Matemática: ações com frações. Operações com frações decimais e comuns. Calculadora online Cálculo de uma expressão com frações numéricas. Multiplicação, subtração, divisão, adição e redução de frações com denominadores diferentes

As frações são ordinárias e decimais. Quando o aluno aprende sobre a existência deste último, ele começa a cada oportunidade a traduzir tudo o que for possível para a forma decimal, mesmo que isso não seja necessário.

Curiosamente, as preferências dos alunos do ensino médio e dos alunos mudam, porque é mais fácil realizar muitas operações aritméticas com frações ordinárias. E os valores com os quais os graduados lidam às vezes podem ser simplesmente impossíveis de converter para uma forma decimal sem perda. Como resultado, ambos os tipos de frações são, de uma forma ou de outra, adaptados ao caso e têm suas próprias vantagens e desvantagens. Vamos ver como trabalhar com eles.

Definição

As frações são as mesmas ações. Se houver dez fatias em uma laranja e você recebeu uma, então você tem 1/10 da fruta em sua mão. Com essa notação, como na frase anterior, a fração será chamada de fração ordinária. Se você escrever o mesmo que 0,1 - decimal. Ambas as opções são iguais, mas têm suas próprias vantagens. A primeira opção é mais conveniente para multiplicação e divisão, a segunda - para adição, subtração e em vários outros casos.

Como converter uma fração para outra forma

Suponha que você tenha fração comum, e você deseja convertê-lo em um decimal. O que eu preciso fazer?

A propósito, você precisa decidir antecipadamente que nenhum número pode ser escrito na forma decimal sem problemas. Às vezes você tem que arredondar o resultado, perdendo um certo número de casas decimais, e em muitas áreas - por exemplo, em ciências exatas- este é um luxo inacessível. Ao mesmo tempo, ações com frações decimais e ordinárias na 5ª série permitem realizar essa transferência de um tipo para outro sem interferência, pelo menos como treinamento.

Se do denominador, multiplicando ou dividindo por um número inteiro, você obtiver um valor múltiplo de 10, a transferência passará sem dificuldades: ¾ se transforma em 0,75, 13/20 - em 0,65.

O procedimento inverso é ainda mais fácil, pois você sempre pode obter uma fração ordinária de uma fração decimal sem perda de precisão. Por exemplo, 0,2 se torna 1/5 e 0,08 se torna 4/25.

Conversões internas

Antes do exercício colaboração com frações comuns, você precisa preparar os números para possíveis operações matemáticas.

Primeiro de tudo, você precisa trazer todas as frações do exemplo para um visão geral. Eles devem ser ordinários ou decimais. Imediatamente faça uma reserva de que a multiplicação e a divisão são mais convenientes para realizar com a primeira.

Em preparação para números ação posterior você será ajudado por uma regra conhecida e usada tanto nos primeiros anos de estudo do assunto, quanto em matemática superior que é ensinado nas universidades.

Propriedades da fração

Suponha que você tenha algum valor. Digamos 2/3. O que acontece se você multiplicar o numerador e o denominador por 3? Obter 6/9. E se for um milhão? 2000000/3000000. Mas espere, porque o número não muda qualitativamente - 2/3 permanecem iguais a 2000000/3000000. Apenas a forma muda, não o conteúdo. A mesma coisa acontece quando ambas as partes são divididas pelo mesmo valor. Esta é a principal propriedade da fração, que irá ajudá-lo repetidamente a realizar ações com frações decimais e ordinárias em testes e exames.

Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número é chamado de expansão de uma fração, e a divisão é chamada de redução. Deve-se dizer que o rasurado mesmos números nas partes superior e inferior ao multiplicar e dividir frações - um procedimento surpreendentemente agradável (no âmbito de uma aula de matemática, é claro). Parece que a resposta já está próxima e o exemplo está praticamente resolvido.

Frações impróprias

Fração imprópria é aquela em que o numerador é maior ou igual ao denominador. Em outras palavras, se uma parte inteira pode ser distinguida dela, ela se enquadra nessa definição.

Se tal número (maior ou igual a um) for representado como uma fração ordinária, será chamado de impróprio. E se o numerador menor que o denominador- correto. Ambos os tipos são igualmente convenientes na implementação de ações possíveis com frações ordinárias. Eles podem ser multiplicados e divididos livremente, somados e subtraídos.

Se ao mesmo tempo for selecionada uma parte inteira e ao mesmo tempo houver um resto na forma de fração, o número resultante será chamado misto. No futuro você vai enfrentar jeitos diferentes combinações de tais estruturas com variáveis, bem como resolver equações onde este conhecimento é necessário.

Operaçoes aritimeticas

Se tudo estiver claro com a propriedade básica de uma fração, como se comportar ao multiplicar frações? Ações com frações ordinárias na 5ª série envolvem todo tipo de operações aritméticas que são realizadas de duas maneiras diferentes.

Multiplicação e divisão são muito fáceis. No primeiro caso, os numeradores e denominadores de duas frações são simplesmente multiplicados. No segundo - o mesmo, apenas transversalmente. Assim, o numerador da primeira fração é multiplicado pelo denominador da segunda e vice-versa.

Para realizar adição e subtração, você precisa executar uma ação adicional - traga todos os componentes da expressão para denominador comum. Isso significa que as partes inferiores das frações devem ser alteradas para o mesmo valor - um múltiplo de ambos os denominadores disponíveis. Por exemplo, para 2 e 5 será 10. Para 3 e 6 - 6. Mas então o que fazer com o topo? Não podemos deixá-lo como estava se trocássemos o de baixo. De acordo com a propriedade básica de uma fração, multiplicamos o numerador pelo mesmo número que o denominador. Esta operação deve ser realizada em cada um dos números que iremos somar ou subtrair. No entanto, tais ações com frações ordinárias na 6ª série já são realizadas “na máquina”, e as dificuldades surgem apenas em Estado inicial estudando o tema.

Comparação

Se duas frações tiverem o mesmo denominador, a que tiver o maior numerador será maior. Se as partes superiores forem iguais, então aquela com o menor denominador será maior. Deve-se ter em mente que tais situações de sucesso para comparação raramente ocorrem. Muito provavelmente, as partes superior e inferior das expressões não corresponderão. Então você precisa se lembrar ações possíveis com frações ordinárias e use a técnica usada na adição e subtração. Além disso, lembre-se de que, se estamos falando de números negativos, então a fração maior será menor.

Vantagens das frações comuns

Acontece que os professores dizem às crianças uma frase, cujo conteúdo pode ser expresso da seguinte forma: Mais Informações dado ao formular a tarefa, mais fácil será a solução. Parece estranho? Mas realmente: quando em grande número valores conhecidos, você pode usar quase qualquer fórmula, mas se apenas alguns números forem fornecidos, reflexões adicionais podem ser necessárias, você terá que lembrar e provar teoremas, apresentar argumentos a favor de sua inocência ...

Por que estamos fazendo isso? Além disso, frações comuns, por toda a sua inconveniência, podem simplificar bastante a vida de um aluno, permitindo reduzir linhas inteiras de valores ao multiplicar e dividir e ao calcular a soma e a diferença, retire argumentos comuns e , novamente, reduzi-los.

Quando for necessária a realização de ações conjuntas com as entidades ordinárias e decimais, as transformações são realizadas em favor do primeiro: como você traduz 17/3 para a forma decimal? Apenas com perda de informação, não de outra forma. Mas 0,1 pode ser representado como 1/10 e depois como 17/170. E então os dois números resultantes podem ser somados ou subtraídos: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Por que os decimais são úteis?

Se as ações com frações comuns são mais convenientes de realizar, escrever tudo com a ajuda delas é extremamente inconveniente, os decimais têm uma vantagem significativa aqui. Comparar: 1748/10000 e 0,1748. É o mesmo valor apresentado em dois várias opções. Claro, a segunda maneira é mais fácil!

Além disso, os decimais são mais fáceis de representar porque todos os dados têm uma base comum que difere apenas por ordens de grandeza. Digamos que podemos reconhecer facilmente um desconto de 30% e até avaliá-lo como significativo. Você vai entender imediatamente o que é mais - 30% ou 137/379? Assim, as frações decimais proporcionam a padronização dos cálculos.

No ensino médio, os alunos decidem equações quadráticas. Já é extremamente problemático realizar ações com frações comuns aqui, pois a fórmula para calcular os valores da variável contém Raiz quadrada da quantidade. Na presença de uma fração que não é redutível a um decimal, a solução se torna tão complicada que se torna quase impossível calcular a resposta exata sem uma calculadora.

Assim, cada forma de representar frações tem suas próprias vantagens no contexto apropriado.

Formas de entrada

Existem duas maneiras de escrever ações com frações comuns: através de uma linha horizontal, em duas “camadas” e através de uma barra (também conhecida como “barra”) - em uma linha. Quando um aluno escreve em um caderno, a primeira opção costuma ser mais conveniente e, portanto, mais comum. A distribuição de vários números em células contribui para o desenvolvimento da atenção nos cálculos e transformações. Ao gravar em uma string, você pode confundir inadvertidamente a ordem das ações, perder quaisquer dados - ou seja, cometer um erro.

Muitas vezes, em nosso tempo, há a necessidade de imprimir números em um computador. Você pode separar frações com uma barra horizontal tradicional usando uma função no Microsoft Word 2010 e posterior. O fato é que nessas versões do software existe uma opção chamada "fórmula". Ele exibe um campo retangular transformável dentro do qual você pode combinar quaisquer símbolos matemáticos, formar frações de dois e “quatro andares”. No denominador e no numerador, você pode usar colchetes, sinais de operação. Como resultado, você pode escrever quaisquer ações conjuntas com frações ordinárias e decimais em forma tradicional, ou seja, a forma como são ensinados a fazê-lo na escola.

Se você usar o padrão editor de texto Notepad, então todas as expressões fracionárias precisarão ser escritas por meio de uma barra. Infelizmente, não há outro caminho aqui.

Conclusão

Portanto, consideramos todas as ações básicas com frações ordinárias, que, ao que parece, não são tantas.

Se a princípio pode parecer que esta é uma seção complexa da matemática, então esta é apenas uma impressão temporária - lembre-se, uma vez que você pensou assim sobre a tabuada, e até mais cedo - sobre os cadernos usuais e a contagem de um a dez.

É importante entender que frações são usadas em Vida cotidiana em toda parte. Você vai lidar com dinheiro e cálculos de engenharia, tecnologia da Informação e alfabetização musical, e em todos os lugares - em todos os lugares! - números fracionários aparecerão. Portanto, não seja preguiçoso e estude este tópico completamente - especialmente porque não é tão difícil.

Expansão da fração. Redução de fração. Comparação de frações.
Redução a um denominador comum. Adição e subtração de frações.
Multiplicação de frações. Divisão de frações.
Expansão da fração. O valor de uma fração não muda se seu numerador e denominador forem multiplicados pelo mesmo número diferente de zero. Essa transformação é chamada de expansão fracionária. Por exemplo,

Redução de fração. O valor de uma fração não muda se seu numerador e denominador forem divididos pelo mesmo número diferente de zero. Essa transformação é chamada de redução de fração. Por exemplo,

Comparação de frações. De duas frações com o mesmo numerador, a maior é aquela com o menor denominador:

De duas frações com denominadores iguais, a de maior numerador é maior:

Para comparar frações com numeradores e denominadores diferentes, você precisa expandi-las para trazê-las para um denominador comum.
EXEMPLO Compare duas frações:

A transformação usada aqui é chamada de redução de frações a um denominador comum.
Adição e subtração de frações. Se os denominadores das frações forem os mesmos, para adicionar frações, você precisará adicionar seus numeradores e, para subtrair frações, precisará subtrair seus numeradores (na mesma ordem). A soma ou diferença resultante será o numerador do resultado; o denominador permanecerá o mesmo. Se os denominadores das frações forem diferentes, você deve primeiro reduzir as frações a um denominador comum. Quando adicionado números mistos suas partes inteiras e fracionárias são adicionadas separadamente. Ao subtrair números mistos, recomendamos primeiro convertê-los para a forma de frações impróprias, depois subtrair uns dos outros e, em seguida, reduzir novamente o resultado, se necessário, para a forma de um número misto.
EXEMPLO

Multiplicação de frações. Multiplicar um número por uma fração significa multiplicá-lo pelo numerador e dividir o produto pelo denominador. Daí temos regra geral multiplicação de frações: para multiplicar frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores separadamente e dividir o primeiro produto pelo segundo.
EXEMPLO

Divisão de frações. Para dividir um número por uma fração, você precisa multiplicar esse número pelo seu inverso. Esta regra decorre da definição de divisão (ver seção “Operações aritméticas”).
EXEMPLO

O grande crítico russo V. G. Belinsky disse que a tarefa da poesia é “extrair a poesia da vida da prosa da vida e sacudir as almas com uma verdadeira imagem da vida”. É precisamente um escritor assim, um escritor que sacode a alma com uma imagem às vezes das imagens mais insignificantes da existência humana no mundo, é N.V. Gogol. O maior serviço de Gogol à sociedade russa, na minha opinião.

Este artigo é uma tentativa de reunir informações heterogêneas sobre o telescópio mais comum entre os entusiastas da observação solar. Em um grau ou outro, foi coletado em fóruns astronômicos russos e estrangeiros da Internet, e todas as fotografias abaixo também são coletadas na Internet. Especificações técnicas, recursos de design, possíveis.

Sistema de numeração decimal O sistema de numeração decimal é um sistema de numeração posicional na base 10. O sistema de numeração mais comum no mundo. Os símbolos mais usados ​​para escrever números são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, chamados algarismos arábicos. Acredita-se que a base 10 esteja relacionada ao número de dedos que uma pessoa tem. .

Matemática. Grau 1 - 4 Nesta seção você se familiarizará com conceitos e termos como adição, subtração, multiplicação e divisão. Você também se familiarizará com as operações matemáticas e a ordem em que são executadas, contos de fadas matemáticos e muitos, muitos outros. .

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A adição de frações ordinárias é feita assim:

a) se os denominadores das frações são iguais, então o numerador da segunda fração é adicionado ao numerador da primeira fração e o mesmo denominador é deixado, ou seja,

b) se os denominadores das frações forem diferentes, então as frações são primeiramente reduzidas a um denominador comum, preferencialmente ao menor, e então a regra a) é aplicada.

Exemplo 1. Adicionar frações e solução. Nós temos:

A subtração de frações ordinárias é realizada da seguinte forma:

a) se os denominadores das frações são os mesmos, então

b) se os denominadores forem diferentes, primeiro as frações são reduzidas a um denominador comum e, em seguida, a regra a) é aplicada.

A multiplicação de frações ordinárias é realizada da seguinte forma:

isto é, eles multiplicam os numeradores separadamente, os denominadores separadamente, o primeiro produto é feito o numerador, o segundo o denominador.

Por exemplo,

A divisão de frações ordinárias é realizada da seguinte forma:

ou seja, o dividendo é multiplicado pelo inverso do divisor

Por exemplo, .

Exemplo 2. Encontre o valor de uma expressão numérica

Decisão. 1) Reduzindo o numerador e o denominador em 3 (é útil fazer isso antes de realizar as operações de multiplicação no numerador e denominador), obtemos, ou seja,

3) Ao encontrar o valor da expressão, as ações de adição e subtração podem ser realizadas simultaneamente. O mínimo múltiplo comum dos números 15, 20, 30 é o número 60. Trazemos todas as três frações para o denominador 60 usando fatores adicionais: para a primeira fração 4, para a segunda - 3, para a terceira - 2. Obtemos :

Exemplo 3. Execute ações: a)

Solução, a) A primeira maneira. Vamos transformar cada um desses números mistos em uma fração imprópria e, em seguida, realizar a adição:

Vamos transformar a fração imprópria em um número misto:

A segunda maneira. Nós temos

b) No caso de multiplicação e divisão de números mistos, eles sempre vão para frações impróprias:

Então às 7

Operações com frações comuns

Seções: Matemática

1) controle e sistematização do conhecimento dos alunos sobre o tema;

2) desenvolver habilidades computacionais, lógica, vigilância matemática;

3) cultivar a independência, o interesse pelo assunto, uma atitude consciente em relação ao trabalho educativo.

EQUIPAMENTO: aula de informática, PC - 9 peças.

1) aprendizagem centrada no aluno;

2) diferenciação de níveis;

3) tecnologia de jogos;

2. DESCRIÇÃO DO OBJETIVO DA LIÇÃO.

Hoje na véspera trabalho de controle teremos a oportunidade de analisar nossos aprendendo atividades e exercite as habilidades computacionais de realizar todas as ações com frações ordinárias em um simulador eletrônico.

Os alunos anotam o número e o nome do trabalho em folhas especialmente preparadas.

3. ATUALIZAÇÃO DO CONHECIMENTO BÁSICO

Para obter permissão para trabalho individual você deve responder verbalmente às perguntas (todos na mesa material didático A.P. Ershova, V.V. Goloborodko "Matemática Oral"):

1. Formule a propriedade principal de uma fração.

2. A regra para encontrar o mínimo denominador comum de duas frações.

3. Some

4. Que números são chamados mutuamente inversos?

5. Como dividir uma fração em uma fração?

Os alunos repetem frontalmente as regras para realizar ações com frações ordinárias e completam a tarefa comentando.

4. INSTRUÇÕES para completar as etapas da lição

Hoje você tem a oportunidade de se testar em 3 categorias: cientistas da computação, matemáticos e analistas. Os alunos são divididos em 3 grupos e recebem fichas de autoanálise (Anexo 1), segundo as quais passam por todas as etapas. (O professor fixa as notas de todas as três etapas e define a média aritmética nos cartões de equipe Apêndice 2)

Em um computador, em folhas de notas, em cartões de correção ou tarefas criativas

5. Estágio 1 SIMULADOR ELETRÔNICO (Apêndice 3) - informática

Em primeiro lugar, seu sucesso nesta fase depende de quão cuidadosamente você segue as regras do jogo de Biatlo.

O treinamento é composto por três etapas, diferindo entre si na complexidade das tarefas. Cada etapa inclui uma "corrida de esqui" e uma "linha de tiro". No modo "esqui cross-country", você precisa determinar se a afirmação proposta é verdadeira ou falsa e clicar no botão apropriado na tela.

No modo "na linha de tiro", você deve concluir quatro (etapa 1) ou três (etapas 2 e 3) tarefas para calcular a soma, diferença, produto ou particular de duas frações. Sua resposta é um tiro no alvo. Você acerta o alvo se sua resposta for uma fração irredutível.

O professor registra as notas dadas pelo computador. No mapa da equipe.

Oral trabalho independente estudar.

Os alunos respondem verbalmente a perguntas, realizam ações e registram o resultado em um computador. E no mapa de autoanálise eles corrigem seus erros.

(cada aluno do grupo no computador)

Ao final do jogo, o computador avalia o aluno.

6. Estágio 2 CRÉDITO TEÓRICO ( AP Ershova "Matemática Oral"):— analistas

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Frações ordinárias. Ações sobre frações ordinárias

Assinado para publicação a partir de transparências prontas em 12.02.01. Formato 84x108/32. Fone de ouvido Baltika. Tipo de papel. Não. 2. Impressão offset. Conv. forno eu. 25.1. Tiragem 5.000 exemplares. Ordem nº 106.

taxa de crédito - classificador todo russo produtos OK-005-093, volume 2; 953000 - livros, brochuras.

Impresso a partir de transparências prontas no GIPP "Uralsky Rabochiy", 620219, Yekaterinburg, st. Turgenev, 13.

Tópico número 1.

Cálculos aritméticos. Interesse.

Frações ordinárias. Operações sobre frações ordinárias.

1º. Inteiros são os números usados ​​na contagem. Muitos de todos números naturais denotar N, isto é N= .

Tomadaé chamado um número que consiste em várias frações de um. Fração comumé chamado um número da forma , onde é um número natural n mostra o quanto partes iguais unidade é dividida, e um número natural m mostra quantas partes iguais são tomadas. Números m e n são chamados respectivamente numerador e denominador frações.

Se o numerador for menor que o denominador, a fração é chamada correto; Se o numerador for igual ou maior que o denominador, então a fração é chamada errado. Um número que consiste em um número inteiro e uma parte fracionária é chamado número misto.

Por exemplo, - frações ordinárias próprias, - frações ordinárias impróprias, 1 - número misto.

2º. Ao realizar operações em frações ordinárias, lembre-se das seguintes regras:

1) Propriedade básica de uma fração. Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número natural, obter-se-á uma fração igual à dada.

Por exemplo, a); b).

Dividindo o numerador e o denominador de uma fração por seus divisor comum, que é diferente de unidade, é chamado redução de fração.

2) Para representar um número misto como uma fração imprópria, você precisa multiplicar sua parte inteira pelo denominador da parte fracionária e somar o numerador da parte fracionária ao produto resultante, escrever a quantidade resultante como numerador da parte fração e deixe o denominador igual.

Da mesma forma, qualquer número natural pode ser escrito como uma fração imprópria com qualquer denominador.

Por exemplo, a) , porque ; b) etc

3) Para escrever uma fração imprópria como um número misto (ou seja, selecionar uma parte inteira de uma fração imprópria), você precisa dividir o numerador pelo denominador, tomar o quociente como parte inteira, o resto como numerador, deixe o denominador igual.

Por exemplo, a), desde 200: 7 = 28 (4 restantes);
b), desde 20: 5 = 4 (restante 0).

4) Para trazer frações para o menor denominador comum, você precisa encontrar o mínimo múltiplo comum (MLC) dos denominadores dessas frações (será o menor denominador comum), dividir o mínimo denominador comum pelos denominadores dessas frações ( ou seja, encontre fatores adicionais para frações), multiplique o numerador e o denominador de cada fração por seu fator adicional.

Por exemplo, vamos reduzir frações ao menor denominador comum:

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

Meios, ; ; .

5) Regras para operações aritméticas em frações ordinárias:

a) A adição e subtração de frações com os mesmos denominadores é realizada de acordo com a regra:

b) Somar e subtrair frações com denominadores diferentesé realizado de acordo com a regra a), tendo previamente reduzido as frações ao mínimo denominador comum.

c) Ao adicionar e subtrair números mistos, você pode convertê-los em frações impróprias, e então siga as regras a) e b),

d) Ao multiplicar frações, use a regra:

e) Para dividir uma fração por outra, você precisa multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor:

f) Ao multiplicar e dividir números mistos, primeiro eles são convertidos em frações impróprias e, em seguida, as regras d) e e) são usadas.

Apresentação sobre o assunto "Matemática" sobre o tema: "Apresentação da lição "Ações com frações ordinárias" Realizada pelo professor de matemática Kolbina Evgenia Viktorovna.". Baixe grátis e sem cadastro. - Transcrição:

1 Apresentação para a lição "Ações com frações ordinárias" Feita pela professora de matemática Kolbina Evgenia Viktorovna

2 objetivos da aula. Educacional: repetição das regras de comparação, adição, subtração, multiplicação e divisão de frações ordinárias; generalização e sistematização do conhecimento sobre frações ordinárias, consolidação e aprimoramento de habilidades de ações com frações ordinárias; treinamento de habilidades relato oral e a capacidade de aplicar regras na resolução de mais exemplos difíceis. Desenvolvimento: desenvolvimento de competências de atividade educativa e cognitiva; desenvolvimento de uma cultura de fala oral e escrita; desenvolvimento de habilidades de autocontrole e autoavaliação dos conhecimentos e habilidades alcançados. Educacional: educação da atenção, atividade, independência, responsabilidade.

3 De que matemáticos, bateristas e até caçadores não podem prescindir?

4 Em que mês estamos? Qual temporada? O que você gosta no inverno?

5 Hoje na lição vamos esculpir um boneco de neve, mas não da neve, mas do nosso conhecimento

6 Folha de avaliação (nome completo do aluno) "Snowdrifts" "1 com" "2 com" "3 com" "Atributos" Nota Total

7 1. Para comparar (somar, subtrair) frações com outras diferentes, você deve: 1) trazer essas frações para; 2) comparar (somar, subtrair) as frações resultantes. 2. Para somar (subtrair) números mistos, deve-se: 1) trazer as partes fracionárias para; 2) realizar separadamente a adição (subtração) de partes e partes fracionárias. 3. Para multiplicar uma fração por um número natural, você precisa multiplicá-la por esse número e deixá-la inalterada. denominadores NOZ (menor denominador comum) NOZ inteiros numerador denominador 4. Para multiplicar uma fração por uma fração, você precisa encontrar o produto e o produto. 5. Para multiplicar números mistos, você precisa escrevê-los como frações e depois usar a regra das frações. 6. Para dividir uma fração por outra, você precisa multiplicar pelo número, o divisor. numeradores denominadores de multiplicação incorreta divisível inversa "SUGROBS" Para cada regra correta - 1 ponto

8 "1 kom" Para cada resposta correta - 1 ponto

10 I Opção 635(a) II Opção 635(b) "2 com" Para cada ação correta - 1 ponto

12 A grama é pequena, pequena. As árvores são altas. O vento sacode as árvores. Ele se inclina para a direita, depois para a esquerda. Para cima, depois para trás. Isso se curva. Os pássaros estão voando para longe. Os alunos sentam-se quietos em suas carteiras. Fizminutka

13 Problema Os turistas foram fazer uma caminhada. No primeiro dia eles andaram um quilômetro, o que é mais do que no segundo dia. E no terceiro dia andaram 2 vezes menos que no primeiro. Quantos quilômetros os turistas caminharam durante esses três dias? "3 quartos"

14 1) encontre quantos turistas viajaram no segundo dia, para isso subtraímos 2) encontre quantos turistas viajaram no terceiro dia, para isso dividimos por 2 3) somamos o resultado de 1 ação e o resultado da segunda ação e descubra quanto eles viajaram nesses três dias. Resposta: Plano de solução Para cada ação correta - 1 ponto + 1 ponto para a resposta correta

16 Teste "Atributos" Para cada resposta correta 1 ponto

18 27-30 pontos - "5" pontos - "4" pontos - "3" 0-14 pontos - "2"

19 Trabalho de casa: 635 (d), 643 Elaborar um relatório sobre o tema: a origem das frações ordinárias

20 Resumo da lição Gostei de tudo! Difícil mas interessante! Cansado!

21 O grande escritor russo L.N. Tolstoi acreditava que uma pessoa é como uma fração, cujo denominador é o que ele pensa sobre si mesmo, e o numerador é o que eles pensam sobre ele. Desejo que o numerador da sua vida seja maior que o denominador.

O numerador, e aquele pelo qual é dividido é o denominador.

Para escrever uma fração, primeiro escreva seu numerador, depois desenhe uma linha horizontal sob esse número e escreva o denominador sob a linha. A linha horizontal que separa o numerador e o denominador é chamada de barra fracionária. Às vezes é descrito como um oblíquo "/" ou "∕". Nesse caso, o numerador é escrito à esquerda da linha e o denominador à direita. Assim, por exemplo, a fração "dois terços" será escrita como 2/3. Para maior clareza, o numerador geralmente é escrito na parte superior da linha e o denominador na parte inferior, ou seja, em vez de 2/3, você pode encontrar: ⅔.

Para calcular o produto de frações, primeiro multiplique o numerador de um frações para outro numerador. Escreva o resultado no numerador do novo frações. Em seguida, multiplique também os denominadores. Especifique o valor final no novo frações. Por exemplo, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Para dividir uma fração por outra, primeiro multiplique o numerador da primeira pelo denominador da segunda. Faça o mesmo com a segunda fração (divisor). Ou, antes de realizar todos os passos, primeiro “inverta” o divisor, se for mais conveniente para você: o denominador deve estar no lugar do numerador. Em seguida, multiplique o denominador do dividendo por novo denominador divisor e multiplicar os numeradores. Por exemplo, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Origens:

• Tarefas básicas para frações

Os números fracionários permitem que você expresse em forma diferente valor exato quantidades. Com frações, você pode realizar as mesmas operações matemáticas que com números inteiros: subtração, adição, multiplicação e divisão. Para aprender a decidir frações, é necessário lembrar algumas de suas características. Eles dependem do tipo frações, a presença de uma parte inteira, um denominador comum. Algumas operações aritméticas após a execução requerem redução da parte fracionária do resultado.

Você vai precisar

• - calculadora

Instrução

Observe atentamente os números. Se houver decimais e irregulares entre as frações, às vezes é mais conveniente executar primeiro ações com decimais e depois convertê-los para a forma errada. Você pode traduzir frações nesta forma inicialmente, escrevendo o valor após a vírgula no numerador e colocando 10 no denominador. Se necessário, reduza a fração dividindo os números acima e abaixo por um divisor. Frações em que a parte inteira se destaca, levam à forma errada, multiplicando-a pelo denominador e adicionando o numerador ao resultado. Este valor se tornará o novo numerador frações. Para extrair a parte inteira do inicialmente incorreto frações, divida o numerador pelo denominador. Escreva todo o resultado de frações. E o resto da divisão se torna o novo numerador, o denominador frações enquanto não muda. Para frações com parte inteira, é possível realizar ações separadamente, primeiro para o inteiro e depois para as partes fracionárias. Por exemplo, a soma de 1 2/3 e 2 ¾ pode ser calculada:
- Convertendo frações para a forma errada:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Soma separadamente de partes inteiras e fracionárias de termos:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Reescreva-os através do separador ":" e continue a divisão usual.

Para obter o resultado final, reduza a fração resultante dividindo o numerador e o denominador por um número inteiro, o maior possível em este caso. Nesse caso, deve haver números inteiros acima e abaixo da linha.

Nota

Não faça aritmética com frações que têm denominadores diferentes. Escolha um número tal que, quando o numerador e o denominador de cada fração forem multiplicados por ele, como resultado, os denominadores de ambas as frações sejam iguais.

Conselho util

Ao escrever números fracionários, o dividendo é escrito acima da linha. Essa quantidade é chamada de numerador de uma fração. Sob a linha, o divisor, ou denominador, da fração está escrito. Por exemplo, um quilo e meio de arroz na forma de fração será escrito da seguinte forma: 1 ½ kg de arroz. Se o denominador de uma fração for 10, ela é chamada de fração decimal. Nesse caso, o numerador (dividendo) é escrito à direita da parte inteira separada por vírgula: 1,5 kg de arroz. Para conveniência dos cálculos, essa fração sempre pode ser escrita na forma errada: 1 2/10 kg de batatas. Para simplificar, você pode reduzir os valores do numerador e do denominador dividindo-os por um único número inteiro. Neste exemplo, é possível dividir por 2. O resultado é 1 1/5 kg de batatas. Certifique-se de que os números com os quais você fará aritmética estão na mesma forma.

Esse artigo é sobre frações comuns. Aqui vamos nos familiarizar com o conceito de fração de um todo, o que nos levará à definição de uma fração ordinária. Em seguida, vamos nos debruçar sobre a notação aceita para frações ordinárias e dar exemplos de frações, digamos sobre o numerador e o denominador de uma fração. Depois disso, daremos definições de frações corretas e impróprias, positivas e negativas, e também consideraremos a posição dos números fracionários na feixe de coordenadas. Em conclusão, listamos as principais ações com frações.

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Ações de todo

Primeiro apresentamos compartilhar conceito.

Vamos supor que temos algum objeto composto de várias partes absolutamente idênticas (isto é, iguais). Para maior clareza, você pode imaginar, por exemplo, uma maçã cortada em várias partes iguais, ou uma laranja, composta por várias fatias iguais. Cada uma dessas partes iguais que compõem o objeto inteiro é chamada parte do todo ou simplesmente ações.

Observe que os compartilhamentos são diferentes. Vamos explicar isso. Digamos que temos duas maçãs. Vamos cortar a primeira maçã em duas partes iguais e a segunda em 6 partes iguais. É claro que a parte da primeira maçã será diferente da parte da segunda maçã.

Dependendo do número de compartilhamentos que compõem todo o objeto, esses compartilhamentos têm nomes próprios. Vamos analisar compartilhar nomes. Se o objeto consiste em duas partes, qualquer uma delas é chamada de segunda parte do objeto inteiro; se o objeto consiste em três partes, qualquer uma delas é chamada de uma terceira parte e assim por diante.

Uma segunda batida tem um nome especial - metade. Um terço é chamado terceiro, e um quádruplo - trimestre.

Por uma questão de brevidade, o seguinte compartilhar designações. Uma segunda ação é designada como ou 1/2, uma terceira ação - como ou 1/3; um quarto compartilhamento - like ou 1/4, e assim por diante. Observe que a notação com uma barra horizontal é usada com mais frequência. Para consolidar o material, vamos dar mais um exemplo: a entrada denota cento e sexagésimo sétimo do total.

O conceito de compartilhamento naturalmente se estende de objetos a magnitudes. Por exemplo, uma das medidas de comprimento é o metro. Para medir comprimentos inferiores a um metro, podem ser usadas frações de um metro. Então você pode usar, por exemplo, meio metro ou um décimo ou milésimo de metro. As participações de outras quantidades são aplicadas de forma semelhante.

Frações comuns, definição e exemplos de frações

Para descrever o número de ações são usados frações comuns. Vamos dar um exemplo que nos permitirá abordar a definição de frações ordinárias.

Deixe uma laranja consistir em 12 partes. Cada ação neste caso representa um duodécimo de uma laranja inteira, ou seja, . Vamos denotar duas batidas como , três batidas como , e assim por diante, 12 batidas como . Cada uma dessas entradas é chamada de fração ordinária.

Agora vamos dar uma geral definição de frações comuns.

A definição sonora de frações ordinárias nos permite trazer exemplos de frações comuns: 5/10, 21/1, 9/4, . E aqui estão os registros não se enquadram na definição sonora de frações ordinárias, ou seja, não são frações ordinárias.

Numerador e denominador

Por conveniência, em frações ordinárias distinguimos numerador e denominador.

Definição.

Numerador fração ordinária (m / n) é um número natural m.

Definição.

Denominador fração ordinária (m / n) é um número natural n.

Assim, o numerador está localizado acima da barra de fração (à esquerda da barra) e o denominador está abaixo da barra de fração (à direita da barra). Por exemplo, vamos pegar uma fração comum 17/29, o numerador dessa fração é o número 17 e o denominador é o número 29.

Resta discutir o significado contido no numerador e denominador de uma fração ordinária. O denominador da fração mostra em quantas ações um item é composto, o numerador, por sua vez, indica o número de tais ações. Por exemplo, o denominador 5 da fração 12/5 significa que um item consiste em cinco partes, e o numerador 12 significa que 12 dessas partes são tomadas.

Número natural como uma fração com denominador 1

O denominador de uma fração ordinária pode ser igual a um. Nesse caso, podemos supor que o objeto é indivisível, ou seja, é algo inteiro. O numerador de tal fração indica quantos itens inteiros são retirados. Assim, uma fração ordinária da forma m/1 tem o significado de um número natural m. Foi assim que substanciamos a igualdade m/1=m .

Vamos reescrever a última igualdade assim: m=m/1 . Essa igualdade nos permite representar qualquer número natural m como uma fração ordinária. Por exemplo, o número 4 é a fração 4/1 e o número 103498 é a fração 103498/1.

Então, qualquer número natural m pode ser representado como uma fração ordinária com denominador 1 como m/1, e qualquer fração ordinária da forma m/1 pode ser substituída por um número natural m.

Barra de frações como sinal de divisão

A representação do objeto original na forma de n partes nada mais é do que uma divisão em n partes iguais. Depois que o item for dividido em n partes, podemos dividi-lo igualmente entre n pessoas - cada uma receberá uma parte.

Se inicialmente temos m objetos idênticos, cada um dos quais é dividido em n partes, então podemos dividir igualmente esses m objetos entre n pessoas, dando a cada pessoa uma parte de cada um dos m objetos. Neste caso, cada pessoa terá m ações 1/n, e m ações 1/n dá uma fração ordinária m/n. Assim, a fração comum m/n pode ser usada para representar a divisão de m itens entre n pessoas.

Assim, conseguimos uma conexão explícita entre frações ordinárias e divisão (veja a ideia geral da divisão de números naturais). Essa relação é expressa da seguinte forma: A barra de uma fração pode ser entendida como um sinal de divisão, ou seja, m/n=m:n.

Com a ajuda de uma fração comum, você pode escrever o resultado da divisão de dois números naturais para os quais a divisão não é realizada por um inteiro. Por exemplo, o resultado da divisão de 5 maçãs por 8 pessoas pode ser escrito como 5/8, ou seja, cada um receberá cinco oitavos de uma maçã: 5:8=5/8.

Frações ordinárias iguais e desiguais, comparação de frações

Uma ação bastante natural é comparação de frações comuns, porque é claro que 1/12 de uma laranja é diferente de 5/12, e 1/6 de uma maçã é o mesmo que o outro 1/6 desta maçã.

Como resultado da comparação de duas frações ordinárias, um dos resultados é obtido: as frações são iguais ou não iguais. No primeiro caso temos frações comuns iguais, e no segundo frações comuns desiguais. Vamos dar uma definição de frações ordinárias iguais e desiguais.

Definição.

igual, se a igualdade a d=b c for verdadeira.

Definição.

Duas frações comuns a/b e c/d não igual, se a igualdade a d=b c não for satisfeita.

Aqui estão alguns exemplos de frações iguais. Por exemplo, a fração comum 1/2 é igual à fração 2/4, pois 1 4=2 2 (se necessário, veja as regras e exemplos de multiplicação de números naturais). Para maior clareza, você pode imaginar duas maçãs idênticas, a primeira é cortada ao meio e a segunda - em 4 partes. É óbvio que dois quartos de uma maçã são 1/2 por ação. Outros exemplos de frações comuns iguais são as frações 4/7 e 36/63, e o par de frações 81/50 e 1620/1000.

E as frações ordinárias 4/13 e 5/14 não são iguais, pois 4 14=56 e 13 5=65, ou seja, 4 14≠13 5. Outro exemplo de frações comuns desiguais são as frações 17/7 e 6/4.

Se, ao comparar duas frações ordinárias, descobrir que elas não são iguais, talvez você precise descobrir qual dessas frações ordinárias menor outro, e que mais. Para descobrir, é usada a regra para comparar frações ordinárias, cuja essência é trazer as frações comparadas a um denominador comum e depois comparar os numeradores. Informações detalhadas sobre este tópico são coletadas no artigo Comparação de frações: regras, exemplos, soluções.

Números fracionários

Cada fração é um registro número fracionário. Ou seja, uma fração é apenas uma “concha” de um número fracionário, sua aparência, e toda a carga semântica está contida precisamente em um número fracionário. No entanto, por brevidade e conveniência, o conceito de fração e número fracionário são combinados e simplesmente chamados de fração. Aqui convém reformular famoso ditado: dizemos uma fração - queremos dizer número fracionário, dizemos um número fracionário - queremos dizer uma fração.

Frações no feixe de coordenadas

Todos os números fracionários correspondentes a frações ordinárias têm seu próprio lugar único em , ou seja, há uma correspondência um a um entre frações e pontos do raio coordenado.

Para chegar ao ponto correspondente à fração m / n no raio coordenado, é necessário adiar m segmentos da origem na direção positiva, cujo comprimento é 1 / n do segmento unitário. Tais segmentos podem ser obtidos dividindo-se um único segmento em n partes iguais, o que sempre pode ser feito com compasso e régua.

Por exemplo, vamos mostrar o ponto M no raio coordenado, correspondente à fração 14/10. O comprimento do segmento com extremidades no ponto O e o ponto mais próximo a ele, marcado com um pequeno traço, é 1/10 do segmento unitário. O ponto com coordenada 14/10 é removido da origem por 14 desses segmentos.

Frações iguais correspondem ao mesmo número fracionário, ou seja, frações iguais são as coordenadas do mesmo ponto no raio de coordenadas. Por exemplo, um ponto corresponde às coordenadas 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 no raio coordenado, pois todas as frações escritas são iguais (está localizada a uma distância de metade do segmento unitário, adiada de a origem no sentido positivo).

Em um raio de coordenadas horizontal e direcionado à direita, o ponto cuja coordenada é uma fração grande está localizado à direita do ponto cuja coordenada é uma fração menor. Da mesma forma, o ponto com a coordenada menor fica à esquerda do ponto com a coordenada maior.

Frações próprias e impróprias, definições, exemplos

Entre as frações ordinárias, há frações próprias e impróprias. Essa divisão basicamente tem uma comparação do numerador e denominador.

Vamos dar uma definição de frações ordinárias próprias e impróprias.

Definição.

Fração própriaé uma fração ordinária, cujo numerador é menor que o denominador, isto é, se m

Definição.

Fração imprópriaé uma fração ordinária em que o numerador é maior ou igual ao denominador, ou seja, se m≥n, então a fração ordinária é imprópria.

Aqui estão alguns exemplos de frações próprias: 1/4 , , 32 765/909 003 . De fato, em cada uma das frações ordinárias escritas, o numerador é menor que o denominador (se necessário, veja o artigo comparação de números naturais), então eles estão corretos por definição.

E aqui estão exemplos de frações impróprias: 9/9, 23/4,. De fato, o numerador da primeira das frações ordinárias escritas é igual ao denominador, e nas frações restantes o numerador é maior que o denominador.

Existem também definições de frações próprias e impróprias baseadas na comparação de frações com uma.

Definição.

correto se for menor que um.

Definição.

A fração comum é chamada errado, se for igual a um ou maior que 1 .

Portanto, a fração ordinária 11/07 está correta, pois 11/07<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 e 27/27=1.

Vamos pensar em como frações ordinárias com um numerador maior ou igual ao denominador merecem tal nome - "errado".

Vamos pegar a fração imprópria 9/9 como exemplo. Essa fração significa que são tomadas nove partes de um objeto, que consiste em nove partes. Ou seja, das nove ações disponíveis, podemos compor um assunto inteiro. Ou seja, a fração imprópria 9/9 essencialmente dá um objeto inteiro, ou seja, 9/9=1. Em geral, frações impróprias com numerador igual ao denominador denotam um objeto inteiro, e tal fração pode ser substituída por um número natural 1.

Agora considere as frações impróprias 7/3 e 12/4. É bastante óbvio que desses sete terços podemos fazer dois objetos inteiros (um objeto inteiro é 3 partes, então para compor dois objetos inteiros precisamos de 3 + 3 = 6 partes) e ainda haverá um terço. Ou seja, a fração imprópria 7/3 significa essencialmente 2 itens e até 1/3 da parcela de tal item. E a partir de doze quartos podemos fazer três objetos inteiros (três objetos com quatro partes cada). Ou seja, a fração 12/4 significa essencialmente 3 objetos inteiros.

Os exemplos considerados nos levam à seguinte conclusão: as frações impróprias podem ser substituídas tanto por números naturais, quando o numerador é dividido inteiramente pelo denominador (por exemplo, 9/9=1 e 12/4=3), quanto pela soma de um número natural e uma fração própria, quando o numerador não é divisível pelo denominador (por exemplo, 7/3=2+1/3). Talvez seja exatamente isso que frações impróprias merecem esse nome - "errado".

De particular interesse é a representação de uma fração imprópria como a soma de um número natural e uma fração própria (7/3=2+1/3). Esse processo é chamado de extração de uma parte inteira de uma fração imprópria e merece uma consideração separada e mais cuidadosa.

Também é importante notar que existe uma relação muito próxima entre frações impróprias e números mistos.

Frações positivas e negativas

Cada fração ordinária corresponde a um número fracionário positivo (veja o artigo números positivos e negativos). Ou seja, as frações ordinárias são frações positivas. Por exemplo, frações ordinárias 1/5, 56/18, 35/144 são frações positivas. Quando é necessário enfatizar a positividade de uma fração, um sinal de mais é colocado na frente dela, por exemplo, +3/4, +72/34.

Se você colocar um sinal de menos na frente de uma fração comum, essa entrada corresponderá a um número fracionário negativo. Neste caso, pode-se falar de frações negativas. Aqui estão alguns exemplos de frações negativas: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

As frações positivas e negativas m/n e −m/n são números opostos. Por exemplo, as frações 5/7 e −5/7 são frações opostas.

Frações positivas, como números positivos em geral, denotam um aumento, renda, uma mudança em algum valor para cima, etc. Frações negativas correspondem a despesas, dívidas, uma mudança em qualquer valor na direção da diminuição. Por exemplo, uma fração negativa -3/4 pode ser interpretada como uma dívida, cujo valor é 3/4.

Na horizontal e as frações negativas direcionadas à direita estão localizadas à esquerda do ponto de referência. Os pontos da linha de coordenadas cujas coordenadas são a fração positiva m/n e a fração negativa −m/n estão localizados à mesma distância da origem, mas ao longo lados diferentes do ponto O.

Aqui vale a pena mencionar frações da forma 0/n. Essas frações são iguais ao número zero, ou seja, 0/n=0 .

Frações positivas, frações negativas e frações 0/n se combinam para formar números racionais.

Ações com frações

Uma ação com frações ordinárias - comparando frações - já consideramos acima. Mais quatro aritméticas são definidas operações com frações- adição, subtração, multiplicação e divisão de frações. Vamos nos debruçar sobre cada um deles.

A essência geral das ações com frações é semelhante à essência das ações correspondentes com números naturais. Vamos fazer uma analogia.

Multiplicação de frações pode ser considerado como uma ação em que uma fração é encontrada a partir de uma fração. Para esclarecer, vamos dar um exemplo. Suponha que temos 1/6 de uma maçã e precisamos pegar 2/3 dela. A parte que precisamos é o resultado da multiplicação das frações 1/6 e 2/3. O resultado da multiplicação de duas frações ordinárias é uma fração ordinária (que em um caso particular é igual a um número natural). Além disso, recomendamos estudar a informação do artigo multiplicação de frações - regras, exemplos e soluções.

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• Vilenkin N.Ya. etc. Matemática. 6ª série: livro didático para instituições de ensino.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (um manual para candidatos a escolas técnicas).

Neste artigo, um tutor de matemática e física fala sobre como realizar operações elementares com frações ordinárias: adição e subtração, multiplicação e divisão. Aprenda a representar um número misto como uma fração imprópria e vice-versa, e como reduzir frações.

Adição e subtração de frações ordinárias

Lembre-se que denominador frações é chamado o número que é de baixo, uma numerador- o número que acima de da linha fracionária. Por exemplo, em uma fração, o número é o numerador e o número é o denominador.

denominador comumé o menor número possível que é divisível tanto pelo denominador da primeira fração quanto pelo denominador da segunda fração.

Exemplo 1. Adicione duas frações: .

Vamos usar o algoritmo descrito acima:

1) O menor número que é divisível tanto pelo denominador da primeira fração quanto pelo denominador da segunda fração é . Este número será o denominador comum. Agora você precisa trazer as duas frações para um denominador comum.

2) Some as frações resultantes: .

Multiplicação de frações ordinárias

Em outras palavras, para todos os números reais , , , , a igualdade é verdadeira:

Exemplo 2. Multiplicar frações: .

Para resolver este problema, usamos a fórmula acima: .

Divisão de frações ordinárias

Em outras palavras, para todos os números reais , , , , , a igualdade é verdadeira:

Exemplo 3. Dividir frações: .

Para resolver este problema, usamos a fórmula acima: .

Representando um número misto como uma fração imprópria

Agora vamos descobrir o que fazer se você quiser realizar qualquer operação com frações representadas como números mistos. Nesse caso, primeiro você precisa representar os números mistos como frações impróprias e, em seguida, realizar a operação necessária.

Lembre-se que errado Uma fração é chamada se o numerador for maior ou igual ao denominador.

Lembre-se também de que um número misto tem fração e parte inteira. Por exemplo, a parte fracionária de um número misto é , e a parte inteira é .

Exemplo 4. Expresse o número misto como uma fração imprópria.

Vamos usar o algoritmo acima: .

Exemplo 5. Expresse a fração imprópria como um número misto.