Encontre todas as raízes da equação trigonométrica. Trabalho de investigação sobre o tema "equações trigonométricas em tarefas de exame"

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MBOU "escola secundária Mordovsko-Paevskaya" do distrito de Insar da República da Moldávia

Completado por: Pantileikina Nadezhda,

aluno do 11º ano

Chefe: Kadyshkina N.V.,

professor de matemática

Índice

Introdução…………………………………………………………………………….

Capítulo I. Sobre equações trigonométricas……………………………………..…5

1) Os principais tipos de equações trigonométricas e métodos para sua solução:

1. Equações Reduzidas ao Mais Simples. ……………………………………..5

2. Equações que se reduzem a quadrados…………………………………….5

3. Equações homogêneas acosx + b sen x = 0………………………………...6

4. Equações da forma acosx + b sin x \u003d c, c≠ 0……………………………………7

5. Equações resolvidas por fatoração……………………….7

6. Equações não padronizadas…………………………………………………….8

Capítulo II. Conceitos básicos e fórmulas de trigonometria…………………….8-10

Capítulo II EU. Equações oferecidas no Exame Estadual Unificado dos últimos anos…………………10-14

Conclusão……………………………………………………………………………….14

Aplicação………………………………………………………………………….15-17

Literatura…………………………………………………………………………..18

Introdução

“O único caminho que leva ao conhecimento é a atividade...”

Bernard Show

A relevância do trabalho.

Estou terminando a escola em alguns meses.

Para que não haja problemas com a escolha adicional caminho da vida, necessário obter um diploma do ensino médio e, para obter um diploma do ensino médio, você deve passar em dois exames obrigatórios em USE formulário- e um delesmatemática. O que posso dizer, os exames finais são um período crucial na vida de qualquer aluno, do qual depende não só a nota final do certificado, mas também o seu futuro profissional, rendimentos e carreira.

Solteiro Exame de estadoé um teste importante antes de ir vida nova e admissão em uma universidade ou faculdade. É especialmente importante passá-lo com boas pontuações.O USE em matemática é um teste sério, e sem uma boa base, o aluno não poderá reivindicar um resultado decente.

Como evitar reprovar no exame e obter boas notas? Para fazer isso, você precisa resolver bem os problemas. Não pretendo a pontuação máxima, no entanto, estou me preparando diligentemente. E notei que mesmo na primeira tarefa da parte C, ou seja, na resolução de equações trigonométricas e seus sistemas, cometo erros.À primeira vista, o problema C1 é uma equação ou sistema de equações relativamente simples que pode conter funções trigonométricas,uma das principais abordagens à resolução que consiste na sua simplificação sucessiva de forma a reduzi-los a um ou mais simples.Então por que estou errado?

Relevância do tema é determinado pelo fato de que os alunos devem entender certos métodos de resolução de equações trigonométricas.

Portanto, na minha frente eu coloco o seguintemeta:

Sistematizar, ampliar conhecimentos e habilidades relacionadas ao uso de métodos para resolução de equações trigonométricas.

Objeto de estudoé o estudo de equações trigonométricas nas tarefas do exame.

Objeto de estudo- é a solução de equações trigonométricas

Por isso, objetivo principal escrevendo isso trabalho de conclusão de cursoé o estudo das equações trigonométricas e seus sistemas, formas de resolvê-los.

De acordo com os objetivos, objeto e assunto do estudo, as seguintes tarefas:

1). Estude todas as tarefas relacionadas à solução de equações trigonométricas oferecidas em USE funciona anos anteriores e ao realizar trabalhos de diagnóstico;

2) Métodos de estudo para a resolução de equações trigonométricas.

3). Revelar o principal possíveis erros ao resolver tais equações;

4). Descubra o motivo de tais erros.

6). Tire conclusões.

No meu trabalho, vou resolver várias equações trigonométricas, mostrar possíveis erros ao resolvê-las e tentar responder o seguinte questões:

1). É possível evitar erros ao executar tarefas do tipo C1

2) Se eu praticar a resolução de equações deste tipo, então posso

É possível executar essas tarefas sem erros?

Para isso, estudei todas as tarefas de demonstração e treinamento realizadas conosco, USE materiais anos anteriores;

fontes de referência estudadas;

tarefas resolvidas independentemente da Internet;

consultou seu professor em caso de dificuldade;

Aprendi a analisar e elaborar corretamente os resultados.

Capítulo EU. Sobre equações trigonométricas.

1) Definição 1. Uma equação trigonométrica é uma equação que contém uma variável sob o signo funções trigonométricas.

As equações trigonométricas mais simples são equações da forma sen x = a,

cos x = a, tg x = a, ctg x = a.

Em tais equações, a variável está sob o sinal da função trigonométrica e é o número dado.

A solução da equação trigonométrica consiste em duas etapas: a transformação da equação para obter sua forma mais simples e a solução da equação trigonométrica mais simples resultante.

2) Tipos básicos de equações trigonométricas.

Equações reduzidas ao mais simples.

resolva a equação

Decisão:

Responda:

Equações que se reduzem a quadráticas.

1) Resolva a equação 2 sen 2 x - cosx -1 = 0.

Responda:

Equações homogêneas: asinx + bcosx = 0

uma pecado 2 x + b sinxcosx + c quanto 2x = 0.

Resolva a equação 2sinx - 3cosx = 0

Solução: Seja cosx = 0, então 2sinx = 0 e sinx = 0 - uma contradição com

que sen 2 x + cos 2 x = 1. Então cosx ≠ 0 e podemos dividir a equação por cosx.

Obter

Responda:

Exemplo: resolva a equação

Decisão:

Responda:

Equações Resolvidas por Fatoração.

Pryper: Resolva a equação sen2x - senx = 0.

Solução: Usando a fórmula sin2x = 2sinxcosx, obtemos

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx(2cosx - 1) = 0.

O produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero.

Responda:

Equações não padronizadas.

Resolva a equação cosx = X 2 + 1.

Decisão:

Considere as funções

Capítulo II. Conceitos básicos e fórmulas de trigonometria.

As equações trigonométricas são um tópico obrigatório para qualquer exame de matemática.

Ox, quanto tormento o estudo da trigonometria dá aos alunos.

Certas dificuldades surgem mesmo se um professor estiver por pertomatemática e explica cada pequena coisa. Isso é compreensível, apenas fórmulas básicas são mais de vinte. E se considerarmos suas derivadas... O aluno se confunde nos cálculos e não consegue lembrar os mecanismos pelos quais essas fórmulas permitem encontrar, por exemplo, .

Você conhece as fórmulas - é fácil para você decidir. Se você não sabe, você não vai entender, mesmo se eles te derem a fórmula.Você precisa conhecer a fórmula não apenas estupidamente, mas saber onde ela pode ser aplicada, como revelar e qual é a essência da fórmula, e para isso você precisa resolver exemplos exatamente para aquelas tarefas que são difíceis.

A princípio pareceu-metrigonometria é um conjunto chato de fórmulas e gráficos. No entanto, ao me familiarizar com novos conceitos de trigonometria e métodos para resolver equações trigonométricas, a cada vez me convencia de quão interessante e fascinante é o mundo da trigonometria.

Primeiramente, para resolver com sucesso equações trigonométricas, você precisa saber bem fórmulas trigonométricas, e não apenas os básicos, mas também os adicionais (converter a soma das funções trigonométricas em um produto e os produtos em uma soma, fórmulas para diminuir graus e outros),desde o uso de cheats no exame e celulares Entrada

(Apêndice 1)

Em segundo lugar , devemos conhecer claramente as fórmulas padrão para as raízes das equações trigonométricas mais simples (é útil lembrar ou ser capaz de obter fórmulas simplificadas para as raízes das equações usando um círculo trigonométrico)

Cada uma dessas equações é resolvida por fórmulas que você deve conhecer. Aqui estão as fórmulas:

uma funçãoy= pecadox. Função limitada: dentro de [-1; 1]. Isso significa que ao resolver equações do tiposinx=2 ousinxsinx

1) sinx \u003d a,x= (-1) n arcosen a +n,n Z

2) sinx = - a,x= (-1) n+1 arcosen a +n,n Z

Além disso, você precisa conhecer casos especiais: 1) sinx =- 1,

2)sinx =0,

3)sinx = uma,

Você também precisa ser capaz de resolverna forma de duas séries de raízes

2. Função y = porque x . Função limitada: dentro de [-1; 1]. Isso significa que ao resolver equações do tipoporquex=2 ouporquex=-5 na resposta: não há raízes. Fórmulas para a função y=porquex:

1. cosx=a, X=± arcos a+2n,n Z

2.cosx=-a, X=±(  - arcos a)+2n,n Z

Casos especiais: 1. cosx =-1, X=  +2 n, n Z

2. cox=0,

3. cosx=1, X= 2n,n Z

3. Funçãoy= tgx.

Existe apenas uma fórmula, sem casos especiais:tgx = ± uma .

X = ± arctg a+n,n Z

Em terceiro lugar, deve-se conhecer os valores das funções trigonométricas;

(Anexo 2)

Quarto, Se na equação a função trigonométrica estiver sob o sinal do radical, então tal equação trigonométrica será irracional. Em tais equações, todas as regras que são usadas na resolução de equações ordinárias devem ser observadas. equações irracionais(região é considerada valores permitidos tanto a equação em si quanto ao liberar da raiz de um grau par).

V. Equações propostas no Exame Estadual Unificado dos últimos anos.

"Um método de solução é bom se pudermos prever desde o início - e posteriormente confirmar isso - que, seguindo esse método, atingiremos a meta."

Leibniz

1. Equações que se reduzem a uma quadrática.

C1. Resolva a equação:

Solução: Usando a identidade trigonométrica básica,reescreva a equação na forma

substituiçãoporque= ta equação é reduzida a uma quadrática: 2t 2 + 9 t-5 = 0 que tem raízest 1 = ½ et 2 = -5. Voltando à variável x, obtemos
,

A segunda equação não tem raízes desde |cosx |≥1, e da primeira x =± +6k, k Z

Resposta: =± +6k, k Z

Conclusão: Ao introduzir uma nova variável, devemos levar em conta que valores do pecado x e cos x são limitados por um segmento
, caso contrário, aparecerão raízes estranhas.

2. Equações Resolvidas por Fatoração

Tarefa C1 (2011)

a) Resolva a equação

b) Indique as raízes da equação pertencente ao segmento

Solução: a) resolva fatorando o lado esquerdo:

agrupar e colocar o fator comum entre colchetes, obtemos

A equação 1) não tem soluções.

A segunda equação é homogênea, é resolvida dividindo termo por termo por cosx ≠0, obtemos
, Onde

b)

Resposta: a)
b)

Conclusão:

1. Ao resolver uma equação desse tipo, primeiramente, você precisa saber que |sen x|≤1 e |cosx |≤1, e a equação senx =-2 não tem soluções;

2. Em segundo lugar, justifique a divisão por cosx ≠o (porque se cosx = 0, então sen x = 0, e isso é impossível;

em terceiro lugar, é razoável selecionar as raízes pertencentes a este intervalo

3
.Equação para aplicação de fórmulas de redução

C1 (2010) Equação dada

a) resolver a equação;

b
) Especifique as raízes pertencentes ao segmento

Solução: Usando as fórmulas de redução, temos:

sen 2 x - cos x \u003d 0,

2 senx cosx - cosx = 0,

com osx (2 sinx -1) = 0, de onde cosx = 0 ou sinx = ½,

b) Encontre os valores de k para os quais as raízes pertencerão

intervalo especificado. Para colher raízes. pertencente a um dado intervalo, a solução pode ser representada como:

b

) Encontre os valores de k para os quais as raízes pertencerão ao intervalo especificado.

2)

Resolvendo esta desigualdade, o todo

não obteremos o valor de k.

Resposta: a)

b)

Conclusão:

Ao resolver uma equação desse tipo, é necessário conhecer as fórmulas da equação acima e aplicá-la corretamente; ser capaz de apresentar uma solução
em duas séries de raízes; selecionar corretamente as raízes pertencentes a um determinado segmento.

4. Sistemas de equações trigonométricas

C1 (2010). Resolver um sistema de equações

Solução: O.D.Z

Uma fração é zero se o numerador for 0 e o denominador não for 0.

Da equação 2sin 2 x - 3 sinx +1 \u003d 0, resolvendo pelo método de introdução de uma nova variável, encontramos

ou sinx=1.

1) Deixe
, então
e y = cos x = ›0 (usando o principal identidade trigonométrica)

ou
e
- não há decisão.

2) Deixe sinx \u003d 1, então y \u003d cos x \u003d 0 - não há solução.

Responda:
e y =

Conclusão: 1) é necessário levar em conta a limitação das

funções

2) Registre e leve em consideração O.D.Z.

5. C1 (USE 2011) Resolva a equação:

O.D.Z. - cos x ≥ 0, sen x ≤ 0.

4sen 2 x + 12 senx + 5 = 0 ou cos x =0

senx=t

4 t 2 + 12 t + 5=0, de onde t 1 \u003d -½, t 2 \u003d -

sinx = -½ sinx=- - não tem solução

x =

x =

levando em conta O.D.Z. x =

Resposta: x =

Conclusão: Anote a resposta levando em consideração O.D.Z.

CONCLUSÃO

No meu trabalho, foram estudadas as soluções de equações trigonométricas, foram consideradas recomendações para resolver equações trigonométricas, métodos para resolver equações trigonométricas e foram considerados os erros possíveis ao resolvê-los.

Cheguei às seguintes conclusões:

1. As tarefas do tipo C1 testam a capacidade de resolver equações trigonométricas. Essas tarefas são realmente simples, o que dá autoconfiança extra e acalma a atenção. A única dificuldade dessas tarefas é que, tendo resolvido uma equação ou um sistema de equações, é necessário descartar raízes estranhas.

2. A tarefa C1 é a mais tarefa simples grupo C. Ao resolvê-lo, transformações complicadas não devem surgir e cálculos complexos. Se eles aparecerem, você precisa parar imediatamente, verificar a solução e tentar entender o que está errado aqui.

3. Em última análise,o requisito principal é que a solução deve ser matematicamente alfabetizada, o curso do raciocínio deve ser claro a partir dela.Você precisa tentar escrever sua decisão de forma breve e clara, mas o mais importante - corretamente!

4. E o mais importante - para aprender a resolver equações sem erros, você precisa resolvê-las! Afinal, como disse Poya, “Se você quer aprender a nadar, então mergulhe corajosamente na água, e se você quer aprender a resolver problemas, você precisa resolvê-los!”

Apêndice 1 (fórmulas básicas de trigonometria)

1) identidade trigonométrica básicapecado 2 α + porque 2 α= 1,

Dividindo esta equação pelo quadrado do cosseno e do seno, respectivamente, temos

2) fórmulas de duplo argumentopecado2α = 2pecadoα porque α,

cos 2α = cos 2 α -pecado 2 α ,

Cos 2α = 1- 2sin 2 α,

3) fórmulas de redução:

4) fórmulas para a soma e diferença de dois argumentos:

pecado(α+ β )= pecadoα porqueβ + porque α pecadoβ

pecado(α- β )= pecadoα porque β - porque α pecado β

porque(α+ β )= porqueα porque β + pecado α pecado β

porque(α- β )= pecadoα porque β + pecadoα pecado β

5) Fórmulas de elenco

As fórmulas são chamadas de fórmulas de redução. o seguinte tipo:

Soma somas e diferenças de equações trigonométricas

Paridade

Cosseno-par, seno, tangente e cotangente, ou seja:

Continuidade

Seno e cosseno - . Tangente e tem

,cotangente 0; ±π; ±2π;…

Periodicidade

Funçõesy = porquex, y = pecadox -