Como resolver frações decimais. Decimais. O conceito de fração decimal
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Ja entrou escola primaria os alunos estão lidando com frações. E então eles aparecem em todos os tópicos. É impossível esquecer ações com esses números. Portanto, você precisa conhecer todas as informações sobre frações ordinárias e decimais. Esses conceitos são simples, o principal é entender tudo em ordem.
Por que as frações são necessárias?
O mundo ao nosso redor consiste em objetos inteiros. Portanto, não há necessidade de ações. Mas vida cotidiana constantemente empurra as pessoas para trabalhar com partes de objetos e coisas.
Por exemplo, o chocolate consiste em várias fatias. Considere a situação em que seu ladrilho é formado por doze retângulos. Se você dividi-lo em dois, você obtém 6 partes. Será bem dividido em três. Mas os cinco não poderão dar um número inteiro de fatias de chocolate.
A propósito, essas fatias já são frações. E sua divisão adicional leva ao aparecimento de números mais complexos.
O que é uma "fração"?
Este é um número que consiste em partes de um. Externamente, parece dois números separados por uma barra ou horizontal. Esse recurso é chamado de fracionário. O número escrito na parte superior (esquerda) é chamado de numerador. O que está na parte inferior (direita) é o denominador.
Na verdade, a barra fracionária acaba sendo um sinal de divisão. Ou seja, o numerador pode ser chamado de dividendo e o denominador pode ser chamado de divisor.
Quais são as frações?
Em matemática, existem apenas dois tipos deles: frações ordinárias e decimais. As crianças em idade escolar são apresentadas pela primeira vez escola primaria, chamando-os simplesmente de "frações". O segundo aprende na 5ª série. É quando esses nomes aparecem.
Frações comuns são todas aquelas que são escritas como dois números separados por uma barra. Por exemplo, 4/7. Decimal é um número em que a parte fracionária tem uma notação posicional e é separada do inteiro por uma vírgula. Por exemplo, 4.7. Os alunos precisam deixar claro que os dois exemplos dados são números completamente diferentes.
Cada fração simples pode ser escrito como um decimal. Esta afirmação é quase sempre verdadeira no sentido inverso também. Existem regras que permitem escrever uma fração decimal como uma fração ordinária.
Que subespécies esses tipos de frações têm?
Melhor começar em ordem cronológica como estão sendo estudados. As frações comuns vêm primeiro. Entre eles, 5 subespécies podem ser distinguidas.
Correto. Seu numerador é sempre menor que o denominador.
Errado. Seu numerador é maior ou igual ao denominador.
Redutível / irredutível. Pode ser certo ou errado. Outra coisa é importante, se o numerador e o denominador têm fatores comuns. Se houver, eles devem dividir ambas as partes da fração, ou seja, reduzi-la.
Misturado. Um inteiro é atribuído à sua parte fracionária correta (incorreta) usual. E sempre fica à esquerda.
Composto. É formado por duas frações divididas entre si. Ou seja, tem três características fracionárias ao mesmo tempo.
Decimais têm apenas duas subespécies:
final, ou seja, aquele em que a parte fracionária é limitada (tem fim);
infinito - um número cujos dígitos após o ponto decimal não terminam (eles podem ser escritos infinitamente).
Como converter decimal para ordinário?
Se este é um número finito, então uma associação baseada na regra é aplicada - como ouço, então escrevo. Ou seja, você precisa lê-lo corretamente e anotá-lo, mas sem vírgula, mas com uma linha fracionária.
Como uma dica sobre o denominador necessário, lembre-se de que é sempre um e alguns zeros. Este último precisa ser escrito tantos quanto os dígitos na parte fracionária do número em questão.
Como converter frações decimais em frações ordinárias se elas parte inteira ausente, ou seja, igual a zero? Por exemplo, 0,9 ou 0,05. Depois de aplicar a regra especificada, você precisa escrever zero inteiros. Mas não é indicado. Resta escrever apenas as partes fracionárias. O primeiro número terá um denominador de 10, o segundo terá um denominador de 100. Ou seja, esses exemplos as respostas terão números: 9/10, 5/100. Além disso, o último acaba sendo possível reduzir por 5. Portanto, o resultado para ele deve ser escrito 1/20.
Como fazer uma fração ordinária de um decimal se sua parte inteira for diferente de zero? Por exemplo, 5,23 ou 13,00108. Ambos os exemplos lêem a parte inteira e escrevem seu valor. No primeiro caso, isso é 5, no segundo, 13. Então você precisa passar para a parte fracionária. Com eles é necessário realizar a mesma operação. O primeiro número tem 23/100, o segundo tem 108/100000. O segundo valor precisa ser reduzido novamente. A resposta é assim frações mistas: 5 23/100 e 13 27/25000.
Como converter um decimal infinito em uma fração comum?
Se não for periódico, essa operação não poderá ser realizada. Este fato se deve ao fato de que cada fração decimal é sempre convertida em final ou periódica.
A única coisa que se pode fazer com essa fração é arredondá-la. Mas então o decimal será aproximadamente igual a esse infinito. Já pode ser transformado em um comum. Mas o processo inverso: converter para decimal - nunca dará valor inicial. Ou seja, infinitas frações não periódicas não são traduzidas em frações ordinárias. Isso deve ser lembrado.
Como escrever uma fração periódica infinita na forma de uma ordinária?
Nesses números, sempre aparecem um ou mais dígitos após a vírgula, que se repetem. Eles são chamados de períodos. Por exemplo, 0,3(3). Aqui "3" no período. Eles são classificados como racionais, pois podem ser convertidos em frações ordinárias.
Quem já encontrou frações periódicas sabe que elas podem ser puras ou mistas. No primeiro caso, o ponto começa imediatamente a partir da vírgula. No segundo, a parte fracionária começa com qualquer número e, em seguida, começa a repetição.
A regra pela qual você precisa escrever um decimal infinito na forma de uma fração comum será diferente para esses dois tipos de números. É muito fácil escrever frações periódicas puras como frações ordinárias. Assim como os finais, eles precisam ser convertidos: escreva o ponto no numerador e o número 9 será o denominador, repetindo quantas vezes houver dígitos no ponto.
Por exemplo, 0,(5). O número não tem uma parte inteira, então você precisa prosseguir imediatamente para a parte fracionária. Escreva 5 no numerador e no denominador 9. Ou seja, a resposta será a fração 5/9.
Uma regra sobre como escrever uma fração decimal comum que é uma fração mista.
Veja a duração do período. Tanto 9 terá um denominador.
Anote o denominador: primeiros noves, depois zeros.
Para determinar o numerador, você precisa escrever a diferença de dois números. Todos os dígitos após o ponto decimal serão reduzidos, juntamente com o ponto. Subtraível - é sem período.
Por exemplo, 0,5(8) - escreva a fração decimal periódica como uma fração comum. A parte fracionária antes do período é um dígito. Então zero será um. Há também apenas um dígito no período - 8. Ou seja, há apenas um nove. Ou seja, você precisa escrever 90 no denominador.
Para determinar o numerador de 58, você precisa subtrair 5. Acontece 53. Por exemplo, você terá que escrever 53/90 como resposta.
Como as frações comuns são convertidas em decimais?
pelo mais opção simples verifica-se o número no denominador do qual é o número 10, 100 e assim por diante. Em seguida, o denominador é simplesmente descartado e uma vírgula é colocada entre as partes fracionária e inteira.
Há situações em que o denominador facilmente se transforma em 10, 100, etc. Por exemplo, os números 5, 20, 25. Basta multiplicá-los por 2, 5 e 4, respectivamente. Só é necessário multiplicar não apenas o denominador, mas também o numerador pelo mesmo número.
Para todos os outros casos, uma regra simples será útil: divida o numerador pelo denominador. Nesse caso, você pode obter duas respostas: uma fração decimal final ou periódica.
Operações com frações comuns
Adição e subtração
Os alunos os conhecem mais cedo do que os outros. E no início as frações têm os mesmos denominadores, e depois diferentes. Regras gerais pode ser reduzido a tal plano.
Encontre o mínimo múltiplo comum dos denominadores.
Escreva fatores adicionais para todas as frações ordinárias.
Multiplique os numeradores e denominadores pelos fatores definidos para eles.
Adicione (subtraia) os numeradores das frações e deixe o denominador comum inalterado.
Se o numerador do minuendo for menor que o subtraendo, você precisa descobrir se temos um número misto ou uma fração própria.
No primeiro caso, a parte inteira precisa receber um. Adicione um denominador ao numerador de uma fração. E então faça a subtração.
No segundo - é necessário aplicar a regra de subtração de um número menor para um maior. Ou seja, subtraia o módulo do minuendo do módulo do subtraendo e coloque o sinal “-” na resposta.
Observe atentamente o resultado da adição (subtração). Se você obtiver uma fração imprópria, deve selecionar a parte inteira. Ou seja, divida o numerador pelo denominador.
Multiplicação e divisão
Para sua implementação, as frações não precisam ser reduzidas a denominador comum. Isso facilita a ação. Mas eles ainda têm que seguir as regras.
Ao multiplicar frações ordinárias, é necessário considerar os números nos numeradores e denominadores. Se qualquer numerador e denominador têm um fator comum, então eles podem ser reduzidos.
Multiplique os numeradores.
Multiplique os denominadores.
Se você obtiver uma fração redutível, ela deverá ser simplificada novamente.
Ao dividir, você deve primeiro substituir a divisão por multiplicação e o divisor (segunda fração) por um recíproco (trocar o numerador e o denominador).
Em seguida, proceda como na multiplicação (começando do ponto 1).
Nas tarefas em que você precisa multiplicar (dividir) por um inteiro, o último deve ser escrito na forma Fração imprópria. Ou seja, com denominador 1. Em seguida, proceda conforme descrito acima.
Operações com decimais
Adição e subtração
Claro, você sempre pode transformar um decimal em uma fração comum. E agir de acordo com o plano já descrito. Mas às vezes é mais conveniente agir sem essa tradução. Então as regras para sua adição e subtração serão exatamente as mesmas.
Equalize o número de dígitos na parte fracionária do número, ou seja, após o ponto decimal. Atribua o número ausente de zeros nele.
Escreva frações de modo que a vírgula fique sob a vírgula.
Adicione (subtraia) como números naturais.
Remova a vírgula.
Multiplicação e divisão
É importante que você não precise acrescentar zeros aqui. As frações devem ser deixadas como são dadas no exemplo. E então vá de acordo com o plano.
Para a multiplicação, você precisa escrever frações uma sob a outra, sem prestar atenção às vírgulas.
Multiplique como os números naturais.
Coloque uma vírgula na resposta, contando a partir da extremidade direita da resposta quantos dígitos houver nas partes fracionárias de ambos os fatores.
Para dividir, você deve primeiro converter o divisor: torná-lo um número natural. Ou seja, multiplique por 10, 100, etc., dependendo de quantos dígitos estão na parte fracionária do divisor.
Multiplique o dividendo pelo mesmo número.
Divida um decimal por um número natural.
Coloque uma vírgula na resposta no momento em que a divisão de toda a parte terminar.
E se houver ambos os tipos de frações em um exemplo?
Sim, em matemática muitas vezes há exemplos em que você precisa realizar operações em frações ordinárias e decimais. Há duas soluções possíveis para esses problemas. Você precisa pesar objetivamente os números e escolher o melhor.
Primeira maneira: representar decimais comuns
É adequado se, ao dividir ou converter, forem obtidas frações finais. Se pelo menos um número fornecer uma parte periódica, essa técnica é proibida. Portanto, mesmo que você não goste de trabalhar com frações ordinárias, terá que contá-las.
A segunda maneira: escrever frações decimais como ordinárias
Esta técnica é conveniente se houver 1-2 dígitos na parte após o ponto decimal. Se houver mais deles, pode ser muito grande. fração comum e as entradas decimais permitirão que você calcule a tarefa com mais rapidez e facilidade. Portanto, é sempre necessário avaliar com sobriedade a tarefa e escolher o método de solução mais simples.
FRAÇÕES DECIMAL. AÇÕES SOBRE FRAÇÕES DECIMAL
(resumo da lição)
Tumysheva Zamira Tansykbaevna, professora de matemática, escola-ginásio nº 2
Khromtau, região de Aktobe, República do Cazaquistão
Este desenvolvimento da lição pretende ser uma lição-generalização do capítulo "Ações sobre frações decimais". Pode ser usado tanto no 5º ano como no 6º ano. A aula é conduzida na forma de um jogo.
Decimais. Operações sobre decimais.(resumo da lição)
Alvo:
Praticar as habilidades e habilidades de adição, subtração, multiplicação e divisão de frações decimais em números naturais e frações decimais
Criação de condições para o desenvolvimento de competências trabalho independente, autocontrole e autoestima, desenvolvimento de qualidades intelectuais: atenção, imaginação, memória, capacidade de analisar e generalizar
instilar interesse cognitivo ao assunto e desenvolver a autoconfiança
PLANO DE AULA:
1. Parte organizacional.
3. O tema e propósito de nossa lição.
4. O jogo "Para a bandeira preciosa!"
5. O jogo "Moinho de números".
6. Digressão lírica.
8. O jogo "Criptografia" (trabalho em pares)
9. Resumindo.
10. Trabalho de casa.
1. Parte organizacional. Olá. Sente-se.
2. Uma visão geral das regras para realizar operações aritméticas com frações decimais.
Regra para somar e subtrair decimais:
1) igualar o número de casas decimais nessas frações;
2) escreva um embaixo do outro para que a vírgula fique embaixo da vírgula;
3) sem perceber a vírgula, execute uma ação (adição ou subtração) e coloque uma vírgula sob as vírgulas como resultado.
3,455 + 0,45 = 3,905 3,5 + 4 = 7,5 15 – 7,88 = 7,12 4,57 - 3,2 = 1,37
3,455 + 3,5 _15,00 _ 4,57
0,450 4,0 7,88 3,20
3,905 7,5 7,12 1,37
Ao adicionar e subtrair, os números naturais são escritos como uma fração decimal com casas decimais iguais a zero.
Regra para multiplicar decimais:
1) ignorando a vírgula, multiplique os números;
2) no produto resultante, separe tantos dígitos da direita para a esquerda com uma vírgula quanto forem separados por uma vírgula em frações decimais.
Ao multiplicar uma fração decimal por unidades de bits (10, 100, 1000, etc.), a vírgula é movida para a direita por tantos números quantos os zeros na unidade de bits
4
17,25 4 = 69
x 1 7,2 5
4
6 9,0 0
15,256 100 = 1525,6
0,5 0,52 = 2,35X 0,5 2
4,5
2 7 0
2 0 8__
2,3 5 0
Ao multiplicar, os números naturais são escritos como números naturais.
A regra para dividir frações decimais por um número natural:
1) divida toda a parte do dividendo, coloque uma vírgula no privado;
2) continue dividindo.
Ao dividir para o resto, retiramos apenas um número do dividendo.
Se no processo de divisão de uma fração decimal resta um resto, então, atribuindo-lhe o número necessário de zeros, continuamos a divisão até que o resto seja zero.
15,256: 100 = 0,15256
0,25: 1000 = 0,00025
Ao dividir uma fração decimal em unidades de bits (10, 100, 1000, etc.), a vírgula é movida para a esquerda por tantos números quantos forem os zeros na unidade de bits.
18,4: 8 = 2,3
_ 18,4 І_8_
16 2,3
2 4
2 4
22,2: 25 = 0,88
22,2 І_25_
0 0,888
22 2
20 0
2 20
2 00
200
200
3,56: 4 = 0,89
3,56 І_4_
0 0,89
3 5
3 2
36
Ao dividir, os números naturais são escritos como números naturais.
Regra para dividir decimais por decimais:
1) movemos a vírgula no divisor para a direita para obter um número natural;
2) mova a vírgula no dividendo à direita de tantos números quantos foram movidos no divisor;
3) dividimos a fração decimal por um número natural.
3,76: 0,4 = 9, 4
_ 3,7,6 I_0,4,_
3 6 9, 4
1 6
1 6
0
O jogo "Para a bandeira querida!"
Regras do jogo: De cada equipe, um aluno é chamado para a mesa, que realiza uma contagem oral a partir do degrau inferior. O solucionador de um exemplo marca a resposta na tabela. Em seguida, ele é substituído por outro membro da equipe. Há um movimento para cima - para a bandeira cobiçada. Os alunos em campo verificam verbalmente os resultados de seus jogadores. Se a resposta estiver errada, outro membro da equipe vem ao conselho para continuar resolvendo os problemas. Os capitães das equipes chamam os alunos para trabalhar no quadro. A primeira equipe a alcançar a bandeira com o menor número de alunos vence.
Jogo "Moinho de Números"
Regras do jogo: Os números são escritos nos círculos do moinho. As setas conectando os círculos indicam as ações. A tarefa é realizar ações sequenciais, movendo-se ao longo da seta do centro para o círculo externo. Realizando ações sequenciais ao longo da rota indicada, você encontrará a resposta em um dos círculos abaixo. O resultado da execução de ações para cada seta está escrito no oval ao lado dela.
Digressão lírica.
Poema de Lifshitz "Três décimos"
Quem é
Do portfólio
Joga em aborrecimento
quebra-cabeça odioso,
Estojo de lápis e cadernos
E cola seu diário.
Sem corar,
Sob um aparador de carvalho.
Deitar debaixo do aparador? ..
Por favor, conheça:
Kostya Zhigalin.
A vítima da eterna nit-picking, -
Ele falhou novamente.
E assobia
Para desgrenhado
Procurando livro de problemas:
Só não tenho sorte!
Eu sou apenas um perdedor!
Qual é a razão
Seu ressentimento e aborrecimento?
Que a resposta não se encaixava
Apenas três décimos.
Isso é um verdadeiro desperdício!
E para ele, claro,
encontrar erro
Estrito
Maria Petrovna.
Três décimos...
Fale-me sobre este erro
E, talvez, nos rostos
Você verá um sorriso.
Três décimos...
E ainda sobre esse erro
eu te imploro
Me escute
Nenhum sorriso.
Se b, construindo sua casa.
Aquele em que você mora.
Arquiteto
um pouco
Errado
Na contagem, -
O que aconteceria.
Você conhece Kostya Zhigalin?
Esta casa
teria virado
Em um monte de ruínas!
Você entra na ponte.
Ele é confiável e durável.
Não seja um engenheiro
Preciso em seus desenhos, -
Você, Kostya,
Caindo
no rio frio
Não diria obrigado
Aquela pessoa!
Aqui está a turbina.
Tem um eixo
Entediado por torneiros.
Se o torneiro
No trabalho
Não foi muito preciso.
Seria feito, Kostya,
Grande desgraça:
Isso destruiria a turbina
em peças pequenas!
Três décimos -
E as paredes
Estão sendo erguidos
Koso!
Três décimos -
E desmoronar
carroças
Fora da ladeira!
cometer um erro
Apenas três décimos
Farmacia, -
Remédio vira veneno
Vai matar um homem!
Nós esmagamos e dirigimos
Gangue fascista.
Seu pai deu
Comando da bateria.
Errar na chegada
Pelo menos três décimos
As conchas não ultrapassariam
Malditos fascistas.
Pense nisso
Meu amigo, a sangue frio
E diz.
Não estava certo
Maria Petrovna?
Para ser honesto
Pense nisso, Kostya.
Não é muito tempo para mentir
Diário sob o buffet!
Trabalho de teste sobre o tópico "Frações decimais" (matemática -5)
9 slides aparecerão na tela em sequência. Os alunos anotam o número da opção e as respostas para a pergunta em seus cadernos. Por exemplo, a opção 2
1. C; 2. A; etc.
QUESTÃO 1
Opção 1
Ao multiplicar uma fração decimal por 100, você precisa mover a vírgula nesta fração:
A. à esquerda por 2 dígitos; B. à direita por 2 dígitos; C. não mude o lugar da vírgula.
opção 2
Ao multiplicar uma fração decimal por 10, você precisa mover a vírgula nesta fração:
A. direito 1 dígito; B. à esquerda por 1 dígito; C. não mude o lugar da vírgula.
QUESTÃO 2
Opção 1
A soma 6,27 + 6,27 + 6,27 + 6,27 + 6,27 como produto é escrita da seguinte forma:
A. 6,27 5; B. 6,27 6,27; S. 6.27 4.
opção 2
A soma 9,43 + 9,43 + 9,43 + 9,43 como produto é escrita da seguinte forma:
A. 9,43 9,43; B. 6 9,43; S. 9.43 4.
QUESTÃO 3
Opção 1
No produto 72,43 18 após a vírgula será:
opção 2
No produto de 12,453 35 após a vírgula será:
A. 2 dígitos; B. 0 dígitos; C. 3 dígitos.
PERGUNTA 4
Opção 1
No quociente 76,4:2 após o ponto decimal será:
A. 2 dígitos; B. 0 dígitos; C. 1 dígito.
opção 2
Em privado 95.4:6 após o ponto decimal será:
A. 1 dígito; B. 3 dígitos; C. 2 dígitos.
PERGUNTA 5
Opção 1
Encontre o valor da expressão 34,5: x + 0,65 y, em x=10 y=100:
A. 35,15; B. 68,45; S. 9,95.
opção 2
Encontre o valor da expressão 4,9 x +525:y, em x=100 y=1000:
A. 4905,25; B. 529,9; pág. 490.525.
PERGUNTA 6
Opção 1
A área de um retângulo com lados 0,25 e 12 cm é
A. 3; B. 0,3; S. 30.
opção 2
A área de um retângulo com lados 0,5 e 36 cm é
A. 1,8; V. 18; C. 0,18.
PERGUNTA 7
Opção 1
Dois alunos saíram da escola ao mesmo tempo em direções opostas. A velocidade do primeiro aluno é de 3,6 km/h, a velocidade do segundo aluno é de 2,56 km/h. Após 3 horas a distância entre eles será:
A. 6,84 km; V. 18,48 km; S. 3,12 km
opção 2
Dois ciclistas deixaram a escola ao mesmo tempo em direções opostas. A velocidade do primeiro é de 11,6 km/h, a velocidade do segundo é de 13,06 km/h. Após 4 horas a distância entre eles será:
A. 5,84 km; V. 100,8 km; S. 98,64 km
Opção 1
opção 2
Verifique suas respostas. Coloque um "+" para uma resposta correta e um "-" para uma resposta incorreta.
Jogo "Criptografia"
Regras do jogo: Cada mesa recebe um cartão com uma tarefa que contém uma letra-código. Após completar os passos e obter o resultado, anote a letra-código do seu cartão sob o número correspondente à sua resposta.
Como resultado, temos a proposta:
6,8
420
21,6
420
306
65,8
21,6
Resumindo a lição.
As pontuações para o trabalho de teste são anunciadas.
Lição de casa nº 1301, 1308, 1309
Obrigado pela sua atenção!!!
A fração decimal é usada quando você precisa realizar operações em números não inteiros. Isso pode parecer irracional. Mas este tipo de números facilita muito as operações matemáticas que devem ser realizadas com eles. Essa compreensão vem com o tempo, quando sua escrita se torna familiar, e a leitura não causa dificuldades, e as regras das frações decimais são dominadas. Além disso, todas as ações repetem as já conhecidas, que são aprendidas números naturais. Você só precisa se lembrar de alguns recursos.
Definição decimal
Um decimal é uma representação especial de um número não inteiro com um denominador que é divisível por 10 e a resposta é um e possivelmente zeros. Em outras palavras, se o denominador for 10, 100, 1000 e assim por diante, é mais conveniente reescrever o número usando uma vírgula. Em seguida, a parte inteira será localizada antes dela e, em seguida, a parte fracionária. Além disso, o registro da segunda metade do número dependerá do denominador. O número de dígitos que estão na parte fracionária deve ser igual ao denominador.
O acima pode ser ilustrado com estes números:
9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.
Razões para usar decimais
Os matemáticos precisavam de decimais por várias razões:
Simplifique a gravação. Essa fração está localizada ao longo de uma linha sem traço entre o denominador e o numerador, enquanto a clareza não sofre.
Simplicidade em comparação. Basta correlacionar os números que estão nas mesmas posições, enquanto com frações ordinárias seria necessário trazê-los para um denominador comum.
Simplificação dos cálculos.
As calculadoras não são projetadas para a introdução de frações ordinárias, elas usam a notação decimal para todas as operações.
Como ler esses números corretamente?
A resposta é simples: assim como um número misto comum com denominador múltiplo de 10. As únicas exceções são frações sem valor inteiro, então ao ler você precisa dizer “zero inteiros”.
Por exemplo, 45/1000 deve ser pronunciado como quarenta e cinco milésimos, enquanto 0,045 soará como zero ponto quarenta e cinco milésimos.
Um número misto com parte inteira igual a 7 e fração de 17/100, que será escrito como 7,17, em ambos os casos será lido como sete vírgula dezessete centésimos.
O papel dos dígitos na notação de frações
É verdade notar a descarga - é isso que a matemática exige. Decimais e seu significado podem mudar significativamente se você escrever um dígito no lugar errado. No entanto, isso já foi verdade antes.
Para ler os dígitos da parte inteira de uma fração decimal, basta usar as regras conhecidas para números naturais. E no lado direito eles são espelhados e lidos de forma diferente. Se "dezenas" soaram em toda a parte, depois do ponto decimal já serão "décimos".
Isso pode ser visto claramente nesta tabela.
| Aula | milhares | unidades | , | fração | |||||||
| descarga | centenas | dezembro | unidades | centenas | dezembro | unidades | décimo | centésimo | milésimo | décimo milésimo | |
Como escrever um número misto como um decimal?
Se o denominador contiver um número igual a 10 ou 100 e outros, a questão de como converter uma fração em um decimal é simples. Para fazer isso, basta reescrever todas as suas partes constituintes de uma maneira diferente. Os seguintes pontos ajudarão nisso:
escreva o numerador da fração um pouco de lado, neste momento a vírgula está localizada à direita, após o último dígito;
mova a vírgula para a esquerda, o mais importante aqui é contar corretamente os números - você precisa movê-la quantas posições houver zeros no denominador;
se não houver o suficiente, os zeros devem aparecer em posições vazias;
zeros que estavam no final do numerador não são mais necessários e podem ser riscados;
adicione uma parte inteira antes da vírgula, se não estiver lá, zero também aparecerá aqui.
Atenção. Você não pode riscar zeros que estão cercados por outros números.
Você pode ler sobre como estar em uma situação em que o denominador contém um número não apenas um e zeros, como converter uma fração em um decimal, você pode ler um pouco mais baixo. Isso é informação importante que definitivamente vale a pena conferir.
Como converter uma fração para um decimal se o denominador for um número arbitrário?
Há duas opções aqui:
Quando o denominador pode ser representado como um número que é dez elevado a qualquer potência.
Se tal operação não puder ser feita.
Como verificar isso? Você precisa fatorar o denominador. Se apenas 2 e 5 estiverem presentes no produto, tudo estará bem e a fração será facilmente convertida em um decimal final. Caso contrário, se 3, 7 e outros aparecerem números primos, então o resultado será infinito. É costume arredondar essa fração decimal para facilitar o uso em operações matemáticas. Isso será discutido um pouco mais abaixo.
Estudando como essas frações decimais são obtidas, 5ª série. Exemplos serão muito úteis aqui.
Deixe os denominadores conterem os números: 40, 24 e 75. Decomposição em fatores primos para eles será:
- 40=2 2 2 5;
- 24=2 2 2 3;
- 75=5 5 3.
Nestes exemplos, apenas a primeira fração pode ser representada como uma fração final.
Algoritmo para converter uma fração ordinária em um decimal final
Verifique a fatoração do denominador em fatores primos e certifique-se de que consistirá em 2 e 5.
Adicione a esses números tantos 2 e 5 que eles se tornem um número igual. Eles darão o valor do multiplicador adicional.
Multiplique o denominador e o numerador por este número. O resultado é uma fração ordinária, sob a linha da qual há 10 até certo ponto.
Se na tarefa essas ações forem executadas com um número misto, ele deverá primeiro ser representado como fração errada. E só então agir de acordo com o cenário descrito.
Representação de uma fração comum como um decimal arredondado
Esta maneira de converter uma fração para um decimal parecerá ainda mais fácil para alguém. Porque não tem um grande número ações. Basta dividir o numerador pelo denominador.
Qualquer número com uma parte decimal à direita da vírgula pode receber um número infinito de zeros. Esta propriedade deve ser usada.
Primeiro, anote a parte inteira e coloque uma vírgula depois dela. Se a fração estiver correta, escreva zero.
Em seguida, é necessário realizar a divisão do numerador pelo denominador. Para que tenham o mesmo número de dígitos. Ou seja, atribua à direita do numerador quantidade certa zeros.
Completar divisão em coluna até que o número necessário de dígitos tenha sido discado. Por exemplo, se você precisar arredondar para centésimos, deve haver 3 deles na resposta. Em geral, deve haver um dígito a mais do que o necessário para obter no final.
Anote a resposta intermediária após a vírgula e arredonde de acordo com as regras. Se o último dígito for de 0 a 4, basta descartá-lo. E quando for igual a 5-9, então o da frente deve ser aumentado em um, descartando o último.
Retornar de decimal para ordinário
Em matemática, há problemas quando é mais conveniente representar frações decimais na forma de frações ordinárias, nas quais há um numerador com um denominador. Você pode respirar aliviado: esta operação é sempre possível.
Para este procedimento, você precisa fazer o seguinte:
anote a parte inteira, se for igual a zero, então nada precisa ser escrito;
desenhe uma linha fracionária;
acima dele, escreva os números do lado direito, se os primeiros forem zeros, eles devem ser riscados;
sob a linha, escreva uma unidade com tantos zeros quantos os dígitos após a vírgula na fração original.
Isso é tudo que você precisa fazer para converter um decimal em uma fração comum.
O que você pode fazer com decimais?
Em matemática, serão determinadas ações com frações decimais que foram realizadas anteriormente para outros números.
Eles estão:
comparação;
adição e subtração;
multiplicação e divisão.
A primeira ação, a comparação, é semelhante a como foi feita para os números naturais. Para determinar qual é maior, você precisa comparar os dígitos da parte inteira. Se eles forem iguais, eles mudam para o fracionário e os comparam da mesma maneira por dígitos. O número com o maior dígito na ordem mais alta será a resposta.
Adição e subtração de decimais
Este é talvez o mais passos simples. Porque eles são executados de acordo com as regras para números naturais.
Portanto, para adicionar frações decimais, elas precisam ser escritas uma sob a outra, colocando vírgulas em uma coluna. Com esse registro, as partes inteiras aparecem à esquerda das vírgulas e as partes fracionárias à direita. E agora você precisa adicionar os números pouco a pouco, como é feito com os números naturais, movendo a vírgula para baixo. Você precisa começar a adicionar a partir do menor dígito da parte fracionária do número. Se não houver números suficientes na metade direita, adicione zeros.
A subtração funciona da mesma maneira. E aqui se aplica a regra, que descreve a possibilidade de tirar uma unidade do dígito mais alto. Se a fração reduzida tiver menos dígitos após o ponto decimal do que o subtraendo, então os zeros são simplesmente atribuídos a ela.
A situação é um pouco mais complicada com tarefas onde você precisa realizar multiplicação e divisão de frações decimais.
Como multiplicar decimal em diferentes exemplos?
A regra para multiplicar frações decimais por um número natural é a seguinte:
anote-os em uma coluna, ignorando a vírgula;
multipliquem como se fossem naturais;
separe com uma vírgula tantos dígitos quantos havia na parte fracionária do número original.
Um caso especial é um exemplo em que um número natural é igual a 10 para qualquer potência. Então, para obter uma resposta, basta mover a vírgula para a direita em tantas posições quantos forem os zeros em outro fator. Em outras palavras, ao multiplicar por 10, a vírgula muda de um dígito, por 100 - haverá dois deles e assim por diante. Se não houver dígitos suficientes na parte fracionária, você precisará escrever zeros em posições vazias.
A regra que é usada quando em uma tarefa é necessário multiplicar frações decimais por outra de mesmo número:
escreva-os um embaixo do outro, ignorando as vírgulas;
multiplique como se fossem números naturais;
separe com uma vírgula tantos dígitos quantos havia nas partes fracionárias de ambas as frações originais juntas.
Como caso especial, distinguem-se exemplos em que um dos fatores é igual a 0,1 ou 0,01 e assim por diante. Neles, você precisa mover a vírgula para a esquerda pelo número de dígitos nos fatores apresentados. Ou seja, se multiplicado por 0,1, a vírgula é deslocada em uma posição.
Como dividir uma fração decimal em diferentes tarefas?
A divisão de frações decimais por um número natural é realizada de acordo com a seguinte regra:
anote-os para divisão em coluna, como se fossem naturais;
divida de acordo com a regra usual até que toda a parte termine;
coloque uma vírgula na resposta;
continue dividindo o componente fracionário até que o resto seja zero;
se necessário, você pode atribuir o número necessário de zeros.
Se a parte inteira for igual a zero, também não estará na resposta.
Separadamente, há uma divisão em números iguais a dez, cem e assim por diante. Em tais problemas, você precisa mover a vírgula para a esquerda pelo número de zeros no divisor. Acontece que não há dígitos suficientes na parte inteira, então zeros são usados. Pode-se ver que esta operação é semelhante à multiplicação por 0,1 e números semelhantes.
Para realizar a divisão de decimais, você precisa usar esta regra:
transforme o divisor em um número natural e, para fazer isso, mova a vírgula para a direita até o final;
mova a vírgula e no divisível pelo mesmo número de dígitos;
siga o cenário anterior.
se destaca divisão por 0,1; 0,01 e outros números semelhantes. Nesses exemplos, a vírgula é deslocada para a direita pelo número de dígitos na parte fracionária. Se eles terminarem, você precisará atribuir o número ausente de zeros. Vale a pena notar que esta ação repete a divisão por 10 e números semelhantes.
Conclusão: é tudo uma questão de prática
Nada no aprendizado é fácil ou sem esforço. Leva tempo e prática para dominar o novo material de forma confiável. A matemática não é exceção.
Para que o tópico das frações decimais não cause dificuldades, você precisa resolver o maior número possível de exemplos com elas. Afinal, houve um tempo em que a adição de números naturais era confusa. E agora está tudo bem.
Portanto, parafraseando frase famosa: decidir, decidir e decidir novamente. Então as tarefas com esses números serão executadas com facilidade e naturalidade, como outro quebra-cabeça.
A propósito, os quebra-cabeças são difíceis de resolver no início e, em seguida, você precisa fazer os movimentos usuais. O mesmo acontece com os exemplos matemáticos: depois de percorrer o mesmo caminho várias vezes, você não pensará mais em onde virar.
Esse artigo é sobre decimais. Aqui vamos tratar notação decimal números fracionários, introduzimos o conceito de fração decimal e damos exemplos de frações decimais. Em seguida, vamos falar sobre os dígitos das frações decimais, dê os nomes dos dígitos. Depois disso, vamos nos concentrar em frações decimais infinitas, digamos sobre frações periódicas e não periódicas. A seguir, listamos as principais ações com frações decimais. Em conclusão, estabelecemos a posição das frações decimais no raio coordenado.
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Notação decimal de um número fracionário
Lendo decimais
Vamos dizer algumas palavras sobre as regras para ler frações decimais.
As frações decimais, que correspondem às frações ordinárias corretas, são lidas da mesma forma que essas frações ordinárias, apenas “zero inteiro” é adicionado de antemão. Por exemplo, a fração decimal 0,12 corresponde à fração ordinária 12/100 (lemos “doze centésimos”), portanto, 0,12 é lido como “zero vírgula doze centésimos”.
As frações decimais, que correspondem a números mistos, são lidas exatamente da mesma forma que esses números mistos. Por exemplo, a fração decimal 56.002 corresponde a um número misto, portanto, a fração decimal 56.002 é lida como "cinquenta e seis vírgula dois milésimos".
Casas em decimais
Na notação de frações decimais, bem como na notação de números naturais, o valor de cada dígito depende de sua posição. De fato, o número 3 em decimal 0,3 significa três décimos, em decimal 0,0003 - três dez milésimos e em decimal 30.000,152 - três dezenas de milhares. Assim, podemos falar sobre dígitos em decimais, bem como sobre dígitos em números naturais.
Os nomes dos dígitos na fração decimal até o ponto decimal coincidem completamente com os nomes dos dígitos em números naturais. E os nomes dos dígitos na fração decimal após o ponto decimal são visíveis na tabela a seguir.
Por exemplo, na fração decimal 37.051, o número 3 está na casa das dezenas, 7 está na casa das unidades, 0 está na décima casa, 5 está na centésima casa, 1 está na milésima casa.
Os dígitos na fração decimal também diferem em antiguidade. Se passarmos de dígito para dígito da esquerda para a direita na notação decimal, passaremos de Senior para fileiras júnior. Por exemplo, o dígito das centenas é mais antigo que o dígito dos décimos e o dígito dos milionésimos é mais novo que o dígito dos centésimos. Nesta fração decimal final, podemos falar sobre os dígitos mais significativos e menos significativos. Por exemplo, em decimal 604,9387 sênior (mais alto) o dígito é o dígito das centenas, e júnior (mais baixo)- décimo milésimo lugar.
Para frações decimais, ocorre a expansão em dígitos. É análogo à expansão em dígitos de números naturais. Por exemplo, a expansão decimal de 45,6072 é: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002 . E as propriedades de adição da expansão de uma fração decimal em dígitos permitem que você vá para outras representações dessa fração decimal, por exemplo, 45,6072=45+0,6072 , ou 45,6072=40,6+5,007+0,0002 , ou 45,6072= 45,0072+0,6 .
Decimais finais
Até aqui, falamos apenas de frações decimais, em cujo registro há um número finito de dígitos após a vírgula. Essas frações são chamadas frações decimais finais.
Definição.
Decimais finais- São frações decimais, cujos registros contêm um número finito de caracteres (dígitos).
Aqui estão alguns exemplos de decimais finais: 0,317 , 3,5 , 51,1020304958 , 230 032,45 .
No entanto, nem toda fração comum pode ser representada como uma fração decimal finita. Por exemplo, a fração 5/13 não pode ser substituída por uma fração igual com um dos denominadores 10, 100, ..., portanto, não pode ser convertida em uma fração decimal final. Falaremos mais sobre isso na seção de teoria da conversão de frações ordinárias em frações decimais.
Decimais infinitos: frações periódicas e frações não periódicas
Na notação de uma fração decimal após uma vírgula, pode-se admitir a possibilidade de um número infinito de dígitos. Neste caso, chegaremos à consideração das chamadas frações decimais infinitas.
Definição.
Decimais infinitos são frações decimais, cujo registro é conjunto infinito dígitos.
É claro que não podemos escrever as infinitas frações decimais por completo, portanto, em seu registro elas se limitam a apenas um certo número finito de dígitos após a vírgula e colocam reticências indicando uma sequência infinitamente contínua de dígitos. Aqui estão alguns exemplos de frações decimais infinitas: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….
Se você observar atentamente as duas últimas frações decimais infinitas, na fração 2,111111111 ... o número 1 infinitamente repetido é claramente visível e na fração 69,74152152152 ..., a partir da terceira casa decimal, o grupo de números repetidos 1, 5 e 2 é claramente visível. Essas frações decimais infinitas são chamadas periódicas.
Definição.
Decimais periódicos(ou simplesmente frações periódicas) são frações decimais infinitas, no registro das quais, a partir de uma determinada casa decimal, algum dígito ou grupo de dígitos, que é chamado período de fração.
Por exemplo, o período da fração periódica 2,111111111… é o número 1, e o período da fração 69,74152152152… é um grupo de números como 152.
Para frações decimais periódicas infinitas, uma notação especial foi adotada. Por brevidade, concordamos em escrever o ponto uma vez, colocando-o entre parênteses. Por exemplo, a fração periódica 2,111111111… é escrita como 2,(1) e a fração periódica 69,74152152152… é escrita como 69,74(152) .
Vale a pena notar que, para a mesma fração decimal periódica, você pode especificar períodos diferentes. Por exemplo, o decimal periódico 0,73333… pode ser considerado como uma fração 0,7(3) com um período de 3, assim como uma fração 0,7(33) com um período de 33, e assim por diante 0,7(333), 0,7 (3333) ), ... Você também pode olhar para a fração periódica 0,73333 ... assim: 0,733(3), ou assim 0,73(333), etc. Aqui, para evitar ambiguidade e inconsistências, concordamos em considerar como o período da fração decimal o mais curto de todos sequências possíveis dígitos repetidos e começando na posição mais próxima do ponto decimal. Ou seja, o período da fração decimal 0,73333… será considerado uma sequência de um dígito 3, e a periodicidade inicia a partir da segunda posição após a vírgula, ou seja, 0,73333…=0,7(3) . Outro exemplo: a fração periódica 4,7412121212… tem período 12, a periodicidade começa a partir do terceiro dígito após a vírgula, ou seja, 4,7412121212…=4,74(12) .
As frações periódicas decimais infinitas são obtidas convertendo-se em frações decimais de frações ordinárias cujos denominadores contêm fatores primos diferentes de 2 e 5.
Aqui vale a pena mencionar frações periódicas com um período de 9. Aqui estão exemplos de tais frações: 6.43(9) , 27,(9) . Essas frações são outra notação para frações periódicas com período 0, e é costume substituí-las por frações periódicas com período 0. Para fazer isso, o período 9 é substituído pelo período 0 e o valor do próximo dígito mais alto é aumentado em um. Por exemplo, uma fração com período 9 na forma 7,24(9) é substituída por uma fração periódica com período 0 na forma 7,25(0) ou uma fração decimal final igual de 7,25. Outro exemplo: 4,(9)=5,(0)=5 . A igualdade de uma fração com período 9 e sua fração correspondente com período 0 é facilmente estabelecida após a substituição dessas frações decimais por suas frações ordinárias iguais.
Finalmente, vamos dar uma olhada em decimais infinitos, que não têm uma sequência de dígitos infinitamente repetida. Eles são chamados de não periódicos.
Definição.
Decimais não recorrentes(ou simplesmente frações não periódicas) são decimais infinitos sem período.
Às vezes, as frações não periódicas têm uma forma semelhante à das frações periódicas, por exemplo, 8,02002000200002 ... é uma fração não periódica. Nesses casos, você deve ter um cuidado especial para notar a diferença.
Observe que frações não periódicas não são convertidas em frações ordinárias, frações decimais não periódicas infinitas representam números irracionais.
Operações com decimais
Uma das ações com decimais é a comparação, e quatro aritméticas básicas também são definidas operações com decimais: adição, subtração, multiplicação e divisão. Considere separadamente cada uma das ações com frações decimais.
Comparação Decimal essencialmente baseado na comparação das frações ordinárias correspondentes às frações decimais comparadas. No entanto, converter frações decimais em ordinárias é uma operação bastante trabalhosa, e infinitas frações não repetidas não podem ser representadas como uma fração ordinária, por isso é conveniente usar uma comparação bit a bit de frações decimais. A comparação bit a bit de decimais é semelhante à comparação de números naturais. Para informações mais detalhadas, recomendamos que você estude o artigo de comparação de frações decimais, regras, exemplos, soluções.
Vamos para o próximo passo - multiplicando decimais. A multiplicação de frações decimais finais é realizada de forma semelhante à subtração de frações decimais, regras, exemplos, soluções para multiplicação por uma coluna de números naturais. No caso de frações periódicas, a multiplicação pode ser reduzida à multiplicação de frações ordinárias. Por sua vez, a multiplicação de infinitas frações decimais não periódicas após seu arredondamento é reduzida à multiplicação de frações decimais finitas. Recomendamos um estudo mais aprofundado do material do artigo multiplicação de frações decimais, regras, exemplos, soluções.
Decimais no feixe de coordenadas
Existe uma correspondência um-para-um entre pontos e decimais.
Vamos descobrir como os pontos são construídos no raio coordenado correspondente a uma determinada fração decimal.
Podemos substituir frações decimais finitas e frações decimais periódicas infinitas por frações ordinárias iguais a elas, e então construir as frações ordinárias correspondentes no raio coordenado. Por exemplo, uma fração decimal 1,4 corresponde a uma fração ordinária 14/10, portanto, o ponto com coordenada 1,4 é retirado da origem no sentido positivo por 14 segmentos iguais a um décimo de um único segmento.
As frações decimais podem ser marcadas no feixe de coordenadas, a partir da expansão dessa fração decimal em dígitos. Por exemplo, digamos que precisamos construir um ponto com a coordenada 16.3007 , pois 16.3007=16+0.3+0.0007 , então em dado ponto pode ser alcançado colocando sequencialmente 16 segmentos de unidade a partir da origem, 3 segmentos, cujo comprimento é igual a um décimo de um segmento de unidade e 7 segmentos, cujo comprimento é igual a uma fração de dez milésimos de um segmento de unidade .
Esta forma de construir números decimais no raio de coordenadas permite chegar o mais próximo possível do ponto correspondente a uma fração decimal infinita.
Às vezes é possível traçar com precisão um ponto correspondente a um decimal infinito. Por exemplo, 
, então esta fração decimal infinita 1,41421... corresponde ao ponto do raio coordenado, distante da origem pelo comprimento da diagonal de um quadrado com um segmento de 1 unidade de lado.
O processo inverso de obter uma fração decimal correspondente a um dado ponto no feixe de coordenadas é o chamado medida decimal de um segmento. Vamos ver como é feito.
Seja nossa tarefa ir da origem a um determinado ponto na linha de coordenadas (ou aproximá-lo infinitamente se for impossível chegar a ele). Com uma medida decimal de um segmento, podemos adiar sequencialmente qualquer número de segmentos unitários da origem, depois segmentos cujo comprimento é igual a um décimo de um único segmento, depois segmentos cujo comprimento é igual a um centésimo de um único segmento, etc. . Ao escrever o número de segmentos plotados de cada comprimento, obtemos a fração decimal correspondente a um determinado ponto no raio coordenado.
Por exemplo, para chegar ao ponto M na figura acima, você precisa separar 1 segmento de unidade e 4 segmentos, cujo comprimento é igual ao décimo da unidade. Assim, o ponto M corresponde à fração decimal 1,4.
É claro que os pontos do feixe de coordenadas, que não podem ser alcançados durante a medição decimal, correspondem a frações decimais infinitas.
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