Redução de frações ao menor denominador comum, regra, exemplos, soluções

27.09.2019

Multiplicação "cruzada"

Método divisor comum

Uma tarefa. Encontrar valores de expressão:

Para avaliar quanto de ganho o método múltiplo menos comum oferece, tente calcular os mesmos exemplos usando o método cruzado.

Denominador comum de frações

Claro, sem calculadora. Acho que depois disso os comentários serão redundantes.

Veja também:

Originalmente, eu queria incluir os métodos do denominador comum no parágrafo "Adição e subtração de frações". Mas acabou sendo tanta informação, e sua importância é tão grande (afinal, não só frações numéricas), que é melhor estudar esta questão separadamente.

Digamos que temos duas frações com denominadores diferentes. E queremos ter certeza de que os denominadores se tornem os mesmos. A propriedade principal de uma fração vem em socorro, que, deixe-me lembrá-lo, soa assim:

Uma fração não muda se seu numerador e denominador forem multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.

Assim, se você escolher os fatores corretamente, os denominadores das frações serão iguais - esse processo é chamado. E os números desejados, "nivelando" os denominadores, são chamados.

Por que você precisa trazer frações para um denominador comum? Aqui estão apenas alguns motivos:

Adição e subtração de frações com denominadores diferentes. Não há outra maneira de realizar esta operação;
Comparação de frações. Às vezes, a redução a um denominador comum simplifica muito essa tarefa;
Resolução de problemas sobre ações e porcentagens. Porcentagens são, na verdade, expressões ordinárias que contêm frações.

Há muitas maneiras de encontrar números que tornam os denominadores iguais quando multiplicados. Consideraremos apenas três deles - em ordem crescente de complexidade e, de certa forma, eficiência.

Multiplicação "cruzada"

O mais simples e maneira confiável, que é garantido para igualar os denominadores. Vamos agir "à frente": multiplicamos a primeira fração pelo denominador da segunda fração e a segunda pelo denominador da primeira. Como resultado, os denominadores de ambas as frações se tornarão iguais ao produto dos denominadores originais. Dê uma olhada:

Uma tarefa. Encontrar valores de expressão:

Como fatores adicionais, considere os denominadores das frações vizinhas. Nós temos:

Sim, é tão simples. Se você está apenas começando a aprender frações, é melhor trabalhar com esse método - assim você se protegerá contra muitos erros e terá a garantia de obter o resultado.

A única desvantagem este método- você tem que contar muito, porque os denominadores são multiplicados "por toda parte", e o resultado pode ser números muito grandes. Esse é o preço da confiabilidade.

Método divisor comum

Essa técnica ajuda a reduzir bastante os cálculos, mas, infelizmente, raramente é usada. O método é o seguinte:

Olhe para os denominadores antes de ir "através" (ou seja, "cruzar"). Talvez um deles (o maior) seja divisível pelo outro.
O número resultante de tal divisão será um fator adicional para uma fração com um denominador menor.
Ao mesmo tempo, uma fração com um denominador grande não precisa ser multiplicada por nada - essa é a economia. Ao mesmo tempo, a probabilidade de erro é drasticamente reduzida.

Uma tarefa. Encontrar valores de expressão:

Observe que 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Como em ambos os casos um denominador é divisível pelo outro sem deixar resto, aplicamos o método dos fatores comuns. Nós temos:

Observe que a segunda fração não foi multiplicada por nada. Na verdade, reduzimos a quantidade de cálculos pela metade!

A propósito, peguei as frações neste exemplo por um motivo. Se você estiver interessado, tente contá-los usando o método cruzado. Após a redução, as respostas serão as mesmas, mas haverá muito mais trabalho.

Esta é a força do método. divisores comuns, mas, repito, só pode ser usado se um dos denominadores for dividido pelo outro sem deixar resto. O que acontece muito raramente.

Método múltiplo menos comum

Quando reduzimos frações a um denominador comum, estamos essencialmente tentando encontrar um número que seja divisível por cada um dos denominadores. Então trazemos os denominadores de ambas as frações para este número.

Existem muitos desses números, e o menor deles não será necessariamente igual ao produto direto dos denominadores das frações originais, como é assumido no método "cruzado".

Por exemplo, para os denominadores 8 e 12, o número 24 é bastante adequado, pois 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Este número é muito menor que o produto de 8 12 = 96.

Menor número, que é dividido por cada um dos denominadores, é chamado eles (LCM).

Notação: o mínimo múltiplo comum dos números aeb é denotado por LCM(a; b). Por exemplo, LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Se você conseguir encontrar esse número, a quantidade total de cálculos será mínima. Olhe para os exemplos:

Como encontrar o menor denominador comum

Encontrar valores de expressão:

Observe que 234 = 117 2; 351 = 117 3. Os fatores 2 e 3 são primos (eles não têm divisores comuns, exceto 1), e o fator 117 é comum. Portanto, LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Da mesma forma, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Os fatores 3 e 4 são primos e o fator 5 é comum. Portanto, LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Agora vamos trazer as frações para denominadores comuns:

Observe como a fatoração dos denominadores originais acabou sendo útil:

Tendo encontrado os mesmos fatores, chegamos imediatamente ao mínimo múltiplo comum, o que, em geral, é um problema não trivial;
A partir da expansão resultante, você pode descobrir quais fatores estão “faltando” para cada uma das frações. Por exemplo, 234 3 \u003d 702, portanto, para a primeira fração, o fator adicional é 3.

Não pense que esses frações complexas nos exemplos reais não. Eles se encontram o tempo todo, e as tarefas acima não são o limite!

O único problema é como encontrar este NOC. Às vezes tudo é encontrado em poucos segundos, literalmente “a olho”, mas em geral este é um problema computacional complexo que requer consideração separada. Aqui não vamos tocar nisso.

Veja também:

Trazendo frações para um denominador comum

Originalmente, eu queria incluir os métodos do denominador comum no parágrafo "Adição e subtração de frações". Mas havia tanta informação, e sua importância é tão grande (afinal, não só frações numéricas têm denominadores comuns), que é melhor estudar essa questão separadamente.

Uma fração não muda se seu numerador e denominador forem multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.

Assim, se você escolher os fatores corretamente, os denominadores das frações serão iguais - esse processo é chamado. E os números desejados, "nivelando" os denominadores, são chamados.

Por que você precisa trazer frações para um denominador comum?

Denominador comum, conceito e definição.

Aqui estão apenas alguns motivos:

Adição e subtração de frações com denominadores diferentes. Não há outra maneira de realizar esta operação;
Comparação de frações. Às vezes, a redução a um denominador comum simplifica muito essa tarefa;
Resolução de problemas sobre ações e porcentagens. As porcentagens são, na verdade, expressões comuns que contêm frações.

Multiplicação "cruzada"

A maneira mais simples e confiável, que garante a equalização dos denominadores. Vamos agir "à frente": multiplicamos a primeira fração pelo denominador da segunda fração e a segunda pelo denominador da primeira. Como resultado, os denominadores de ambas as frações se tornarão iguais ao produto dos denominadores originais. Dê uma olhada:

Uma tarefa. Encontrar valores de expressão:

Como fatores adicionais, considere os denominadores das frações vizinhas. Nós temos:

A única desvantagem desse método é que você precisa contar muito, porque os denominadores são multiplicados "à frente" e, como resultado, podem ser obtidos números muito grandes. Esse é o preço da confiabilidade.

Método divisor comum

Essa técnica ajuda a reduzir bastante os cálculos, mas, infelizmente, raramente é usada. O método é o seguinte:

Olhe para os denominadores antes de ir "através" (ou seja, "cruzar"). Talvez um deles (o maior) seja divisível pelo outro.
O número resultante de tal divisão será um fator adicional para uma fração com um denominador menor.
Ao mesmo tempo, uma fração com um denominador grande não precisa ser multiplicada por nada - essa é a economia. Ao mesmo tempo, a probabilidade de erro é drasticamente reduzida.

Uma tarefa. Encontrar valores de expressão:

Observe que 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Como em ambos os casos um denominador é divisível pelo outro sem deixar resto, aplicamos o método dos fatores comuns. Nós temos:

Observe que a segunda fração não foi multiplicada por nada. Na verdade, reduzimos a quantidade de cálculos pela metade!

Esse é o ponto forte do método dos divisores comuns, mas, novamente, só pode ser aplicado quando um dos denominadores é dividido pelo outro sem deixar resto. O que acontece muito raramente.

Método múltiplo menos comum

Existem muitos desses números, e o menor deles não será necessariamente igual ao produto direto dos denominadores das frações originais, como é assumido no método "cruzado".

Por exemplo, para os denominadores 8 e 12, o número 24 é bastante adequado, pois 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Este número é muito menor que o produto de 8 12 = 96.

O menor número que é divisível por cada um dos denominadores é chamado seu (LCM).

Notação: o mínimo múltiplo comum dos números aeb é denotado por LCM(a; b). Por exemplo, LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Se você conseguir encontrar esse número, a quantidade total de cálculos será mínima. Olhe para os exemplos:

Uma tarefa. Encontrar valores de expressão:

Observe que 234 = 117 2; 351 = 117 3. Os fatores 2 e 3 são primos (eles não têm divisores comuns, exceto 1), e o fator 117 é comum. Portanto, LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Da mesma forma, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Os fatores 3 e 4 são primos e o fator 5 é comum. Portanto, LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Agora vamos trazer as frações para denominadores comuns:

Observe como a fatoração dos denominadores originais acabou sendo útil:

Tendo encontrado os mesmos fatores, chegamos imediatamente ao mínimo múltiplo comum, o que, em geral, é um problema não trivial;
A partir da expansão resultante, você pode descobrir quais fatores estão “faltando” para cada uma das frações. Por exemplo, 234 3 \u003d 702, portanto, para a primeira fração, o fator adicional é 3.

Para avaliar quanto de ganho o método múltiplo menos comum oferece, tente calcular os mesmos exemplos usando o método cruzado. Claro, sem calculadora. Acho que depois disso os comentários serão redundantes.

Não pense que tais frações complexas não estarão em exemplos reais. Eles se encontram o tempo todo, e as tarefas acima não são o limite!

Veja também:

Trazendo frações para um denominador comum

Uma fração não muda se seu numerador e denominador forem multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.

Assim, se você escolher os fatores corretamente, os denominadores das frações serão iguais - esse processo é chamado. E os números desejados, "nivelando" os denominadores, são chamados.

Por que você precisa trazer frações para um denominador comum? Aqui estão apenas alguns motivos:

Adição e subtração de frações com denominadores diferentes. Não há outra maneira de realizar esta operação;
Comparação de frações. Às vezes, a redução a um denominador comum simplifica muito essa tarefa;
Resolução de problemas sobre ações e porcentagens. As porcentagens são, na verdade, expressões comuns que contêm frações.

Multiplicação "cruzada"

Dê uma olhada:

Uma tarefa. Encontrar valores de expressão:

Como fatores adicionais, considere os denominadores das frações vizinhas. Nós temos:

Método divisor comum

Essa técnica ajuda a reduzir bastante os cálculos, mas, infelizmente, raramente é usada. O método é o seguinte:

Olhe para os denominadores antes de ir "através" (ou seja, "cruzar"). Talvez um deles (o maior) seja divisível pelo outro.
O número resultante de tal divisão será um fator adicional para uma fração com um denominador menor.
Ao mesmo tempo, uma fração com um denominador grande não precisa ser multiplicada por nada - essa é a economia. Ao mesmo tempo, a probabilidade de erro é drasticamente reduzida.

Uma tarefa. Encontrar valores de expressão:

Observe que 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Como em ambos os casos um denominador é divisível pelo outro sem deixar resto, aplicamos o método dos fatores comuns. Nós temos:

Observe que a segunda fração não foi multiplicada por nada. Na verdade, reduzimos a quantidade de cálculos pela metade!

Esse é o ponto forte do método dos divisores comuns, mas, novamente, só pode ser aplicado quando um dos denominadores é dividido pelo outro sem deixar resto. O que acontece muito raramente.

Método múltiplo menos comum

Existem muitos desses números, e o menor deles não será necessariamente igual ao produto direto dos denominadores das frações originais, como é assumido no método "cruzado".

Por exemplo, para os denominadores 8 e 12, o número 24 é bastante adequado, pois 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Este número é muito menor que o produto de 8 12 = 96.

O menor número que é divisível por cada um dos denominadores é chamado seu (LCM).

Notação: o mínimo múltiplo comum dos números aeb é denotado por LCM(a; b). Por exemplo, LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Se você conseguir encontrar esse número, a quantidade total de cálculos será mínima. Olhe para os exemplos:

Uma tarefa. Encontrar valores de expressão:

Observe que 234 = 117 2; 351 = 117 3. Os fatores 2 e 3 são primos (eles não têm divisores comuns, exceto 1), e o fator 117 é comum. Portanto, LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Da mesma forma, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Os fatores 3 e 4 são primos e o fator 5 é comum. Portanto, LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Agora vamos trazer as frações para denominadores comuns:

Observe como a fatoração dos denominadores originais acabou sendo útil:

Tendo encontrado os mesmos fatores, chegamos imediatamente ao mínimo múltiplo comum, o que, em geral, é um problema não trivial;
A partir da expansão resultante, você pode descobrir quais fatores estão “faltando” para cada uma das frações. Por exemplo, 234 3 \u003d 702, portanto, para a primeira fração, o fator adicional é 3.

Não pense que tais frações complexas não estarão em exemplos reais. Eles se encontram o tempo todo, e as tarefas acima não são o limite!

Veja também:

Trazendo frações para um denominador comum

Uma fração não muda se seu numerador e denominador forem multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.

Assim, se você escolher os fatores corretamente, os denominadores das frações serão iguais - esse processo é chamado. E os números desejados, "nivelando" os denominadores, são chamados.

Por que você precisa trazer frações para um denominador comum? Aqui estão apenas alguns motivos:

Adição e subtração de frações com denominadores diferentes. Não há outra maneira de realizar esta operação;
Comparação de frações. Às vezes, a redução a um denominador comum simplifica muito essa tarefa;
Resolução de problemas sobre ações e porcentagens. As porcentagens são, na verdade, expressões comuns que contêm frações.

Multiplicação "cruzada"

Uma tarefa. Encontrar valores de expressão:

Como fatores adicionais, considere os denominadores das frações vizinhas. Nós temos:

A única desvantagem desse método é que você precisa contar muito, porque os denominadores são multiplicados "à frente" e, como resultado, podem ser obtidos números muito grandes.

Trazendo frações para um denominador comum

Esse é o preço da confiabilidade.

Método divisor comum

Essa técnica ajuda a reduzir bastante os cálculos, mas, infelizmente, raramente é usada. O método é o seguinte:

Olhe para os denominadores antes de ir "através" (ou seja, "cruzar"). Talvez um deles (o maior) seja divisível pelo outro.
O número resultante de tal divisão será um fator adicional para uma fração com um denominador menor.
Ao mesmo tempo, uma fração com um denominador grande não precisa ser multiplicada por nada - essa é a economia. Ao mesmo tempo, a probabilidade de erro é drasticamente reduzida.

Uma tarefa. Encontrar valores de expressão:

Observe que 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Como em ambos os casos um denominador é divisível pelo outro sem deixar resto, aplicamos o método dos fatores comuns. Nós temos:

Observe que a segunda fração não foi multiplicada por nada. Na verdade, reduzimos a quantidade de cálculos pela metade!

Esse é o ponto forte do método dos divisores comuns, mas, novamente, só pode ser aplicado quando um dos denominadores é dividido pelo outro sem deixar resto. O que acontece muito raramente.

Método múltiplo menos comum

Existem muitos desses números, e o menor deles não será necessariamente igual ao produto direto dos denominadores das frações originais, como é assumido no método "cruzado".

Por exemplo, para os denominadores 8 e 12, o número 24 é bastante adequado, pois 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Este número é muito menor que o produto de 8 12 = 96.

O menor número que é divisível por cada um dos denominadores é chamado seu (LCM).

Notação: o mínimo múltiplo comum dos números aeb é denotado por LCM(a; b). Por exemplo, LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Se você conseguir encontrar esse número, a quantidade total de cálculos será mínima. Olhe para os exemplos:

Uma tarefa. Encontrar valores de expressão:

Observe que 234 = 117 2; 351 = 117 3. Os fatores 2 e 3 são primos (eles não têm divisores comuns, exceto 1), e o fator 117 é comum. Portanto, LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Da mesma forma, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Os fatores 3 e 4 são primos e o fator 5 é comum. Portanto, LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Agora vamos trazer as frações para denominadores comuns:

Observe como a fatoração dos denominadores originais acabou sendo útil:

Tendo encontrado os mesmos fatores, chegamos imediatamente ao mínimo múltiplo comum, o que, em geral, é um problema não trivial;
A partir da expansão resultante, você pode descobrir quais fatores estão “faltando” para cada uma das frações. Por exemplo, 234 3 \u003d 702, portanto, para a primeira fração, o fator adicional é 3.

Não pense que tais frações complexas não estarão em exemplos reais. Eles se encontram o tempo todo, e as tarefas acima não são o limite!

Este método faz sentido se o grau do polinômio não for menor que o segundo. Nesse caso, o fator comum pode ser não apenas um binômio de primeiro grau, mas também de graus superiores.

Para encontrar um comum fator termos do polinômio, é necessário realizar uma série de transformações. O binômio ou monômio mais simples que pode ser colocado entre colchetes será uma das raízes do polinômio. Obviamente, no caso em que o polinômio não possui um termo livre, haverá uma incógnita no primeiro grau - um polinômio igual a 0.

Mais difícil encontrar um fator comum é o caso quando o termo livre não é igual a zero. Então métodos simples de seleção ou agrupamento são aplicáveis. Por exemplo, deixe que todas as raízes do polinômio sejam racionais, enquanto todos os coeficientes do polinômio são inteiros: y^4 + 3 y³ - y² - 9 y - 18.

Escreva todos os divisores inteiros do termo livre. Se um polinômio tem raízes racionais, então elas estão entre elas. Como resultado da seleção, as raízes 2 e -3 são obtidas. Assim, os fatores comuns deste polinômio serão os binômios (y - 2) e (y + 3).

O método de tirar um fator comum é um dos componentes da fatoração. O método descrito acima é aplicável se o coeficiente no grau mais alto for 1. Se este não for o caso, então algumas transformações devem ser realizadas primeiro. Por exemplo: 2y³ + 19y² + 41y + 15.

Faça uma alteração da forma t = 2³ y³. Para isso, multiplique todos os coeficientes do polinômio por 4:2³ y³ + 19 2² y² + 82 2 y + 60. Após a substituição: t³ + 19 t² + 82 t + 60. Agora, para encontrar o fator comum, aplique o método acima.

Além do mais, método eficaz procurar um fator comum são os elementos do polinômio. É especialmente útil quando o primeiro método não é, ou seja, O polinômio não tem raízes racionais. No entanto, os agrupamentos nem sempre são óbvios. Por exemplo: O polinômio y^4 + 4 y³ - y² - 8 y - 2 não tem raízes inteiras.

Use o agrupamento: y^4 + 4 y³ - y² - 8 y - 2 = y^4 + 4 y³ - 2 y² + y² - 8 y - 2 = (y^4 - 2 y²) + ( 4 y³ - 8 y) + y² - 2 \u003d (y² - 2) * (y² + 4 y + 1) O fator comum dos elementos deste polinômio é (y² - 2).

Multiplicação e divisão, assim como adição e subtração, são operações aritméticas básicas. Sem aprender a resolver exemplos de multiplicação e divisão, uma pessoa enfrentará muitas dificuldades não apenas ao estudar seções mais complexas da matemática, mas até mesmo nos assuntos cotidianos mais comuns. A multiplicação e a divisão estão intimamente relacionadas, e os componentes desconhecidos de exemplos e problemas para uma dessas ações são calculados usando outra ação. Ao mesmo tempo, é necessário entender claramente que, ao resolver exemplos, não importa que tipo de objetos você divide ou multiplica.

Você vai precisar

- tabela de multiplicação;
- uma calculadora ou uma folha de papel e um lápis.

Instrução

Anote o exemplo desejado. Designar desconhecido fator como um X Um exemplo pode ser assim: a*x=b. Em vez do multiplicador a e do produto b no exemplo, pode haver qualquer ou números. Lembre-se da multiplicação básica: o produto não muda ao mudar os lugares dos fatores. Tão desconhecido fator x pode ser colocado em qualquer lugar.

Para encontrar o desconhecido fator em um exemplo onde existem apenas dois fatores, você só precisa dividir o produto pelo conhecido fator. Ou seja, é feito da seguinte forma: x=b/a. Se você achar difícil operar com quantidades abstratas, tente representar esse problema na forma de objetos concretos. Você, você tem apenas maçãs e quantos vão comê-las, mas você não sabe quantas maçãs cada um receberá. Por exemplo, você tem 5 membros da família e as maçãs acabaram sendo 15. O número de maçãs destinado a cada um, denota como x. Então a equação ficará assim: 5(maçãs)*x=15(maçãs). Desconhecido fatoré encontrado da mesma forma que na equação com letras, ou seja, divida 15 maçãs em cinco membros da família, no final verifica-se que cada um deles comeu 3 maçãs.

O desconhecido é encontrado da mesma maneira. fator com o número de fatores. Por exemplo, o exemplo se parece com a*b*c*x*=d. Em teoria, encontre fatoré possível e da mesma forma que em um exemplo mais post: x=d/a*b*c. Mas é possível reduzir a equação para mais à vista, denotando o produto de fatores conhecidos com alguma outra letra - por exemplo, m. Encontre o que m é igual ao multiplicar números a, b ec: m=a*b*c. Então todo o exemplo pode ser representado como m*x=d, e o valor desconhecido será igual a x=d/m.

Se conhecido fator e o produto são frações, o exemplo é resolvido da mesma forma que com . Mas neste caso é necessário lembrar ações. Ao multiplicar frações, os numeradores e denominadores são multiplicados. Ao dividir frações, o numerador do dividendo é multiplicado pelo denominador do divisor e o denominador do dividendo é multiplicado pelo numerador do divisor. Ou seja, neste caso, o exemplo ficará assim: a/b*x=c/d. Para encontrar o valor desconhecido, você precisa dividir o produto pelo valor conhecido fator. Isso é x=a/b:c/d =a*d/b*c.

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Nota

Ao resolver exemplos com frações, a fração de um fator conhecido pode ser simplesmente invertida e a ação pode ser executada como uma multiplicação de frações.

Um polinômio é a soma de monômios. Um monômio é o produto de vários fatores, que são um número ou uma letra. Grau desconhecido é o número de suas multiplicações por ele mesmo.

Instrução

Por favor, forneça se ainda não tiver sido feito. Monômios semelhantes são monômios do mesmo tipo, isto é, monômios com as mesmas incógnitas do mesmo grau.

Tomemos, por exemplo, o polinômio 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Este polinômio tem duas incógnitas - xey.

Conecte monômios semelhantes. Os monômios com a segunda potência de y e a terceira potência de x se tornarão y²*x³, e os monômios com a quarta potência de y serão cancelados. Você obtém y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.

Tome para a principal letra desconhecida y. Encontre a potência máxima para o desconhecido y. Este é o monômio y²*x³ e, portanto, a potência de 2.

Faça uma conclusão. Grau polinomial 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² é três em x e dois em y.

Encontrar grau polinomial√x+5*y em y. É igual ao grau máximo de y, ou seja, um.

Encontrar grau polinomial√x+5*y em x. A incógnita x é encontrada, então seu grau será uma fração. Como a raiz é quadrada, a potência de x é 1/2.

Faça uma conclusão. Por polinomial√x+5*y o grau em x é 1/2 e o grau em y é 1.

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Simplificação expressões algébricas exigido em muitas áreas da matemática, incluindo a resolução de equações graus mais altos, diferenciação e integração. Isso usa vários métodos, incluindo fatoração. Para aplicar este método, você precisa encontrar e tirar um fator por parênteses.

Para resolver exemplos com frações, você precisa ser capaz de encontrar o menor denominador comum. Abaixo está uma instrução detalhada.

Como encontrar o menor denominador comum - conceito

Mínimo denominador comum (LCD) em palavras simplesé o número mínimo que é divisível pelos denominadores de todas as frações neste exemplo. Em outras palavras, é chamado de Mínimo Múltiplo Comum (MLC). NOZ é usado apenas se os denominadores das frações forem diferentes.

Como encontrar o menor denominador comum - exemplos

Vamos considerar exemplos de encontrar NOZ.

Calcular: 3/5 + 2/15.

Solução (Sequência de ações):

Observamos os denominadores das frações, certificamo-nos de que são diferentes e as expressões são reduzidas o máximo possível.
Encontramos o menor número que é divisível por 5 e 15. Esse número será 15. Assim, 3/5 + 2/15 = ?/15.
Descobrimos o denominador. O que vai estar no numerador? Um multiplicador adicional nos ajudará a descobrir isso. Um fator adicional é o número obtido pela divisão do NOZ pelo denominador de uma determinada fração. Para 3/5, o fator adicional é 3, pois 15/5 = 3. Para a segunda fração, o fator adicional é 1, pois 15/15 = 1.
Tendo descoberto o fator adicional, nós o multiplicamos pelos numeradores das frações e somamos os valores resultantes. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Resposta: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Se no exemplo não 2, mas 3 ou mais frações forem adicionadas ou subtraídas, então o NOZ deve ser pesquisado por tantas frações quantas forem dadas.

Calcular: 1/2 - 5/12 + 3/6

Solução (sequência de ações):

Encontrando o menor denominador comum. O número mínimo divisível por 2, 12 e 6 é 12.
Obtemos: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
Estamos à procura de multiplicadores adicionais. Para 1/2 - 6; para 12/05 - 1; para 3/6 - 2.
Multiplicamos pelos numeradores e atribuímos os sinais correspondentes: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Resposta: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

Uma fração não muda se seu numerador e denominador forem multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.

Assim, se você escolher os fatores corretamente, os denominadores das frações serão iguais - esse processo é chamado de redução a um denominador comum. E os números desejados, "nivelando" os denominadores, são chamados de fatores adicionais.

Por que você precisa trazer frações para um denominador comum? Aqui estão apenas alguns motivos:

Adição e subtração de frações com denominadores diferentes. Não há outra maneira de realizar esta operação;
Comparação de frações. Às vezes, a redução a um denominador comum simplifica muito essa tarefa;
Resolução de problemas sobre ações e porcentagens. As porcentagens são, na verdade, expressões comuns que contêm frações.

Multiplicação "cruzada"

Como fatores adicionais, considere os denominadores das frações vizinhas. Nós temos:

Método divisor comum

Essa técnica ajuda a reduzir bastante os cálculos, mas, infelizmente, raramente é usada. O método é o seguinte:

Olhe para os denominadores antes de ir "através" (ou seja, "cruzar"). Talvez um deles (o maior) seja divisível pelo outro.
O número resultante de tal divisão será um fator adicional para uma fração com um denominador menor.
Ao mesmo tempo, uma fração com um denominador grande não precisa ser multiplicada por nada - essa é a economia. Ao mesmo tempo, a probabilidade de erro é drasticamente reduzida.

Uma tarefa. Encontrar valores de expressão:

Observe que 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Como em ambos os casos um denominador é divisível pelo outro sem deixar resto, usamos o método dos fatores comuns. Nós temos:

Observe que a segunda fração não foi multiplicada por nada. Na verdade, reduzimos a quantidade de cálculos pela metade!

Esse é o ponto forte do método dos divisores comuns, mas, novamente, só pode ser aplicado quando um dos denominadores é dividido pelo outro sem deixar resto. O que acontece muito raramente.

Método múltiplo menos comum

Existem muitos desses números, e o menor deles não será necessariamente igual ao produto direto dos denominadores das frações originais, como é assumido no método "cruzado".

Por exemplo, para os denominadores 8 e 12, o número 24 é bastante adequado, pois 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Este número é muito menor que o produto 8 12 = 96 .

O menor número que é divisível por cada um dos denominadores é chamado de mínimo múltiplo comum (MLC).

Notação: O mínimo múltiplo comum de aeb é denotado por LCM(a ; b ) . Por exemplo, LCM(16; 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

Se você conseguir encontrar esse número, a quantidade total de cálculos será mínima. Olhe para os exemplos:

Uma tarefa. Encontrar valores de expressão:

Observe que 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Os fatores 2 e 3 são primos (não têm divisores comuns, exceto 1), e o fator 117 é comum. Portanto, LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Da mesma forma, 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Os fatores 3 e 4 são relativamente primos, e o fator 5 é comum. Portanto, LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Agora vamos trazer as frações para denominadores comuns:

Observe como a fatoração dos denominadores originais acabou sendo útil:

Tendo encontrado os mesmos fatores, chegamos imediatamente ao mínimo múltiplo comum, o que, em geral, é um problema não trivial;
A partir da expansão resultante, você pode descobrir quais fatores estão “faltando” para cada uma das frações. Por exemplo, 234 3 \u003d 702, portanto, para a primeira fração, o fator adicional é 3.

Não pense que tais frações complexas não estarão em exemplos reais. Eles se encontram o tempo todo, e as tarefas acima não são o limite!

Nesta lição, veremos como reduzir frações a um denominador comum e resolver problemas sobre esse tópico. Vamos definir o conceito de um denominador comum e um fator adicional, lembre-se do mútuo números primos. Vamos definir o conceito de mínimo denominador comum (LCD) e resolver uma série de problemas para encontrá-lo.

Tópico: Adição e subtração de frações com denominadores diferentes

Lição: Reduzindo frações a um denominador comum

Repetição. Propriedade básica de uma fração.

Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número natural, então você obtém uma fração igual a ela.

Por exemplo, o numerador e o denominador de uma fração podem ser divididos por 2. Obtemos uma fração. Esta operação é chamada de redução de fração. Você também pode realizar a transformação inversa multiplicando o numerador e o denominador da fração por 2. Nesse caso, dizemos que reduzimos a fração a um novo denominador. O número 2 é chamado de fator adicional.

Conclusão. Uma fração pode ser reduzida a qualquer denominador que seja um múltiplo do denominador da fração dada. Para trazer uma fração para um novo denominador, seu numerador e denominador são multiplicados por um fator adicional.

1. Traga a fração para o denominador 35.

O número 35 é um múltiplo de 7, ou seja, 35 é divisível por 7 sem deixar resto. Então essa transformação é possível. Vamos encontrar um fator adicional. Para fazer isso, dividimos 35 por 7. Obtemos 5. Multiplicamos o numerador e o denominador da fração original por 5.

2. Traga a fração para o denominador 18.

Vamos encontrar um fator adicional. Para fazer isso, dividimos o novo denominador pelo original. Obtemos 3. Multiplicamos o numerador e o denominador desta fração por 3.

3. Traga a fração para o denominador 60.

Ao dividir 60 por 15, obtemos um multiplicador adicional. É igual a 4. Vamos multiplicar o numerador e o denominador por 4.

4. Traga a fração para o denominador 24

Em casos simples, a redução a um novo denominador é realizada na mente. É costume indicar apenas um fator adicional atrás do colchete um pouco à direita e acima da fração original.

Uma fração pode ser reduzida a um denominador de 15 e uma fração pode ser reduzida a um denominador de 15. As frações têm um denominador comum de 15.

O denominador comum das frações pode ser qualquer múltiplo comum de seus denominadores. Para simplificar, as frações são reduzidas ao menor denominador comum. É igual ao mínimo múltiplo comum dos denominadores das frações dadas.

Exemplo. Reduza ao mínimo denominador comum da fração e .

Primeiro, encontre o mínimo múltiplo comum dos denominadores dessas frações. Este número é 12. Vamos encontrar um fator adicional para a primeira e segunda frações. Para fazer isso, dividimos 12 por 4 e por 6. Três é um fator adicional para a primeira fração e dois para a segunda. Trazemos as frações para o denominador 12.

Reduzimos as frações a um denominador comum, ou seja, encontramos frações que são iguais a elas e têm o mesmo denominador.

Regra. Para trazer frações para o menor denominador comum,

Primeiro, encontre o mínimo múltiplo comum dos denominadores dessas frações, que será seu mínimo denominador comum;

Em segundo lugar, divida o mínimo denominador comum pelos denominadores dessas frações, ou seja, encontre um fator adicional para cada fração.

Em terceiro lugar, multiplique o numerador e o denominador de cada fração pelo seu fator adicional.

a) Reduza as frações e a um denominador comum.

O menor denominador comum é 12. O fator adicional para a primeira fração é 4, para a segunda - 3. Trazemos as frações para o denominador 24.

b) Reduza as frações e a um denominador comum.

O menor denominador comum é 45. Dividindo 45 por 9 por 15, obtemos 5 e 3, respectivamente. Trazemos as frações para o denominador 45.

c) Reduza as frações e a um denominador comum.

O denominador comum é 24. Os fatores adicionais são 2 e 3, respectivamente.

Às vezes é difícil encontrar verbalmente o mínimo múltiplo comum para os denominadores de frações dadas. Então o denominador comum e os fatores adicionais são encontrados expandindo para fatores primos.

Reduza a um denominador comum da fração e .

Vamos decompor os números 60 e 168 em fatores primos. Vamos escrever a expansão do número 60 e adicionar os fatores que faltam 2 e 7 da segunda expansão. Multiplique 60 por 14 e obtenha um denominador comum de 840. O fator adicional para a primeira fração é 14. O fator adicional para a segunda fração é 5. Vamos reduzir as frações a um denominador comum de 840.

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. e outros Matemática 6. - M.: Mnemozina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matemática 6º ano. - Ginásio, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Atrás das páginas de um livro de matemática. - Iluminismo, 1989.

4. Rurukin A.N., Chaikovsky I.V. Tarefas para o curso de matemática do 5º ao 6º ano. - ZSH MEPHI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Matemática 5-6. Um manual para alunos do 6º ano da escola por correspondência MEPhI. - ZSH MEPHI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. etc. Matemática: livro-texto do interlocutor para as séries 5-6 ensino médio. Biblioteca do professor de matemática. - Iluminismo, 1989.

Você pode baixar os livros especificados na cláusula 1.2. esta lição.

Trabalho de casa

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. e outros Matemática 6. - M.: Mnemozina, 2012. (ver link 1.2)

Dever de casa: Nº 297, Nº 298, Nº 300.

Outras tarefas: #270, #290

Redução de frações ao menor denominador comum, regra, exemplos, soluções

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