A solução se resume a encontrar nok. Máximo Divisor Comum (GCD) - Definição, Exemplos e Propriedades

Para saber como encontrar o máximo divisor comum de dois ou mais números, você precisa entender o que são números naturais, primos e complexos.

Um número natural é qualquer número usado para contar números inteiros.

Se um número natural só pode ser dividido por ele mesmo e um, então ele é chamado de primo.

Todos os números naturais podem ser divididos por eles mesmos e um, mas o único número primo par é 2, todos os outros primos podem ser divididos por dois. Portanto, apenas números ímpares podem ser primos.

Muitos números primos Lista completa eles não existem. Para encontrar o GCD, é conveniente usar tabelas especiais com esses números.

Maioria números naturais podem ser divididos não apenas por um, eles mesmos, mas também por outros números. Assim, por exemplo, o número 15 pode ser dividido por 3 e 5. Todos eles são chamados de divisores do número 15.

Assim, o divisor de qualquer A é o número pelo qual ele pode ser dividido sem deixar resto. Se um número tiver mais de dois divisores naturais, ele é chamado de composto.

O número 30 tem divisores como 1, 3, 5, 6, 15, 30.

Você pode ver que 15 e 30 têm os mesmos divisores 1, 3, 5, 15. O máximo divisor comum desses dois números é 15.

Assim, o divisor comum dos números A e B é o número pelo qual você pode dividi-los completamente. O máximo pode ser considerado o máximo número total em que podem ser divididos.

Para resolver problemas, a seguinte inscrição abreviada é usada:

GCD (A; B).

Por exemplo, GCD (15; 30) = 30.

Para escrever todos os divisores de um número natural, a notação é usada:

D(15) = (1, 3, 5, 15)

mdc (9; 15) = 1

Neste exemplo, os números naturais têm apenas um divisor comum. Eles são chamados coprimos, respectivamente, a unidade é o seu máximo divisor comum.

Como encontrar o máximo divisor comum de números

Para encontrar o GCD de vários números, você precisa:

Encontre todos os divisores de cada número natural separadamente, ou seja, decomponha-os em fatores (números primos);

Selecione todos os mesmos fatores para determinados números;

Multiplique-os juntos.

Por exemplo, para calcular o máximo divisor comum dos números 30 e 56, você escreveria o seguinte:

Para não se confundir com , é conveniente escrever os multiplicadores usando colunas verticais. No lado esquerdo da linha, você precisa colocar o dividendo e à direita - o divisor. Sob o dividendo, você deve indicar o quociente resultante.

Assim, na coluna da direita estarão todos os fatores necessários para a solução.

Divisores idênticos (fatores encontrados) podem ser sublinhados por conveniência. Eles devem ser reescritos e multiplicados e o máximo divisor comum deve ser anotado.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

É realmente tão simples encontrar o máximo divisor comum de números. Com um pouco de prática, você pode fazer isso quase automaticamente.

O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum são conceitos aritméticos chave que permitem operar sem esforço frações ordinárias. LCM e são mais frequentemente usados ​​para encontrar o denominador comum de várias frações.

Conceitos Básicos

O divisor de um inteiro X é outro inteiro Y pelo qual X é divisível sem resto. Por exemplo, o divisor de 4 é 2 e 36 é 4, 6, 9. Um múltiplo do inteiro X é um número Y que é divisível por X sem deixar resto. Por exemplo, 3 é um múltiplo de 15 e 6 é um múltiplo de 12.

Para qualquer par de números, podemos encontrar seus divisores comuns e múltiplos. Por exemplo, para 6 e 9, o múltiplo comum é 18 e o divisor comum é 3. Obviamente, os pares podem ter vários divisores e múltiplos, então o maior divisor do GCD e o menor múltiplo do LCM são usados ​​nos cálculos .

O menor divisor não faz sentido, pois para qualquer número é sempre um. O maior múltiplo também não tem sentido, pois a sequência de múltiplos tende ao infinito.

Encontrando o GCD

Existem muitos métodos para encontrar o máximo divisor comum, sendo os mais famosos:

• enumeração sequencial dos divisores, seleção dos comuns para um par e busca pelo maior deles;
• decomposição de números em fatores indivisíveis;
• algoritmo de Euclides;
• algoritmo binário.

Hoje às instituições educacionais os mais populares são os métodos de fatoração primária e o algoritmo de Euclides. Este último, por sua vez, é utilizado na resolução de equações diofantinas: a busca por GCD é necessária para verificar a equação quanto à possibilidade de resolvê-la em números inteiros.

Encontrando o NOC

O mínimo múltiplo comum também é determinado exatamente por enumeração iterativa ou fatoração em fatores indivisíveis. Além disso, é fácil encontrar o LCM se o maior divisor já tiver sido determinado. Para os números X e Y, LCM e GCD estão relacionados pela seguinte relação:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Por exemplo, se mdc(15,18) = 3, então LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. O uso mais óbvio de LCM é encontrar o denominador comum, que é o mínimo múltiplo comum do frações dadas.

Números primos

Se um par de números não possui divisores comuns, esse par é chamado coprimo. O GCM para tais pares é sempre igual a um, e baseado na conexão de divisores e múltiplos, o GCM para coprime é igual ao seu produto. Por exemplo, os números 25 e 28 são primos, porque não têm divisores comuns, e LCM(25, 28) = 700, que corresponde ao seu produto. Quaisquer dois números indivisíveis sempre serão primos.

Divisor comum e calculadora múltipla

Com nossa calculadora você pode calcular GCD e LCM para qualquer número de números para escolher. Tarefas para calcular divisores comuns e múltiplos são encontradas na aritmética do 5º e 6º ano, no entanto, GCD e LCM são os conceitos-chave da matemática e são usados ​​na teoria dos números, planimetria e álgebra comunicativa.

Exemplos da vida real

Denominador comum de frações

O mínimo múltiplo comum é usado para encontrar o denominador comum de várias frações. Suponha que em um problema aritmético seja necessário somar 5 frações:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Para somar frações, a expressão deve ser reduzida a denominador comum, o que se reduz ao problema de encontrar o LCM. Para fazer isso, selecione 5 números na calculadora e insira os valores do denominador nas células apropriadas. O programa calculará LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Agora você precisa calcular fatores adicionais para cada fração, que são definidos como a razão entre LCM e o denominador. Assim, os multiplicadores extras ficariam assim:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Depois disso, multiplicamos todas as frações pelo fator adicional correspondente e obtemos:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Podemos facilmente adicionar essas frações e obter o resultado na forma de 159/360. Reduzimos a fração em 3 e vemos a resposta final - 53/120.

Solução de equações diofantinas lineares

As equações diofantinas lineares são expressões da forma ax + by = d. Se a razão d / gcd(a, b) for um número inteiro, então a equação é solúvel em números inteiros. Vamos verificar algumas equações para a possibilidade de uma solução inteira. Primeiro, verifique a equação 150x + 8y = 37. Usando uma calculadora, encontramos mdc (150,8) = 2. Divida 37/2 = 18,5. O número não é um número inteiro, portanto, a equação não possui raízes inteiras.

Vamos verificar a equação 1320x + 1760y = 10120. Use uma calculadora para encontrar mdc(1320, 1760) = 440. Divida 10120/440 = 23. Como resultado, obtemos um inteiro, portanto, a equação diofantina é solúvel em coeficientes inteiros .

Conclusão

GCD e LCM desempenham um grande papel na teoria dos números, e os próprios conceitos são amplamente Áreas diferentes matemática. Use nossa calculadora para calcular os maiores divisores e os menores múltiplos de qualquer número de números.

Máximo Divisor Comum

Definição 2

Se um número natural a é divisível por um número natural $b$, então $b$ é chamado de divisor de $a$, e o número $a$ é chamado de múltiplo de $b$.

Sejam $a$ e $b$ números naturais. O número $c$ é chamado de divisor comum para $a$ e $b$.

O conjunto dos divisores comuns dos números $a$ e $b$ é finito, pois nenhum desses divisores pode ser maior que $a$. Isso significa que entre esses divisores existe o maior, que é chamado de máximo divisor comum dos números $a$ e $b$, e a notação é usada para denotá-lo:

$gcd\(a;b)\ou \D\(a;b)$

Para encontrar o máximo divisor comum de dois números:

1. Encontre o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o máximo divisor comum desejado.

Exemplo 1

Encontre o mdc dos números $121$ e $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Escolha os números que estão incluídos na expansão desses números

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Encontre o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o máximo divisor comum desejado.

$gcd=2\cdot 11=22$

Exemplo 2

Encontre o MDC dos monômios $63$ e $81$.

Vamos encontrar de acordo com o algoritmo apresentado. Por esta:

Vamos decompor os números em fatores primos

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Selecionamos os números que estão incluídos na expansão desses números

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Vamos encontrar o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o máximo divisor comum desejado.

$gcd=3\cdot 3=9$

Você pode encontrar o MDC de dois números de outra maneira, usando o conjunto de divisores de números.

Exemplo 3

Encontre o mdc dos números $48$ e $60$.

Decisão:

Encontre o conjunto de divisores de $ 48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Agora vamos encontrar o conjunto de divisores de $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Vamos encontrar a interseção desses conjuntos: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - este conjunto determinará o conjunto de divisores comuns dos números $48$ e $60 $. O maior elemento em determinado conjunto será o número $12$. Portanto, o máximo divisor comum de $ 48 $ e $ 60 $ é $ 12 $.

Definição de NOC

Definição 3

múltiplo comum de números naturais$a$ e $b$ é um número natural múltiplo de $a$ e $b$.

Múltiplos comuns de números são números que são divisíveis pelo original sem deixar resto. Por exemplo, para os números $25$ e $50$, os múltiplos comuns serão os números $50.100.150.200$ etc.

O mínimo múltiplo comum será chamado de mínimo múltiplo comum e denotado por LCM$(a;b)$ ou K$(a;b).$

Para encontrar o LCM de dois números, você precisa:

1. Decompor os números em fatores primos
2. Escreva os fatores que fazem parte do primeiro número e adicione a eles os fatores que fazem parte do segundo e não vão para o primeiro

Exemplo 4

Encontre o LCM dos números $99$ e $77$.

Vamos encontrar de acordo com o algoritmo apresentado. Por esta

Decompor os números em fatores primos

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Anote os fatores incluídos no primeiro

acrescente a eles fatores que fazem parte do segundo e não vão para o primeiro

Encontre o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o mínimo múltiplo comum desejado

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Compilar listas de divisores de números geralmente consome muito tempo. Existe uma maneira de encontrar o GCD chamado algoritmo de Euclides.

Declarações nas quais o algoritmo de Euclides se baseia:

Se $a$ e $b$ são números naturais e $a\vdots b$, então $D(a;b)=b$

Se $a$ e $b$ são números naturais tais que $b

Usando $D(a;b)= D(a-b;b)$, podemos diminuir sucessivamente os números considerados até chegarmos a um par de números tal que um deles seja divisível pelo outro. Então, o menor desses números será o máximo divisor comum desejado para os números $a$ e $b$.

Propriedades do GCD e LCM

1. Qualquer múltiplo comum de $a$ e $b$ é divisível por K$(a;b)$
2. Se $a\vdots b$ , então K$(a;b)=a$

Se K$(a;b)=k$ e $m$-número natural, então K$(am;bm)=km$

Se $d$ é um divisor comum para $a$ e $b$, então K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

Se $a\vdots c$ e $b\vdots c$ , então $\frac(ab)(c)$ é um múltiplo comum de $a$ e $b$

Para quaisquer números naturais $a$ e $b$ a igualdade

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Qualquer divisor comum de $a$ e $b$ é um divisor de $D(a;b)$

Para entender como calcular o LCM, você deve primeiro determinar o significado do termo "múltiplo".

Um múltiplo de A é um número natural que é divisível por A sem deixar resto. Assim, 15, 20, 25 e assim por diante podem ser considerados múltiplos de 5.

Pode haver um número limitado de divisores de um determinado número, mas há um número infinito de múltiplos.

Um múltiplo comum de números naturais é um número que é divisível por eles sem deixar resto.

Como encontrar o mínimo múltiplo comum de números

O mínimo múltiplo comum (MLC) de números (dois, três ou mais) é o menor número natural que é divisível por todos esses números.

Para encontrar o NOC, você pode usar vários métodos.

Para números pequenos, é conveniente escrever em uma linha todos os múltiplos desses números até encontrar um comum entre eles. Múltiplos são indicados no registro com uma letra maiúscula K.

Por exemplo, múltiplos de 4 podem ser escritos assim:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Assim, você pode ver que o mínimo múltiplo comum dos números 4 e 6 é o número 24. Essa entrada é realizada da seguinte forma:

LCM(4, 6) = 24

Se os números forem grandes, encontre o múltiplo comum de três ou mais números, então é melhor usar outra maneira de calcular o MMC.

Para completar a tarefa, é necessário decompor os números propostos em fatores primos.

Primeiro você precisa escrever a expansão do maior dos números em uma linha e abaixo dela - o resto.

Na expansão de cada número, pode haver quantidade diferente multiplicadores.

Por exemplo, vamos fatorar os números 50 e 20 em fatores primos.

Na expansão do número menor, devem ser ressaltados fatores ausentes na expansão do primeiro. um grande número e, em seguida, adicioná-los a ele. No exemplo apresentado, um deuce está faltando.

Agora podemos calcular o mínimo múltiplo comum de 20 e 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Sim, o trabalho fatores primos do número maior e os fatores do segundo número que não foram incluídos na expansão do número maior serão o mínimo múltiplo comum.

Para encontrar o MMC de três ou mais números, todos eles devem ser decompostos em fatores primos, como no caso anterior.

Como exemplo, você pode encontrar o mínimo múltiplo comum dos números 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Assim, apenas dois dois da decomposição de dezesseis não foram incluídos na fatoração de um número maior (um está na decomposição de vinte e quatro).

Assim, eles precisam ser adicionados à decomposição de um número maior.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Existem casos especiais de determinação do mínimo múltiplo comum. Portanto, se um dos números puder ser dividido sem deixar resto por outro, o maior desses números será o mínimo múltiplo comum.

Por exemplo, NOCs de doze e vinte e quatro seriam vinte e quatro.

Se você precisa encontrar o mínimo múltiplo comum de números primos, que não possuem os mesmos divisores, seu LCM será igual ao seu produto.

Por exemplo, LCM(10, 11) = 110.

Muitos divisores

Considere o seguinte problema: encontre o divisor do número 140. É óbvio que o número 140 não tem um divisor, mas vários. Nesses casos, diz-se que a tarefa tem um monte de soluções. Vamos encontrá-los todos. Primeiro de tudo, decompomos esse número em fatores primos:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Agora podemos escrever facilmente todos os divisores. Vamos começar com divisores simples, ou seja, aqueles que estão presentes na expansão acima:

Em seguida, escrevemos aqueles que são obtidos pela multiplicação aos pares de divisores primos:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Então - aqueles que contêm três divisores simples:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Finalmente, não vamos esquecer a unidade e o próprio número decomponível:

Todos os divisores encontrados por nós formam um monte de divisores do número 140, que é escrito usando chaves:

O conjunto de divisores do número 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Por conveniência de percepção, escrevemos os divisores aqui ( definir elementos) em ordem crescente, mas em geral, isso não é necessário. Além disso, introduzimos uma abreviatura. Em vez de "O conjunto de divisores do número 140", escreveremos "D (140)". Por isso,

Da mesma forma, pode-se encontrar o conjunto de divisores para qualquer outro número natural. Por exemplo, da expansão

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

Nós temos:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Do conjunto de todos os divisores, deve-se distinguir o conjunto dos divisores primos, que para os números 140 e 105 são iguais, respectivamente:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Deve-se enfatizar que na decomposição do número 140 em fatores primos, dois está presente duas vezes, enquanto no conjunto PD(140) é apenas um. O conjunto de PD(140) é, em essência, todas as respostas para o problema: "Encontre um fator primo do número 140". É claro que a mesma resposta não deve ser repetida mais de uma vez.

Redução de fração. Máximo Divisor Comum

Considere uma fração

Sabemos que esta fração pode ser reduzida por um número que é tanto um divisor do numerador (105) quanto um divisor do denominador (140). Vamos dar uma olhada nos conjuntos D(105) e D(140) e escrevê-los elementos comuns.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Elementos comuns dos conjuntos D(105) e D(140) =

A última igualdade pode ser escrita mais curta, a saber:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Aqui, o sinal especial "∩" ("saco com o buraco para baixo") indica apenas que dos dois conjuntos escritos de acordo com lados diferentes a partir dele, você precisa selecionar apenas elementos comuns. A entrada "D (105) ∩ D (140)" lê " interseção conjuntos de Te de 105 e Te de 140.

[Observe ao longo do caminho que você pode realizar várias operações binárias com conjuntos, quase como com números. Outra operação binária comum é União, que é indicado pelo ícone "∪" ("saco com o furo para cima"). A união de dois conjuntos inclui todos os elementos de ambos os conjuntos:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Assim, descobrimos que a fração

pode ser reduzido a qualquer um dos números pertencentes ao conjunto

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

e não pode ser reduzido por nenhum outro número natural. Isso é tudo maneiras possíveis reduções (exceto a redução desinteressante em um):

É óbvio que é mais prático reduzir a fração por um número, se possível, um maior. NO este casoé o número 35, que se diz ser máximo divisor comum (GCD) números 105 e 140. Isto é escrito como

mdc(105, 140) = 35.

No entanto, na prática, se recebemos dois números e precisamos encontrar seu máximo divisor comum, não precisamos construir nenhum conjunto. Basta fatorar ambos os números em fatores primos e sublinhar aqueles desses fatores que são comuns a ambas as fatorações, por exemplo:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Multiplicando os números sublinhados (em qualquer uma das expansões), obtemos:

mdc(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Claro, é possível que haja mais de dois fatores sublinhados:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

A partir daqui fica claro que

mdc(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Menção especial merece a situação em que não há fatores comuns e não há nada a destacar, por exemplo:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Nesse caso,

mdc(42, 55) = 1.

Dois números naturais para os quais o mdc é igual a um são chamados coprime. Se você fizer uma fração desses números, por exemplo,

então essa fração é irredutível.

De um modo geral, a regra para reduzir frações pode ser escrita da seguinte forma:

Aqui assume-se que uma e b são números naturais e todas as frações são positivas. Se agora atribuirmos um sinal de menos a ambos os lados dessa igualdade, obteremos a regra correspondente para frações negativas.

Adição e subtração de frações. Mínimo múltiplo comum

Suponha que você queira calcular a soma de duas frações:

Já sabemos como os denominadores são decompostos em fatores primos:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Segue-se imediatamente desta decomposição que, para trazer as frações a um denominador comum, basta multiplicar o numerador e o denominador da primeira fração por 2 ∙ 2 (o produto dos fatores primos não acentuados do segundo denominador), e o numerador e o denominador da segunda fração por 3 (“produto” fatores primos não sublinhados do primeiro denominador). Como resultado, os denominadores de ambas as frações se tornarão iguais a um número que pode ser representado da seguinte forma:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

É fácil ver que ambos os denominadores originais (tanto 105 quanto 140) são divisores do número 420, e o número 420, por sua vez, é um múltiplo de ambos os denominadores - e não apenas um múltiplo, é mínimo múltiplo comum (CON) números 105 e 140. Isto é escrito assim:

LCM(105, 140) = 420.

Olhando mais de perto para a expansão dos números 105 e 140, vemos que

105 ∙ 140 = LCM(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

Da mesma forma, para números naturais arbitrários b e d:

b ∙ d= LCM( b, d) ∙ GCD( b, d).

Agora vamos completar a soma de nossas frações: