanto você solicitou.

A altura e a distância da tela são inversamente proporcionais: quanto mais perto a tela estiver, maior será sua altura.

Seno e cosseno são porcentagens

Ninguém em meus anos de estudo, infelizmente, me explicou que as funções trigonométricas seno e cosseno nada mais são do que porcentagens. Seus valores variam de +100% a 0 a -100%, ou de um máximo positivo a zero a um máximo negativo.

Digamos que eu paguei um imposto de 14 rublos. Você não sabe quanto é. Mas se você disser que eu paguei 95% de imposto, você vai entender que eu estava simplesmente esfolado como um adesivo.

Altura absoluta não significa nada. Mas se o valor do seno for 0,95, entendo que a TV está pendurada quase em cima da sua cúpula. Muito em breve, atingirá sua altura máxima no centro da cúpula e começará a declinar novamente.

Como podemos calcular essa porcentagem? Muito simples: divida a altura atual da tela pelo máximo possível (o raio da cúpula, também chamado de hipotenusa).

É por isso nos é dito que “cosseno = perna oposta / hipotenusa”. Isso tudo para obter uma porcentagem! A melhor maneira de definir o seno é “a porcentagem da altura atual do máximo possível”. (O seno se torna negativo se o ângulo apontar para "subterrâneo". O cosseno se torna negativo se o ângulo apontar para o ponto de cúpula atrás de você.)

Vamos simplificar os cálculos assumindo que estamos no centro do círculo unitário (raio = 1). Podemos pular a divisão e apenas tomar o seno igual à altura.

Cada círculo, na verdade, é um único, ampliado ou reduzido em escala para o tamanho desejado. Portanto, determine as relações no círculo unitário e aplique os resultados ao seu tamanho de círculo específico.

Experimente: pegue qualquer canto e veja qual porcentagem de altura para largura ele exibe:

O gráfico do crescimento do valor do seno não é apenas uma linha reta. Os primeiros 45 graus cobrem 70% da altura e os últimos 10 graus (de 80° a 90°) cobrem apenas 2%.

Isso tornará mais claro para você: se você for em círculo, em 0 ° você sobe quase verticalmente, mas à medida que se aproxima do topo da cúpula, a altura muda cada vez menos.

Tangente e secante. Parede

Um dia um vizinho construiu um muro de volta para trás para sua cúpula. Chorou sua janela vista e bom preço de revenda!

Mas é possível de alguma forma vencer nesta situação?

Claro que sim. E se pendurarmos uma tela de cinema na parede do vizinho? Você mira no canto (x) e obtém:

• tan(x) = tan(x) = altura da tela na parede
• distância de você até a parede: 1 (este é o raio da sua cúpula, a parede não se move em qualquer lugar de você, certo?)
• secante(x) = sec(x) = “comprimento da escada” de você no centro da cúpula até o topo da tela suspensa

Vamos esclarecer algumas coisas sobre a tangente ou altura da tela.

• ele começa em 0 e pode ir infinitamente alto. Você pode esticar a tela cada vez mais alto na parede para obter apenas uma tela infinita para assistir ao seu filme favorito! (Para um tão grande, é claro, você terá que gastar muito dinheiro).
• tangente é apenas uma versão ampliada do seno! E enquanto o crescimento do seno diminui à medida que você se move em direção ao topo da cúpula, a tangente continua a crescer!

Sekansu também tem algo para se gabar:

• a secante começa em 1 (a escada fica no chão, longe de você em direção à parede) e começa a subir a partir daí
• A secante é sempre mais longa que a tangente. A escada inclinada com a qual você pendura sua tela precisa ser mais longa que a própria tela, certo? (Para tamanhos irreais, quando a tela é muuuuito longa e a escada precisa ser colocada quase na vertical, seus tamanhos são quase os mesmos. Mas mesmo assim a secante será um pouco mais longa).

Lembre-se que os valores são por cento. Se você decidir pendurar a tela em um ângulo de 50 graus, tan(50)=1,19. Sua tela é 19% maior que a distância até a parede (raio da cúpula).

(Digite x=0 e teste sua intuição - tan(0) = 0 e sec(0) = 1.)

Cotangente e cossecante. Teto

Incrivelmente, seu vizinho decidiu agora construir um teto sobre sua cúpula. (Qual é o problema com ele? Ele aparentemente não quer que você o espie enquanto ele anda nu pelo quintal...)

Bem, é hora de construir uma saída para o telhado e falar com o vizinho. Você escolhe o ângulo de inclinação e começa a construir:

• a distância vertical entre a saída do telhado e o piso é sempre 1 (raio da cúpula)
• cotangente(x) = cot(x) = distância entre o topo da cúpula e o ponto de saída
• cossecante(x) = csc(x) = comprimento do seu caminho para o telhado

A tangente e a secante descrevem a parede, enquanto a cotangente e a cossecante descrevem o piso.

Nossas conclusões intuitivas desta vez são semelhantes às anteriores:

• Se você fizer um ângulo de 0°, sua saída para o telhado levará uma eternidade, pois nunca chegará ao teto. Problema.
• A "escada" mais curta para o telhado será obtida se você construí-la em um ângulo de 90 graus em relação ao chão. A cotangente será igual a 0 (não nos movemos ao longo do telhado, saímos estritamente perpendicularmente) e a cossecante será igual a 1 (“o comprimento da escada” será mínimo).

Visualizar conexões

Se todos os três casos forem desenhados em uma combinação de cúpula-parede-piso, o seguinte será obtido:

Bem, uau, é tudo o mesmo triângulo, ampliado em tamanho para atingir a parede e o teto. Temos lados verticais (seno, tangente), lados horizontais (coseno, cotangente) e “hipotenusas” (secante, cossecante). (Você pode ver pelas setas até onde cada elemento chega. A cossecante é a distância total de você até o telhado).

Um pouco de magia. Todos os triângulos compartilham as mesmas igualdades:

Do teorema de Pitágoras (a 2 + b 2 = c 2) vemos como os lados de cada triângulo estão conectados. Além disso, as razões altura-largura também devem ser as mesmas para todos os triângulos. (Basta recuar do triângulo maior para o menor. Sim, o tamanho mudou, mas as proporções dos lados permanecerão as mesmas).

Sabendo qual lado em cada triângulo é 1 (o raio da cúpula), podemos calcular facilmente que "sen/cos = tan/1".

Sempre tentei me lembrar desses fatos por meio de simples visualização. Na imagem você pode ver claramente essas dependências e entender de onde elas vêm. Esta técnica é muito melhor do que memorizar fórmulas secas.

Não se esqueça de outros ângulos

Shh… Não há necessidade de se prender a um gráfico, pensando que a tangente é sempre menor que 1. Se você aumentar o ângulo, poderá alcançar o teto sem atingir a parede:

As conexões pitagóricas sempre funcionam, mas os tamanhos relativos podem ser diferentes.

(Você provavelmente notou que a razão entre seno e cosseno é sempre a menor porque eles estão dentro de uma cúpula.)

Para resumir: o que precisamos lembrar?

Para a maioria de nós, eu diria que isso será suficiente:

• trigonometria explica a anatomia de objetos matemáticos, como círculos e intervalos repetidos
• a analogia cúpula/parede/telhado mostra a relação entre diferentes funções trigonométricas
• o resultado das funções trigonométricas são as porcentagens que aplicamos ao nosso cenário.

Você não precisa memorizar fórmulas como 1 2 + berço 2 = csc 2 . Eles são adequados apenas para testes estúpidos em que o conhecimento de um fato é apresentado como compreensão. Reserve um minuto para desenhar um semicírculo na forma de uma cúpula, uma parede e um telhado, assine os elementos e todas as fórmulas serão solicitadas para você no papel.

Aplicação: Funções Inversas

Qualquer função trigonométrica recebe um ângulo como entrada e retorna o resultado como uma porcentagem. sin(30) = 0,5. Isso significa que um ângulo de 30 graus ocupa 50% da altura máxima.

A função trigonométrica inversa é escrita como sen -1 ou arcsin (“arxina”). Também é frequentemente escrito como em várias linguagens de programação.

Se nossa altura é 25% da altura da cúpula, qual é o nosso ângulo?

Em nossa tabela de proporções, você pode encontrar a razão em que a secante é dividida por 1. Por exemplo, a secante por 1 (da hipotenusa à horizontal) será igual a 1 dividido pelo cosseno:

Digamos que nossa secante é 3,5, ou seja, 350% do raio do círculo unitário. A que ângulo de inclinação em relação à parede corresponde este valor?

Apêndice: Alguns exemplos

Tarefa chata. Vamos complicar o banal “encontrar o seno” para “Qual é a altura em porcentagem do máximo (hipotenusa)?”.

Primeiro, observe que o triângulo é girado. Não há nada de errado com isso. O triângulo também tem uma altura, é mostrado em verde na figura.

A que equivale a hipotenusa? Pelo teorema de Pitágoras, sabemos que:

3 2 + 4 2 = hipotenusa 2 25 = hipotenusa 2 5 = hipotenusa

Bom! O seno é a porcentagem da altura do lado mais longo do triângulo, ou a hipotenusa. Em nosso exemplo, o seno é 3/5 ou 0,60.

Claro, podemos ir de várias maneiras. Agora sabemos que o seno é 0,60 e podemos simplesmente encontrar o arco seno:

Asin(0,6)=36,9

E aqui está outra abordagem. Observe que o triângulo está "face a face com a parede", então podemos usar tangente em vez de seno. A altura é 3, a distância até a parede é 4, então a tangente é ¾ ou 75%. Podemos usar o arco tangente para ir da porcentagem de volta ao ângulo:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Exemplo: Você vai nadar até a praia?

Você está em um barco e tem combustível suficiente para navegar 2 km. Você está agora a 0,25 km da costa. Em que ângulo máximo em relação à costa você pode nadar até ela para ter combustível suficiente? Além da condição do problema: temos apenas uma tabela de valores de arco cosseno.

O que nós temos? O litoral pode ser representado como um “muro” no nosso famoso triângulo, e o “comprimento da escada” anexado ao muro pode ser representado como a distância máxima possível de barco até a costa (2 km). Surge uma secante.

Primeiro, você precisa mudar para porcentagens. Temos 2 / 0,25 = 8, o que significa que podemos nadar 8 vezes a distância reta até a margem (ou até a parede).

Surge a pergunta “Qual é a secante 8?”. Mas não podemos dar uma resposta, pois só temos arco cossenos.

Usamos nossas dependências derivadas anteriormente para mapear a secante para o cosseno: “sec/1 = 1/cos”

A secante de 8 é igual ao cosseno de ⅛. Um ângulo cujo cosseno é ⅛ é acos(1/8) = 82,8. E este é o maior ângulo que podemos permitir em um barco com a quantidade especificada de combustível.

Nada mal, certo? Sem a analogia cúpula-parede-teto, eu ficaria confuso em um monte de fórmulas e cálculos. A visualização do problema simplifica muito a busca por uma solução, além disso, é interessante ver qual função trigonométrica irá eventualmente ajudar.

Para cada tarefa, pense assim: estou interessado em uma cúpula (sin/cos), uma parede (tan/seg) ou um teto (berço/csc)?

E a trigonometria se tornará muito mais agradável. Cálculos fáceis para você!

A trigonometria é um ramo da matemática que estuda as funções trigonométricas e seu uso na geometria. O desenvolvimento da trigonometria começou nos dias da Grécia antiga. Durante a Idade Média, cientistas do Oriente Médio e da Índia deram uma importante contribuição para o desenvolvimento dessa ciência.

Este artigo é dedicado aos conceitos básicos e definições de trigonometria. Discute as definições das principais funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente e cotangente. Seu significado no contexto da geometria é explicado e ilustrado.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Inicialmente, as definições das funções trigonométricas, cujo argumento é um ângulo, foram expressas através da razão dos lados de um triângulo retângulo.

Definições de funções trigonométricas

O seno de um ângulo (sen α) é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.

O cosseno do ângulo (cos α) é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

A tangente do ângulo (t g α) é a razão entre a perna oposta e a adjacente.

A cotangente do ângulo (c t g α) é a razão entre a perna adjacente e a oposta.

Essas definições são dadas para um ângulo agudo de um triângulo retângulo!

Vamos dar uma ilustração.

No triângulo ABC com ângulo reto C, o seno do ângulo A é igual à razão entre o cateto BC e a hipotenusa AB.

As definições de seno, cosseno, tangente e cotangente permitem calcular os valores dessas funções a partir dos comprimentos conhecidos dos lados de um triângulo.

Importante lembrar!

O intervalo de valores de seno e cosseno: de -1 a 1. Em outras palavras, seno e cosseno assumem valores de -1 a 1. O intervalo de valores de tangente e cotangente é a reta numérica inteira, ou seja, estes funções podem assumir qualquer valor.

As definições dadas acima referem-se a ângulos agudos. Na trigonometria, introduz-se o conceito de ângulo de rotação, cujo valor, ao contrário de um ângulo agudo, não é limitado por quadros de 0 a 90 graus. O ângulo de rotação em graus ou radianos é expresso por qualquer número real de - ∞ a + ∞.

Neste contexto, pode-se definir o seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo de magnitude arbitrária. Imagine um círculo unitário centrado na origem do sistema de coordenadas cartesianas.

O ponto inicial A com coordenadas (1 , 0) gira em torno do centro do círculo unitário por algum ângulo α e vai para o ponto A 1 . A definição é dada pelas coordenadas do ponto A 1 (x, y).

Seno (sen) do ângulo de rotação

O seno do ângulo de rotação α é a ordenada do ponto A 1 (x, y). sinα = y

Cosseno (cos) do ângulo de rotação

O cosseno do ângulo de rotação α é a abcissa do ponto A 1 (x, y). cosα = x

Tangente (tg) do ângulo de rotação

A tangente do ângulo de rotação α é a razão entre a ordenada do ponto A 1 (x, y) e sua abcissa. tgα = yx

Cotangente (ctg) do ângulo de rotação

A cotangente do ângulo de rotação α é a razão entre a abcissa do ponto A 1 (x, y) e sua ordenada. c t g α = x y

Seno e cosseno são definidos para qualquer ângulo de rotação. Isso é lógico, porque a abcissa e a ordenada do ponto após a rotação podem ser determinadas em qualquer ângulo. A situação é diferente com tangente e cotangente. A tangente não é definida quando o ponto após a rotação vai para o ponto com abcissa zero (0 , 1) e (0 , - 1). Nesses casos, a expressão para a tangente t g α = y x simplesmente não faz sentido, pois contém divisão por zero. A situação é semelhante com a cotangente. A diferença é que a cotangente não é definida nos casos em que a ordenada do ponto se anula.

Importante lembrar!

Seno e cosseno são definidos para quaisquer ângulos α.

A tangente é definida para todos os ângulos exceto α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

A cotangente é definida para todos os ângulos exceto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Ao resolver exemplos práticos, não diga "seno do ângulo de rotação α". As palavras "ângulo de rotação" são simplesmente omitidas, implicando que pelo contexto já está claro o que está em jogo.

Números

E a definição do seno, cosseno, tangente e cotangente de um número, e não o ângulo de rotação?

Seno, cosseno, tangente, cotangente de um número

Seno, cosseno, tangente e cotangente de um número t um número é chamado, que é respectivamente igual ao seno, cosseno, tangente e cotangente em t radiano.

Por exemplo, o seno de 10 π é igual ao seno do ângulo de rotação de 10 π rad.

Há outra abordagem para a definição do seno, cosseno, tangente e cotangente de um número. Vamos considerá-lo com mais detalhes.

Qualquer número real t um ponto no círculo unitário é colocado em correspondência com o centro na origem do sistema retangular de coordenadas cartesianas. Seno, cosseno, tangente e cotangente são definidos em função das coordenadas deste ponto.

O ponto inicial no círculo é o ponto A com coordenadas (1 , 0).

número positivo t

Número negativo t corresponde ao ponto para o qual o ponto inicial se moverá se ele se mover no sentido anti-horário ao redor do círculo e passar pelo caminho t .

Agora que a conexão entre o número e o ponto no círculo foi estabelecida, passamos à definição de seno, cosseno, tangente e cotangente.

Seno (sen) do número t

Seno de um número t- ordenada do ponto do círculo unitário correspondente ao número t. sen t = y

Cosseno (cos) de t

Cosseno de um número t- abcissa do ponto do círculo unitário correspondente ao número t. cost = x

Tangente (tg) de t

Tangente de um número t- a razão entre a ordenada e a abcissa do ponto do círculo unitário correspondente ao número t. t g t = y x = sen t cos t

As últimas definições são consistentes e não contradizem a definição dada no início desta seção. Ponto em um círculo correspondente a um número t, coincide com o ponto para o qual passa o ponto de partida depois de girar o ângulo t radiano.

Funções trigonométricas de argumento angular e numérico

Cada valor do ângulo α corresponde a um determinado valor do seno e cosseno desse ângulo. Assim como todos os ângulos α diferentes de α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) corresponde a um determinado valor da tangente. A cotangente, como mencionado acima, é definida para todos os α, exceto para α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Podemos dizer que sen α , cos α , t g α , c t g α são funções do ângulo alfa, ou funções do argumento angular.

Da mesma forma, pode-se falar de seno, cosseno, tangente e cotangente como funções de um argumento numérico. Cada número real t corresponde a um valor específico do seno ou cosseno de um número t. Todos os números, exceto π 2 + π · k , k ∈ Z, correspondem ao valor da tangente. A cotangente é definida similarmente para todos os números exceto π · k , k ∈ Z.

Funções básicas da trigonometria

Seno, cosseno, tangente e cotangente são as funções trigonométricas básicas.

Geralmente fica claro pelo contexto com qual argumento da função trigonométrica (argumento angular ou argumento numérico) estamos lidando.

Vamos voltar aos dados bem no início das definições e ao ângulo alfa, que fica no intervalo de 0 a 90 graus. As definições trigonométricas de seno, cosseno, tangente e cotangente estão de acordo com as definições geométricas dadas usando as razões dos lados de um triângulo retângulo. Vamos mostrar.

Pegue um círculo unitário centrado em um sistema de coordenadas cartesianas retangular. Vamos girar o ponto inicial A (1, 0) em um ângulo de até 90 graus e desenhar a partir do ponto resultante A 1 (x, y) perpendicular ao eixo x. No triângulo retângulo resultante, o ângulo A 1 O H é igual ao ângulo de rotação α, o comprimento da perna O H é igual à abcissa do ponto A 1 (x, y). O comprimento do cateto oposto ao canto é igual à ordenada do ponto A 1 (x, y), e o comprimento da hipotenusa é igual a um, pois é o raio do círculo unitário.

De acordo com a definição da geometria, o seno do ângulo α é igual à razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Isso significa que a definição do seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo pela razão de aspecto é equivalente à definição do seno do ângulo de rotação α, com alfa no intervalo de 0 a 90 graus.

Da mesma forma, a correspondência de definições pode ser mostrada para cosseno, tangente e cotangente.

Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter

A razão entre o cateto oposto e a hipotenusa é chamada seno de um ângulo agudo triângulo retângulo.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo

A razão entre o cateto mais próximo e a hipotenusa é chamada cosseno de um ângulo agudo triângulo retângulo.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo

A razão entre a perna oposta e a perna adjacente é chamada tangente de ângulo agudo triângulo retângulo.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Cotangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo

A razão entre a perna adjacente e a perna oposta é chamada cotangente de um ângulo agudo triângulo retângulo.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Seno de um ângulo arbitrário

A ordenada do ponto no círculo unitário ao qual o ângulo \alpha corresponde é chamado seno de um ângulo arbitrário rotação \alfa .

\sen\alpha=y

Cosseno de um ângulo arbitrário

A abcissa de um ponto no círculo unitário ao qual o ângulo \alpha corresponde é chamado cosseno de um ângulo arbitrário rotação \alfa .

\cos \alfa=x

Tangente de um ângulo arbitrário

A razão entre o seno de um ângulo de rotação arbitrário \alpha e seu cosseno é chamado tangente de um ângulo arbitrário rotação \alfa .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Cotangente de um ângulo arbitrário

A razão entre o cosseno de um ângulo de rotação arbitrário \alpha e seu seno é chamado cotangente de um ângulo arbitrário rotação \alfa .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Um exemplo de encontrar um ângulo arbitrário

Se \alpha é algum ângulo AOM , onde M é um ponto no círculo unitário, então

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Por exemplo, se \ângulo AOM = -\frac(\pi)(4), então: a ordenada do ponto M é -\frac(\sqrt(2))(2), a abcissa é \frac(\sqrt(2))(2) e é por isso

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \esquerda (\frac(\pi)(4) \direita)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \esquerda (-\frac(\pi)(4) \direita)=-1.

Tabela de valores de senos de cossenos de tangentes de cotangentes

Os valores dos principais ângulos encontrados com frequência são dados na tabela:

Seioângulo agudo α de um triângulo retângulo é a razão oposto cateter para a hipotenusa.
É denotado da seguinte forma: sen α.

Cosseno O ângulo agudo α de um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
É denotado da seguinte forma: cos α.

Tangenteângulo agudo α é a razão entre a perna oposta e a perna adjacente.
É denotado como se segue: tg α.

Co-tangenteângulo agudo α é a razão entre a perna adjacente e a oposta.
É designado da seguinte forma: ctg α.

O seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo dependem apenas da magnitude do ângulo.

Regras:

Identidades trigonométricas básicas em um triângulo retângulo:

(α - ângulo agudo oposto à perna b e adjacente à perna uma . Lado Com - hipotenusa. β - o segundo ângulo agudo).

À medida que o ângulo agudo aumentasinα etg α aumentar, ecos α diminui.

Para qualquer ângulo agudo α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Exemplo explicativo:

Seja em um triângulo retângulo ABC
AB = 6,
BC = 3,
ângulo A = 30º.

Encontre o seno do ângulo A e o cosseno do ângulo B.

Solução.

1) Primeiro, encontramos o valor do ângulo B. Tudo é simples aqui: como em um triângulo retângulo a soma dos ângulos agudos é 90º, então o ângulo B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Calcule o sen A. Sabemos que o seno é igual à razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Para o ângulo A, a perna oposta é o lado BC. Então:

BC 3 1
sen A = -- = - = -
AB 6 2

3) Agora calculamos cos B. Sabemos que o cosseno é igual à razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Para o ângulo B, a perna adjacente é do mesmo lado BC. Isso significa que precisamos novamente dividir BC em AB - ou seja, realizar as mesmas ações que ao calcular o seno do ângulo A:

BC 3 1
cosB = -- = - = -
AB 6 2

O resultado é:
sen A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Disto segue-se que em um triângulo retângulo o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de outro ângulo agudo - e vice-versa. Isso é exatamente o que nossas duas fórmulas significam:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Vamos conferir novamente:

1) Seja α = 60º. Substituindo o valor de α na fórmula do seno, temos:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sen 30º = cos 60º.

2) Seja α = 30º. Substituindo o valor de α na fórmula do cosseno, temos:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sen 30°.

(Para mais informações sobre trigonometria, veja a seção Álgebra)