A segunda derivada da função paramétrica online. Funções definidas parametricamente

A fórmula para a derivada de uma função definida de forma paramétrica. Demonstração e exemplos de aplicação desta fórmula. Exemplos de cálculo de derivadas de primeira, segunda e terceira ordem.

Seja a função dada de forma paramétrica:
(1)
onde é alguma variável chamada parâmetro. E deixe que as funções e tenham derivadas em algum valor da variável. Além disso, a função também tem uma função inversa em alguma vizinhança do ponto . Então a função (1) tem uma derivada no ponto, que, de forma paramétrica, é determinada pelas fórmulas:
(2)

Aqui e são derivadas das funções e em relação à variável (parâmetro) . Eles são frequentemente escritos na seguinte forma:
;
.

Então o sistema (2) pode ser escrito da seguinte forma:

Prova

Por condição, a função tem uma função inversa. Vamos denotar como
.
Então a função original pode ser representada como uma função complexa:
.
Vamos encontrar sua derivada aplicando as regras de diferenciação de funções complexas e inversas:
.

A regra foi comprovada.

Prova da segunda maneira

Vamos encontrar a derivada da segunda maneira, com base na definição da derivada da função no ponto:
.
Vamos introduzir a notação:
.
Então a fórmula anterior assume a forma:
.

Vamos usar o fato de que a função tem uma função inversa, na vizinhança do ponto.
Vamos introduzir a notação:
; ;
; .
Divida o numerador e o denominador da fração por:
.
No , . Então
.

A regra foi comprovada.

Derivados de ordens superiores

Para encontrar derivadas de ordens superiores, é necessário realizar a diferenciação várias vezes. Suponha que precisamos encontrar a segunda derivada de uma função dada de forma paramétrica, da seguinte forma:
(1)

De acordo com a fórmula (2), encontramos a primeira derivada, que também é determinada parametricamente:
(2)

Denote a primeira derivada por meio de uma variável:
.
Então, para encontrar a segunda derivada da função em relação à variável , você precisa encontrar a primeira derivada da função em relação à variável . A dependência de uma variável em uma variável também é especificada de forma paramétrica:
(3)
Comparando (3) com as fórmulas (1) e (2), encontramos:

Agora vamos expressar o resultado em termos das funções e . Para fazer isso, substituímos e aplicamos a fórmula para a derivada de uma fração:
.
Então
.

A partir daqui, obtemos a segunda derivada da função em relação à variável:

Também é dado de forma paramétrica. Observe que a primeira linha também pode ser escrita da seguinte forma:
.

Continuando o processo, é possível obter derivadas de funções a partir de uma variável de terceira ordem e superior.

Note que é possível não introduzir a notação para a derivada. Pode ser escrito assim:
;
.

Exemplo 1

Encontre a derivada de uma função dada de forma paramétrica:

Decisão

Encontramos derivadas de e em relação a .
Da tabela de derivadas encontramos:
;
.
Aplicamos:

.
Aqui .

.
Aqui .

Derivado desejado:
.

Responda

Exemplo 2

Encontre a derivada da função expressa através do parâmetro:

Decisão

Vamos abrir os colchetes usando fórmulas para funções de potência e raízes:
.

Encontramos a derivada:

.

Encontramos a derivada. Para fazer isso, introduzimos uma variável e aplicamos a fórmula para a derivada de uma função complexa.

.

Encontramos a derivada desejada:
.

Responda

Exemplo 3

Encontre a segunda e terceira derivadas da função dada parametricamente no exemplo 1:

Decisão

No exemplo 1, encontramos a derivada de primeira ordem:

Vamos introduzir a notação. Então a função é a derivada em relação a . É definido parametricamente:

Para encontrar a segunda derivada em relação a , precisamos encontrar a primeira derivada em relação a .

Diferenciamo-nos em relação a .
.
Encontramos a derivada por no exemplo 1:
.
A derivada de segunda ordem em relação a é igual à derivada de primeira ordem em relação a:
.

Assim, encontramos a derivada de segunda ordem em relação à forma paramétrica:

Agora encontramos a derivada de terceira ordem. Vamos introduzir a notação. Então precisamos encontrar a primeira derivada da função , que é dada de forma paramétrica:

Encontramos a derivada em relação a . Para fazer isso, reescrevemos em uma forma equivalente:
.
A partir de

.

A derivada de terceira ordem em relação a é igual à derivada de primeira ordem em relação a:
.

Comente

É possível não introduzir variáveis ​​e , que são derivadas de e , respectivamente. Então você pode escrever assim:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Responda

Na representação paramétrica, a derivada de segunda ordem tem próxima visualização:

Derivada de terceira ordem:

A função pode ser definida de várias maneiras. Depende da regra que é usada ao defini-la. A forma explícita da definição da função é y = f (x) . Há casos em que sua descrição é impossível ou inconveniente. Se houver um conjunto de pares (x; y) que precisam ser calculados para o parâmetro t no intervalo (a; b). Para resolver o sistema x = 3 cos t y = 3 sen t com 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Definição de função paramétrica

Portanto, temos que x = φ (t) , y = ψ (t) são definidos em para t ∈ (a ; b) e têm uma função inversa t = Θ (x) para x = φ (t) , então em questão sobre como definir uma equação paramétrica de uma função da forma y = ψ (Θ (x)) .

Há casos em que, para estudar uma função, é necessário procurar a derivada em relação a x. Considere a fórmula para a derivada de uma função dada parametricamente da forma y x " = ψ " (t) φ " (t) , vamos falar sobre a derivada de 2ª e nª ordem.

Derivação da fórmula para a derivada de uma função dada parametricamente

Temos que x = φ (t) , y = ψ (t) , definido e diferenciável para t ∈ a ; b , onde x t " = φ " (t) ≠ 0 ex = φ (t) , então existe uma função inversa da forma t = Θ (x) .

Para começar, você deve passar de uma tarefa paramétrica para uma explícita. Para fazer isso, você precisa obter uma função complexa da forma y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) , onde há um argumento x .

Com base na regra para encontrar a derivada função complexa, obtemos que y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x Θ " x .

Isso mostra que t = Θ (x) e x = φ (t) são funções inversas da fórmula função inversaΘ " (x) = 1 φ " (t) , então y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Vamos considerar a resolução de vários exemplos usando uma tabela de derivadas de acordo com a regra de diferenciação.

Exemplo 1

Encontre a derivada para a função x = t 2 + 1 y = t .

Decisão

Por condição, temos que φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, portanto obtemos que φ "(t) = t 2 + 1" , ψ "(t) = t" = 1. É necessário usar a fórmula derivada e escrever a resposta na forma:

y "x = ψ" (t) φ "(t) = 1 2 t

Responda: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Ao trabalhar com a derivada de uma função, o parâmetro t especifica a expressão do argumento x através do mesmo parâmetro t para não perder a conexão entre os valores da derivada e a função definida parametricamente com o argumento ao qual estes os valores correspondem.

Para determinar a derivada de segunda ordem de uma função dada parametricamente, você precisa usar a fórmula para a derivada de primeira ordem na função resultante, então temos que

y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t)φ"(t) - ψ"(t)φ""(t)φ"(t) 2 φ "(t) = ψ "" (t) φ "(t) - ψ "(t) φ "" (t) φ "(t) 3 .

Exemplo 2

Encontre as derivadas de 2ª e 2ª ordem da função dada x = cos (2 t) y = t 2 .

Decisão

Por condição, obtemos que φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Então depois da transformação

φ "(t) \u003d cos (2 t)" \u003d - sen (2 t) 2 t " \u003d - 2 sen (2 t) ψ (t) \u003d t 2 " \u003d 2 t

Segue-se que y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 sen 2 t = - t sen (2 t) .

Obtemos que a forma da derivada de 1ª ordem é x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Para resolvê-lo, você precisa aplicar a fórmula da derivada de segunda ordem. Obtemos uma expressão como

y x "" \u003d - t sen (2 t) φ "t \u003d - t " sen (2 t) - t (sen (2 t)) " sen 2 (2 t) - 2 sen (2 t) = = 1 sen (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sen 3 (2 t) = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)

Em seguida, definindo a derivada de 2ª ordem usando a função paramétrica

x = cos (2 t) y x "" = sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sen 3 (2 t)

Uma solução semelhante pode ser resolvida por outro método. Então

φ "t \u003d (cos (2 t)) " \u003d - sen (2 t) 2 t " \u003d - 2 sen (2 t) ⇒ φ "" t \u003d - 2 sen (2 t) " \u003d - 2 sen (2 t) "= - 2 cos (2 t) (2 t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = (2t)" = 2

Daí obtemos que

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sen (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sen 2 t 3 \u003d \u003d sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Responda: y "" x \u003d sen (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Da mesma forma, são encontradas derivadas de ordem superior com funções especificadas parametricamente.

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Não se esforce, também neste parágrafo, tudo é bastante simples. Pode ser escrito Fórmula geral função definida parametricamente, mas, para ficar claro, vou escrever imediatamente exemplo específico. Na forma paramétrica, a função é dada por duas equações: . Muitas vezes, as equações não são escritas entre chaves, mas sequencialmente:,.

Uma variável é chamada de parâmetro e pode assumir valores de "menos infinito" a "mais infinito". Considere, por exemplo, o valor e substitua-o em ambas as equações: . Ou humanamente: "se x é igual a quatro, então y é igual a um". Você pode marcar um ponto no plano de coordenadas, e este ponto corresponderá ao valor do parâmetro. Da mesma forma, você pode encontrar um ponto para qualquer valor do parâmetro "te". Quanto à função "ordinária", para os índios americanos de uma função dada parametricamente, todos os direitos também são respeitados: você pode traçar um gráfico, encontrar derivadas e assim por diante. A propósito, se houver necessidade de construir um gráfico de uma função dada parametricamente, baixe meu programa geométrico na página Fórmulas matemáticas e mesas.

Nos casos mais simples, é possível representar a função explicitamente. Expressamos o parâmetro da primeira equação: e substitua na segunda equação: . O resultado é uma função cúbica ordinária.

Em casos mais "graves", esse truque não funciona. Mas isso não importa, porque existe uma fórmula para encontrar a derivada de uma função paramétrica:

Encontramos a derivada de "o jogador em relação à variável te":

Todas as regras de diferenciação e a tabela de derivadas são válidas, claro, para a letra , portanto, não há novidade no processo de encontrar derivativos. Apenas substitua mentalmente todos os "x"s na tabela pela letra "te".

Encontramos a derivada de "x em relação à variável te":

Agora só resta substituir as derivadas encontradas em nossa fórmula:

Preparar. A derivada, como a própria função, também depende do parâmetro .

Quanto à notação, em vez de escrever na fórmula, pode-se simplesmente escrevê-la sem subscrito, já que esta é a derivada “ordinária” “por x”. Mas sempre há uma variante na literatura, então não vou me desviar do padrão.

Exemplo 6

Usamos a fórmula

NO este caso:

Por isso:

Uma característica de encontrar a derivada de uma função paramétrica é o fato de que a cada passo, é vantajoso simplificar o resultado tanto quanto possível. Então, no exemplo considerado, ao encontrar, abri os colchetes sob a raiz (embora eu possa não ter feito isso). Há uma grande chance de que ao substituir e entrar na fórmula, muitas coisas sejam bem reduzidas. Embora existam, é claro, exemplos com respostas desajeitadas.

Exemplo 7

Encontre a derivada de uma função dada parametricamente

Este é um exemplo de faça você mesmo.

No artigo Protozoários tarefas típicas com derivado consideramos exemplos em que era necessário encontrar a segunda derivada de uma função. Para uma função dada parametricamente, você também pode encontrar a segunda derivada, e ela é encontrada pela seguinte fórmula: . É bastante óbvio que, para encontrar a segunda derivada, é preciso primeiro encontrar a primeira derivada.

Exemplo 8

Encontre a primeira e a segunda derivada de uma função dada parametricamente

Vamos encontrar a primeira derivada primeiro.
Usamos a fórmula

Nesse caso:

Substitui os derivados encontrados na fórmula. Por uma questão de simplicidade, usamos a fórmula trigonométrica:

Percebi que no problema de encontrar a derivada de uma função paramétrica, muitas vezes, para simplificar, é preciso usar fórmulas trigonométricas . Lembre-se deles ou mantenha-os à mão e não perca a oportunidade de simplificar cada resultado intermediário e respostas. Pelo que? Agora temos que derivar de , e isso é claramente melhor do que encontrar a derivada de .

Vamos encontrar a segunda derivada.
Usamos a fórmula: .

Vejamos nossa fórmula. O denominador já foi encontrado na etapa anterior. Resta encontrar o numerador - a derivada da primeira derivada em relação à variável "te":

Resta usar a fórmula:

Para consolidar o material, ofereço mais alguns exemplos de uma solução independente.

Exemplo 9

Exemplo 10

Encontre e para uma função definida parametricamente

Desejo-te sorte!

Espero que esta lição tenha sido útil, e agora você pode encontrar facilmente derivadas de funções implícitas e funções paramétricas

Soluções e respostas:

Exemplo 3: Solução:






Por isso:

Vamos considerar a definição de uma linha no plano, na qual as variáveis ​​x, y são funções da terceira variável t (chamada de parâmetro):

Para cada valor t de algum intervalo correspondem certos valores x e y, e, portanto, um certo ponto M(x, y) do plano. Quando t percorre todos os valores de um determinado intervalo, então o ponto M (x, y) descreve alguma linha eu. As equações (2.2) são chamadas de equações paramétricas da linha eu.

Se a função x = φ(t) tem um inverso t = Ф(x), então substituindo esta expressão na equação y = g(t), obtemos y = g(Ф(x)), que especifica y como a função de x. Neste caso, diz-se que as equações (2.2) definem a função y parametricamente.

Exemplo 1 Deixe ser M (x, y)é um ponto arbitrário do círculo de raio R e centrado na origem. Deixe ser t- o ângulo entre o eixo Boi e raio OM(Ver Figura 2.3). Então x, y expresso através t:

As equações (2.3) são equações paramétricas do círculo. Vamos excluir o parâmetro t das equações (2.3). Para fazer isso, elevamos ao quadrado cada uma das equações e somamos, obtemos: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) ou x 2 + y 2 \u003d R 2 - a equação do círculo no sistema de coordenadas cartesianas. Ela define duas funções: Cada uma dessas funções é dada por equações paramétricas (2.3), mas para a primeira função , e para a segunda .

Exemplo 2. Equações paramétricas

definir uma elipse com semieixos a, b(Fig. 2.4). Eliminando o parâmetro das equações t, obtemos a equação canônica da elipse:

Exemplo 3. Uma ciclóide é uma linha descrita por um ponto situado em um círculo se esse círculo rolar sem deslizar ao longo de uma linha reta (Fig. 2.5). Vamos introduzir as equações paramétricas da ciclóide. Seja o raio do círculo rolante uma, ponto M, descrevendo a ciclóide, no início do movimento coincidiu com a origem.

Vamos determinar as coordenadas x, y pontos M após o círculo ter girado em um ângulo t
(Fig. 2.5), t = ÐMCB. Comprimento do arco MB igual ao comprimento do segmento OB, já que o círculo rola sem escorregar, então

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB - CD = a - acost = a(1 - custo).

Assim, as equações paramétricas da ciclóide são obtidas:

Ao alterar o parâmetro t de 0 a 2π o círculo é girado por uma volta, enquanto o ponto M descreve um arco da ciclóide. As equações (2.5) definem y como a função de x. Embora a função x = a(t - sint) tem uma função inversa, mas não é expressa em termos de funções elementares, então a função y = f(x) não é expresso em termos de funções elementares.

Considere a diferenciação da função dada parametricamente pelas equações (2.2). A função x = φ(t) em um certo intervalo de mudança t tem uma função inversa t = Ф(x), então y = g(Ф(x)). Deixe ser x = φ(t), y = g(t) tem derivativos e x"t≠0. De acordo com a regra de diferenciação de uma função complexa y"x=y"t×t"x. Com base na regra de diferenciação da função inversa, portanto:

A fórmula resultante (2.6) permite encontrar a derivada para uma função dada parametricamente.

Exemplo 4. Deixe a função y, dependendo x, é definido parametricamente:

Decisão. .
Exemplo 5 Encontrar inclinação k tangente à ciclóide no ponto M 0 correspondente ao valor do parâmetro .
Decisão. Das equações ciclóides: y" t = asint, x" t = a(1 - custo),É por isso

Inclinação tangente no ponto M0 igual ao valor em t 0 \u003d π / 4:

DIFERENCIAL DE FUNÇÃO

Deixe a função em um ponto x0 tem um derivado. A-prioridade:
portanto, pelas propriedades do limite (Seção 1.8), onde umaé infinitamente pequeno em ∆x → 0. Daqui

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2,7)

Como Δx → 0, o segundo termo na igualdade (2.7) é uma ordem infinitesimal superior, em comparação com , portanto Δy ef "(x 0) × Δx são equivalentes, infinitesimais (para f "(x 0) ≠ 0).

Assim, o incremento da função Δy consiste em dois termos, dos quais o primeiro f "(x 0) × Δx é parte principal incrementa Δy, linear em relação a Δx (para f "(x 0) ≠ 0).

Diferencial A função f(x) no ponto x 0 é chamada parte principal função incrementa e é denotado: dy ou df(x0). Conseqüentemente,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2,8)

Exemplo 1 Encontrar a diferencial de uma função dy e o incremento da função Δy para a função y \u003d x 2 quando:
1) arbitrário x e Δ x; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1.

Decisão

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) Se x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1, então Δy \u003d 40 × 0,1 + (0,1) 2 \u003d 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Escrevemos a igualdade (2.7) na forma:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

O incremento Δy difere do diferencial dy para uma ordem infinitesimal superior em comparação com Δx, portanto, em cálculos aproximados, a igualdade aproximada Δy ≈ dy é usada se Δx for suficientemente pequeno.

Considerando que Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0), obtemos uma fórmula aproximada:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Exemplo 2. Calcule aproximadamente.

Decisão. Considerar:

Usando a fórmula (2.10), obtemos:

Assim, ≈ 2,025.

Considerar sentido geométrico diferencial df(x0)(Fig. 2.6).

Desenhe uma tangente ao gráfico da função y = f (x) no ponto M 0 (x0, f (x 0)), seja φ o ângulo entre a tangente KM0 e o eixo Ox, então f "(x 0 ) = tgφ. De ΔM0NP:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0). Mas PN é o incremento da ordenada tangente quando x muda de x 0 para x 0 + Δx.

Portanto, a diferencial da função f(x) no ponto x 0 é igual ao incremento da ordenada tangente.

Vamos encontrar a diferencial da função
y=x. Como (x)" = 1, então dx = 1 × Δx = Δx. Assumimos que o diferencial da variável independente x é igual ao seu incremento, ou seja, dx = Δx.

Se x é um número arbitrário, então da igualdade (2.8) obtemos df(x) = f "(x)dx, de onde .
Assim, a derivada da função y = f(x) é igual à razão entre sua diferencial e a diferencial do argumento.

Considere as propriedades da diferencial de uma função.

Se u(x), v(x) são funções diferenciáveis, então as seguintes fórmulas são verdadeiras:

Para provar essas fórmulas, são usadas fórmulas derivadas para a soma, produto e quociente. Vamos provar, por exemplo, a fórmula (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Considere a diferencial de uma função complexa: y = f(x), x = φ(t), i.e. y = f(φ(t)).

Então dy = y" t dt, mas y" t = y" x ×x" t , então dy = y" x x" t dt. Considerando,

que x" t = dx, obtemos dy = y" x dx =f "(x)dx.

Assim, o diferencial de uma função complexa y \u003d f (x), onde x \u003d φ (t), tem a forma dy \u003d f "(x) dx, o mesmo que quando x é uma variável independente. Esta propriedade é chamado diferencial invariante de forma uma.