Inicialmente, seno e cosseno surgiram devido à necessidade de calcular quantidades em triângulos retângulos. Percebeu-se que se o valor da medida em grau dos ângulos em um triângulo retângulo não for alterado, então a razão de aspecto, não importa o quanto esses lados mudem de comprimento, permanece sempre a mesma.

Foi assim que os conceitos de seno e cosseno foram introduzidos. Seio ângulo agudo em um triângulo retângulo, esta é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, e o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

Teoremas de cossenos e senos

Mas cossenos e senos podem ser usados ​​não apenas em triângulos retângulos. Para encontrar o valor de um ângulo obtuso ou agudo, o lado de qualquer triângulo, basta aplicar o teorema do cosseno e do seno.

O teorema do cosseno é bastante simples: "O quadrado de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles".

Existem duas interpretações do teorema do seno: pequena e estendida. De acordo com o pequeno: "Em um triângulo, os ângulos são proporcionais aos lados opostos." Este teorema é muitas vezes estendido devido à propriedade do círculo circunscrito em torno de um triângulo: "Em um triângulo, os ângulos são proporcionais aos lados opostos e sua razão é igual ao diâmetro do círculo circunscrito".

Derivativos

Uma derivada é uma ferramenta matemática que mostra a rapidez com que uma função muda em relação a uma mudança em seu argumento. As derivadas são usadas em geometria e em várias disciplinas técnicas.

Ao resolver problemas, você precisa conhecer os valores tabulares das derivadas funções trigonométricas: seno e cosseno. A derivada do seno é o cosseno, e a derivada do cosseno é o seno, mas com sinal negativo.

Aplicação em matemática

Especialmente senos e cossenos são usados ​​na resolução de triângulos retângulos e tarefas associadas a eles.

A conveniência de senos e cossenos também se reflete na tecnologia. Ângulos e lados eram fáceis de avaliar usando os teoremas do cosseno e do seno, quebrando formas e objetos complexos em triângulos "simples". Engenheiros e, muitas vezes lidando com cálculos de proporções e medidas de graus, gastaram muito tempo e esforço calculando cossenos e senos de ângulos que não são de mesa.

Então as tabelas Bradis vieram em socorro, contendo milhares de valores​​de senos, cossenos, tangentes e cotangentes ângulos diferentes. Nos tempos soviéticos, alguns professores forçavam seus alunos a memorizar as páginas das tabelas Bradis.

Radiano - magnitude angular arcos, longitudinalmente igual ao raio ou 57,295779513 graus.

Grau (em geometria) - 1/360 da parte de um círculo ou 1/90 da parte ângulo certo.

π = 3,141592653589793238462… (valor aproximado de pi).

Tabela de cossenos para ângulos: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Eu não vou convencê-lo a não escrever cheats. Escrever! Incluindo folhas de dicas sobre trigonometria. Mais tarde, pretendo explicar por que as folhas de dicas são necessárias e como as folhas de dicas são úteis. E aqui - informações sobre como não aprender, mas lembrar de algumas fórmulas trigonométricas. Então - trigonometria sem uma folha de dicas! Usamos associações para memorização.

1. Fórmulas de adição:

cossenos sempre "vão em pares": cosseno-coseno, seno-seno. E mais uma coisa: cossenos são “inadequados”. Eles “está tudo errado”, então eles mudam os sinais: “-” para “+” e vice-versa.

Seios - "misturar": seno-coseno, cosseno-seno.

2. Fórmulas de soma e diferença:

cossenos sempre "vão em pares". Adicionando dois cossenos - "pães", obtemos um par de cossenos - "koloboks". E subtraindo, definitivamente não teremos koloboks. Temos alguns senos. Ainda com menos pela frente.

Seios - "misturar" :

3. Fórmulas para converter um produto em soma e diferença.

Quando obtemos um par de cossenos? Ao adicionar os cossenos. então

Quando obtemos um par de senos? Ao subtrair cossenos. Daqui:

A "mistura" é obtida adicionando e subtraindo senos. O que é mais divertido: somar ou subtrair? Isso mesmo, dobra. E para a fórmula faça a adição:

Na primeira e terceira fórmulas entre parênteses - o valor. A partir do rearranjo dos lugares dos termos, a soma não muda. A ordem é importante apenas para a segunda fórmula. Mas, para não ficar confuso, para facilitar a lembrança, nas três fórmulas dos primeiros parênteses tomamos a diferença

e em segundo lugar, a soma

Folhas de berço no seu bolso dão tranquilidade: se você esquecer a fórmula, pode descartá-la. E eles dão confiança: se você não usar a folha de dicas, as fórmulas podem ser facilmente lembradas.

Solução do mais simples equações trigonométricas.

A solução de equações trigonométricas de qualquer nível de complexidade se resume a resolver as equações trigonométricas mais simples. E neste o melhor assistente novamente acaba por ser um círculo trigonométrico.

Lembre-se das definições de cosseno e seno.

O cosseno de um ângulo é a abcissa (isto é, a coordenada ao longo do eixo) de um ponto no círculo unitário correspondente à rotação de um determinado ângulo.

O seno de um ângulo é a ordenada (ou seja, a coordenada ao longo do eixo) de um ponto no círculo unitário correspondente à rotação de um determinado ângulo.

A direção positiva do movimento ao longo do círculo trigonométrico é considerada o movimento no sentido anti-horário. Uma rotação de 0 graus (ou 0 radianos) corresponde a um ponto com coordenadas (1; 0)

Usamos essas definições para resolver as equações trigonométricas mais simples.

1. Resolva a equação

Esta equação é satisfeita por todos esses valores do ângulo de rotação , que correspondem aos pontos do círculo, cuja ordenada é igual a .

Vamos marcar um ponto com ordenada no eixo y:

Desenhe uma linha horizontal paralela ao eixo x até cruzar com o círculo. Vamos obter dois pontos situados em um círculo e tendo uma ordenada. Esses pontos correspondem aos ângulos de rotação de e radianos:

Se, deixando o ponto correspondente ao ângulo de rotação por radiano, dermos uma volta completa, chegaremos a um ponto correspondente ao ângulo de rotação por radiano e com a mesma ordenada. Ou seja, esse ângulo de rotação também satisfaz nossa equação. Podemos fazer quantas voltas "ociosas" quisermos, voltando ao mesmo ponto, e todos esses valores de ângulos satisfarão nossa equação. O número de revoluções "ociosas" é indicado pela letra (ou). Como podemos fazer essas revoluções nas direções positiva e negativa, (ou ) pode assumir qualquer valor inteiro.

Ou seja, a primeira série de soluções da equação original tem a forma:

, , - conjunto de inteiros (1)

Da mesma forma, a segunda série de soluções tem a forma:

, Onde , . (2)

Como você adivinhou, esta série de soluções é baseada no ponto do círculo correspondente ao ângulo de rotação por .

Essas duas séries de soluções podem ser combinadas em uma entrada:

Se aceitarmos essa entrada (ou seja, par), obteremos a primeira série de soluções.

Se considerarmos essa entrada (ou seja, ímpar), obteremos a segunda série de soluções.

2. Agora vamos resolver a equação

Como é a abcissa do ponto do círculo unitário obtido girando o ângulo , marcamos no eixo um ponto com a abcissa:

Desenhe uma linha vertical paralela ao eixo até cruzar com o círculo. Vamos obter dois pontos situados em um círculo e tendo uma abcissa. Esses pontos correspondem aos ângulos de rotação de e radianos. Lembre-se de que, ao mover no sentido horário, obtemos um ângulo de rotação negativo:

Escrevemos duas séries de soluções:

,

,

(Nós caímos em ponto desejado, partindo do círculo completo principal, ou seja .

Vamos combinar essas duas séries em um post:

3. Resolva a equação

A linha de tangentes passa pelo ponto com coordenadas (1,0) do círculo unitário paralelo ao eixo OY

Marque um ponto nele com uma ordenada igual a 1 (estamos procurando a tangente de cujos ângulos é 1):

Conecte este ponto à origem com uma linha reta e marque os pontos de interseção da linha com o círculo unitário. Os pontos de intersecção da linha e do círculo correspondem aos ângulos de rotação em e :

Como os pontos correspondentes aos ângulos de rotação que satisfazem nossa equação estão separados por radianos, podemos escrever a solução da seguinte forma:

4. Resolva a equação

A linha de cotangentes passa pelo ponto com as coordenadas do círculo unitário paralelas ao eixo.

Marcamos um ponto com a abcissa -1 na linha de cotangentes:

Conecte este ponto à origem da linha reta e continue até cruzar com o círculo. Esta linha cruzará o círculo em pontos correspondentes aos ângulos de rotação de e radianos:

Como esses pontos estão separados uns dos outros por uma distância igual a , então decisão comum Podemos escrever essa equação da seguinte forma:

Nos exemplos dados, ilustrando a solução das equações trigonométricas mais simples, foram usados ​​valores tabulares de funções trigonométricas.

No entanto, se o lado direito da equação não for valor da tabela, então substituímos o valor na solução geral da equação:

SOLUÇÕES ESPECIAIS:

Marcar pontos no círculo cuja ordenada é 0:

Marque um único ponto no círculo, cuja ordenada é igual a 1:

Marque um único ponto no círculo, cuja ordenada é igual a -1:

Como é costume indicar os valores mais próximos de zero, escrevemos a solução da seguinte forma:

Marque os pontos no círculo, cuja abcissa é 0:

5.
Vamos marcar um único ponto no círculo, cuja abcissa é igual a 1:

Marque um único ponto no círculo, cuja abcissa é igual a -1:

E alguns exemplos mais complexos:

1.

O seno é um se o argumento for

O argumento do nosso seno é , então temos:

Divida os dois lados da equação por 3:

Responda:

2.

O cosseno é zero se o argumento cosseno for

O argumento do nosso cosseno é , então temos:

Expressamos , para isso primeiro nos movemos para a direita com o sinal oposto:

Simplifique o lado direito:

Divida ambas as partes por -2:

Observe que o sinal antes do termo não muda, pois k pode assumir qualquer valor inteiro.

Responda:

E para concluir, assista ao vídeo tutorial "Seleção de raízes em uma equação trigonométrica usando um círculo trigonométrico"

Isso conclui a conversa sobre como resolver as equações trigonométricas mais simples. Da próxima vez falaremos sobre como resolver.

Tabela de valores de funções trigonométricas

Observação. Esta tabela de valores de funções trigonométricas usa o sinal √ para denotar raiz quadrada. Para denotar uma fração - o símbolo "/".

Veja também materiais úteis:

Por determinar o valor de uma função trigonométrica, encontre-o na interseção da linha que indica a função trigonométrica. Por exemplo, um seno de 30 graus - estamos procurando uma coluna com o título sin (seno) e encontramos a interseção desta coluna da tabela com a linha "30 graus", em sua interseção lemos o resultado - um segundo. Da mesma forma, encontramos cosseno 60 graus, seno 60 graus (mais uma vez, na interseção da coluna sen (seno) e a linha de 60 graus, encontramos o valor sen 60 = √3/2), etc. Da mesma forma, são encontrados os valores de senos, cossenos e tangentes de outros ângulos "populares".

Seno de pi, cosseno de pi, tangente de pi e outros ângulos em radianos

A tabela de cossenos, senos e tangentes abaixo também é adequada para encontrar o valor de funções trigonométricas cujo argumento é dado em radianos. Para fazer isso, use a segunda coluna de valores de ângulo. Graças a isso, você pode converter o valor de ângulos populares de graus para radianos. Por exemplo, vamos encontrar o ângulo de 60 graus na primeira linha e ler seu valor em radianos abaixo dela. 60 graus é igual a π/3 radianos.

O número pi expressa exclusivamente a dependência da circunferência de um círculo na medida em graus do ângulo. Então pi radianos é igual a 180 graus.

Qualquer número expresso em termos de pi (radiano) pode ser facilmente convertido em graus substituindo o número pi (π) por 180.

Exemplos:
1. seno pi.
sen π = sen 180 = 0
assim, o seno de pi é igual ao seno de 180 graus e é igual a zero.

2. cosseno pi.
cos π = cos 180 = -1
assim, o cosseno de pi é igual ao cosseno de 180 graus e é igual a menos um.

3. Tangente pi
tg π = tg 180 = 0
assim, a tangente de pi é igual à tangente de 180 graus e é igual a zero.

Tabela de valores de seno, cosseno, tangente para ângulos 0 - 360 graus (valores frequentes)

Se na tabela de valores das funções trigonométricas, em vez do valor da função, for indicado um traço (tangente (tg) 90 graus, cotangente (ctg) 180 graus), então para um determinado valor da medida de grau de o ângulo, a função não tem um valor definido. Se não houver traço - a célula está vazia, ainda não inserimos Valor desejado. Estamos interessados ​​em quais solicitações os usuários nos procuram e complementam a tabela com novos valores, apesar de os dados atuais sobre os valores de cossenos, senos e tangentes dos valores de ângulo mais comuns serem suficientes para resolver a maioria problemas.

Tabela de valores de funções trigonométricas sin, cos, tg para os ângulos mais populares
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 graus
(valores numéricos "conforme tabelas Bradis")

- certamente haverá tarefas em trigonometria. A trigonometria é muitas vezes detestada por ter que abarrotar um grande número de fórmulas difíceis repletas de senos, cossenos, tangentes e cotangentes. O site já deu conselhos sobre como lembrar de uma fórmula esquecida, usando o exemplo das fórmulas de Euler e Peel.

E neste artigo tentaremos mostrar que é suficiente conhecer firmemente apenas cinco dos mais simples fórmulas trigonométricas, e sobre o resto ter ideia geral e retire-os à medida que avança. É como com o DNA: os desenhos completos de um ser vivo acabado não são armazenados na molécula. Ele contém, em vez disso, instruções para montá-lo a partir dos aminoácidos disponíveis. Assim é na trigonometria, conhecendo alguns princípios gerais, vamos conseguir tudo fórmulas necessárias de um pequeno conjunto daqueles que devem ser mantidos em mente.

Vamos nos basear nas seguintes fórmulas:

Das fórmulas para o seno e o cosseno das somas, sabendo que a função cosseno é par e que a função seno é ímpar, substituindo -b por b, obtemos as fórmulas para as diferenças:

1. Seno da diferença: pecado(a-b) = pecadoumaporque(-b)+porqueumapecado(-b) = pecadoumaporqueb-porqueumapecadob
2. diferença de cosseno: porque(a-b) = porqueumaporque(-b)-pecadoumapecado(-b) = porqueumaporqueb+pecadoumapecadob

Colocando a \u003d b nas mesmas fórmulas, obtemos as fórmulas para o seno e o cosseno de ângulos duplos:

1. Seio ângulo duplo : pecado2a = pecado(a+a) = pecadoumaporqueuma+porqueumapecadouma = 2pecadoumaporqueuma
2. Cosseno de um ângulo duplo: porque2a = porque(a+a) = porqueumaporqueuma-pecadoumapecadouma = porque2a-pecado2a

As fórmulas para outros ângulos múltiplos são obtidas de forma semelhante:

1. Seno de um ângulo triplo: pecado3a = pecado(2a+a) = pecado2aporqueuma+porque2apecadouma = (2pecadoumaporqueuma)porqueuma+(porque2a-pecado2a)pecadouma = 2pecadoumaporque2a+pecadoumaporque2a-pecado 3a = 3 pecadoumaporque2a-pecado 3a = 3 pecadouma(1-pecado2a)-pecado 3a = 3 pecadouma-4pecado 3a
2. Cosseno de um ângulo triplo: porque3a = porque(2a+a) = porque2aporqueuma-pecado2apecadouma = (porque2a-pecado2a)porqueuma-(2pecadoumaporqueuma)pecadouma = porque 3a- pecado2aporqueuma-2pecado2aporqueuma = porque 3a-3 pecado2aporqueuma = porque 3 a-3(1- porque2a)porqueuma = 4porque 3a-3 porqueuma

Antes de prosseguir, vamos considerar um problema.
Dado: o ângulo é agudo.
Encontre seu cosseno se
Solução dada por um aluno:
Porque , então pecadouma= 3,a porqueuma = 4.
(Do humor matemático)

Assim, a definição de tangente conecta esta função com seno e cosseno. Mas você pode obter uma fórmula que dá a conexão da tangente apenas com o cosseno. Para deduzi-lo, tomamos a identidade trigonométrica básica: pecado 2 uma+porque 2 uma= 1 e divida por porque 2 uma. Nós temos:

Então a solução para este problema seria:

(Como o ângulo é agudo, o sinal + é obtido ao extrair a raiz)

A fórmula da tangente da soma é outra difícil de lembrar. Vamos emiti-lo assim:

saída imediata e

Da fórmula do cosseno para um ângulo duplo, você pode obter as fórmulas do seno e do cosseno para um meio ângulo. Para fazer isso, para o lado esquerdo da fórmula de cosseno de ângulo duplo:
porque2 uma = porque 2 uma-pecado 2 uma
adicionamos uma unidade e à direita - uma unidade trigonométrica, ou seja, soma dos quadrados do seno e do cosseno.
porque2a+1 = porque2a-pecado2a+porque2a+pecado2a
2porque 2 uma = porque2 uma+1
expressando porqueuma Através dos porque2 uma e realizando uma mudança de variáveis, obtemos:

O sinal é tomado dependendo do quadrante.

Da mesma forma, subtraindo um do lado esquerdo da igualdade e a soma dos quadrados do seno e cosseno do lado direito, obtemos:
porque2a-1 = porque2a-pecado2a-porque2a-pecado2a
2pecado 2 uma = 1-porque2 uma

E, finalmente, para converter a soma das funções trigonométricas em um produto, usamos o seguinte truque. Suponha que precisamos representar a soma dos senos como um produto pecadouma+pecadob. Vamos introduzir as variáveis ​​xey tais que a = x+y, b+x-y. Então
pecadouma+pecadob = pecado(x+y)+ pecado(x-y) = pecado x porque y+ porque x pecado y+ pecado x porque s- porque x pecado y=2 pecado x porque sim Vamos agora expressar x e y em termos de a e b.

Como a = x+y, b = x-y, então . então

Você pode retirar imediatamente

1. Fórmula de partição produtos de seno e cosseno dentro resultar: pecadoumaporqueb = 0.5(pecado(a+b)+pecado(a-b))

Recomendamos que você pratique e deduza fórmulas para converter o produto da diferença de senos e a soma e diferença de cossenos em um produto, bem como para dividir os produtos de senos e cossenos em uma soma. Tendo feito esses exercícios, você dominará completamente a habilidade de derivar fórmulas trigonométricas e não se perderá mesmo no controle, olimpíada ou teste mais difícil.