Como subtrair frações inteiras com denominadores diferentes. Subtração de frações ordinárias: regras, exemplos, soluções

Esta lição abordará adição e subtração. frações algébricas com os mesmos denominadores. Já sabemos como somar e subtrair frações comuns com os mesmos denominadores. Acontece que as frações algébricas seguem as mesmas regras. A capacidade de trabalhar com frações com os mesmos denominadores é uma das pedras angulares no aprendizado das regras para trabalhar com frações algébricas. Em particular, entender este tópico facilitará o domínio de um tópico mais complexo - adição e subtração de frações com denominadores diferentes. Como parte da lição, estudaremos as regras para somar e subtrair frações algébricas com os mesmos denominadores, e também analisar linha inteira exemplos típicos

Regra para somar e subtrair frações algébricas com os mesmos denominadores

Sfor-mu-li-ru-em pr-vi-lo slo-zhe-niya (você-chi-ta-niya) al-geb-ra-e-che-dro-bey com one-on-to-you - mi-know-on-te-la-mi (é co-pa-yes-et com o polegar direito do polegar para ordinário-mas-ven-nyh-dr-bay): Isso é para a adição ou você-chi-ta-niya al-geb-ra-e-che-dro-bey com one-to-you-mi-know-me-on-te-la-mi é necessário -ho-di-mo com -ficar com-de-vet-stu-u-th al-geb-ra-i-che-soma do número de-li-te-lei, e o sinal-me-em-tel sai sem iz-me- não.

Analisaremos esse vi-lo direito tanto no exemplo de batidas comuns, mas na veia, quanto no exemplo de al-geb-ra-e-che-drobey.

Exemplos de aplicação da regra para frações ordinárias

Exemplo 1. Adicionar frações:.

Decisão

Vamos adicionar o número-se-eles-se-empate-batem, e vamos deixar o sinal-me-no-tel igual. Depois disso, dividimos o numer-li-tel e o sign-me-on-tel em multiplicadores simples e so-kra-tim. Vamos obtê-lo: .

Nota: erro padrão, vou iniciar algo ao resolver em um bom tipo de exemplo, para -key-cha-et-sya no seguinte-du-u-sch-so-so-be-so-she-tion : . Este é um erro grosseiro, uma vez que o sign-on-tel permanece o mesmo que era nas frações originais.

Exemplo 2. Adicionar frações:.

Decisão

Este za-da-cha não é nada de-se-cha-et-sya do anterior:.

Exemplos de aplicação da regra para frações algébricas

Do habitual-mas-vein-nyh dro-bay per-rey-dem ao al-geb-ra-i-che-skim.

Exemplo 3. Adicionar frações:.

Solução: como já foi dito acima, a adição de al-geb-ra-e-che-dro-bey não é nada de-is-cha-is-sya do zhe-niya geralmente-mas-vein-nyh dro-bay. Portanto, o método de solução é o mesmo:.

Exemplo 4. Frações de honra:.

Decisão

Você-chi-ta-nie al-geb-ra-e-che-dro-bey de-se-cha-et-sya da complicação apenas pelo fato de que no número de pi-sy-va-et-sya diferença no número de-li-te-lei is-run-nyh-dro-bay. Então .

Exemplo 5. Frações de honra:.

Decisão: .

Exemplo 6. Simplifique:.

Decisão: .

Exemplos de aplicação da regra seguida de redução

Em uma fração, alguém-paraíso está em uma adição re-zul-ta-aqueles ou você-chi-ta-nia, é possível co-lindamente niya. Além disso, você não deve esquecer o ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey.

Exemplo 7. Simplifique:.

Decisão: .

Em que. Em geral, se o ODZ do out-of-hot-drow-bay owls-pa-yes-et com o ODZ do total-go-howl, então você não pode indicá-lo (afinal, uma fração, em um lu-chen-naya em de-ve-aqueles, também não existirá com co-de-vet-stu-u-s-saber-che-no-yah-re-men-nyh). Mas se o ODZ é a fonte do dro-bay em execução e de-ve-isso não co-pa-sim-et, então o ODZ indica a necessidade-ho-di-mo.

Exemplo 8. Simplifique:.

Decisão: . Ao mesmo tempo, y (ODZ da baia de saída não coincide com a ODZ de re-zul-ta-ta).

Adição e subtração de frações ordinárias com denominadores diferentes

Para armazenar e você-chi-tat al-geb-ra-e-che-frações com diferentes-nós-me-conhecemos-em-te-la-mi, pro-ve-dem ana-lo -gyu do usual- mas-ven-ny-mi dro-bya-mi e re-re-não-sem em al-geb-ra-e-che-frações.

Ras-veja o exemplo mais simples de injeções venosas comuns.

Exemplo 1. Adicionar frações:.

Decisão:

Vamos lembrar a direita-vi-lo-slo-drow-baía. Para frações na-cha-la, é necessário adicionar-ve-sti ao sinal-me-para-te-lu comum. No papel de um sinal-me-on-te-la geral para batidas comuns-mas-vein-draw, you-stu-pa-et mínimo múltiplo comum(NOK) a fonte dos sinais-me-on-the-lei.

Definição

O menor número do pescoço ao tu-ral, o enxame de alguém é apagado ao mesmo tempo em números e.

Para encontrar o NOC, você precisa de-lo-viver sabe-me-no-se em multiplicadores simples, e depois optar por levar tudo pro- são muitos, muitos, alguns deles estão incluídos na diferença entre ambos assina-me-na-lei.

; . Em seguida, o LCM de números deve incluir dois dois e dois três:.

Depois de encontrar o sign-on-te-la geral, é necessário que cada um dos dro-bays encontre um multi-zhi-tel adicional (fak-ti-che-ski, ao despejar um sinal-me-comum). on-tel on sign-me-on-tel co-de-representante-a-ésima fração).

Então, cada fração é multiplicada por um multiplicador de semi-chen-ny para meio-no-tel-ny. Frações com o mesmo-para-você-conhece-me-on-te-la-mi, armazéns e você-chi-tat alguém em quem estamos - estudado nas lições anteriores.

By-lu-cha-comer: .

Responda:.

Ras-look-rim agora a dobra de al-geb-ra-e-che-dro-bey com diferentes sinais-me-on-te-la-mi. Dorme-cha-la, olhamos para as frações, sabe-me-no-se alguns deles são-la-yut-sya número-la-mi.

Adição e subtração de frações algébricas com denominadores diferentes

Exemplo 2. Adicionar frações:.

Decisão:

Al-go-ritmo de re-she-niya ab-so-lyut-mas ana-lo-gi-chen anterior-du-sche-mu p-me-ru. É fácil pegar um denominador comum nas frações dadas: e adicionar multiplicadores completos para cada uma delas.

.

Responda:.

Então, sfor-mu-li-ru-em al-go-ritmo de complicação e você-chi-ta-niya al-geb-ra-e-che-dro-beats com diferentes-conhecemos-me-on-te-la-mi:

1. Encontre a menor baía de tração de sinal-me-on-tel comum.

2. Encontre multiplicadores adicionais para cada uma das frações de draw-bay).

3. Multiplique-os-números-vivos-se-o-se-no-co-ot-vet-stu-u-s-até-meio-no-tel-nye-múltiplos-aqueles.

4. Adicione ao vivo ou você-honre as frações, use o right-wi-la-mi da dobra e você-chi-ta-niya draw-bay com one-to-you-know-me-on- te-la-mi.

Ras-look-rim agora um exemplo com dro-bya-mi, no know-me-on-the-le-there-are-there-are-there-are-faia-ven-nye você-ra-mesmo - ção.

Como você sabe da matemática, um número fracionário consiste em um numerador e um denominador. O numerador está na parte superior e o denominador na parte inferior.

É bastante simples realizar operações matemáticas na adição ou subtração de quantidades fracionárias com o mesmo denominador. Você só precisa ser capaz de adicionar ou subtrair os números no numerador (superior), e o mesmo número inferior permanece inalterado.

Por exemplo, vamos pegar o número fracionário 7/9, aqui:

• o número "sete" em cima é o numerador;
• o número "nove" abaixo é o denominador.

Exemplo 1. Adição:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Exemplo 2. Subtração:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Subtração de valores fracionários simples que têm um denominador diferente

Para realizar uma operação matemática para subtrair valores que possuem um denominador diferente, você deve primeiro trazê-los para um denominador comum. Ao realizar esta tarefa, é necessário aderir à regra de que esta denominador comum deve ser o menor de todos opções.

Exemplo 3

Dadas duas quantidades simples com denominadores diferentes (números mais baixos): 7/8 e 2/9.

Subtraia o segundo do primeiro valor.

A solução consiste em várias etapas:

1. Encontre o menor número comum, ou seja, aquela que é divisível tanto pelo menor valor da primeira fração quanto pela segunda. Este será o número 72, pois é um múltiplo dos números "oito" e "nove".

2. O dígito inferior de cada fração aumentou:

• o número "oito" na fração 7/8 aumentou nove vezes - 8*9=72;
• o número "nove" na fração 2/9 aumentou oito vezes - 9*8=72.

3. Se o denominador (número inferior) mudou, o numerador (número superior) também deve mudar. De acordo com a regra matemática existente, o número superior deve ser aumentado exatamente na mesma quantidade que o inferior. Ou seja:

• o numerador "sete" na primeira fração (7/8) é multiplicado pelo número "nove" - ​​7*9=63;
• o numerador "dois" na segunda fração (2/9) é multiplicado pelo número "oito" - 2*8=16.

4. Como resultado das ações, obtivemos dois novos valores, porém idênticos aos originais.

• primeiro: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
• segundo: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.

5. Agora é permitido subtrair um número fracionário de outro:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Executando esta ação, voltamos ao tópico de subtração de frações com os mesmos números inferiores (denominadores). E isso significa que a ação de subtração será realizada de cima, no numerador, e o número inferior será transferido sem alterações.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Exemplo 4

Vamos complicar o problema tomando várias frações para resolver com diferentes, mas vários dígitos na parte inferior.

Valores dados: 5/6; 1/3; 1/12; 24/07.

Eles devem ser retirados um do outro nesta sequência.

1. Trazemos as frações da forma acima para um denominador comum, que será o número "24":

• 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
• 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
• 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

24/07 - deixamos este último valor inalterado, pois o denominador é número total"24".

2. Subtraia todos os valores:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Como o numerador e o denominador da fração resultante são divisíveis por um número, eles podem ser reduzidos dividindo-se pelo número "três":

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Escrevemos a resposta assim:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Exemplo 5

Dadas três frações com denominadores não múltiplos: 3/4; 2/7; 1/13.

Você precisa encontrar a diferença.

1. Trazemos os dois primeiros números para um denominador comum, será o número "28":

• ¾ \u003d 3 * 7 / 4 * 7 \u003d 21/28;
• 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Subtraia as duas primeiras frações entre si:

¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.

3. Subtraia a terceira fração do valor resultante:

4. Trazemos os números para um denominador comum. Se não for possível encontrar o mesmo denominador mais de O caminho fácil, então você só precisa realizar as ações multiplicando sucessivamente todos os denominadores entre si, não esquecendo de aumentar o valor do numerador pelo mesmo número. Neste exemplo, fazemos isso:

• 13/28 \u003d 13 * 13 / 28 * 13 \u003d 169/364, onde 13 é o dígito inferior de 13/5;
• 13/5 \u003d 5 * 28 / 13 * 28 \u003d 140/364, onde 28 é o dígito inferior de 28/13.

5. Subtraia as frações resultantes:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Resposta: ¾-2/7-5/13 = 29/364.

Números fracionários mistos

Nos exemplos discutidos acima, apenas frações apropriadas foram usadas.

Como um exemplo:

• 8/9 é uma fração própria;
• 9/8 está errado.

É impossível transformar uma fração imprópria em própria, mas é possível transformá-la em misturado. Por que o número de cima (numerador) é dividido pelo número de baixo (denominador) para obter um número com resto. O inteiro resultante da divisão é escrito desta forma, o resto é escrito no numerador na parte superior e o denominador, que está na parte inferior, permanece o mesmo. Para ficar mais claro, considere exemplo específico:

Exemplo 6

Convertemos a fração imprópria 9/8 na própria.

Para fazer isso, dividimos o número "nove" por "oito", como resultado, obtemos uma fração mista com um inteiro e um resto:

9: 8 = 1 e 1/8 (de outra forma pode ser escrito como 1 + 1/8), onde:

• o número 1 é o inteiro resultante da divisão;
• outro número 1 - o restante;
• o número 8 é o denominador, que permaneceu inalterado.

Um número inteiro também é chamado de número natural.

O resto e o denominador são uma fração nova, mas já correta.

Ao escrever o número 1, ele é escrito antes da fração correta 1/8.

Subtração de números mistos com denominadores diferentes

Do exposto, damos a definição de um número fracionário misto: "Número misto - este é um valor que é igual à soma de um número inteiro e uma fração ordinária própria. Neste caso, a parte inteira é chamada número natural, e o número que está no resto é o seu partes fracionadas».

Exemplo 7

Dado: duas quantidades fracionárias mistas, consistindo de um número inteiro e uma fração própria:

• o primeiro valor é 9 e 4/7, ou seja, (9 + 4/7);
• o segundo valor é 3 e 5/21, ou seja (3+5/21).

É necessário encontrar a diferença entre esses valores.

1. Para subtrair 3+5/21 de 9+4/7, você deve primeiro subtrair valores inteiros um do outro:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. O resultado da diferença entre dois números mistos consistirá em um número natural (inteiro) 6 e uma fração própria 7/21 = 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Matemáticos de todos os países concordaram que o sinal “+” ao escrever quantidades mistas pode ser omitido e apenas o número inteiro na frente da fração sem nenhum sinal pode ser deixado.

Um de ciências essenciais, cuja aplicação pode ser vista em disciplinas como química, física e até biologia, é a matemática. O estudo desta ciência permite desenvolver algumas qualidades mentais, melhorar a capacidade de concentração. Um dos tópicos que merecem atenção especial na disciplina "Matemática" é a adição e subtração de frações. Muitos alunos têm dificuldade para estudar. Talvez nosso artigo ajude a entender melhor esse tópico.

Como subtrair frações cujos denominadores são iguais

Frações são os mesmos números com os quais você pode realizar várias ações. Sua diferença dos inteiros está na presença de um denominador. É por isso que ao realizar ações com frações, você precisa estudar alguns de seus recursos e regras. O caso mais simples é a subtração frações ordinárias, cujos denominadores são representados como o mesmo número. Não será difícil realizar esta ação se você conhecer uma regra simples:

• Para subtrair uma segunda fração de uma, é necessário subtrair o numerador da fração a ser subtraída do numerador da fração reduzida. Escrevemos esse número no numerador da diferença e deixamos o denominador o mesmo: k / m - b / m = (k-b) / m.

Exemplos de subtração de frações cujos denominadores são iguais

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Do numerador da fração reduzida "7" subtrair o numerador da fração subtraída "3", obtemos "4". Escrevemos esse número no numerador da resposta e colocamos no denominador o mesmo número que estava nos denominadores da primeira e segunda frações - "19".

A imagem abaixo mostra mais alguns exemplos desse tipo.

Considere um exemplo mais complexo onde frações com os mesmos denominadores são subtraídas:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Do numerador da fração reduzida "29", subtraindo, por sua vez, os numeradores de todas as frações subsequentes - "3", "8", "2", "7". Como resultado, obtemos o resultado "9", que escrevemos no numerador da resposta, e no denominador escrevemos o número que está nos denominadores de todas essas frações - "47".

Adição de frações com o mesmo denominador

A adição e a subtração de frações ordinárias são realizadas de acordo com o mesmo princípio.

• Para somar frações com os mesmos denominadores, você precisa somar os numeradores. O número resultante é o numerador da soma, e o denominador permanece o mesmo: k/m + b/m = (k + b)/m.

Vamos ver como fica em um exemplo:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Ao numerador do primeiro termo da fração - "1" - adicionamos o numerador do segundo termo da fração - "2". O resultado - "3" - é escrito no numerador da quantidade, e o denominador é deixado o mesmo que estava presente nas frações - "4".

Frações com denominadores diferentes e sua subtração

Já consideramos a ação com frações que têm o mesmo denominador. Como vemos, sabendo regras simples, é bastante fácil resolver tais exemplos. Mas e se você precisar realizar uma ação com frações com denominadores diferentes? Muitos estudantes do ensino médio ficam confusos com esses exemplos. Mas mesmo aqui, se você conhece o princípio da solução, os exemplos não serão mais difíceis para você. Há também uma regra aqui, sem a qual a solução de tais frações é simplesmente impossível.

Para subtrair frações com denominadores diferentes, elas devem ser reduzidas ao mesmo denominador menor.



Falaremos com mais detalhes sobre como fazer isso.

Propriedade de fração

Para reduzir várias frações ao mesmo denominador, você precisa usar a propriedade principal da fração na solução: depois de dividir ou multiplicar o numerador e o denominador por o mesmo número obter uma fração igual à dada.

Assim, por exemplo, a fração 2/3 pode ter denominadores como "6", "9", "12", etc., ou seja, pode se parecer com qualquer número que seja múltiplo de "3". Depois de multiplicarmos o numerador e o denominador por "2", obtemos uma fração de 4/6. Depois de multiplicarmos o numerador e o denominador da fração original por "3", obtemos 6/9 e, se realizarmos uma ação semelhante com o número "4", obtemos 8/12. Em uma equação, isso pode ser escrito como:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Como trazer várias frações para o mesmo denominador

Considere como reduzir várias frações ao mesmo denominador. Por exemplo, pegue as frações mostradas na figura abaixo. Primeiro você precisa determinar qual número pode se tornar o denominador de todos eles. Para facilitar, vamos decompor os denominadores disponíveis em fatores.

O denominador da fração 1/2 e a fração 2/3 não podem ser fatorados. O denominador de 7/9 tem dois fatores 7/9 = 7/(3 x 3), o denominador da fração 5/6 = 5/(2 x 3). Agora você precisa determinar quais fatores serão os menores para todas essas quatro frações. Como a primeira fração tem o número “2” no denominador, significa que ela deve estar presente em todos os denominadores, na fração 7/9 existem duas triplas, o que significa que elas também devem estar presentes no denominador. Diante do exposto, determinamos que o denominador consiste em três fatores: 3, 2, 3 e é igual a 3 x 2 x 3 = 18.



Considere a primeira fração - 1/2. Seu denominador contém "2", mas não há um único "3", mas deve haver dois. Para fazer isso, multiplicamos o denominador por dois triplos, mas, de acordo com a propriedade da fração, devemos multiplicar o numerador por dois triplos:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 18/09.

Da mesma forma, realizamos ações com as frações restantes.

• 2/3 - falta um três e um dois no denominador:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 18/12.
• 7/9 ou 7 / (3 x 3) - o denominador está faltando um deuce:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 ou 5/(2 x 3) - falta um triplo no denominador:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Tudo junto fica assim:



Como subtrair e adicionar frações com denominadores diferentes

Como mencionado acima, para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, elas devem ser reduzidas ao mesmo denominador, e então usar as regras para subtração de frações com o mesmo denominador, que já foram descritas.

Considere isso com um exemplo: 18/04 - 15/03.

Encontrando múltiplos de 18 e 15:

• O número 18 consiste em 3 x 2 x 3.
• O número 15 consiste em 5 x 3.
• O múltiplo comum consistirá dos seguintes fatores 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Depois de encontrado o denominador, é necessário calcular um fator que será diferente para cada fração, ou seja, o número pelo qual será necessário multiplicar não apenas o denominador, mas também o numerador. Para fazer isso, dividimos o número encontrado (múltiplo comum) pelo denominador da fração para a qual fatores adicionais precisam ser determinados.

• 90 dividido por 15. O número resultante "6" será um multiplicador para 3/15.
• 90 dividido por 18. O número resultante "5" será um multiplicador para 4/18.

O próximo passo em nossa solução é trazer cada fração para o denominador "90".

Já discutimos como isso é feito. Vamos ver como isso está escrito em um exemplo:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Se frações com números pequenos, você pode determinar o denominador comum, como no exemplo mostrado na imagem abaixo.



Produzidos de forma semelhante e com denominadores diferentes.

Subtração e tendo partes inteiras

Subtração de frações e sua adição, já analisamos em detalhes. Mas como subtrair se a fração tem parte inteira? Novamente, vamos usar algumas regras:

• Converta todas as frações que têm uma parte inteira em impróprias. conversando em termos simples, remova a peça inteira. Para fazer isso, o número da parte inteira é multiplicado pelo denominador da fração, o produto resultante é adicionado ao numerador. O número que será obtido após essas ações é o numerador de uma fração imprópria. O denominador permanece inalterado.
• Se as frações tiverem denominadores diferentes, elas devem ser reduzidas ao mesmo.
• Efetue adição ou subtração com os mesmos denominadores.
• Ao receber uma fração imprópria, selecione a parte inteira.



Existe outra maneira pela qual você pode adicionar e subtrair frações com partes inteiras. Para isso, as ações são realizadas separadamente com partes inteiras, e separadamente com frações, e os resultados são registrados em conjunto.



O exemplo acima consiste em frações que têm o mesmo denominador. Caso os denominadores sejam diferentes, eles devem ser reduzidos ao mesmo e, em seguida, seguir os passos mostrados no exemplo.

Subtraindo frações de um número inteiro

Outra das variedades de ações com frações é o caso em que a fração deve ser subtraída de À primeira vista, tal exemplo parece difícil de resolver. No entanto, tudo é muito simples aqui. Para resolvê-lo, é necessário converter um inteiro em uma fração, e com tal denominador, que está na fração a ser subtraída. Em seguida, realizamos uma subtração semelhante à subtração com os mesmos denominadores. Por exemplo, fica assim:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

A subtração de frações dadas neste artigo (6º ano) é a base para resolver mais exemplos difíceis que são discutidos em aulas posteriores. O conhecimento deste tópico é usado posteriormente para resolver funções, derivadas e assim por diante. Portanto, é muito importante entender e entender as ações com frações discutidas acima.

Nesta lição, consideraremos a adição e a subtração de frações algébricas com denominadores diferentes. Já sabemos como somar e subtrair frações comuns com denominadores diferentes. Para fazer isso, as frações devem ser reduzidas a um denominador comum. Acontece que as frações algébricas seguem as mesmas regras. Ao mesmo tempo, já sabemos como reduzir frações algébricas a um denominador comum. A adição e subtração de frações com denominadores diferentes é uma das mais importantes e tópicos difíceis na 8ª série. Além disso, este tópico será encontrado em muitos tópicos do curso de álgebra, que você estudará no futuro. Como parte da lição, estudaremos as regras para somar e subtrair frações algébricas com denominadores diferentes, bem como analisar vários exemplos típicos.

Considerar o exemplo mais simples para frações comuns.

Exemplo 1 Adicionar frações: .

Decisão:

Lembre-se da regra para somar frações. Para começar, as frações devem ser reduzidas a um denominador comum. O denominador comum das frações ordinárias é mínimo múltiplo comum(LCM) dos denominadores originais.

Definição

Ao menos número natural, que é divisível simultaneamente por números e .

Para encontrar o MMC, é necessário expandir os denominadores em fatores primos, e, em seguida, escolha todos os fatores primos incluídos na expansão de ambos os denominadores.

; . Em seguida, o LCM dos números deve incluir dois 2s e dois 3s: .

Depois de encontrar o denominador comum, é necessário encontrar um fator adicional para cada uma das frações (na verdade, divida o denominador comum pelo denominador da fração correspondente).

Em seguida, cada fração é multiplicada pelo fator adicional resultante. Obtemos frações com os mesmos denominadores, que aprendemos a somar e subtrair nas lições anteriores.

Nós temos: .

Responda:.

Considere agora a adição de frações algébricas com denominadores diferentes. Primeiro considere frações cujos denominadores são números.

Exemplo 2 Adicionar frações: .

Decisão:

O algoritmo de solução é absolutamente semelhante ao exemplo anterior. É fácil encontrar um denominador comum para essas frações: e fatores adicionais para cada uma delas.

.

Responda:.

Então vamos formular algoritmo para somar e subtrair frações algébricas com denominadores diferentes:

1. Encontre o menor denominador comum das frações.

2. Encontre fatores adicionais para cada uma das frações (dividindo o denominador comum pelo denominador dessa fração).

3. Multiplique os numeradores pelos fatores adicionais apropriados.

4. Adicione ou subtraia frações usando as regras para somar e subtrair frações com os mesmos denominadores.

Considere agora um exemplo com frações no denominador das quais existem expressões literais.

Exemplo 3 Adicionar frações: .

Decisão:

Como as expressões literais em ambos os denominadores são as mesmas, você deve encontrar um denominador comum para os números. O denominador comum final será semelhante a: . Então a solução para este exemplo é:

Responda:.

Exemplo 4 Subtrair frações: .

Decisão:

Se você não pode “enganar” ao escolher um denominador comum (você não pode fatorá-lo ou usar as fórmulas de multiplicação abreviadas), então você deve tomar o produto dos denominadores de ambas as frações como denominador comum.

Responda:.

Em geral, ao resolver tais exemplos, o mais tarefa difícilé encontrar um denominador comum.

Vejamos um exemplo mais complexo.

Exemplo 5 Simplificar: .

Decisão:

Ao encontrar um denominador comum, você deve primeiro tentar fatorar os denominadores das frações originais (para simplificar o denominador comum).

Neste caso específico:

Então é fácil determinar o denominador comum: .

Determinamos fatores adicionais e resolvemos este exemplo:

Responda:.

Agora vamos corrigir as regras para adicionar e subtrair frações com denominadores diferentes.

Exemplo 6 Simplificar: .

Decisão:

Responda:.

Exemplo 7 Simplificar: .

Decisão:

.

Responda:.

Considere agora um exemplo em que não duas, mas três frações são adicionadas (afinal, as regras para adição e subtração para mais frações permanecem as mesmas).

Exemplo 8 Simplificar: .

Os números fracionários comuns encontram os alunos pela primeira vez na 5ª série e os acompanham por toda a vida, pois na vida cotidiana muitas vezes é necessário considerar ou usar algum objeto não inteiramente, mas em peças separadas. O início do estudo deste tópico - compartilhe. As ações são partes iguais em que um objeto é dividido. Afinal, nem sempre é possível expressar, por exemplo, o comprimento ou o preço de um produto como um número inteiro; deve-se levar em conta partes ou cotas de qualquer medida. Formado a partir do verbo "esmagar" - dividir em partes e com raízes árabes, no século VIII a palavra "fração" apareceu em russo.

As expressões fracionárias têm sido consideradas a seção mais difícil da matemática. No século 17, quando surgiram os primeiros livros didáticos de matemática, eles eram chamados de "números quebrados", o que era muito difícil de exibir na compreensão das pessoas.

aparência moderna resíduos fracionários simples, partes dos quais são separados precisamente por uma linha horizontal, foram primeiramente contribuídos por Fibonacci - Leonardo de Pisa. Seus escritos são datados de 1202. Mas o objetivo deste artigo é explicar de forma simples e clara ao leitor como ocorre a multiplicação de frações mistas com denominadores diferentes.

Multiplicando frações com denominadores diferentes

Inicialmente, é necessário determinar variedades de frações:

• correto;
• errado;
• misturado.

Em seguida, você precisa se lembrar de como os números fracionários com os mesmos denominadores são multiplicados. A própria regra deste processo é fácil de formular independentemente: o resultado da multiplicação frações simples com os mesmos denominadores é uma expressão fracionária, cujo numerador é o produto dos numeradores, e o denominador é o produto dos denominadores das frações dadas. Ou seja, de fato, o novo denominador é o quadrado de um dos existentes inicialmente.

Ao multiplicar frações simples com denominadores diferentes para dois ou mais fatores, a regra não muda:

uma/b * c/d = a*c/ b*d.

A única diferença é que o número formado sob a linha fracionária será o produto de diferentes números e, claro, o quadrado de um expressão numéricaé impossível nomeá-lo.

Vale a pena considerar a multiplicação de frações com denominadores diferentes usando exemplos:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Os exemplos usam maneiras de reduzir expressões fracionárias. Você pode reduzir apenas os números do numerador com os números do denominador; fatores adjacentes acima ou abaixo da barra fracionária não podem ser reduzidos.

Junto com simples números fracionários, existe o conceito de frações mistas. Um número misto consiste em um número inteiro e uma parte fracionária, ou seja, é a soma desses números:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Como funciona a multiplicação?

Vários exemplos são fornecidos para consideração.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

O exemplo usa a multiplicação de um número por parte fracionária ordinária, você pode escrever a regra para esta ação pela fórmula:

uma * b/c = a*b/c.

De fato, tal produto é a soma de restos fracionários idênticos, e o número de termos indica esse número natural. caso especial:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Existe outra opção para resolver a multiplicação de um número por um resto fracionário. Você só precisa dividir o denominador por este número:

d* e/f = e/f: D.

É útil usar essa técnica quando o denominador é dividido por um número natural sem resto ou, como dizem, completamente.

Converta números mistos em frações impróprias e obtenha o produto da maneira descrita anteriormente:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Este exemplo envolve um método de representação fração mista no errado, ele também pode ser representado como Fórmula geral:

uma bc = a*b+ c/c onde o denominador novo tiroé formado multiplicando a parte inteira com o denominador e adicionando-o ao numerador do resto fracionário original, e o denominador permanece o mesmo.

Esse processo também funciona em lado reverso. Para selecionar a parte inteira e o resto fracionário, você precisa dividir o numerador de uma fração imprópria pelo seu denominador com um “canto”.

Multiplicação frações impróprias produzido da maneira usual. Quando a entrada passa por uma única linha fracionária, conforme necessário, você precisa reduzir as frações para reduzir os números usando esse método e é mais fácil calcular o resultado.

Existem muitos ajudantes na Internet para resolver até mesmo problemas matemáticos complexos em várias variações programas. Um número suficiente desses serviços oferece sua ajuda na contagem da multiplicação de frações com números diferentes em denominadores - as chamadas calculadoras online para calcular frações. Eles são capazes não apenas de multiplicar, mas também de realizar todas as outras operações aritméticas simples com frações ordinárias e números mistos. Não é difícil trabalhar com isso, os campos correspondentes são preenchidos na página do site, o sinal da ação matemática é selecionado e “calcular” é pressionado. O programa conta automaticamente.

O tema das operações aritméticas com números fracionários é relevante em toda a educação dos alunos do ensino fundamental e médio. No ensino médio, eles não estão mais considerando as espécies mais simples, mas expressões fracionárias inteiras, mas o conhecimento das regras de transformação e cálculos, obtidos anteriormente, é aplicado em sua forma original. bem digerido conhecimento básico dar plena confiança boa decisão a maioria Tarefas desafiantes.

Concluindo, faz sentido citar as palavras de Leo Tolstoy, que escreveu: “O homem é uma fração. Não está no poder do homem aumentar seu numerador - seus próprios méritos, mas qualquer um pode diminuir seu denominador - sua opinião sobre si mesmo, e por essa diminuição aproximar-se de sua perfeição.