Encontrando as raízes de um trinômio quadrado

Metas: introduzir o conceito de trinômio quadrático e suas raízes; para formar a capacidade de encontrar as raízes de um trinômio quadrado.

Durante as aulas

I. Momento organizacional.

II. trabalho oral.

Qual dos números: -2; -1; 1; 2 - são as raízes das equações?

a) 8 X+ 16 = 0; dentro) X 2 + 3X – 4 = 0;

b) 5 X 2 – 5 = 0; G) X 3 – 3X – 2 = 0.

III. Explicação do novo material.

A explicação do novo material deve ser realizada de acordo com o seguinte esquema:

1) Introduzir o conceito de raiz polinomial.

2) Introduzir o conceito de trinômio quadrado e suas raízes.

3) Analise a questão do número possível de raízes de um trinômio quadrado.

A questão de extrair o quadrado de um binômio de um trinômio quadrado é melhor para ser tratada na próxima lição.

Em cada etapa de explicação de um novo material, é necessário oferecer aos alunos uma tarefa oral para testar a assimilação dos pontos principais da teoria.

Tarefa 1. Qual dos números: -1; 1; ; 0 - são as raízes do polinômio X 4 + 2X 2 – 3?

Tarefa 2. Quais dos seguintes polinômios são trinômios quadrados?

1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;

2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;

3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;

4) 3X 2 – ; 9) + 3X – 6;

5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .

Qual dos trinômios quadrados tem raiz 0?

Tarefa 3. Um trinômio quadrado pode ter três raízes? Por quê? Quantas raízes tem um trinômio quadrado X 2 + X – 5?

4. Formação de competências e habilidades.

Exercícios:

1. № 55, № 56, № 58.

2. Nº 59 (a, c, e), Nº 60 (a, c).

Nesta tarefa, você não precisa procurar as raízes dos trinômios quadrados. Basta encontrar o seu discriminante e responder à questão colocada.

a) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, então este trinômio quadrado tem duas raízes.

b) 9 X 2 + 6X + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, então o trinômio quadrado tem uma raiz.

às 7 X 2 + 6X – 2 = 0;

7X 2 – 6X + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

Se houver tempo, você pode fazer o número 63.

Decisão

Deixe ser machado 2 + bx + cé um dado trinômio quadrado. Na medida em que uma+ b +
+c= 0, então uma das raízes deste trinômio é igual a 1. Pelo teorema de Vieta, a segunda raiz é igual a . De acordo com a condição com = 4uma, então a segunda raiz deste trinômio quadrado é
.

Respostas: 1 e 4.

V. Os resultados da lição.

Questões

O que é uma raiz polinomial?

Que polinômio é chamado de trinômio quadrado?

Como encontrar as raízes de um trinômio quadrado?

Qual é o discriminante de um trinômio quadrado?

Quantas raízes um trinômio quadrado pode ter? Do que depende?

Trabalho de casa: Nº 57, Nº 59 (b, d, f), Nº 60 (b, d), Nº 62.

Professor da categoria mais alta: Minaichenko N.S., ginásio nº 24, Sevastopol

Lição na 8ª série: "O trinômio quadrado e suas raízes"

Tipo de lição : lição de novos conhecimentos.

O objetivo da lição:

organizar as atividades dos alunos para consolidar e desenvolver conhecimentos sobre a decomposição de um trinômio quadrado em fatores lineares, redução de frações;

desenvolver habilidades na aplicação do conhecimento de todos os métodos de fatoração: colchetes, usando fórmulas de multiplicação reduzida e método de agrupamento para se preparar para entrega bem sucedida exame de álgebra;

criar condições para o desenvolvimento interesse cognitivo ao assunto, formação pensamento lógico e autocontrole ao usar fatoração.

Equipamento: projetor multimídia, tela, apresentação: "Raízes de um trinômio quadrado", palavras cruzadas, teste, apostila.

Conceitos Básicos . Decomposição trinômio quadrado para multiplicadores.

Actividade independente dos alunos. Aplicação do teorema da fatoração para um trinômio quadrado na resolução de problemas.

Plano de aula

Solução de problemas.

Respostas às dúvidas dos alunos

4. Teste primário de domínio do conhecimento. Reflexão

A mensagem do professor.

Mensagem do aluno

V. Lição de casa

escrita de quadro branco

Comentário metodológico:

Este tópico é fundamental na seção "Transformações de identidade expressões algébricas". Portanto, é importante que os alunos automaticamente sejam capazes não apenas de ver fórmulas de fatoração em exemplos, mas também de aplicá-las em outras tarefas: como resolver equações, transformar expressões, provar identidades.

Este tópico se concentra na fatoração do trinômio quadrado:

machado+ bx + c = a(x – x)(x – x),

onde x e x - raízes Equação quadrática ax + bx + c = 0.

Isso permite ampliar o campo de visão do aluno, ensiná-lo a pensar em situação incomum durante o uso do material estudado, ou seja, Usando a fórmula para fatorar um trinômio quadrado:

a capacidade de reduzir frações algébricas;

a capacidade de simplificar expressões algébricas;

capacidade de resolver equações;

capacidade de provar identidades.

O conteúdo principal da lição:

a) 3x + 5x - 2;

b) –x + 16x – 15;

c) x - 12x + 24;

d) -5x + 6x - 1.

№2. Reduza a fração:

№3. Simplifique a expressão:

№4. Resolva a equação:

b)

Durante as aulas:

I. Etapa de atualização do conhecimento.

Motivação da atividade educativa.

a) da história:

b) palavras cruzadas:

Treinamento de aquecimento da mente - palavras cruzadas:

Horizontalmente:

1) A raiz do segundo grau é chamada .... (quadrado)

2) Valores de variáveis ​​em que a equação se torna uma verdadeira igualdade (raízes)

3) Uma igualdade contendo uma incógnita é chamada ... (equação)

4) cientista indianoquem delineou regra geral resolvendo equações quadráticas (Brahmagupta)

5) Os coeficientes da equação quadrática são ... (números)

6) Um antigo cientista grego que inventou um método geométrico para resolver equações (Euclides)

7) Teorema que liga os coeficientes e as raízes de uma equação quadrática (Vieta)

8) “distinguir”, definir as raízes de uma equação quadrática é ... (discriminante)

Adicionalmente:

Se D>0, quantas raízes? (dois)

Se D=0, quantas raízes? (1)

Se D<0, сколько корней? (нет действительных корней)

Horizontal e verticalmente, o tópico da lição: "Trinômio quadrado"

b) motivação:

Este tópico é fundamental na seção "Transformações de identidade de expressões algébricas". Portanto, é importante que você automaticamente seja capaz não apenas de ver fórmulas de fatoração em exemplos, mas também de aplicá-las em outras tarefas: como reduzir frações, resolver equações, transformar expressões, provar identidades.

Hoje vamos nos concentrar na fatoração do trinômio quadrado:

II. Aprendendo novos materiais.

Tópico: Trinômio quadrado e suas raízes.

A teoria geral de polinômios em muitas variáveis ​​está muito além do escopo de um curso escolar. Portanto, nos limitamos ao estudo de polinômios de uma variável real, e mesmo assim nos casos mais simples. Considere polinômios de uma variável reduzidos à forma padrão.

A raiz do polinômio é o valor da variável em que o valor do polinômio é igual a zero. Isso significa que, para encontrar as raízes de um polinômio, é necessário igualá-lo a zero, ou seja, resolva a equação.

Raiz polinomial de primeiro grau
fácil de encontrar
. Exame:
.

As raízes de um trinômio quadrado podem ser encontradas resolvendo a equação:
.

De acordo com a fórmula das raízes da equação quadrática, encontramos:

;

Teorema (na fatoração de um trinômio quadrado ):

Se um e - raízes de um trinômio quadrado
, Onde ≠ 0,

então .

Prova:

Realizamos as seguintes transformações do trinômio quadrado:

=
=
=

=
=
=

=
=

Uma vez que o discriminante
, Nós temos:

=
=

Aplicamos a fórmula da diferença de quadrados entre colchetes e obtemos:

=
=
,

como
;
. O teorema foi provado.

A fórmula resultante é chamada de fórmulafatoração de um trinômio quadrado.

III. Formação de competências e habilidades.

№1. Fatorize o trinômio quadrado:

a) 3x + 5x - 2;

Decisão:

Resposta: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)

Na mesa:

b) –5x + 6x – 1;

Adicionalmente:

c) x - 12x + 24;

d) –x + 16x – 15.

№2. Reduza a fração:

a)

№4. Resolva a equação:

b)

4. Teste primário de domínio do conhecimento.

a) Teste.

Opção 1.

1. Encontre as raízes de um trinômio quadrado:2x 2 -9x-5

Responda:

2. Qual polinômio deve ser substituído pelas reticências para que a igualdade seja verdadeira:

b) Verificação mútua por opções (respostas e parâmetros de avaliação são ilustrados).

c) Reflexão.

V. Dever de casa.

Você pode encontrar a raiz de um trinômio quadrado através do discriminante. Além disso, para o polinômio reduzido de segundo grau, o teorema de Vieta, baseado na razão de coeficientes, é válido.

Instrução

• Equações quadráticas são um tópico bastante amplo na álgebra escolar. O lado esquerdo de tal equação é um polinômio de segundo grau da forma A x² + B x + C, ou seja. uma expressão de três monômios de graus variados da incógnita x. Para encontrar a raiz de um trinômio quadrado, você precisa calcular o valor de x para o qual essa expressão é igual a zero.
• Para resolver uma equação quadrática, você precisa encontrar o discriminante. Sua fórmula é consequência de destacar o quadrado completo do polinômio e é uma certa razão de seus coeficientes: D = B² - 4 A C.
• O discriminante pode assumir vários valores, inclusive ser negativo. E se os alunos mais jovens podem dizer com alívio que tal equação não tem raízes, então os alunos do ensino médio já são capazes de determiná-las com base na teoria dos números complexos. Portanto, pode haver três opções: O discriminante é um número positivo. Então as raízes da equação são: x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B - √D) / 2A;
  O discriminante foi para zero. Teoricamente, neste caso, a equação também tem duas raízes, mas praticamente são as mesmas: x1 \u003d x2 \u003d -B / 2 A;
  O discriminante é menor que zero. Um certo valor i² = -1 é introduzido no cálculo, o que permite escrever uma solução complexa: x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 \u003d (-B - i √ | D |) / 2 A.
• O método discriminante é válido para qualquer equação quadrática, porém, há situações em que é aconselhável utilizar um método mais rápido, principalmente para coeficientes inteiros pequenos. Este método é chamado de teorema de Vieta e consiste em um par de relações entre os coeficientes no trinômio reduzido: x² + P x + Q
  x1 + x2 = -P;
  x1 x2 = Q. Resta apenas pegar as raízes.
• Deve-se notar que a equação pode ser reduzida a uma forma semelhante. Para fazer isso, você precisa dividir todos os termos do trinômio pelo coeficiente no grau mais alto A: A x² + B x + C | A
  x² + B/A x + C/A
  x1 + x2 = -B/A;
  x1 x2 = C/A.

Calculadora on-line.
Seleção do quadrado do binômio e fatoração do trinômio quadrado.

Este programa de matemática extrai o quadrado do binômio do trinômio quadrado, ou seja faz uma transformação da forma:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q\) e fatora o trinômio quadrado: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Aqueles. os problemas são reduzidos a encontrar os números \(p, q \) e \(n, m \)

O programa não só dá a resposta ao problema, mas também mostra o processo de solução.

Este programa pode ser útil para alunos do ensino médio em preparação para testes e exames, ao testar conhecimentos antes do Exame Estadual Unificado, para os pais controlarem a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro para você contratar um tutor ou comprar novos livros didáticos? Ou você só quer fazer sua lição de matemática ou álgebra o mais rápido possível? Nesse caso, você também pode usar nossos programas com uma solução detalhada.

Desta forma, pode realizar a sua própria formação e/ou a formação dos seus irmãos ou irmãs mais novos, enquanto aumenta o nível de formação no domínio das tarefas a resolver.

Se você não estiver familiarizado com as regras para inserir um trinômio quadrado, recomendamos que você se familiarize com elas.

Regras para inserir um polinômio quadrado

Qualquer letra latina pode atuar como uma variável.
Por exemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Os números podem ser inseridos como inteiros ou frações.
Além disso, os números fracionários podem ser inseridos não apenas na forma de um decimal, mas também na forma de uma fração ordinária.

Regras para inserir frações decimais.
Em frações decimais, a parte fracionária do inteiro pode ser separada por um ponto ou uma vírgula.
Por exemplo, você pode inserir decimais como este: 2,5x - 3,5x^2

Regras para inserir frações ordinárias.
Apenas um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.

O denominador não pode ser negativo.

Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
A parte inteira é separada da fração por um e comercial: &
Entrada: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

Ao inserir uma expressão você pode usar colchetes. Neste caso, ao resolver, a expressão introduzida é primeiro simplificada.
Por exemplo: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Exemplo de solução detalhada

Seleção do quadrado do binômio.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Responda:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Fatoração.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\esquerda(x^2+x-2 \direita) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Responda:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Decidir

Verificou-se que alguns scripts necessários para resolver esta tarefa não foram carregados e o programa pode não funcionar.
Você pode ter o AdBlock ativado.
Nesse caso, desative-o e atualize a página.

Você desativou o JavaScript em seu navegador.
O JavaScript deve estar habilitado para que a solução apareça.
Aqui estão as instruções sobre como habilitar o JavaScript no seu navegador.

Porque Tem muita gente querendo resolver o problema, seu pedido está na fila.
Após alguns segundos, a solução aparecerá abaixo.
Espere, por favor seg...

Se vocês notei um erro na solução, então você pode escrever sobre isso no Formulário de Feedback .
Não esqueça indique qual tarefa você decide o que entre nos campos.

Nossos jogos, quebra-cabeças, emuladores:

Um pouco de teoria.

Extração de um binômio quadrado de um trinômio quadrado

Se o trinômio quadrado ax 2 + bx + c é representado como a (x + p) 2 + q, onde p e q são números reais, então eles dizem que de trinômio quadrado, o quadrado do binômio é destacado.

Vamos extrair o quadrado do binômio do trinômio 2x 2 +12x+14.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Para fazer isso, representamos 6x como um produto de 2 * 3 * x e, em seguida, adicionamos e subtraímos 3 2 . Nós temos:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Que. nós selecionou o quadrado do binômio do trinômio quadrado, e mostrou que:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Fatoração de um trinômio quadrado

Se o trinômio quadrado ax 2 +bx+c é representado como a(x+n)(x+m), onde n e m são números reais, então diz-se que a operação foi realizada fatorações de um trinômio quadrado.

Vamos usar um exemplo para mostrar como essa transformação é feita.

Vamos fatorar o trinômio quadrado 2x 2 +4x-6.

Vamos tirar o coeficiente a dos parênteses, ou seja. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Vamos transformar a expressão entre colchetes.
Para fazer isso, representamos 2x como a diferença 3x-1x e -3 como -1*3. Nós temos:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Que. nós fatorar o trinômio quadrado, e mostrou que:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Observe que a fatoração de um trinômio quadrado só é possível quando a equação quadrática correspondente a esse trinômio tem raízes.
Aqueles. no nosso caso, fatorar o trinômio 2x 2 +4x-6 é possível se a equação quadrática 2x 2 +4x-6 =0 tiver raízes. No processo de fatoração, descobrimos que a equação 2x 2 +4x-6 =0 tem duas raízes 1 e -3, porque com esses valores, a equação 2(x-1)(x+3)=0 se transforma em uma verdadeira igualdade.

Livros (livros didáticos) Resumos do Exame do Estado Unificado e testes OGE on-line Jogos, quebra-cabeças Representação gráfica de funções Dicionário de ortografia da língua russa Dicionário de gírias juvenis Catálogo de escolas russas Catálogo de escolas secundárias na Rússia Catálogo de universidades russas Lista de tarefas

Expandir polinômios para obter um produto às vezes parece confuso. Mas não é tão difícil se você entender o processo passo a passo. O artigo detalha como fatorar um trinômio quadrado.

Muitos não entendem como fatorar um trinômio quadrado e por que isso é feito. A princípio pode parecer que este é um exercício inútil. Mas em matemática, nada é feito assim. A transformação é necessária para simplificar a expressão e a conveniência do cálculo.

Um polinômio com a forma - ax² + bx + c, é chamado de trinômio quadrado. O termo "a" deve ser negativo ou positivo. Na prática, essa expressão é chamada de equação quadrática. Portanto, às vezes eles dizem de forma diferente: como expandir uma equação quadrática.

Interessante! Um polinômio quadrado é chamado por causa de seu maior grau - um quadrado. E um trinômio - por causa dos 3 termos componentes.

Alguns outros tipos de polinômios:

• binômio linear (6x+8);
• quadrilátero cúbico (x³+4x²-2x+9).

Fatoração de um trinômio quadrado

Primeiro, a expressão é igual a zero, então você precisa encontrar os valores das raízes x1 e x2. Pode não haver raízes, pode haver uma ou duas raízes. A presença de raízes é determinada pelo discriminante. Sua fórmula deve ser conhecida de cor: D=b²-4ac.

Se o resultado de D for negativo, não há raízes. Se positivo, há duas raízes. Se o resultado for zero, a raiz é um. As raízes também são calculadas pela fórmula.

Se o cálculo do discriminante resultar em zero, você pode aplicar qualquer uma das fórmulas. Na prática, a fórmula é simplesmente abreviada: -b / 2a.

Fórmulas para diferentes valores do discriminante são diferentes.

Se D for positivo:

Se D é zero:

Calculadoras online

Existe uma calculadora online na Internet. Pode ser usado para fatorar. Alguns recursos oferecem a oportunidade de ver a solução passo a passo. Tais serviços ajudam a entender melhor o tema, mas você precisa tentar entender bem.

Vídeo útil: Fatorando um trinômio quadrado

Exemplos

Sugerimos ver exemplos simples de como fatorar uma equação quadrática.

Exemplo 1

Aqui é mostrado claramente que o resultado será dois x, porque D é positivo. Eles precisam ser substituídos na fórmula. Se as raízes forem negativas, o sinal na fórmula é invertido.

Conhecemos a fórmula para fatorar um trinômio quadrado: a(x-x1)(x-x2). Colocamos os valores entre parênteses: (x+3)(x+2/3). Não há número antes do termo no expoente. Isso significa que há uma unidade, ela é abaixada.

Exemplo 2

Este exemplo mostra claramente como resolver uma equação que tem uma raiz.

Substitua o valor resultante:

Exemplo 3

Dado: 5x²+3x+7

Primeiro, calculamos o discriminante, como nos casos anteriores.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

O discriminante é negativo, o que significa que não há raízes.

Após receber o resultado, vale abrir os colchetes e conferir o resultado. O trinômio original deve aparecer.

Solução alternativa

Algumas pessoas nunca foram capazes de fazer amizade com o discriminador. Existe outra maneira de fatorar um trinômio quadrado. Por conveniência, o método é mostrado em um exemplo.

Dado: x²+3x-10

Sabemos que devemos terminar com 2 parênteses: (_)(_). Quando a expressão fica assim: x² + bx + c, colocamos x no início de cada colchete: (x_) (x_). Os dois números restantes são o produto que dá "c", ou seja, -10 neste caso. Para descobrir quais são esses números, você só pode usar o método de seleção. Os números substituídos devem corresponder ao termo restante.

Por exemplo, multiplicando os seguintes números dá -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Não.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Não.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Não.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Encaixa.

Então, a transformação da expressão x2+3x-10 fica assim: (x-2)(x+5).

Importante! Você deve ter cuidado para não confundir os sinais.

Decomposição de um trinômio complexo

Se "a" for maior que um, começam as dificuldades. Mas nem tudo é tão difícil quanto parece.

Para fatorar, é preciso primeiro ver se é possível fatorar algo.

Por exemplo, dada a expressão: 3x²+9x-30. Aqui o número 3 é retirado dos colchetes:

3(x²+3x-10). O resultado é o trinômio já conhecido. A resposta fica assim: 3(x-2)(x+5)

Como decompor se o termo ao quadrado é negativo? Nesse caso, o número -1 é retirado do colchete. Por exemplo: -x²-10x-8. A expressão então ficará assim:

O esquema difere pouco do anterior. Há apenas algumas coisas novas. Digamos que a expressão seja dada: 2x²+7x+3. A resposta também está escrita em 2 colchetes, que devem ser preenchidos com (_) (_). X é escrito no 2º colchete, e o que resta no 1º. Fica assim: (2x_)(x_). Caso contrário, o esquema anterior é repetido.

O número 3 dá os números:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Resolvemos equações substituindo os números dados. A última opção se encaixa. Então a transformação da expressão 2x²+7x+3 fica assim: (2x+1)(x+3).

Outros casos

Nem sempre é possível transformar uma expressão. No segundo método, a solução da equação não é necessária. Mas a possibilidade de converter termos em um produto é verificada apenas através do discriminante.

Vale a pena praticar a resolução de equações quadráticas para que não haja dificuldades ao usar fórmulas.

Vídeo útil: fatoração de um trinômio

Conclusão

Você pode usá-lo de qualquer maneira. Mas é melhor trabalhar tanto para o automatismo. Além disso, aqueles que vão conectar suas vidas com a matemática precisam aprender a resolver bem as equações do segundo grau e decompor polinômios em fatores. Todos os tópicos matemáticos a seguir são construídos sobre isso.