Como elevar um número a uma potência decimal. Elevando uma fração algébrica a uma potência

A lição considerará uma versão mais generalizada da multiplicação de frações - isso é exponenciação. Em primeiro lugar, falaremos sobre o grau natural da fração e exemplos que demonstram ações semelhantes com frações. No início da lição, também, repetiremos a elevação a uma potência natural de expressões inteiras e veremos como isso é útil para resolver outros exemplos.

Tópico: Frações algébricas. Operações aritméticas sobre frações algébricas

Lição: Construção fração algébrica até certo ponto

1. Regras para elevar frações e expressões inteiras a potências naturais com exemplos elementares

A regra para elevar frações ordinárias e algébricas a potências naturais:

Você pode fazer uma analogia com o grau de uma expressão inteira e lembrar o que significa elevá-la a uma potência:

Exemplo 1 .

Como você pode ver no exemplo, elevar uma fração a uma potência é caso especial multiplicação de frações, que foi estudado na lição anterior.

Exemplo 2. a), b) - menos vai embora, porque elevamos a expressão a uma potência par.

Para a conveniência de trabalhar com graus, lembramos as regras básicas para elevar a um poder natural:

- produto de graus;

- divisão de graus;

Elevar um grau a um poder;

O grau do trabalho.

Exemplo 3. - isso nos é conhecido desde o tópico "Elevando à potência de expressões inteiras", exceto por um caso: não existe.

2. Os exemplos mais simples para elevar frações algébricas a potências naturais

Exemplo 4. Eleve uma fração a uma potência.

Solução. Quando elevado a uma potência par, menos vai embora:

Exemplo 5. Eleve uma fração a uma potência.

Solução. Agora usamos as regras para elevar um grau a uma potência imediatamente sem um cronograma separado:

.

Agora considere as tarefas combinadas nas quais precisaremos elevar frações a uma potência, multiplicá-las e dividi-las.

Exemplo 6: Executar ações.

Solução. . Em seguida, você precisa fazer uma redução. Descreveremos uma vez em detalhes como faremos isso e indicaremos o resultado imediatamente por analogia:. Da mesma forma (ou de acordo com a regra de divisão de graus). Nós temos: .

Exemplo 7: Executar ações.

Solução. . A redução é realizada por analogia com o exemplo discutido anteriormente.

Exemplo 8: Executar ações.

Solução. . Neste exemplo, descrevemos mais uma vez o processo de redução de potências em frações com mais detalhes para consolidar esse método.

3. Exemplos mais complexos para elevar frações algébricas a potências naturais (levando em conta sinais e com termos entre parênteses)

Exemplo 9: Executar ações .

Solução. Neste exemplo, já vamos pular a multiplicação separada de frações, e imediatamente usar a regra para sua multiplicação e anotá-la sob um denominador. Ao mesmo tempo, seguimos os sinais - neste caso, as frações são elevadas a potências pares, então os menos desaparecem. Vamos fazer uma redução no final.

Exemplo 10: Executar ações .

Solução. Neste exemplo, há uma divisão de frações, lembre-se que neste caso a primeira fração é multiplicada pela segunda, mas invertida.

É hora de se familiarizar com elevando uma fração algébrica a uma potência. Essa ação com frações algébricas, em termos de grau, se reduz a multiplicar frações idênticas. Neste artigo, daremos a regra correspondente e consideraremos exemplos de elevação de frações algébricas a potências naturais.

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A regra de elevar uma fração algébrica a uma potência, sua prova

Antes de falar em elevar uma fração algébrica a uma potência, não custa lembrar qual é o produto dos mesmos fatores que estão na base do grau, e seu número é determinado pelo indicador. Por exemplo, 2 3 =2 2 2=8 .

Agora vamos lembrar a regra de exponenciação fração comum- para isso, você precisa elevar separadamente o numerador à potência indicada e separadamente - o denominador. Por exemplo, . Esta regra se aplica a elevar uma fração algébrica a uma potência natural.

Elevando uma fração algébrica a uma potência natural fornece uma nova fração, cujo numerador é o grau especificado do numerador da fração original e no denominador - o grau do denominador. Na forma literal, esta regra corresponde à igualdade , onde aeb são polinômios arbitrários (em casos particulares, monômios ou números), e b é um polinômio diferente de zero, e n é .

A prova da regra sonora para elevar uma fração algébrica a uma potência é baseada na definição de um grau com um expoente natural e em como definimos a multiplicação de frações algébricas: .

Exemplos, soluções

A regra obtida no parágrafo anterior reduz a elevação de uma fração algébrica a uma potência à elevação do numerador e denominador da fração original a esta potência. E como o numerador e o denominador da fração algébrica original são polinômios (no caso particular, monômios ou números), a tarefa original é reduzida a elevar polinômios a uma potência. Após realizar esta ação, uma nova fração algébrica será obtida, identicamente igual à potência especificada da fração algébrica original.

Vamos dar uma olhada em alguns exemplos.

Exemplo.

Quadrado de uma fração algébrica.

Solução.

Vamos escrever o grau. Agora nos voltamos para a regra para elevar uma fração algébrica a uma potência, ela nos dá a igualdade . Resta converter a fração resultante para a forma de uma fração algébrica elevando monômios a uma potência. Então .

Normalmente, ao elevar uma fração algébrica a uma potência, o curso da solução não é explicado e a solução é escrita brevemente. Nosso exemplo corresponde ao registro .

Responda:

.

Quando os polinômios, especialmente os binômios, estão no numerador e / ou denominador de uma fração algébrica, ao elevá-la a uma potência, é aconselhável usar as fórmulas de multiplicação abreviadas correspondentes.

Exemplo.

Aumentar uma fração algébrica ao segundo grau.

Solução.

Pela regra de elevar uma fração a uma potência, temos .

Para transformar a expressão resultante no numerador, usamos fórmula da diferença ao quadrado, e no denominador - a fórmula do quadrado da soma de três termos:

Responda:

Em conclusão, notamos que se elevarmos uma fração algébrica irredutível a uma potência natural, o resultado também será uma fração irredutível. Se a fração original for cancelável, antes de elevá-la a uma potência, é aconselhável reduzir a fração algébrica para não realizar a redução após a elevação a uma potência.

Bibliografia.

• Álgebra: livro didático para 8 células. Educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M. : Educação, 2008. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019243-9.
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Continuando a conversa sobre o grau de um número, é lógico lidar com a descoberta do valor do grau. Este processo foi nomeado exponenciação. Neste artigo, estudaremos apenas como a exponenciação é realizada, enquanto abordaremos todos os expoentes possíveis - naturais, inteiros, racionais e irracionais. E, por tradição, consideraremos em detalhes as soluções para exemplos de aumento de números em vários graus.

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O que significa "exponenciação"?

Vamos começar explicando o que é chamado de exponenciação. Aqui está a definição relevante.

Definição.

Exponenciaçãoé encontrar o valor da potência de um número.

Assim, encontrar o valor da potência de a com o expoente r e elevar o número a à potência de r é a mesma coisa. Por exemplo, se a tarefa for “calcular o valor da potência (0,5) 5”, ela pode ser reformulada da seguinte forma: “Eleve o número 0,5 à potência de 5”.

Agora você pode ir diretamente para as regras pelas quais a exponenciação é realizada.

Elevando um número a uma potência natural

Na prática, a igualdade baseada em é geralmente aplicada na forma . Ou seja, ao elevar o número a a uma potência fracionária m / n, a raiz do enésimo grau do número a é extraída primeiro, após o que o resultado é elevado a uma potência inteira m.

Considere soluções para exemplos de elevação a uma potência fracionária.

Exemplo.

Calcule o valor do grau.

Solução.

Mostramos duas soluções.

Primeira maneira. Por definição de grau com um expoente fracionário. Calculamos o valor do grau sob o sinal da raiz, após o que extraímos raiz cúbica: .

A segunda maneira. Por definição de grau com expoente fracionário e com base nas propriedades das raízes, as igualdades são verdadeiras . Agora extraia a raiz Finalmente, elevamos a uma potência inteira .

Obviamente, os resultados obtidos ao elevar a uma potência fracionária coincidem.

Responda:

Observe que o expoente fracionário pode ser escrito como fração decimal ou número misto, nestes casos deverá ser substituída pela correspondente fração ordinária, após o que deverá ser efetuada a exponenciação.

Exemplo.

Calcule (44,89) 2,5 .

Solução.

Escrevemos o expoente na forma de uma fração ordinária (se necessário, consulte o artigo): . Agora realizamos a elevação a uma potência fracionária:

Responda:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Deve-se dizer também que elevar números a potências racionais é um processo bastante trabalhoso (especialmente quando o numerador e o denominador do expoente fracionário são números bastante grandes), o que geralmente é realizado usando Ciência da Computação.

Na conclusão deste parágrafo, vamos nos deter na construção do número zero para uma potência fracionária. Demos o seguinte significado ao grau fracionário de zero da forma: pois temos , enquanto zero elevado à potência m/n não é definido. Então zero em fracionário grau positivo igual a zero, por exemplo, . E zero em uma potência negativa fracionária não faz sentido, por exemplo, as expressões e 0 -4,3 não fazem sentido.

Elevando a um poder irracional

Às vezes torna-se necessário descobrir o valor do grau de um número com um expoente irracional. Neste caso, para fins práticos, geralmente é suficiente obter o valor do grau até um determinado sinal. Notamos desde já que este valor é calculado na prática com recurso a tecnologia informática electrónica, uma vez que elevando para ir grau racional manualmente requer muitos cálculos complicados. No entanto, vamos descrever em termos gerais essência da ação.

Para obter um valor aproximado do expoente de a com um expoente irracional, é feita alguma aproximação decimal do expoente e o valor do expoente é calculado. Este valor é o valor aproximado do grau do número a com um expoente irracional. Quanto mais precisa a aproximação decimal de um número é feita inicialmente, mais valor exato grau será obtido no final.

Como exemplo, vamos calcular o valor aproximado da potência de 2 1,174367... . Vamos fazer a seguinte aproximação decimal de um indicador irracional: . Agora elevamos 2 a uma potência racional de 1,17 (descrevemos a essência desse processo no parágrafo anterior), obtemos 2 1,17 ≈ 2,250116. Nesse caminho, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Se tomarmos uma aproximação decimal mais precisa de um expoente irracional, por exemplo, , obteremos um valor mais preciso do grau original: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografia.

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• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: um livro para 7 células. instituições educacionais.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: livro para 8 células. instituições educacionais.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: um livro para 9 células. instituições educacionais.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e outros Álgebra e os primórdios da análise: um livro-texto para as séries 10-11 de instituições educacionais gerais.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (um manual para candidatos a escolas técnicas).

Uma fração é a razão entre o numerador e o denominador, e o denominador não deve ser zero, e o numerador pode ser qualquer um.

Ao elevar qualquer fração a uma potência arbitrária, você precisa elevar separadamente o numerador e o denominador da fração a essa potência, após o que devemos contar essas potências e, assim, obter a fração elevada à potência.

Por exemplo:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2/3)^3 = (2/3) (2/3) (2/3) = 2^3/3^3

grau negativo

Se estamos lidando com um grau negativo, devemos primeiro “Inverter a fração” e só então elevá-la a uma potência de acordo com a regra escrita acima.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Grau de letra

Ao trabalhar com valores literais como "x" e "y", a exponenciação segue a mesma regra de antes.

Também podemos verificar a nós mesmos elevando a fração ½ à 3ª potência, como resultado obtemos ½ * ½ * ½ = 1/8, que é essencialmente o mesmo que

Exponenciação literal x^y

Multiplicação e divisão de frações com potências

Se multiplicarmos potências com a mesma base, então a própria base permanece a mesma e somamos os expoentes. Se compartilharmos graus com os mesmos motivos, então a base do grau também permanece a mesma e os expoentes são subtraídos.

Isso pode ser mostrado muito facilmente com um exemplo:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Poderíamos obter a mesma coisa se simplesmente elevassemos o denominador e o numerador separadamente à potência de 3 e 4, respectivamente.

Elevando uma fração com uma potência para outra potência

Ao elevar uma fração, que já está em uma potência, novamente em uma potência, devemos primeiro fazer a exponenciação interna e depois passar para a parte externa da exponenciação. Em outras palavras, podemos simplesmente multiplicar essas potências e elevar a fração à potência resultante.

Por exemplo:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Unindo, raiz quadrada

Além disso, não devemos esquecer que elevar absolutamente qualquer fração à potência zero nos dará 1, assim como qualquer outro número, quando elevado a uma potência igual a zero, obteremos 1.

A raiz quadrada usual também pode ser representada como uma potência de uma fração

Raiz quadrada 3 = 3^(1/2)

Se estamos lidando com raiz quadrada sob a qual há uma fração, podemos representar essa fração no numerador da qual haverá uma raiz quadrada de 2 - graus (porque a raiz quadrada)

E o denominador também conterá a raiz quadrada, ou seja, em outras palavras, veremos a razão de duas raízes, isso pode ser útil para resolver alguns problemas e exemplos.

Se elevarmos uma fração que está abaixo da raiz quadrada à segunda potência, obteremos a mesma fração.

O produto de duas frações sob o mesmo grau será igual ao produto dessas duas frações, cada uma das quais individualmente estará sob seu próprio grau.

Lembre-se: você não pode dividir por zero!

Além disso, não se esqueça de uma observação muito importante para uma fração, como o denominador não deve ser igual a zero. No futuro, em muitas equações, usaremos essa restrição, chamada ODZ - a faixa de valores permitidos

Ao comparar duas frações com a mesma base mas graus diferentes, a fração maior será a fração em que o grau será maior, e a menor em que o grau será menor, se não só as bases forem iguais, mas também a graus, a fração é considerada a mesma.