Produto vetorial de vetores. Produto misto de vetores

27.09.2019

Definição de produto cruzado

Primeiro haverá uma definição com uma imagem, depois comentários.

Definição: produto cruzado não colinear vetores, recolhido dada ordem , é chamado VETOR, comprimento que é numericamente igual à área do paralelogramo, construído sobre esses vetores; vetor ortogonal aos vetores, e é direcionado para que a base tenha uma orientação correta:

Analisamos a definição por ossos, há muitas coisas interessantes!

Assim, podemos destacar os seguintes pontos significativos:

1) Vetores de origem, indicados por setas vermelhas, por definição não colinear. Acontecendo vetores colineares será apropriado considerar um pouco mais tarde.

2) Vetores tomados em uma ordem estrita: – "a" é multiplicado por "ser", não "ser" para "um". O resultado da multiplicação vetorialé VECTOR , que é indicado em azul. Se os vetores são multiplicados na ordem inversa, obtemos um vetor igual em comprimento e oposto em direção (cor carmesim). Ou seja, a igualdade .

3) Agora vamos nos familiarizar com o significado geométrico do produto vetorial. Este é um ponto muito importante! O COMPRIMENTO do vetor azul (e, portanto, do vetor carmesim ) é numericamente igual à ÁREA do paralelogramo construído sobre os vetores . Na figura, este paralelogramo está sombreado em preto.

Observação : o desenho é esquemático e, claro, o comprimento nominal do produto vetorial não é igual à área do paralelogramo.

Recordamos um dos fórmulas geométricas: a área de um paralelogramo é igual ao produto partes adjacentes pelo seno do ângulo entre eles. Portanto, com base no exposto, a fórmula para calcular o COMPRIMENTO de um produto vetorial é válida:

Ressalto que na fórmula estamos falando do COMPRIMENTO do vetor, e não do vetor em si. Qual é o significado prático? E o significado é tal que, em problemas de geometria analítica, a área de um paralelogramo é frequentemente encontrada através do conceito de produto vetorial:

Vamos pegar um segundo fórmula importante. A diagonal do paralelogramo (linha pontilhada vermelha) divide-o em dois triângulo igual. Portanto, a área de um triângulo construído em vetores (sombreamento vermelho) pode ser encontrada pela fórmula:

4) Não menos que fato importanteé que o vetor é ortogonal aos vetores , ou seja, . É claro que o vetor de direção oposta (seta carmesim) também é ortogonal aos vetores originais .

5) O vetor é direcionado de modo que base Tem certo orientação. Em uma aula sobre transição para uma nova base Eu falei em detalhes sobre orientação do plano, e agora vamos descobrir qual é a orientação do espaço. Eu vou explicar em seus dedos mão direita . Combine mentalmente dedo indicador com vetor e dedo do meio com vetor. dedo anelar e dedo mindinho pressione em sua palma. Como resultado dedão - o produto vetorial aparecerá. Esta é a base orientada para a direita (está na figura). Agora troque os vetores ( índice e dedos do meio ) em alguns lugares, como resultado, o polegar girará e o produto vetorial já estará olhando para baixo. Esta é também uma base orientada para a direita. Talvez você tenha uma pergunta: que base tem uma orientação à esquerda? "Atribuir" os mesmos dedos mão esquerda vetores , e obter a base esquerda e orientação do espaço esquerdo (neste caso, o polegar estará localizado na direção do vetor inferior). Figurativamente falando, essas bases "torcem" ou orientam o espaço em lados diferentes. E esse conceito não deve ser considerado algo forçado ou abstrato - por exemplo, o espelho mais comum muda a orientação do espaço e, se você "puxar o objeto refletido para fora do espelho", em geral não será possível combiná-lo com o “original”. A propósito, leve três dedos ao espelho e analise o reflexo ;-)

... como é bom que agora você saiba orientado para a direita e para a esquerda bases, pois as declarações de alguns palestrantes sobre a mudança de orientação são terríveis =)

Produto vetorial de vetores colineares

A definição foi elaborada em detalhes, resta descobrir o que acontece quando os vetores são colineares. Se os vetores são colineares, então eles podem ser colocados em uma linha reta e nosso paralelogramo também “dobra” em uma linha reta. A área de tal, como dizem os matemáticos, degenerar paralelogramo é zero. O mesmo segue da fórmula - o seno de zero ou 180 graus é igual a zero, o que significa que a área é zero

Assim, se , então . Estritamente falando, o próprio produto vetorial é igual ao vetor zero, mas na prática isso é muitas vezes negligenciado e escrito que é simplesmente igual a zero.

caso especialé o produto vetorial de um vetor e ele mesmo:

Usando o produto vetorial, você pode verificar a colinearidade de vetores tridimensionais e esta tarefa entre outros, também analisaremos.

Para soluções exemplos práticos pode ser necessário tabela trigonométrica para encontrar os valores dos senos a partir dele.

Bem, vamos começar um incêndio:

Exemplo 1

a) Encontre o comprimento do produto vetorial de vetores se

b) Encontre a área de um paralelogramo construído sobre vetores se

Solução: Não, isso não é um erro de digitação, intencionalmente fiz os mesmos dados iniciais nos itens de condição. Porque o design das soluções será diferente!

a) De acordo com a condição, é necessário encontrar comprimento vetor (produto vetorial). De acordo com a fórmula correspondente:

Responda:

Como foi perguntado sobre o comprimento, na resposta indicamos a dimensão - unidades.

b) De acordo com a condição, é necessário encontrar quadrado paralelogramo construído sobre vetores. A área deste paralelogramo é numericamente igual ao comprimento do produto vetorial:

Responda:

Observe que na resposta sobre o produto vetorial não há conversa, fomos questionados sobre área da figura, respectivamente, a dimensão é unidades quadradas.

Sempre olhamos o QUE deve ser encontrado pela condição e, com base nisso, formulamos Claro responda. Pode parecer literalismo, mas há literalistas suficientes entre os professores, e a tarefa com boas chances será devolvida para revisão. Embora este não seja um detalhe particularmente tenso - se a resposta estiver incorreta, fica-se com a impressão de que a pessoa não entende coisas simples e/ou não entendeu a essência da tarefa. Este momento deve ser sempre mantido sob controle, resolvendo qualquer problema matemática superior e em outros assuntos também.

Para onde foi a letra grande "en"? Em princípio, poderia ser adicionalmente preso à solução, mas para encurtar o registro, não o fiz. Espero que todos entendam isso e seja a designação da mesma coisa.

Um exemplo popular para decisão independente:

Exemplo 2

Encontre a área de um triângulo construído em vetores se

A fórmula para encontrar a área de um triângulo através do produto vetorial é fornecida nos comentários à definição. Solução e resposta no final da lição.

Na prática, a tarefa é realmente muito comum, os triângulos geralmente podem ser torturados.

Para resolver outros problemas, precisamos:

Propriedades do produto vetorial de vetores

Já consideramos algumas propriedades do produto vetorial, no entanto, vou incluí-las nesta lista.

Para vetores arbitrários e um número arbitrário, seguintes propriedades:

1) Em outras fontes de informação, este item geralmente não se destaca nas propriedades, mas é muito importante em termos práticos. Que assim seja.

2) - a propriedade também é discutida acima, às vezes é chamada anticomutatividade. Em outras palavras, a ordem dos vetores importa.

3) - combinação ou associativo leis do produto vetorial. As constantes são facilmente retiradas dos limites do produto vetorial. Realmente, o que eles estão fazendo lá?

4) - distribuição ou distribuição leis do produto vetorial. Também não há problemas com a abertura de colchetes.

Como demonstração, considere um pequeno exemplo:

Exemplo 3

Encontre se

Solução: Por condição, é novamente necessário encontrar o comprimento do produto vetorial. Vamos pintar nossa miniatura:

(1) De acordo com as leis associativas, retiramos as constantes além dos limites do produto vetorial.

(2) Retiramos a constante do módulo, enquanto o módulo “come” o sinal de menos. O comprimento não pode ser negativo.

(3) O que se segue é claro.

Responda:

É hora de jogar lenha no fogo:

Exemplo 4

Calcule a área de um triângulo construído sobre vetores se

Solução: Encontre a área de um triângulo usando a fórmula . O problema é que os vetores "ce" e "te" são representados como somas de vetores. O algoritmo aqui é padrão e lembra um pouco os exemplos nº 3 e 4 da lição. Produto escalar de vetores. Vamos dividi-lo em três etapas para maior clareza:

1) Na primeira etapa, expressamos o produto vetorial pelo produto vetorial, de fato, expressar o vetor em termos do vetor. Nenhuma palavra sobre o comprimento ainda!

(1) Substituímos expressões de vetores .

(2) Usando leis distributivas, abra os colchetes de acordo com a regra de multiplicação de polinômios.

(3) Usando as leis associativas, retiramos todas as constantes além dos produtos vetoriais. Com pouca experiência, as ações 2 e 3 podem ser executadas simultaneamente.

(4) O primeiro e o último termos são iguais a zero (vetor zero) devido à propriedade agradável . No segundo termo, usamos a propriedade de anticomutatividade do produto vetorial:

(5) Apresentamos termos semelhantes.

Como resultado, o vetor acabou sendo expresso por meio de um vetor, que era o que precisava ser alcançado:

2) Na segunda etapa, encontramos o comprimento do produto vetorial que precisamos. Esta ação é semelhante ao Exemplo 3:

3) Encontre a área do triângulo desejado:

As etapas 2-3 da solução podem ser organizadas em uma linha.

Responda:

O problema considerado é bastante comum em trabalho de controle, aqui está um exemplo para uma solução do tipo faça você mesmo:

Exemplo 5

Encontre se

Solução curta e resposta no final da lição. Vamos ver como você estava atento ao estudar os exemplos anteriores ;-)

Produto cruzado de vetores em coordenadas

, dado na base ortonormal , é expresso pela fórmula:

A fórmula é muito simples: escrevemos os vetores coordenados na linha superior do determinante, “empacotamos” as coordenadas dos vetores na segunda e terceira linhas e colocamos em estrita ordem- primeiro, as coordenadas do vetor "ve", depois as coordenadas do vetor "double-ve". Se os vetores precisarem ser multiplicados em uma ordem diferente, as linhas também devem ser trocadas:

Exemplo 10

Verifique se os seguintes vetores espaciais são colineares:
a)
b)

Solução: O teste é baseado em uma das afirmações desta lição: se os vetores são colineares, então seu produto vetorial é zero (vetor zero): .

a) Encontre o produto vetorial:

Portanto, os vetores não são colineares.

b) Encontre o produto vetorial:

Responda: a) não colinear, b)

Aqui, talvez, estejam todas as informações básicas sobre o produto vetorial de vetores.

Esta seção não será muito grande, pois há poucos problemas onde o produto misto de vetores é usado. Na verdade, tudo vai se basear na definição, significado geométrico e algumas fórmulas de trabalho.

produto misto vetores é o produto três vetores :

É assim que eles se alinham como um trem e esperam, não podem esperar até que sejam calculados.

Primeiro novamente a definição e a imagem:

Definição: Produto misto não coplanar vetores, tomadas nesta ordem, é chamado volume do paralelepípedo, construído sobre esses vetores, equipado com um sinal "+" se a base for à direita e um sinal "-" se a base for à esquerda.

Vamos fazer o desenho. Linhas invisíveis para nós são desenhadas por uma linha pontilhada:

Vamos mergulhar na definição:

2) Vetores tomados em uma certa ordem, ou seja, a permutação de vetores no produto, como você pode imaginar, não fica sem consequências.

3) Antes de comentar o significado geométrico, noto o fato óbvio: o produto misto de vetores é um NÚMERO: . Na literatura educacional, o desenho pode ser um pouco diferente, eu costumava designar um produto misto através, e o resultado dos cálculos com a letra “pe”.

Por definição o produto misturado é o volume do paralelepípedo, construído em vetores (a figura é desenhada com vetores vermelhos e linhas pretas). Ou seja, o número é igual ao volume do paralelepípedo dado.

Observação : O desenho é esquemático.

4) Não vamos nos preocupar novamente com o conceito de orientação da base e do espaço. O significado da parte final é que um sinal de menos pode ser adicionado ao volume. Em palavras simples, o produto misto pode ser negativo: .

A fórmula para calcular o volume de um paralelepípedo construído sobre vetores segue diretamente da definição.

Para considerar este tópico em detalhes, você precisa cobrir mais algumas seções. O tópico está diretamente relacionado a termos como ponto e produto cruzado. Neste artigo, tentamos dar definição precisa, especifique uma fórmula que ajudará a determinar o produto usando as coordenadas dos vetores. Além disso, o artigo inclui seções que listam as propriedades da obra e apresenta análise detalhada igualdades e problemas típicos.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prazo

Para determinar o que é esse termo, você precisa pegar três vetores.

Definição 1

produto misto a → , b → e d → é o valor que é igual ao produto escalar de a → × b → e d → , onde a → × b → é a multiplicação de a → e b → . A operação de multiplicação a → , b → e d → é frequentemente denotada por a → · b → · d → . Você pode transformar a fórmula assim: a → b → d → = (a → × b → , d →) .

Multiplicação em um sistema de coordenadas

Podemos multiplicar vetores se eles forem especificados no plano de coordenadas.

Tome i → , j → , k →

O produto de vetores em um dado caso específico terá próxima visualização: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →

Definição 2

Para realizar o produto escalar no sistema de coordenadas, você deve somar os resultados obtidos durante a multiplicação de coordenadas.

Portanto:

a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →

Também podemos definir um produto misto de vetores se, em um determinado sistema de coordenadas, forem especificadas as coordenadas dos vetores que estão sendo multiplicados.

a × b → = (a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → , d x i → + d y j → + d z k →) = = a y a z b y b z d x - a x a z b x b z d y + a x a y b x b y d z x = a x a y a d z x = b y y d z

Assim, pode-se concluir que:

a → b → d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Definição 3

Um produto misto pode ser equiparado ao determinante de uma matriz cujas linhas são coordenadas vetoriais. Visualmente, fica assim: a → b → d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Propriedades das operações sobre vetores Das características que se destacam em um produto escalar ou vetorial, pode-se derivar as características que caracterizam o produto misto. Apresentamos a seguir as principais propriedades.

(λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R;
a → b → d → = d → a → b → = b → d → a → ; a → d → b → = b → a → d → = d → b → a → ;
(a (1) → + a (2) →) b → d → = a (1) → b → d → + a (2) → b → d → a → (b(1 ) → + b (2) →) d → = a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →

Além das propriedades acima, deve-se esclarecer que, se o fator for zero, o resultado da multiplicação também será zero.

O resultado da multiplicação também será zero se dois ou mais fatores forem iguais.

De fato, se a → = b → , então, seguindo a definição do produto vetorial [ a → × b → ] = a → b → sen 0 = 0 , portanto, o produto misto é igual a zero, pois ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Se a → = b → ou b → = d → , então o ângulo entre os vetores [ a → × b → ] e d → é igual a π 2 . Por definição do produto escalar de vetores ([ a → × b → ], d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

As propriedades da operação de multiplicação são mais frequentemente necessárias durante a resolução de problemas.
Para analisar este tópico em detalhes, vamos pegar alguns exemplos e descrevê-los em detalhes.

Exemplo 1

Prove a igualdade ([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) , onde λ é algum número real.

Para encontrar uma solução para essa igualdade, devemos transformá-la lado esquerdo. Para fazer isso, você precisa usar a terceira propriedade do produto misto, que diz:

([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
Analisamos que (([ a → × b → ] , b →) = 0 . Segue disso que
([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + ( [ a → × b → ], b →) = = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + 0 = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)

De acordo com a primeira propriedade ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) e ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) = 0 . Assim, ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →) . É por isso,
([ a ⇀ × b ⇀ ], d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →)

A igualdade foi comprovada.

Exemplo 2

É necessário provar que o módulo do produto misto de três vetores não é maior que o produto de seus comprimentos.

Solução

Com base na condição, podemos representar o exemplo como uma desigualdade a → × b → , d → ≤ a → b → d → .

Por definição, transformamos a desigualdade a → × b → , d → = a → × b → d → cos (a → × b → ^ , d →) = = a → b → sin (a → , b → ^) d → cos ([ a → × b → ^ ] , d)

Usando funções elementares, podemos concluir que 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1 , 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ], d →) ≤ 1 .

A partir disso pode-se concluir que
(a → × b → , d →) = a → b → sin (a → , b →) ^ d → cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → b → 1 d → 1 = a → b → d →

A desigualdade foi comprovada.

Análise de tarefas típicas

Para determinar qual é o produto de vetores, deve-se conhecer as coordenadas dos vetores multiplicados. Para a operação, você pode usar a seguinte fórmula a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Exemplo 3

Em um sistema de coordenadas retangulares, existem 3 vetores com as seguintes coordenadas: a → = (1 , - 2 , 3), b → (- 2 , 2 , 1) , d → = (3 , - 2 , 5 ). É necessário determinar a que o produto dos vetores indicados a → · b → · d → é igual.

Com base na teoria apresentada acima, podemos usar a regra que afirma que o produto misto pode ser calculado em função do determinante da matriz. Ficará assim: a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7

Exemplo 4

É necessário encontrar o produto dos vetores i → + j → , i → + j → -k → , i → + j → + 2 k → , onde i → , j → , k → são os vetores unitários de um retângulo Sistema de coordenada cartesiana.

Com base na condição de que os vetores estejam localizados em um determinado sistema de coordenadas, podemos derivar suas coordenadas: i → + j → = (1 , 1 , 0) i → + j → - k → = (1 , 1 , - 1 ) i → + j → + 2 k → = (1 , 1 , 2)

Use a fórmula acima
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0

Também é possível definir o produto misto usando o comprimento do vetor, que já é conhecido, e o ângulo entre eles. Vamos analisar esta tese em um exemplo.

Exemplo 5

Em um sistema de coordenadas retangulares, existem três vetores a → , b → e d → que são perpendiculares entre si. Eles são uma tripla direita e seus comprimentos são 4 , 2 e 3 . Precisamos multiplicar vetores.

Denote c → = a → × b → .

De acordo com a regra, o resultado da multiplicação de vetores escalares é um número que é igual ao resultado da multiplicação dos comprimentos dos vetores usados pelo cosseno do ângulo entre eles. Concluímos que a → b → d → = ([ a → × b → ] , d →) = c → , d → = c → d → cos (c → , d → ^).

Usamos o comprimento do vetor d → especificado na condição de exemplo: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . É necessário definir c → ec → , d → ^ . Pela condição a → , b → ^ = π 2 , a → = 4 , b → = 2 . Encontramos o vetor c → usando a fórmula: c → = [ a → × b → ] = a → b → sin a → , b → ^ = 4 2 sin π 2 = 8
Pode-se concluir que c → é perpendicular a a → e b → . Os vetores a → , b → , c → serão a tripla direita, então o sistema de coordenadas cartesianas é usado. Os vetores c → e d → serão unidirecionais, ou seja, c → , d → ^ = 0 . Usando os resultados derivados, resolvemos o exemplo a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 .

a → · b → · d → = 24 .

Usamos os fatores a → , b → e d → .

Os vetores a → , b → e d → vêm do mesmo ponto. Nós os usamos como lados para construir uma figura.

Denote que c → = [ a → × b → ] . Por este caso pode-se definir o produto de vetores como a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = c → n p c → d → , onde n p c → d → é a projeção numérica do vetor d → na direção do vetor c → = [ a → × b → ] .

O valor absoluto de n p c → d → é igual a um número que também é igual à altura da figura, para o qual os vetores a → , b → e d → são usados como lados. Com base nisso, deve-se esclarecer que c → = [ a → × b → ] é perpendicular a a → e um vetor e um vetor de acordo com a definição de multiplicação vetorial. O valor c → = a → x b → é igual à área do paralelepípedo construído sobre os vetores a → e b → .

Concluímos que o módulo do produto a → b → d → = c → n p c → d → é igual ao resultado da multiplicação da área da base pela altura da figura, que é construída sobre os vetores a → , b → e d → .

Definição 4

O valor absoluto do produto vetorial é o volume do paralelepípedo: V paralelelepi pida = a → · b → · d → .

Esta fórmula e é geométrica.

Definição 5

Volume de um tetraedro, que é construído sobre a → , b → e d → , é igual a 1/6 do volume do paralelepípedo = 1 6 · a → · b → · d → .

Para consolidar o conhecimento, analisaremos alguns exemplos típicos.

Exemplo 6

É necessário encontrar o volume do paralelepípedo, cujos lados são A B → = (3 , 6 , 3), A C → = (1 , 3 , - 2) , A A 1 → = (2 , 2 , 2) , dado em um sistema de coordenadas retangular . O volume de um paralelepípedo pode ser encontrado usando a fórmula para valor absoluto. Segue-se disso: A B → A C → A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 3 2 + 6 (- 2) 2 + 3 1 2 - 3 3 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18

Então, V paralelo pipeda = - 18 = 18 .

V paralelelepipida = 18

Exemplo 7

O sistema de coordenadas contém os pontos A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (-2, 3, 1). É necessário determinar o volume do tetraedro, que está localizado nesses pontos.

Usemos a fórmula V t e t r hedra = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Podemos determinar as coordenadas dos vetores a partir das coordenadas dos pontos: A B → = (3 - 0 , - 1 - 1 , 5 - 0) = (3 , - 2 , 5) A C → = (1 - 0 , 0 - 1 , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) A D → = (- 2 - 0 , 3 - 1 , 1 - 0) = (- 2 , 2 , 1)

Em seguida, definimos o produto misto A B → A C → A D → pelas coordenadas dos vetores: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) 3 (- 2) + 5 1 2 - 5 (- 1) (- 2) - (- 2) 1 1 - 3 3 2 = - 7 Volume V ter a hedra = 1 6 - 7 = 7 6 .

V t e ra hedra = 7 6 .

Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter

Produto misto (ou vector-escalar) três vetores a, b, c (tomados nesta ordem) é chamado o produto escalar do vetor a e o produto vetorial b x c, ou seja, o número a(b x c), ou, que é o mesmo, (b x c)a.
Designação: ab.

Compromisso. A calculadora online foi projetada para calcular o produto misto de vetores. A solução resultante é salva em um arquivo do Word. Além disso, um modelo de solução é criado no Excel.

Sinais de complanaridade vetorial

Três vetores (ou mais) são ditos coplanares se eles, quando reduzidos a uma origem comum, estão no mesmo plano.
Se pelo menos um dos três vetores for zero, então os três vetores também são considerados coplanares.

Sinal de coplanaridade. Se o sistema a, b, c estiver correto, então abc>0 ; se à esquerda, então abc O significado geométrico do produto misto. O produto misto abc de três vetores não coplanares a, b, c é igual ao volume do paralelepípedo construído sobre os vetores a, b, c, tomado com um sinal de mais se o sistema a, b, c estiver correto, e com um sinal de menos se este sistema for deixado.

Propriedades de produtos mistos

Com uma permutação circular de fatores, o produto misto não muda, com uma permutação de dois fatores, inverte seu sinal: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
Decorre do significado geométrico.
(a+b)cd=acd+bcd (propriedade distributiva). Estende-se a qualquer número de termos.
Decorre da definição de um produto misto.
(ma)bc=m(abc) (propriedade associativa em relação ao fator escalar).
Decorre da definição de um produto misto. Essas propriedades permitem aplicar transformações a produtos mistos que diferem dos algébricos comuns apenas porque a ordem dos fatores pode ser alterada levando-se em consideração apenas o sinal do produto.
Um produto misto que tem pelo menos dois fatores iguais é igual a zero: aab=0 .

Exemplo 1. Encontre um produto misto. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Exemplo #2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca . Todos os termos, exceto os dois extremos, são iguais a zero. Além disso, bca=abc . Portanto (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Exemplo #3. Calcule o produto misto de três vetores a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Solução. Para calcular o produto misto de vetores, é necessário encontrar o determinante do sistema composto pelas coordenadas dos vetores. Escrevemos o sistema na forma

o calculadora online calcula o produto misto de vetores. dado solução detalhada. Para calcular o produto misto de vetores, selecione o método de representação dos vetores (por coordenadas ou por dois pontos), insira os dados nas células e clique no botão "Calcular".

Aviso

Limpar todas as células?

Fechar Limpar

Instrução de entrada de dados. Os números são inseridos como números inteiros (exemplos: 487, 5, -7623, etc.), números decimais (por exemplo, 67., 102.54, etc.) ou frações. A fração deve ser digitada na forma a/b, onde a e b (b>0) são inteiros ou números decimais. Exemplos 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, etc.

Produto misto de vetores (teoria)

produto misto três vetores é o número que resulta de produto escalar resultado produto vetorial os dois primeiros vetores para o terceiro vetor. Em outras palavras, dados três vetores a, b e c, então para obter o produto misto desses vetores, primeiro os dois primeiros vetores e o vetor resultante [ ab] é escalar multiplicado pelo vetor c.

Produto misto de três vetores a, b e c denotado assim: abc ou então ( abc). Então você pode escrever:

abc=([ab],c)

Antes de formular um teorema representando o significado geométrico de um produto misto, familiarize-se com os conceitos de tripla direita, tripla esquerda, sistema de coordenadas direita, sistema de coordenadas esquerda (definições 2, 2" e 3 na página produto cruzado de vetores).

Para definição, no que se segue consideraremos apenas sistemas de coordenadas destros.

Teorema 1. Produto misto de vetores ([ab],c) é igual ao volume do paralelepípedo construído sobre vetores reduzidos a uma origem comum a, b, c, tomado com um sinal de mais, se o triplo a, b, c direita, e com um sinal de menos se o triplo a, b, c deixei. Se os vetores a, b, c são coplanares, então ([ ab],c) é zero.

Corolário 1. A seguinte igualdade é válida:

Portanto, basta-nos provar que

([ab],c)=([bc],uma)

(3)

Pode-se ver pela expressão (3) que as partes esquerda e direita são iguais ao volume do paralelepípedo. Mas os sinais dos lados direito e esquerdo também coincidem, pois os triplos de vetores abc e bca têm a mesma orientação.

A igualdade provada (1) nos permite escrever o produto misto de três vetores a, b, c apenas na forma abc, sem especificar quais dois vetores são multiplicados vetorialmente pelos dois primeiros ou pelos dois últimos.

Corolário 2. Uma condição necessária e suficiente para que três vetores sejam coplanares é que seu produto misto se anule.

A prova segue do Teorema 1. De fato, se os vetores são coplanares, então o produto misto desses vetores é igual a zero. Por outro lado, se o produto misto é igual a zero, então a coplanaridade desses vetores segue do Teorema 1 (já que o volume do paralelepípedo construído sobre vetores reduzidos a uma origem comum é igual a zero).

Corolário 3. O produto misto de três vetores, dois dos quais são iguais, é igual a zero.

Sério. Se dois dos três vetores são iguais, então eles são coplanares. Portanto, o produto misto desses vetores é zero.

Produto misto de vetores em coordenadas cartesianas

Teorema 2. Sejam três vetores a, b e c definido por suas coordenadas retangulares cartesianas

Prova. produto misto abcé igual ao produto escalar dos vetores [ ab] e c. Produto vetorial de vetores [ ab] em coordenadas cartesianas é calculado pela fórmula ():

A última expressão pode ser escrita usando determinantes de segunda ordem:

é necessário e suficiente que o determinante seja igual a zero, cujas linhas sejam preenchidas com as coordenadas desses vetores, ou seja:

(7)

Para provar o corolário, basta considerar a fórmula (4) e o Corolário 2.

Produto Misto de Vetores com Exemplos

Exemplo 1. Encontre o produto misto de vetores abdômen, Onde

Produto misto de vetores a, b, c igual ao determinante da matriz eu. Calcular o determinante da matriz eu, expandindo o determinante ao longo da linha 1:

Ponto final do vetor uma.

Produto vetorial de vetores. Produto misto de vetores

Leia também

Definição de produto cruzado

Produto vetorial de vetores colineares

Propriedades do produto vetorial de vetores

Produto cruzado de vetores em coordenadas

Prazo

Multiplicação em um sistema de coordenadas

Análise de tarefas típicas

Sinais de complanaridade vetorial

Propriedades de produtos mistos

Aviso

Produto misto de vetores (teoria)

Produto misto de vetores em coordenadas cartesianas

Produto Misto de Vetores com Exemplos