Como resolver uma equação irracional com duas variáveis. Equação irracional: aprendendo a resolver pelo método de isolamento de raízes

Uma equação irracional é qualquer equação que contém uma função sob o sinal da raiz. Por exemplo:

Tais equações são sempre resolvidas em 3 passos:

1. Separe a raiz. Em outras palavras, se houver outros números ou funções à esquerda do sinal de igual além da raiz, tudo isso deve ser movido para a direita alterando o sinal. Ao mesmo tempo, apenas o radical deve permanecer à esquerda - sem coeficientes.
2. 2. Elevamos ambos os lados da equação ao quadrado. Ao mesmo tempo, lembre-se de que o intervalo da raiz são todos os números não negativos. Daí a função à direita ir equação racional também deve ser não negativo: g (x) ≥ 0.
3. A terceira etapa segue logicamente da segunda: você precisa realizar uma verificação. O fato é que na segunda etapa poderíamos ter raízes extras. E para cortá-los, é necessário substituir os números candidatos resultantes na equação original e verificar: a igualdade numérica correta realmente foi obtida?

Resolvendo uma equação irracional

Vamos lidar com nossa equação irracional dada no início da lição. Aqui a raiz já está isolada: à esquerda do sinal de igual não há nada além da raiz. Vamos ao quadrado dos dois lados:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

Resolvemos a equação quadrática resultante através do discriminante:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x1 = 6; x 2 \u003d -2

Resta apenas substituir esses números na equação original, ou seja, realizar uma verificação. Mas mesmo aqui você pode fazer a coisa certa para simplificar a decisão final.

Como simplificar a solução

Vamos pensar: por que verificamos no final da resolução de uma equação irracional? Queremos ter certeza de que ao substituir nossas raízes, haverá um número não negativo à direita do sinal de igual. Afinal, já sabemos com certeza que é um número não negativo à esquerda, pois a raiz quadrada aritmética (por causa da qual nossa equação é chamada de irracional) por definição não pode ser menor que zero.

Portanto, tudo o que precisamos verificar é que a função g ( x ) = 5 − x , que está à direita do sinal de igual, é não negativa:

g(x) ≥ 0

Substituímos nossas raízes nessa função e obtemos:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Dos valores obtidos, segue-se que a raiz x 1 = 6 não nos convém, pois ao substituir no lado direito da equação original, obtemos um número negativo. Mas a raiz x 2 \u003d −2 é bastante adequada para nós, porque:

1. Esta raiz é a solução Equação quadrática obtido como resultado da construção de ambos os lados equação irracional em um quadrado.
2. O lado direito da equação irracional original, quando a raiz x 2 = −2 é substituída, se transforma em um número positivo, ou seja, o intervalo da raiz aritmética não é violado.

Esse é todo o algoritmo! Como você pode ver, resolver equações com radicais não é tão difícil. O principal é não esquecer de verificar as raízes recebidas, caso contrário, é muito provável que obtenha respostas extras.

Solução de equações irracionais.

Neste artigo, falaremos sobre maneiras de resolver as equações irracionais mais simples.

Equação irracional chamada de equação que contém a incógnita sob o sinal da raiz.

Vejamos dois tipos equações irracionais, que são muito semelhantes à primeira vista, mas na verdade são muito diferentes entre si.

(1)

(2)

Na primeira equação vemos que o desconhecido está sob o signo da raiz do terceiro grau. Podemos tirar uma raiz ímpar de número negativo, portanto, nesta equação não há restrições nem na expressão sob o sinal da raiz nem na expressão do lado direito da equação. Podemos elevar ambos os lados da equação à terceira potência para nos livrarmos da raiz. Obtemos uma equação equivalente:

Ao elevar os lados direito e esquerdo da equação a uma potência ímpar, não podemos ter medo de obter raízes estranhas.

Exemplo 1. Vamos resolver a equação

Vamos elevar ambos os lados da equação à terceira potência. Obtemos uma equação equivalente:

Vamos mover todos os termos em uma direção e tirar x dos colchetes:

Igualando cada fator a zero, obtemos:

Resposta: (0;1;2)

Vamos dar uma olhada mais de perto na segunda equação: . No lado esquerdo da equação está a raiz quadrada, que assume apenas valores não negativos. Portanto, para que a equação tenha soluções, o lado direito também deve ser não negativo. Portanto, a seguinte condição é imposta no lado direito da equação:

Título="(!LANG:g(x)>=0"> - это !} a condição para a existência de raízes.

Para resolver uma equação desse tipo, você precisa elevar ao quadrado ambos os lados da equação:

(3)

O quadrado pode introduzir raízes estranhas, então precisamos de equações:

Título="(!LANG:f(x)>=0"> (4)!}

No entanto, a desigualdade (4) segue da condição (3): se o quadrado de alguma expressão está do lado direito da igualdade, e o quadrado de qualquer expressão pode assumir apenas valores não negativos, portanto lado esquerdo também deve ser não negativo. Portanto, a condição (4) segue automaticamente da condição (3) e nossa a equação é equivalente ao sistema:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x)))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Exemplo 2 . Vamos resolver a equação:

.

Vamos para um sistema equivalente:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Resolvemos a primeira equação do sistema e verificamos quais raízes satisfazem a desigualdade.

Título da desigualdade="(!LANG:1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Resposta: x=1

Atenção! Se elevarmos ao quadrado ambos os lados da equação no processo de resolução, devemos lembrar que podem aparecer raízes estranhas. Portanto, ou você precisa mudar para um sistema equivalente, ou no final da solução, FAÇA UMA VERIFICAÇÃO: encontre as raízes e substitua-as na equação original.

Exemplo 3. Vamos resolver a equação:

Para resolver esta equação, também precisamos elevar ao quadrado ambos os lados. Não vamos nos preocupar com a ODZ e a condição para a existência de raízes nesta equação, mas simplesmente ao final da solução vamos verificar.

Vamos elevar ao quadrado os dois lados da equação:

Mova o termo que contém a raiz para a esquerda e todos os outros termos para a direita:

Vamos elevar ao quadrado os dois lados da equação novamente:

Segundo Vieta Terme:

Vamos fazer uma verificação. Para fazer isso, substituímos as raízes encontradas na equação original. Obviamente, para , o lado direito da equação original é negativo, enquanto o lado esquerdo é positivo.

Quando obtemos a igualdade correta.

Equações nas quais uma variável está contida sob o sinal da raiz são chamadas de irracionais.

Os métodos para resolver equações irracionais, via de regra, baseiam-se na possibilidade de substituir (com a ajuda de algumas transformações) uma equação irracional por uma equação racional que seja equivalente à equação irracional original ou seja sua consequência. Na maioria das vezes, ambos os lados da equação são elevados à mesma potência. Neste caso, obtém-se uma equação, que é uma consequência da original.

Ao resolver equações irracionais, o seguinte deve ser levado em consideração:

1) se o índice raiz for um número par, então a expressão radical deve ser não negativa; o valor da raiz também é não negativo (a definição de uma raiz com um expoente par);

2) se o expoente raiz for número ímpar, então a expressão radical pode ser qualquer número real; neste caso, o sinal da raiz é o mesmo que o sinal da expressão raiz.

Exemplo 1 resolva a equação

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados da equação.
x 2 - 3 \u003d 1;
Transferimos -3 do lado esquerdo da equação para o lado direito e realizamos a redução de termos semelhantes.
x 2 \u003d 4;
A equação quadrática incompleta resultante tem duas raízes -2 e 2.

Vamos verificar as raízes obtidas, para isso substituiremos os valores da variável x na equação original.
Exame.
Quando x 1 \u003d -2 - verdadeiro:
Quando x 2 \u003d -2- verdadeiro.
Segue-se que a equação irracional original tem duas raízes -2 e 2.

Exemplo 2 resolva a equação .

Essa equação pode ser resolvida usando o mesmo método do primeiro exemplo, mas faremos de maneira diferente.

Vamos encontrar a ODZ desta equação. Da definição raiz quadrada segue-se que nesta equação duas condições devem ser satisfeitas simultaneamente:

ODZ da equação dada: x.

Resposta: sem raízes.

Exemplo 3 resolva a equação =+ 2.

Encontrar a ODZ nesta equação é uma tarefa bastante difícil. Vamos elevar ao quadrado os dois lados da equação:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 = 1; x2=0.
Após a verificação, estabelecemos que x 2 \u003d 0 é uma raiz extra.
Resposta: x 1 \u003d 1.

Exemplo 4 Resolva a equação x =.

Naquilo Exemplo de DHS fácil de encontrar. ODZ desta equação: x[-1;).

Vamos elevar ao quadrado os dois lados desta equação, como resultado, obtemos a equação x 2 \u003d x + 1. As raízes desta equação:

É difícil verificar as raízes encontradas. Mas, apesar do fato de ambas as raízes pertencerem à ODZ, é impossível afirmar que ambas as raízes são as raízes da equação original. Isso resultará em um erro. NO este caso uma equação irracional é equivalente a uma combinação de duas desigualdades e uma equação:

x+10 e x0 e x 2 \u003d x + 1, do qual se segue que a raiz negativa da equação irracional é estranha e deve ser descartada.

Exemplo 5 . Resolva a equação += 7.

Vamos elevar ao quadrado os dois lados da equação e realizar a redução de termos semelhantes, transferir os termos de uma parte da equação para a outra e multiplicar ambas as partes por 0,5. Como resultado, obtemos a equação
= 12, (*) que é uma consequência do original. Vamos elevar ao quadrado os dois lados da equação novamente. Obtemos a equação (x + 5) (20 - x) = 144, que é uma consequência da original. A equação resultante é reduzida para a forma x 2 - 15x + 44 =0.

Essa equação (que também é consequência da original) tem raízes x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11. Ambas as raízes, como mostra o teste, satisfazem a equação original.

Representante x 1 = 4, x 2 = 11.

Comente. Ao elevar ao quadrado as equações, os alunos geralmente em equações como (*) multiplicam expressões de raiz, ou seja, em vez de equação = 12, eles escrevem a equação = 12. Isso não leva a erros, pois as equações são consequências das equações. No entanto, deve-se ter em mente que, no caso geral, tal multiplicação de expressões radicais resulta em equações não equivalentes.

Nos exemplos discutidos acima, foi possível primeiro transferir um dos radicais para o lado direito da equação. Então um radical permanecerá no lado esquerdo da equação e, após elevar ao quadrado ambos os lados da equação, uma função racional será obtida no lado esquerdo da equação. Esta técnica (solidão do radical) é bastante utilizada na resolução de equações irracionais.

Exemplo 6. Resolva a equação-= 3.

Tendo isolado o primeiro radical, obtemos a equação
=+ 3, que é equivalente ao original.

Elevando ambos os lados desta equação ao quadrado, obtemos a equação

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, que é equivalente à equação

4x - 5 = 3(*). Esta equação é uma consequência da equação original. Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, chegamos à equação
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3), ou

7x2 - 13x - 2 = 0.

Esta equação é uma consequência da equação (*) (e, portanto, da equação original) e tem raízes. A primeira raiz x 1 = 2 satisfaz a equação original e a segunda x 2 =- não.

Resposta: x = 2.

Observe que se imediatamente, sem isolar um dos radicais, estivéssemos elevando ao quadrado ambas as partes da equação original, teríamos que realizar transformações bastante complicadas.

Ao resolver equações irracionais, além do isolamento de radicais, outros métodos também são usados. Considere um exemplo de uso do método de substituição da incógnita (o método de introdução de uma variável auxiliar).

Métodos de resolução de equações irracionais.

Preparação preliminar para a lição: os alunos devem ser capazes de resolver equações irracionais de várias maneiras.

Três semanas antes desta sessão, os alunos recebem o dever de casa nº 1: resolver várias equações irracionais. (Os alunos encontram independentemente 6 equações irracionais diferentes e as resolvem em pares.)

Uma semana antes desta lição, os alunos recebem o dever de casa nº 2, que eles completam individualmente.

1. Resolva a equaçãojeitos diferentes.

2. Avalie as vantagens e desvantagens de cada método.

3. Faça um registro das conclusões em forma de tabela.

Lições objetivas:

Educacional:generalização do conhecimento dos alunos sobre este tópico, demonstração vários métodos resolver equações irracionais, a capacidade dos alunos de abordar a resolução de equações do ponto de vista da pesquisa.

Educacional:educação para a independência, capacidade de ouvir os outros e comunicar em grupo, aumentando o interesse pelo assunto.

Em desenvolvimento:desenvolvimento pensamento lógico, cultura algorítmica, habilidades de auto-educação, auto-organização, trabalho em pares ao fazer lição de casa, capacidade de analisar, comparar, generalizar, tirar conclusões.

Equipamento: computador, projetor, tela, mesa "Regras para resolver equações irracionais", um pôster com uma citação de M.V. Lomonosov “A matemática deve ser ensinada depois que põe a mente em ordem”, cartas.

Regras para resolver equações irracionais.

Tipo de aula: aula-seminário (trabalho em grupos de 5-6 pessoas, cada grupo deve ter alunos fortes).

Durante as aulas

EU . Organizando o tempo

(Mensagem do tópico e objetivos da lição)

II . Apresentação trabalho de pesquisa"Métodos para resolver equações irracionais"

(O trabalho é apresentado pelo aluno que o conduziu.)

III . Análise de métodos para resolver trabalhos de casa

(Um aluno de cada grupo escreve no quadro suas soluções propostas. Cada grupo analisa uma das soluções, avalia as vantagens e desvantagens, tira conclusões. Os alunos dos grupos complementam, se necessário. A análise e as conclusões do grupo são avaliadas. As respostas devem ser claras e completas.)

A primeira maneira: elevar ambos os lados da equação à mesma potência, seguido de verificação.

Decisão.

Vamos elevar ao quadrado os dois lados da equação novamente:

Daqui

Exame:

1. Sex=42 então, o que significa o número42 não é a raiz da equação.

2. Sex=2, então, o que significa o número2 é a raiz da equação.

Responda:2.

Conclusão. Ao resolver equações irracionais elevando ambas as partes da equação à mesma potência, é necessário manter um registro verbal, o que torna a solução compreensível e acessível. No entanto, a verificação obrigatória às vezes é complexa e demorada. Este método pode ser usado para resolver equações irracionais simples contendo 1-2 radicais.

A segunda maneira: transformações equivalentes.

Decisão:Vamos elevar ao quadrado os dois lados da equação:

Responda:2.

Conclusão. Ao resolver equações irracionais pelo método de transições equivalentes, você precisa saber claramente quando colocar o sinal do sistema e quando - o agregado. A notação complicada, várias combinações de sinais do sistema e a totalidade geralmente levam a erros. No entanto, uma sequência de transições equivalentes, um registro lógico claro sem uma descrição verbal que não requer verificação, são as vantagens indiscutíveis desse método.

A terceira via: gráfico-funcional.

Decisão.

Considere as funçõese.

1. Funçãopotência; está aumentando, porque o expoente é um número positivo (não inteiro).

D(f).

Vamos fazer uma tabela de valoresxef( x).

2. Funçãopotência; está diminuindo.

Encontre o domínio da funçãoD( g).

Vamos fazer uma tabela de valoresxeg( x).

Vamos construir esses gráficos de funções em um sistema de coordenadas.

Gráficos de funções se cruzam em um ponto com uma abcissaPorque funçãof( x) aumenta e a funçãog( x) diminui, então há apenas uma solução para a equação.

Responda: 2.

Conclusão. O método gráfico-funcional é ilustrativo, permite encontrar o número de soluções, mas é melhor usá-lo quando você pode facilmente construir gráficos das funções em consideração e obter uma resposta precisa. Se a resposta for aproximada, é melhor usar outro método.

Quarta via: introdução de uma nova variável.

Decisão.Introduzimos novas variáveis, denotandoObtemos a primeira equação do sistema

Vamos compor a segunda equação do sistema.

Para uma variável:

Para uma variável

então

Obtemos um sistema de duas equações racionais, com respeito ae

Voltando à variável, Nós temos

Simplificação - obter um sistema de equações que não contém radicais

1. A necessidade de rastrear o LPV de novas variáveis

2. A necessidade de retornar à variável original

Conclusão. Este método é melhor usado para equações irracionais contendo radicais de vários graus, ou os mesmos polinômios sob o sinal da raiz e atrás do sinal da raiz, ou expressões mutuamente inversas sob o sinal da raiz.

- Então, pessoal, para cada equação irracional, você precisa escolher a mais forma conveniente soluções: compreensível. Acessível, lógico e bem desenhado. Levante a mão, qual de vocês daria preferência para resolver esta equação:

1) o método de elevar ambas as partes da equação à mesma potência com verificação;

2) o método das transformações equivalentes;

3) método gráfico-funcional;

4) o método de introdução de uma nova variável.

4 . Parte prática

(Trabalho em grupo. Cada grupo de alunos recebe um cartão com uma equação e a resolve no caderno. Neste momento, um representante do grupo resolve um exemplo no quadro. Os alunos de cada grupo resolvem o mesmo exemplo como um membro de seu grupo e monitore as tarefas de execução corretas no quadro.Se a pessoa que responde no quadro-negro erra, então quem os percebe levanta a mão e ajuda a corrigir. Durante a aula, cada aluno, além do exemplo resolvido pelo seu grupo , devem anotar em um caderno e outros propostos aos grupos, e resolvê-los em casa.)

Grupo 1.

Grupo 2

Grupo 3.

V . Trabalho independente

(Nos grupos, primeiro há uma discussão e depois os alunos começam a completar a tarefa. Solução correta preparado pelo professor é exibido.)

VI . Resumindo a lição

Agora você sabe que resolver equações irracionais exige que você tenha bons conhecimentos teóricos, capacidade de aplicá-los na prática, atenção, diligência, raciocínio rápido.

Trabalho de casa

Resolva as equações propostas aos grupos durante a aula.

Instituição de ensino municipal

"Escola secundária de Kudinskaya No. 2"

Maneiras de resolver equações irracionais

Completado por: Egorova Olga,

Supervisor:

Professora

matemática,

qualificação superior

Introdução....……………………………………………………………………………………… 3

Seção 1. Métodos para resolver equações irracionais…………………………………6

1.1 Resolvendo as equações irracionais da parte C……….….….……………………21

Seção 2. Tarefas individuais…………………………………………….....………...24

Respostas………………………………………………………………………………………….25

Bibliografia…….…………………………………………………………………….26

Introdução

A educação matemática recebida em escola de ensino geral, é o componente mais importante Educação geral e cultura geral homem moderno. Quase tudo que cerca uma pessoa moderna está conectado de uma forma ou de outra com a matemática. E os últimos avanços em física, engenharia e tecnologia da informação não deixam dúvidas de que no futuro o estado das coisas permanecerá o mesmo. Portanto, a solução de muitos problemas práticos é reduzida a resolver vários tipos equações para aprender a resolver. Um desses tipos são as equações irracionais.

Equações irracionais

Uma equação contendo uma incógnita (ou uma expressão algébrica racional de uma incógnita) sob o sinal do radical é chamada equação irracional. NO matemática elementar soluções de equações irracionais são encontradas no conjunto dos números reais.

Qualquer equação irracional com a ajuda de operações algébricas elementares (multiplicação, divisão, elevando ambas as partes da equação a uma potência inteira) pode ser reduzida a uma equação algébrica racional. Deve-se ter em mente que a equação algébrica racional resultante pode não ser equivalente à equação irracional original, ou seja, pode conter raízes "extras" que não serão as raízes da equação irracional original. Portanto, encontrando as raízes do racional obtido equação algébrica, é necessário verificar se todas as raízes de uma equação racional são as raízes de uma equação irracional.

Em geral, é difícil especificar qualquer método genérico solução de qualquer equação irracional, pois é desejável que, como resultado de transformações da equação irracional original, não se obtenha apenas algum tipo de equação algébrica racional, entre as raízes das quais estarão as raízes dessa equação irracional, mas uma equação algébrica racional formada a partir de polinômios do menor grau possível. O desejo de obter essa equação algébrica racional formada a partir de polinômios do menor grau possível é bastante natural, pois encontrar todas as raízes de uma equação algébrica racional pode por si só ser uma tarefa bastante difícil, que só podemos resolver completamente em um número muito limitado de casos.

Tipos de equações irracionais

Resolver equações irracionais de grau par sempre causa mais problemas do que a solução de equações irracionais de grau ímpar. Ao resolver equações irracionais de grau ímpar, a ODZ não muda. Portanto, abaixo consideraremos equações irracionais, cujo grau é par. Existem dois tipos de equações irracionais:

2..

Vamos considerar o primeiro deles.

equação odz: f(x)≥ 0. Em ODZ, o lado esquerdo da equação é sempre não negativo, então uma solução só pode existir quando g(x)≥ 0. Neste caso, ambos os lados da equação são não negativos e a exponenciação 2 n fornece uma equação equivalente. Nós entendemos isso

Prestemos atenção ao fato de que enquanto ODZ é executado automaticamente, e você não pode escrevê-lo, mas a condiçãog(x) ≥ 0 deve ser verificado.

Observação: Isto é muito condição importante equivalência. Primeiramente, libera o aluno da necessidade de investigar e, após encontrar soluções, verificar a condição f(x) ≥ 0 - a não negatividade da expressão raiz. Em segundo lugar, concentra-se em verificar a condiçãog(x) ≥ 0 são a não negatividade do lado direito. Afinal, depois do quadrado, a equação é resolvida ou seja, duas equações são resolvidas ao mesmo tempo (mas em intervalos diferentes do eixo numérico!):

1. - onde g(x)≥ 0 e

2. - onde g(x) ≤ 0.

Enquanto isso, muitos, de acordo com o hábito escolar de encontrar ODZ, fazem exatamente o oposto ao resolver tais equações:

a) verificar, após encontrar soluções, a condição f(x) ≥ 0 (que é automaticamente satisfeita), cometer erros aritméticos e obter um resultado incorreto;

b) ignore a condiçãog(x) ≥ 0 - e novamente a resposta pode estar errada.

Observação: A condição de equivalência é especialmente útil ao resolver equações trigonométricas, nas quais encontrar o ODZ está associado à resolução de desigualdades trigonométricas, o que é muito mais difícil do que resolver equações trigonométricas. Check-in equações trigonométricas mesmo condições g(x)≥ 0 nem sempre é fácil de fazer.

Considere o segundo tipo de equações irracionais.

. Deixe a equação . Sua ODZ:

Na ODZ, ambos os lados são não negativos, e o quadrado dá a equação equivalente f(x) =g(x). Portanto, na ODZ ou

Com este método de solução, basta verificar a não negatividade de uma das funções - você pode escolher uma mais simples.

Seção 1. Métodos para resolver equações irracionais

1 método. Libertação dos radicais elevando sucessivamente ambos os lados da equação à potência natural correspondente

O método mais comumente usado para resolver equações irracionais é o método de liberação de radicais elevando sucessivamente ambas as partes da equação à potência natural correspondente. Neste caso, deve-se ter em mente que quando ambas as partes da equação são elevadas a uma potência ímpar, a equação resultante é equivalente à original, e quando ambas as partes da equação são elevadas a uma potência par, a equação resultante equação será, em geral, não equivalente à equação original. Isso pode ser facilmente verificado elevando ambos os lados da equação a qualquer potência par. Esta operação resulta na equação , cujo conjunto de soluções é a união de conjuntos de soluções: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. No entanto, apesar essa desvantagem, é o procedimento para elevar ambas as partes da equação a alguma potência (muitas vezes igual) que é o procedimento mais comum para reduzir uma equação irracional a uma equação racional.

Resolva a equação:

Onde são alguns polinômios. Em virtude da definição da operação de extração da raiz no conjunto de números reais, os valores admissíveis do desconhecido https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 altura=21" altura="21">..gif " largura="243" altura="28 src=">.

Como ambas as partes da 1ª equação foram elevadas ao quadrado, pode acontecer que nem todas as raízes da 2ª equação sejam soluções da equação original, é necessário verificar as raízes.

Resolva a equação:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" largura="137" altura="25">

Elevando ambos os lados da equação em um cubo, obtemos

Dado que https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(A última equação pode ter raízes que, em geral, não são raízes do equação ).

Elevamos ambos os lados desta equação a um cubo: . Reescrevemos a equação na forma x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Verificando, estabelecemos que x1 = 0 é uma raiz estranha da equação (-2 ≠ 1), e x2 = 1 satisfaz a equação original.

Responda: x = 1.

2 método. Substituindo um sistema adjacente de condições

Ao resolver equações irracionais contendo radicais de ordem par, raízes estranhas podem aparecer nas respostas, que nem sempre são fáceis de identificar. Para tornar mais fácil identificar e descartar raízes estranhas, no curso da resolução de equações irracionais, ele é imediatamente substituído por um sistema de condições adjacente. Desigualdades adicionais no sistema realmente levam em conta a ODZ da equação que está sendo resolvida. Você pode encontrar o ODZ separadamente e levá-lo em consideração mais tarde, mas é preferível usar sistemas mistos de condições: há menos perigo de esquecer algo, não levá-lo em consideração no processo de resolver a equação. Portanto, em alguns casos é mais racional usar o método de transição para sistemas mistos.

Resolva a equação:

Responda: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" largura="109 altura=27" altura="27">

Esta equação equivale a um sistema

Responda: a equação não tem soluções.

3 método. Usando as propriedades da raiz n

Ao resolver equações irracionais, as propriedades da raiz do enésimo grau são usadas. raiz aritmética n-º graus entre uma ligue para um número não negativo, n- i cujo grau é igual a uma. Se um n- até( 2n), então a ≥ 0, caso contrário a raiz não existe. Se um n-ímpar( 2 n+1), então a é qualquer e = - ..gif" width="45" height="19"> Então:

2.

3.

4.

5.

Aplicando qualquer uma dessas fórmulas, formalmente (sem levar em conta as restrições indicadas), deve-se ter em mente que a ODZ das partes esquerda e direita de cada uma delas pode ser diferente. Por exemplo, a expressão é definida com f ≥ 0 e g ≥ 0, e a expressão é como em f ≥ 0 e g ≥ 0, assim como f ≤ 0 e g ≤ 0.

Para cada uma das fórmulas 1-5 (sem levar em conta as restrições indicadas), a ODZ da sua parte direita pode ser maior que a ODZ da esquerda. Segue-se disso que as transformações da equação com o uso formal das fórmulas 1-5 "da esquerda para a direita" (como estão escritas) levam a uma equação que é uma consequência da original. Neste caso, raízes estranhas da equação original podem aparecer, portanto passo obrigatório na resolução da equação original é uma verificação.

Transformações de equações com o uso formal das fórmulas 1-5 "da direita para a esquerda" são inaceitáveis, pois é possível julgar a ODZ da equação original e, portanto, a perda de raízes.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

que é uma consequência do original. A solução desta equação é reduzida para resolver o conjunto de equações .

Da primeira equação deste conjunto encontramos https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> de onde encontramos . Assim, as raízes de esta equação só pode ser números (-1) e (-2) A verificação mostra que ambas as raízes encontradas satisfazem esta equação.

Responda: -1,-2.

Resolva a equação: .

Solução: com base nas identidades, substitua o primeiro termo por . Observe que como a soma de dois números não negativos no lado esquerdo. “Remova” o módulo e, após trazer os termos semelhantes, resolva a equação. Como , obtemos a equação . Desde e , então https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src=" >.gif" largura="145" altura="21 src=">

Responda: x = 4,25.

4 método. Introdução de novas variáveis

Outro exemplo de solução de equações irracionais é a maneira pela qual novas variáveis ​​são introduzidas, em relação às quais se obtém uma equação irracional mais simples ou uma equação racional.

A solução de equações irracionais substituindo a equação por sua consequência (com posterior verificação das raízes) pode ser realizada da seguinte forma:

1. Encontre a ODZ da equação original.

2. Vá da equação ao seu corolário.

3. Encontre as raízes da equação resultante.

4. Verifique se as raízes encontradas são as raízes da equação original.

A verificação é a seguinte:

A) verifica-se o pertencimento de cada raiz encontrada da ODZ à equação original. Aquelas raízes que não pertencem à ODZ são estranhas à equação original.

B) para cada raiz incluída na ODZ da equação original, verifica-se se as partes esquerda e direita de cada uma das equações que surgem no processo de resolução da equação original e elevadas a uma potência par têm os mesmos sinais. Aquelas raízes para as quais as partes de qualquer equação elevada a uma potência par têm sinais diferentes, são estranhos para a equação original.

C) apenas as raízes que pertencem à ODZ da equação original e para as quais ambas as partes de cada uma das equações que surgem no processo de resolução da equação original e elevadas a uma potência par têm os mesmos sinais são verificadas por substituição direta em a equação original.

Tal método de solução com o método de verificação indicado permite evitar cálculos complicados no caso de substituição direta de cada uma das raízes encontradas da última equação pela original.

Resolva a equação irracional:

.

O conjunto de valores admissíveis desta equação:

Colocando , após a substituição obtemos a equação

ou sua equação equivalente

que pode ser visto como uma equação quadrática para . Resolvendo esta equação, obtemos

.

Portanto, o conjunto solução da equação irracional original é a união dos conjuntos solução das duas equações a seguir:

, .

Cubra ambos os lados de cada uma dessas equações e obtemos duas equações algébricas racionais:

, .

Resolvendo essas equações, descobrimos que essa equação irracional tem uma única raiz x = 2 (não é necessária nenhuma verificação, pois todas as transformações são equivalentes).

Responda: x = 2.

Resolva a equação irracional:

Denote 2x2 + 5x - 2 = t. Então a equação original terá a forma . Ao elevar ao quadrado ambas as partes da equação resultante e trazer termos semelhantes, obtemos a equação , que é consequência da anterior. A partir dele encontramos t=16.

Voltando à incógnita x, obtemos a equação 2x2 + 5x - 2 = 16, que é consequência da original. Ao verificar, garantimos que suas raízes x1 \u003d 2 e x2 \u003d - 9/2 sejam as raízes da equação original.

Responda: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 método. Transformação de Equação de Identidade

Ao resolver equações irracionais, não se deve começar a resolver uma equação elevando ambas as partes das equações a uma potência natural, tentando reduzir a solução de uma equação irracional à solução de uma equação algébrica racional. Primeiro, é necessário ver se é possível fazer alguma transformação idêntica da equação, o que pode simplificar significativamente sua solução.

Resolva a equação:

O conjunto de valores válidos para esta equação: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Divida esta equação por .

.

Nós temos:

Para a = 0, a equação não terá soluções; para , a equação pode ser escrita como

para esta equação não tem soluções, pois para qualquer X, pertencente ao conjunto de valores admissíveis da equação, a expressão do lado esquerdo da equação é positiva;

quando a equação tem solução

Levando em conta que o conjunto de soluções admissíveis da equação é determinado pela condição , obtemos finalmente:

Ao resolver esta equação irracional, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> a solução para a equação será . Para todos os outros valores X a equação não tem soluções.

EXEMPLO 10:

Resolva a equação irracional: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

A solução da equação quadrática do sistema fornece duas raízes: x1 \u003d 1 e x2 \u003d 4. A primeira das raízes obtidas não satisfaz a desigualdade do sistema, portanto x \u003d 4.

Notas.

1) Realizar transformações idênticas nos permite fazer sem verificação.

2) A desigualdade x - 3 ≥0 refere-se a transformações idênticas, e não ao domínio da equação.

3) Existe uma função decrescente no lado esquerdo da equação e uma função crescente no lado direito desta equação. Gráficos de funções crescentes e decrescentes na interseção de seus domínios de definição não podem ter mais do que um ponto comum. Obviamente, no nosso caso, x = 4 é a abcissa do ponto de intersecção dos gráficos.

Responda: x = 4.

6 método. Usando o domínio de definição de funções ao resolver equações

Este método é mais eficaz ao resolver equações que incluem funções https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> e encontrar suas definições de área (f)..gif" largura="53" altura="21"> .gif" largura="88" altura="21 src=">, então você precisa verificar se a equação é verdadeira nas extremidades do intervalo, além disso, se um< 0, а b >0, então é necessário verificar os intervalos (a;0) e . O menor inteiro em E(y) é 3.