Derivada de uma função complexa. Exemplos de soluções

Nesta lição, aprenderemos como encontrar derivada de uma função complexa. A lição é uma continuação lógica da lição Como encontrar a derivada?, em que analisamos as derivadas mais simples, e também nos familiarizamos com as regras de diferenciação e alguns métodos técnicos para encontrar derivadas. Assim, se você não é muito bom com derivadas de funções ou alguns pontos deste artigo não estão totalmente claros, então leia primeiro a lição acima. Por favor, sintonize-se com um clima sério - o material não é fácil, mas ainda tentarei apresentá-lo de forma simples e clara.

Na prática, você tem que lidar com a derivada de uma função complexa com muita frequência, eu diria até quase sempre, quando você recebe tarefas para encontrar derivadas.

Observamos na tabela a regra (nº 5) para diferenciar uma função complexa:

Nós entendemos. Em primeiro lugar, vamos dar uma olhada na notação. Aqui temos duas funções - e , e a função, figurativamente falando, está aninhada na função . Uma função desse tipo (quando uma função está aninhada em outra) é chamada de função complexa.

vou chamar a função função externa, e a função – função interna (ou aninhada).

! Essas definições não são teóricas e não devem aparecer no desenho final dos trabalhos. Eu uso as expressões informais "função externa", função "interna" apenas para facilitar a compreensão do material.

Para esclarecer a situação, considere:

Exemplo 1

Encontre a derivada de uma função

Sob o seno, não temos apenas a letra "x", mas toda a expressão, portanto, encontrar a derivada imediatamente da tabela não funcionará. Notamos também que é impossível aplicar aqui as quatro primeiras regras, parece haver uma diferença, mas o fato é que é impossível “rasgar” o seno:

Neste exemplo, já pelas minhas explicações, fica intuitivamente claro que a função é uma função complexa, e o polinômio é uma função interna (embedding) e uma função externa.

Primeiro passo, que deve ser realizado quando encontrar a derivada de uma função complexa é entender qual função é interna e qual é externa.

No caso de exemplos simples, parece claro que um polinômio está aninhado sob o seno. Mas e se não for óbvio? Como determinar exatamente qual função é externa e qual é interna? Para fazer isso, proponho usar a seguinte técnica, que pode ser realizada mentalmente ou em um rascunho.

Vamos imaginar que precisamos calcular o valor da expressão com uma calculadora (em vez de uma, pode haver qualquer número).

O que calculamos primeiro? Em primeiro lugar você precisará executar a seguinte ação: , então o polinômio será uma função interna:

Em segundo lugar você precisará encontrar, então o seno - será uma função externa:

Depois de nós COMPREENDO Com funções internas e externas, é hora de aplicar a regra de diferenciação de funções compostas.

Começamos a decidir. Da lição Como encontrar a derivada? lembramos que o projeto da solução de qualquer derivada sempre começa assim - colocamos a expressão entre colchetes e colocamos um traço no canto superior direito:

Primeiro encontramos a derivada da função externa (seno), veja a tabela de derivadas das funções elementares e observe que . Todas as fórmulas tabulares são aplicáveis ​​mesmo se "x" for substituído por uma expressão complexa, nesse caso:

Observe que a função interna não mudou, não tocamos.

Bem, é bastante óbvio que

O resultado final da aplicação da fórmula fica assim:

O fator constante geralmente é colocado no início da expressão:

Se houver algum mal-entendido, anote a decisão no papel e leia as explicações novamente.

Exemplo 2

Encontre a derivada de uma função

Exemplo 3

Encontre a derivada de uma função

Como sempre, escrevemos:

Descobrimos onde temos uma função externa e onde temos uma função interna. Para fazer isso, tentamos (mentalmente ou em um rascunho) calcular o valor da expressão para . O que precisa ser feito primeiro? Primeiro de tudo, você precisa calcular o que a base é igual a:, o que significa que o polinômio é a função interna:

E, só então a exponenciação é realizada, portanto, a função potência é uma função externa:

De acordo com a fórmula, primeiro você precisa encontrar a derivada da função externa, neste caso, o grau. Estamos procurando a fórmula desejada na tabela:. Repetimos novamente: qualquer fórmula tabular é válida não apenas para "x", mas também para uma expressão complexa. Assim, o resultado da aplicação da regra de diferenciação de uma função complexa é o seguinte:

Enfatizo novamente que quando derivamos a função externa, a função interna não muda:

Agora resta encontrar uma derivada muito simples da função interna e “pentear” um pouco o resultado:

Exemplo 4

Encontre a derivada de uma função

Este é um exemplo de auto-resolução (resposta no final da lição).

Para consolidar o entendimento da derivada de uma função complexa, vou dar um exemplo sem comentários, tente descobrir por conta própria, motivo, onde está a função externa e onde está a função interna, por que as tarefas são resolvidas dessa forma?

Exemplo 5

a) Encontre a derivada de uma função

b) Encontre a derivada da função

Exemplo 6

Encontre a derivada de uma função

Aqui temos uma raiz, e para diferenciar a raiz, ela deve ser representada como um grau. Assim, primeiro trazemos a função para a forma adequada para diferenciação:

Analisando a função, chegamos à conclusão de que a soma de três termos é uma função interna e a exponenciação é uma função externa. Aplicamos a regra de derivação de uma função complexa:

O grau é novamente representado como um radical (raiz), e para a derivada da função interna, aplicamos uma regra simples para derivar a soma:

Preparar. Você também pode trazer a expressão para um denominador comum entre colchetes e escrever tudo como uma fração. É bonito, é claro, mas quando são obtidas derivadas longas complicadas, é melhor não fazer isso (é fácil se confundir, cometer um erro desnecessário e será inconveniente para o professor verificar).

Exemplo 7

Encontre a derivada de uma função

Este é um exemplo de auto-resolução (resposta no final da lição).

É interessante notar que algumas vezes, ao invés da regra para diferenciar uma função complexa, pode-se usar a regra para diferenciar um quociente , mas tal solução pareceria uma perversão engraçada. Aqui está um exemplo típico:

Exemplo 8

Encontre a derivada de uma função

Aqui você pode usar a regra de diferenciação do quociente , mas é muito mais lucrativo encontrar a derivada através da regra de diferenciação de uma função complexa:

Preparamos a função para diferenciação - retiramos o sinal de menos da derivada e elevamos o cosseno ao numerador:

O cosseno é uma função interna, a exponenciação é uma função externa.
Vamos usar nossa regra:

Encontramos a derivada da função interna, redefinimos o cosseno para baixo:

Preparar. No exemplo considerado, é importante não se confundir nos sinais. A propósito, tente resolvê-lo com a regra , as respostas devem corresponder.

Exemplo 9

Encontre a derivada de uma função

Este é um exemplo de auto-resolução (resposta no final da lição).

Até agora, consideramos casos em que tivemos apenas um aninhamento em uma função complexa. Em tarefas práticas, muitas vezes você pode encontrar derivadas, onde, como bonecas aninhadas, uma dentro da outra, 3 ou até 4-5 funções são aninhadas ao mesmo tempo.

Exemplo 10

Encontre a derivada de uma função

Entendemos os anexos desta função. Tentamos avaliar a expressão usando o valor experimental. Como contaríamos com uma calculadora?

Primeiro você precisa encontrar, o que significa que o arco-seno é o aninhamento mais profundo:

Este arco-seno de unidade deve então ser elevado ao quadrado:

E, finalmente, elevamos o sete à potência:

Ou seja, neste exemplo temos três funções diferentes e dois aninhamentos, enquanto a função mais interna é o arco-seno e a função mais externa é a função exponencial.

Começamos a decidir

De acordo com a regra, primeiro você precisa obter a derivada da função externa. Observamos a tabela de derivadas e encontramos a derivada da função exponencial: A única diferença é que em vez de "x" temos uma expressão complexa, que não nega a validade desta fórmula. Assim, o resultado da aplicação da regra de diferenciação de uma função complexa é o seguinte:

Sob o traço, temos uma função complicada novamente! Mas já é mais fácil. É fácil ver que a função interna é o arco-seno e a função externa é o grau. De acordo com a regra de diferenciação de uma função complexa, primeiro você precisa obter a derivada do grau.

A prova da fórmula para a derivada de uma função complexa é dada. Os casos em que uma função complexa depende de uma ou duas variáveis ​​são considerados em detalhes. Uma generalização é feita para o caso de um número arbitrário de variáveis.

Aqui apresentamos a derivação das seguintes fórmulas para a derivada de uma função complexa.
Se então
.
Se então
.
Se então
.

Derivada de uma função complexa de uma variável

Seja uma função de uma variável x representada como uma função complexa da seguinte forma:
,
onde e existem algumas funções. A função é diferenciável para algum valor da variável x . A função é diferenciável para o valor da variável.
Então a função complexa (composta) é diferenciável no ponto x e sua derivada é determinada pela fórmula:
(1) .

A fórmula (1) também pode ser escrita da seguinte forma:
;
.

Prova

Vamos introduzir a seguinte notação.
;
.
Aqui existe uma função de variáveis ​​e , existe uma função de variáveis ​​e . Mas vamos omitir os argumentos dessas funções para não confundir os cálculos.

Como as funções e são diferenciáveis ​​nos pontos x e , respectivamente, então nesses pontos existem derivadas dessas funções, que são os seguintes limites:
;
.

Considere a seguinte função:
.
Para um valor fixo da variável u , é uma função de . É óbvio que
.
Então
.

Como a função é uma função diferenciável no ponto , então ela é contínua nesse ponto. É por isso
.
Então
.

Agora encontramos a derivada.

.

A fórmula foi comprovada.

Consequência

Se uma função da variável x pode ser representada como uma função complexa de uma função complexa
,
então sua derivada é determinada pela fórmula
.
Aqui , e existem algumas funções diferenciáveis.

Para provar esta fórmula, calculamos sequencialmente a derivada de acordo com a regra de diferenciação de uma função complexa.
Considere uma função complexa
.
Seu derivado
.
Considere a função original
.
Seu derivado
.

Derivada de uma função complexa em duas variáveis

Agora deixe uma função complexa depender de várias variáveis. Primeiro considere caso de uma função complexa de duas variáveis.

Seja a função dependente da variável x representada como uma função complexa de duas variáveis ​​da seguinte forma:
,
Onde
e existem funções diferenciáveis ​​para algum valor da variável x;
é uma função de duas variáveis, diferenciáveis ​​no ponto , . Então a função complexa é definida em alguma vizinhança do ponto e tem uma derivada, que é determinada pela fórmula:
(2) .

Prova

Como as funções e são diferenciáveis ​​no ponto , elas são definidas em alguma vizinhança deste ponto, são contínuas no ponto e existem suas derivadas no ponto, que são os seguintes limites:
;
.
Aqui
;
.
Devido à continuidade dessas funções em um ponto, temos:
;
.

Como a função é diferenciável no ponto , ela é definida em alguma vizinhança desse ponto, é contínua nesse ponto e seu incremento pode ser escrito da seguinte forma:
(3) .
Aqui

- incremento da função quando seus argumentos são incrementados pelos valores e ;
;

- derivadas parciais da função em relação às variáveis ​​e .
Para valores fixos de e , e existem funções das variáveis ​​e . Eles tendem a zero como e :
;
.
Desde e , então
;
.

Incremento de função:

. :
.
Substituir (3):



.

A fórmula foi comprovada.

Derivada de uma função complexa de várias variáveis

A derivação acima é facilmente generalizada para o caso em que o número de variáveis ​​de uma função complexa é maior que dois.

Por exemplo, se f é função de três variáveis, então
,
Onde
, e existem funções diferenciáveis ​​para algum valor da variável x ;
é uma função diferenciável, em três variáveis, no ponto , , .
Então, da definição de diferenciabilidade da função , temos:
(4)
.
Uma vez que, por continuidade,
; ; ,
então
;
;
.

Dividindo (4) por e passando ao limite , obtemos:
.

E por fim, considere o caso mais geral.
Seja uma função de uma variável x representada como uma função complexa de n variáveis ​​da seguinte forma:
,
Onde
existem funções diferenciáveis ​​para algum valor da variável x;
- função diferenciável de n variáveis ​​em um ponto
, , ... , .
Então
.

Se seguirmos a definição, então a derivada de uma função em um ponto é o limite da razão de incremento da função Δ y para o incremento do argumento Δ x:

Tudo parece estar claro. Mas tente calcular por esta fórmula, digamos, a derivada da função f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x pecado x. Se você fizer tudo por definição, depois de algumas páginas de cálculos, você simplesmente adormecerá. Portanto, existem maneiras mais simples e eficazes.

Para começar, notamos que as chamadas funções elementares podem ser distinguidas de toda a variedade de funções. São expressões relativamente simples, cujas derivadas há muito são calculadas e inseridas na tabela. Essas funções são fáceis de lembrar, juntamente com suas derivadas.

Derivadas de funções elementares

Funções elementares são todas listadas abaixo. As derivadas dessas funções devem ser conhecidas de cor. Além disso, não é difícil memorizá-los - é por isso que são elementares.

Então, as derivadas de funções elementares:

Nome	Função	Derivado
Constante	f(x) = C, C ∈ R	0 (sim, sim, zero!)
Grau com expoente racional	f(x) = x n	n · x n − 1
Seio	f(x) = pecado x	porque x
Cosseno	f(x) = co x	− pecado x(menos seno)
Tangente	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Co-tangente	f(x) = ctg x	− 1/sen2 x
Logaritmo natural	f(x) = log x	1/x
Logaritmo arbitrário	f(x) = log uma x	1/(x ln uma)
Função exponencial	f(x) = e x	e x(nada mudou)

Se uma função elementar é multiplicada por uma constante arbitrária, a derivada da nova função também é facilmente calculada:

(C · f)’ = C · f ’.

Em geral, as constantes podem ser retiradas do sinal da derivada. Por exemplo:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Obviamente, funções elementares podem ser adicionadas umas às outras, multiplicadas, divididas e muito mais. É assim que surgirão novas funções, não mais elementares, mas também diferenciáveis ​​de acordo com certas regras. Essas regras são discutidas abaixo.

Derivada de soma e diferença

Deixe as funções f(x) e g(x), cujos derivados são conhecidos por nós. Por exemplo, você pode pegar as funções elementares discutidas acima. Então você pode encontrar a derivada da soma e diferença dessas funções:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Assim, a derivada da soma (diferença) de duas funções é igual à soma (diferença) das derivadas. Pode haver mais termos. Por exemplo, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Estritamente falando, não há conceito de "subtração" em álgebra. Existe um conceito de "elemento negativo". Portanto, a diferença f − g pode ser reescrito como uma soma f+ (−1) g, e então resta apenas uma fórmula - a derivada da soma.

f(x) = x 2 + senx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Função f(x) é a soma de duas funções elementares, então:

f ’(x) = (x 2+ pecado x)’ = (x 2)' + (pecado x)’ = 2x+ cosx;

Argumentamos de forma semelhante para a função g(x). Só que já existem três termos (do ponto de vista da álgebra):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Responda:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivado de um produto

A matemática é uma ciência lógica, então muitas pessoas acreditam que se a derivada da soma é igual à soma das derivadas, então a derivada do produto ataque"\u003e igual ao produto das derivadas. Mas figos para você! A derivada do produto é calculada usando uma fórmula completamente diferente. A saber:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

A fórmula é simples, mas muitas vezes esquecida. E não só os alunos, mas também os alunos. O resultado são problemas resolvidos incorretamente.

Uma tarefa. Encontre derivadas de funções: f(x) = x 3 cox; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Função f(x) é um produto de duas funções elementares, então tudo é simples:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−pecado x) = x 2 (3cos x − x pecado x)

Função g(x) o primeiro multiplicador é um pouco mais complicado, mas o esquema geral não muda a partir disso. Obviamente, o primeiro multiplicador da função g(x) é um polinômio, e sua derivada é a derivada da soma. Nós temos:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Responda:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x pecado x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Observe que na última etapa, a derivada é fatorada. Formalmente, isso não é necessário, mas a maioria das derivadas não é calculada por conta própria, mas para explorar a função. Isso significa que mais a derivada será igualada a zero, seus sinais serão descobertos e assim por diante. Nesse caso, é melhor ter uma expressão decomposta em fatores.

Se houver duas funções f(x) e g(x), e g(x) ≠ 0 no conjunto de nosso interesse, podemos definir uma nova função h(x) = f(x)/g(x). Para tal função, você também pode encontrar a derivada:

Não é fraco, certo? De onde veio o menos? Por que g 2? Mas assim! Esta é uma das fórmulas mais complexas - você não pode descobrir sem uma garrafa. Portanto, é melhor estudá-lo com exemplos específicos.

Uma tarefa. Encontre derivadas de funções:

Existem funções elementares no numerador e denominador de cada fração, então tudo o que precisamos é a fórmula para a derivada do quociente:

Por tradição, fatoramos o numerador em fatores - isso simplificará bastante a resposta:

Uma função complexa não é necessariamente uma fórmula com meio quilômetro de comprimento. Por exemplo, basta tomar a função f(x) = pecado x e substitua a variável x, digamos, em x 2+ln x. Acontece que f(x) = pecado ( x 2+ln x) é uma função complexa. Ela também tem uma derivada, mas não funcionará para encontrá-la de acordo com as regras discutidas acima.

Como ser? Nesses casos, a substituição de uma variável e a fórmula para a derivada de uma função complexa ajudam:

f ’(x) = f ’(t) · t', E se xé substituído por t(x).

Via de regra, a situação com a compreensão desta fórmula é ainda mais triste do que com a derivada do quociente. Portanto, também é melhor explicá-lo com exemplos específicos, com uma descrição detalhada de cada etapa.

Uma tarefa. Encontre derivadas de funções: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = pecado ( x 2+ln x)

Observe que se na função f(x) em vez da expressão 2 x+ 3 será fácil x, então obtemos uma função elementar f(x) = e x. Portanto, fazemos uma substituição: seja 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Estamos procurando a derivada de uma função complexa pela fórmula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

E agora - atenção! Executando uma substituição reversa: t = 2x+ 3. Obtemos:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Agora vamos ver a função g(x). Obviamente precisa ser substituído. x 2+ln x = t. Nós temos:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (pecado t)’ · t' = co t · t ’

Substituição reversa: t = x 2+ln x. Então:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Isso é tudo! Como pode ser visto na última expressão, todo o problema foi reduzido ao cálculo da derivada da soma.

Responda:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos( x 2+ln x).

Muitas vezes nas minhas aulas, em vez do termo “derivado”, uso a palavra “stroke”. Por exemplo, o traço da soma é igual à soma dos traços. Isso é mais claro? Bem, isso é bom.

Assim, o cálculo da derivada se resume a se livrar desses mesmos traços de acordo com as regras discutidas acima. Como exemplo final, voltemos à potência derivada com um expoente racional:

(x n)’ = n · x n − 1

Poucos sabem que no papel n pode ser um número fracionário. Por exemplo, a raiz é x 0,5. Mas e se houver algo complicado sob a raiz? Novamente, uma função complexa resultará - eles gostam de dar essas construções em testes e exames.

Uma tarefa. Encontre a derivada de uma função:

Primeiro, vamos reescrever a raiz como uma potência com um expoente racional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Agora fazemos uma substituição: seja x 2 + 8x − 7 = t. Encontramos a derivada pela fórmula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t-0,5 t ’.

Fazemos uma substituição inversa: t = x 2 + 8x− 7. Temos:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Por fim, de volta às raízes:

Após a preparação preliminar da artilharia, os exemplos com 3-4-5 anexos de funções serão menos assustadores. Talvez os dois exemplos a seguir pareçam complicados para alguns, mas se forem compreendidos (alguém sofre), então quase tudo no cálculo diferencial parecerá brincadeira de criança.

Exemplo 2

Encontre a derivada de uma função

Como já observado, ao encontrar a derivada de uma função complexa, em primeiro lugar, é necessário certo ENTENDA OS INVESTIMENTOS. Nos casos em que há dúvidas, relembro um truque útil: tomamos o valor experimental "x", por exemplo, e tentamos (mentalmente ou em um rascunho) substituir esse valor na "expressão terrível".

1) Primeiro precisamos calcular a expressão, então a soma é o aninhamento mais profundo.

2) Então você precisa calcular o logaritmo:

4) Cubra o cosseno:

5) Na quinta etapa, a diferença:

6) E, finalmente, a função mais externa é a raiz quadrada:

Fórmula de Diferenciação de Função Complexa são aplicados na ordem inversa, da função mais externa para a mais interna. Nós decidimos:

Parece estar livre de erros:

1) Derivamos a raiz quadrada.

2) Derivamos a diferença usando a regra

3) A derivada do triplo é igual a zero. No segundo termo, tomamos a derivada do grau (cubo).

4) Derivamos o cosseno.

6) E, finalmente, tomamos a derivada do aninhamento mais profundo.

Pode parecer muito difícil, mas este não é o exemplo mais brutal. Tomemos, por exemplo, a coleção de Kuznetsov e você apreciará todo o charme e simplicidade da derivada analisada. Percebi que eles gostam de dar uma coisa parecida na prova para verificar se o aluno entende como encontrar a derivada de uma função complexa, ou não entende.

O exemplo a seguir é para uma solução autônoma.

Exemplo 3

Encontre a derivada de uma função

Dica: Primeiro aplicamos as regras de linearidade e a regra de diferenciação do produto

Solução completa e resposta no final da lição.

É hora de passar para algo mais compacto e mais bonito.
Não é incomum uma situação em que o produto de não duas, mas três funções é dado em um exemplo. Como encontrar a derivada do produto de três fatores?

Exemplo 4

Encontre a derivada de uma função

Primeiro, olhamos, mas é possível transformar o produto de três funções em um produto de duas funções? Por exemplo, se tivéssemos dois polinômios no produto, poderíamos abrir os colchetes. Mas neste exemplo, todas as funções são diferentes: grau, expoente e logaritmo.

Nesses casos, é necessário sucessivamente aplicar a regra de diferenciação do produto duas vezes

O truque é que para "y" denotamos o produto de duas funções: , e para "ve" - ​​o logaritmo:. Por que isso pode ser feito? É isso - isso não é produto de dois fatores e a regra não funciona?! Não há nada complicado:

Agora resta aplicar a regra uma segunda vez para colchete:

Você ainda pode perverter e tirar algo dos colchetes, mas neste caso é melhor deixar a resposta neste formulário - será mais fácil verificar.

O exemplo acima pode ser resolvido da segunda maneira:

Ambas as soluções são absolutamente equivalentes.

Exemplo 5

Encontre a derivada de uma função

Este é um exemplo para uma solução independente, na amostra ela é resolvida da primeira maneira.

Considere exemplos semelhantes com frações.

Exemplo 6

Encontre a derivada de uma função

Aqui você pode ir de várias maneiras:

Ou assim:

Mas a solução pode ser escrita de forma mais compacta se, antes de tudo, usarmos a regra de diferenciação do quociente , tomando para o numerador inteiro:

Em princípio, o exemplo está resolvido e, se for deixado dessa forma, não será um erro. Mas se você tiver tempo, é sempre aconselhável verificar um rascunho, mas é possível simplificar a resposta?

Trazemos a expressão do numerador para um denominador comum e nos livramos da fração de três andares:

A desvantagem de simplificações adicionais é que existe o risco de errar não ao encontrar uma derivada, mas ao banalizar as transformações escolares. Por outro lado, os professores muitas vezes rejeitam a tarefa e pedem para “lembrar” a derivada.

Um exemplo mais simples para uma solução faça você mesmo:

Exemplo 7

Encontre a derivada de uma função

Continuamos a dominar as técnicas para encontrar a derivada, e agora vamos considerar um caso típico em que um logaritmo “terrível” é proposto para diferenciação

Primeiro nível

Função derivada. Guia Completo (2019)

Imagine uma estrada reta passando por uma área montanhosa. Ou seja, sobe e desce, mas não vira para a direita ou para a esquerda. Se o eixo for direcionado horizontalmente ao longo da estrada e verticalmente, a linha da estrada será muito semelhante ao gráfico de alguma função contínua:

O eixo é um certo nível de altura zero, na vida usamos o nível do mar como ele.

Avançando por esse caminho, também estamos subindo ou descendo. Também podemos dizer: quando o argumento muda (deslocando-se ao longo do eixo das abcissas), o valor da função muda (deslocando-se ao longo do eixo das ordenadas). Agora vamos pensar em como determinar a "inclinação" da nossa estrada? Qual poderia ser esse valor? Muito simples: quanto mudará a altura ao avançar uma certa distância. De fato, em diferentes seções da estrada, avançando (ao longo da abscissa) um quilômetro, subiremos ou desceremos um número diferente de metros em relação ao nível do mar (ao longo das ordenadas).

Indicamos progresso para frente (leia "delta x").

A letra grega (delta) é comumente usada em matemática como um prefixo que significa "mudança". Isto é - esta é uma mudança de magnitude, - uma mudança; então, o que é? Isso mesmo, uma mudança no tamanho.

Importante: a expressão é uma entidade única, uma variável. Você nunca deve arrancar o "delta" do "x" ou qualquer outra letra! Isto é, por exemplo, .

Então, nós avançamos, horizontalmente, em frente. Se compararmos a linha da estrada com o gráfico de uma função, como denotamos o aumento? É claro, . Ou seja, quando avançamos, subimos mais alto.

É fácil calcular o valor: se no início estávamos em uma altura e depois de nos movermos estávamos em uma altura, então. Se o ponto final for inferior ao ponto inicial, será negativo - isso significa que não estamos subindo, mas descendo.

Voltar para "inclinação": este é um valor que indica o quanto (inclinado) a altura aumenta ao avançar por unidade de distância:

Suponha que em algum trecho do caminho, ao avançar por km, a estrada suba por km. Então a inclinação neste lugar é igual. E se a estrada, ao avançar por m, afundasse por km? Então a inclinação é igual.

Agora considere o topo de uma colina. Se você pegar o início da seção meio quilômetro até o topo e o final - meio quilômetro depois, poderá ver que a altura é quase a mesma.

Ou seja, de acordo com nossa lógica, verifica-se que a inclinação aqui é quase igual a zero, o que claramente não é verdade. Muita coisa pode mudar a apenas alguns quilômetros de distância. Áreas menores precisam ser consideradas para uma estimativa mais adequada e precisa da inclinação. Por exemplo, se você medir a mudança de altura ao mover um metro, o resultado será muito mais preciso. Mas mesmo essa precisão pode não ser suficiente para nós - afinal, se houver um poste no meio da estrada, podemos simplesmente passar por ele. Que distância devemos escolher então? Centímetro? Milímetro? Menos é melhor!

Na vida real, medir a distância ao milímetro mais próximo é mais que suficiente. Mas os matemáticos sempre lutam pela perfeição. Assim, o conceito foi infinitesimal, ou seja, o valor do módulo é menor que qualquer número que possamos nomear. Por exemplo, você diz: um trilionésimo! Quanto menos? E você divide esse número por - e será ainda menor. E assim por diante. Se quisermos escrever que o valor é infinitamente pequeno, escrevemos assim: (lemos “x tende a zero”). É muito importante entender que este número não é igual a zero! Mas muito perto disso. Isso significa que ele pode ser dividido em.

O conceito oposto ao infinitamente pequeno é infinitamente grande (). Você provavelmente já o encontrou quando estava trabalhando em desigualdades: esse número é maior em módulo do que qualquer número que você possa imaginar. Se você chegar ao maior número possível, basta multiplicá-lo por dois e você terá ainda mais. E o infinito é ainda mais do que acontece. De fato, infinitamente grandes e infinitamente pequenos são inversos um do outro, ou seja, at, e vice-versa: at.

Agora de volta à nossa estrada. A inclinação calculada idealmente é a inclinação calculada para um segmento infinitamente pequeno do caminho, ou seja:

Observo que com um deslocamento infinitamente pequeno, a mudança na altura também será infinitamente pequena. Mas deixe-me lembrá-lo que infinitamente pequeno não significa igual a zero. Se você dividir números infinitesimais entre si, poderá obter um número completamente comum, por exemplo. Ou seja, um valor pequeno pode ser exatamente duas vezes maior que outro.

Por que tudo isso? A estrada, a inclinação... Não vamos a um rally, mas estamos aprendendo matemática. E na matemática tudo é exatamente igual, só que chamado de forma diferente.

O conceito de derivação

A derivada de uma função é a razão entre o incremento da função e o incremento do argumento em um incremento infinitesimal do argumento.

Incremento em matemática é chamado de mudança. Quanto o argumento () mudou ao se mover ao longo do eixo é chamado incremento de argumento e denotado por quanto a função (altura) mudou ao avançar ao longo do eixo por uma distância é chamada incremento de função e está marcado.

Então, a derivada de uma função é a relação com quando. Denotamos a derivada com a mesma letra da função, apenas com um traço no canto superior direito: ou simplesmente. Então, vamos escrever a fórmula da derivada usando estas notações:

Como na analogia com a estrada, aqui, quando a função aumenta, a derivada é positiva e, quando diminui, é negativa.

Mas a derivada é igual a zero? É claro. Por exemplo, se estivermos dirigindo em uma estrada horizontal plana, a inclinação é zero. De fato, a altura não muda em nada. Assim com a derivada: a derivada de uma função constante (constante) é igual a zero:

uma vez que o incremento de tal função é zero para qualquer.

Vamos pegar o exemplo do topo da colina. Descobriu-se que era possível organizar as extremidades do segmento em lados opostos do vértice de modo que a altura nas extremidades fosse a mesma, ou seja, o segmento é paralelo ao eixo:

Mas grandes segmentos são um sinal de medição imprecisa. Vamos elevar nosso segmento paralelamente a si mesmo, então seu comprimento diminuirá.

No final, quando estivermos infinitamente perto do topo, o comprimento do segmento se tornará infinitamente pequeno. Mas, ao mesmo tempo, permaneceu paralelo ao eixo, ou seja, a diferença de altura em suas extremidades é igual a zero (não tende, mas é igual a). Então a derivada

Isso pode ser entendido da seguinte forma: quando estamos no topo, um pequeno deslocamento para a esquerda ou para a direita altera nossa altura de forma insignificante.

Há também uma explicação puramente algébrica: à esquerda do topo, a função aumenta e à direita, ela diminui. Como já vimos anteriormente, quando a função aumenta, a derivada é positiva e, quando diminui, é negativa. Mas muda suavemente, sem saltos (porque a estrada não muda sua inclinação acentuadamente em nenhum lugar). Portanto, deve haver entre valores negativos e positivos. Será onde a função não aumenta nem diminui - no ponto do vértice.

O mesmo vale para o vale (a área onde a função diminui à esquerda e aumenta à direita):

Um pouco mais sobre incrementos.

Então, alteramos o argumento para um valor. Mudamos de qual valor? O que ele (argumento) se tornou agora? Podemos escolher qualquer ponto, e agora vamos dançar a partir dele.

Considere um ponto com uma coordenada. O valor da função nele é igual. Então fazemos o mesmo incremento: aumenta a coordenada em. Qual é o argumento agora? Muito fácil: . Qual é o valor da função agora? Onde o argumento vai, a função vai lá: . E o incremento de função? Nada de novo: este ainda é o valor pelo qual a função mudou:

Pratique encontrar incrementos:

1. Encontre o incremento da função em um ponto com um incremento do argumento igual a.
2. O mesmo para uma função em um ponto.

Soluções:

Em pontos diferentes, com o mesmo incremento do argumento, o incremento da função será diferente. Isso significa que a derivada em cada ponto tem a sua própria (discutimos isso no início - a inclinação da estrada em diferentes pontos é diferente). Portanto, quando escrevemos uma derivada, devemos indicar em que ponto:

Função liga-desliga.

Uma função de poder é chamada de função onde o argumento é até certo ponto (lógico, certo?).

E - em qualquer medida: .

O caso mais simples é quando o expoente é:

Vamos encontrar sua derivada em um ponto. Lembre-se da definição de derivada:

Assim, o argumento muda de para. Qual é o incremento da função?

O incremento é. Mas a função em qualquer ponto é igual ao seu argumento. É por isso:

A derivada é:

A derivada de é:

b) Considere agora a função quadrática (): .

Agora vamos lembrar disso. Isso significa que o valor do incremento pode ser desprezado, pois é infinitamente pequeno e, portanto, insignificante no contexto de outro termo:

Então, temos outra regra:

c) Continuamos a série lógica: .

Essa expressão pode ser simplificada de diferentes maneiras: abra o primeiro colchete usando a fórmula da multiplicação abreviada do cubo da soma ou decomponha a expressão inteira em fatores usando a fórmula da diferença dos cubos. Tente fazer você mesmo em qualquer uma das maneiras sugeridas.

Então, obtive o seguinte:

E novamente, lembre-se disso. Isso significa que podemos desprezar todos os termos contendo:

Nós temos: .

d) Regras semelhantes podem ser obtidas para grandes potências:

e) Acontece que esta regra pode ser generalizada para uma função potência com um expoente arbitrário, nem mesmo um inteiro:

(2)

Você pode formular a regra com as palavras: “o grau é apresentado como um coeficiente e depois diminui”.

Vamos provar esta regra mais tarde (quase no final). Agora vamos ver alguns exemplos. Encontre a derivada das funções:

1. (de duas formas: pela fórmula e usando a definição da derivada - contando o incremento da função);

1. . Acredite ou não, esta é uma função de poder. Se você tiver perguntas como “Como é? E onde está o diploma? ”, Lembre-se do tópico“ ”!
   Sim, sim, a raiz também é um grau, apenas fracionário:.
   Então nossa raiz quadrada é apenas uma potência com um expoente:
   .
   Estamos procurando a derivada usando a fórmula aprendida recentemente:

   Se neste ponto ficou claro novamente, repita o tópico "" !!! (cerca de um grau com um indicador negativo)

2. . Agora o expoente:

   E agora através da definição (você já esqueceu?):
   ;
   .
   Agora, como de costume, negligenciamos o termo que contém:
   .

3. . Combinação de casos anteriores: .

funções trigonométricas.

Aqui usaremos um fato da matemática superior:

Quando expressão.

Você aprenderá a prova no primeiro ano do instituto (e para chegar lá, você precisa passar bem no exame). Agora vou mostrar graficamente:

Vemos que quando a função não existe - o ponto no gráfico é perfurado. Mas quanto mais próximo do valor, mais próxima a função está, isso é o próprio “esforço”.

Além disso, você pode verificar esta regra com uma calculadora. Sim, sim, não seja tímido, leve uma calculadora, ainda não estamos no exame.

Então vamos tentar: ;

Não se esqueça de mudar a calculadora para o modo radianos!

etc. Vemos que quanto menor, mais próximo o valor da razão.

a) Considere uma função. Como de costume, encontramos seu incremento:

Vamos transformar a diferença de senos em um produto. Para fazer isso, usamos a fórmula (lembre-se do tópico ""):.

Agora a derivada:

Vamos fazer uma substituição: . Então, para infinitamente pequeno, também é infinitamente pequeno: . A expressão para toma a forma:

E agora nos lembramos disso com a expressão. E também, e se um valor infinitamente pequeno puder ser desprezado na soma (ou seja, at).

Assim, obtemos a seguinte regra: a derivada do seno é igual ao cosseno:

Estes são derivativos básicos (“tabela”). Aqui estão eles em uma lista:

Mais tarde, adicionaremos mais alguns a eles, mas esses são os mais importantes, pois são usados ​​com mais frequência.

Prática:

1. Encontre a derivada de uma função em um ponto;
2. Encontre a derivada da função.

Soluções:

1. Primeiro, encontramos a derivada em uma forma geral e, em seguida, substituímos seu valor:
   ;
   .
2. Aqui temos algo semelhante a uma função de potência. Vamos tentar trazê-la para
   visão normal:
   .
   Ok, agora você pode usar a fórmula:
   .
   .
3. . Eeeeee….. O que é isso????

Ok, você está certo, ainda não sabemos como encontrar tais derivadas. Aqui temos uma combinação de vários tipos de funções. Para trabalhar com eles, você precisa aprender mais algumas regras:

Expoente e logaritmo natural.

Existe tal função na matemática, cuja derivada para qualquer é igual ao valor da própria função para o mesmo. É chamado de "expoente" e é uma função exponencial

A base desta função - uma constante - é uma fração decimal infinita, ou seja, um número irracional (como). É chamado de "número de Euler", e é por isso que é indicado por uma letra.

Então a regra é:

É muito fácil de lembrar.

Bem, não iremos longe, consideraremos imediatamente a função inversa. Qual é a inversa da função exponencial? Logaritmo:

No nosso caso, a base é um número:

Tal logaritmo (isto é, um logaritmo com base) é chamado de “natural”, e usamos uma notação especial para ele: escrevemos em vez disso.

O que é igual? É claro, .

A derivada do logaritmo natural também é muito simples:

Exemplos:

1. Encontre a derivada da função.
2. Qual é a derivada da função?

Respostas: O expoente e o logaritmo natural são funções singularmente simples em termos da derivada. Funções exponenciais e logarítmicas com qualquer outra base terão uma derivada diferente, que analisaremos mais adiante, depois de passarmos pelas regras de diferenciação.

Regras de diferenciação

Que regras? Mais um novo termo, de novo?!...

Diferenciaçãoé o processo de encontrar a derivada.

Só e tudo. Qual é outra palavra para esse processo? Não proizvodnovanie... O diferencial da matemática é chamado o próprio incremento da função at. Este termo vem do latim differentia - diferença. Aqui.

Ao derivar todas essas regras, usaremos duas funções, por exemplo, e. Também precisaremos de fórmulas para seus incrementos:

São 5 regras no total.

A constante é retirada do sinal da derivada.

Se - algum número constante (constante), então.

Obviamente, essa regra também funciona para a diferença: .

Vamos provar isso. Deixe, ou mais fácil.

Exemplos.

Encontre derivadas de funções:

1. no ponto;
2. no ponto;
3. no ponto;
4. no ponto.

Soluções:

1. (a derivada é a mesma em todos os pontos, pois é uma função linear, lembra?);

Derivado de um produto

Tudo é semelhante aqui: introduzimos uma nova função e encontramos seu incremento:

Derivado:

Exemplos:

1. Encontrar derivadas de funções e;
2. Encontre a derivada de uma função em um ponto.

Soluções:

Derivada da função exponencial

Agora seu conhecimento é suficiente para aprender a encontrar a derivada de qualquer função exponencial, e não apenas o expoente (você já esqueceu o que é?).

Então, onde está algum número.

Já sabemos a derivada da função, então vamos tentar trazer nossa função para uma nova base:

Para fazer isso, usamos uma regra simples: . Então:

Bem, funcionou. Agora tente encontrar a derivada, e não esqueça que esta função é complexa.

Ocorrido?

Aqui, verifique você mesmo:

A fórmula ficou muito parecida com a derivada do expoente: como estava, fica, só apareceu um fator, que é só um número, mas não uma variável.

Exemplos:
Encontre derivadas de funções:

Respostas:

Este é apenas um número que não pode ser calculado sem uma calculadora, ou seja, não pode ser escrito de uma forma mais simples. Portanto, na resposta é deixado nesta forma.

Derivada de uma função logarítmica

Aqui é semelhante: você já conhece a derivada do logaritmo natural:

Portanto, para encontrar um arbitrário do logaritmo com uma base diferente, por exemplo, :

Precisamos trazer esse logaritmo para a base. Como você altera a base de um logaritmo? Espero que você se lembre desta fórmula:

Só que agora em vez de escreveremos:

O denominador acabou sendo apenas uma constante (um número constante, sem uma variável). A derivada é muito simples:

Derivadas das funções exponencial e logarítmica quase nunca são encontradas no exame, mas não será supérfluo conhecê-las.

Derivada de uma função complexa.

O que é uma "função complexa"? Não, isso não é um logaritmo e não um arco tangente. Essas funções podem ser difíceis de entender (embora se o logaritmo lhe pareça difícil, leia o tópico "Logaritmos" e tudo dará certo), mas em termos de matemática, a palavra "complexo" não significa "difícil".

Imagine um pequeno transportador: duas pessoas estão sentadas e realizando algumas ações com alguns objetos. Por exemplo, o primeiro envolve uma barra de chocolate em uma embalagem e o segundo a amarra com uma fita. Acontece que um objeto tão composto: uma barra de chocolate embrulhada e amarrada com uma fita. Para comer uma barra de chocolate, você precisa fazer os passos opostos na ordem inversa.

Vamos criar um pipeline matemático semelhante: primeiro encontraremos o cosseno de um número e, em seguida, elevaremos ao quadrado o número resultante. Então, eles nos dão um número (chocolate), eu encontro seu cosseno (embrulho), e então você ajusta o que eu tenho (amarre com uma fita). O que aconteceu? Função. Este é um exemplo de função complexa: quando, para encontrar seu valor, realizamos a primeira ação diretamente com a variável, e depois outra segunda ação com o que aconteceu como resultado da primeira.

Podemos muito bem fazer os mesmos passos na ordem inversa: primeiro você eleva ao quadrado, e então eu procuro o cosseno do número resultante:. É fácil adivinhar que o resultado quase sempre será diferente. Uma característica importante das funções complexas: quando a ordem das ações muda, a função muda.

Em outras palavras, Uma função complexa é uma função cujo argumento é outra função: .

Para o primeiro exemplo, .

Segundo exemplo: (mesmo). .

A última ação que fazemos será chamada função "externa", e a ação executada primeiro - respectivamente função "interna"(esses são nomes informais, eu os uso apenas para explicar o material em linguagem simples).

Tente determinar por si mesmo qual função é externa e qual é interna:

Respostas: A separação de funções internas e externas é muito semelhante à mudança de variáveis: por exemplo, na função

1. Que ação tomaremos primeiro? Primeiro calculamos o seno e só então o elevamos a um cubo. Portanto, é uma função interna, não externa.
   E a função original é a sua composição: .
2. Interno: ; externo: .
   Exame: .
3. Interno: ; externo: .
   Exame: .
4. Interno: ; externo: .
   Exame: .
5. Interno: ; externo: .
   Exame: .

mudamos as variáveis ​​e obtemos uma função.

Bem, agora vamos extrair nosso chocolate - procure o derivado. O procedimento é sempre inverso: primeiro, procuramos a derivada da função externa, depois multiplicamos o resultado pela derivada da função interna. Para o exemplo original, fica assim:

Outro exemplo:

Então, vamos finalmente formular a regra oficial:

Algoritmo para encontrar a derivada de uma função complexa:

Tudo parece ser simples, certo?

Vamos verificar com exemplos:

Soluções:

1) Interno: ;

Externa: ;

2) Interno: ;

(só não tente reduzir agora! Nada é retirado de baixo do cosseno, lembra?)

3) Interno: ;

Externa: ;

Fica imediatamente claro que há uma função complexa de três níveis aqui: afinal, essa já é uma função complexa em si, e ainda extraímos a raiz dela, ou seja, realizamos a terceira ação (colocar chocolate em uma embalagem e com uma fita em uma maleta). Mas não há motivo para ter medo: de qualquer forma, vamos “descompactar” essa função na mesma ordem de sempre: do final.

Ou seja, primeiro diferenciamos a raiz, depois o cosseno e só então a expressão entre parênteses. E então multiplicamos tudo.

Nesses casos, é conveniente numerar as ações. Ou seja, vamos imaginar o que sabemos. Em que ordem executaremos as ações para calcular o valor dessa expressão? Vejamos um exemplo:

Quanto mais tarde a ação for executada, mais "externa" será a função correspondente. A sequência de ações - como antes:

Aqui o aninhamento é geralmente de 4 níveis. Vamos determinar o curso de ação.

1. Expressão radical. .

2. Raiz. .

3. Seio. .

4. Quadrado. .

5. Juntando tudo:

DERIVADO. BREVEMENTE SOBRE O PRINCIPAL

Função derivada- a razão entre o incremento da função e o incremento do argumento com um incremento infinitesimal do argumento:

Derivados básicos:

Regras de diferenciação:

A constante é retirada do sinal da derivada:

Derivada da soma:

Produto derivado:

Derivada do quociente:

Derivada de uma função complexa:

Algoritmo para encontrar a derivada de uma função complexa:

1. Definimos a função "interna", encontramos sua derivada.
2. Definimos a função "externa", encontramos sua derivada.
3. Multiplicamos os resultados do primeiro e segundo pontos.