Como multiplicar um número misto por um primo. Multiplicação de frações

No curso da média e ensino médio Os alunos abordaram o tema "Frações". No entanto, este conceito é muito mais amplo do que dado no processo de aprendizagem. Hoje, o conceito de fração é encontrado com bastante frequência e nem todos podem calcular qualquer expressão, por exemplo, multiplicar frações.

O que é uma fração?

Aconteceu historicamente que os números fracionários surgiram devido à necessidade de medir. Como mostra a prática, muitas vezes há exemplos para determinar o comprimento de um segmento, o volume de um retângulo retangular.

Inicialmente, os alunos são apresentados a um conceito como um compartilhamento. Por exemplo, se você dividir uma melancia em 8 partes, cada uma receberá um oitavo de uma melancia. Esta parte de oito é chamada de compartilhamento.

Uma ação igual a ½ de qualquer valor é chamada de meia; ⅓ - terceiro; ¼ - um quarto. Entradas como 5/8, 4/5, 2/4 são chamadas frações ordinárias. Uma fração ordinária é dividida em numerador e denominador. Entre eles há uma linha fracionária, ou linha fracionária. Uma barra fracionária pode ser desenhada como uma linha horizontal ou inclinada. NO este caso representa o sinal de divisão.

O denominador representa em quantas partes iguais o valor em que o objeto é dividido; e o numerador é quantas partes iguais são tomadas. O numerador é escrito acima da barra fracionária, o denominador abaixo dela.

É mais conveniente mostrar frações ordinárias em um raio coordenado. Se um único segmento for dividido em 4 partes iguais, cada parte é denotada por uma letra latina, como resultado, você poderá obter uma excelente material visual. Assim, o ponto A mostra uma participação igual a 1/4 de todo o segmento unitário e o ponto B marca 2/8 desse segmento.

Variedades de frações

As frações são números comuns, decimais e mistos. Além disso, as frações podem ser divididas em próprias e impróprias. Esta classificação é mais adequada para frações ordinárias.

Uma fração própria é um número cujo numerador menor que o denominador. Assim, uma fração imprópria é um número cujo numerador é maior que o denominador. O segundo tipo é geralmente escrito como um número misto. Tal expressão consiste em uma parte inteira e uma parte fracionária. Por exemplo, 1½. 1 - parte inteira, ½ - fracionário. No entanto, se você precisar realizar algumas manipulações com a expressão (dividir ou multiplicar frações, reduzi-las ou convertê-las), número misto convertida em fração imprópria.

Uma expressão fracionária correta é sempre menor que um, e uma incorreta é sempre maior ou igual a 1.

Quanto a esta expressão, eles entendem um registro em que qualquer número é representado, cujo denominador da expressão fracionária pode ser expresso através de um com vários zeros. Se a fração estiver correta, então a parte inteira em notação decimal será igual a zero.

Para escrever um decimal, você deve primeiro escrever a parte inteira, separá-la da fracionária com uma vírgula e depois escrever a expressão fracionária. Deve-se lembrar que após a vírgula o numerador deve conter tantos caracteres numéricos quantos os zeros no denominador.

Exemplo. Represente a fração 7 21 / 1000 em notação decimal.

Algoritmo para converter uma fração imprópria em um número misto e vice-versa

É incorreto escrever uma fração imprópria na resposta do problema, por isso deve ser convertida para um número misto:

• divida o numerador pelo denominador existente;
• dentro exemplo específico quociente incompleto - inteiro;
• e o resto é o numerador da parte fracionária, permanecendo o denominador inalterado.

Exemplo. Converter fração imprópria em número misto: 47/5.

Decisão. 47: 5. O quociente incompleto é 9, o resto = 2. Portanto, 47/5 = 9 2/5.

Às vezes você precisa representar um número misto como uma fração imprópria. Então você precisa usar o seguinte algoritmo:

• a parte inteira é multiplicada pelo denominador da expressão fracionária;
• o produto resultante é adicionado ao numerador;
• o resultado é escrito no numerador, o denominador permanece inalterado.

Exemplo. Representar um número em forma mista como fração imprópria: 9 8/10 .

Decisão. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 é o numerador.

Responda: 98 / 10.

Multiplicação de frações ordinárias

Você pode realizar várias operações algébricas em frações ordinárias. Para multiplicar dois números, você precisa multiplicar o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador. Além disso, a multiplicação de frações com denominadores diferentes não difere do produto de números fracionários com os mesmos denominadores.

Acontece que depois de encontrar o resultado, você precisa reduzir a fração. É imperativo simplificar a expressão resultante tanto quanto possível. Claro, não se pode dizer que uma fração imprópria na resposta seja um erro, mas também é difícil chamá-la de resposta correta.

Exemplo. Encontre o produto de duas frações ordinárias: ½ e 20/18.

Como pode ser visto no exemplo, após encontrar o produto, é obtida uma notação fracionária redutível. Tanto o numerador quanto o denominador neste caso são divisíveis por 4, e o resultado é a resposta 5/9.

Multiplicando frações decimais

O produto de frações decimais é bem diferente do produto de frações ordinárias em seu princípio. Assim, a multiplicação de frações é a seguinte:

• duas frações decimais devem ser escritas uma abaixo da outra para que os dígitos mais à direita fiquem um abaixo do outro;
• você precisa multiplicar os números escritos, apesar das vírgulas, ou seja, como números naturais;
• conte o número de dígitos após a vírgula em cada um dos números;
• no resultado obtido após a multiplicação, você precisa contar tantos caracteres digitais à direita quantos estão contidos na soma em ambos os fatores após a vírgula e colocar um sinal de separação;
• se houver menos dígitos no produto, então tantos zeros devem ser escritos na frente deles para cobrir esse número, coloque uma vírgula e atribua uma parte inteira igual a zero.

Exemplo. Calcule o produto de duas casas decimais: 2,25 e 3,6.

Decisão.

Multiplicação de frações mistas

Para calcular o produto de duas frações mistas, você precisa usar a regra para multiplicar frações:

• converter números mistos em frações impróprias;
• encontre o produto dos numeradores;
• encontre o produto dos denominadores;
• anote o resultado;
• simplifique a expressão o máximo possível.

Exemplo. Encontre o produto de 4½ e 6 2/5.

Multiplicando um número por uma fração (frações por um número)

Além de encontrar o produto de duas frações, números mistos, existem tarefas em que você precisa multiplicar por uma fração.

Então, para encontrar o trabalho fração decimal e um número natural, você precisa:

• escreva o número sob a fração de modo que os dígitos mais à direita fiquem um acima do outro;
• encontre o trabalho, apesar da vírgula;
• no resultado obtido, separe a parte inteira da parte fracionária usando uma vírgula, contando à direita o número de caracteres que está após a vírgula na fração.

Para multiplicar uma fração ordinária por um número, você deve encontrar o produto do numerador pelo fator natural. Se a resposta for uma fração redutível, ela deve ser convertida.

Exemplo. Calcule o produto de 5/8 e 12.

Decisão. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Responda: 7 1 / 2.

Como você pode ver no exemplo anterior, foi necessário reduzir o resultado resultante e converter a expressão fracionária incorreta em um número misto.

Além disso, a multiplicação de frações também se aplica a encontrar o produto de um número na forma mista e um fator natural. Para multiplicar esses dois números, você deve multiplicar a parte inteira do fator misto pelo número, multiplicar o numerador pelo mesmo valor e deixar o denominador inalterado. Se necessário, você precisa simplificar o resultado o máximo possível.

Exemplo. Encontre o produto de 9 5/6 e 9.

Decisão. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Responda: 88 1 / 2.

Multiplicação por fatores 10, 100, 1000 ou 0,1; 0,01; 0,001

A regra a seguir segue do parágrafo anterior. Para multiplicar uma fração decimal por 10, 100, 1000, 10000, etc., você precisa mover a vírgula para a direita por tantos dígitos quantos forem os zeros no multiplicador após um.

Exemplo 1. Encontre o produto de 0,065 e 1000.

Decisão. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Responda: 65.

Exemplo 2. Encontre o produto de 3,9 e 1000.

Decisão. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Responda: 3900.

Se você precisa multiplicar número natural e 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, etc., você deve mover a vírgula para a esquerda no produto resultante por tantos dígitos quantos forem os zeros antes de um. Se necessário, um número suficiente de zeros é escrito na frente de um número natural.

Exemplo 1. Encontre o produto de 56 e 0,01.

Decisão. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Responda: 0,56.

Exemplo 2. Encontre o produto de 4 e 0,001.

Decisão. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Responda: 0,004.

Assim, encontrar o produto de várias frações não deve causar dificuldades, exceto talvez o cálculo do resultado; Nesse caso, você simplesmente não pode ficar sem uma calculadora.

Para multiplicar corretamente uma fração por uma fração ou uma fração por um número, você precisa saber regras simples. Vamos agora analisar essas regras em detalhes.

Multiplicando uma fração por uma fração.

Para multiplicar uma fração por uma fração, você precisa calcular o produto dos numeradores e o produto dos denominadores dessas frações.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Considere um exemplo:
Multiplicamos o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e também multiplicamos o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4\ vezes 3)(7 \vezes 3) = \frac(4)(7)\\\)

A fração \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) foi reduzida em 3.

Multiplicando uma fração por um número.

Vamos começar com a regra qualquer número pode ser representado como uma fração \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Vamos usar esta regra para a multiplicação.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Fração imprópria \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) convertido em fração mista.

Em outras palavras, Ao multiplicar um número por uma fração, multiplique o número pelo numerador e deixe o denominador inalterado. Exemplo:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Multiplicação de frações mistas.

Para multiplicar frações mistas, você deve primeiro representar cada fração mista como uma fração imprópria e, em seguida, usar a regra de multiplicação. O numerador é multiplicado pelo numerador, o denominador é multiplicado pelo denominador.

Exemplo:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Multiplicação de frações e números recíprocos.

A fração \(\bf \frac(a)(b)\) é o inverso da fração \(\bf \frac(b)(a)\), desde que a≠0,b≠0.
As frações \(\bf \frac(a)(b)\) e \(\bf \frac(b)(a)\) são chamadas de recíprocas. O produto das frações recíprocas é 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Exemplo:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Perguntas relacionadas:
Como multiplicar uma fração por uma fração?
Resposta: o produto das frações ordinárias é a multiplicação do numerador pelo numerador, do denominador pelo denominador. Para obter o produto de frações mistas, você precisa convertê-las em uma fração imprópria e multiplicar de acordo com as regras.

Como multiplicar frações com denominadores diferentes?
Resposta: não importa se os denominadores das frações são iguais ou diferentes, a multiplicação ocorre de acordo com a regra para encontrar o produto do numerador pelo numerador, o denominador pelo denominador.

Como multiplicar frações mistas?
Resposta: primeiro, você precisa converter a fração mista em uma fração imprópria e, em seguida, encontrar o produto de acordo com as regras da multiplicação.

Como multiplicar um número por uma fração?
Resposta: Multiplicamos o número pelo numerador e deixamos o denominador o mesmo.

Exemplo 1:
Calcule o produto: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)

Decisão:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( vermelho) (5))(3 \vezes \cor(vermelho) (5) \vezes 13) = \frac(4)(39)\)

Exemplo #2:
Calcule o produto de um número por uma fração: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Decisão:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Exemplo nº 3:
Escreva o inverso de \(\frac(1)(3)\)?
Resposta: \(\frac(3)(1) = 3\)

Exemplo #4:
Calcule o produto de duas frações recíprocas: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Decisão:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Exemplo nº 5:
As frações mutuamente inversas podem ser:
a) ambas as frações próprias;
b) frações impróprias simultâneas;
c) números naturais ao mesmo tempo?

Decisão:
a) Vamos usar um exemplo para responder à primeira pergunta. A fração \(\frac(2)(3)\) é própria, sua recíproca será igual a \(\frac(3)(2)\) - uma fração imprópria. Resposta: não.

b) em quase todas as enumerações de frações, essa condição não é atendida, mas existem alguns números que cumprem ao mesmo tempo a condição de ser uma fração imprópria. Por exemplo, a fração imprópria é \(\frac(3)(3)\) , sua recíproca é \(\frac(3)(3)\). Obtemos duas frações impróprias. Resposta: nem sempre sob certas condições, quando o numerador e o denominador são iguais.

c) os números naturais são os números que usamos ao contar, por exemplo, 1, 2, 3, .... Se pegarmos o número \(3 = \frac(3)(1)\), então seu recíproco será \(\frac(1)(3)\). A fração \(\frac(1)(3)\) não é um número natural. Se passarmos por todos os números, o recíproco será sempre uma fração, exceto 1. Se pegarmos o número 1, seu recíproco será \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). O número 1 é um número natural. Resposta: eles podem ser simultaneamente números naturais apenas em um caso, se esse número for 1.

Exemplo #6:
Faça o produto de frações mistas: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Decisão:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Exemplo #7:
Dois números mutuamente recíprocos podem ser simultaneamente números mistos?

Vejamos um exemplo. Vamos pegar uma fração mista \(1\frac(1)(2)\), encontrar sua recíproca, para isso traduzimos em uma fração imprópria \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2)\) . Seu recíproco será igual a \(\frac(2)(3)\) . A fração \(\frac(2)(3)\) é uma fração própria. Resposta: Duas frações mutuamente inversas não podem ser números mistos ao mesmo tempo.

Da última vez, aprendemos como somar e subtrair frações (veja a lição "Adição e subtração de frações"). A maioria momento difícil nessas ações foi a redução de frações para denominador comum.

Agora é hora de lidar com multiplicação e divisão. A boa notícia é que essas operações são ainda mais fáceis do que a adição e a subtração. Para começar, considere o caso mais simples, quando há duas frações positivas sem uma parte inteira distinta.

Para multiplicar duas frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores separadamente. O primeiro número será o numerador da nova fração e o segundo será o denominador.

Para dividir duas frações, você precisa multiplicar a primeira fração pela segunda "invertida".

Designação:

Da definição segue-se que a divisão de frações se reduz à multiplicação. Para inverter uma fração, basta trocar o numerador e o denominador. Portanto, toda a lição consideraremos principalmente a multiplicação.

Como resultado da multiplicação, uma fração reduzida pode surgir (e muitas vezes surge) - é claro, ela deve ser reduzida. Se, após todas as reduções, a fração estiver incorreta, a parte inteira deve ser distinguida nela. Mas o que definitivamente não vai acontecer com a multiplicação é a redução a um denominador comum: não há métodos cruzados, fatores máximos e mínimos múltiplos comuns.

Por definição temos:

Multiplicação de frações com parte inteira e frações negativas

Se houver uma parte inteira nas frações, elas devem ser convertidas em impróprias - e só então multiplicadas de acordo com os esquemas descritos acima.

Se houver um menos no numerador de uma fração, no denominador ou na frente dela, ele pode ser retirado dos limites de multiplicação ou removido completamente de acordo com as seguintes regras:

1. Mais vezes menos dá menos;
2. Duas negativas fazem uma afirmativa.

Até agora, essas regras só eram encontradas na adição e subtração de frações negativas, quando era necessário se livrar da parte inteira. Para um produto, eles podem ser generalizados para “queimar” vários pontos negativos de uma só vez:

1. Nós riscamos os pontos negativos em pares até que eles desapareçam completamente. Em um caso extremo, um menos pode sobreviver - aquele que não encontrou uma correspondência;
2. Se não houver menos, a operação está concluída - você pode começar a multiplicar. Se o último menos não estiver riscado, já que não encontrou um par, o retiramos dos limites da multiplicação. Você obtém uma fração negativa.

Tarefa. Encontre o valor da expressão:

Traduzimos todas as frações em impróprias e, em seguida, tiramos as menos fora dos limites da multiplicação. O que resta é multiplicado por regras usuais. Nós temos:

Deixe-me lembrá-lo mais uma vez que o menos que vem antes de uma fração com uma parte inteira destacada refere-se especificamente à fração inteira, e não apenas à sua parte inteira (isso se aplica aos dois últimos exemplos).

Preste atenção também números negativos: Quando multiplicados, eles são colocados entre parênteses. Isso é feito para separar os sinais de menos dos sinais de multiplicação e tornar toda a notação mais precisa.

Reduzindo frações em tempo real

A multiplicação é uma operação muito trabalhosa. Os números aqui são bem grandes e, para simplificar a tarefa, você pode tentar reduzir ainda mais a fração antes da multiplicação. De fato, em essência, os numeradores e denominadores das frações são fatores ordinários e, portanto, podem ser reduzidos usando a propriedade básica de uma fração. Dê uma olhada nos exemplos:

Tarefa. Encontre o valor da expressão:

Por definição temos:

Em todos os exemplos, os números que foram reduzidos e o que resta deles estão marcados em vermelho.

Atenção: no primeiro caso, os multiplicadores foram reduzidos completamente. As unidades permaneceram em seu lugar, o que, em geral, pode ser omitido. No segundo exemplo, não foi possível obter uma redução completa, mas a quantidade total de cálculos ainda diminuiu.

No entanto, em nenhum caso, não use essa técnica ao adicionar e subtrair frações! Sim, às vezes há números semelhantes que você só quer reduzir. Olhe aqui:

Você não pode fazer isso!

O erro ocorre devido ao fato de que ao somar uma fração, a soma aparece no numerador de uma fração, e não no produto de números. Portanto, é impossível aplicar a propriedade principal de uma fração, pois nesta propriedade nós estamos falandoÉ sobre multiplicar números.

Simplesmente não há outra razão para reduzir frações, então solução correta a tarefa anterior se parece com isso:

Solução correta:

Como você pode ver, a resposta correta acabou não sendo tão bonita. Em geral, tenha cuidado.

) e o denominador pelo denominador (obtemos o denominador do produto).

Fórmula de multiplicação de frações:

Por exemplo:

Antes de prosseguir com a multiplicação de numeradores e denominadores, é necessário verificar a possibilidade de redução de fração. Se você conseguir reduzir a fração, será mais fácil continuar fazendo cálculos.

Divisão de uma fração ordinária por uma fração.

Divisão de frações envolvendo um número natural.

Não é tão assustador quanto parece. Como no caso da adição, convertemos um inteiro em uma fração com uma unidade no denominador. Por exemplo:

Multiplicação de frações mistas.

Regras para multiplicar frações (mistas):

• converter frações mistas em impróprias;
• multiplique os numeradores e denominadores das frações;
• reduzimos a fração;
• se obtivermos uma fração imprópria, convertemos a fração imprópria em uma mista.

Observação! Para multiplicar uma fração mista por outra fração mista, primeiro você precisa trazê-las para a forma frações impróprias, e depois multiplique pela regra de multiplicação de frações ordinárias.

A segunda maneira de multiplicar uma fração por um número natural.

É mais conveniente usar o segundo método de multiplicar uma fração ordinária por um número.

Observação! Para multiplicar uma fração por um número natural, é necessário dividir o denominador da fração por esse número e deixar o numerador inalterado.

Do exemplo acima, fica claro que esta opção é mais conveniente de usar quando o denominador de uma fração é dividido sem resto por um número natural.

Frações multiníveis.

No ensino médio, muitas vezes são encontradas frações de três andares (ou mais). Exemplo:

Para trazer essa fração à sua forma usual, a divisão por 2 pontos é usada:

Observação! Ao dividir frações, a ordem de divisão é muito importante. Tenha cuidado, é fácil ficar confuso aqui.

Observação, Por exemplo:

Ao dividir um por qualquer fração, o resultado será a mesma fração, apenas invertida:

Dicas práticas para multiplicar e dividir frações:

1. A coisa mais importante ao trabalhar com expressões fracionárias é a precisão e a atenção. Faça todos os cálculos com cuidado e precisão, de forma concentrada e clara. É melhor escrever algumas linhas extras em um rascunho do que ficar confuso nos cálculos em sua cabeça.

2. Em tarefas com tipos diferentes frações - vá para a forma de frações ordinárias.

3. Reduzimos todas as frações até que não seja mais possível reduzir.

4. Transformamos expressões fracionárias de vários níveis em expressões ordinárias, usando a divisão por 2 pontos.

5. Nós dividimos a unidade em uma fração em nossa mente, simplesmente virando a fração.

Os números fracionários comuns encontram os alunos pela primeira vez na 5ª série e os acompanham por toda a vida, pois na vida cotidiana muitas vezes é necessário considerar ou usar algum objeto não inteiramente, mas em peças separadas. O início do estudo deste tópico - compartilhe. As ações são partes iguais em que um objeto é dividido. Afinal, nem sempre é possível expressar, por exemplo, o comprimento ou o preço de um produto como um número inteiro; deve-se levar em conta partes ou cotas de qualquer medida. Formado a partir do verbo "esmagar" - dividir em partes e com raízes árabes, no século VIII a palavra "fração" apareceu em russo.

As expressões fracionárias têm sido consideradas a seção mais difícil da matemática. No século 17, quando surgiram os primeiros livros didáticos de matemática, eles eram chamados de "números quebrados", o que era muito difícil de exibir na compreensão das pessoas.

aparência moderna resíduos fracionários simples, partes dos quais são separados precisamente por uma linha horizontal, foram contribuídos pela primeira vez para Fibonacci - Leonardo de Pisa. Seus escritos são datados de 1202. Mas o objetivo deste artigo é explicar de forma simples e clara ao leitor como ocorre a multiplicação de frações mistas com denominadores diferentes.

Multiplicando frações com denominadores diferentes

Inicialmente, é necessário determinar variedades de frações:

• correto;
• errado;
• misturado.

Em seguida, você precisa se lembrar de como os números fracionários com os mesmos denominadores são multiplicados. A própria regra deste processo é fácil de formular independentemente: o resultado da multiplicação frações simples com os mesmos denominadores é uma expressão fracionária, cujo numerador é o produto dos numeradores, e o denominador é o produto dos denominadores das frações dadas. Ou seja, em essência, novo denominador há um quadrado de um dos existentes inicialmente.

Ao multiplicar frações simples com denominadores diferentes para dois ou mais fatores, a regra não muda:

uma/b * c/d = a*c/ b*d.

A única diferença é que o número formado sob a linha fracionária será o produto de diferentes números e, claro, o quadrado de um expressão numéricaé impossível nomeá-lo.

Vale a pena considerar a multiplicação de frações com denominadores diferentes usando exemplos:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Os exemplos usam maneiras de reduzir expressões fracionárias. Você pode reduzir apenas os números do numerador com os números do denominador; fatores adjacentes acima ou abaixo da barra fracionária não podem ser reduzidos.

Junto com simples números fracionários, existe o conceito de frações mistas. Um número misto consiste em um número inteiro e uma parte fracionária, ou seja, é a soma desses números:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Como funciona a multiplicação?

Vários exemplos são fornecidos para consideração.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

O exemplo usa a multiplicação de um número por parte fracionária ordinária, você pode escrever a regra para esta ação pela fórmula:

uma * b/c = a*b/c.

De fato, tal produto é a soma de restos fracionários idênticos, e o número de termos indica esse número natural. caso especial:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Existe outra opção para resolver a multiplicação de um número por um resto fracionário. Basta dividir o denominador por este número:

d* e/f = e/f: D.

É útil usar essa técnica quando o denominador é dividido por um número natural sem resto ou, como dizem, completamente.

Converta números mistos em frações impróprias e obtenha o produto da maneira descrita anteriormente:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Este exemplo envolve uma maneira de representar uma fração mista como uma fração imprópria, também pode ser representada como Fórmula geral:

uma bc = a*b+ c/c, onde o denominador da nova fração é formado multiplicando a parte inteira pelo denominador e somando-o ao numerador do resto fracionário original, e o denominador permanece o mesmo.

Esse processo também funciona em lado reverso. Para selecionar a parte inteira e o resto fracionário, você precisa dividir o numerador de uma fração imprópria pelo seu denominador com um “canto”.

Multiplicação de frações impróprias produzido da maneira usual. Quando a entrada passa por uma única linha fracionária, conforme necessário, você precisa reduzir as frações para reduzir os números usando esse método e é mais fácil calcular o resultado.

Existem muitos ajudantes na Internet para resolver até mesmo problemas matemáticos complexos em várias variações programas. Um número suficiente desses serviços oferece sua ajuda na contagem da multiplicação de frações com números diferentes em denominadores - as chamadas calculadoras online para calcular frações. Eles são capazes não apenas de multiplicar, mas também de realizar todas as outras operações aritméticas simples com frações ordinárias e números mistos. Não é difícil trabalhar com isso, os campos correspondentes são preenchidos na página do site, o sinal da ação matemática é selecionado e “calcular” é pressionado. O programa conta automaticamente.

O tema das operações aritméticas com números fracionários é relevante em toda a educação dos alunos do ensino fundamental e médio. No ensino médio, eles não estão mais considerando as espécies mais simples, mas expressões fracionárias inteiras, mas o conhecimento das regras de transformação e cálculos, obtidos anteriormente, é aplicado em sua forma original. bem digerido conhecimento básico dar plena confiança boa decisão a maioria Tarefas desafiantes.

Concluindo, faz sentido citar as palavras de Leo Tolstoy, que escreveu: “O homem é uma fração. Não está no poder do homem aumentar seu numerador - seus méritos, mas todos podem diminuir seu denominador - sua opinião sobre si mesmo, e por essa diminuição aproximar-se de sua perfeição.