Como determinar se uma linha pertence a um círculo. Tangente ao círculo
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Vamos primeiro entender a diferença entre um círculo e um círculo. Para ver essa diferença, basta considerar quais são as duas figuras. Este é um número infinito de pontos no plano, localizados a uma distância igual de um único ponto central. Mas, se o círculo também consiste em espaço interno, então ele não pertence ao círculo. Acontece que um círculo é tanto um círculo que o limita (o-circle (g)ness) quanto um número incontável de pontos que estão dentro do círculo.
Para qualquer ponto L situado na circunferência, aplica-se a igualdade OL=R. (O comprimento do segmento OL é igual ao raio do círculo).
Um segmento de reta que liga dois pontos de uma circunferência é acorde.
Uma corda que passa diretamente pelo centro de um círculo é diâmetro este círculo (D). O diâmetro pode ser calculado usando a fórmula: D=2R
Circunferência calculado pela fórmula: C=2\pi R
Área de um círculo: S=\pi R^(2)
arco de círculo chamada aquela parte dele, que está localizada entre dois de seus pontos. Esses dois pontos definem dois arcos de um círculo. O CD de acordes subtende dois arcos: CMD e CLD. Os mesmos acordes subtendem os mesmos arcos.
Canto centralé o ângulo entre dois raios.
comprimento do arco pode ser encontrado pela fórmula:
- Usando graus: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Usando uma medida em radianos: CD = \alpha R
O diâmetro que é perpendicular à corda bissecta a corda e os arcos que ela abrange.
Se as cordas AB e CD do círculo se cruzam no ponto N, então os produtos dos segmentos das cordas separados pelo ponto N são iguais entre si.
AN\cdot NB = CN \cdot ND
Tangente ao círculo
Tangente a um círculoÉ costume chamar uma linha reta que tem um ponto comum com um círculo.
Se uma linha tem dois pontos em comum, ela é chamada secante.
Se você desenhar um raio no ponto de contato, ele será perpendicular à tangente ao círculo.
Vamos desenhar duas tangentes deste ponto ao nosso círculo. Acontece que os segmentos das tangentes serão iguais entre si e o centro do círculo estará localizado na bissetriz do ângulo com o vértice neste ponto.
AC=CB
Agora desenhamos uma tangente e uma secante ao círculo a partir do nosso ponto. Obtemos que o quadrado do comprimento do segmento tangente será igual ao produto de todo o segmento secante por sua parte externa.
AC^(2) = CD \cdot BC
Podemos concluir: o produto de um segmento inteiro da primeira secante por sua parte externa é igual ao produto de um segmento inteiro da segunda secante por sua parte externa.
AC \cdot BC = EC \cdot DC
Ângulos em um círculo
As medidas em graus do ângulo central e do arco sobre o qual ele repousa são iguais.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Ângulo inscritoé um ângulo cujo vértice está em um círculo e cujos lados contêm cordas.
Você pode calculá-lo conhecendo o tamanho do arco, pois é igual à metade desse arco.
\ângulo AOB = 2 \ângulo ADB
Com base no diâmetro, ângulo inscrito, reto.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Ângulos inscritos que se inclinam no mesmo arco são idênticos.
Os ângulos inscritos com base na mesma corda são idênticos ou sua soma é igual a 180^ (\circ) .
\ângulo ADB + \ângulo AKB = 180^ (\circ)
\ângulo ADB = \ângulo AEB = \ângulo AFB
No mesmo círculo estão os vértices de triângulos com ângulos idênticos e uma dada base.
Um ângulo com um vértice dentro do círculo e localizado entre duas cordas é idêntico à metade da soma dos valores angulares dos arcos do círculo que estão dentro dos ângulos dados e verticais.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Um ângulo com um vértice fora do círculo e localizado entre duas secantes é idêntico à metade da diferença nas magnitudes angulares dos arcos de um círculo que estão dentro do ângulo.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Círculo inscrito
Círculo inscritoé um círculo tangente aos lados do polígono.
No ponto em que as bissetrizes dos ângulos do polígono se cruzam, seu centro está localizado.
Um círculo não pode ser inscrito em todos os polígonos.
A área de um polígono com um círculo inscrito é encontrada pela fórmula:
S=pr,
p é o semiperímetro do polígono,
r é o raio do círculo inscrito.
Segue que o raio do círculo inscrito é:
r = \frac(S)(p)
As somas dos comprimentos dos lados opostos serão idênticas se o círculo estiver inscrito em um quadrilátero convexo. E vice-versa: um círculo está inscrito em um quadrilátero convexo se as somas dos comprimentos dos lados opostos nele forem idênticas.
AB+DC=AD+BC
É possível inscrever um círculo em qualquer um dos triângulos. Apenas um único. No ponto onde as bissetrizes dos ângulos internos da figura se cruzam, o centro deste círculo inscrito estará.
O raio do círculo inscrito é calculado pela fórmula:
r = \frac(S)(p),
onde p = \frac(a + b + c)(2)
Círculo circunscrito
Se um círculo passa por todos os vértices de um polígono, esse círculo é chamado circunscrito a um polígono.
O centro do círculo circunscrito estará no ponto de intersecção das mediatrizes dos lados desta figura.
O raio pode ser encontrado calculando-o como o raio de um círculo circunscrito a um triângulo definido por quaisquer 3 vértices do polígono.
Existe a seguinte condição: um círculo pode ser circunscrito em torno de um quadrilátero somente se a soma de seus ângulos opostos for igual a 180^( \circ) .
\ângulo A + \ângulo C = \ângulo B + \ângulo D = 180^ (\circ)
Perto de qualquer triângulo é possível descrever um círculo, e um e apenas um. O centro de tal círculo estará localizado no ponto onde as mediatrizes dos lados do triângulo se cruzam.
O raio do círculo circunscrito pode ser calculado pelas fórmulas:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4S)
a, b, c são os comprimentos dos lados do triângulo,
S é a área do triângulo.
Teorema de Ptolomeu
Finalmente, considere o teorema de Ptolomeu.
O teorema de Ptolomeu afirma que o produto das diagonais é idêntico à soma dos produtos dos lados opostos de um quadrilátero inscrito.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
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Matemática
A figura mostra um círculo (o, 2) e vários segmentos. Nomeie o raio, as cordas e o diâmetro deste círculo nesta figura. O círculo pertence ao seu centro? O centro pertence ao círculo? Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras: a) todos os raios de um círculo dado são iguais b) o raio de um círculo é sua corda c) a corda de um círculo contém exatamente dois de seus pontos d) o diâmetro de um círculo é seu diâmetro e) a corda de um círculo é o seu diâmetro. Quantos raios tem um círculo? Quantos diâmetros tem um círculo? Quantos diâmetros podem ser desenhados a partir de um dado ponto do círculo? Quantas cordas podem ser desenhadas a partir de um dado ponto da circunferência? Toda corda de um círculo é um diâmetro?
Resposta(s) para a pergunta:
Raios: OC, OD, OA Diâmetros: CD Acordes: AB, CD O círculo tem centro? Não O centro pertence ao círculo? Sim Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras: a) todos os raios do círculo dado são iguais c) a corda do círculo contém exatamente dois de seus pontos d) o diâmetro do círculo é seu diâmetro Quantos raios o círculo tem ? Ilimitado Quantos diâmetros tem um círculo? Ilimitado Quantos diâmetros podem ser desenhados a partir de um determinado ponto do círculo? Um Quantas cordas podem ser desenhadas a partir de um determinado ponto da circunferência? Número ilimitado Toda corda de um círculo é um diâmetro? Nenhum (AB é uma corda, não um diâmetro)
Ditado 1
1. Complete a frase.
1) Todos os pontos do círculo estão à mesma distância de ... (do seu centro ).
2) O raio do círculo é chamado de segmento que liga ... (seu centro com um ponto no círculo).
3) Um segmento é chamado de acorde ... (juntando dois pontos em um círculo ).
4) O diâmetro é chamado ... (o maior acorde ).
5) O diâmetro é maior que o raio em...(duas vezes ).
6) Um arco de um círculo é chamado cada uma das partes em que é dividido ... (ponto no círculo).
7) Um círculo é chamado de parte do plano ... (delimitado por um círculo ou, como as crianças escrevem, junto com um círculo).
8) Um ponto pertence a um círculo se for menor que ... (raio ).
9) Um setor é chamado cada uma das partes do círculo em que é dividido ... (dois raios ) .
10) Cada uma das duas partes é chamada de semicírculo depois de segurar ... (diâmetro ) .
2. Escreva qual é o diâmetro do círculo se a distância do centro do círculo a um ponto pertencente ao círculo é de 8 cm (16 cm ).
3. O centro pertence ao círculo? (Não )
4. O centro pertence ao círculo? (Sim )
5. Desenhe um círculo arbitrário. Desenhe o raio do círculo,
seu diâmetro, sobre o qual não se encontra o raio desenhado, e uma corda diferente do diâmetro.
6. Dentro do círculo marcou um ponto diferente do seu centro. Quantos
por este ponto você pode passar:
1) diâmetros (1 ); 2) cordas diferentes do diâmetro? (infinitamente muitos )
7. Um ponto arbitrário foi marcado no círculo. Quanto você pode pro-
chumbo: 1) diâmetros com uma extremidade neste ponto (1 ); 2) cordas diferentes do diâmetro, terminando neste ponto (infinitamente muitos ).
Ditado 2
Calibre - o diâmetro interno do furo de qualquer arma. O calibre do fuzil de assalto Kalashnikov AK-74 é de 5,45 mm, para o fuzil de assalto americano M-16 é de 5,56 mm. Quantos por cento do calibre AK-74 é menor que o do fuzil de assalto americano? (≈2% ).
Se o calibre da arma autopropulsada Msta-S é de 152 mm, quantos centímetros é o diâmetro da arma? (15,2 centímetros ).
Em quantos por cento o moderno tanque russo T-14 Armata é mais barato que o tanque americano Abrams, se o russo custa US$ 5 milhões e o americano custa US$ 10 milhões? (50% ).
Quantos por cento o Abrams é mais pesado que o Almaty se o T-14 pesa 48 toneladas e o Abrams pesa 63 toneladas? (≈31% ).
O calibre do fuzil de assalto Kalashnikov AKM é de 7,62 mm. Quanto será em metros? (0,00762 m ).
Se o diâmetro de um círculo é 50,6 cm, qual é o seu raio? (25,3 cm ).
Desenhe um segmento de 6 cm de comprimento. Construa um círculo para que este segmento seja um diâmetro.
Desenhe um círculo de raio arbitrário. Marque três pontos que estão no círculo e três pontos que não estão nele.
Marque um ponto arbitrário O. Marque quatro pontos que estão a 3 cm de distância do ponto O. Quantos pontos mais podem ser marcados? (infinitamente muitos - eles formam um círculo com um raio de 3 cm ).
Quantos eixos de simetria tem um círculo? Círculo? (infinitamente muitos ).
Qual é o eixo de simetria de um círculo? (qualquer diâmetro ).
É possível construir um triângulo com lados 2 cm, 6 cm e 9 cm? (Não ).
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