Área de Valor Aceitável (ODZ): teoria, exemplos, soluções. Como encontrar o escopo de uma função? Exemplos de soluções

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Vamos começar encontrando domínio de definição da soma de funções. É claro que tal função faz sentido para todos esses valores da variável para os quais todas as funções que compõem a soma fazem sentido. Portanto, não há dúvida sobre a validade da seguinte afirmação:

Se a função f é a soma de n funções f 1 , f 2 , …, f n , ou seja, a função f é dada pela fórmula y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ), então o domínio da função f é a interseção dos domínios das funções f 1 , f 2 , …, f n . Vamos escrever como .

Vamos concordar em continuar usando registros como o último, ou seja, escritos entre colchetes, ou o cumprimento simultâneo de quaisquer condições. Isso é conveniente e naturalmente ressoa com o significado de sistemas.

Exemplo.

Dada uma função y=x 7 +x+5+tgx , precisamos encontrar seu domínio.

Solução.

A função f é representada pela soma de quatro funções: f 1 é uma função de potência com um expoente de 7 , f 2 é uma função de potência com um expoente de 1 , f 3 é uma função constante e f 4 é uma função tangente.

Olhando para a tabela de áreas de definição dos principais funções elementares, descobrimos que D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) , e o domínio de a tangente é o conjunto de todos os números reais, exceto os números .

O domínio da função f é a intersecção dos domínios das funções f 1 , f 2 , f 3 e f 4 . É bastante óbvio que este é o conjunto de todos os números reais, com exceção dos números .

Responda:

conjunto de todos os números reais, exceto .

Vamos seguir para encontrar domínios do produto de funções. Para este caso, uma regra semelhante vale:

Se a função f é o produto de n funções f 1 , f 2 , …, f n , ou seja, a função f é dada pela fórmula y=f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x), então o domínio da função f é a interseção dos domínios das funções f 1 , f 2 , …, f n . Então, .

É compreensível, na área indicada todas as funções do produto são definidas e, portanto, a própria função f.

Exemplo.

Y=3 arctgx lnx.

Solução.

A estrutura do lado direito da fórmula que define a função pode ser considerada como f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) , onde f 1 é uma função constante, f 2 é a função arco tangente, e f 3 é a função logarítmica com base e.

Sabemos que D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) e D(f 3)=(0, +∞) . Então .

Responda:

o domínio da função y=3 arctgx lnx é o conjunto de todos os números reais positivos.

Vamos nos deter separadamente em encontrar o domínio da função dada pela fórmula y=C·f(x) , onde C é algum número real. É fácil mostrar que o domínio desta função e o domínio da função f coincidem. De fato, a função y=C f(x) é o produto de uma função constante e uma função f . O domínio de uma função constante é o conjunto de todos os números reais, e o domínio da função f é D(f). Então o domínio da função y=C f(x) é , que deveria ser mostrado.

Assim, os domínios das funções y=f(x) e y=C·f(x) , onde С é algum número real, coincidem. Por exemplo, se o domínio da raiz é , fica claro que D(f) é o conjunto de todos os x do domínio da função f 2 para o qual f 2 (x) está incluído no domínio da função f 1 .

Nesse caminho, domínio de uma função complexa y=f 1 (f 2 (x)) é a intersecção de dois conjuntos: o conjunto de todos os x tais que x∈D(f 2) e o conjunto de todos os x tais que f 2 (x)∈D(f 1 ). Ou seja, em nossa notação (este é essencialmente um sistema de desigualdades).

Vamos dar uma olhada em alguns exemplos. No processo, não descreveremos em detalhes, pois isso está além do escopo deste artigo.

Exemplo.

Encontre o domínio da função y=lnx 2 .

Solução.

A função original pode ser representada como y=f 1 (f 2 (x)) , onde f 1 é um logaritmo com base e, e f 2 é uma função de potência com expoente 2.

Voltando-se para áreas famosas definições de funções elementares básicas, temos D(f 1)=(0, +∞) e D(f 2)=(−∞, +∞) .

Então

Então encontramos o domínio de definição da função que precisávamos, é o conjunto de todos os números reais, exceto o zero.

Responda:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Exemplo.

Qual é o escopo da função ?

Solução.

Essa função é complexa, pode ser considerada como y \u003d f 1 (f 2 (x)) , onde f 1 é uma função de potência com expoente e f 2 é a função arcsine, e precisamos encontrar seu domínio.

Vamos ver o que sabemos: D(f 1)=(0, +∞) e D(f 2)=[−1, 1] . Resta encontrar a interseção de conjuntos de valores x tais que x∈D(f 2) ef 2 (x)∈D(f 1) :

Para arcsinx>0, vamos recuperar as propriedades da função arcsine. O arcsine aumenta em todo o domínio [−1, 1] e desaparece em x=0 , portanto, arcsinx>0 para qualquer x do intervalo (0, 1] .

Voltemos ao sistema:

Assim, o domínio desejado de definição da função é um meio-intervalo (0, 1] .

Responda:

(0, 1] .

Agora vamos passar para funções gerais complexas y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . O domínio da função f neste caso é encontrado como .

Exemplo.

Encontrar o escopo de uma função .

Solução.

A função complexa dada pode ser escrita como y \u003d f 1 (f 2 (f 3 (x))), onde f 1 - sin, f 2 - função da raiz do quarto grau, f 3 - lg.

Sabemos que D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=- ∞; +∞[.

Exemplo 1. Encontre o escopo de uma função y = 2 .

Solução. O escopo da função não é especificado, o que significa que, em virtude da definição acima, entende-se o domínio natural da definição. Expressão f(x) = 2 é definido para quaisquer valores reais x, Consequentemente, determinada função definido em todo o conjunto R numeros reais.

Portanto, no desenho acima, a reta numérica está sombreada desde menos infinito até mais infinito.

Escopo da raiz nº grau

No caso em que a função é dada pela fórmula e n- número natural:

Exemplo 2. Encontre o escopo de uma função .

Solução. Como segue da definição, a raiz de um grau par faz sentido se a expressão radical for não negativa, isto é, se - 1 ≤ x≤ 1 . Portanto, o escopo desta função é [- 1; 1] .

A área sombreada da reta numérica no desenho acima é a área de definição desta função.

Domínio da função de potência

Domínio de uma função potência com um expoente inteiro

E se uma- positivo, então o domínio da função é o conjunto de todos os números reais, ou seja, ]- ∞; + ∞[ ;

E se uma- negativo, então o domínio de definição da função é o conjunto ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , ou seja, toda a reta numérica exceto zero.

No desenho correspondente, toda a linha numérica é sombreada de cima e o ponto correspondente a zero é perfurado (não está incluído na área de definição da função).

Exemplo 3. Encontre o escopo de uma função .

Solução. O primeiro termo é uma potência inteira de x igual a 3, e a potência de x no segundo termo pode ser representada como uma unidade - também um inteiro. Portanto, o domínio desta função é a reta numérica inteira, ou seja, ]- ∞; +∞[.

Domínio de uma função potência com um expoente fracionário

No caso em que a função é dada pela fórmula:

se - for positivo, então o domínio da função é o conjunto 0; +∞[.

Exemplo 4. Encontre o escopo de uma função .

Solução. Ambos os termos na expressão da função - funções de energia com expoentes fracionários positivos. Portanto, o domínio desta função é o conjunto - ∞; +∞[.

Domínio de definição de funções exponenciais e logarítmicas

Domínio da função exponencial

No caso em que a função é dada pela fórmula, o domínio da função é a reta numérica inteira, ou seja, ]- ∞; +∞[.

O domínio da função logarítmica

A função logarítmica é definida sob a condição de que seu argumento seja positivo, ou seja, seu domínio de definição é o conjunto ]0; +∞[.

Encontre você mesmo o escopo da função e depois veja a solução

Domínio de definição de funções trigonométricas

Escopo da função y= cos( x) também é um conjunto R numeros reais.

Escopo da função y= tg( x) - vários R números reais que não sejam números .

Escopo da função y=ctg( x) - vários R números reais que não sejam números.

Exemplo 8. Encontre o escopo de uma função .

Solução. A função externa é um logaritmo decimal e as condições de domínio se aplicam ao seu domínio de definição função logarítmica geralmente. Ou seja, seu argumento deve ser positivo. O argumento aqui é o seno de "x". Girando uma bússola imaginária em torno de um círculo, vemos que a condição sin x> 0 é violado quando "x" é igual a zero, "pi", dois, multiplicado por "pi" e geralmente igual ao produto do número "pi" e qualquer inteiro par ou ímpar.

Assim, o domínio de definição desta função é dado pela expressão

,

Onde ké um número inteiro.

Domínio das funções trigonométricas inversas

Escopo da função y= arcsin( x) - definir [-1; 1] .

Escopo da função y= arcos( x) - também o conjunto [-1; 1] .

Escopo da função y= arctan( x) - vários R numeros reais.

Escopo da função y= arcctg( x) também é um conjunto R numeros reais.

Exemplo 9. Encontre o escopo de uma função .

Solução. Vamos resolver a desigualdade:

Assim, obtemos o domínio de definição desta função - o segmento [- 4; quatro] .

Exemplo 10. Encontre o escopo de uma função .

Solução. Vamos resolver duas inequações:

Solução da primeira desigualdade:

Solução da segunda desigualdade:

Assim, obtemos o domínio de definição desta função - o segmento.

Domínio da fração

Se a função é dada por uma expressão fracionária na qual a variável está no denominador da fração, então o domínio da função é o conjunto R números reais, exceto x para o qual o denominador da fração se anula.

Exemplo 11. Encontre o escopo de uma função .

Solução. Resolvendo a igualdade a zero do denominador da fração, encontramos o domínio de definição desta função - o conjunto] - ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .