Exemplos sobre o tema do grau com um expoente racional. Propriedades de graus, formulações, provas, exemplos

A videoaula "Grau com um indicador racional" contém uma material educacional para ensinar sobre este tema. A videoaula contém informações sobre o conceito de grau com expoente racional, propriedades de tais graus, além de exemplos que descrevem o uso de material didático para resolver problemas práticos. A tarefa desta videoaula é apresentar de forma clara e clara o material didático, facilitar seu desenvolvimento e memorização pelos alunos, para formar a capacidade de resolver problemas usando os conceitos aprendidos.

As principais vantagens da videoaula são a capacidade de fazer transformações visuais e cálculos, a capacidade de usar efeitos de animação para melhorar a eficiência do aprendizado. O acompanhamento da voz ajuda a desenvolver a fala matemática correta, além de possibilitar substituir a explicação do professor, liberando-o para o trabalho individual.

O tutorial em vídeo começa apresentando o tópico. Estudo de vinculação novo topico com o material estudado anteriormente, sugere-se lembrar que n √ a é denotado por a 1/n para n natural e a positivo. Essa representação da raiz n é exibida na tela. Além disso, propõe-se considerar o que significa a expressão a m / n, em que a é um número positivo e m / n é alguma fração. A definição do grau destacado na caixa é dada com um expoente racional como a m/n = n √ a m . Note-se que n pode ser um número natural e m - um número inteiro.

Após determinar o grau com um expoente racional, seu significado é revelado pelos exemplos: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Também é mostrado um exemplo em que uma potência representada por um decimal é convertida em fração para ser representado como uma raiz: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 e expoente negativo exemplo: 3 -1/8 = 8 √3 -um .

Separadamente, uma característica de um caso particular é indicada quando a base do grau é zero. Note-se que este grau só faz sentido com um expoente fracionário positivo. Neste caso, seu valor é igual a zero: 0 m/n =0.

Outra característica do grau com um expoente racional é notada - que o grau com um expoente fracionário não pode ser considerado com um expoente fracionário. São dados exemplos de notação incorreta do grau: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Além disso, na videoaula, são consideradas as propriedades de um grau com um expoente racional. Note-se que as propriedades de um grau com expoente inteiro também serão válidas para um grau com expoente racional. Propõe-se recordar uma lista de propriedades que também são válidas em este caso:

1. Ao multiplicar potências com os mesmos motivos seus indicadores se somam: a p a q =a p+q .
2. A divisão de graus com as mesmas bases é reduzida a um grau com uma base dada e a diferença em expoentes: a p:a q =a p-q .
3. Se elevarmos a potência a uma certa potência, obteremos a potência com a base dada e o produto dos expoentes: (a p) q =a pq .

Todas essas propriedades são válidas para potências com expoentes racionais p, q e base positiva a>0. Além disso, as transformações de grau permanecem verdadeiras ao abrir parênteses:

1. (ab) p = a p b p - elevando um produto de dois números a uma certa potência com um expoente racional é reduzido a um produto de números, cada um dos quais é elevado a uma dada potência.
2. (a/b) p =a p /b p - a exponenciação com um expoente racional de uma fração é reduzida a uma fração cujo numerador e denominador são elevados à potência dada.

O tutorial em vídeo discute a solução de exemplos que usam as propriedades consideradas de graus com um expoente racional. No primeiro exemplo, propõe-se encontrar o valor de uma expressão que contém as variáveis ​​x elevado a uma potência fracionária: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Apesar da complexidade da expressão, usando as propriedades dos graus, ela é resolvida de maneira bastante simples. A solução da tarefa começa com uma simplificação da expressão, que usa a regra de elevar uma potência com expoente racional a uma potência, além de multiplicar potências de mesma base. Depois de substituir o valor dado x=8 na expressão simplificada x 1/3 +48, ​​é fácil obter o valor - 50.

No segundo exemplo, é necessário reduzir uma fração cujo numerador e denominador contenham potências com um expoente racional. Usando as propriedades do grau, selecionamos o fator x 1/3 da diferença, que é então reduzido no numerador e denominador, e usando a fórmula da diferença de quadrados, o numerador é decomposto em fatores, o que dá mais reduções do mesmos fatores no numerador e denominador. O resultado de tais transformações é uma pequena fração x 1/4 +3.

A videoaula "Grau com um indicador racional" pode ser usada em vez do professor explicar o novo tópico da aula. Este manual também contém informações completas por auto estudo estudante. O material pode ser útil no ensino a distância.

De expoentes inteiros do número a, a transição para um expoente racional se sugere. Abaixo definimos um grau com um expoente racional, e faremos isso de forma que todas as propriedades de um grau com um expoente inteiro sejam preservadas. Isso é necessário porque os inteiros fazem parte dos números racionais.

Sabe-se que o conjunto dos números racionais consiste em números inteiros e fracionários, e cada número fracionário pode ser representado como positivo ou negativo fração comum. Definimos o grau com um expoente inteiro no parágrafo anterior, portanto, para completar a definição do grau com um expoente racional, precisamos dar o significado do grau do número uma com uma fração s/n, Onde mé um número inteiro e n- naturais. Vamos fazê-lo.

Considere um grau com um expoente fracionário da forma . Para que a propriedade de grau em um grau permaneça válida, a igualdade deve valer . Se levarmos em conta a igualdade resultante e como determinamos a raiz do enésimo grau, é lógico aceitar, desde que com os dados m, n e uma a expressão faz sentido.

É fácil verificar que todas as propriedades de um grau com um expoente inteiro são válidas para as (isso é feito na seção sobre as propriedades de um grau com um expoente racional).

O raciocínio acima nos permite fazer o seguinte conclusão: se for dado m, n e uma expressão faz sentido, então a potência do número uma com uma fração s/n chamado de raiz nº grau de uma na medida em que m.

Esta afirmação nos aproxima da definição de um grau com um expoente fracionário. Resta apenas descrever sob que m, n e uma a expressão faz sentido. Dependendo das restrições impostas m, n e uma existem duas abordagens principais.

1. A maneira mais fácil é impor uma restrição uma, aceitando a≥0 para positivo m e a>0 para negativo m(porque em m≤0 grau 0 m não especificado). Então obtemos a seguinte definição do grau com um expoente fracionário.

Definição.

Grau de um número positivo uma com uma fração s/n , Onde mé um todo e n – número natural, é chamado de raiz n-º de entre uma na medida em que m, ou seja, .

O grau fracionário de zero também é definido com a única ressalva de que o expoente deve ser positivo.

Definição.

Potência de zero com expoente positivo fracionário s/n , Onde mé um número inteiro positivo, e né um número natural, definido como .
Quando o grau não está definido, ou seja, o grau do número zero com um expoente negativo fracionário não faz sentido.

Deve-se notar que, com essa definição do grau com um expoente fracionário, há uma nuance: para alguns uma e alguns m e n a expressão faz sentido, e descartamos esses casos introduzindo a condição a≥0. Por exemplo, faz sentido escrever ou , e a definição acima nos obriga a dizer que graus com um expoente fracionário da forma não têm sentido, pois a base não deve ser negativa.

2. Outra abordagem para determinar o grau com um expoente fracionário s/n consiste na consideração separada de expoentes pares e ímpares da raiz. Essa abordagem requer uma condição adicional: a potência de um número uma, cujo indicador é uma fração ordinária reduzida, é considerada uma potência de um número uma, cujo indicador é a fração irredutível correspondente (a importância desta condição será explicada abaixo). Ou seja, se s/né uma fração irredutível, então para qualquer número natural k grau é substituído preliminarmente por .

Para mesmo n e positivo m expressão faz sentido para qualquer não negativo uma(a raiz de um grau par de um número negativo não faz sentido), com m número uma ainda deve ser diferente de zero (caso contrário, será uma divisão por zero). E por estranho n e positivo m número uma pode ser qualquer coisa (a raiz de um grau ímpar é definida para qualquer número real), e para negativo m número uma deve ser diferente de zero (para que não haja divisão por zero).

O raciocínio acima nos leva a tal definição do grau com um expoente fracionário.

Definição.

Deixe ser s/n- fração irredutível mé um todo e n- número natural. Para qualquer fração ordinária redutível, o grau é substituído por . Grau de uma com expoente fracionário irredutível s/n- é para

o qualquer número real uma, um inteiro positivo m e estranho natural n, Por exemplo, ;

o qualquer número real diferente de zero uma, um número inteiro negativo m e estranho n, por exemplo, ;

o qualquer número não negativo uma, um inteiro positivo m e até mesmo n, Por exemplo, ;

o qualquer positivo uma, um número inteiro negativo m e até mesmo n, por exemplo, ;

o em outros casos, o grau com um expoente fracionário não é definido, como, por exemplo, os graus não são definidos .a entradas não anexamos nenhum significado, definimos o grau de zero para expoentes fracionários positivos s/n como , para expoentes fracionários negativos, o grau do número zero não é definido.

Para concluir esta seção, vamos prestar atenção ao fato de que o expoente fracionário pode ser escrito na forma fração decimal ou número misto, Por exemplo, . Para calcular os valores de expressões desse tipo, você precisa escrever o expoente como uma fração ordinária e, em seguida, usar a definição do grau com um expoente fracionário. Por exemplos temos e

Grau com expoente racional

Khasyanova T.G.,

professor de matemática

O material apresentado será útil para professores de matemática ao estudar o tópico "Graduação com um indicador racional".

O objetivo do material apresentado: divulgação da minha experiência na condução de uma aula sobre o tema "Grau com um indicador racional" programa de trabalho disciplina "Matemática".

A metodologia da aula corresponde ao seu tipo - uma aula no estudo e consolidação primária de novos conhecimentos. Foi feita uma atualização conhecimento básico e habilidades baseadas na experiência anterior; memorização primária, consolidação e aplicação de novas informações. A consolidação e aplicação do novo material ocorreu na forma de resolução de problemas que testei de complexidade variada dando um resultado positivo de dominar o tema.

No início da aula, estabeleci os seguintes objetivos para os alunos: educacional, em desenvolvimento, educacional. Na aula, usei várias maneiras atividades: frontal, individual, sauna a vapor, independente, teste. As tarefas foram diferenciadas e permitiram identificar, em cada etapa da aula, o grau de assimilação do conhecimento. O volume e a complexidade das tarefas correspondem às características etárias dos alunos. Da minha experiência - trabalho de casa, semelhante às tarefas resolvidas em sala de aula, permite consolidar com segurança os conhecimentos e habilidades adquiridos. No final da aula, foi realizada uma reflexão e avaliado o trabalho individual dos alunos.

Os objetivos foram alcançados. Os alunos estudaram o conceito e as propriedades de uma licenciatura com um expoente racional, aprenderam a utilizar essas propriedades na resolução de problemas práticos. Atras do trabalho independente as notas são anunciadas na próxima aula.

Acredito que a metodologia utilizada por mim para ministrar aulas de matemática pode ser aplicada por professores de matemática.

Tópico da lição: Grau com um indicador racional

O objetivo da lição:

Identificação do nível de domínio por parte dos alunos de um complexo de conhecimentos e competências e, com base nisso, a aplicação de determinadas soluções para melhorar o processo educativo.

Lições objetivas:

Tutoriais: formar novos conhecimentos entre os alunos de conceitos básicos, regras, leis para determinar o grau com um indicador racional, a capacidade de aplicar independentemente o conhecimento em condições padrão, em condições alteradas e não padronizadas;

em desenvolvimento: pensar logicamente e implementar Habilidades criativas;

educadores: para formar um interesse em matemática, reabastecer o vocabulário com novos termos, obter Informação adicional sobre o mundo ao redor. Cultive a paciência, a perseverança, a capacidade de superar as dificuldades.

Organizando o tempo

Atualização de conhecimentos básicos

Ao multiplicar potências com a mesma base, os expoentes são adicionados e a base permanece a mesma:

Por exemplo,

2. Ao dividir potências com as mesmas bases, os expoentes são subtraídos e a base permanece a mesma:

Por exemplo,

3. Ao elevar um grau a uma potência, os expoentes são multiplicados e a base permanece a mesma:

Por exemplo,

4. O grau do produto é igual ao produto das potências dos fatores:

Por exemplo,

5. O grau do quociente é igual ao quociente das potências do dividendo e do divisor:

Por exemplo,

Exercícios de solução

Encontre o valor de uma expressão:

Decisão:

Neste caso, nenhuma das propriedades de um grau com expoente natural pode ser aplicada explicitamente, pois todos os graus têm motivos diferentes. Vamos escrever alguns graus de uma forma diferente:

(o grau do produto é igual ao produto dos graus dos fatores);

(ao multiplicar potências com a mesma base, os expoentes são adicionados, e a base permanece a mesma, ao elevar um grau a uma potência, os expoentes são multiplicados, mas a base permanece a mesma).

Então obtemos:

Neste exemplo, foram usadas as primeiras quatro propriedades do grau com um expoente natural.

Raiz quadrada aritmética
- não é um número negativo, cujo quadrado éuma,
. No
- expressão
não definido, porque não existe um número real cujo quadrado seja igual a um número negativouma.

Ditado matemático(8-10 min.)

Opção

II. Opção

1. Encontre o valor da expressão

a)

b)

1. Encontre o valor da expressão

a)

b)

2. Calcular

a)

b)

NO)

2. Calcular

a)

b)

dentro)

Auto teste(no quadro de lapela):

Matriz de Respostas:

№ opção/tarefa

Tarefa 1

Tarefa 2

Opção 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

dentro)

opção 2

a) 1,5

b)

a)

b)

às 4

II. Formação de novos conhecimentos

Considere o significado da expressão, onde - número positivo– número fracionário e m-inteiro, n-natural (n>1)

Definição: grau do número a›0 com expoente racionalr = , m-inteira, n- natural ( n›1) um número é chamado.

Então:

Por exemplo:

Notas:

1. Para qualquer a positivo e qualquer r racional, o número positivamente.

2. Quando
grau racional númerosumanão definido.

Expressões como
não faz sentido.

3.Se número fracionário positivo
.

Se um fracionário número negativo, então -não faz sentido.

Por exemplo: - não faz sentido.

Considere as propriedades de um grau com um expoente racional.

Seja a>0, β>0; r, s - qualquer números racionais. Então um grau com qualquer expoente racional tem as seguintes propriedades:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Consolidação. Formação de novas competências e habilidades.

Os cartões de tarefas funcionam em pequenos grupos na forma de um teste.