Divisão de frações entre si. Divisão de uma fração por um número natural

Ordinário números fracionários pela primeira vez eles encontram alunos da 5ª série e os acompanham por toda a vida, pois na vida cotidiana muitas vezes é necessário considerar ou usar algum objeto não inteiramente, mas em peças separadas. O início do estudo deste tópico - compartilhe. As ações são partes iguais em que um objeto é dividido. Afinal, nem sempre é possível expressar, por exemplo, o comprimento ou o preço de um produto como um número inteiro; deve-se levar em consideração partes ou ações de qualquer medida. Formado a partir do verbo "esmagar" - dividir em partes e com raízes árabes, no século VIII a palavra "fração" apareceu em russo.

As expressões fracionárias têm sido consideradas a seção mais difícil da matemática. No século 17, quando surgiram os primeiros livros didáticos de matemática, eles eram chamados de "números quebrados", o que era muito difícil de exibir na compreensão das pessoas.

aparência moderna resíduos fracionários simples, partes dos quais são separados precisamente por uma linha horizontal, foram contribuídos pela primeira vez para Fibonacci - Leonardo de Pisa. Seus escritos são datados de 1202. Mas o objetivo deste artigo é explicar de forma simples e clara ao leitor como ocorre a multiplicação. frações mistas Com denominadores diferentes.

Multiplicando frações com denominadores diferentes

Inicialmente, é necessário determinar variedades de frações:

• correto;
• errado;
• misturado.

Em seguida, você precisa se lembrar de como os números fracionários com os mesmos denominadores são multiplicados. A própria regra deste processo é fácil de formular independentemente: o resultado da multiplicação frações simples com os mesmos denominadores é uma expressão fracionária, cujo numerador é o produto dos numeradores, e o denominador é o produto dos denominadores das frações dadas. Ou seja, de fato, o novo denominador é o quadrado de um dos existentes inicialmente.

Ao multiplicar frações simples com denominadores diferentes para dois ou mais fatores, a regra não muda:

uma/b * c/d = a*c/ b*d.

A única diferença é que o número formado sob a linha fracionária será o produto de diferentes números e, claro, o quadrado de um expressão numéricaé impossível nomeá-lo.

Vale a pena considerar a multiplicação de frações com denominadores diferentes usando exemplos:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Os exemplos usam maneiras de reduzir expressões fracionárias. Você pode reduzir apenas os números do numerador com os números do denominador; fatores adjacentes acima ou abaixo da barra fracionária não podem ser reduzidos.

Junto com os números fracionários simples, existe o conceito de frações mistas. Um número misto consiste em um número inteiro e uma parte fracionária, ou seja, é a soma desses números:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Como funciona a multiplicação?

Vários exemplos são fornecidos para consideração.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

O exemplo usa a multiplicação de um número por parte fracionária ordinária, você pode escrever a regra para esta ação pela fórmula:

uma * b/c = a*b/c.

De fato, tal produto é a soma de resíduos fracionários idênticos, e o número de termos indica isso número natural. caso especial:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Existe outra opção para resolver a multiplicação de um número por um resto fracionário. Basta dividir o denominador por este número:

d* e/f = e/f: D.

É útil usar essa técnica quando o denominador é dividido por um número natural sem resto ou, como dizem, completamente.

Converta números mistos em frações impróprias e obtenha o produto da maneira descrita anteriormente:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Este exemplo envolve uma maneira de representar uma fração mista como uma fração imprópria, também pode ser representada como Fórmula geral:

uma bc = a*b+ c/c onde o denominador novo tiroé formado multiplicando a parte inteira com o denominador e adicionando-o ao numerador do resto fracionário original, e o denominador permanece o mesmo.

Esse processo também funciona em lado reverso. Para selecionar a parte inteira e o resto fracionário, você precisa dividir o numerador Fração imprópria ao seu denominador "canto".

Multiplicação de frações impróprias produzido da maneira usual. Quando a entrada passa por uma única linha fracionária, conforme necessário, você precisa reduzir as frações para reduzir os números usando esse método e é mais fácil calcular o resultado.

Existem muitos ajudantes na Internet para resolver até mesmo problemas matemáticos complexos em várias variações programas. Um número suficiente desses serviços oferece sua ajuda na contagem da multiplicação de frações com números diferentes em denominadores - as chamadas calculadoras online para calcular frações. Eles são capazes não apenas de multiplicar, mas também de realizar todas as outras operações aritméticas simples com frações ordinárias e números mistos. Não é difícil trabalhar com isso, os campos correspondentes são preenchidos na página do site, o sinal da ação matemática é selecionado e “calcular” é pressionado. O programa conta automaticamente.

O tema das operações aritméticas com números fracionários é relevante em toda a educação dos alunos do ensino fundamental e médio. No ensino médio, eles não estão mais considerando as espécies mais simples, mas expressões fracionárias inteiras, mas o conhecimento das regras de transformação e cálculos, obtidos anteriormente, é aplicado em sua forma original. bem digerido conhecimento básico dar plena confiança boa decisão a maioria Tarefas desafiantes.

Concluindo, faz sentido citar as palavras de Leo Tolstoy, que escreveu: “O homem é uma fração. Não está no poder do homem aumentar seu numerador - seus próprios méritos, mas qualquer um pode diminuir seu denominador - sua opinião sobre si mesmo, e por essa diminuição aproximar-se de sua perfeição.

Mais cedo ou mais tarde, todas as crianças na escola começam a aprender frações: sua adição, divisão, multiplicação e tudo mais. ações possíveis, o que só é possível realizar com frações. Para prestar assistência adequada à criança, os próprios pais não devem esquecer como os números inteiros são divididos em frações, caso contrário, você não poderá ajudá-lo de forma alguma, mas apenas confundi-lo. Se você precisa se lembrar dessa ação, mas não consegue reunir todas as informações em sua cabeça em uma única regra, este artigo o ajudará: você aprenderá a dividir um número por uma fração e verá exemplos ilustrativos.

Como dividir um número em uma fração

Anote seu exemplo em um rascunho para que você possa fazer anotações e borrões. Lembre-se de que um número inteiro é escrito entre as células, bem em sua interseção, e números fracionários - cada um em sua própria célula.

• NO este método você precisa virar a fração de cabeça para baixo, ou seja, escrever o denominador no numerador e o numerador no denominador.
• O sinal de divisão deve ser alterado para multiplicação.
• Agora você só precisa realizar a multiplicação de acordo com as regras já estudadas: o numerador é multiplicado por um inteiro e o denominador não é tocado.

É claro que, como resultado de tal ação, você ficará muito grande número no numerador. É impossível deixar uma fração nesse estado - o professor simplesmente não aceitará essa resposta. Reduza a fração dividindo o numerador pelo denominador. Escreva o inteiro resultante à esquerda da fração no meio das células, e o restante será o novo numerador. O denominador permanece inalterado.

Este algoritmo é bastante simples, mesmo para uma criança. Depois de completá-lo cinco ou seis vezes, o bebê se lembrará do procedimento e poderá aplicá-lo a qualquer fração.

Como dividir um número por um decimal

Existem outros tipos de frações - decimais. A divisão neles ocorre de acordo com um algoritmo completamente diferente. Se você se deparar com esse exemplo, siga as instruções:

• Primeiro, transforme os dois números em decimais. Isso é fácil de fazer: seu divisor já está representado como uma fração, e você separa o número natural divisível com uma vírgula, obtendo uma fração decimal. Ou seja, se o dividendo for o número 5, você obtém uma fração de 5,0. Você precisa separar o número por tantos dígitos quantos forem após o ponto decimal e o divisor.
• Depois disso, você deve fazer as duas frações decimais números naturais. No começo, você pode achar isso um pouco confuso, mas este é o mais via rápida divisão, que levará segundos, após alguns treinos. Uma fração de 5,0 se tornará o número 50, uma fração de 6,23 será 623.
• Faça a divisão. Se os números forem grandes ou a divisão ocorrer com resto, faça-a em uma coluna. Assim, você verá claramente todas as ações deste exemplo. Você não precisa colocar especificamente uma vírgula, pois ela aparecerá no processo de divisão em uma coluna.

Esse tipo de divisão inicialmente parece muito confuso, pois você precisa transformar o dividendo e o divisor em uma fração e depois voltar para números naturais. Mas depois de um breve treinamento, você começará imediatamente a ver os números que você só precisa dividir um pelo outro.

Lembre-se de que a capacidade de dividir corretamente frações e números inteiros pode ser útil mais de uma vez na vida, portanto, conheça essas regras e princípios simples a criança precisa idealmente, para que nas séries mais velhas elas não se tornem uma pedra de tropeço, por causa da qual a criança não possa resolver problemas mais complexos.

) e o denominador pelo denominador (obtemos o denominador do produto).

Fórmula de multiplicação de frações:

Por exemplo:

Antes de prosseguir com a multiplicação de numeradores e denominadores, é necessário verificar a possibilidade de redução de fração. Se você conseguir reduzir a fração, será mais fácil continuar fazendo cálculos.

Divisão de uma fração ordinária por uma fração.

Divisão de frações envolvendo um número natural.

Não é tão assustador quanto parece. Como no caso da adição, convertemos um inteiro em uma fração com uma unidade no denominador. Por exemplo:

Multiplicação de frações mistas.

Regras para multiplicar frações (mistas):

• converter frações mistas em impróprias;
• multiplique os numeradores e denominadores das frações;
• reduzimos a fração;
• se obtivermos uma fração imprópria, convertemos a fração imprópria em uma mista.

Observação! Para multiplicar uma fração mista por outra fração mista, primeiro você precisa trazê-las para a forma de frações impróprias e depois multiplicar de acordo com a regra de multiplicação frações ordinárias.

A segunda maneira de multiplicar uma fração por um número natural.

É mais conveniente usar o segundo método de multiplicar uma fração ordinária por um número.

Observação! Para multiplicar uma fração por um número natural, é necessário dividir o denominador da fração por esse número e deixar o numerador inalterado.

A partir do exemplo acima, fica claro que esta opção é mais conveniente de usar quando o denominador de uma fração é dividido sem resto por um número natural.

Frações multiníveis.

No ensino médio, muitas vezes são encontradas frações de três andares (ou mais). Exemplo:

Para trazer essa fração à sua forma usual, a divisão por 2 pontos é usada:

Observação! Ao dividir frações, a ordem de divisão é muito importante. Tenha cuidado, é fácil ficar confuso aqui.

Observação, por exemplo:

Ao dividir um por qualquer fração, o resultado será a mesma fração, apenas invertida:

Dicas práticas para multiplicar e dividir frações:

1. A coisa mais importante ao trabalhar com expressões fracionárias é a precisão e a atenção. Faça todos os cálculos com cuidado e precisão, de forma concentrada e clara. É melhor escrever algumas linhas extras em um rascunho do que ficar confuso nos cálculos em sua cabeça.

2. Em tarefas com tipos diferentes frações - vá para a forma de frações ordinárias.

3. Reduzimos todas as frações até que não seja mais possível reduzir.

4. Transformamos expressões fracionárias de vários níveis em expressões ordinárias, usando a divisão por 2 pontos.

5. Nós dividimos a unidade em uma fração em nossa mente, simplesmente virando a fração.

Com frações, você pode realizar todas as ações, incluindo a divisão. Este artigo mostra a divisão de frações ordinárias. Definições serão dadas, exemplos serão considerados. Detenhamo-nos na divisão de frações por números naturais e vice-versa. Será considerada a divisão de uma fração ordinária por um número misto.

Divisão de frações ordinárias

A divisão é o inverso da multiplicação. Ao dividir, o fator desconhecido é encontrado em trabalho famoso e outro fator, onde é armazenado dado significado com frações comuns.

Se for necessário dividir a fração ordinária a b por c d, para determinar esse número, você precisa multiplicar pelo divisor c d, isso acabará dando o dividendo a b. Vamos pegar um número e escrevê-lo a b · d c , onde d c é o inverso do número c d. As igualdades podem ser escritas usando as propriedades da multiplicação, a saber: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , onde a expressão a b d c é o quociente da divisão de a b por c d .

A partir daqui, obtemos e formulamos a regra para dividir frações ordinárias:

Definição 1

Para dividir uma fração ordinária a b por c d, é necessário multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor.

Vamos escrever a regra como uma expressão: a b: c d = a b d c

As regras da divisão são reduzidas à multiplicação. Para cumpri-lo, você precisa ser bem versado na execução da multiplicação de frações comuns.

Vamos passar para a divisão de frações ordinárias.

Exemplo 1

Execute a divisão 9 7 por 5 3 . Escreva o resultado como uma fração.

Solução

O número 5 3 é o recíproco de 3 5 . Você deve usar a regra para dividir frações ordinárias. Escrevemos esta expressão da seguinte forma: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.

Responda: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Ao reduzir frações, você deve destacar a parte inteira se o numerador for maior que o denominador.

Exemplo 2

Divida 8 15: 24 65 . Escreva a resposta como uma fração.

Solução

A solução é passar da divisão para a multiplicação. Escrevemos desta forma: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

É necessário fazer uma redução, e isso é feito da seguinte forma: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

Selecionamos a parte inteira e obtemos 13 9 = 1 4 9 .

Responda: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Divisão de uma fração extraordinária por um número natural

Usamos a regra de dividir uma fração por um número natural: para dividir a b por um número natural n, você precisa multiplicar apenas o denominador por n. Daqui obtemos a expressão: a b: n = a b · n .

A regra da divisão é uma consequência da regra da multiplicação. Portanto, representar um número natural como uma fração dará uma igualdade deste tipo: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.

Considere esta divisão de uma fração por um número.

Exemplo 3

Divida a fração 1645 pelo número 12.

Solução

Aplique a regra para dividir uma fração por um número. Obtemos uma expressão como 16 45: 12 = 16 45 12 .

Vamos reduzir a fração. Obtemos 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .

Responda: 16 45: 12 = 4 135 .

Divisão de um número natural por uma fração comum

A regra de divisão é semelhante cerca de a regra de dividir um número natural por uma fração ordinária: para dividir um número natural n por um ordinário a b , é necessário multiplicar o número n pelo inverso da fração a b .

Com base na regra, temos n: a b \u003d n b a, e graças à regra de multiplicar um número natural por uma fração ordinária, obtemos nossa expressão na forma n: a b \u003d n b a. É necessário considerar esta divisão com um exemplo.

Exemplo 4

Divida 25 por 15 28 .

Solução

Precisamos passar da divisão para a multiplicação. Escrevemos na forma de uma expressão 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Vamos reduzir a fração e obter o resultado na forma de uma fração 46 2 3 .

Responda: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Divisão de uma fração comum por um número misto

Ao dividir uma fração comum por um número misto, você pode facilmente dividir frações comuns. Precisa traduzir número misto em fração imprópria.

Exemplo 5

Divida a fração 35 16 por 3 1 8 .

Solução

Como 3 1 8 é um número misto, vamos representá-lo como uma fração imprópria. Então temos 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Agora vamos dividir as frações. Obtemos 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Responda: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

A divisão de um número misto é feita da mesma forma que os números comuns.

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Da última vez, aprendemos como somar e subtrair frações (veja a lição "Adição e subtração de frações"). A maioria momento difícil nessas ações foi a redução de frações para denominador comum.

Agora é hora de lidar com multiplicação e divisão. A boa notícia é que essas operações são ainda mais fáceis do que a adição e a subtração. Para começar, considere o caso mais simples, quando há duas frações positivas sem uma parte inteira distinta.

Para multiplicar duas frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores separadamente. O primeiro número será o numerador da nova fração e o segundo será o denominador.

Para dividir duas frações, você precisa multiplicar a primeira fração pela segunda "invertida".

Designação:

Da definição segue-se que a divisão de frações se reduz à multiplicação. Para inverter uma fração, basta trocar o numerador e o denominador. Portanto, toda a lição consideraremos principalmente a multiplicação.

Como resultado da multiplicação, uma fração reduzida pode surgir (e muitas vezes surge) - é claro, ela deve ser reduzida. Se, após todas as reduções, a fração estiver incorreta, toda a parte deve ser distinguida nela. Mas o que exatamente não vai acontecer com a multiplicação é a redução a um denominador comum: não há métodos cruzados, fatores máximos e mínimos múltiplos comuns.

Por definição temos:

Multiplicação de frações com parte inteira e frações negativas

Se presente em frações parte inteira, eles devem ser convertidos em incorretos - e só então multiplicados de acordo com os esquemas descritos acima.

Se houver um menos no numerador de uma fração, no denominador ou na frente dela, ele pode ser retirado dos limites de multiplicação ou removido completamente de acordo com as seguintes regras:

1. Mais vezes menos dá menos;
2. Duas negativas fazem uma afirmativa.

Até agora, essas regras só eram encontradas na adição e subtração de frações negativas, quando era necessário se livrar da parte inteira. Para um produto, eles podem ser generalizados para “queimar” vários pontos negativos de uma só vez:

1. Nós riscamos os pontos negativos em pares até que eles desapareçam completamente. Em um caso extremo, um menos pode sobreviver - aquele que não encontrou uma correspondência;
2. Se não houver menos, a operação está concluída - você pode começar a multiplicar. Se o último menos não estiver riscado, já que não encontrou um par, o retiramos dos limites da multiplicação. Você obtém uma fração negativa.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

Traduzimos todas as frações em impróprias e, em seguida, tiramos as menos fora dos limites da multiplicação. O que resta é multiplicado por regras usuais. Nós temos:

Deixe-me lembrá-lo mais uma vez que o menos que vem antes de uma fração com uma parte inteira destacada refere-se especificamente à fração inteira, e não apenas à sua parte inteira (isso se aplica aos dois últimos exemplos).

Preste atenção também números negativos: Quando multiplicados, eles são colocados entre parênteses. Isso é feito para separar os sinais de menos dos sinais de multiplicação e tornar toda a notação mais precisa.

Reduzindo frações em tempo real

A multiplicação é uma operação muito trabalhosa. Os números aqui são bem grandes e, para simplificar a tarefa, você pode tentar reduzir ainda mais a fração antes da multiplicação. De fato, em essência, os numeradores e denominadores das frações são fatores ordinários e, portanto, podem ser reduzidos usando a propriedade básica de uma fração. Dê uma olhada nos exemplos:

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

Por definição temos:

Em todos os exemplos, os números que foram reduzidos e o que resta deles estão marcados em vermelho.

Atenção: no primeiro caso, os multiplicadores foram reduzidos completamente. As unidades permaneceram em seu lugar, o que, em geral, pode ser omitido. No segundo exemplo, não foi possível obter uma redução completa, mas a quantidade total de cálculos ainda diminuiu.

No entanto, em nenhum caso, não use essa técnica ao adicionar e subtrair frações! Sim, às vezes há números semelhantes que você só quer reduzir. Olhe aqui:

Você não pode fazer isso!

O erro ocorre devido ao fato de que ao somar uma fração, a soma aparece no numerador de uma fração, e não no produto de números. Portanto, é impossível aplicar a propriedade principal de uma fração, pois nesta propriedade nós estamos falandoÉ sobre multiplicar números.

Simplesmente não há outra razão para reduzir frações, então a decisão certa a tarefa anterior se parece com isso:

A decisão certa:

Como você pode ver, a resposta correta acabou não sendo tão bonita. Em geral, tenha cuidado.