Como abreviar frações na multiplicação. Multiplicação de frações ordinárias: regras, exemplos, soluções

Os números fracionários comuns encontram os alunos pela primeira vez na 5ª série e os acompanham por toda a vida, pois na vida cotidiana muitas vezes é necessário considerar ou usar algum objeto não inteiramente, mas em peças separadas. O início do estudo deste tópico - compartilhe. As ações são partes iguais em que um objeto é dividido. Afinal, nem sempre é possível expressar, por exemplo, o comprimento ou o preço de um produto como um número inteiro; deve-se levar em conta partes ou cotas de qualquer medida. Formado a partir do verbo "esmagar" - dividir em partes e com raízes árabes, no século VIII a palavra "fração" apareceu em russo.

As expressões fracionárias têm sido consideradas a seção mais difícil da matemática. No século 17, quando surgiram os primeiros livros didáticos de matemática, eles eram chamados de "números quebrados", o que era muito difícil de exibir na compreensão das pessoas.

aparência moderna resíduos fracionários simples, partes dos quais são separados precisamente por uma linha horizontal, foram contribuídos pela primeira vez por Fibonacci - Leonardo de Pisa. Seus escritos são datados de 1202. Mas o objetivo deste artigo é explicar de forma simples e clara ao leitor como ocorre a multiplicação de frações mistas com denominadores diferentes.

Multiplicando frações com denominadores diferentes

Inicialmente, é necessário determinar variedades de frações:

• correto;
• errado;
• misturado.

Em seguida, você precisa se lembrar de como a multiplicação ocorre. números fracionários com os mesmos denominadores. A própria regra deste processo é fácil de formular independentemente: o resultado da multiplicação frações simples com os mesmos denominadores é uma expressão fracionária, cujo numerador é o produto dos numeradores, e o denominador é o produto dos denominadores das frações dadas. Ou seja, em essência, novo denominador há um quadrado de um dos existentes inicialmente.

Ao multiplicar frações simples com denominadores diferentes para dois ou mais fatores, a regra não muda:

uma/b * c/d = a*c/ b*d.

A única diferença é que o número formado sob a linha fracionária será o produto de diferentes números e, claro, o quadrado de um expressão numéricaé impossível nomeá-lo.

Vale a pena considerar a multiplicação de frações com denominadores diferentes usando exemplos:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Os exemplos usam maneiras de reduzir expressões fracionárias. Você pode reduzir apenas os números do numerador com os números do denominador; fatores adjacentes acima ou abaixo da barra fracionária não podem ser reduzidos.

Junto com os números fracionários simples, existe o conceito de frações mistas. Um número misto consiste em um número inteiro e uma parte fracionária, ou seja, é a soma desses números:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Como funciona a multiplicação?

Vários exemplos são fornecidos para consideração.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

O exemplo usa a multiplicação de um número por parte fracionária ordinária, você pode escrever a regra para esta ação pela fórmula:

uma* b/c = a*b/c.

De fato, tal produto é a soma de resíduos fracionários idênticos, e o número de termos indica isso número natural. caso especial:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Existe outra opção para resolver a multiplicação de um número por um resto fracionário. Basta dividir o denominador por este número:

d* e/f = e/f: D.

É útil usar essa técnica quando o denominador é dividido por um número natural sem resto ou, como dizem, completamente.

Traduzir números mistos em frações impróprias e obter o produto da forma descrita anteriormente:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Este exemplo envolve um método de representação fração mista no errado, ele também pode ser representado como Fórmula geral:

uma bc = a*b+ c/c, onde o denominador da nova fração é formado multiplicando a parte inteira pelo denominador e somando-o ao numerador do resto fracionário original, e o denominador permanece o mesmo.

Este processo também funciona ao contrário. Para isolar a parte inteira e o resto fracionário, você precisa dividir o numerador de uma fração imprópria pelo seu denominador com um “canto”.

Multiplicação de frações impróprias produzido da maneira usual. Quando a entrada passa por uma única linha fracionária, conforme necessário, você precisa reduzir as frações para reduzir os números usando esse método e é mais fácil calcular o resultado.

Existem muitos ajudantes na Internet para resolver até mesmo problemas matemáticos complexos em várias variações programas. Um número suficiente desses serviços oferece sua ajuda na contagem da multiplicação de frações com números diferentes em denominadores - as chamadas calculadoras online para calcular frações. Eles são capazes não apenas de multiplicar, mas também de realizar todas as outras operações aritméticas simples com frações ordinárias e números mistos. Não é difícil trabalhar com isso, os campos correspondentes são preenchidos na página do site, o sinal da ação matemática é selecionado e o botão “calcular” é pressionado. O programa conta automaticamente.

O tema das operações aritméticas com números fracionários é relevante em toda a educação dos alunos do ensino fundamental e médio. No ensino médio, eles não estão mais considerando as espécies mais simples, mas expressões fracionárias inteiras, mas o conhecimento das regras de transformação e cálculos, obtidos anteriormente, é aplicado em sua forma original. bem digerido conhecimento básico dar plena confiança boa decisão a maioria Tarefas desafiantes.

Concluindo, faz sentido citar as palavras de Leo Tolstoy, que escreveu: “O homem é uma fração. Não está no poder do homem aumentar seu numerador - seus próprios méritos, mas qualquer um pode diminuir seu denominador - sua opinião sobre si mesmo, e por essa diminuição aproximar-se de sua perfeição.

No século V aC, o antigo filósofo grego Zenão de Elea formulou suas famosas aporias, das quais a mais famosa é a aporia "Aquiles e a tartaruga". Aqui está como soa:

Digamos que Aquiles corra dez vezes mais rápido que a tartaruga e esteja mil passos atrás dela. No tempo que Aquiles leva para percorrer essa distância, a tartaruga rasteja cem passos na mesma direção. Quando Aquiles tiver dado cem passos, a tartaruga rastejará outros dez passos, e assim por diante. O processo continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcançará a tartaruga.

Esse raciocínio se tornou um choque lógico para todas as gerações subsequentes. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Gilbert... Todos eles, de uma forma ou de outra, consideravam as aporias de Zenão. O choque foi tão forte que " ... as discussões continuam no momento, a comunidade científica ainda não conseguiu chegar a uma opinião comum sobre a essência dos paradoxos ... analise matemática, teoria dos conjuntos, novas abordagens físicas e filosóficas; nenhum deles se tornou uma solução universalmente aceita para o problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Todos entendem que estão sendo enganados, mas ninguém entende qual é o engano.

Do ponto de vista da matemática, Zenão em sua aporia demonstrou claramente a transição do valor para. Esta transição implica aplicar em vez de constantes. Tanto quanto eu entendo, o aparato matemático para aplicar unidades de medida variáveis ​​ainda não foi desenvolvido ou não foi aplicado à aporia de Zenão. A aplicação de nossa lógica usual nos leva a uma armadilha. Nós, pela inércia do pensamento, aplicamos unidades constantes de tempo ao recíproco. Do ponto de vista físico, isso parece uma desaceleração no tempo até parar completamente no momento em que Aquiles alcança a tartaruga. Se o tempo parar, Aquiles não pode mais ultrapassar a tartaruga.

Se virarmos a lógica a que estamos acostumados, tudo se encaixa. Aquiles corre com velocidade constante. Cada segmento subsequente de seu caminho é dez vezes mais curto que o anterior. Assim, o tempo gasto para superá-lo é dez vezes menor que o anterior. Se aplicarmos o conceito de "infinito" nessa situação, seria correto dizer "Aquiles ultrapassará a tartaruga infinitamente rapidamente".

Como evitar essa armadilha lógica? Permaneça em unidades de tempo constantes e não mude para valores recíprocos. Na linguagem de Zeno, fica assim:

No tempo que Aquiles leva para correr mil passos, a tartaruga rasteja cem passos na mesma direção. Durante o próximo intervalo de tempo, igual ao primeiro, Aquiles dará mais mil passos e a tartaruga rastejará cem passos. Agora Aquiles está oitocentos passos à frente da tartaruga.

Esta abordagem descreve adequadamente a realidade sem quaisquer paradoxos lógicos. Mas esta não é uma solução completa para o problema. A afirmação de Einstein sobre a intransponibilidade da velocidade da luz é muito semelhante à aporia de Zenão "Aquiles e a tartaruga". Ainda temos que estudar, repensar e resolver esse problema. E a solução deve ser buscada não em números infinitamente grandes, mas em unidades de medida.

Outra aporia interessante de Zenão fala de uma flecha voadora:

Uma flecha voadora é imóvel, pois a cada momento está em repouso, e como está em repouso a cada momento, está sempre em repouso.

Nesta aporia, o paradoxo lógico é superado de forma muito simples - basta esclarecer que a cada momento a flecha voadora está em repouso em diferentes pontos do espaço, o que, na verdade, é movimento. Há outro ponto a ser observado aqui. A partir de uma fotografia de um carro na estrada, é impossível determinar o fato de seu movimento ou a distância até ele. Para determinar o fato do movimento do carro, são necessárias duas fotografias tiradas do mesmo ponto em pontos diferentes no tempo, mas não podem ser usadas para determinar a distância. Para determinar a distância até o carro, você precisa de duas fotografias tiradas de diferentes pontos no espaço ao mesmo tempo, mas não pode determinar o fato do movimento delas (é claro, você ainda precisa de dados adicionais para cálculos, a trigonometria o ajudará) . No que eu quero focar Atenção especial, é que dois pontos no tempo e dois pontos no espaço são coisas diferentes que não devem ser confundidas, pois oferecem diferentes oportunidades de exploração.

quarta-feira, 4 de julho de 2018

Muito bem as diferenças entre set e multiset estão descritas na Wikipedia. Nós olhamos.

Como você pode ver, "o conjunto não pode ter dois elementos idênticos", mas se houver elementos idênticos no conjunto, esse conjunto é chamado de "multiconjunto". Os seres racionais jamais compreenderão tal lógica do absurdo. Este é o nível de papagaios falantes e macacos treinados, no qual a mente está ausente da palavra "completamente". Os matemáticos agem como treinadores comuns, pregando suas ideias absurdas para nós.

Era uma vez, os engenheiros que construíram a ponte estavam em um barco debaixo da ponte durante os testes da ponte. Se a ponte desabasse, o engenheiro medíocre morria sob os escombros de sua criação. Se a ponte pudesse suportar a carga, o talentoso engenheiro construiu outras pontes.

Por mais que os matemáticos se escondam atrás da frase "cuidado comigo, estou em casa", ou melhor, "a matemática estuda conceitos abstratos", há um cordão umbilical que os conecta inextricavelmente com a realidade. Este cordão umbilical é dinheiro. Aplicável teoria matemática define para os próprios matemáticos.

Estudamos matemática muito bem e agora estamos sentados no caixa, pagando salários. Aqui um matemático vem até nós por seu dinheiro. Contamos o valor total para ele e o colocamos em nossa mesa em pilhas diferentes, nas quais colocamos notas do mesmo valor. Em seguida, pegamos uma nota de cada pilha e damos ao matemático seu "conjunto de salários matemáticos". Explicamos a matemática que ele receberá o restante das contas somente quando provar que o conjunto sem elementos idênticos não é igual ao conjunto com os mesmos elementos. Isto é onde a diversão começa.

Em primeiro lugar, a lógica dos deputados funcionará: "você pode aplicar aos outros, mas não a mim!" Além disso, começarão as garantias de que existem números de notas diferentes nas notas da mesma denominação, o que significa que elas não podem ser consideradas elementos idênticos. Bem, contamos o salário em moedas - não há números nas moedas. Aqui o matemático lembrará freneticamente da física: moedas diferentes têm quantidades diferentes de sujeira, a estrutura cristalina e o arranjo dos átomos para cada moeda são únicos ...

E agora eu tenho o máximo interesse Pergunte: onde está o limite além do qual os elementos de um multiconjunto se transformam em elementos de um conjunto e vice-versa? Tal linha não existe - tudo é decidido pelos xamãs, a ciência aqui não está nem perto.

Olhe aqui. Selecionamos estádios de futebol com a mesma área de campo. A área dos campos é a mesma, o que significa que temos um multiset. Mas se considerarmos os nomes dos mesmos estádios, conseguimos muito, porque os nomes são diferentes. Como você pode ver, o mesmo conjunto de elementos é um conjunto e um multiconjunto ao mesmo tempo. Como certo? E aqui o matemático-xamã-shuller tira um ás de trunfo da manga e começa a nos falar sobre um conjunto ou um multiconjunto. De qualquer forma, ele nos convencerá de que está certo.

Para entender como os xamãs modernos operam com a teoria dos conjuntos, atrelando-a à realidade, basta responder a uma pergunta: como os elementos de um conjunto diferem dos elementos de outro conjunto? Vou lhe mostrar, sem nenhum "concebível como um todo" ou "não concebível como um todo".

domingo, 18 de março de 2018

A soma dos dígitos de um número é uma dança de xamãs com um pandeiro, que nada tem a ver com matemática. Sim, nas aulas de matemática somos ensinados a encontrar a soma dos dígitos de um número e usá-la, mas eles são xamãs para isso, para ensinar seus descendentes suas habilidades e sabedoria, caso contrário os xamãs simplesmente morrerão.

Você precisa de provas? Abra a Wikipedia e tente encontrar a página "Soma de dígitos de um número". Ela não existe. Não existe uma fórmula em matemática pela qual você possa encontrar a soma dos dígitos de qualquer número. Afinal, os números são símbolos gráficos com os quais escrevemos números e, na linguagem da matemática, a tarefa soa assim: "Encontre a soma dos símbolos gráficos que representam qualquer número". Os matemáticos não podem resolver este problema, mas os xamãs podem fazê-lo de forma elementar.

Vamos ver o que e como fazemos para encontrar a soma dos dígitos de um determinado número. E assim, digamos que temos o número 12345. O que precisa ser feito para encontrar a soma dos dígitos desse número? Vamos considerar todas as etapas em ordem.

1. Anote o número em um pedaço de papel. O que nos fizemos? Convertemos o número em um símbolo gráfico numérico. Esta não é uma operação matemática.

2. Cortamos uma foto recebida em várias fotos contendo números separados. Cortar uma imagem não é uma operação matemática.

3. Converta caracteres gráficos individuais em números. Esta não é uma operação matemática.

4. Some os números resultantes. Agora isso é matemática.

A soma dos dígitos do número 12345 é 15. São os "cursos de corte e costura" dos xamãs usados ​​pelos matemáticos. Mas isso não é tudo.

Do ponto de vista da matemática, não importa em qual sistema numérico escrevemos o número. Então, em sistemas diferentes contando, a soma dos dígitos do mesmo número será diferente. Em matemática, o sistema numérico é indicado como um subscrito à direita do número. Com um grande número de 12345, não quero enganar minha cabeça, considere o número 26 do artigo sobre. Vamos escrever este número em sistemas numéricos binários, octais, decimais e hexadecimais. Não consideraremos cada etapa sob um microscópio, já fizemos isso. Vejamos o resultado.

Como você pode ver, em diferentes sistemas numéricos, a soma dos dígitos do mesmo número é diferente. Este resultado não tem nada a ver com matemática. É como encontrar a área de um retângulo em metros e centímetros lhe daria resultados completamente diferentes.

Zero em todos os sistemas numéricos parece o mesmo e não tem soma de dígitos. Este é outro argumento a favor do fato de que . Uma pergunta para os matemáticos: como se denota em matemática aquilo que não é um número? O que, para os matemáticos, nada além de números existe? Para os xamãs, posso permitir isso, mas para os cientistas, não. A realidade não é apenas sobre números.

O resultado obtido deve ser considerado como prova de que os sistemas numéricos são unidades de medida dos números. Afinal, não podemos comparar números com unidades de medida diferentes. Se as mesmas ações com diferentes unidades de medida da mesma quantidade levam a resultados diferentes depois de compará-los, então não tem nada a ver com matemática.

O que é matemática de verdade? É quando o resultado de uma ação matemática não depende do valor do número, da unidade de medida utilizada e de quem realiza essa ação.

Sinal na porta Abre a porta e diz:

Ai! Este não é o banheiro feminino?
- Jovem! Este é um laboratório para estudar a santidade indefinida das almas após a ascensão ao céu! Nimbus no topo e seta para cima. Que outro banheiro?

Feminino... Uma auréola em cima e uma seta para baixo é masculina.

Se você tem uma obra de arte de design piscando diante de seus olhos várias vezes ao dia,

Então não é de surpreender que de repente você encontre um ícone estranho em seu carro:

Pessoalmente, eu me esforço para ver menos quatro graus em uma pessoa fazendo cocô (uma foto) (composição de várias fotos: sinal de menos, número quatro, designação de graus). E eu não acho que essa garota é estúpida, não quem sabe física. Ela só tem um estereótipo de arco de percepção de imagens gráficas. E os matemáticos nos ensinam isso o tempo todo. Aqui está um exemplo.

1A não é "menos quatro graus" ou "um a". Isso é "pooping man" ou o número "vinte e seis" no sistema numérico hexadecimal. As pessoas que trabalham constantemente nesse sistema numérico percebem automaticamente o número e a letra como um símbolo gráfico.

§ 87. Adição de frações.

A adição de frações tem muitas semelhanças com a adição de números inteiros. A adição de frações é uma ação que consiste no fato de vários números dados (termos) serem combinados em um número (soma), que contém todas as unidades e frações de unidades de termos.

Vamos considerar três casos sucessivamente:

1. Adição de frações com denominadores iguais.
2. Adição de frações com denominadores diferentes.
3. Adição de números mistos.

1. Adição de frações com os mesmos denominadores.

Considere um exemplo: 1/5 + 2/5.

Pegue o segmento AB (Fig. 17), tome-o como uma unidade e divida por 5 partes iguais, então a parte AC deste segmento será igual a 1/5 do segmento AB, e a parte do mesmo segmento CD será igual a 2/5 AB.

Pode-se ver no desenho que se pegarmos o segmento AD, então será igual a 3/5 AB; mas o segmento AD é precisamente a soma dos segmentos AC e CD. Assim, podemos escrever:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Considerando esses termos e a quantidade resultante, vemos que o numerador da soma foi obtido pela soma dos numeradores dos termos, e o denominador permaneceu inalterado.

A partir disso, obtemos a seguinte regra: Para somar frações com os mesmos denominadores, você deve somar seus numeradores e deixar o mesmo denominador.

Considere um exemplo:

2. Adição de frações com denominadores diferentes.

Vamos adicionar frações: 3/4 + 3/8 Primeiro elas precisam ser reduzidas ao menor denominador comum:

O link intermediário 6/8 + 3/8 não pode ter sido escrito; nós o escrevemos aqui para maior clareza.

Assim, para somar frações com denominadores diferentes, você deve primeiro trazê-las para o menor denominador comum, somar seus numeradores e assinar o denominador comum.

Considere um exemplo (escreveremos fatores adicionais sobre as frações correspondentes):

3. Adição de números mistos.

Vamos somar os números: 2 3/8 + 3 5/6.

Vamos primeiro trazer as partes fracionárias de nossos números para um denominador comum e reescrevê-las novamente:

Agora adicione as partes inteiras e fracionárias em sequência:

§ 88. Subtração de frações.

A subtração de frações é definida da mesma forma que a subtração de números inteiros. Esta é uma ação pela qual, dada a soma de dois termos e um deles, outro termo é encontrado. Vamos considerar três casos por vez:

1. Subtração de frações com os mesmos denominadores.
2. Subtração de frações com denominadores diferentes.
3. Subtração de números mistos.

1. Subtração de frações com os mesmos denominadores.

Considere um exemplo:

13 / 15 - 4 / 15

Vamos pegar o segmento AB (Fig. 18), tomá-lo como uma unidade e dividi-lo em 15 partes iguais; então a parte AC deste segmento será 1/15 de AB, e a parte AD do mesmo segmento corresponderá a 13/15 de AB. Vamos separar outro segmento ED, igual a 4/15 AB.

Precisamos subtrair 4/15 de 13/15. No desenho, isso significa que o segmento ED deve ser subtraído do segmento AD. Com isso, permanecerá o segmento AE, que é 9/15 do segmento AB. Assim podemos escrever:

O exemplo que fizemos mostra que o numerador da diferença foi obtido subtraindo os numeradores, e o denominador permaneceu o mesmo.

Portanto, para subtrair frações com os mesmos denominadores, você precisa subtrair o numerador do subtraendo do numerador do minuendo e deixar o mesmo denominador.

2. Subtração de frações com denominadores diferentes.

Exemplo. 3/4 - 5/8

Primeiro, vamos reduzir essas frações ao menor denominador comum:

O link intermediário 6/8 - 5/8 está escrito aqui para maior clareza, mas pode ser ignorado no futuro.

Assim, para subtrair uma fração de uma fração, você deve primeiro trazê-los ao menor denominador comum, depois subtrair o numerador do subtraendo do numerador do minuendo e assinar o denominador comum sob sua diferença.

Considere um exemplo:

3. Subtração de números mistos.

Exemplo. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Vamos trazer as partes fracionárias do minuendo e do subtraendo para o menor denominador comum:

Subtraímos um inteiro de um todo e uma fração de uma fração. Mas há casos em que a parte fracionária do subtraendo é maior que a parte fracionária do minuendo. Nesses casos, você precisa pegar uma unidade da parte inteira do minuendo, dividi-la nas partes nas quais a parte fracionária é expressa e adicionar à parte fracionária do minuendo. E então a subtração será realizada da mesma forma que no exemplo anterior:

§ 89. Multiplicação de frações.

Ao estudar a multiplicação de frações, consideraremos as seguintes questões:

1. Multiplicando uma fração por um inteiro.
2. Encontrar uma fração de um determinado número.
3. Multiplicação de um número inteiro por uma fração.
4. Multiplicando uma fração por uma fração.
5. Multiplicação de números mistos.
6. O conceito de interesse.
7. Encontrar porcentagens de um determinado número. Vamos considerá-los sequencialmente.

1. Multiplicando uma fração por um inteiro.

Multiplicar uma fração por um inteiro tem o mesmo significado que multiplicar um inteiro por um inteiro. Multiplicar uma fração (multiplicador) por um inteiro (multiplicador) significa compor a soma de termos idênticos, em que cada termo é igual ao multiplicando, e o número de termos é igual ao multiplicador.

Então, se você precisar multiplicar 1/9 por 7, isso pode ser feito assim:

Obtemos o resultado facilmente, pois a ação se reduzia a somar frações com os mesmos denominadores. Conseqüentemente,

A consideração dessa ação mostra que multiplicar uma fração por um inteiro é equivalente a aumentar essa fração quantas vezes houver unidades no inteiro. E como o aumento da fração é alcançado aumentando seu numerador

ou diminuindo seu denominador , então podemos multiplicar o numerador pelo inteiro ou dividir o denominador por ele, se tal divisão for possível.

A partir daqui temos a regra:

Para multiplicar uma fração por um inteiro, você precisa multiplicar o numerador por esse inteiro e deixar o mesmo denominador ou, se possível, dividir o denominador por esse número, deixando o numerador inalterado.

Ao multiplicar, abreviações são possíveis, por exemplo:

2. Encontrar uma fração de um determinado número. Existem muitos problemas nos quais você precisa encontrar ou calcular uma parte de um determinado número. A diferença entre essas tarefas e outras é que elas dão o número de alguns objetos ou unidades de medida e você precisa encontrar uma parte desse número, que também é indicado aqui por uma certa fração. Para facilitar a compreensão, primeiro daremos exemplos de tais problemas e, em seguida, apresentaremos o método de resolvê-los.

Tarefa 1. Eu tinha 60 rublos; 1/3 desse dinheiro gastei na compra de livros. Quanto custaram os livros?

Tarefa 2. O trem deve percorrer a distância entre as cidades A e B, igual a 300 km. Ele já percorreu 2/3 dessa distância. Quantos quilômetros é isso?

Tarefa 3. Existem 400 casas na aldeia, 3/4 delas são de alvenaria, as restantes são de madeira. Quantos casas de tijolos?

Aqui estão alguns daqueles inúmeras tarefas para encontrar uma parte de um determinado número que temos que encontrar. Eles geralmente são chamados de problemas para encontrar uma fração de um determinado número.

Solução do problema 1. A partir de 60 rublos. Gastei 1/3 em livros; Então, para encontrar o custo dos livros, você precisa dividir o número 60 por 3:

Solução do problema 2. O significado do problema é que você precisa encontrar 2/3 de 300 km. Calcule o primeiro 1/3 de 300; isto é conseguido dividindo 300 km por 3:

300: 3 = 100 (isso é 1/3 de 300).

Para encontrar dois terços de 300, você precisa dobrar o quociente resultante, ou seja, multiplicar por 2:

100 x 2 = 200 (isso é 2/3 de 300).

Solução do problema 3. Aqui você precisa determinar o número de casas de tijolos, que são 3/4 de 400. Vamos primeiro encontrar 1/4 de 400,

400: 4 = 100 (isso é 1/4 de 400).

Para calcular três quartos de 400, o quociente resultante deve ser triplicado, ou seja, multiplicado por 3:

100 x 3 = 300 (isso é 3/4 de 400).

Com base na solução desses problemas, podemos derivar a seguinte regra:

Para encontrar o valor de uma fração de um determinado número, você precisa dividir esse número pelo denominador da fração e multiplicar o quociente resultante por seu numerador.

3. Multiplicação de um número inteiro por uma fração.

Anteriormente (§ 26) foi estabelecido que a multiplicação de números inteiros deve ser entendida como a adição de termos idênticos (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Neste parágrafo (parágrafo 1) foi estabelecido que multiplicar uma fração por um número inteiro significa encontrar a soma de termos idênticos igual a esta fração.

Em ambos os casos, a multiplicação consistiu em encontrar a soma de termos idênticos.

Agora vamos multiplicar um número inteiro por uma fração. Aqui nos encontraremos com tal, por exemplo, multiplicação: 9 2 / 3. É bastante óbvio que a definição anterior de multiplicação não se aplica a este caso. Isso é evidente pelo fato de que não podemos substituir tal multiplicação pela adição de números iguais.

Por isso, teremos que dar uma nova definição de multiplicação, ou seja, responder a questão do que deve ser entendido por multiplicação por uma fração, como essa ação deve ser entendida.

O significado de multiplicar um número inteiro por uma fração é claro a partir da seguinte definição: multiplicar um inteiro (multiplicador) por uma fração (multiplicador) significa encontrar essa fração do multiplicador.

Ou seja, multiplicar 9 por 2/3 significa encontrar 2/3 de nove unidades. No parágrafo anterior, tais problemas foram resolvidos; então é fácil descobrir que acabamos com 6.

Mas agora há um interessante e questão importante: por que ações aparentemente diferentes como encontrar a soma de números iguais e encontrar a fração de um número são chamadas a mesma palavra “multiplicação” em aritmética?

Isso acontece porque a ação anterior (repetir o número com termos várias vezes) e a nova ação (encontrar a fração de um número) dão uma resposta a perguntas homogêneas. Isso significa que partimos aqui das considerações de que questões ou tarefas homogêneas são resolvidas por uma única e mesma ação.

Para entender isso, considere o seguinte problema: “1 m de tecido custa 50 rublos. Quanto custará 4 m desse tecido?

Este problema é resolvido multiplicando o número de rublos (50) pelo número de metros (4), ou seja, 50 x 4 = 200 (rublos).

Vamos pegar o mesmo problema, mas nele a quantidade de tecido será expressa como um número fracionário: “1 m de tecido custa 50 rublos. Quanto custará 3/4 m desse tecido?

Este problema também precisa ser resolvido multiplicando o número de rublos (50) pelo número de metros (3/4).

Você também pode alterar os números várias vezes sem alterar o significado do problema, por exemplo, pegue 9/10 m ou 2 3/10 m, etc.

Como esses problemas têm o mesmo conteúdo e diferem apenas em números, chamamos as ações usadas para resolvê-los de mesma palavra - multiplicação.

Como se multiplica um número inteiro por uma fração?

Vamos pegar os números encontrados no último problema:

De acordo com a definição, devemos encontrar 3/4 de 50. Primeiro encontramos 1/4 de 50 e depois 3/4.

1/4 de 50 é 50/4;

3/4 de 50 é .

Conseqüentemente.

Considere outro exemplo: 12 5 / 8 = ?

1/8 de 12 é 12/8,

5/8 do número 12 é .

Conseqüentemente,

A partir daqui temos a regra:

Para multiplicar um inteiro por uma fração, você precisa multiplicar o inteiro pelo numerador da fração e fazer deste produto o numerador, e assinar o denominador da fração dada como denominador.

Escrevemos esta regra usando letras:

Para deixar essa regra perfeitamente clara, deve-se lembrar que uma fração pode ser considerada um quociente. Portanto, é útil comparar a regra encontrada com a regra para multiplicar um número por um quociente, que foi estabelecida no § 38

Deve ser lembrado que antes de realizar a multiplicação, você deve fazer (se possível) cortes, Por exemplo:

4. Multiplicando uma fração por uma fração. Multiplicar uma fração por uma fração tem o mesmo significado que multiplicar um inteiro por uma fração, ou seja, ao multiplicar uma fração por uma fração, você precisa encontrar a fração no multiplicador a partir da primeira fração (multiplicador).

Ou seja, multiplicar 3/4 por 1/2 (metade) significa encontrar metade de 3/4.

Como você multiplica uma fração por uma fração?

Vamos dar um exemplo: 3/4 vezes 5/7. Isso significa que você precisa encontrar 5/7 de 3/4. Encontre primeiro 1/7 de 3/4 e depois 5/7

1/7 de 3/4 seria expresso assim:

5/7 números 3/4 serão expressos da seguinte forma:

Por isso,

Outro exemplo: 5/8 vezes 4/9.

1/9 de 5/8 é,

4/9 números 5/8 são .

Por isso,

A partir desses exemplos, a seguinte regra pode ser deduzida:

Para multiplicar uma fração por uma fração, você precisa multiplicar o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador e fazer do primeiro produto o numerador e o segundo produto o denominador do produto.

Esta é a regra em visão geral pode ser escrito assim:

Ao multiplicar, é necessário fazer (se possível) reduções. Considere exemplos:

5. Multiplicação de números mistos. Como os números mistos podem ser facilmente substituídos por frações impróprias, essa circunstância geralmente é usada na multiplicação de números mistos. Isso significa que nos casos em que o multiplicando, ou o multiplicador, ou ambos os fatores são expressos como números mistos, eles são substituídos por frações impróprias. Multiplique, por exemplo, números mistos: 2 1/2 e 3 1/5. Transformamos cada um deles em uma fração imprópria e, em seguida, multiplicaremos as frações resultantes de acordo com a regra de multiplicar uma fração por uma fração:

Regra. Para multiplicar números mistos, você deve primeiro convertê-los em frações impróprias e depois multiplicar de acordo com a regra de multiplicar uma fração por uma fração.

Observação. Se um dos fatores for um número inteiro, a multiplicação pode ser realizada com base na lei de distribuição da seguinte forma:

6. O conceito de interesse. Ao resolver problemas e ao realizar vários cálculos práticos, usamos todos os tipos de frações. Mas deve-se ter em mente que muitas quantidades admitem não quaisquer, mas subdivisões naturais para elas. Por exemplo, você pode pegar um centésimo (1/100) de um rublo, será um centavo, dois centésimos são 2 copeques, três centésimos são 3 copeques. Você pode pegar 1/10 do rublo, será "10 copeques, ou um centavo. Você pode pegar um quarto do rublo, ou seja, 25 copeques, meio rublo, ou seja, 50 copeques (cinquenta copeques). Mas eles praticamente não não tome, por exemplo, 2/7 rublos porque o rublo não é dividido em sétimos.

A unidade de medida do peso, ou seja, o quilograma, permite, em primeiro lugar, subdivisões decimais, por exemplo, 1/10 kg ou 100 g. E frações de um quilograma como 1/6, 1/11, 1/ 13 são incomuns.

Em geral, nossas medidas (métricas) são decimais e permitem subdivisões decimais.

No entanto, deve-se notar que é extremamente útil e conveniente em uma ampla variedade de casos usar o mesmo método (uniforme) de subdividir quantidades. Muitos anos de experiência mostraram que uma divisão tão bem justificada é a divisão dos "centésimos". Vejamos alguns exemplos relacionados às mais diversas áreas da prática humana.

1. O preço dos livros diminuiu 12/100 do preço anterior.

Exemplo. O preço anterior do livro é de 10 rublos. Ela caiu 1 rublo. 20 kop.

2. As caixas económicas pagam durante o ano aos depositantes 2/100 do valor que é depositado na poupança.

Exemplo. 500 rublos são colocados no caixa, a receita desse valor para o ano é de 10 rublos.

3. O número de graduados de uma escola era 5/100 do número total de alunos.

EXEMPLO Apenas 1.200 alunos estudaram na escola, 60 deles se formaram na escola.

O centésimo de um número é chamado de porcentagem..

A palavra "porcentagem" é emprestada de latim e sua raiz "cent" significa cem. Juntamente com a preposição (pro centum), esta palavra significa "por cem". O significado desta expressão decorre do fato de que inicialmente em Roma antiga juros era o dinheiro que o devedor pagava ao credor "para cada cem". A palavra "cent" é ouvida em palavras tão familiares: centner (cem quilogramas), centímetro (eles dizem centímetro).

Por exemplo, em vez de dizer que a fábrica produziu 1/100 de todos os produtos produzidos por ela durante o mês passado, diremos o seguinte: a fábrica produziu um por cento dos rejeitos durante o mês passado. Em vez de dizer: a fábrica produziu 4/100 produtos a mais do que o plano estabelecido, diremos: a fábrica superou o plano em 4%.

Os exemplos acima podem ser expressos de forma diferente:

1. O preço dos livros diminuiu 12% do preço anterior.

2. Os bancos de poupança pagam aos depositantes 2% ao ano do valor investido na poupança.

3. O número de graduados de uma escola era 5% do número de todos os alunos da escola.

Para encurtar a letra, costuma-se escrever o sinal % em vez da palavra "porcentagem".

No entanto, deve-se lembrar que o sinal % geralmente não é escrito nos cálculos, pode ser escrito no enunciado do problema e no resultado final. Ao realizar cálculos, você precisa escrever uma fração com denominador de 100 em vez de um número inteiro com este ícone.

Você precisa ser capaz de substituir um inteiro pelo ícone especificado por uma fração com denominador de 100:

Por outro lado, você precisa se acostumar a escrever um inteiro com o ícone indicado em vez de uma fração com denominador 100:

7. Encontrar porcentagens de um determinado número.

Tarefa 1. A escola recebeu 200 metros cúbicos. m de lenha, com a lenha de bétula representando 30%. Quanta madeira de bétula havia?

O significado deste problema é que a lenha de bétula era apenas uma parte da lenha que foi entregue à escola, e essa parte é expressa como uma fração de 30/100. Assim, nos deparamos com a tarefa de encontrar uma fração de um número. Para resolvê-lo, devemos multiplicar 200 por 30 / 100 (as tarefas para encontrar a fração de um número são resolvidas multiplicando um número por uma fração.).

Então 30% de 200 é igual a 60.

A fração 30/100 encontrada neste problema pode ser reduzida em 10. Seria possível realizar essa redução desde o início; a solução para o problema não mudaria.

Tarefa 2. Havia 300 crianças no acampamento Diferentes idades. Crianças de 11 anos eram 21%, crianças de 12 anos eram 61% e, finalmente, crianças de 13 anos eram 18%. Quantas crianças de cada idade estavam no acampamento?

Neste problema, você precisa realizar três cálculos, ou seja, encontrar sucessivamente o número de crianças de 11 anos, depois 12 anos e, finalmente, 13 anos.

Então, aqui será necessário encontrar uma fração de um número três vezes. Vamos fazê-lo:

1) Quantas crianças tinham 11 anos?

2) Quantas crianças tinham 12 anos?

3) Quantas crianças tinham 13 anos?

Depois de resolver o problema, é útil somar os números encontrados; sua soma deve ser 300:

63 + 183 + 54 = 300

Você também deve prestar atenção ao fato de que a soma das porcentagens dadas na condição do problema é 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Isso sugere que número total crianças que estavam no acampamento foi considerado 100%.

3 a da cha 3. O trabalhador recebia 1.200 rublos por mês. Destes, gastou 65% em alimentação, 6% em apartamento e aquecimento, 4% em gás, eletricidade e rádio, 10% em necessidades culturais e 15% economizou. Quanto dinheiro foi gasto nas necessidades indicadas na tarefa?

Para resolver este problema, você precisa encontrar uma fração do número 1.200 5 vezes.

1) Quanto dinheiro é gasto em comida? A tarefa diz que essa despesa é 65% de todos os ganhos, ou seja, 65/100 do número 1.200. Vamos fazer o cálculo:

2) Quanto dinheiro foi pago por um apartamento com aquecimento? Argumentando como o anterior, chegamos ao seguinte cálculo:

3) Quanto você pagou pelo gás, eletricidade e rádio?

4) Quanto dinheiro é gasto em necessidades culturais?

5) Quanto dinheiro o trabalhador economizou?

Para verificação, é útil somar os números encontrados nestas 5 questões. O valor deve ser de 1.200 rublos. Todos os ganhos são considerados 100%, o que é fácil de verificar somando as porcentagens dadas na condição do problema.

Resolvemos três problemas. Apesar do fato de que essas tarefas lidavam com várias coisas(entrega de lenha para a escola, o número de crianças de diferentes idades, as despesas do trabalhador), eram resolvidas da mesma forma. Isso aconteceu porque em todas as tarefas foi necessário encontrar uma pequena porcentagem dos números fornecidos.

§ 90. Divisão de frações.

Ao estudar a divisão de frações, consideraremos as seguintes questões:

1. Divida um inteiro por um inteiro.
2. Divisão de uma fração por um inteiro
3. Divisão de um inteiro por uma fração.
4. Divisão de uma fração por uma fração.
5. Divisão de números mistos.
6. Encontrar um número dado sua fração.
7. Encontrar um número por sua porcentagem.

Vamos considerá-los sequencialmente.

1. Divida um inteiro por um inteiro.

Como foi indicado na seção sobre números inteiros, a divisão é a ação que consiste no fato de que, dado o produto de dois fatores (o dividendo) e um desses fatores (o divisor), outro fator é encontrado.

A divisão de um inteiro por um inteiro nós consideramos no departamento de inteiros. Encontramos aí dois casos de divisão: divisão sem resto, ou "inteiramente" (150: 10 = 15), e divisão com resto (100: 9 = 11 e 1 no resto). Podemos, portanto, dizer que no domínio dos inteiros nem sempre é possível a divisão exata, pois o dividendo nem sempre é o produto do divisor pelo inteiro. Após a introdução da multiplicação por uma fração, podemos considerar qualquer caso de divisão de inteiros possível (apenas a divisão por zero é excluída).

Por exemplo, dividir 7 por 12 significa encontrar um número cujo produto vezes 12 seria 7. Esse número é a fração 7/12 porque 7/12 12 = 7. Outro exemplo: 14: 25 = 14/25 porque 14/25 25 = 14.

Assim, para dividir um inteiro por um inteiro, você precisa fazer uma fração, cujo numerador é igual ao dividendo e o denominador é o divisor.

2. Divisão de uma fração por um inteiro.

Divida a fração 6/7 por 3. De acordo com a definição de divisão dada acima, temos aqui o produto (6/7) e um dos fatores (3); é necessário encontrar um segundo fator que, quando multiplicado por 3, daria ao produto dado 6/7. Obviamente, deve ser três vezes menor que este produto. Isso significa que a tarefa proposta diante de nós era reduzir a fração 6/7 em 3 vezes.

Já sabemos que a redução de uma fração pode ser feita diminuindo seu numerador ou aumentando seu denominador. Portanto, você pode escrever:

NO este caso o numerador 6 é divisível por 3, então o numerador deve ser reduzido em 3 vezes.

Vamos dar outro exemplo: 5/8 dividido por 2. Aqui o numerador 5 não é divisível por 2, o que significa que o denominador terá que ser multiplicado por este número:

Com base nisso, podemos enunciar a regra: Para dividir uma fração por um inteiro, você precisa dividir o numerador da fração por esse inteiro(se possível), deixando o mesmo denominador, ou multiplique o denominador da fração por este número, deixando o mesmo numerador.

3. Divisão de um inteiro por uma fração.

Que seja necessário dividir 5 por 1/2, ou seja, encontrar um número que, depois de multiplicado por 1/2, dê o produto 5. Obviamente, esse número deve ser maior que 5, pois 1/2 é uma fração própria, e ao multiplicar um número por uma fração própria, o produto deve ser menor que o multiplicando. Para deixar mais claro, vamos escrever nossas ações da seguinte forma: 5: 1 / 2 = X , então x 1 / 2 \u003d 5.

Devemos encontrar tal número X , que, quando multiplicado por 1/2, daria 5. Como multiplicar um certo número por 1/2 significa encontrar 1/2 desse número, então, portanto, 1/2 do número desconhecido X é 5, e o número inteiro X duas vezes mais, ou seja, 5 2 \u003d 10.

Então 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Vamos checar:

Vamos considerar mais um exemplo. Seja necessário dividir 6 por 2/3. Vamos primeiro tentar encontrar o resultado desejado usando o desenho (Fig. 19).

Fig.19

Desenhe um segmento AB, igual a 6 de algumas unidades, e divida cada unidade em 3 partes iguais. Em cada unidade, três terços (3/3) em todo o segmento AB é 6 vezes maior, ou seja, e. 18/3. Conectamos com a ajuda de pequenos colchetes 18 segmentos obtidos de 2; Serão apenas 9 segmentos. Isso significa que a fração 2/3 está contida em b unidades 9 vezes, ou seja, a fração 2/3 é 9 vezes menor que 6 unidades inteiras. Conseqüentemente,

Como obter esse resultado sem desenho usando apenas cálculos? Vamos argumentar da seguinte forma: é necessário dividir 6 por 2/3, ou seja, é necessário responder à pergunta, quantas vezes 2/3 está contido em 6. Vamos descobrir primeiro: quantas vezes é 1/3 contido em 6? Em uma unidade inteira - 3 terços e em 6 unidades - 6 vezes mais, ou seja, 18 terços; para encontrar esse número, devemos multiplicar 6 por 3. Portanto, 1/3 está contido em b unidades 18 vezes, e 2/3 está contido em b unidades não 18 vezes, mas metade das vezes, ou seja, 18: 2 = 9 . Portanto, ao dividir 6 por 2/3 fizemos o seguinte:

A partir daqui, obtemos a regra para dividir um inteiro por uma fração. Para dividir um inteiro por uma fração, você precisa multiplicar esse inteiro pelo denominador da fração dada e, tornando este produto o numerador, dividi-lo pelo numerador da fração dada.

Escrevemos a regra usando letras:

Para deixar essa regra perfeitamente clara, deve-se lembrar que uma fração pode ser considerada um quociente. Portanto, é útil comparar a regra encontrada com a regra para dividir um número por um quociente, que foi estabelecida no § 38. Observe que a mesma fórmula foi obtida lá.

Ao dividir, abreviações são possíveis, por exemplo:

4. Divisão de uma fração por uma fração.

Que seja necessário dividir 3/4 por 3/8. O que denotará o número que será obtido como resultado da divisão? Ele responderá à pergunta quantas vezes a fração 3/8 está contida na fração 3/4. Para entender esta questão, vamos fazer um desenho (Fig. 20).

Pegue o segmento AB, tome-o como uma unidade, divida-o em 4 partes iguais e marque 3 dessas partes. O segmento AC será igual a 3/4 do segmento AB. Vamos agora dividir cada um dos quatro segmentos iniciais ao meio, então o segmento AB será dividido em 8 partes iguais e cada uma dessas partes será igual a 1/8 do segmento AB. Conectamos 3 desses segmentos com arcos, então cada um dos segmentos AD e DC será igual a 3/8 do segmento AB. O desenho mostra que o segmento igual a 3/8 está contido no segmento igual a 3/4 exatamente 2 vezes; Assim, o resultado da divisão pode ser escrito assim:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Vamos considerar mais um exemplo. Seja necessário dividir 15/16 por 32/3:

Podemos raciocinar assim: precisamos encontrar um número que, depois de multiplicado por 3/32, dê um produto igual a 15/16. Vamos escrever os cálculos assim:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 número desconhecido X compõem 15/16

1/32 número desconhecido X é ,

32/32 números X Maquiagem .

Conseqüentemente,

Assim, para dividir uma fração por uma fração, você precisa multiplicar o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda, e multiplicar o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda e fazer do primeiro produto o numerador e o segundo o denominador.

Vamos escrever a regra usando letras:

Ao dividir, abreviações são possíveis, por exemplo:

5. Divisão de números mistos.

Ao dividir números mistos, eles devem primeiro ser convertidos em frações impróprias e, em seguida, as frações resultantes devem ser divididas de acordo com as regras de divisão de números fracionários. Considere um exemplo:

Converter números mistos em frações impróprias:

Agora vamos dividir:

Assim, para dividir números mistos, você precisa convertê-los em frações impróprias e depois dividir de acordo com a regra de divisão de frações.

6. Encontrar um número dado sua fração.

Entre várias tarefas em frações, às vezes há aquelas em que o valor de alguma fração de um número desconhecido é dado e é necessário encontrar esse número. Esse tipo de problema será inverso ao problema de encontrar a fração de um determinado número; lá foi dado um número e era necessário encontrar alguma fração desse número, aqui é dada uma fração de um número e é necessário encontrar esse próprio número. Essa ideia ficará ainda mais clara se nos voltarmos para a solução desse tipo de problema.

Tarefa 1. No primeiro dia, os vidraceiros esquadrinharam 50 janelas, o que representa 1/3 de todas as janelas da casa construída. Quantas janelas há nesta casa?

Decisão. O problema diz que 50 janelas envidraçadas compõem 1/3 de todas as janelas da casa, o que significa que há 3 vezes mais janelas no total, ou seja,

A casa tinha 150 janelas.

Tarefa 2. A loja vendeu 1.500 kg de farinha, o que representa 3/8 do estoque total de farinha na loja. Qual era o suprimento inicial de farinha da loja?

Decisão. Pode-se ver pela condição do problema que os 1.500 kg de farinha vendidos representam 3/8 do estoque total; isso significa que 1/8 desse estoque será 3 vezes menor, ou seja, para calculá-lo, você precisa reduzir 1500 em 3 vezes:

1.500: 3 = 500 (isso é 1/8 do estoque).

Obviamente, todo o estoque será 8 vezes maior. Conseqüentemente,

500 8 \u003d 4.000 (kg).

A oferta inicial de farinha na loja era de 4.000 kg.

Da consideração deste problema, a seguinte regra pode ser deduzida.

Para encontrar um número por um determinado valor de sua fração, basta dividir esse valor pelo numerador da fração e multiplicar o resultado pelo denominador da fração.

Resolvemos dois problemas para encontrar um número dada sua fração. Tais problemas, como é especialmente bem visto a partir do último, são resolvidos por duas ações: divisão (quando uma parte é encontrada) e multiplicação (quando o número inteiro é encontrado).

No entanto, depois de estudarmos a divisão de frações, os problemas acima podem ser resolvidos em uma ação, a saber: divisão por uma fração.

Por exemplo, a última tarefa pode ser resolvida em uma ação como esta:

No futuro, resolveremos o problema de encontrar um número por sua fração em uma ação - divisão.

7. Encontrar um número por sua porcentagem.

Nessas tarefas, você precisará encontrar um número, conhecendo alguns por cento desse número.

Tarefa 1. No início deste ano, recebi 60 rublos do banco de poupança. renda do valor que coloquei na poupança um ano atrás. Quanto dinheiro eu coloquei no banco de poupança? (Caixas dão aos depositantes 2% da renda por ano.)

O significado do problema é que uma certa quantia de dinheiro foi colocada por mim em um banco de poupança e ficou lá por um ano. Depois de um ano, recebi 60 rublos dela. renda, que é 2/100 do dinheiro que coloquei. Quanto dinheiro depositei?

Portanto, conhecendo a parte desse dinheiro, expressa de duas maneiras (em rublos e em frações), devemos encontrar o valor total, ainda desconhecido. Este é um problema comum de encontrar um número dada sua fração. As seguintes tarefas são resolvidas por divisão:

Então, 3.000 rublos foram colocados no banco de poupança.

Tarefa 2. Em duas semanas, os pescadores cumpriram o plano mensal em 64%, tendo preparado 512 toneladas de pescado. Qual era o plano deles?

Pela condição do problema, sabe-se que os pescadores concluíram parte do plano. Essa parte equivale a 512 toneladas, o que representa 64% do plano. Quantas toneladas de peixe precisam ser colhidas de acordo com o plano, não sabemos. A solução do problema consistirá em encontrar este número.

Essas tarefas são resolvidas dividindo:

Então, de acordo com o plano, você precisa preparar 800 toneladas de peixe.

Tarefa 3. O trem foi de Riga para Moscou. Ao passar o quilômetro 276, um dos passageiros perguntou ao condutor que passava quanto da viagem eles já haviam percorrido. A isso o condutor respondeu: “Já cobrimos 30% de toda a viagem”. Qual é a distância de Riga a Moscou?

Pode-se ver a partir da condição do problema que 30% da viagem de Riga a Moscou é de 276 km. Precisamos encontrar toda a distância entre essas cidades, ou seja, para esta parte, encontre o todo:

§ 91. Números recíprocos. Substituindo divisão por multiplicação.

Pegue a fração 2/3 e reorganize o numerador no lugar do denominador, obtemos 3/2. Temos uma fração, a recíproca desta.

Para obter uma fração recíproca de uma dada, você precisa colocar seu numerador no lugar do denominador e o denominador no lugar do numerador. Desta forma, podemos obter uma fração que é o recíproco de qualquer fração. Por exemplo:

3/4, reverso 4/3; 5/6, reverso 6/5

Duas frações que têm a propriedade de que o numerador da primeira é o denominador da segunda e o denominador da primeira é o numerador da segunda são chamadas mutuamente inversas.

Agora vamos pensar em qual fração será a recíproca de 1/2. Obviamente, será 2 / 1, ou apenas 2. Procurando a recíproca disso, temos um número inteiro. E este caso não é isolado; pelo contrário, para todas as frações com numerador 1 (um), os recíprocos serão inteiros, por exemplo:

1/3, inverso 3; 1/5, reverso 5

Como ao encontrar recíprocos também encontramos números inteiros, no futuro não falaremos sobre recíprocos, mas sobre recíprocos.

Vamos descobrir como escrever o inverso de um número inteiro. Para frações, isso é resolvido de forma simples: você precisa colocar o denominador no lugar do numerador. Da mesma forma, você pode obter o recíproco de um número inteiro, pois qualquer número inteiro pode ter um denominador de 1. Portanto, o recíproco de 7 será 1 / 7, porque 7 \u003d 7 / 1; para o número 10 o inverso é 1/10 pois 10 = 10/1

Essa ideia pode ser expressa de outra forma: o inverso de um número dado é obtido dividindo-se um pelo número dado. Esta afirmação é verdadeira não apenas para números inteiros, mas também para frações. De fato, se você quiser escrever um número que seja o recíproco da fração 5/9, podemos pegar 1 e dividi-lo por 5/9, ou seja,

Agora vamos apontar um propriedade números mutuamente recíprocos, que nos serão úteis: o produto de números mutuamente recíprocos é igual a um. De fato:

Usando esta propriedade, podemos encontrar recíprocos da seguinte maneira. Vamos encontrar o inverso de 8.

Vamos denotar com a letra X , então 8 X = 1, portanto X = 1/8. Vamos encontrar outro número, o inverso de 7/12, denote-o por uma letra X , então 7/12 X = 1, portanto X = 1:7 / 12 ou X = 12 / 7 .

Introduzimos aqui o conceito de números recíprocos para complementar um pouco as informações sobre a divisão de frações.

Quando dividimos o número 6 por 3/5, fazemos o seguinte:

Preste atenção especial à expressão e compare-a com a dada: .

Se tomarmos a expressão separadamente, sem conexão com a anterior, é impossível resolver a questão de onde ela veio: de dividir 6 por 3/5 ou de multiplicar 6 por 5/3. Em ambos os casos o resultado é o mesmo. Então podemos dizer que a divisão de um número por outro pode ser substituída pela multiplicação do dividendo pelo inverso do divisor.

Os exemplos que damos abaixo confirmam plenamente esta conclusão.

Da última vez, aprendemos como somar e subtrair frações (veja a lição "Adição e subtração de frações"). A maioria momento difícil nessas ações foi a redução das frações a um denominador comum.

Agora é hora de lidar com multiplicação e divisão. A boa notícia é que essas operações são ainda mais fáceis do que a adição e a subtração. Para começar, considere o caso mais simples, quando há duas frações positivas sem uma parte inteira distinta.

Para multiplicar duas frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores separadamente. O primeiro número será o numerador da nova fração e o segundo será o denominador.

Para dividir duas frações, você precisa multiplicar a primeira fração pela segunda "invertida".

Designação:

Da definição segue-se que a divisão de frações se reduz à multiplicação. Para inverter uma fração, basta trocar o numerador e o denominador. Portanto, toda a lição consideraremos principalmente a multiplicação.

Como resultado da multiplicação, uma fração reduzida pode surgir (e muitas vezes surge) - é claro, ela deve ser reduzida. Se, após todas as reduções, a fração estiver incorreta, toda a parte deve ser distinguida nela. Mas o que definitivamente não vai acontecer com a multiplicação é a redução a um denominador comum: não há métodos cruzados, fatores máximos e mínimos múltiplos comuns.

Por definição temos:

Multiplicação de frações com parte inteira e frações negativas

Se houver uma parte inteira nas frações, elas devem ser convertidas em impróprias - e só então multiplicadas de acordo com os esquemas descritos acima.

Se houver um menos no numerador de uma fração, no denominador ou na frente dela, ele pode ser retirado dos limites de multiplicação ou removido completamente de acordo com as seguintes regras:

1. Mais vezes menos dá menos;
2. Duas negativas fazem uma afirmativa.

Até agora, essas regras só eram encontradas na adição e subtração de frações negativas, quando era necessário se livrar da parte inteira. Para um produto, eles podem ser generalizados para “queimar” vários pontos negativos de uma só vez:

1. Nós riscamos os pontos negativos em pares até que eles desapareçam completamente. Em um caso extremo, um menos pode sobreviver - aquele que não encontrou uma correspondência;
2. Se não houver menos, a operação está concluída - você pode começar a multiplicar. Se o último menos não estiver riscado, já que não encontrou um par, o retiramos dos limites da multiplicação. Você obtém uma fração negativa.

Tarefa. Encontre o valor da expressão:

Traduzimos todas as frações em impróprias e, em seguida, tiramos as menos fora dos limites da multiplicação. O que resta é multiplicado por regras usuais. Nós temos:

Deixe-me lembrá-lo mais uma vez que o menos que vem antes de uma fração com uma parte inteira destacada refere-se especificamente à fração inteira, e não apenas à sua parte inteira (isso se aplica aos dois últimos exemplos).

Preste atenção também números negativos: Quando multiplicados, eles são colocados entre parênteses. Isso é feito para separar os sinais de menos dos sinais de multiplicação e tornar toda a notação mais precisa.

Reduzindo frações em tempo real

A multiplicação é uma operação muito trabalhosa. Os números aqui são bem grandes e, para simplificar a tarefa, você pode tentar reduzir ainda mais a fração antes da multiplicação. De fato, em essência, os numeradores e denominadores das frações são fatores ordinários e, portanto, podem ser reduzidos usando a propriedade básica de uma fração. Dê uma olhada nos exemplos:

Tarefa. Encontre o valor da expressão:

Por definição temos:

Em todos os exemplos, os números que foram reduzidos e o que resta deles estão marcados em vermelho.

Atenção: no primeiro caso, os multiplicadores foram reduzidos completamente. As unidades permaneceram em seu lugar, o que, em geral, pode ser omitido. No segundo exemplo, não foi possível obter uma redução completa, mas a quantidade total de cálculos ainda diminuiu.

No entanto, em nenhum caso, não use essa técnica ao adicionar e subtrair frações! Sim, às vezes há números semelhantes que você só quer reduzir. Olhe aqui:

Você não pode fazer isso!

O erro ocorre devido ao fato de que ao somar o numerador de uma fração, a soma aparece no numerador, e não no produto de números. Portanto, é impossível aplicar a propriedade principal de uma fração, pois nesta propriedade nós estamos falandoÉ sobre multiplicar números.

Simplesmente não há outra razão para reduzir frações, então solução correta a tarefa anterior se parece com isso:

Solução correta:

Como você pode ver, a resposta correta acabou não sendo tão bonita. Em geral, tenha cuidado.

Multiplicação frações ordinárias Vejamos várias opções possíveis.

Multiplicando uma fração por uma fração

Este é o caso mais simples, no qual você precisa usar o seguinte regras de multiplicação de frações.

Para multiplique uma fração por uma fração, necessário:

• multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e escreva seu produto no numerador da nova fração;
• multiplique o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração e escreva seu produto no denominador da nova fração;

Antes de multiplicar numeradores e denominadores, verifique se as frações podem ser reduzidas. Reduzir frações nos cálculos facilitará muito seus cálculos.



Multiplicando uma fração por um número natural

Para fracionar multiplicar por um número natural você precisa multiplicar o numerador da fração por esse número e deixar o denominador da fração inalterado.

Se o resultado da multiplicação for Fração imprópria, não esqueça de transformá-lo em um número misto, ou seja, selecione a parte inteira.



Multiplicação de números mistos

Para multiplicar números mistos, você deve primeiro convertê-los em frações impróprias e depois multiplicar de acordo com a regra para multiplicar frações ordinárias.



Outra maneira de multiplicar uma fração por um número natural

Às vezes, nos cálculos, é mais conveniente usar um método diferente de multiplicar uma fração comum por um número.

Para multiplicar uma fração por um número natural, você precisa dividir o denominador da fração por esse número e deixar o numerador o mesmo.



Como pode ser visto no exemplo, é mais conveniente usar esta versão da regra se o denominador da fração for divisível sem resto por um número natural.

Ações com frações

Somando frações com os mesmos denominadores

A adição de frações é de dois tipos:

• Somando frações com os mesmos denominadores
• Adicionando frações com denominadores diferentes

Vamos começar adicionando frações com os mesmos denominadores. Tudo é simples aqui. Para adicionar frações com os mesmos denominadores, você precisa adicionar seus numeradores e deixar o denominador inalterado. Por exemplo, vamos adicionar as frações e . Adicionamos os numeradores e deixamos o denominador inalterado:



Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em quatro partes. Se você adicionar pizza a pizza, você obtém pizza:

Exemplo 2 Adicione frações e .

Novamente, adicione os numeradores e deixe o denominador inalterado:



A resposta é uma fração imprópria. Se o fim da tarefa chegar, é costume se livrar das frações impróprias. Para se livrar de uma fração imprópria, você precisa selecionar a parte inteira nela. No nosso caso, a parte inteira é alocada facilmente - dois dividido por dois é igual a um:



Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em duas partes. Se você adicionar mais pizzas à pizza, obterá uma pizza inteira:

Exemplo 3. Adicione frações e .



Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em três partes. Se você adicionar mais pizzas à pizza, você obterá pizzas:

Exemplo 4 Encontrar o valor de uma expressão

Este exemplo é resolvido exatamente da mesma maneira que os anteriores. Os numeradores devem ser somados e o denominador mantido inalterado:

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você adicionar pizzas a uma pizza e adicionar mais pizzas, receberá 1 pizza inteira e mais pizzas.

Como você pode ver, adicionar frações com os mesmos denominadores não é difícil. Basta entender as seguintes regras:

1. Para somar frações com o mesmo denominador, você precisa somar seus numeradores e deixar o denominador igual;
2. Se a resposta for uma fração imprópria, você precisará selecionar a parte inteira nela.

Adicionando frações com denominadores diferentes

Agora vamos aprender como somar frações com denominadores diferentes. Ao adicionar frações, os denominadores dessas frações devem ser os mesmos. Mas nem sempre são iguais.

Por exemplo, frações podem ser adicionadas porque têm os mesmos denominadores.

Mas frações não podem ser adicionadas imediatamente, porque essas frações têm denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).

Existem várias maneiras de reduzir frações ao mesmo denominador. Hoje consideraremos apenas um deles, pois o restante dos métodos pode parecer complicado para um iniciante.

A essência deste método é que o mínimo múltiplo comum (MLC) dos denominadores de ambas as frações é procurado primeiro. Então o LCM é dividido pelo denominador da primeira fração e o primeiro fator adicional é obtido. Eles fazem o mesmo com a segunda fração - o NOC é dividido pelo denominador da segunda fração e o segundo fator adicional é obtido.

Em seguida, os numeradores e denominadores das frações são multiplicados por seus fatores adicionais. Como resultado dessas ações, frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como somar essas frações.

Exemplo 1. Adicione frações e

Essas frações têm denominadores diferentes, então você precisa trazê-las para o mesmo denominador (comum).

Em primeiro lugar, encontramos o mínimo múltiplo comum dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3, e o denominador da segunda fração é o número 2. O mínimo múltiplo comum desses números é 6

LCM (2 e 3) = 6

Agora de volta às frações e . Primeiro, dividimos o MMC pelo denominador da primeira fração e obtemos o primeiro fator adicional. LCM é o número 6, e o denominador da primeira fração é o número 3. Divida 6 por 3, temos 2.

O número 2 resultante é o primeiro fator adicional. Escrevemos na primeira fração. Para fazer isso, fazemos uma pequena linha oblíqua acima da fração e anotamos o fator adicional encontrado acima dela:

Fazemos o mesmo com a segunda fração. Dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração e obtemos o segundo fator adicional. LCM é o número 6, e o denominador da segunda fração é o número 2. Divida 6 por 2, temos 3.

O número 3 resultante é o segundo fator adicional. Escrevemos na segunda fração. Novamente, fazemos uma pequena linha oblíqua acima da segunda fração e escrevemos o fator adicional encontrado acima dela:

Agora estamos todos prontos para adicionar. Resta multiplicar os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais:



Olhe atentamente para o que chegamos. Chegamos à conclusão de que frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como somar essas frações. Vamos completar este exemplo até o final:



Assim termina o exemplo. Para adicioná-lo acontece.

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você adicionar pizzas a uma pizza, obterá uma pizza inteira e outro sexto de uma pizza:

A redução de frações ao mesmo denominador (comum) também pode ser representada usando uma imagem. Trazendo as frações e para um denominador comum, obtemos as frações e . Essas duas frações serão representadas pelas mesmas fatias de pizza. A única diferença será que desta vez serão divididos em partes iguais (reduzidas ao mesmo denominador).



O primeiro desenho mostra uma fração (quatro peças de seis) e a segunda foto mostra uma fração (três peças de seis). Juntando essas peças, obtemos (sete peças de seis). Esta fração está incorreta, então destacamos a parte inteira nela. O resultado foi (uma pizza inteira e outra sexta pizza).

Observe que pintamos este exemplo com muitos detalhes. NO instituições educacionais não é costume escrever de maneira tão detalhada. Você precisa ser capaz de encontrar rapidamente o MMC de ambos os denominadores e fatores adicionais a eles, bem como multiplicar rapidamente os fatores adicionais encontrados por seus numeradores e denominadores. Enquanto na escola, teríamos que escrever este exemplo da seguinte forma:



Mas também há verso medalhas. Se notas detalhadas não forem feitas nos primeiros estágios do estudo da matemática, então perguntas do tipo “De onde vem esse número?”, “Por que as frações de repente se transformam em frações completamente diferentes? «.

Para facilitar a adição de frações com denominadores diferentes, você pode usar as seguintes instruções passo a passo:

3. Encontre o MMC dos denominadores das frações;
4. Divida o MMC pelo denominador de cada fração e obtenha um multiplicador adicional para cada fração;
5. Multiplique os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais;
6. Adicione frações que tenham os mesmos denominadores;
7. Se a resposta for uma fração imprópria, selecione sua parte inteira;

Exemplo 2 Encontrar o valor de uma expressão .

Vamos usar o diagrama acima.

Etapa 1. Encontre o MMC para os denominadores das frações

Encontramos o MMC para os denominadores de ambas as frações. Os denominadores das frações são os números 2, 3 e 4. Você precisa encontrar o MMC para esses números:

Etapa 2. Divida o LCM pelo denominador de cada fração e obtenha um multiplicador adicional para cada fração

Divida o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12, e o denominador da primeira fração é o número 2. Divida 12 por 2, obtemos 6. Obtemos o primeiro fator adicional 6. Escrevemos sobre a primeira fração:

Agora dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12, e o denominador da segunda fração é o número 3. Divida 12 por 3, obtemos 4. Obtemos o segundo fator adicional 4. Escrevemos sobre a segunda fração:

Agora dividimos o MMC pelo denominador da terceira fração. LCM é o número 12, e o denominador da terceira fração é o número 4. Divida 12 por 4, obtemos 3. Obtemos o terceiro fator adicional 3. Escrevemos sobre a terceira fração:

Etapa 3. Multiplique os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais

Multiplicamos os numeradores e denominadores pelos nossos fatores adicionais:

Etapa 4. Adicione frações que tenham os mesmos denominadores

Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformavam em frações que tinham os mesmos denominadores (comuns). Resta adicionar essas frações. Adicionar:



A adição não coube em uma linha, então movemos a expressão restante para a próxima linha. Isso é permitido em matemática. Quando uma expressão não cabe em uma linha, ela é transportada para a próxima linha, sendo necessário colocar um sinal de igual (=) no final da primeira linha e no início nova linha. O sinal de igual na segunda linha indica que esta é uma continuação da expressão que estava na primeira linha.

Etapa 5. Se a resposta for uma fração imprópria, selecione sua parte inteira

Nossa resposta é uma fração imprópria. Devemos destacar toda a parte dela. Destacamos:



Obteve uma resposta

Subtração de frações com os mesmos denominadores

Existem dois tipos de subtração de fração:

8. Subtração de frações com os mesmos denominadores
9. Subtração de frações com denominadores diferentes

Primeiro, vamos aprender a subtrair frações com os mesmos denominadores. Tudo é simples aqui. Para subtrair outra de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador o mesmo.

Por exemplo, vamos encontrar o valor da expressão . Para resolver este exemplo, é necessário subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador igual. Vamos fazer isso:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em quatro partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas:

Exemplo 2 Encontre o valor da expressão.

Novamente, do numerador da primeira fração, subtraia o numerador da segunda fração e deixe o denominador o mesmo:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em três partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas:

Exemplo 3 Encontrar o valor de uma expressão

Este exemplo é resolvido exatamente da mesma maneira que os anteriores. Do numerador da primeira fração, você precisa subtrair os numeradores das frações restantes:

A resposta é uma fração imprópria. Se o exemplo estiver completo, é costume se livrar da fração imprópria. Vamos nos livrar da fração errada na resposta. Para fazer isso, selecione toda a sua parte:

Como você pode ver, não há nada complicado em subtrair frações com os mesmos denominadores. Basta entender as seguintes regras:

Para subtrair outra de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador o mesmo;

Se a resposta for uma fração imprópria, você precisará selecionar a parte inteira.

Subtração de frações com denominadores diferentes

Por exemplo, uma fração pode ser subtraída de uma fração, pois essas frações têm os mesmos denominadores. Mas uma fração não pode ser subtraída de uma fração, pois essas frações têm denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).

O denominador comum é encontrado de acordo com o mesmo princípio que usamos ao somar frações com denominadores diferentes. Em primeiro lugar, encontre o MMC dos denominadores de ambas as frações. Então o MMC é dividido pelo denominador da primeira fração e o primeiro fator adicional é obtido, que é escrito sobre a primeira fração. Da mesma forma, o MMC é dividido pelo denominador da segunda fração e um segundo fator adicional é obtido, que é escrito sobre a segunda fração.

As frações são então multiplicadas por seus fatores adicionais. Como resultado dessas operações, frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como subtrair tais frações.

Exemplo 1 Encontre o valor de uma expressão:

Primeiro, encontramos o MMC dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3, e o denominador da segunda fração é o número 4. O mínimo múltiplo comum desses números é 12

LCM (3 e 4) = 12

Agora de volta às frações e

Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. Para fazer isso, dividimos o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12, e o denominador da primeira fração é o número 3. Divida 12 por 3, obtemos 4. Escrevemos o quatro sobre a primeira fração:

Fazemos o mesmo com a segunda fração. Dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12, e o denominador da segunda fração é o número 4. Divida 12 por 4, temos 3. Escrevemos o triplo sobre a segunda fração:

Agora estamos todos prontos para a subtração. Resta multiplicar as frações por seus fatores adicionais:

Chegamos à conclusão de que frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como subtrair tais frações. Vamos completar este exemplo até o final:

Obteve uma resposta

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas.

Esta é a versão detalhada da solução. Estando na escola, teríamos que resolver este exemplo de uma forma mais curta. Tal solução ficaria assim:

A redução de frações e a um denominador comum também pode ser representada usando uma imagem. Trazendo essas frações para um denominador comum, obtemos as frações e . Essas frações serão representadas pelas mesmas fatias de pizza, mas desta vez serão divididas nas mesmas frações (reduzidas ao mesmo denominador):

O primeiro desenho mostra uma fração (oito peças de doze), e a segunda foto mostra uma fração (três peças de doze). Ao cortar três pedaços de oito pedaços, obtemos cinco pedaços de doze. A fração descreve essas cinco peças.

Exemplo 2 Encontrar o valor de uma expressão

Essas frações têm denominadores diferentes, então primeiro você precisa trazê-las para o mesmo denominador (comum).

Encontre o MMC dos denominadores dessas frações.

Os denominadores das frações são os números 10, 3 e 5. O mínimo múltiplo comum desses números é 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Agora encontramos fatores adicionais para cada fração. Para fazer isso, dividimos o MMC pelo denominador de cada fração.

Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. LCM é o número 30, e o denominador da primeira fração é o número 10. Divida 30 por 10, obtemos o primeiro fator adicional 3. Escrevemos sobre a primeira fração:

Agora encontramos um fator adicional para a segunda fração. Divida o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 30, e o denominador da segunda fração é o número 3. Divida 30 por 3, obtemos o segundo fator adicional 10. Escrevemos sobre a segunda fração:

Agora encontramos um fator adicional para a terceira fração. Divida o MMC pelo denominador da terceira fração. LCM é o número 30, e o denominador da terceira fração é o número 5. Divida 30 por 5, obtemos o terceiro fator adicional 6. Escrevemos sobre a terceira fração:

Agora tudo está pronto para a subtração. Resta multiplicar as frações por seus fatores adicionais:

Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformavam em frações que tinham os mesmos denominadores (comuns). E já sabemos como subtrair tais frações. Vamos terminar este exemplo.

A continuação do exemplo não caberá em uma linha, então movemos a continuação para a próxima linha. Não se esqueça do sinal de igual (=) na nova linha:

A resposta acabou sendo uma fração correta, e tudo parece nos convém, mas é muito complicado e feio. Devemos torná-lo mais simples e esteticamente mais agradável. O que pode ser feito? Você pode reduzir essa fração. Lembre-se que a redução de uma fração é a divisão do numerador e denominador pelo maior divisor comum numerador e denominador.

Para reduzir corretamente uma fração, você precisa dividir seu numerador e denominador pelo máximo divisor comum (MDC) dos números 20 e 30.

Não confunda GCD com NOC. O erro mais comum que muitos iniciantes cometem. MDC é o máximo divisor comum. Nós o encontramos para redução de fração.

E LCM é o mínimo múltiplo comum. Nós o encontramos para trazer frações ao mesmo denominador (comum).

Agora vamos encontrar o máximo divisor comum (mcd) dos números 20 e 30.

Então, encontramos o MDC para os números 20 e 30:

GCD (20 e 30) = 10

Agora voltamos ao nosso exemplo e dividimos o numerador e o denominador da fração por 10:

Tem uma boa resposta

Multiplicando uma fração por um número

Para multiplicar uma fração por um número, você precisa multiplicar o numerador da fração dada por esse número e deixar o denominador o mesmo.

Exemplo 1. Multiplique a fração pelo número 1.

Multiplique o numerador da fração pelo número 1

A entrada pode ser entendida como demorando metade 1 vez. Por exemplo, se você pegar pizza 1 vez, você ganha pizza

Pelas leis da multiplicação, sabemos que se o multiplicando e o multiplicador forem trocados, o produto não mudará. Se a expressão for escrita como , o produto ainda será igual a . Novamente, a regra para multiplicar um inteiro e uma fração funciona:

Esta entrada pode ser entendida como tendo metade da unidade. Por exemplo, se houver 1 pizza inteira e levarmos metade, teremos pizza:

Exemplo 2. Encontrar o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da fração por 4

A expressão pode ser entendida como tendo dois quartos 4 vezes. Por exemplo, se você comer pizzas 4 vezes, você ganha duas pizzas inteiras.

E se trocarmos o multiplicando e o multiplicador em lugares, obtemos a expressão. Também será igual a 2. Esta expressão pode ser entendida como tirar duas pizzas de quatro pizzas inteiras:

Multiplicação de frações

Para multiplicar frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores. Se a resposta for uma fração imprópria, você precisa selecionar a parte inteira nela.

Exemplo 1 Encontre o valor da expressão.

Obteve uma resposta. É desejável reduzir esta fração. A fração pode ser reduzida em 2. Então a solução final terá a seguinte forma:

A expressão pode ser entendida como tirar uma pizza de meia pizza. Digamos que temos meia pizza:

Como tirar dois terços desta metade? Primeiro você precisa dividir essa metade em três partes iguais:

E pegue dois desses três pedaços:

Nós vamos pegar pizza. Lembre-se de como é uma pizza dividida em três partes:

Uma fatia desta pizza e as duas fatias que tiramos terão as mesmas dimensões:

Em outras palavras, estamos falando do mesmo tamanho de pizza. Portanto, o valor da expressão é

Exemplo 2. Encontrar o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:

A resposta é uma fração imprópria. Vamos pegar uma parte inteira:

Exemplo 3 Encontrar o valor de uma expressão

A resposta acabou sendo uma fração correta, mas será boa se for reduzida. Para reduzir essa fração, ela deve ser dividida pelo mdc do numerador e do denominador. Então, vamos encontrar o MDC dos números 105 e 450:

GCD para (105 e 150) é 15

Agora dividimos o numerador e o denominador da nossa resposta ao MDC:

Representando um inteiro como uma fração

Qualquer número inteiro pode ser representado como uma fração. Por exemplo, o número 5 pode ser representado como . A partir disso, cinco não mudará seu significado, pois a expressão significa “o número cinco dividido por um”, e isso, como você sabe, é igual a cinco:

Números reversos

Agora vamos nos familiarizar com um tópico muito interessante em matemática. Chama-se "números reversos".

Definição. Reverter para número uma é o número que, multiplicado por uma dá uma unidade.

Vamos substituir nesta definição em vez de uma variável uma número 5 e tente ler a definição:

Reverter para número 5 é o número que, multiplicado por 5 dá uma unidade.

É possível encontrar um número que, quando multiplicado por 5, dê um? Acontece que você pode. Vamos representar cinco como uma fração:

Em seguida, multiplique essa fração por ela mesma, apenas troque o numerador e o denominador. Em outras palavras, multiplique a fração por ela mesma, apenas invertida:

Qual será o resultado disso? Se continuarmos a resolver este exemplo, obtemos um:

Isso significa que o inverso do número 5 é o número, pois quando 5 é multiplicado por um, obtém-se um.

O recíproco também pode ser encontrado para qualquer outro inteiro.

• o inverso de 3 é uma fração
• o inverso de 4 é uma fração

Você também pode encontrar o recíproco para qualquer outra fração. Para fazer isso, basta virá-lo.