Professor da categoria mais alta: Minaichenko N.S., ginásio nº 24, Sevastopol

Lição na 8ª série: "O trinômio quadrado e suas raízes"

Tipo de lição : lição de novos conhecimentos.

O objetivo da lição:

organizar as atividades dos alunos para consolidar e desenvolver conhecimentos sobre a decomposição de um trinômio quadrado em fatores lineares, redução de frações;

desenvolver habilidades na aplicação do conhecimento de todos os métodos de fatoração: colchetes, usando fórmulas de multiplicação reduzida e método de agrupamento para se preparar para entrega bem sucedida exame de álgebra;

criar condições para o desenvolvimento interesse cognitivo ao assunto, formação pensamento lógico e autocontrole ao usar fatoração.

Equipamento: projetor multimídia, tela, apresentação: "Raízes de um trinômio quadrado", palavras cruzadas, teste, apostila.

Conceitos Básicos . Decomposição trinômio quadrado para multiplicadores.

Actividade independente dos alunos. Aplicação do teorema da fatoração para um trinômio quadrado na resolução de problemas.

Plano de aula

Solução de problemas.

Respostas às dúvidas dos alunos

4. Teste primário de domínio do conhecimento. Reflexão

A mensagem do professor.

Mensagem do aluno

v. Trabalho de casa

escrita de quadro branco

Comentário metodológico:

Este tópico é fundamental na seção "Transformações de identidade expressões algébricas". Portanto, é importante que os alunos automaticamente sejam capazes não apenas de ver fórmulas de fatoração em exemplos, mas também de aplicá-las em outras tarefas: como resolver equações, transformar expressões, provar identidades.

Este tópico se concentra na fatoração do trinômio quadrado:

machado+ bx + c = a(x – x)(x – x),

onde x e x - raízes Equação quadrática ax + bx + c = 0.

Isso permite ampliar o campo de visão do aluno, ensiná-lo a pensar em situação incomum durante o uso do material estudado, ou seja, Usando a fórmula para fatorar um trinômio quadrado:

a capacidade de reduzir frações algébricas;

a capacidade de simplificar expressões algébricas;

capacidade de resolver equações;

capacidade de provar identidades.

O conteúdo principal da lição:

a) 3x + 5x - 2;

b) –x + 16x – 15;

c) x - 12x + 24;

d) -5x + 6x - 1.

№2. Reduza a fração:

№3. Simplifique a expressão:

№4. Resolva a equação:

b)

Durante as aulas:

I. Etapa de atualização do conhecimento.

Motivação da atividade educativa.

a) da história:

b) palavras cruzadas:

Treinamento de aquecimento da mente - palavras cruzadas:

Horizontalmente:

1) A raiz do segundo grau é chamada .... (quadrado)

2) Valores de variáveis ​​em que a equação se torna uma verdadeira igualdade (raízes)

3) Uma igualdade contendo uma incógnita é chamada ... (equação)

4) cientista indianoquem delineou regra geral resolvendo equações quadráticas (Brahmagupta)

5) Os coeficientes da equação quadrática são ... (números)

6) Um antigo cientista grego que inventou um método geométrico para resolver equações (Euclides)

7) Teorema que liga os coeficientes e as raízes de uma equação quadrática (Vieta)

8) “distinguir”, definir as raízes de uma equação quadrática é ... (discriminante)

Adicionalmente:

Se D>0, quantas raízes? (dois)

Se D=0, quantas raízes? (1)

Se D<0, сколько корней? (нет действительных корней)

Horizontal e verticalmente, o tópico da lição: "Trinômio quadrado"

b) motivação:

Este tópico é fundamental na seção "Transformações de identidade de expressões algébricas". Portanto, é importante que você automaticamente seja capaz não apenas de ver fórmulas de fatoração em exemplos, mas também de aplicá-las em outras tarefas: como reduzir frações, resolver equações, transformar expressões, provar identidades.

Hoje vamos nos concentrar na fatoração do trinômio quadrado:

II. Aprendendo novos materiais.

Tópico: Trinômio quadrado e suas raízes.

A teoria geral de polinômios em muitas variáveis ​​está muito além do escopo de um curso escolar. Portanto, nos limitamos ao estudo de polinômios de uma variável real, e mesmo assim nos casos mais simples. Considere polinômios de uma variável reduzidos à forma padrão.

A raiz do polinômio é o valor da variável em que o valor do polinômio é igual a zero. Isso significa que, para encontrar as raízes de um polinômio, é necessário igualá-lo a zero, ou seja, resolva a equação.

Raiz polinomial de primeiro grau
fácil de encontrar
. Exame:
.

As raízes de um trinômio quadrado podem ser encontradas resolvendo a equação:
.

De acordo com a fórmula das raízes da equação quadrática, encontramos:

;

Teorema (na fatoração de um trinômio quadrado ):

Se um e - raízes de um trinômio quadrado
, Onde ≠ 0,

então .

Prova:

Realizamos as seguintes transformações do trinômio quadrado:

=
=
=

=
=
=

=
=

Uma vez que o discriminante
, Nós temos:

=
=

Aplicamos a fórmula da diferença de quadrados entre colchetes e obtemos:

=
=
,

como
;
. O teorema foi provado.

A fórmula resultante é chamada de fórmulafatoração de um trinômio quadrado.

III. Formação de competências e habilidades.

№1. Fatorize o trinômio quadrado:

a) 3x + 5x - 2;

Decisão:

Resposta: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)

Na mesa:

b) –5x + 6x – 1;

Adicionalmente:

c) x - 12x + 24;

d) –x + 16x – 15.

№2. Reduza a fração:

a)

№4. Resolva a equação:

b)

4. Teste primário de domínio do conhecimento.

a) Teste.

Opção 1.

1. Encontre as raízes de um trinômio quadrado:2x 2 -9x-5

Responda:

2. Qual polinômio deve ser substituído pelas reticências para que a igualdade seja verdadeira:

b) Verificação mútua por opções (respostas e parâmetros de avaliação são ilustrados).

c) Reflexão.

V. Dever de casa.

Calculadora on-line.
Seleção do quadrado do binômio e fatoração do trinômio quadrado.

Este programa de matemática extrai o quadrado do binômio do trinômio quadrado, ou seja faz uma transformação da forma:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q\) e fatora o trinômio quadrado: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Aqueles. os problemas são reduzidos a encontrar os números \(p, q \) e \(n, m \)

O programa não só dá a resposta ao problema, mas também mostra o processo de solução.

Este programa pode ser útil para alunos do ensino médio em preparação para testes e exames, ao testar conhecimentos antes do Exame Estadual Unificado, para os pais controlarem a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro para você contratar um tutor ou comprar novos livros didáticos? Ou você só quer fazer sua lição de matemática ou álgebra o mais rápido possível? Neste caso, você também pode usar nossos programas com uma solução detalhada.

Desta forma, pode realizar a sua própria formação e/ou a formação dos seus irmãos ou irmãs mais novos, enquanto aumenta o nível de formação no domínio das tarefas a resolver.

Se você não estiver familiarizado com as regras para inserir um trinômio quadrado, recomendamos que você se familiarize com elas.

Regras para inserir um polinômio quadrado

Qualquer letra latina pode atuar como uma variável.
Por exemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Os números podem ser inseridos como inteiros ou frações.
Além disso, os números fracionários podem ser inseridos não apenas na forma de um decimal, mas também na forma de uma fração ordinária.

Regras para inserir frações decimais.
Em frações decimais, a parte fracionária pode ser separada do inteiro por um ponto ou uma vírgula.
Por exemplo, você pode inserir decimais como este: 2,5x - 3,5x^2

Regras para inserir frações ordinárias.
Apenas um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.

O denominador não pode ser negativo.

Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
A parte inteira é separada da fração por um e comercial: &
Entrada: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

Ao inserir uma expressão você pode usar colchetes. Neste caso, ao resolver, a expressão introduzida é primeiro simplificada.
Por exemplo: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Exemplo de solução detalhada

Seleção do quadrado do binômio.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Responda:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Fatoração.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\esquerda(x^2+x-2 \direita) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Responda:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Decidir

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Um pouco de teoria.

Extração de um binômio quadrado de um trinômio quadrado

Se o trinômio quadrado ax 2 + bx + c é representado como a (x + p) 2 + q, onde p e q são números reais, então eles dizem que de trinômio quadrado, o quadrado do binômio é destacado.

Vamos extrair o quadrado do binômio do trinômio 2x 2 +12x+14.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Para fazer isso, representamos 6x como um produto de 2 * 3 * x e, em seguida, adicionamos e subtraímos 3 2 . Nós temos:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Que. nós selecionou o quadrado do binômio do trinômio quadrado, e mostrou que:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Fatoração de um trinômio quadrado

Se o trinômio quadrado ax 2 +bx+c é representado como a(x+n)(x+m), onde n e m são números reais, então diz-se que a operação foi realizada fatorações de um trinômio quadrado.

Vamos usar um exemplo para mostrar como essa transformação é feita.

Vamos fatorar o trinômio quadrado 2x 2 +4x-6.

Vamos tirar o coeficiente a dos parênteses, ou seja. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Vamos transformar a expressão entre colchetes.
Para fazer isso, representamos 2x como a diferença 3x-1x e -3 como -1*3. Nós temos:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Que. nós fatorar o trinômio quadrado, e mostrou que:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Observe que a fatoração de um trinômio quadrado só é possível quando a equação quadrática correspondente a esse trinômio tem raízes.
Aqueles. no nosso caso, fatorar o trinômio 2x 2 +4x-6 é possível se a equação quadrática 2x 2 +4x-6 =0 tiver raízes. No processo de fatoração, descobrimos que a equação 2x 2 +4x-6 =0 tem duas raízes 1 e -3, porque com esses valores, a equação 2(x-1)(x+3)=0 se transforma em uma verdadeira igualdade.

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O estudo de muitas leis físicas e geométricas muitas vezes leva à solução de problemas com parâmetros. Algumas universidades também incluem equações, desigualdades e seus sistemas em bilhetes de exames, que geralmente são muito complexos e exigem uma abordagem não padronizada para resolver. Na escola, esta uma das seções mais difíceis do curso escolar de álgebra é considerada apenas em algumas disciplinas eletivas ou disciplinares.
Na minha opinião, o método gráfico-funcional é uma maneira conveniente e rápida de resolver equações com um parâmetro.
Como se sabe, em relação às equações com parâmetros, existem duas formulações do problema.

1. Resolva a equação (para cada valor do parâmetro, encontre todas as soluções para a equação).
2. Encontre todos os valores do parâmetro, para cada um dos quais a solução da equação satisfaz as condições dadas.

Neste artigo, consideramos e estudamos o problema do segundo tipo em relação às raízes de um trinômio quadrado, cuja descoberta se reduz à resolução de uma equação quadrática.
O autor espera que este trabalho ajude os professores no desenvolvimento das aulas e na preparação dos alunos para o exame.

1. Qual é o parâmetro

Expressão do formulário ah 2 + bx + c em um curso de álgebra escolar é chamado de trinômio quadrado em relação a X, Onde a, b, c recebem números reais, além disso, uma=/= 0. Os valores da variável x, nos quais a expressão desaparece, são chamados de raízes de um trinômio quadrado. Para encontrar as raízes de um trinômio quadrado, é necessário resolver a equação quadrática ah 2 + bx + c = 0.
Lembre-se das equações básicas do curso de álgebra da escola ax + b = 0;
ax2 + bx + c = 0. Ao procurar suas raízes, os valores das variáveis a, b, c, incluídos na equação são considerados fixos e dados. As próprias variáveis ​​são chamadas de parâmetros. Como não há definição de parâmetros nos livros didáticos, proponho tomar como base a seguinte versão mais simples.

Definição.Um parâmetro é uma variável independente, cujo valor no problema é considerado um dado número real fixo ou arbitrário, ou um número pertencente a um conjunto predeterminado.

2. Principais tipos e métodos para resolver problemas com parâmetros

Entre as tarefas com parâmetros, os seguintes tipos principais de tarefas podem ser distinguidos.

1. Equações a serem resolvidas para qualquer valor do(s) parâmetro(s) ou para valores de parâmetro que pertencem a um conjunto predeterminado. Por exemplo. Resolva as equações: machado = 1, (uma - 2)x = a 2 – 4.
2. Equações para as quais você deseja determinar o número de soluções dependendo do valor do parâmetro (parâmetros). Por exemplo. Em quais valores do parâmetro uma a equação 4X 2 – 4ax + 1 = 0 tem uma única raiz?
3. Equações para as quais, para os valores desejados do parâmetro, o conjunto de soluções satisfaz as condições dadas no domínio de definição.

Por exemplo, encontre os valores dos parâmetros para os quais as raízes da equação ( uma - 2)X 2 – 2machado + a + 3 = 0 positivo.
As principais formas de resolver problemas com um parâmetro: analítico e gráfico.

Analítico- este é um método da chamada solução direta, repetindo os procedimentos padrão para encontrar uma resposta em problemas sem parâmetro. Vamos considerar um exemplo de tal tarefa.

Tarefa nº 1

Em quais valores do parâmetro a equação X 2 – 2machado + um 2 – 1 = 0 tem duas raízes diferentes pertencentes ao intervalo (1; 5)?

Decisão

X 2 – 2machado + um 2 – 1 = 0.
De acordo com a condição do problema, a equação deve ter duas raízes diferentes, e isso só é possível sob a condição: D > 0.
Temos: D = 4 uma 2 – 2(uma 2 - 1) = 4. Como você pode ver, o discriminante não depende de a, portanto, a equação tem duas raízes diferentes para quaisquer valores do parâmetro a. Vamos encontrar as raízes da equação: X 1 = uma + 1, X 2 = uma – 1
As raízes da equação devem pertencer ao intervalo (1; 5), ou seja,
Então, em 2<uma < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

Resposta: 2<uma < 4.
Tal abordagem para resolver problemas do tipo em consideração é possível e racional nos casos em que o discriminante da equação quadrática é “bom”, ou seja, é o quadrado exato de qualquer número ou expressão, ou as raízes da equação podem ser encontradas pelo teorema de Vieta inverso. Então, e as raízes não são expressões irracionais. Caso contrário, a solução de problemas desse tipo está associada a procedimentos bastante complicados do ponto de vista técnico. E a solução de desigualdades irracionais exige novos conhecimentos do aluno.

Gráfico- este é um método no qual os gráficos são usados ​​no plano de coordenadas (x; y) ou (x; a). A visibilidade e a beleza desse método de solução ajudam a encontrar uma maneira rápida de resolver o problema. Vamos resolver o problema número 1 graficamente.
Como é conhecido do curso de álgebra, as raízes de uma equação quadrática (trinômio quadrado) são os zeros da função quadrática correspondente: X 2 – 2Oh + uma 2 - 1. O gráfico da função é uma parábola, os ramos são direcionados para cima (o primeiro coeficiente é 1). O modelo geométrico que atende a todos os requisitos do problema fica assim.

Agora resta “fixar” a parábola na posição desejada com as condições necessárias.

1. Como a parábola tem dois pontos de intersecção com o eixo X, então D > 0.
2. O vértice da parábola está entre as linhas verticais. X= 1 e X= 5, portanto a abcissa do vértice da parábola x o pertence ao intervalo (1; 5), ou seja.
   1 <X cerca de< 5.
3. Nós notamos que no(1) > 0, no(5) > 0.

Assim, passando do modelo geométrico do problema para o analítico, obtemos um sistema de desigualdades.

Resposta: 2<uma < 4.

Como pode ser visto no exemplo, um método gráfico para resolver problemas do tipo em consideração é possível no caso em que as raízes são “ruins”, ou seja, conter um parâmetro sob o sinal do radical (neste caso, o discriminante da equação não é um quadrado perfeito).
Na segunda solução, trabalhamos com os coeficientes da equação e a imagem da função no = X 2 – 2Oh + uma 2 – 1.
Este método de resolução não pode ser chamado apenas de gráfico, porque. Aqui temos que resolver um sistema de desigualdades. Em vez disso, esse método é combinado: gráfico-funcional. Destes dois métodos, o último não é apenas elegante, mas também o mais importante, pois mostra a relação entre todos os tipos de um modelo matemático: uma descrição verbal do problema, um modelo geométrico - um gráfico de um trinômio quadrado, um modelo analítico - uma descrição de um modelo geométrico por um sistema de desigualdades.
Assim, consideramos um problema em que as raízes de um trinômio quadrado satisfazem as condições dadas no domínio de definição para os valores desejados do parâmetro.

E que outras condições possíveis podem ser satisfeitas pelas raízes de um trinômio quadrado para os valores desejados do parâmetro?

Encontrando as raízes de um trinômio quadrado

Metas: introduzir o conceito de trinômio quadrático e suas raízes; para formar a capacidade de encontrar as raízes de um trinômio quadrado.

Durante as aulas

I. Momento organizacional.

II. trabalho oral.

Qual dos números: -2; -1; 1; 2 - são as raízes das equações?

a) 8 X+ 16 = 0; dentro) X 2 + 3X – 4 = 0;

b) 5 X 2 – 5 = 0; G) X 3 – 3X – 2 = 0.

III. Explicação do novo material.

A explicação do novo material deve ser realizada de acordo com o seguinte esquema:

1) Introduzir o conceito de raiz polinomial.

2) Introduzir o conceito de trinômio quadrado e suas raízes.

3) Analise a questão do número possível de raízes de um trinômio quadrado.

A questão de extrair o quadrado de um binômio de um trinômio quadrado é melhor para ser tratada na próxima lição.

Em cada etapa de explicação de um novo material, é necessário oferecer aos alunos uma tarefa oral para testar a assimilação dos pontos principais da teoria.

Tarefa 1. Qual dos números: -1; 1; ; 0 - são as raízes do polinômio X 4 + 2X 2 – 3?

Tarefa 2. Quais dos seguintes polinômios são trinômios quadrados?

1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;

2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;

3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;

4) 3X 2 – ; 9) + 3X – 6;

5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .

Qual dos trinômios quadrados tem raiz 0?

Tarefa 3. Um trinômio quadrado pode ter três raízes? Por quê? Quantas raízes tem um trinômio quadrado X 2 + X – 5?

4. Formação de competências e habilidades.

Exercícios:

1. № 55, № 56, № 58.

2. Nº 59 (a, c, e), Nº 60 (a, c).

Nesta tarefa, você não precisa procurar as raízes dos trinômios quadrados. Basta encontrar o seu discriminante e responder à questão colocada.

a) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, então este trinômio quadrado tem duas raízes.

b) 9 X 2 + 6X + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, então o trinômio quadrado tem uma raiz.

às 7 X 2 + 6X – 2 = 0;

7X 2 – 6X + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

Se houver tempo, você pode fazer o número 63.

Decisão

Deixe ser machado 2 + bx + cé um dado trinômio quadrado. Na medida em que uma+ b +
+c= 0, então uma das raízes deste trinômio é igual a 1. Pelo teorema de Vieta, a segunda raiz é igual a . De acordo com a condição com = 4uma, então a segunda raiz deste trinômio quadrado é
.

Respostas: 1 e 4.

V. Os resultados da lição.

Questões

O que é uma raiz polinomial?

Que polinômio é chamado de trinômio quadrado?

Como encontrar as raízes de um trinômio quadrado?

Qual é o discriminante de um trinômio quadrado?

Quantas raízes um trinômio quadrado pode ter? Do que depende?

Trabalho de casa: Nº 57, Nº 59 (b, d, f), Nº 60 (b, d), Nº 62.

Você pode encontrar a raiz de um trinômio quadrado através do discriminante. Além disso, para o polinômio reduzido de segundo grau, o teorema de Vieta, baseado na razão dos coeficientes, é válido.

Instrução

• Equações quadráticas são um tópico bastante amplo na álgebra escolar. O lado esquerdo de tal equação é um polinômio de segundo grau da forma A x² + B x + C, ou seja. uma expressão de três monômios de graus variados da incógnita x. Para encontrar a raiz de um trinômio quadrado, você precisa calcular o valor de x para o qual essa expressão é igual a zero.
• Para resolver uma equação quadrática, você precisa encontrar o discriminante. Sua fórmula é consequência de destacar o quadrado completo do polinômio e é uma certa razão de seus coeficientes: D = B² - 4 A C.
• O discriminante pode assumir vários valores, inclusive ser negativo. E se os alunos mais jovens podem dizer com alívio que tal equação não tem raízes, então os alunos do ensino médio já são capazes de determiná-las com base na teoria dos números complexos. Portanto, pode haver três opções: O discriminante é um número positivo. Então as raízes da equação são: x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B - √D) / 2A;
  O discriminante foi para zero. Teoricamente, neste caso, a equação também tem duas raízes, mas praticamente são as mesmas: x1 \u003d x2 \u003d -B / 2 A;
  O discriminante é menor que zero. Um certo valor i² = -1 é introduzido no cálculo, o que permite escrever uma solução complexa: x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 \u003d (-B - i √ | D |) / 2 A.
• O método discriminante é válido para qualquer equação quadrática, porém, há situações em que é aconselhável utilizar um método mais rápido, principalmente para coeficientes inteiros pequenos. Este método é chamado de teorema de Vieta e consiste em um par de razões entre os coeficientes no trinômio reduzido: x² + P x + Q
  x1 + x2 = -P;
  x1 x2 = Q. Resta apenas pegar as raízes.
• Deve-se notar que a equação pode ser reduzida a uma forma semelhante. Para fazer isso, você precisa dividir todos os termos do trinômio pelo coeficiente no grau mais alto A: A x² + B x + C | A
  x² + B/A x + C/A
  x1 + x2 = -B/A;
  x1 x2 = C/A.