Escreva uma equação para um plano de passagem. Equação de um plano que passa por um ponto dado perpendicular a uma linha dada

Dentro da estrutura deste material, analisaremos como encontrar a equação de um plano se conhecemos as coordenadas de três pontos diferentes que não estão em uma linha reta. Para fazer isso, precisamos lembrar o que é um sistema de coordenadas retangulares no espaço tridimensional. Primeiro, apresentamos o princípio básico dada equação e mostrar como usá-lo na resolução de problemas específicos.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Para começar, precisamos lembrar de um axioma, que soa assim:

Definição 1

Se três pontos não coincidem entre si e não estão em uma linha reta, então no espaço tridimensional apenas um plano passa por eles.

Em outras palavras, se temos três pontos diferentes cujas coordenadas não coincidem e que não podem ser conectadas por uma linha reta, então podemos determinar o plano que passa por ele.

Digamos que temos um sistema de coordenadas retangulares. Vamos denotar O x y z . Ele contém três pontos M com coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) que não podem ser conectados diretamente linha. Com base nessas condições, podemos escrever a equação do plano que precisamos. Existem duas abordagens para resolver este problema.

1. A primeira abordagem usa a equação geral do plano. Na forma literal, é escrito como A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Com ele, você pode definir em um sistema de coordenadas retangulares um determinado plano alfa, que passa pelo primeiro dado ponto M1 (x1, y1, z1). Acontece que o vetor plano normal α terá as coordenadas A , B , C .

Definição de N

Conhecendo as coordenadas do vetor normal e as coordenadas do ponto pelo qual o plano passa, podemos escrever a equação geral desse plano.

A partir disso seguiremos adiante.

Assim, de acordo com as condições do problema, temos as coordenadas do ponto desejado (até três), por onde passa o avião. Para encontrar a equação, você precisa calcular as coordenadas de seu vetor normal. Denote-o n → .

Lembre-se da regra: qualquer vetor diferente de zero de um determinado plano é perpendicular ao vetor normal do mesmo plano. Então temos que n → será perpendicular aos vetores compostos pelos pontos iniciais M 1 M 2 → e M 1 M 3 → . Então podemos denotar n → como um produto vetorial da forma M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Como M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) e M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (as provas dessas igualdades são dadas no artigo dedicado ao cálculo das coordenadas de um vetor a partir das coordenadas dos pontos), então verifica-se que:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Se calcularmos o determinante, obteremos as coordenadas do vetor normal n → que precisamos. Agora podemos escrever a equação que precisamos para um plano que passa por três pontos dados.

2. A segunda abordagem para encontrar uma equação que passa por M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) é baseado em um conceito como a complanaridade de vetores.

Se tivermos um conjunto de pontos M (x, y, z), então em um sistema de coordenadas retangulares eles definem um plano para os pontos dados M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) somente se os vetores M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1), M 1 M 2   → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) e M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) serão coplanares.

No diagrama ficará assim:

Isso significará que produto misto os vetores M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → serão iguais a zero: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , pois esta é a principal condição de complanaridade : M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1), M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) e M 1 M 3   → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) .

Escrevemos a equação resultante na forma de coordenadas:

Depois de calcularmos o determinante, podemos obter a equação do plano que precisamos para três pontos que não estão em uma linha reta M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M3 (x3, y3, z3).

A partir da equação resultante, você pode ir para a equação do plano em segmentos ou para a equação normal do plano, se exigido pelas condições do problema.

No próximo parágrafo, daremos exemplos de como as abordagens que indicamos são implementadas na prática.

Exemplos de tarefas para compilar uma equação de um plano que passa por 3 pontos

Anteriormente, identificamos duas abordagens que podem ser usadas para encontrar a equação desejada. Vamos ver como eles são usados ​​na resolução de problemas e quando escolher cada um.

Exemplo 1

Existem três pontos que não estão em uma linha reta, com coordenadas M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Escreva uma equação para um plano que passa por eles.

Decisão

Usamos os dois métodos por sua vez.

1. Encontre as coordenadas dos dois vetores que precisamos M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Agora calculamos seu produto vetorial. Nesse caso, não descreveremos os cálculos do determinante:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Temos um vetor normal do plano que passa pelos três pontos requeridos: n → = (- 5 , 30 , 2) . Em seguida, precisamos pegar um dos pontos, por exemplo, M 1 (- 3 , 2 , - 1) , e escrever a equação para o plano com o vetor n → = (- 5 , 30 , 2) . Obtemos que: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Esta é a equação do plano que precisamos, que passa por três pontos.

2. Usamos uma abordagem diferente. Escrevemos a equação para um plano com três pontos M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) na seguinte formulário:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Aqui você pode substituir os dados da condição do problema. Como x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, como resultado teremos:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Temos a equação que precisamos.

Responda:- 5x + 30y + 2z - 73 .

Mas e se os pontos dados ainda estiverem na mesma linha reta e precisarmos compor uma equação plana para eles? Aqui deve ser dito imediatamente que esta condição não será inteiramente correta. Infinitamente muitos planos podem passar por tais pontos, então é impossível calcular uma única resposta. Consideremos tal problema para provar a incorreção de tal formulação da questão.

Exemplo 2

Temos um sistema de coordenadas retangulares no espaço 3D contendo três pontos com coordenadas M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) . É necessário escrever uma equação para um plano que passa por ele.

Decisão

Usamos o primeiro método e começamos calculando as coordenadas de dois vetores M 1 M 2 → e M 1 M 3 → . Vamos calcular suas coordenadas: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

O produto vetorial será igual a:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Como M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , nossos vetores serão colineares (leia novamente o artigo sobre eles se você esqueceu a definição desse conceito). Assim, os pontos iniciais M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) estão na mesma reta, e nosso problema tem infinitamente muitas opções de resposta.

Se usarmos o segundo método, teremos:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Da igualdade resultante segue também que os pontos dados M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) estão na mesma linha.

Se você quiser encontrar pelo menos uma resposta para este problema de um número infinito opções, você precisa seguir estas etapas:

1. Escreva a equação da reta M 1 M 2, M 1 M 3 ou M 2 M 3 (se necessário, veja o material sobre esta ação).

2. Pegue um ponto M 4 (x 4 , y 4 , z 4) que não está na linha M 1 M 2 .

3. Escreva a equação de um plano que passa por três pontos diferentes M 1 , M 2 e M 4 que não estão em uma linha reta.

Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter

Este artigo dá uma ideia de como escrever uma equação para um plano que passa por um determinado ponto no espaço tridimensional perpendicular a uma determinada linha. Vamos analisar o algoritmo acima usando o exemplo de resolução de problemas típicos.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Encontrar a equação de um plano que passa por um determinado ponto no espaço perpendicular a uma determinada linha

Seja um espaço tridimensional e um sistema de coordenadas retangular O x y z nele dado. O ponto M 1 (x 1, y 1, z 1), a reta a e o plano α que passa pelo ponto M 1 perpendicular à reta a também são dados. É necessário escrever a equação do plano α.

Antes de prosseguir para resolver este problema, vamos relembrar o teorema da geometria do programa para as séries 10-11, que diz:

Definição 1

Um único plano passa por um determinado ponto no espaço tridimensional e é perpendicular a uma determinada linha.

Agora considere como encontrar a equação deste plano único passando pelo ponto inicial e perpendicular à linha dada.

É possível escrever a equação geral de um plano se forem conhecidas as coordenadas de um ponto pertencente a este plano, bem como as coordenadas do vetor normal do plano.

Pela condição do problema, são dadas as coordenadas x 1, y 1, z 1 do ponto M 1 pelo qual passa o plano α. Se determinarmos as coordenadas do vetor normal do plano α, poderemos escrever a equação desejada.

O vetor normal do plano α, por ser diferente de zero e estar na reta a, perpendicular ao plano α, será qualquer vetor diretor da reta a. Assim, o problema de encontrar as coordenadas do vetor normal do plano α é transformado no problema de determinar as coordenadas do vetor diretor da reta a .

A determinação das coordenadas do vetor diretor da reta a pode ser realizada métodos diferentes: depende da opção de especificar a reta a nas condições iniciais. Por exemplo, se a linha a na condição do problema é dada por equações canônicas da forma

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

ou equações paramétricas da forma:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

então o vetor diretor da linha reta terá as coordenadas a x, a y e a z. No caso em que a reta a é representada por dois pontos M 2 (x 2, y 2, z 2) e M 3 (x 3, y 3, z 3), então as coordenadas do vetor de direção serão determinadas como (x3 - x2, y3 - y2, z3 – z2).

Definição 2

Algoritmo para encontrar a equação de um plano que passa por um determinado ponto perpendicular a uma determinada linha:

Determine as coordenadas do vetor diretor da reta a: a → = (a x, a y, a z) ;

Definimos as coordenadas do vetor normal do plano α como as coordenadas do vetor diretor da reta a:

n → = (A , B , C) , onde A = a x , B = a y , C = a z;

Escrevemos a equação do plano que passa pelo ponto M 1 (x 1, y 1, z 1) e tem um vetor normal n→=(A, B, C) na forma A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Esta será a equação necessária de um plano que passa por um determinado ponto no espaço e é perpendicular a uma determinada linha.

A equação geral resultante do plano: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 permite obter a equação do plano em segmentos ou a equação normal do plano.

Vamos resolver alguns exemplos usando o algoritmo obtido acima.

Exemplo 1

Um ponto M 1 (3, - 4, 5) é dado, através do qual o plano passa, e este plano é perpendicular à linha de coordenadas O z.

Decisão

o vetor de direção da linha de coordenadas O z será o vetor de coordenadas k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Portanto, o vetor normal do plano tem coordenadas (0 , 0 , 1) . Vamos escrever a equação de um plano que passa por um dado ponto M 1 (3, - 4, 5) cujo vetor normal tem coordenadas (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Responda: z - 5 = 0 .

Considere outra maneira de resolver este problema:

Exemplo 2

Um plano perpendicular à linha O z será dado por uma equação geral incompleta do plano da forma С z + D = 0 , C ≠ 0 . Vamos definir os valores de C e D: aqueles para os quais o plano passa por um determinado ponto. Substituindo as coordenadas deste ponto na equação C z + D = 0 , obtemos: C · 5 + D = 0 . Aqueles. números, C e D estão relacionados por - D C = 5 . Tomando C \u003d 1, obtemos D \u003d - 5.

Substitua esses valores na equação C z + D = 0 e obtenha a equação necessária para um plano perpendicular à reta O z passando pelo ponto M 1 (3, - 4, 5).

Ficará assim: z - 5 = 0.

Responda: z - 5 = 0 .

Exemplo 3

Escreva uma equação para um plano que passa pela origem e perpendicular à reta x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Decisão

Com base nas condições do problema, pode-se argumentar que o vetor guia de uma dada reta pode ser tomado como um vetor normal n → de um dado plano. Assim: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Vamos escrever a equação de um plano que passa pelo ponto O (0, 0, 0) e tem um vetor normal n → \u003d (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Obtivemos a equação necessária para o plano que passa pela origem perpendicular à reta dada.

Responda:- 3x - 7y + 2z = 0

Exemplo 4

Dado um sistema de coordenadas retangulares O x y z no espaço tridimensional, ele contém dois pontos A (2 , - 1 , - 2) e B (3 , - 2 , 4) . O plano α passa pelo ponto A perpendicular à reta AB. É necessário compor a equação do plano α em segmentos.

Decisão

O plano α é perpendicular à reta A B, então o vetor A B → será o vetor normal do plano α. As coordenadas deste vetor são determinadas como a diferença entre as coordenadas correspondentes dos pontos B (3, - 2, 4) e A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

A equação geral do plano será escrita da seguinte forma:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Agora compomos a equação desejada do plano nos segmentos:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Responda:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Deve-se notar também que existem problemas cujo requisito é escrever uma equação para um plano que passa por um ponto dado e perpendicular a dois planos dados. Em geral, a solução para este problema é escrever uma equação para um plano que passa por um dado ponto perpendicular a uma dada reta, uma vez que dois planos que se cruzam definem uma linha reta.

Exemplo 5

Um sistema de coordenadas retangular O x y z é dado, nele é um ponto M 1 (2, 0, - 5) . As equações de dois planos 3 x + 2 y + 1 = 0 e x + 2 z - 1 = 0 também são dadas, que se interceptam ao longo da reta a . É necessário compor uma equação para um plano que passa pelo ponto M 1 perpendicular à reta a.

Decisão

Vamos determinar as coordenadas do vetor diretor da reta a . É perpendicular ao vetor normal n 1 → (3 , 2 , 0) do plano n → (1 , 0 , 2) e ao vetor normal 3 x + 2 y + 1 = 0 do plano x + 2 z - 1 = 0 .

Então o vetor diretor α → direto a tomamos o produto vetorial dos vetores n 1 → e n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Assim, o vetor n → = (4, - 6, - 2) será o vetor normal do plano perpendicular à reta a. Escrevemos a equação desejada do plano:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Responda: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter

Para que um único plano seja traçado através de quaisquer três pontos no espaço, é necessário que esses pontos não estejam em uma linha reta.

Considere os pontos M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) em um sistema de coordenadas cartesiano comum.

Para que um ponto arbitrário M(x, y, z) esteja no mesmo plano que os pontos M 1 , M 2 , M 3 , os vetores devem ser coplanares.

(
) = 0

Por isso,

Equação de um plano que passa por três pontos:

Equação de um plano em relação a dois pontos e um vetor colinear ao plano.

Sejam os pontos M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) e o vetor
.

Vamos compor a equação do plano que passa pelos pontos dados M 1 e M 2 e um ponto arbitrário M (x, y, z) paralelo ao vetor .

Vetores
e vetor
deve ser coplanar, ou seja,

(
) = 0

Equação do plano:

Equação de um plano em relação a um ponto e dois vetores,

plano colinear.

Sejam dois vetores dados
e
, planos colineares. Então, para um ponto arbitrário M(x, y, z) pertencente ao plano, os vetores
deve ser coplanar.

Equação do plano:

Equação do plano por ponto e vetor normal .

Teorema. Se um ponto M é dado no espaço 0 (X 0 , e 0 , z 0 ), então a equação do plano que passa pelo ponto M 0 perpendicular ao vetor normal (UMA, B, C) parece:

UMA(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Prova. Para um ponto arbitrário M(x, y, z) pertencente ao plano, compomos um vetor . Porque vetor - o vetor normal, então é perpendicular ao plano e, portanto, perpendicular ao vetor
. Então o produto escalar

= 0

Assim, obtemos a equação do plano

O teorema foi provado.

Equação de um plano em segmentos.

Se na equação geral Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, divida ambas as partes por (-D)

,

substituindo
, obtemos a equação do plano em segmentos:

Os números a, b, c são os pontos de interseção do plano, respectivamente, com os eixos x, y, z.

Equação plana em forma vetorial.

Onde

- raio-vetor do ponto atual M(x, y, z),

Um vetor unitário que tem a direção da perpendicular baixada ao plano a partir da origem.

,  e  são os ângulos formados por este vetor com os eixos x, y, z.

p é o comprimento desta perpendicular.

Em coordenadas, esta equação tem a forma:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

A distância de um ponto a um plano.

A distância de um ponto arbitrário M 0 (x 0, y 0, z 0) ao plano Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 é:

Exemplo. Encontre a equação do plano, sabendo que o ponto P (4; -3; 12) é a base da perpendicular baixada da origem até este plano.

Então A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, use a fórmula:

A(x-x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Exemplo. Encontre a equação de um plano que passa por dois pontos P(2; 0; -1) e

Q(1; -1; 3) é perpendicular ao plano 3x + 2y - z + 5 = 0.

Vetor normal ao plano 3x + 2y - z + 5 = 0
paralelo ao plano desejado.

Nós temos:

Exemplo. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos A(2, -1, 4) e

В(3, 2, -1) perpendicular ao plano X + no + 2z – 3 = 0.

A equação do plano desejada tem a forma: A x+ B y+C z+ D = 0, o vetor normal a este plano (A,B,C). Vetor
(1, 3, -5) pertence ao plano. O plano que nos é dado, perpendicular ao desejado, tem um vetor normal (1, 1, 2). Porque os pontos A e B pertencem a ambos os planos, e os planos são mutuamente perpendiculares, então

Então o vetor normal (11, -7, -2). Porque ponto A pertence ao plano desejado, então suas coordenadas devem satisfazer a equação deste plano, ou seja, 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

No total, obtemos a equação do plano: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Exemplo. Encontre a equação do plano, sabendo que o ponto P(4, -3, 12) é a base da perpendicular baixada da origem a este plano.

Encontrando as coordenadas do vetor normal
= (4, -3, 12). A equação desejada do plano tem a forma: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Para encontrar o coeficiente D, substituímos as coordenadas do ponto Р na equação:

16 + 9 + 144 + D = 0

No total, obtemos a equação desejada: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Exemplo. Dadas as coordenadas dos vértices da pirâmide A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Encontre o comprimento da aresta A 1 A 2 .

Encontre o ângulo entre as arestas A 1 A 2 e A 1 A 4.

Encontre o ângulo entre a aresta A 1 A 4 e a face A 1 A 2 A 3 .

Primeiro, encontre o vetor normal à face A 1 A 2 A 3 como um produto vetorial de vetores
e
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Encontre o ângulo entre o vetor normal e o vetor
.

-4 – 4 = -8.

O ângulo desejado  entre o vetor e o plano será igual a  = 90 0 - .

Encontre a área da face A 1 A 2 A 3 .

Encontre o volume da pirâmide.

Encontre a equação do plano À 1 À 2 À 3 .

Usamos a fórmula para a equação de um plano que passa por três pontos.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Ao usar a versão para PC de “ Curso de matemática superior” você pode executar um programa que resolverá o exemplo acima para quaisquer coordenadas dos vértices da pirâmide.

Clique duas vezes no ícone para iniciar o programa:

Na janela do programa que se abre, insira as coordenadas dos vértices da pirâmide e pressione Enter. Assim, todos os pontos de decisão podem ser obtidos um a um.

Nota: Para executar o programa, você deve ter o Maple ( Waterloo Maple Inc.) instalado em seu computador, qualquer versão a partir do MapleV Release 4.

13. Ângulo entre planos, distância de um ponto a um plano.

Deixe os planos α e β se cruzarem ao longo da linha c.
O ângulo entre os planos é o ângulo entre as perpendiculares à linha de sua interseção, desenhada nesses planos.

Em outras palavras, no plano α traçamos uma linha a perpendicular a c. No plano β - linha b, também perpendicular a c. Ângulo entre os planos α e β igual ao ângulo entre as linhas a e b.

Observe que quando dois planos se cruzam, quatro cantos são realmente formados. Vê-los na imagem? Como o ângulo entre os planos que tomamos apimentado injeção.

Se o ângulo entre os planos é de 90 graus, então os planos perpendicular,

Esta é a definição de perpendicularidade dos planos. Ao resolver problemas em estereometria, também usamos sinal de perpendicularidade dos planos:

Se o plano α passa pela perpendicular ao plano β, então os planos α e β são perpendiculares.

distância ponto a plano

Considere um ponto T dado por suas coordenadas:

T \u003d (x 0, y 0, z 0)

Considere também o plano α dado pela equação:

Ax + Por + Cz + D = 0

Então a distância L do ponto T ao plano α pode ser calculada pela fórmula:

Em outras palavras, substituímos as coordenadas do ponto na equação do plano e depois dividimos essa equação pelo comprimento do vetor normal n ao plano:

O número resultante é a distância. Vamos ver como esse teorema funciona na prática.

Já derivamos as equações paramétricas de uma linha reta em um plano, vamos obter as equações paramétricas de uma linha reta, que é dada em um sistema de coordenadas retangulares no espaço tridimensional.

Seja um sistema de coordenadas retangulares fixo no espaço tridimensional Oxyz. Vamos definir uma linha reta uma(veja a seção sobre como definir uma linha reta no espaço) especificando o vetor de direção de uma linha reta e as coordenadas de algum ponto na linha . Começaremos a partir desses dados ao compilar equações paramétricas de uma linha reta no espaço.

Let Ser um ponto arbitrário no espaço tridimensional. Se subtrairmos das coordenadas do ponto M coordenadas do ponto correspondente M 1, então obteremos as coordenadas do vetor (veja o artigo encontrando as coordenadas do vetor pelas coordenadas dos pontos de seu fim e início), ou seja, .

Obviamente, o conjunto de pontos define uma linha uma se e somente se os vetores e são colineares.

Vamos escrever a condição necessária e suficiente para que os vetores sejam colineares e : , onde é algum número real. A equação resultante é chamada equação vetorial-paramétrica de uma linha reta no sistema de coordenadas retangulares Oxyz no espaço tridimensional. A equação vetorial-paramétrica de uma linha reta na forma de coordenadas tem a forma e representa equações paramétricas da reta uma. O nome "paramétrico" não é acidental, pois as coordenadas de todos os pontos da linha são especificadas usando o parâmetro .

Vamos dar um exemplo de equações paramétricas de uma linha reta em um sistema de coordenadas retangulares Oxyz no espaço: . Aqui

15. Ângulo entre uma linha reta e um plano. Ponto de interseção de uma reta com um plano.

Qualquer equação do primeiro grau em relação às coordenadas x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3,1)

define um plano, e vice-versa: qualquer plano pode ser representado pela equação (3.1), que é chamada equação do plano.

Vetor n(A, B, C) ortogonal ao plano é chamado vetor normal aviões. Na equação (3.1), os coeficientes A, B, C não são iguais a 0 ao mesmo tempo.

Casos especiais da equação (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - o plano passa pela origem.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - o plano é paralelo ao eixo Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - o plano passa pelo eixo Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - o plano é paralelo ao plano de Oyz.

Equações do plano coordenado: x = 0, y = 0, z = 0.

Uma linha reta no espaço pode ser dada:

1) como uma linha de interseção de dois planos, ou seja, sistema de equações:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) seus dois pontos M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), então a reta que passa por eles é dada pelas equações:

3) o ponto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) que lhe pertence, e o vetor uma(m, n, p), s colinear. Então a linha reta é determinada pelas equações:

. (3.4)

As equações (3.4) são chamadas equações canônicas da reta.

Vetor uma chamado guia vetor em linha reta.

Obtemos as equações paramétricas da reta igualando cada uma das relações (3.4) com o parâmetro t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pt. (3.5)

Resolvendo o sistema (3.2) como um sistema equações lineares relativamente desconhecido x e y, chegamos às equações da reta em projeções ou para equações de linha reta reduzidas:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Das equações (3.6) pode-se passar para as equações canônicas, encontrando z de cada equação e igualando os valores resultantes:

.

Pode-se passar das equações gerais (3.2) para as equações canônicas de outra maneira, se encontrar algum ponto desta reta e seu vetor de direção n= [n 1 , n 2], onde n 1 (A 1 , B 1 , C 1 ) e n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - vetores normais dos planos dados. Se um dos denominadores m,n ou R nas equações (3.4) for igual a zero, então o numerador da fração correspondente deve ser igual a zero, ou seja sistema

equivale a um sistema ; tal linha é perpendicular ao eixo x.

Sistema é equivalente ao sistema x = x 1 , y = y 1 ; a linha reta é paralela ao eixo Oz.

Exemplo 1.15. Escreva a equação do plano, sabendo que o ponto A (1, -1,3) serve como base da perpendicular traçada da origem a este plano.

Decisão. Pela condição do problema, o vetor OA(1,-1,3) é um vetor normal do plano, então sua equação pode ser escrita como
x-y+3z+D=0. Substituindo as coordenadas do ponto A(1,-1,3) pertencente ao plano, encontramos D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Então x-y+3z-11=0.

Exemplo 1.16. Escreva uma equação para um plano passando pelo eixo Oz e formando um ângulo de 60 graus com o plano 2x+y-z-7=0.

Decisão. O plano que passa pelo eixo Oz é dado pela equação Ax+By=0, onde A e B não desaparecem ao mesmo tempo. Não deixe B
é 0, A/Bx+y=0. Pela fórmula do cosseno do ângulo entre dois planos

.

Decidindo Equação quadrática 3m 2 + 8m - 3 = 0, encontre suas raízes
m 1 = 1/3, m 2 = -3, dos quais obtemos dois planos 1/3x+y = 0 e -3x+y = 0.

Exemplo 1.17. Escreva as equações canônicas da reta:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Decisão. As equações canônicas de uma linha reta têm a forma:

Onde m, n, p- coordenadas do vetor diretor da linha reta, x1, y1, z1- coordenadas de qualquer ponto pertencente à linha. A linha reta é definida como a linha de intersecção de dois planos. Para encontrar um ponto pertencente a uma linha reta, uma das coordenadas é fixa (a maneira mais fácil é colocar, por exemplo, x=0) e o sistema resultante é resolvido como um sistema de equações lineares com duas incógnitas. Então, seja x=0, então y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, de onde y=-1, z=1. Encontramos as coordenadas do ponto M (x 1, y 1, z 1) pertencente a esta reta: M (0,-1,1). O vetor diretor de uma linha reta é fácil de encontrar, conhecendo os vetores normais dos planos originais n 1 (5,1,1) e n 2(2,3,-2). Então

As equações canônicas da linha são: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Exemplo 1.18. Na viga definida pelos planos 2x-y+5z-3=0 e x+y+2z+1=0, encontre dois planos perpendiculares, um dos quais passa pelo ponto M(1,0,1).

Decisão. A equação da viga definida por esses planos é u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, onde uev não desaparecem simultaneamente. Reescrevemos a equação da viga da seguinte forma:

(2u + v)x + (- u + v)y + (5u + 2v)z - 3u + v = 0.

Para selecionar um plano passando pelo ponto M da viga, substituímos as coordenadas do ponto M na equação da viga. Nós temos:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, ou v = -u.

Então encontramos a equação do plano contendo M substituindo v = - u na equação da viga:

u(2x-y +5z - 3) - u(x + y +2z +1) = 0.

Porque u¹0 (caso contrário v=0, e isso contradiz a definição de viga), então temos a equação do plano x-2y+3z-4=0. O segundo plano pertencente à viga deve ser perpendicular a ela. Escrevemos a condição para a ortogonalidade dos planos:

(2u + v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u + 2v)×3 = 0, ou v = - 19/5u.

Assim, a equação do segundo plano tem a forma:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 ou 9x +24y + 13z + 34 = 0

Seja necessário encontrar a equação de um plano que passa por três pontos dados que não estão em uma linha reta. Denotando seus vetores de raio por e o vetor de raio atual por , podemos obter facilmente a equação desejada na forma vetorial. De fato, os vetores , devem ser coplanares (todos estão no plano desejado). Portanto, o produto escalar vetorial desses vetores deve ser igual a zero:

Esta é a equação de um plano que passa por três pontos dados, na forma vetorial.

Voltando às coordenadas, obtemos a equação em coordenadas:

Se os três pontos dados estiverem na mesma linha reta, então os vetores seriam colineares. Portanto, os elementos correspondentes das duas últimas linhas do determinante na equação (18) seriam proporcionais e o determinante seria identicamente igual a zero. Portanto, a equação (18) se tornaria uma identidade para quaisquer valores de x, y e z. Geometricamente, isso significa que um plano passa por cada ponto do espaço, no qual também se encontram três pontos dados.

Observação 1. O mesmo problema pode ser resolvido sem o uso de vetores.

Denotando as coordenadas dos três pontos dados, respectivamente, escrevemos a equação de qualquer plano que passa pelo primeiro ponto:

Para obter a equação do plano desejado, deve-se exigir que a equação (17) seja satisfeita pelas coordenadas dos outros dois pontos:

A partir das equações (19), é necessário determinar as razões de dois coeficientes para o terceiro e inserir os valores encontrados na equação (17).

Exemplo 1. Escreva uma equação para um plano que passa por pontos.

A equação para um plano que passa pelo primeiro desses pontos será:

As condições para que o avião (17) passe por outros dois pontos e o primeiro ponto são:

Somando a segunda equação à primeira, temos:

Substituindo na segunda equação, temos:

Substituindo na equação (17) em vez de A, B, C, respectivamente, 1, 5, -4 (números proporcionais a eles), obtemos:

Exemplo 2. Escreva uma equação para um plano que passa pelos pontos (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

A equação de qualquer plano que passa pelo ponto (0, 0, 0) será]

As condições para passar este plano pelos pontos (1, 1, 1) e (2, 2, 2) são:

Reduzindo a segunda equação por 2, vemos que para determinar as duas incógnitas, a relação tem uma equação com

Daqui obtemos. Substituindo agora na equação do plano em vez de seu valor, encontramos:

Esta é a equação do plano requerido; depende do arbitrário

quantidades B, C (ou seja, da razão, ou seja, há um número infinito de planos que passam por três pontos dados (três pontos dados estão em uma linha reta).

Observação 2. O problema de traçar um plano através de três pontos dados que não estão em uma linha reta é facilmente resolvido em visão geral se você usar determinantes. De fato, como nas equações (17) e (19) os coeficientes A, B, C não podem ser simultaneamente iguais a zero, então, considerando essas equações como um sistema homogêneo com três incógnitas A, B, C, escrevemos um valor necessário e suficiente condição para a existência de uma solução deste sistema, diferente de zero (parte 1, cap. VI, § 6):

Expandindo este determinante pelos elementos da primeira linha, obtemos uma equação de primeiro grau em relação às coordenadas atuais, que será satisfeita, em particular, pelas coordenadas dos três pontos dados.

Este último também pode ser verificado diretamente se substituirmos as coordenadas de qualquer um desses pontos em vez de na equação escrita usando o determinante. No lado esquerdo, é obtido um determinante, no qual os elementos da primeira linha são zero ou existem duas linhas idênticas. Assim, a equação formulada representa um plano que passa por três pontos dados.