Resolução de problemas típicos de resistência de materiais. Flexão Planar de Barras Retas O que é Flexão de Primeira Segunda Ordem

dobrar

Conceitos básicos sobre dobra

A deformação por flexão é caracterizada pela perda de retilineidade ou forma original pela linha da viga (seu eixo) quando uma carga externa é aplicada. Neste caso, em contraste com a deformação por cisalhamento, a linha de feixe muda sua forma suavemente.
É fácil ver que a resistência à flexão é afetada não apenas pela área da seção transversal da viga (viga, haste, etc.), mas também pela forma geométrica dessa seção.

Como o corpo (viga, viga, etc.) é dobrado em relação a qualquer eixo, a resistência à flexão é afetada pela magnitude do momento de inércia axial da seção do corpo em relação a esse eixo.
Para efeito de comparação, durante a deformação por torção, a seção do corpo é submetida a torção em relação ao polo (ponto), portanto, o momento de inércia polar dessa seção afeta a resistência à torção.

Muitos elementos estruturais podem trabalhar na flexão - eixos, eixos, vigas, dentes de engrenagem, alavancas, hastes, etc.

Na resistência dos materiais, vários tipos de dobras são considerados:
- dependendo da natureza da carga externa aplicada à viga, eles distinguem pura dobra e curva transversal;
- dependendo da localização do plano de ação da carga de flexão em relação ao eixo da viga - curva reta e curva oblíqua.

Flexão de vigas puras e transversais

Uma curva pura é um tipo de deformação em que apenas um momento fletor ocorre em qualquer seção transversal da viga ( arroz. 2).
A deformação da flexão pura ocorrerá, por exemplo, se dois pares de forças iguais em magnitude e de sinal oposto forem aplicados a uma viga reta em um plano que passa pelo eixo. Então apenas momentos fletores atuarão em cada seção da viga.

Se a dobra ocorrer como resultado da aplicação de uma força transversal à barra ( arroz. 3), então essa curva é chamada transversal. Nesse caso, tanto a força transversal quanto o momento fletor atuam em cada seção da viga (exceto na seção à qual é aplicada uma carga externa).

Se a viga tiver pelo menos um eixo de simetria e o plano de ação das cargas coincidir com ele, ocorrerá flexão direta; se essa condição não for atendida, ocorrerá flexão oblíqua.

Ao estudar a deformação por flexão, imaginaremos mentalmente que uma viga (viga) é constituída por um número incontável de fibras longitudinais paralelas ao eixo.
Para visualizar a deformação de uma curva direta, faremos um experimento com uma barra de borracha, na qual é aplicada uma grade de linhas longitudinais e transversais.
Sujeitando tal feixe a uma curva direta, pode-se notar que ( arroz. 1):

As linhas transversais permanecerão retas quando deformadas, mas virarão em ângulo entre si;
- as seções da viga se expandirão no sentido transversal no lado côncavo e estreitarão no lado convexo;
- linhas retas longitudinais serão curvadas.

Desta experiência pode-se concluir que:

Para flexão pura, a hipótese de seções planas é válida;
- as fibras que se encontram no lado convexo são esticadas, no lado côncavo são comprimidas e na borda entre elas há uma camada neutra de fibras que apenas dobram sem alterar seu comprimento.

Admitindo-se que a hipótese de não-pressão das fibras seja justa, pode-se argumentar que com a flexão pura na seção transversal da viga, surgem apenas tensões normais de tração e compressão, que são distribuídas de forma desigual ao longo da seção.
A linha de interseção da camada neutra com o plano da seção transversal é chamada eixo neutro. É óbvio que as tensões normais no eixo neutro são iguais a zero.

Momento fletor e força cortante

Como é conhecido da mecânica teórica, as reações de apoio das vigas são determinadas compilando e resolvendo as equações de equilíbrio estático para toda a viga. Ao resolver os problemas de resistência dos materiais e determinar os fatores de força internos nas barras, levamos em consideração as reações das ligações junto com as cargas externas que atuam nas barras.
Para determinar os fatores de força internos, usamos o método da seção e representaremos a viga com apenas uma linha - o eixo ao qual são aplicadas as forças ativas e reativas (cargas e reações de ligações).

Considere dois casos:

1. Dois pares de forças iguais e opostos são aplicados à viga.
Considerando o equilíbrio da parte da viga localizada à esquerda ou à direita da seção 1-1 (Figura 2), vemos que em todas as seções existe apenas um momento fletor M e igual ao momento externo. Assim, este é um caso de flexão pura.

O momento fletor é o momento resultante em relação ao eixo neutro das forças normais internas que atuam na seção transversal da viga.

Vamos prestar atenção ao fato de que o momento fletor tem uma direção diferente para as partes esquerda e direita da viga. Isso indica a inadequação da regra dos sinais da estática na determinação do sinal do momento fletor.

2. Forças ativas e reativas (cargas e reações de ligações) perpendiculares ao eixo são aplicadas à viga (arroz. 3). Considerando o equilíbrio das peças da viga localizadas à esquerda e à direita, vemos que o momento fletor M deve atuar nas seções transversais e e força cortante Q.
Daí resulta que, no caso considerado, não só as tensões normais correspondentes ao momento fletor, mas também as tensões tangenciais correspondentes à força transversal atuam nos pontos das seções transversais.

A força transversal é a resultante das forças tangenciais internas na seção transversal da viga.

Atentemos para o fato de que a força cortante tem direção oposta para as partes esquerda e direita da viga, o que indica a inadequação da regra dos sinais estáticos na determinação do sinal da força cortante.

A flexão, na qual um momento fletor e uma força transversal atuam na seção transversal da viga, é chamada de transversal.

Para uma viga em equilíbrio com a ação de um sistema plano de forças, a soma algébrica dos momentos de todas as forças ativas e reativas em relação a qualquer ponto é igual a zero; portanto, a soma dos momentos das forças externas que atuam na viga à esquerda da seção é numericamente igual à soma dos momentos de todas as forças externas que atuam na viga à direita da seção.
Nesse caminho, o momento fletor na seção da viga é numericamente igual à soma algébrica dos momentos em relação ao centro de gravidade da seção de todas as forças externas que atuam na viga à direita ou à esquerda da seção.

Para uma viga em equilíbrio sob a ação de um sistema plano de forças perpendiculares ao eixo (isto é, um sistema de forças paralelas), a soma algébrica de todas as forças externas é zero; portanto, a soma das forças externas que atuam na viga à esquerda da seção é numericamente igual à soma algébrica das forças que atuam na viga à direita da seção.
Nesse caminho, a força transversal na seção da viga é numericamente igual à soma algébrica de todas as forças externas que atuam à direita ou à esquerda da seção.

Como as regras de sinais da estática são inaceitáveis ​​para estabelecer os sinais do momento fletor e da força transversal, estabeleceremos outras regras de sinais para elas, a saber: viga convexa para cima, então o momento fletor na seção é considerado negativo ( Figura 4a).

Se a soma das forças externas situadas no lado esquerdo da seção fornece uma resultante direcionada para cima, a força transversal na seção é considerada positiva, se a resultante é direcionada para baixo, a força transversal na seção é considerada negativa; para a parte da viga localizada à direita da seção, os sinais da força transversal serão opostos ( arroz. 4b). Usando essas regras, deve-se imaginar mentalmente a seção da viga rigidamente fixada e as conexões descartadas e substituídas por reações.

Mais uma vez, notamos que para determinar as reações das ligações, são usadas as regras dos sinais da estática, e para determinar os sinais do momento fletor e da força transversal, são usadas as regras dos sinais da resistência dos materiais.
A regra dos sinais para momentos fletores é às vezes chamada de "regra da chuva", o que significa que, no caso de uma protuberância descendente, é formado um funil no qual a água da chuva é retida (o sinal é positivo) e vice-versa - se sob a ação de cargas a viga se dobra para cima em um arco, a água não se atrasa (o sinal dos momentos fletores é negativo).

Materiais da seção "Dobrar":

Começamos com o caso mais simples, a chamada flexão pura.

A flexão pura é um caso especial de flexão, em que a força transversal nas seções da viga é zero. A flexão pura só pode ocorrer quando o peso próprio da viga é tão pequeno que sua influência pode ser desprezada. Para vigas em dois apoios, exemplos de cargas que causam

curva, mostrada na Fig. 88. Em seções dessas vigas, onde Q \u003d 0 e, portanto, M \u003d const; há uma curva pura.

As forças em qualquer seção da viga com flexão pura são reduzidas a um par de forças, cujo plano de ação passa pelo eixo da viga e o momento é constante.

As tensões podem ser determinadas com base nas seguintes considerações.

1. As componentes tangenciais das forças nas áreas elementares da seção transversal da viga não podem ser reduzidas a um par de forças cujo plano de ação é perpendicular ao plano da seção. Segue-se que a força de flexão na seção é o resultado da ação em áreas elementares

apenas forças normais e, portanto, com flexão pura, as tensões são reduzidas apenas às normais.

2. Para que os esforços nas plataformas elementares sejam reduzidos a apenas algumas forças, deve haver forças positivas e negativas entre elas. Portanto, devem existir fibras de viga tensionadas e comprimidas.

3. Devido ao fato de que as forças em diferentes seções são as mesmas, as tensões nos pontos correspondentes das seções são as mesmas.

Considere qualquer elemento próximo à superfície (Fig. 89, a). Como nenhuma força é aplicada ao longo de sua face inferior, que coincide com a superfície da viga, também não há tensões sobre ela. Portanto, não há tensões na face superior do elemento, pois caso contrário o elemento não estaria em equilíbrio. Considerando o elemento adjacente a ele em altura (Fig. 89, b), chegamos a

A mesma conclusão, etc. Segue-se que não há tensões ao longo das faces horizontais de qualquer elemento. Considerando os elementos que compõem a camada horizontal, começando pelo elemento próximo à superfície da viga (Fig. 90), chegamos à conclusão de que não há tensões ao longo das faces verticais laterais de nenhum elemento. Assim, o estado de tensão de qualquer elemento (Fig. 91, a), e no limite da fibra, deve ser representado como mostrado na Fig. 91b, ou seja, pode ser tensão axial ou compressão axial.

4. Devido à simetria da aplicação de forças externas, a seção ao longo do meio do comprimento da viga após a deformação deve permanecer plana e normal ao eixo da viga (Fig. 92, a). Pela mesma razão, seções em quartos do comprimento da viga também permanecem planas e normais ao eixo da viga (Fig. 92, b), se apenas as seções extremas da viga permanecerem planas e normais ao eixo da viga durante a deformação. Uma conclusão semelhante também é válida para seções em oitavos do comprimento da viga (Fig. 92, c), etc. Portanto, se as seções extremas da viga permanecerem planas durante a flexão, então para qualquer seção ela permanecerá

é justo dizer que após a deformação ela permanece plana e normal ao eixo da viga curvada. Mas, neste caso, é óbvio que a mudança no alongamento das fibras da viga ao longo de sua altura deve ocorrer não apenas continuamente, mas também monotonamente. Se chamarmos uma camada de um conjunto de fibras com os mesmos alongamentos, segue-se do que foi dito que as fibras esticadas e comprimidas da viga devem estar localizadas em lados opostos da camada em que os alongamentos das fibras são iguais a zero. Chamaremos de neutras as fibras cujos alongamentos são iguais a zero; uma camada composta por fibras neutras - uma camada neutra; a linha de interseção da camada neutra com o plano da seção transversal da viga - a linha neutra desta seção. Então, com base nas considerações anteriores, pode-se argumentar que com uma flexão pura da viga em cada uma de suas seções existe uma linha neutra que divide esta seção em duas partes (zonas): a zona de fibras esticadas (zona tensionada) e a zona de fibras comprimidas (zona comprimida). Assim, as tensões normais de tração devem atuar nos pontos da zona esticada da seção transversal, as tensões de compressão nos pontos da zona comprimida e nos pontos da linha neutra as tensões são iguais a zero.

Assim, com uma flexão pura de uma viga de seção transversal constante:

1) apenas tensões normais atuam nas seções;

2) toda a seção pode ser dividida em duas partes (zonas) - esticada e comprimida; o limite das zonas é a linha neutra da seção, nos pontos em que as tensões normais são iguais a zero;

3) qualquer elemento longitudinal da viga (no limite, qualquer fibra) é submetido a tração ou compressão axial, de modo que as fibras adjacentes não interagem entre si;

4) se as seções extremas da viga durante a deformação permanecerem planas e normais ao eixo, então todas as suas seções transversais permanecerão planas e normais ao eixo da viga curvada.

Estado de tensão de uma viga em flexão pura

Considere um elemento de uma viga sujeito à flexão pura, concluindo medidos entre as seções m-m e n-n, que são espaçadas uma da outra a uma distância dx infinitamente pequena (Fig. 93). Devido ao disposto (4) do parágrafo anterior, as seções m-m e n-n, que eram paralelas antes da deformação, após a flexão, permanecendo planas, formarão um ângulo dQ e se cruzarão ao longo de uma linha reta que passa pelo ponto C, que é o centro de curvatura da fibra neutra NN. Então a parte da fibra AB contida entre eles, localizada a uma distância z da fibra neutra (a direção positiva do eixo z é tomada em direção à convexidade da viga durante a flexão), se transformará em um arco A "B" após Um segmento da fibra neutra O1O2, transformando-se em um arco O1O2, não mudará seu comprimento, enquanto a fibra AB receberá um alongamento:

antes da deformação

após a deformação

onde p é o raio de curvatura da fibra neutra.

Portanto, o alongamento absoluto do segmento AB é

e alongamento

Uma vez que, de acordo com a posição (3), a fibra AB é submetida a tração axial, então com deformação elástica

A partir disso, pode-se ver que as tensões normais ao longo da altura da viga são distribuídas de acordo com uma lei linear (Fig. 94). Como a força igual de todos os esforços em todas as seções elementares da seção deve ser igual a zero, então

de onde, substituindo o valor de (5.8), encontramos

Mas a última integral é um momento estático em torno do eixo Oy, que é perpendicular ao plano de ação das forças de flexão.

Devido à sua igualdade a zero, este eixo deve passar pelo centro de gravidade O da seção. Assim, a linha neutra da seção da viga é uma linha reta yy, perpendicular ao plano de ação das forças de flexão. É chamado de eixo neutro da seção da viga. Então, de (5.8), segue-se que as tensões em pontos situados à mesma distância do eixo neutro são as mesmas.

O caso da flexão pura, em que as forças de flexão atuam em apenas um plano, causando flexão somente nesse plano, é uma flexão plana pura. Se o plano nomeado passa pelo eixo Oz, então o momento dos esforços elementares em relação a este eixo deve ser igual a zero, ou seja,

Substituindo aqui o valor de σ de (5.8), encontramos

A integral do lado esquerdo desta igualdade, como é conhecida, é o momento de inércia centrífuga da seção em torno dos eixos y e z, de modo que

Os eixos em relação aos quais o momento de inércia centrífugo da seção é igual a zero são chamados de eixos principais de inércia desta seção. Se, além disso, eles passam pelo centro de gravidade da seção, podem ser chamados de eixos centrais principais de inércia da seção. Assim, com uma flexão pura plana, a direção do plano de ação das forças de flexão e o eixo neutro da seção são os principais eixos centrais de inércia desta última. Em outras palavras, para obter uma flexão plana e limpa de uma viga, uma carga não pode ser aplicada a ela arbitrariamente: ela deve ser reduzida a forças atuantes em um plano que passa por um dos principais eixos centrais de inércia das seções da viga; neste caso, o outro eixo central principal de inércia será o eixo neutro da seção.

Como você sabe, no caso de uma seção simétrica em relação a qualquer eixo, o eixo de simetria é um de seus principais eixos centrais de inércia. Portanto, neste caso específico, certamente obteremos uma flexão pura aplicando as cargas analógicas apropriadas no plano que passa pelo eixo longitudinal da viga e pelo eixo de simetria de sua seção. A linha reta, perpendicular ao eixo de simetria e passando pelo centro de gravidade da seção, é o eixo neutro desta seção.

Tendo estabelecido a posição do eixo neutro, não é difícil encontrar a magnitude da tensão em qualquer ponto da seção. De fato, como a soma dos momentos das forças elementares em relação ao eixo neutro yy deve ser igual ao momento fletor, então

de onde, substituindo o valor de σ de (5.8), encontramos

Como a integral é momento de inércia da seção em torno do eixo y, então

e da expressão (5.8) obtemos

O produto EI Y é chamado de rigidez à flexão da viga.

As maiores tensões de tração e compressão em valor absoluto atuam nos pontos da seção para os quais o valor absoluto de z é maior, ou seja, nos pontos mais distantes do eixo neutro. Com as designações, Fig. 95 tem

O valor de Jy/h1 é chamado de momento de resistência da seção ao alongamento e é denotado por Wyr; da mesma forma, Jy/h2 é chamado de momento de resistência da seção à compressão

e denotam Wyc, então

e, portanto,

Se o eixo neutro é o eixo de simetria da seção, então h1 = h2 = h/2 e, consequentemente, Wyp = Wyc, então não há necessidade de distinção entre eles, e eles usam a mesma designação:

chamando W y simplesmente o módulo de seção. Portanto, no caso de uma seção simétrica em torno do eixo neutro,

Todas as conclusões acima são obtidas com base na suposição de que as seções transversais da viga, quando dobradas, permanecem planas e normais ao seu eixo (a hipótese das seções planas). Como mostrado, esta suposição é válida apenas no caso em que as seções extremas (extremidades) da viga permanecem planas durante a flexão. Por outro lado, decorre da hipótese das seções planas que as forças elementares nessas seções devem ser distribuídas de acordo com uma lei linear. Portanto, para a validade da teoria obtida da flexão pura plana, é necessário que os momentos fletores nas extremidades da viga sejam aplicados na forma de forças elementares distribuídas ao longo da altura da seção de acordo com uma lei linear (Fig. 96), que coincide com a lei de distribuição de tensões ao longo da altura das vigas de seção. No entanto, com base no princípio de Saint-Venant, pode-se argumentar que uma mudança no método de aplicação dos momentos fletores nas extremidades da viga causará apenas deformações locais, cujo efeito afetará apenas a uma certa distância dessas extremidades (aproximadamente igual à altura da seção). As seções localizadas no restante do comprimento da viga permanecerão planas. Consequentemente, a teoria da flexão pura plana, com qualquer método de aplicação de momentos fletores, é válida apenas na parte média do comprimento da viga, localizada a distâncias de suas extremidades aproximadamente iguais à altura da seção. A partir disso, fica claro que esta teoria é obviamente inaplicável se a altura da seção exceder a metade do comprimento ou vão da viga.

dobrar é chamado o tipo de carregamento de uma barra, no qual um momento é aplicado a ela, situada em um plano que passa pelo eixo longitudinal. Os momentos fletores ocorrem nas seções transversais da viga. Ao dobrar, ocorre deformação, na qual o eixo da viga reta é dobrado ou a curvatura da viga curvada muda.

Uma barra que trabalha em flexão é chamada feixe . Uma estrutura que consiste em várias hastes de dobra conectadas umas às outras geralmente em um ângulo de 90 ° é chamada quadro .

A curva é chamada plana ou reta , se o plano de ação da carga passa pelo eixo central principal de inércia da seção (Fig. 6.1).

Fig.6.1

Com uma flexão transversal plana na viga, surgem dois tipos de forças internas: a força transversal Q e momento fletor M. No quadro com uma flexão transversal plana, surgem três forças: longitudinal N, transversal Q forças e momento fletor M.

Se o momento fletor é o único fator de força interno, então tal flexão é chamada limpar (fig.6.2). Na presença de uma força transversal, uma curva é chamada transversal . A rigor, somente a flexão pura pertence aos tipos simples de resistência; A flexão transversal é condicionalmente referida como tipos simples de resistência, pois na maioria dos casos (para vigas suficientemente longas) a ação de uma força transversal pode ser desprezada nos cálculos de resistência.

22.Curva transversal plana. Dependências diferenciais entre forças internas e carga externa. Entre o momento fletor, a força transversal e a intensidade da carga distribuída, existem dependências diferenciais baseadas no teorema de Zhuravsky, em homenagem ao engenheiro de pontes russo D. I. Zhuravsky (1821-1891).

Este teorema é formulado da seguinte forma:

A força transversal é igual à primeira derivada do momento fletor ao longo da abcissa da seção da viga.

23. Curva transversal plana. Construção de diagramas de forças transversais e momentos fletores. Determinação de forças cortantes e momentos fletores - seção 1

Descartamos o lado direito da viga e substituímos sua ação no lado esquerdo por uma força transversal e um momento fletor. Para facilitar os cálculos, fechamos o lado direito descartado da viga com uma folha de papel, alinhando a borda esquerda da folha com a seção 1 considerada.

A força transversal na seção 1 da viga é igual à soma algébrica de todas as forças externas visíveis após o fechamento

Vemos apenas a reação descendente do suporte. Assim, a força transversal é:

kN.

Tomamos o sinal de menos porque a força gira a parte visível do feixe em relação à primeira seção no sentido anti-horário (ou porque é igualmente direcionada com a direção da força transversal de acordo com a regra dos sinais)

O momento fletor na seção 1 da viga é igual à soma algébrica dos momentos de todos os esforços que vemos após o fechamento da parte descartada da viga, em relação à seção 1 considerada.

Vemos dois esforços: a reação do apoio e o momento M. Porém, o braço da força é quase zero. Então o momento fletor é:

kNm

Aqui, o sinal de mais é tomado por nós porque o momento externo M dobra a parte visível da viga com uma convexidade para baixo. (ou porque é oposta à direção do momento fletor de acordo com a regra dos sinais)

Determinação de forças cortantes e momentos fletores - seção 2

Em contraste com a primeira seção, a força de reação tem um ombro igual a a.

força transversal:

kN;

momento fletor:

Determinação de forças transversais e momentos fletores - seção 3

força transversal:

momento fletor:

Determinação de forças de cisalhamento e momentos fletores - seção 4

Agora mais confortável cubra o lado esquerdo da viga com uma folha.

força transversal:

momento fletor:

Determinação de forças de cisalhamento e momentos fletores - seção 5

força transversal:

momento fletor:

Determinação de forças cortantes e momentos fletores - seção 1

força transversal e momento fletor:

.

Com base nos valores encontrados, construímos um diagrama de forças transversais (Fig. 7.7, b) e momentos fletores (Fig. 7.7, c).

CONTROLE DA CONSTRUÇÃO CORRETA DA FÍSICA

Verificaremos a correção da construção de diagramas de acordo com recursos externos, usando as regras para construção de diagramas.

Verificando o gráfico de força de cisalhamento

Estamos convencidos: sob seções sem carga, o diagrama de forças transversais corre paralelamente ao eixo da viga e sob uma carga distribuída q, ao longo de uma linha reta inclinada para baixo. Existem três saltos no diagrama de força longitudinal: sob a reação - para baixo em 15 kN, sob a força P - para baixo em 20 kN e sob a reação - para cima em 75 kN.

Verificando o gráfico de momento fletor

No diagrama de momentos fletores, vemos rupturas sob a força concentrada P e sob as reações de apoio. Os ângulos de fratura são direcionados para essas forças. Sob uma carga distribuída q, o diagrama de momentos fletores muda ao longo de uma parábola quadrática, cuja convexidade é direcionada para a carga. Na seção 6, no diagrama do momento fletor, há um extremo, pois o diagrama da força transversal neste local passa por zero.

Para uma viga engastada carregada com uma carga distribuída de intensidade kN / m e um momento concentrado kN m (Fig. 3.12), é necessário: para construir diagramas de forças cortantes e momentos fletores, selecione uma viga de seção transversal circular a uma altura admissível tensão normal kN/cm2 e verificar a resistência da viga de acordo com as tensões de cisalhamento na tensão de cisalhamento admissível kN/cm2. Dimensões da viga m; m; m.

Esquema de projeto para o problema de flexão transversal direta

Arroz. 3.12

Resolvendo o problema de "flexão transversal direta"

Determinando reações de suporte

A reação horizontal no embutimento é zero, pois as cargas externas na direção do eixo z não atuam na viga.

Escolhemos as direções das forças reativas restantes que surgem no encaixe: vamos direcionar a reação vertical, por exemplo, para baixo e o momento - no sentido horário. Seus valores são determinados a partir das equações da estática:

Compilando essas equações, consideramos o momento positivo ao girar no sentido anti-horário, e a projeção da força é positiva se sua direção coincidir com a direção positiva do eixo y.

Da primeira equação encontramos o momento na terminação:

Da segunda equação - reação vertical:

Os valores positivos obtidos por nós no momento e a reação vertical na terminação indicam que adivinhamos suas direções.

De acordo com a natureza da fixação e carregamento da viga, dividimos seu comprimento em duas seções. Ao longo dos limites de cada uma dessas seções, descrevemos quatro seções transversais (ver Fig. 3.12), nas quais calcularemos os valores de forças cortantes e momentos fletores pelo método das seções (ROZU).

Seção 1. Vamos descartar mentalmente o lado direito do feixe. Vamos substituir sua ação no lado esquerdo restante por uma força cortante e um momento fletor. Para a conveniência de calcular seus valores, fechamos o lado direito do feixe descartado por nós com um pedaço de papel, alinhando a borda esquerda da folha com a seção em consideração.

Lembre-se de que a força cortante que surge em qualquer seção transversal deve equilibrar todas as forças externas (ativas e reativas) que atuam na parte da viga que estamos considerando (ou seja, visível). Portanto, a força de cisalhamento deve ser igual à soma algébrica de todas as forças que vemos.

Também damos a regra dos sinais para a força cortante: uma força externa atuando na parte considerada da viga e tendendo a “girar” essa parte em relação à seção no sentido horário causa uma força cortante positiva na seção. Essa força externa é incluída na soma algébrica para a definição com um sinal de mais.

No nosso caso, vemos apenas a reação do suporte, que gira a parte visível da viga em relação à primeira seção (em relação à borda do papel) no sentido anti-horário. É por isso

kN.

O momento fletor em qualquer seção deve equilibrar o momento criado por forças externas que vemos em relação à seção em consideração. Portanto, é igual à soma algébrica dos momentos de todos os esforços que atuam na parte da viga que estamos considerando, em relação à seção considerada (ou seja, em relação à borda do papel). Neste caso, uma carga externa dobrando a parte considerada da viga com convexidade para baixo causa um momento fletor positivo na seção. E o momento criado por tal carga é incluído na soma algébrica para a definição com um sinal de mais.

Vemos dois esforços: a reação e o momento de rescisão. No entanto, o braço da força em relação à seção 1 é igual a zero. É por isso

kNm

Tomamos o sinal de mais porque o momento reativo dobra a parte visível da viga com uma convexidade para baixo.

Seção 2. Como antes, cobriremos todo o lado direito da viga com um pedaço de papel. Agora, ao contrário da primeira seção, a força tem um ombro: m. Portanto

kN; kNm

Seção 3. Fechando o lado direito da viga, encontramos

kN;

Seção 4. Vamos fechar o lado esquerdo da viga com uma folha. Então

kNm

kNm

.

Com base nos valores encontrados, construímos diagramas de esforços cortantes (Fig. 3.12, b) e momentos fletores (Fig. 3.12, c).

Sob seções sem carga, o diagrama de forças cortantes corre paralelamente ao eixo da viga e sob uma carga distribuída q, ao longo de uma linha reta inclinada para cima. Sob a reação de apoio no diagrama há um salto para baixo no valor dessa reação, ou seja, de 40 kN.

No diagrama de momentos fletores, vemos uma quebra sob a reação de apoio. O ângulo de fratura é direcionado para a reação do suporte. Sob uma carga distribuída q, o diagrama muda ao longo de uma parábola quadrática, cuja convexidade é direcionada para a carga. Na seção 6 do diagrama há um extremo, pois o diagrama da força cortante neste local passa pelo valor zero aqui.

Determine o diâmetro necessário da seção transversal da viga

A condição de resistência para tensões normais tem a forma:

,

onde é o momento de resistência da viga na flexão. Para uma viga de seção transversal circular, é igual a:

.

O momento fletor com maior valor absoluto ocorre na terceira seção da viga: kN cm

Então o diâmetro de viga necessário é determinado pela fórmula

cm.

Aceitamos mm. Então

kN/cm2 kN/cm2.

"Sobretensão" é

,

o que é permitido.

Verificamos a resistência da viga para as maiores tensões tangenciais

As maiores tensões de cisalhamento que ocorrem na seção transversal de uma viga circular são calculadas pela fórmula

,

onde é a área da seção transversal.

De acordo com o gráfico, o maior valor algébrico da força cortante é igual a kN. Então

kN/cm2 kN/cm2,

ou seja, a condição de resistência e tensão de cisalhamento é cumprida, além disso, com uma grande margem.

Um exemplo de solução do problema "flexão transversal direta" nº 2

Condição do exemplo de problema para flexão transversal direta

Para uma viga articulada carregada com uma carga distribuída de intensidade kN / m, uma força concentrada kN e um momento concentrado kN m (Fig. 3.13), é necessário traçar as forças cortantes e momentos fletores e selecionar uma seção transversal da viga I com uma tensão normal admissível kN/cm2 e tensão de cisalhamento admissível kN/cm2. Vão da viga m.

Um exemplo de tarefa para uma curva reta - um esquema de design

Arroz. 3.13

Solução de um exemplo de um problema de dobra reta

Determinando reações de suporte

Para uma determinada viga apoiada articuladamente, é necessário encontrar três reações de apoio: , e . Como somente cargas verticais atuam na viga, perpendiculares ao seu eixo, a reação horizontal do suporte articulado fixo A é igual a zero: .

As direções das reações verticais e são escolhidas arbitrariamente. Vamos direcionar, por exemplo, ambas as reações verticais para cima. Para calcular seus valores, compomos duas equações de estática:

Lembre-se de que a carga linear resultante, uniformemente distribuída ao longo de uma seção de comprimento l, é igual, ou seja, igual à área do diagrama dessa carga e é aplicada no centro de gravidade desse diagrama, isto é, no meio do comprimento.

;

kN.

Verificamos: .

Lembre-se de que as forças cuja direção coincide com a direção positiva do eixo y são projetadas (projetadas) nesse eixo com um sinal de mais:

está correto.

Construímos diagramas de forças cortantes e momentos fletores

Quebramos o comprimento da viga em seções separadas. Os limites dessas seções são os pontos de aplicação de forças concentradas (ativas e/ou reativas), bem como os pontos correspondentes ao início e fim da carga distribuída. Existem três dessas áreas em nosso problema. Ao longo dos limites dessas seções, traçamos seis seções transversais, nas quais calcularemos os valores de forças cortantes e momentos fletores (Fig. 3.13, a).

Seção 1. Vamos descartar mentalmente o lado direito do feixe. Para a conveniência de calcular a força cortante e o momento fletor que surgem nesta seção, fechamos a parte da viga descartada por nós com um pedaço de papel, alinhando a borda esquerda do pedaço de papel com a própria seção.

A força de cisalhamento na seção da viga é igual à soma algébrica de todas as forças externas (ativas e reativas) que vemos. Neste caso, vemos a reação do apoio e a carga linear q, distribuídas em um comprimento infinitamente pequeno. A carga linear resultante é zero. É por isso

kN.

O sinal de mais é obtido porque a força gira a parte visível do feixe em relação à primeira seção (a borda do pedaço de papel) no sentido horário.

O momento fletor na seção da viga é igual à soma algébrica dos momentos de todas as forças que vemos, em relação à seção em consideração (ou seja, em relação à borda de um pedaço de papel). Vemos a reação do suporte e a carga linear q, distribuída por um comprimento infinitamente pequeno. No entanto, a alavancagem da força é zero. A carga linear resultante também é igual a zero. É por isso

Seção 2. Como antes, cobriremos todo o lado direito da viga com um pedaço de papel. Agora vemos a reação e a carga q atuando em uma seção de comprimento . A carga linear resultante é igual a . Ele é anexado no meio de uma seção com um comprimento de . É por isso

Lembre-se de que, ao determinar o sinal do momento fletor, liberamos mentalmente a parte da viga que vemos de todas as fixações de apoio reais e a imaginamos como se estivesse presa na seção em consideração (ou seja, a borda esquerda da peça de papel é representado mentalmente por nós como um selo rígido).

Seção 3. Vamos fechar a parte direita. Pegue

Seção 4. Fechamos o lado direito da viga com uma folha. Então

Agora, para controlar a exatidão dos cálculos, vamos cobrir o lado esquerdo da viga com um pedaço de papel. Vemos a força concentrada P, a reação do suporte direito e a carga linear q, distribuída ao longo de um comprimento infinitamente pequeno. A carga linear resultante é zero. É por isso

kNm

Ou seja, está tudo certo.

Seção 5. Ainda feche o lado esquerdo do feixe. Terá

kN;

kNm

Seção 6. Vamos fechar o lado esquerdo do feixe novamente. Pegue

kN;

Com base nos valores encontrados, construímos diagramas de esforços cortantes (Fig. 3.13, b) e momentos fletores (Fig. 3.13, c).

Estamos convencidos de que sob a seção sem carga o diagrama de força cortante corre paralelo ao eixo da viga e sob uma carga distribuída q - ao longo de uma linha reta com inclinação descendente. Existem três saltos no diagrama: sob a reação - para cima em 37,5 kN, sob a reação - em 132,5 kN e sob a força P - para baixo em 50 kN.

No diagrama de momentos fletores, vemos rupturas sob a força concentrada P e sob as reações de apoio. Os ângulos de fratura são direcionados para essas forças. Sob uma carga distribuída de intensidade q, o diagrama muda ao longo de uma parábola quadrática, cuja convexidade é direcionada para a carga. Sob o momento concentrado há um salto de 60 kN m, ou seja, pela magnitude do próprio momento. Na seção 7 do diagrama há um extremo, pois o diagrama da força cortante para esta seção passa pelo valor zero (). Vamos determinar a distância da seção 7 ao suporte esquerdo.

dobrar chamada deformação, na qual o eixo da haste e todas as suas fibras, ou seja, linhas longitudinais paralelas ao eixo da haste, são dobrados sob a ação de forças externas. O caso mais simples de flexão é obtido quando as forças externas estão em um plano que passa pelo eixo central da haste e não se projetam sobre este eixo. Tal caso de flexão é chamado de flexão transversal. Distinguir curva plana e oblíqua.

curva plana- tal caso quando o eixo dobrado da haste está localizado no mesmo plano em que as forças externas atuam.

Dobra oblíqua (complexa)- tal caso de flexão, quando o eixo dobrado da haste não se encontra no plano de ação das forças externas.

Uma barra de flexão é comumente referida como feixe.

Com uma flexão transversal plana de vigas em uma seção com um sistema de coordenadas y0x, duas forças internas podem ocorrer - uma força transversal Q y e um momento fletor M x; no que segue, introduzimos a notação Q e M. Se não houver força transversal na seção ou seção da viga (Q = 0), e o momento fletor não for igual a zero ou M for const, então tal flexão é comumente chamada limpar.

Força de cisalhamento em qualquer seção da viga é numericamente igual à soma algébrica das projeções sobre o eixo de todas as forças (incluindo reações de apoio) localizadas em um lado (qualquer) da seção.

Momento de flexão na seção da viga é numericamente igual à soma algébrica dos momentos de todas as forças (incluindo reações de apoio) localizadas em um lado (qualquer) da seção traçada em relação ao centro de gravidade desta seção, mais precisamente, em relação ao eixo passando perpendicularmente ao plano do desenho pelo centro de gravidade do corte desenhado.

Força Q representa resultante distribuídos ao longo da seção transversal do interior tensões de cisalhamento, uma momento M– soma de momentos em torno do eixo central da seção X interna tensões normais.

Existe uma relação diferencial entre as forças internas

que é usado na construção e verificação dos diagramas Q e M.

Como algumas das fibras da viga são esticadas e outras comprimidas, e a transição da tração para a compressão ocorre de forma suave, sem saltos, na parte central da viga existe uma camada cujas fibras apenas dobram, mas também não sofrem tensão ou compressão. Essa camada é chamada camada neutra. A linha ao longo da qual a camada neutra cruza com a seção transversal da viga é chamada de linha neutraº ou eixo neutro Seções. Linhas neutras são amarradas no eixo da viga.

As linhas desenhadas na superfície lateral da viga perpendiculares ao eixo permanecem planas quando dobradas. Esses dados experimentais permitem basear as conclusões das fórmulas na hipótese de seções planas. De acordo com esta hipótese, as seções da viga são planas e perpendiculares ao seu eixo antes da flexão, permanecem planas e tornam-se perpendiculares ao eixo dobrado da viga quando esta é dobrada. A seção transversal da viga é distorcida durante a flexão. Devido à deformação transversal, as dimensões da seção transversal na zona comprimida da viga aumentam e na zona de tração são comprimidas.

Suposições para derivar fórmulas. Estresses normais

1) A hipótese de seções planas é cumprida.

2) As fibras longitudinais não pressionam umas às outras e, portanto, sob a ação de tensões normais, tensões lineares ou compressões funcionam.

3) As deformações das fibras não dependem de sua posição ao longo da largura da seção. Consequentemente, as tensões normais, mudando ao longo da altura da seção, permanecem as mesmas ao longo da largura.

4) A viga tem pelo menos um plano de simetria e todas as forças externas estão nesse plano.

5) O material da viga obedece à lei de Hooke, e o módulo de elasticidade em tração e compressão é o mesmo.

6) As relações entre as dimensões da viga são tais que ela trabalha em condições de flexão plana sem empenamento ou torção.

Com flexão pura da viga nas plataformas em sua seção, somente tensões normais, determinado pela fórmula:

onde y é a coordenada de um ponto arbitrário da seção, medida a partir da linha neutra - o eixo central principal x.

As tensões normais de flexão ao longo da altura da seção são distribuídas lei linear. Nas fibras extremas, as tensões normais atingem um valor máximo e, no centro de gravidade, as seções transversais são iguais a zero.

A natureza dos diagramas de tensão normal para seções simétricas em relação à linha neutra

A natureza dos diagramas de tensão normal para seções que não têm simetria em relação à linha neutra

Pontos perigosos são aqueles mais distantes da linha neutra.

Vamos escolher alguma seção

Para qualquer ponto da seção, vamos chamá-lo de ponto Para, a condição de resistência da viga para tensões normais tem a forma:

, onde i.d. - isto é eixo neutro

isto é módulo de seção axial sobre o eixo neutro. Sua dimensão é cm 3, m 3. O momento de resistência caracteriza a influência da forma e dimensões da seção transversal na magnitude das tensões.

Condição de resistência para tensões normais:

A tensão normal é igual à razão entre o momento fletor máximo e o módulo da seção axial em relação ao eixo neutro.

Se o material resiste desigualmente ao estiramento e à compressão, então duas condições de resistência devem ser usadas: para uma zona de estiramento com uma tensão de tração admissível; para a zona de compressão com tensão de compressão admissível.

Na flexão transversal, as vigas das plataformas em sua seção atuam como normal, e tangentes Voltagem.