Tg a o que é igual a. Triângulo retângulo: seno, cosseno, tangente, cotangente de um ângulo

Os conceitos de seno (), cosseno (), tangente (), cotangente () estão inextricavelmente ligados ao conceito de ângulo. Para entender bem esses conceitos, à primeira vista, complexos (que causam um estado de horror em muitos escolares), e ter certeza de que “o diabo não é tão assustador quanto é pintado”, vamos começar do início e entender o conceito de ângulo.

O conceito de ângulo: radiano, grau

Vamos olhar para a imagem. O vetor "virou" em relação ao ponto por uma certa quantidade. Então a medida dessa rotação em relação à posição inicial será injeção.

O que mais você precisa saber sobre o conceito de ângulo? Bem, unidades de ângulo, é claro!

O ângulo, tanto em geometria quanto em trigonometria, pode ser medido em graus e radianos.

O ângulo em (um grau) é chamado de ângulo central no círculo, com base em um arco circular igual à parte do círculo. Assim, todo o círculo consiste em "pedaços" de arcos circulares, ou seja, o ângulo descrito pelo círculo é igual.

Ou seja, a figura acima mostra um ângulo que é igual, ou seja, esse ângulo é baseado em um arco circular com o tamanho da circunferência.

Um ângulo em radianos é um ângulo central em um círculo, baseado em um arco circular, cujo comprimento é igual ao raio do círculo. Bem, você entendeu? Se não, então vamos olhar para a imagem.

Assim, a figura mostra um ângulo igual a um radiano, ou seja, esse ângulo é baseado em um arco circular, cujo comprimento é igual ao raio do círculo (o comprimento é igual ao comprimento ou o raio é igual a o comprimento do arco). Assim, o comprimento do arco é calculado pela fórmula:

Onde é o ângulo central em radianos.

Bem, sabendo disso, você pode responder quantos radianos contém um ângulo descrito por um círculo? Sim, para isso você precisa se lembrar da fórmula da circunferência de um círculo. Aqui está ela:

Bem, agora vamos correlacionar essas duas fórmulas e fazer com que o ângulo descrito pelo círculo seja igual. Ou seja, correlacionando o valor em graus e radianos, obtemos isso. Respectivamente, . Como você pode ver, ao contrário de "graus", a palavra "radiano" é omitida, pois a unidade de medida geralmente é clara no contexto.

Quantos radianos são? Está certo!

Entendi? Em seguida, aperte para a frente:

Alguma dificuldade? Então veja respostas:

Triângulo retângulo: seno, cosseno, tangente, cotangente de um ângulo

Então, com o conceito de ângulo descoberto. Mas o que é o seno, cosseno, tangente, cotangente de um ângulo? Vamos descobrir. Para isso, um triângulo retângulo nos ajudará.

Como se chamam os lados de um triângulo retângulo? Isso mesmo, a hipotenusa e os catetos: a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto (no nosso exemplo, este é o lado); as pernas são os dois lados restantes e (aqueles que são adjacentes ao ângulo reto), além disso, se considerarmos as pernas em relação ao ângulo, então a perna é a perna adjacente e a perna é a oposta. Então, agora vamos responder a pergunta: quais são o seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo?

Seno de um ânguloé a razão da perna oposta (distante) para a hipotenusa.

em nosso triângulo.

Cosseno de um ângulo- esta é a razão da perna adjacente (próxima) para a hipotenusa.

em nosso triângulo.

Ângulo tangente- esta é a proporção da perna oposta (distante) para a adjacente (perto).

em nosso triângulo.

Cotangente de um ângulo- esta é a proporção da perna adjacente (próxima) para a oposta (distante).

em nosso triângulo.

Essas definições são necessárias lembrar! Para tornar mais fácil lembrar qual perna dividir por qual, você precisa entender claramente que em tangente e co-tangente apenas as pernas ficam sentadas, e a hipotenusa aparece apenas em seio e cosseno. E então você pode criar uma cadeia de associações. Por exemplo, este:

cosseno→toque→toque→adjacente;

Cotangente→toque→toque→adjacente.

Antes de tudo, é necessário lembrar que o seno, cosseno, tangente e cotangente como razões dos lados de um triângulo não dependem dos comprimentos desses lados (em um ângulo). Não acredite? Então certifique-se olhando para a imagem:

Considere, por exemplo, o cosseno de um ângulo. Por definição, a partir de um triângulo: , mas podemos calcular o cosseno de um ângulo a partir de um triângulo: . Você vê, os comprimentos dos lados são diferentes, mas o valor do cosseno de um ângulo é o mesmo. Assim, os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente dependem apenas da magnitude do ângulo.

Se você entende as definições, vá em frente e corrija-as!

Para o triângulo mostrado na figura abaixo, encontramos.

Bem, você conseguiu? Então tente você mesmo: calcule o mesmo para o canto.

Círculo unitário (trigonométrico)

Entendendo os conceitos de graus e radianos, consideramos um círculo com um raio igual a. Tal círculo é chamado solteiro. É muito útil no estudo da trigonometria. Portanto, nos debruçamos sobre isso com um pouco mais de detalhes.

Como você pode ver, este círculo é construído no sistema de coordenadas cartesianas. O raio do círculo é igual a um, enquanto o centro do círculo está na origem, a posição inicial do vetor de raio é fixada ao longo da direção positiva do eixo (no nosso exemplo, este é o raio).

Cada ponto do círculo corresponde a dois números: a coordenada ao longo do eixo e a coordenada ao longo do eixo. Quais são esses números de coordenadas? E, em geral, o que eles têm a ver com o tema em questão? Para fazer isso, lembre-se do triângulo retângulo considerado. Na figura acima, você pode ver dois triângulos retângulos inteiros. Considere um triângulo. É retangular porque é perpendicular ao eixo.

O que é igual a de um triângulo? Está certo. Além disso, sabemos que é o raio do círculo unitário e, portanto, . Substitua esse valor em nossa fórmula de cosseno. Aqui está o que acontece:

E o que é igual a de um triângulo? Bem, claro, ! Substitua o valor do raio nesta fórmula e obtenha:

Então, você pode me dizer quais são as coordenadas de um ponto que pertence ao círculo? Bem, de jeito nenhum? E se você perceber isso e são apenas números? A que coordenada corresponde? Bem, é claro, a coordenada! A que coordenada corresponde? Isso mesmo, coordenar! Assim, o ponto.

E o que então são iguais e? Isso mesmo, vamos usar as definições apropriadas de tangente e cotangente e obter isso, a.

E se o ângulo for maior? Aqui, por exemplo, como nesta imagem:

O que mudou neste exemplo? Vamos descobrir. Para fazer isso, voltamos novamente para um triângulo retângulo. Considere um triângulo retângulo: um ângulo (como adjacente a um ângulo). Qual é o valor do seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo? Isso mesmo, aderimos às definições correspondentes das funções trigonométricas:

Bem, como você pode ver, o valor do seno do ângulo ainda corresponde à coordenada; o valor do cosseno do ângulo - a coordenada; e os valores de tangente e cotangente às razões correspondentes. Assim, essas relações são aplicáveis ​​a quaisquer rotações do vetor raio.

Já foi mencionado que a posição inicial do vetor raio é ao longo da direção positiva do eixo. Até agora, giramos esse vetor no sentido anti-horário, mas o que acontece se o girarmos no sentido horário? Nada de extraordinário, você também obterá um ângulo de um determinado tamanho, mas apenas negativo. Assim, ao girar o vetor raio no sentido anti-horário, obtemos ângulos positivos, e ao girar no sentido horário - negativo.

Então, sabemos que toda uma revolução do vetor raio ao redor do círculo é ou. É possível girar o vetor raio por ou por? Bem, claro que você pode! No primeiro caso, portanto, o vetor raio fará uma revolução completa e parará na posição ou.

No segundo caso, ou seja, o raio vetor fará três voltas completas e parará na posição ou.

Assim, a partir dos exemplos acima, podemos concluir que os ângulos que diferem por ou (onde é qualquer número inteiro) correspondem à mesma posição do vetor raio.

A figura abaixo mostra um ângulo. A mesma imagem corresponde ao canto, e assim por diante. Esta lista pode ser continuada indefinidamente. Todos esses ângulos podem ser escritos com a fórmula geral ou (onde é qualquer número inteiro)

Agora, conhecendo as definições das funções trigonométricas básicas e usando o círculo unitário, tente responder a quais valores são iguais:

Aqui está um círculo unitário para ajudá-lo:

Alguma dificuldade? Então vamos descobrir. Então sabemos que:

A partir daqui, determinamos as coordenadas dos pontos correspondentes a certas medidas do ângulo. Bem, vamos começar pela ordem: o canto em corresponde a um ponto com coordenadas, portanto:

Não existe;

Além disso, seguindo a mesma lógica, descobrimos que os cantos em correspondem a pontos com coordenadas, respectivamente. Sabendo disso, é fácil determinar os valores das funções trigonométricas nos pontos correspondentes. Tente você mesmo primeiro, depois verifique as respostas.

Respostas:

Não existe

Não existe

Não existe

Não existe

Assim, podemos fazer a seguinte tabela:

Não há necessidade de lembrar todos esses valores. Basta lembrar a correspondência entre as coordenadas dos pontos no círculo unitário e os valores das funções trigonométricas:

Mas os valores das funções trigonométricas dos ângulos e, dados na tabela abaixo, deve ser lembrado:

Não tenha medo, agora vamos mostrar um dos exemplos memorização bastante simples dos valores correspondentes:

Para usar este método, é vital lembrar os valores do seno para todas as três medidas do ângulo (), bem como o valor da tangente do ângulo em. Conhecendo esses valores, é bastante fácil restaurar toda a tabela - os valores de cosseno são transferidos de acordo com as setas, ou seja:

Sabendo disso, você pode restaurar os valores para. O numerador " " corresponderá e o denominador " " corresponderá. Os valores cotangentes são transferidos de acordo com as setas mostradas na figura. Se você entender isso e se lembrar do diagrama com setas, será suficiente lembrar o valor inteiro da tabela.

Coordenadas de um ponto em um círculo

É possível encontrar um ponto (suas coordenadas) em um círculo, conhecendo as coordenadas do centro do círculo, seu raio e ângulo de rotação?

Bem, claro que você pode! Vamos trazer para fora fórmula geral para encontrar as coordenadas de um ponto.

Aqui, por exemplo, temos esse círculo:

Nos é dado que o ponto é o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas do ponto obtidas girando o ponto em graus.

Como pode ser visto na figura, a coordenada do ponto corresponde ao comprimento do segmento. O comprimento do segmento corresponde à coordenada do centro do círculo, ou seja, é igual a. O comprimento de um segmento pode ser expresso usando a definição de cosseno:

Então temos que para o ponto a coordenada.

Pela mesma lógica, encontramos o valor da coordenada y para o ponto. Por isso,

Então, em termos gerais, as coordenadas dos pontos são determinadas pelas fórmulas:

Coordenadas do centro do círculo,

raio do círculo,

Ângulo de rotação do vetor raio.

Como você pode ver, para o círculo unitário que estamos considerando, essas fórmulas são significativamente reduzidas, pois as coordenadas do centro são zero e o raio é igual a um:

Bem, vamos tentar essas fórmulas para dar um gostinho, praticando encontrar pontos em um círculo?

1. Encontre as coordenadas de um ponto em um círculo unitário obtido girando um ponto.

2. Encontre as coordenadas de um ponto em um círculo unitário obtido pela rotação de um ponto.

3. Encontre as coordenadas de um ponto em um círculo unitário obtido girando um ponto.

4. Ponto - o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas do ponto obtidas pela rotação do vetor raio inicial por.

5. Ponto - o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas do ponto obtidas pela rotação do vetor raio inicial por.

Tendo problemas para encontrar as coordenadas de um ponto em um círculo?

Resolva esses cinco exemplos (ou entenda bem a solução) e você aprenderá como encontrá-los!

1.

Pode ser visto que. E sabemos o que corresponde a uma volta completa do ponto de partida. Assim, o ponto desejado estará na mesma posição que ao virar. Sabendo disso, encontramos as coordenadas desejadas do ponto:

2. O círculo é uma unidade com centro em um ponto, o que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:

Pode ser visto que. Sabemos o que corresponde a duas rotações completas do ponto de partida. Assim, o ponto desejado estará na mesma posição que ao virar. Sabendo disso, encontramos as coordenadas desejadas do ponto:

Seno e cosseno são valores tabulares. Lembramos seus valores e obtemos:

Assim, o ponto desejado tem coordenadas.

3. O círculo é uma unidade com centro em um ponto, o que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:

Pode ser visto que. Vamos descrever o exemplo considerado na figura:

O raio faz ângulos com o eixo igual a e. Sabendo que os valores tabulares do cosseno e do seno são iguais, e tendo determinado que o cosseno aqui assume um valor negativo e o seno é positivo, temos:

Exemplos semelhantes são analisados ​​com mais detalhes ao estudar as fórmulas para reduzir funções trigonométricas no tópico.

Assim, o ponto desejado tem coordenadas.

4.

Ângulo de rotação do vetor de raio (por condição)

Para determinar os sinais correspondentes de seno e cosseno, construímos um círculo unitário e um ângulo:

Como você pode ver, o valor, ou seja, é positivo, e o valor, ou seja, é negativo. Conhecendo os valores tabulares das funções trigonométricas correspondentes, obtemos que:

Vamos substituir os valores obtidos em nossa fórmula e encontrar as coordenadas:

Assim, o ponto desejado tem coordenadas.

5. Para resolver este problema, usamos fórmulas na forma geral, onde

As coordenadas do centro do círculo (no nosso exemplo,

Raio do círculo (por condição)

Ângulo de rotação do vetor raio (por condição).

Substitua todos os valores na fórmula e obtenha:

e - valores da tabela. Lembramos e os substituímos na fórmula:

Assim, o ponto desejado tem coordenadas.

RESUMO E FÓRMULA BÁSICA

O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto (distante) e a hipotenusa.

O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente (próximo) e a hipotenusa.

A tangente de um ângulo é a razão entre a perna oposta (distante) e a adjacente (próxima).

A cotangente de um ângulo é a razão entre a perna adjacente (próxima) e a oposta (distante).

A trigonometria é um tópico que muitos ignoram. Apesar disso, se você encontrar a abordagem certa, ela se tornará muito interessante para você. Fórmulas trigonométricas, incluindo fórmulas para encontrar a tangente, são usadas em muitas áreas da vida real. Este artigo falará sobre maneiras de encontrar a tangente de um ângulo e dará exemplos da aplicação desse valor na vida. Isso lhe dará motivação para explorar o tema.

Apesar da opinião que existe entre a maioria dos escolares, a trigonometria é frequentemente usada na vida. Um exemplo claro de aplicação prática lhe dará um incentivo para não ser preguiçoso. Aqui estão algumas áreas de atividade onde os cálculos trigonométricos são usados, incluindo encontrar a tangente de um ângulo:

• Economia.
• Astronomia.
• Aviação.
• Engenharia.

Então, abaixo serão dadas maneiras de encontrar tg.

Como encontrar o tg de um ângulo

Encontrar a tangente de um ângulo é bastante simples. Você pode estudar este tópico e apenas memorizar as regras, mas tudo isso pode sair da sua cabeça no exame. Portanto, vale a pena abordar esta questão de forma inteligente. Fórmulas básicas para lembrar:

• tg0° = 0
• tg30° = 1/√3
• tg45° = 1
• tg60° = √3
• tg90° = ∞ (infinito/indefinido)

Observe que os valores estão em ordem crescente: quanto maior o ângulo, maior o valor da tangente. Assim, com um valor de grau de um ângulo de 0°, obtemos 0. Com um valor de trinta graus, uma unidade dividida pela raiz de três, e assim por diante, até atingirmos a marca de 90°. Com ele, o valor da tangente é igual ao infinito ou incerteza (com base na situação específica).

Essas expressões seguem a regra para encontrar a tangente através de um triângulo retângulo. Assim, a tangente do ângulo A (tgA) é igual à razão entre a perna oposta e a adjacente. Imagine que você recebe um triângulo retângulo no qual todos os lados são conhecidos, mas o ângulo não é conhecido. Resolvendo o problema, é necessário encontrar a tangente do ângulo A. O valor do lado oposto ao ângulo é 1, e o cateto adjacente é √3. Sua razão dá 1/√3. Já sabemos que o valor do ângulo para este indicador é de 30 graus. Assim, ângulo A = 30°.

Em um triângulo retângulo, em um ângulo reto, ambas as tangentes são adjacentes. O lado oposto desse ângulo é a hipotenusa. Precisamente porque não podemos dividir duas pernas entre si (a condição de encontrar é violada), a tangente de 90 ° não existe neste caso.

Além de tudo isso, muitas vezes é necessário encontrar a tangente de um ângulo obtuso. Normalmente em problemas existem ângulos obtusos com um valor de 120 ou 150 graus. A fórmula para encontrar a tangente de um ângulo obtuso é a seguinte: tg(180-a) = tga.
Por exemplo, precisamos encontrar a tangente de 120 °. Você precisa se fazer a seguinte pergunta: quanto você precisa subtrair de 180 para obter 120? Com certeza 60°. Segue-se que a tangente de 120° e a tangente de 60° são iguais entre si e tg120° = √3. Pela mesma lógica, você pode encontrar a tangente de 150 e 180 graus. Seus valores serão iguais a 1 / √3 e 0, respectivamente. Os valores das tangentes de outros ângulos são dados na tabela trigonométrica, mas são usados ​​muito raramente.

Como encontrar o tg de um ângulo online

Existem muitos recursos online para encontrar a tangente de um ângulo. Um deles é o site FXYZ. Siga este link. Você verá uma página onde serão fornecidas as fórmulas básicas relacionadas à tangente, bem como uma calculadora. O uso da calculadora é bastante simples. Você deve inserir os apropriados e a calculadora calculará a resposta. Este algoritmo simples irá ajudá-lo caso você tenha esquecido alguma coisa. Existem duas calculadoras neste site. Uma é para encontrar o valor da tangente com base nos comprimentos dos catetos do triângulo e a segunda com base no tamanho do ângulo. Use a calculadora que a tarefa requer.

Como você deve ter notado, encontrar a tangente e outros indicadores trigonométricos é muito usado na vida real, e encontrar esses valores não é nada difícil. Se você entende a essência da descoberta, não precisa memorizar nada - você mesmo pode alcançar a resposta correta. Se, no entanto, algo não der certo, use uma calculadora, mas não abuse. Ninguém lhe dará essa oportunidade em um exame, teste ou teste escolar. Além disso, se você entrar na faculdade onde a trigonometria da matemática superior é estudada, sem conhecimentos básicos, terá que suar seriamente para não se cortar.

Começamos nosso estudo de trigonometria com um triângulo retângulo. Vamos definir o que são o seno e o cosseno, assim como a tangente e a cotangente de um ângulo agudo. Estes são os fundamentos da trigonometria.

Lembre-se que ângulo certoé um ângulo igual a 90 graus. Em outras palavras, metade do canto desdobrado.

Canto afiado- menos de 90 graus.

Ângulo obtuso- superior a 90 graus. Em relação a tal ângulo, "blunt" não é um insulto, mas um termo matemático :-)

Vamos desenhar um triângulo retângulo. Um ângulo reto é geralmente denotado. Observe que o lado oposto ao canto é indicado pela mesma letra, apenas pequena. Assim, o lado oposto ao ângulo A é denotado.

Um ângulo é denotado pela letra grega correspondente.

Hipotenusa Um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo reto.

Pernas- lados opostos a cantos vivos.

A perna oposta ao canto é chamada oposto(relativo ao ângulo). A outra perna, que fica de um lado do canto, é chamada adjacente.

Seioângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:

Cossenoângulo agudo em um triângulo retângulo - a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:

Tangenteângulo agudo em um triângulo retângulo - a proporção da perna oposta para o adjacente:

Outra definição (equivalente): a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o seno de um ângulo e seu cosseno:

Co-tangenteângulo agudo em um triângulo retângulo - a razão da perna adjacente para o oposto (ou, equivalentemente, a razão de cosseno para seno):

Preste atenção às razões básicas para seno, cosseno, tangente e cotangente, que são dadas abaixo. Eles serão úteis para nós na resolução de problemas.

Vamos provar alguns deles.

Ok, nós demos definições e fórmulas escritas. Mas por que precisamos de seno, cosseno, tangente e cotangente?

Nós sabemos isso a soma dos ângulos de qualquer triângulo é.

Conhecemos a relação entre partidos triângulo retângulo. Este é o teorema de Pitágoras: .

Acontece que conhecendo dois ângulos em um triângulo, você pode encontrar o terceiro. Conhecendo dois lados de um triângulo retângulo, você pode encontrar o terceiro. Então, para ângulos - sua proporção, para lados - deles próprios. Mas o que fazer se em um triângulo retângulo um ângulo (exceto o direito) e um lado são conhecidos, mas você precisa encontrar outros lados?

Era isso que as pessoas enfrentavam no passado, fazendo mapas da área e do céu estrelado. Afinal, nem sempre é possível medir diretamente todos os lados de um triângulo.

Seno, cosseno e tangente - eles também são chamados funções trigonométricas do ângulo- dê a razão entre partidos e cantos triângulo. Conhecendo o ângulo, você pode encontrar todas as suas funções trigonométricas usando tabelas especiais. E conhecendo os senos, cossenos e tangentes dos ângulos de um triângulo e de um de seus lados, você pode encontrar o resto.

Também desenharemos uma tabela de valores de seno, cosseno, tangente e cotangente para ângulos "bons" de a.

Observe os dois traços vermelhos na tabela. Para os valores correspondentes dos ângulos, a tangente e a cotangente não existem.

Vamos analisar vários problemas em trigonometria das tarefas do Banco de FIPI.

1. Em um triângulo, o ângulo é , . Encontrar .

O problema é resolvido em quatro segundos.

Na medida em que , .

2. Em um triângulo, o ângulo é , , . Encontrar .

Vamos encontrar pelo teorema de Pitágoras.

Problema resolvido.

Muitas vezes em problemas existem triângulos com ângulos e ou com ângulos e . Memorize as proporções básicas para eles de cor!

Para um triângulo com ângulos e o cateto oposto ao ângulo em é igual a metade da hipotenusa.

Um triângulo com ângulos e isósceles. Nele, a hipotenusa é vezes maior que a perna.

Consideramos problemas para resolver triângulos retângulos - isto é, para encontrar lados ou ângulos desconhecidos. Mas isso não é tudo! Nas variantes do exame em matemática, existem muitas tarefas onde aparece o seno, cosseno, tangente ou cotangente do ângulo externo do triângulo. Mais sobre isso no próximo artigo.

Neste artigo, exploraremos o conceito de tangente de um ângulo. Vamos começar com o conceito de um ângulo reto. Um ângulo reto é um ângulo igual a 90 0 . Um ângulo menor que 90 graus é chamado de ângulo agudo. Um ângulo maior que 90 graus é chamado de ângulo obtuso. Em um ângulo de 180 graus.

Representamos um triângulo com um ângulo reto C, enquanto o lado oposto terá a mesma designação (com - será a hipotenusa), fazemos o mesmo com outros ângulos. O lado oposto ao ângulo agudo é chamado de perna.

O seno e o cosseno são encontrados usando a perna e a hipotenusa, a saber:
sinA = a/c
cosA = b/c

Fórmula tangente

tan A = a/b

em outras palavras definição de tangente- esta é a divisão da perna oposta na adjacente
Existe outra fórmula equivalente para a tangente

tgA = sinA/cosA

significa dividir o pecado por cos.

Co-tangenteé quase o mesmo, apenas os valores estão invertidos.

ctgA = cosA/sinA

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Essas funções trigonométricas facilitam muito o cálculo de ângulos. Graças ao seno, cosseno e tangente, tornou-se possível determinar todos os ângulos desconhecidos em um triângulo, com um conhecido.

Designações para ângulos básicos:
tangente 30 - 0,577
tangente 45 - 1,000
tangente 60 - 1,732

Existe um especial, os valores de que podem ser obtidos dividindo os valores das tabelas de seno e cosseno, mas como esse é um processo bastante trabalhoso e essa tabela de tangentes é necessária.

Existem muitos problemas em que os ângulos de um triângulo são 90, 30, 60 graus. ou 90, 45, 45 graus. Para esses números, é melhor memorizar sua proporção, o que seria mais fácil.

No primeiro caso, o cateto oposto a 30 graus é igual a 1/2 da hipotenusa.
No segundo caso, a hipotenusa excede a perna por um fator de ?2.

A tangente é uma função trigonométrica, numericamente igual à razão dos comprimentos dos catetos opostos e adjacentes. A tangente é amplamente utilizada em muitas aplicações modernas.

Fundo

A trigonometria se origina quando os cientistas estudaram as propriedades dos lados de um triângulo retângulo. Foi então que um teorema foi formulado postulando a razão entre os catetos e a hipotenusa, provado somente após mil e quinhentos anos pelo matemático samiano Pitágoras. Inicialmente, foi utilizado apenas o seno, que foi calculado como metade da corda de um círculo descrito ao redor.

A tangente apareceu muito mais tarde, quando os cientistas enfrentaram a tarefa de determinar o comprimento da sombra projetada por objetos perpendiculares à superfície da Terra. A tangente foi introduzida pelo matemático árabe Abu'l-Wafa no século X. Um cientista oriental compilou tabelas especiais para determinar tangentes e cotangentes, mas essa descoberta nunca chegou ao continente europeu.

Na Europa, as tangentes foram redescobertas apenas no século XIV: o matemático alemão Johann Müller Regiomontanus usou a função em cálculos astronômicos. O termo "tangente" vem da palavra latina tanger, que significa "toque" e foi introduzido em uso no final do século XVI. Este termo foi usado para descrever a linha de tangentes, ou seja, a tangente ao círculo unitário. Regiomontan provou o teorema da tangente e também compilou tabelas especiais de valores de função que eram adequadas para geometria plana e esférica.

Definição de tangente

Geometricamente, a tangente é definida como a razão entre a perna oposta e a adjacente. A função é sempre calculada para um ângulo e não depende dos comprimentos dos lados. Digamos que temos um triângulo com lados A, B e C, onde C é a hipotenusa. A tangente de AC será calculada como a razão entre a perna oposta B e a perna adjacente A, ou tgAC = B/A. Para o ângulo BC, a tangente é calculada como uma fração, cujo numerador é o comprimento do cateto A oposto ao ângulo ao adjacente B, que é matematicamente escrito como tgBC = A/B. O ângulo AB é formado com duas pernas, portanto não pode ser calculado. As pernas são lados que formam um ângulo reto, então não há tangente para um ângulo de 90 graus.

Além da definição geométrica, a tangente é fácil de expressar em termos de outras funções trigonométricas. Assim, para o ângulo A, a tangente pode ser expressa usando a razão de seno e cosseno:

tgA = sinA/cosA.

Nosso programa permite determinar o valor numérico da tangente para qualquer valor de ângulo. Para fazer isso, basta selecionar a função apropriada no menu e inserir o valor do ângulo em graus ou radianos na célula "Ângulo". Se você precisar encontrar um ângulo a partir de um valor conhecido de uma função trigonométrica, use a função arco tangente. Para fazer isso, insira o valor da tangente na célula apropriada, após o que a calculadora retornará o valor do ângulo para você.

Vejamos alguns exemplos

Cálculo do ângulo

Seja dado um triângulo retângulo em um problema escolar com lados A = 5 cm, B = 12 cm, C = 13 cm. É necessário encontrar os valores de todos os ângulos. Então, é óbvio que o ângulo AB, ou seja, o ângulo formado pelos dois catetos, é reto. Isso é conhecido pela própria definição de pernas. Agora podemos encontrar a tangente do ângulo BC, que será numericamente igual à fração, em cujo numerador é o cateto oposto A, e o denominador é o cateto adjacente B. Portanto, tgBC = A / B = 5/ 12 = 0,416. Conhecendo a tangente, podemos calcular facilmente o ângulo correspondente usando uma calculadora online. Para isso, selecione a função tangente no menu e insira o valor 0,416 na célula tgα. O programa exibirá instantaneamente um valor de ângulo de 22,58 graus. Calcular o último ângulo não é difícil, portanto, de acordo com o postulado da soma dos ângulos de um triângulo, o ângulo AC \u003d 180 - 90 - 22,58 \u003d 67,42 graus.

Cálculo da tangente

Nos problemas escolares, os ângulos padrão são usados ​​com mais frequência, por isso é importante que os alunos saibam os valores das funções trigonométricas básicas para esses ângulos literalmente de cor. Vamos usar uma calculadora para determinar os valores da tangente para os ângulos mais comuns nos problemas:

• tg30 = 0,577;
• tg45 = 1;
• tg60 = 1,732;
• tg90 - não calculado;
• tg120 = -1,732;
• tg150 = -0,577;
• tg180 = 0.

Acima, descobrimos porque a tangente não é calculada para valores de 90 graus. Outro valor interessante é o ângulo de 45 graus. Por que a tangente 1? A resposta é óbvia, porque se em um triângulo retângulo um ângulo é de 45 graus, então o segundo tem o mesmo valor. Portanto, o triângulo é isósceles, seus catetos têm o mesmo comprimento e sua razão em qualquer caso será igual a 1.

Conclusão

A trigonometria é uma ciência complexa que praticamente não encontra aplicação na vida cotidiana. No entanto, sem trigonometria, não haveria tecnologias modernas, portanto, os especialistas em ciências aplicadas não podem prescindir dela. Use nossas calculadoras online para calcular os valores das funções trigonométricas.