Primeiro nível

Progressão geométrica. Guia abrangente com exemplos (2019)

Sequência numérica

Então vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:

Você pode escrever qualquer número e pode haver quantos quiser (no nosso caso, eles). Não importa quantos números escrevamos, sempre podemos dizer qual deles é o primeiro, qual é o segundo, e assim por diante até o último, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de uma sequência numérica:

Sequência numéricaé um conjunto de números, cada um dos quais pode receber um número único.

Por exemplo, para nossa sequência:

O número atribuído é específico para apenas um número de sequência. Em outras palavras, não há números de três segundos na sequência. O segundo número (como o número -th) é sempre o mesmo.

O número com o número é chamado de -th membro da sequência.

Normalmente chamamos a sequência inteira de alguma letra (por exemplo,), e cada membro dessa sequência - a mesma letra com um índice igual ao número desse membro: .

No nosso caso:

Os tipos mais comuns de progressão são aritmética e geométrica. Neste tópico, falaremos sobre o segundo tipo - progressão geométrica.

Por que precisamos de uma progressão geométrica e sua história.

Mesmo nos tempos antigos, o matemático italiano, o monge Leonardo de Pisa (mais conhecido como Fibonacci), lidava com as necessidades práticas do comércio. O monge se deparou com a tarefa de determinar qual é o menor número de pesos que podem ser usados ​​para pesar as mercadorias? Em seus escritos, Fibonacci prova que tal sistema de pesos é ótimo: Esta é uma das primeiras situações em que as pessoas tiveram que lidar com uma progressão geométrica, da qual você provavelmente já ouviu falar e tem pelo menos uma ideia geral. Depois de entender completamente o tópico, pense em por que esse sistema é ideal?

Atualmente, na prática da vida, uma progressão geométrica se manifesta ao investir dinheiro em um banco, quando o valor dos juros é cobrado sobre o valor acumulado na conta do período anterior. Em outras palavras, se você colocar dinheiro em um depósito a prazo em um banco de poupança, em um ano o depósito aumentará em relação ao valor original, ou seja, o novo valor será igual à contribuição multiplicada por. Em outro ano, esse valor aumentará em, ou seja. o valor obtido naquele momento é novamente multiplicado por e assim por diante. Uma situação semelhante é descrita nos problemas de computação dos chamados juros compostos- a porcentagem é retirada de cada vez do valor que está na conta, levando em consideração os juros anteriores. Falaremos sobre essas tarefas um pouco mais adiante.

Existem muitos casos mais simples em que uma progressão geométrica é aplicada. Por exemplo, a propagação da gripe: uma pessoa infectou uma pessoa, eles, por sua vez, infectaram outra pessoa e, assim, a segunda onda de infecção - uma pessoa, e eles, por sua vez, infectaram outra ... e assim por diante .. .

Aliás, uma pirâmide financeira, a mesma MMM, é um cálculo simples e seco de acordo com as propriedades de uma progressão geométrica. Interessante? Vamos descobrir.

Progressão geométrica.

Digamos que temos uma sequência numérica:

Você responderá imediatamente que é fácil e que o nome de tal sequência é uma progressão aritmética com a diferença de seus membros. Que tal algo como isso:

Se você subtrair o número anterior do próximo número, verá que cada vez que obtém uma nova diferença (e assim por diante), mas a sequência definitivamente existe e é fácil de notar - cada próximo número é vezes maior que o anterior !

Esse tipo de sequência é chamado progressão geométrica e está marcado.

Uma progressão geométrica ( ) é uma sequência numérica, cujo primeiro termo é diferente de zero, e cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número. Esse número é chamado de denominador de uma progressão geométrica.

As restrições de que o primeiro termo ( ) não é igual e não são aleatórias. Digamos que não há nenhum, e o primeiro termo ainda é igual, e q é, hmm .. let, então acontece:

Concorde que isso não é progressão.

Como você entende, obteremos os mesmos resultados se for qualquer número diferente de zero, mas. Nesses casos, simplesmente não haverá progressão, uma vez que toda a série numérica será ou todos zeros, ou um número, e todos os demais zeros.

Agora vamos falar mais detalhadamente sobre o denominador de uma progressão geométrica, ou seja, sobre.

Vamos repetir: - este é um número, quantas vezes cada termo subsequente muda progressão geométrica.

O que você acha que poderia ser? Isso mesmo, positivo e negativo, mas não zero (falamos sobre isso um pouco mais alto).

Digamos que temos um positivo. Seja no nosso caso, a. Qual é o segundo termo e? Você pode responder isso facilmente:

Tudo bem. Assim, se, então, todos os membros subsequentes da progressão têm o mesmo sinal - eles positivo.

E se for negativo? Por exemplo, um. Qual é o segundo termo e?

É uma história completamente diferente

Tente contar o prazo desta progressão. Quanto você conseguiu? Eu tenho. Assim, se, então os sinais dos termos da progressão geométrica se alternam. Ou seja, se você vir uma progressão com sinais alternados em seus membros, seu denominador será negativo. Esse conhecimento pode ajudá-lo a se testar ao resolver problemas sobre esse tópico.

Agora vamos praticar um pouco: tente determinar quais sequências numéricas são uma progressão geométrica e quais são uma aritmética:

Entendi? Compare nossas respostas:

• Progressão geométrica - 3, 6.
• Progressão aritmética - 2, 4.
• Não é uma progressão aritmética nem geométrica - 1, 5, 7.

Voltemos à nossa última progressão e tentemos encontrar seu termo da mesma forma que na aritmética. Como você deve ter adivinhado, existem duas maneiras de encontrá-lo.

Multiplicamos sucessivamente cada termo por.

Assim, o -ésimo membro da progressão geométrica descrita é igual a.

Como você já adivinhou, agora você mesmo derivará uma fórmula que o ajudará a encontrar qualquer membro de uma progressão geométrica. Ou você já o trouxe para si mesmo, descrevendo como encontrar o º membro em etapas? Em caso afirmativo, verifique a correção do seu raciocínio.

Vamos ilustrar isso com o exemplo de encontrar o -th membro desta progressão:

Em outras palavras:

Encontre-se o valor de um membro de uma determinada progressão geométrica.

Ocorrido? Compare nossas respostas:

Preste atenção que você obteve exatamente o mesmo número do método anterior, quando multiplicamos sucessivamente por cada membro anterior da progressão geométrica.
Vamos tentar "despersonalizar" esta fórmula - nós a trazemos para uma forma geral e obtemos:

A fórmula derivada é verdadeira para todos os valores - positivos e negativos. Verifique você mesmo calculando os termos de uma progressão geométrica com as seguintes condições: , a.

Você contou? Vamos comparar os resultados:

Concordo que seria possível encontrar um membro da progressão da mesma forma que um membro, porém, existe a possibilidade de erro de cálculo. E se já encontramos o º termo de uma progressão geométrica, a, então o que poderia ser mais fácil do que usar a parte “truncada” da fórmula.

Uma progressão geométrica infinitamente decrescente.

Mais recentemente, falamos sobre o que pode ser maior ou menor que zero, no entanto, existem valores especiais para os quais a progressão geométrica é chamada diminuindo infinitamente.

Por que você acha que tem esse nome?
Para começar, vamos escrever uma progressão geométrica composta por membros.
Digamos, então:

Vemos que cada termo subsequente é menor que o anterior em tempos, mas haverá algum número? Você imediatamente responde - "não". É por isso que o infinitamente decrescente - diminui, diminui, mas nunca se torna zero.

Para entender claramente como isso se parece visualmente, vamos tentar desenhar um gráfico de nossa progressão. Então, para o nosso caso, a fórmula tem a seguinte forma:

Nos gráficos, estamos acostumados a construir dependência, portanto:

A essência da expressão não mudou: na primeira entrada, mostramos a dependência do valor de um membro da progressão geométrica em seu número ordinal, e na segunda entrada, simplesmente tomamos o valor de um membro da progressão geométrica para, e o número ordinal foi designado não como, mas como. Tudo o que resta a fazer é traçar o gráfico.
Vamos ver o que você tem. Segue o gráfico que peguei:

Ver? A função diminui, tende a zero, mas nunca o cruza, então é infinitamente decrescente. Vamos marcar nossos pontos no gráfico e, ao mesmo tempo, o que a coordenada e significa:

Tente representar esquematicamente um gráfico de uma progressão geométrica se seu primeiro termo também for igual. Analise qual é a diferença com o nosso gráfico anterior?

Você conseguiu? Segue o gráfico que peguei:

Agora que você entendeu completamente o básico do tópico de progressão geométrica: você sabe o que é, sabe como encontrar seu termo e também sabe o que é uma progressão geométrica infinitamente decrescente, vamos passar para sua propriedade principal.

propriedade de uma progressão geométrica.

Você se lembra da propriedade dos membros de uma progressão aritmética? Sim, sim, como encontrar o valor de um determinado número de uma progressão quando existem valores anteriores e posteriores dos membros dessa progressão. Lembrou? Este:

Agora nos deparamos com exatamente a mesma questão para os termos de uma progressão geométrica. Para derivar tal fórmula, vamos começar a desenhar e raciocinar. Você vai ver, é muito fácil, e se você esquecer, você mesmo pode trazer.

Vamos pegar outra progressão geométrica simples, na qual sabemos e. Como encontrar? Com uma progressão aritmética, isso é fácil e simples, mas como é aqui? Na verdade, também não há nada complicado na geometria - você só precisa pintar cada valor dado a nós de acordo com a fórmula.

Você pergunta, e agora o que fazemos com isso? Sim, muito simples. Para começar, vamos descrever essas fórmulas na figura e tentar fazer várias manipulações com elas para chegar a um valor.

Abstraímos dos números que nos são dados, nos concentraremos apenas em sua expressão por meio de uma fórmula. Precisamos encontrar o valor destacado em laranja, conhecendo os termos adjacentes a ele. Vamos tentar realizar várias ações com eles, como resultado podemos obter.

Adição.
Vamos tentar adicionar duas expressões e temos:

A partir dessa expressão, como você pode ver, não poderemos expressar de forma alguma, portanto, tentaremos outra opção - subtração.

Subtração.

Como você pode ver, também não podemos expressar a partir disso, portanto, tentaremos multiplicar essas expressões umas pelas outras.

Multiplicação.

Agora olhe atentamente para o que temos, multiplicando os termos de uma progressão geométrica que nos foi dada em comparação com o que precisa ser encontrado:

Adivinha do que estou falando? Corretamente, para encontrá-lo, precisamos tirar a raiz quadrada dos números de progressão geométrica adjacentes ao número desejado multiplicados entre si:

Aqui está. Você mesmo deduziu a propriedade de uma progressão geométrica. Tente escrever esta fórmula na forma geral. Ocorrido?

Esqueceu condição quando? Pense por que é importante, por exemplo, tente calculá-lo você mesmo, em. O que acontece nesse caso? Isso mesmo, um absurdo completo, já que a fórmula fica assim:

Assim, não se esqueça desta limitação.

Agora vamos calcular o que é

Resposta correta - ! Se você não esqueceu o segundo valor possível ao calcular, então você é um ótimo sujeito e pode prosseguir imediatamente para o treinamento, e se você esqueceu, leia o que é analisado abaixo e preste atenção no motivo pelo qual ambas as raízes devem ser escritas na resposta .

Vamos desenhar ambas as nossas progressões geométricas - uma com um valor e a outra com um valor, e verificar se ambas têm o direito de existir:

Para verificar se tal progressão geométrica existe ou não, é necessário verificar se ela é a mesma entre todos os seus membros dados? Calcule q para o primeiro e segundo casos.

Veja por que temos que escrever duas respostas? Porque o sinal do termo requerido depende se é positivo ou negativo! E como não sabemos o que é, precisamos escrever as duas respostas com mais e menos.

Agora que você dominou os pontos principais e deduziu a fórmula da propriedade de uma progressão geométrica, encontre, conheça e

Compare suas respostas com as corretas:

O que você acha, e se nos dessem não os valores dos membros da progressão geométrica adjacentes ao número desejado, mas equidistantes dele. Por exemplo, precisamos encontrar, e dado e. Podemos usar a fórmula que derivamos neste caso? Tente confirmar ou refutar essa possibilidade da mesma forma, descrevendo em que consiste cada valor, como você fez ao derivar a fórmula desde o início, com.
O que você conseguiu?

Agora olhe com atenção novamente.
e correspondentemente:

A partir disso, podemos concluir que a fórmula funciona não só com os vizinhos com os termos desejados de uma progressão geométrica, mas também com equidistante do que os membros estão procurando.

Assim, nossa fórmula original se torna:

Ou seja, se no primeiro caso dissemos isso, agora dizemos que pode ser igual a qualquer número natural menor. O principal é ser o mesmo para ambos os números dados.

Pratique em exemplos específicos, apenas seja extremamente cuidadoso!

1. , . Achar.
2. , . Achar.
3. , . Achar.

Eu decidi? Espero que você tenha sido extremamente atencioso e tenha notado um pequeno problema.

Comparamos os resultados.

Nos dois primeiros casos, aplicamos calmamente a fórmula acima e obtemos os seguintes valores:

No terceiro caso, após cuidadosa consideração dos números de série dos números que nos são dados, entendemos que eles não são equidistantes do número que estamos procurando: é o número anterior, mas removido em posição, portanto, não é possível para aplicar a fórmula.

Como resolvê-lo? Na verdade não é tão difícil quanto parece! Vamos anotar com você em que consiste cada número dado a nós e o número desejado.

Então temos e. Vamos ver o que podemos fazer com eles. Sugiro dividir. Nós temos:

Substituímos nossos dados na fórmula:

O próximo passo que podemos encontrar - para isso, precisamos tirar a raiz cúbica do número resultante.

Agora vamos olhar novamente para o que temos. Temos, mas precisamos encontrar, e isso, por sua vez, é igual a:

Encontramos todos os dados necessários para o cálculo. Substitua na fórmula:

Nossa resposta: .

Tente resolver outro mesmo problema você mesmo:
Dado: ,
Achar:

Quanto você conseguiu? Eu tenho - .

Como você pode ver, na verdade, você precisa lembre-se de apenas uma fórmula- . Todo o resto você pode retirar sem qualquer dificuldade a qualquer momento. Para fazer isso, basta escrever a progressão geométrica mais simples em um pedaço de papel e anotar a que, de acordo com a fórmula acima, cada um de seus números é igual.

A soma dos termos de uma progressão geométrica.

Agora considere as fórmulas que nos permitem calcular rapidamente a soma dos termos de uma progressão geométrica em um determinado intervalo:

Para derivar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica finita, multiplicamos todas as partes da equação acima por. Nós temos:

Olhe atentamente: o que as duas últimas fórmulas têm em comum? Isso mesmo, membros comuns, por exemplo e assim por diante, exceto o primeiro e o último membro. Vamos tentar subtrair a 1ª equação da 2ª equação. O que você conseguiu?

Agora expresse através da fórmula de um membro de uma progressão geométrica e substitua a expressão resultante em nossa última fórmula:

Agrupe a expressão. Voce deveria pegar:

Tudo o que resta a fazer é expressar:

Assim, neste caso.

E se? Que fórmula funciona então? Imagine uma progressão geométrica em. Como ela é? Corretamente uma série de números idênticos, respectivamente, a fórmula ficará assim:

Tal como acontece com a progressão aritmética e geométrica, existem muitas lendas. Uma delas é a lenda de Seth, o criador do xadrez.

Muitas pessoas sabem que o jogo de xadrez foi inventado na Índia. Quando o rei hindu a conheceu, ficou encantado com sua inteligência e a variedade de posições possíveis nela. Ao saber que foi inventado por um de seus súditos, o rei decidiu recompensá-lo pessoalmente. Chamou o inventor e ordenou que lhe pedisse o que quisesse, prometendo satisfazer até o desejo mais hábil.

Seta pediu tempo para pensar e, no dia seguinte, quando Seta apareceu diante do rei, surpreendeu o rei com a modéstia inigualável de seu pedido. Ele pediu um grão de trigo para o primeiro quadrado do tabuleiro, trigo para o segundo, para o terceiro, para o quarto e assim por diante.

O rei se irritou e expulsou Seth, dizendo que o pedido do servo era indigno da generosidade real, mas prometeu que o servo receberia seus grãos para todas as celas do tabuleiro.

E agora a pergunta é: usando a fórmula da soma dos membros de uma progressão geométrica, calcule quantos grãos Seth deve receber?

Vamos começar a discutir. Como, conforme a condição, Seth pediu um grão de trigo para a primeira célula do tabuleiro, para a segunda, para a terceira, para a quarta etc., vemos que o problema é uma progressão geométrica. O que é igual neste caso?
Corretamente.

Total de células do tabuleiro de xadrez. Respectivamente, . Temos todos os dados, resta apenas substituir na fórmula e calcular.

Para representar pelo menos aproximadamente as "escalas" de um determinado número, transformamos usando as propriedades do grau:

Claro, se você quiser, você pode pegar uma calculadora e calcular que tipo de número você obtém, e se não, você terá que aceitar minha palavra: o valor final da expressão será.
Aquilo é:

quintilhões de quatrilhões de trilhões de bilhões de milhões de milhares.

Ufa) Se você quiser imaginar a enormidade desse número, estime o tamanho do celeiro necessário para acomodar toda a quantidade de grãos.
Com uma altura de celeiro de m e uma largura de m, seu comprimento teria que se estender a km, ou seja, duas vezes mais longe da Terra ao Sol.

Se o rei fosse forte em matemática, ele poderia oferecer ao próprio cientista para contar os grãos, porque para contar um milhão de grãos ele precisaria de pelo menos um dia de contagem incansável, e dado que é preciso contar os quintilhões, os grãos teriam que ser contados durante toda a sua vida.

E agora vamos resolver um problema simples sobre a soma dos termos de uma progressão geométrica.
Vasya, uma aluna da 5ª série, adoeceu com gripe, mas continua indo à escola. Todos os dias, Vasya infecta duas pessoas que, por sua vez, infectam mais duas pessoas e assim por diante. Apenas uma pessoa na classe. Em quantos dias toda a classe ficará gripada?

Assim, o primeiro membro de uma progressão geométrica é Vasya, ou seja, uma pessoa. º membro da progressão geométrica, estas são as duas pessoas que ele infectou no primeiro dia de sua chegada. A soma total dos membros da progressão é igual ao número de alunos 5A. Assim, estamos falando de uma progressão em que:

Vamos substituir nossos dados na fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica:

A classe inteira ficará doente em poucos dias. Não acredita em fórmulas e números? Tente retratar você mesmo a "infecção" dos alunos. Ocorrido? Veja como é para mim:

Calcule você mesmo em quantos dias os alunos ficariam gripados se todos infectassem uma pessoa e houvesse uma pessoa na classe.

Qual valor você conseguiu? Acontece que todos começaram a ficar doentes depois de um dia.

Como você pode ver, tal tarefa e o desenho para ela se assemelham a uma pirâmide, na qual cada subsequente “traz” novas pessoas. No entanto, mais cedo ou mais tarde chega um momento em que o último não pode atrair ninguém. No nosso caso, se imaginarmos que a classe está isolada, a pessoa de fecha a cadeia (). Assim, se uma pessoa estivesse envolvida em uma pirâmide financeira na qual o dinheiro fosse dado se você trouxesse outros dois participantes, então a pessoa (ou no caso geral) não traria ninguém, respectivamente, perderia tudo o que investiu nesse golpe financeiro .

Tudo o que foi dito acima se refere a uma progressão geométrica decrescente ou crescente, mas, como você se lembra, temos um tipo especial - uma progressão geométrica infinitamente decrescente. Como calcular a soma de seus membros? E por que esse tipo de progressão tem certas características? Vamos descobrir juntos.

Então, para começar, vamos olhar novamente para esta imagem de uma progressão geométrica infinitamente decrescente do nosso exemplo:

E agora vamos olhar para a fórmula para a soma de uma progressão geométrica, derivada um pouco antes:
ou

O que estamos nos esforçando? Isso mesmo, o gráfico mostra que tende a zero. Ou seja, quando, for quase igual, respectivamente, ao calcular a expressão, obteremos quase. Nesse sentido, acreditamos que ao calcular a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente, esse colchete pode ser desprezado, pois será igual.

- a fórmula é a soma dos termos de uma progressão geométrica infinitamente decrescente.

IMPORTANTE! Usamos a fórmula para a soma dos termos de uma progressão geométrica infinitamente decrescente somente se a condição declarar explicitamente que precisamos encontrar a soma sem fim o número de membros.

Se um número específico n for indicado, usamos a fórmula para a soma de n termos, mesmo que ou.

E agora vamos praticar.

1. Encontre a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica com e.
2. Encontre a soma dos termos de uma progressão geométrica infinitamente decrescente com e.

Espero que você tenha sido muito cuidadoso. Compare nossas respostas:

Agora você sabe tudo sobre progressão geométrica, e é hora de passar da teoria para a prática. Os problemas exponenciais mais comuns encontrados no exame são problemas de juros compostos. É sobre eles que falaremos.

Problemas para calcular juros compostos.

Você já deve ter ouvido falar da chamada fórmula de juros compostos. Você entende o que ela quer dizer? Se não, vamos descobrir, porque tendo percebido o processo em si, você entenderá imediatamente o que a progressão geométrica tem a ver com isso.

Todos nós vamos ao banco e sabemos que existem diferentes condições para depósitos: este é o prazo e manutenção adicional e juros com duas maneiras diferentes de calculá-lo - simples e complexo.

A PARTIR DE simples interesse tudo é mais ou menos claro: os juros são cobrados uma vez no final do prazo do depósito. Ou seja, se estamos falando de colocar 100 rublos por ano, eles serão creditados apenas no final do ano. Assim, até o final do depósito, receberemos rublos.

Juros compostosé uma opção em que capitalização de juros, ou seja sua adição ao valor do depósito e o cálculo subsequente da renda não do valor inicial, mas do valor acumulado do depósito. A capitalização não ocorre constantemente, mas com alguma periodicidade. Como regra, esses períodos são iguais e na maioria das vezes os bancos usam um mês, um trimestre ou um ano.

Digamos que colocamos todos os mesmos rublos por ano, mas com uma capitalização mensal do depósito. O que obtemos?

Você entende tudo aqui? Se não, vamos passo a passo.

Trouxemos rublos para o banco. Até o final do mês, devemos ter um valor em nossa conta que consiste em nossos rublos mais juros sobre eles, ou seja:

Concordo?

Podemos tirá-lo do suporte e, em seguida, obter:

Concordo, esta fórmula já é mais parecida com a que escrevemos no início. Resta lidar com porcentagens

Na condição do problema, sou informado sobre o anual. Como você sabe, não multiplicamos por - convertemos porcentagens em decimais, ou seja:

Certo? Agora você pergunta, de onde veio o número? Muito simples!
Repito: a condição do problema diz sobre ANUAL juros acumulados POR MÊS. Como você sabe, em um ano de meses, respectivamente, o banco nos cobrará uma parte dos juros anuais por mês:

Percebi? Agora tente escrever como seria essa parte da fórmula se eu dissesse que os juros são calculados diariamente.
Você conseguiu? Vamos comparar os resultados:

Bem feito! Vamos voltar à nossa tarefa: anote quanto será creditado em nossa conta pelo segundo mês, levando em consideração que são cobrados juros sobre o valor do depósito acumulado.
Aqui está o que aconteceu comigo:

Ou, em outras palavras:

Acho que você já notou um padrão e viu uma progressão geométrica em tudo isso. Escreva quanto seu membro será igual, ou, em outras palavras, quanto dinheiro vamos receber no final do mês.
Fez? Verificando!

Como você pode ver, se você colocar dinheiro em um banco por um ano a juros simples, receberá rublos e, se o colocar a uma taxa composta, receberá rublos. O benefício é pequeno, mas isso acontece apenas durante o milésimo ano, mas por um período maior, a capitalização é muito mais lucrativa:

Considere outro tipo de problema de juros compostos. Depois do que você descobriu, será elementar para você. Então a tarefa é:

A Zvezda começou a investir no setor em 2000 com um capital em dólar. Todos os anos, desde 2001, obteve um lucro igual ao capital do ano anterior. Qual será o lucro da empresa Zvezda no final de 2003, se o lucro não for retirado de circulação?

O capital da empresa Zvezda em 2000.
- o capital da empresa Zvezda em 2001.
- o capital da empresa Zvezda em 2002.
- o capital da empresa Zvezda em 2003.

Ou podemos escrever brevemente:

Para o nosso caso:

2000, 2001, 2002 e 2003.

Respectivamente:
rublos
Observe que neste problema não temos uma divisão nem por nem por, pois a porcentagem é dada ANUALMENTE e é calculada ANUALMENTE. Ou seja, ao ler o problema para juros compostos, preste atenção em qual percentual é dado e em que período é cobrado, para só então proceder aos cálculos.
Agora você sabe tudo sobre progressão geométrica.

Treino.

1. Encontre um termo de uma progressão geométrica se for conhecido que, e
2. Encontre a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica, se for conhecido, e
3. A MDM Capital começou a investir no setor em 2003 com um capital em dólar. Todos os anos, desde 2004, ela obtém um lucro igual ao capital do ano anterior. A empresa "MSK Cash Flows" começou a investir no setor em 2005 no valor de $ 10.000, começando a obter lucro em 2006 no valor de. Em quantos dólares o capital de uma empresa excede o de outra no final de 2007, se os lucros não foram retirados de circulação?

Respostas:

1. Como a condição do problema não diz que a progressão é infinita e é necessário encontrar a soma de um número específico de seus membros, o cálculo é realizado de acordo com a fórmula:
2. 
   Empresa "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - aumenta em 100%, ou seja, 2 vezes.
   Respectivamente:
   rublos
   Fluxos de caixa MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - aumenta, ou seja, vezes.
   Respectivamente:
   rublos
   rublos

Vamos resumir.

1) Uma progressão geométrica ( ) é uma sequência numérica, cujo primeiro termo é diferente de zero, e cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número. Esse número é chamado de denominador de uma progressão geométrica.

2) A equação dos membros de uma progressão geométrica -.

3) pode assumir qualquer valor, exceto e.

• se, então, todos os membros subsequentes da progressão têm o mesmo sinal - eles positivo;
• se, então todos os membros subsequentes da progressão sinais alternados;
• quando - a progressão é chamada infinitamente decrescente.

4) , em - propriedade de uma progressão geométrica (membros vizinhos)

ou
, em (termos equidistantes)

Quando você encontrá-lo, não se esqueça que deve haver duas respostas..

Por exemplo,

5) A soma dos membros de uma progressão geométrica é calculada pela fórmula:
ou

Se a progressão é infinitamente decrescente, então:
ou

IMPORTANTE! Usamos a fórmula para a soma dos termos de uma progressão geométrica infinitamente decrescente somente se a condição declarar explicitamente que é necessário encontrar a soma de um número infinito de termos.

6) As tarefas de juros compostos também são calculadas de acordo com a fórmula do décimo membro de uma progressão geométrica, desde que os fundos não tenham sido retirados de circulação:

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA. BREVEMENTE SOBRE O PRINCIPAL

Progressão geométrica( ) é uma sequência numérica, cujo primeiro termo é diferente de zero, e cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número. Este número é chamado o denominador de uma progressão geométrica.

Denominador de uma progressão geométrica pode assumir qualquer valor, exceto e.

• Se todos os membros subsequentes da progressão tiverem o mesmo sinal - eles são positivos;
• se, então, todos os membros subsequentes da progressão alternam os sinais;
• quando - a progressão é chamada infinitamente decrescente.

Equação de membros de uma progressão geométrica - .

A soma dos termos de uma progressão geométrica calculado pela fórmula:
ou

Vamos considerar uma série.

7 28 112 448 1792...

É absolutamente claro que o valor de qualquer um de seus elementos é exatamente quatro vezes maior que o anterior. Portanto, esta série é uma progressão.

Uma progressão geométrica é uma sequência infinita de números, cuja principal característica é que o próximo número é obtido do anterior multiplicando por algum número específico. Isso é expresso pela fórmula a seguir.

a z +1 =a z q, onde z é o número do elemento selecionado.

Assim, z ∈ N.

O período em que uma progressão geométrica é estudada na escola é o 9º ano. Exemplos ajudarão você a entender o conceito:

0.25 0.125 0.0625...

Com base nesta fórmula, o denominador da progressão pode ser encontrado da seguinte forma:

Nem q nem b z podem ser zero. Além disso, cada um dos elementos da progressão não deve ser igual a zero.

Assim, para descobrir o próximo número da série, você precisa multiplicar o último por q.

Para especificar essa progressão, você deve especificar seu primeiro elemento e denominador. Depois disso, é possível encontrar qualquer um dos termos subsequentes e sua soma.

Variedades

Dependendo de q e a 1, essa progressão é dividida em vários tipos:

• Se tanto a 1 quanto q são maiores que um, então tal sequência é uma progressão geométrica crescente com cada elemento seguinte. Um exemplo disso é apresentado a seguir.

Exemplo: a 1 =3, q=2 - ambos os parâmetros são maiores que um.

Então a sequência numérica pode ser escrita assim:

3 6 12 24 48 ...

• Se |q| menos de um, ou seja, a multiplicação por ele equivale à divisão, então uma progressão com condições semelhantes é uma progressão geométrica decrescente. Um exemplo disso é apresentado a seguir.

Exemplo: a 1 =6, q=1/3 - a 1 é maior que um, q é menor.

Então a sequência numérica pode ser escrita da seguinte forma:

6 2 2/3 ... - qualquer elemento é 3 vezes maior que o elemento que o segue.

• Variável de sinal. Se q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Exemplo: a 1 = -3 , q = -2 - ambos os parâmetros são menores que zero.

Então a sequência pode ser escrita assim:

3, 6, -12, 24,...

Fórmulas

Para uso conveniente de progressões geométricas, existem muitas fórmulas:

• Fórmula do membro z-ésimo. Permite calcular o elemento sob um número específico sem calcular os números anteriores.

Exemplo:q = 3, uma 1 = 4. É necessário calcular o quarto elemento da progressão.

Solução:uma 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• A soma dos primeiros elementos cujo número é z. Permite calcular a soma de todos os elementos de uma sequência atéazinclusivo.

Desde (1-q) está no denominador, então (1 - q)≠ 0, portanto q não é igual a 1.

Nota: se q=1, então a progressão seria uma série de um número infinitamente repetido.

A soma de uma progressão geométrica, exemplos:uma 1 = 2, q= -2. Calcule S 5 .

Solução:S 5 = 22 - cálculo por fórmula.

• Montante se |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Exemplo:uma 1 = 2 , q= 0,5. Encontre a quantidade.

Solução:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Algumas propriedades:

• propriedade característica. Se a seguinte condição realizado para qualquerz, então a série numérica dada é uma progressão geométrica:

az 2 = az -1 · umaz+1

• Além disso, o quadrado de qualquer número de uma progressão geométrica é encontrado pela soma dos quadrados de quaisquer outros dois números em uma determinada série, se eles forem equidistantes desse elemento.

az 2 = az - t 2 + az + t 2 , Ondeté a distância entre esses números.

• Elementosdiferem em quma vez.
• Os logaritmos dos elementos de progressão também formam uma progressão, mas já aritmética, ou seja, cada um deles é maior que o anterior por um determinado número.

Exemplos de alguns problemas clássicos

Para entender melhor o que é uma progressão geométrica, exemplos com uma solução para o 9º ano podem ajudar.

• Termos:uma 1 = 3, uma 3 = 48. Encontrarq.

Solução: cada elemento subsequente é maior que o anterior emq uma vez.É necessário expressar alguns elementos por meio de outros usando um denominador.

Consequentemente,uma 3 = q 2 · uma 1

Ao substituirq= 4

• Termos:uma 2 = 6, uma 3 = 12. Calcule S 6 .

Solução:Para fazer isso, basta encontrar q, o primeiro elemento e substituí-lo na fórmula.

uma 3 = q· uma 2 , Consequentemente,q= 2

a 2 = q um 1,é por isso um 1 = 3

S 6 = 189

• · uma 1 = 10, q= -2. Encontre o quarto elemento da progressão.

Solução: para isso, basta expressar o quarto elemento pelo primeiro e pelo denominador.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Exemplo de aplicação:

• O cliente do banco fez um depósito no valor de 10.000 rublos, nos termos dos quais a cada ano o cliente adicionará 6% ao valor principal. Quanto dinheiro estará na conta após 4 anos?

Solução: O valor inicial é de 10 mil rublos. Assim, um ano após o investimento, a conta terá um valor igual a 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10.000 1,06

Assim, o valor na conta após mais um ano será expresso da seguinte forma:

(10.000 1,06) 0,06 + 10.000 1,06 = 1,06 1,06 10.000

Ou seja, a cada ano o valor aumenta em 1,06 vezes. Isso significa que para encontrar a quantidade de fundos na conta após 4 anos, basta encontrar o quarto elemento da progressão, que é dado pelo primeiro elemento igual a 10 mil e o denominador igual a 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Exemplos de tarefas para calcular a soma:

Em vários problemas, uma progressão geométrica é usada. Um exemplo para encontrar a soma pode ser dado da seguinte forma:

uma 1 = 4, q= 2, calculeS5.

Solução: todos os dados necessários para o cálculo são conhecidos, basta substituí-los na fórmula.

S 5 = 124

• uma 2 = 6, uma 3 = 18. Calcule a soma dos seis primeiros elementos.

Solução:

Geom. progressão, cada próximo elemento é q vezes maior que o anterior, ou seja, para calcular a soma, você precisa conhecer o elementouma 1 e denominadorq.

uma 2 · q = uma 3

q = 3

Da mesma forma, precisamos encontraruma 1 , sabendouma 2 eq.

uma 1 · q = uma 2

um 1 =2

S 6 = 728.

A progressão geométrica, juntamente com a aritmética, é uma importante série numérica que é estudada no curso de álgebra escolar no 9º ano. Neste artigo, consideraremos o denominador de uma progressão geométrica e como seu valor afeta suas propriedades.

Definição de progressão geométrica

Para começar, damos a definição desta série numérica. Uma progressão geométrica é uma série de números racionais que é formada pela multiplicação sucessiva de seu primeiro elemento por um número constante chamado denominador.

Por exemplo, os números da série 3, 6, 12, 24, ... são uma progressão geométrica, porque se multiplicarmos 3 (o primeiro elemento) por 2, obtemos 6. Se multiplicarmos 6 por 2, obtemos 12, e assim por diante.

Os membros da sequência em consideração são geralmente denotados pelo símbolo ai, onde i é um número inteiro que indica o número do elemento na série.

A definição acima de uma progressão pode ser escrita na linguagem da matemática da seguinte forma: an = bn-1 * a1, onde b é o denominador. É fácil verificar esta fórmula: se n = 1, então b1-1 = 1, e obtemos a1 = a1. Se n = 2, então an = b * a1, e novamente chegamos à definição da série de números em consideração. Raciocínio semelhante pode ser continuado para grandes valores de n.

O denominador de uma progressão geométrica

O número b determina completamente qual caractere toda a série numérica terá. O denominador b pode ser positivo, negativo e também ter um valor maior ou menor que um. Todas as opções acima levam a diferentes sequências:

• b > 1. Há uma série crescente de números racionais. Por exemplo, 1, 2, 4, 8, ... Se o elemento a1 for negativo, toda a sequência aumentará apenas o módulo, mas diminuirá levando em consideração o sinal dos números.
• b = 1. Muitas vezes, esse caso não é chamado de progressão, pois existe uma série ordinária de números racionais idênticos. Por exemplo, -4, -4, -4.

Fórmula para soma

Antes de passar à consideração de problemas específicos usando o denominador do tipo de progressão em consideração, uma importante fórmula deve ser dada para a soma de seus n primeiros elementos. A fórmula é: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Você mesmo pode obter essa expressão se considerar uma sequência recursiva de membros da progressão. Observe também que na fórmula acima, basta conhecer apenas o primeiro elemento e o denominador para encontrar a soma de um número arbitrário de termos.

Sequência infinitamente decrescente

Acima foi uma explicação do que é. Agora, conhecendo a fórmula para Sn, vamos aplicá-la a esta série numérica. Como qualquer número cujo módulo não exceda 1 tende a zero quando elevado a grandes potências, ou seja, b∞ => 0 se -1

Como a diferença (1 - b) será sempre positiva, independentemente do valor do denominador, o sinal da soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente S∞ é determinado unicamente pelo sinal do seu primeiro elemento a1.

Agora vamos considerar vários problemas, onde mostraremos como aplicar o conhecimento adquirido a números específicos.

Tarefa número 1. Cálculo de elementos desconhecidos da progressão e a soma

Dada uma progressão geométrica, o denominador da progressão é 2, e seu primeiro elemento é 3. Quais serão seus 7º e 10º termos, e qual é a soma de seus sete elementos iniciais?

A condição do problema é bastante simples e envolve o uso direto das fórmulas acima. Então, para calcular o elemento com número n, usamos a expressão an = bn-1 * a1. Para o 7º elemento temos: a7 = b6 * a1, substituindo os dados conhecidos, temos: a7 = 26 * 3 = 192. Fazemos o mesmo para o 10º membro: a10 = 29 * 3 = 1536.

Usamos a conhecida fórmula da soma e determinamos esse valor para os 7 primeiros elementos da série. Temos: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Tarefa número 2. Determinando a soma de elementos arbitrários da progressão

Seja -2 o denominador da progressão exponencial bn-1 * 4, onde n é um inteiro. É necessário determinar a soma do 5º ao 10º elemento desta série, inclusive.

O problema proposto não pode ser resolvido diretamente usando fórmulas conhecidas. Pode ser resolvido de 2 maneiras diferentes. Por uma questão de completude, apresentamos ambos.

Método 1. Sua ideia é simples: você precisa calcular as duas somas correspondentes dos primeiros termos e depois subtrair o outro de um. Calcule a menor soma: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Agora calculamos a grande soma: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Observe que na última expressão, apenas 4 termos foram somados, pois o 5º já está incluído na soma que precisa ser calculada de acordo com a condição do problema. Por fim, tiramos a diferença: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Método 2. Antes de substituir os números e contar, você pode obter uma fórmula para a soma entre os termos m e n da série em questão. Agimos exatamente da mesma forma que no método 1, só que primeiro trabalhamos com a representação simbólica da soma. Temos: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Você pode substituir números conhecidos na expressão resultante e calcular o resultado final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Tarefa número 3. Qual é o denominador?

Seja a1 = 2, encontre o denominador da progressão geométrica, desde que sua soma infinita seja 3, e saiba-se que esta é uma série decrescente de números.

De acordo com a condição do problema, não é difícil adivinhar qual fórmula deve ser usada para resolvê-lo. Claro, para a soma de uma progressão infinitamente decrescente. Temos: S∞ = a1 / (1 - b). De onde expressamos o denominador: b = 1 - a1 / S∞. Resta substituir os valores conhecidos e obter o número necessário: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 ou -0,333 (3). Podemos verificar este resultado qualitativamente se lembrarmos que para este tipo de sequência, o módulo b não deve ultrapassar 1. Como você pode ver, |-1 / 3|

Tarefa número 4. Restaurando uma série de números

Sejam dados 2 elementos de uma série numérica, por exemplo, o 5º é igual a 30 e o 10º é igual a 60. É necessário restaurar toda a série a partir desses dados, sabendo que ela satisfaz as propriedades de uma progressão geométrica.

Para resolver o problema, você deve primeiro escrever a expressão correspondente para cada membro conhecido. Temos: a5 = b4 * a1 e a10 = b9 * a1. Agora dividimos a segunda expressão pela primeira, obtemos: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. A partir daqui, determinamos o denominador tomando a raiz de quinto grau da razão dos membros conhecidos da condição do problema, b = 1,148698. Substituímos o número resultante em uma das expressões para um elemento conhecido, obtemos: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Assim, descobrimos qual é o denominador da progressão bn, e a progressão geométrica bn-1 * 17,2304966 = an, onde b = 1,148698.

Onde as progressões geométricas são usadas?

Se não houvesse aplicação dessa série numérica na prática, seu estudo ficaria reduzido a um interesse puramente teórico. Mas existe tal aplicação.

Os 3 exemplos mais famosos estão listados abaixo:

• O paradoxo de Zenão, no qual o ágil Aquiles não consegue alcançar a lenta tartaruga, é resolvido usando o conceito de uma sequência de números infinitamente decrescente.
• Se os grãos de trigo forem colocados em cada célula do tabuleiro de modo que 1 grão seja colocado na 1ª célula, 2 - na 2ª, 3 - na 3ª e assim por diante, serão necessários 18446744073709551615 grãos para preencher todas as células do o quadro!
• No jogo "Torre de Hanói", para reorganizar os discos de uma haste para outra, é necessário realizar 2n - 1 operações, ou seja, seu número cresce exponencialmente a partir do número de discos n usados.

Matemática é o queas pessoas controlam a natureza e a si mesmas.

O matemático soviético, acadêmico A.N. Kolmogorov

Progressão geométrica.

Juntamente com as tarefas de progressão aritmética, tarefas relacionadas ao conceito de progressão geométrica também são comuns em testes de entrada em matemática. Para resolver esses problemas com sucesso, você precisa conhecer as propriedades de uma progressão geométrica e ter boas habilidades em usá-las.

Este artigo é dedicado à apresentação das principais propriedades de uma progressão geométrica. Ele também fornece exemplos de resolução de problemas típicos, emprestado das tarefas de testes de admissão em matemática.

Vamos observar preliminarmente as principais propriedades de uma progressão geométrica e relembrar as fórmulas e declarações mais importantes, associados a este conceito.

Definição. Uma sequência numérica é chamada de progressão geométrica se cada um de seus números, a partir do segundo, for igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número. O número é chamado de denominador de uma progressão geométrica.

Para uma progressão geométricaas fórmulas são válidas

, (1)

Onde . A fórmula (1) é chamada de fórmula do termo geral de uma progressão geométrica, e a fórmula (2) é a principal propriedade de uma progressão geométrica: cada membro da progressão coincide com a média geométrica de seus membros vizinhos e .

Observação, que é justamente por causa dessa propriedade que a progressão em questão é chamada de "geométrica".

As fórmulas (1) e (2) acima são resumidas da seguinte forma:

, (3)

Para calcular a soma primeiro membros de uma progressão geométricaa fórmula se aplica

se nós designássemos

Onde . Como , a fórmula (6) é uma generalização da fórmula (5).

No caso em que e progressão geométricaé infinitamente decrescente. Para calcular a somade todos os membros de uma progressão geométrica infinitamente decrescente, a fórmula é usada

. (7)

Por exemplo , usando a fórmula (7), pode-se mostrar, o que

Onde . Essas igualdades são obtidas pela fórmula (7) desde que , (a primeira igualdade) e , (a segunda igualdade).

Teorema. Se então

Prova. Se então ,

O teorema foi provado.

Vamos passar a considerar exemplos de resolução de problemas no tópico "Progressão geométrica".

Exemplo 1 Dado: , e . Achar .

Solução. Se a fórmula (5) for aplicada, então

Responda: .

Exemplo 2 Deixe e. Achar .

Solução. Como e , usamos as fórmulas (5), (6) e obtemos o sistema de equações

Se a segunda equação do sistema (9) for dividida pela primeira, então ou . A partir disso segue . Vamos considerar dois casos.

1. Se , então da primeira equação do sistema (9) temos.

2. Se , então .

Exemplo 3 Deixe , e . Achar .

Solução. Segue da fórmula (2) que ou . Desde , então ou .

Por condição. No entanto, portanto . Porque e, então aqui temos um sistema de equações

Se a segunda equação do sistema for dividida pela primeira, então ou .

Desde , a equação tem uma única raiz adequada . Neste caso, a primeira equação do sistema implica .

Levando em conta a fórmula (7), obtemos.

Responda: .

Exemplo 4 Dado: e . Achar .

Solução. Desde então .

Porque então ou

De acordo com a fórmula (2), temos . A este respeito, da igualdade (10) obtemos ou .

No entanto, por condição , portanto .

Exemplo 5 Sabe-se que . Achar .

Solução. De acordo com o teorema, temos duas igualdades

Desde , então ou . Porque , então .

Responda: .

Exemplo 6 Dado: e . Achar .

Solução. Levando em conta a fórmula (5), obtemos

Desde então . Desde , e , então .

Exemplo 7 Deixe e. Achar .

Solução. Pela fórmula (1), podemos escrever

Portanto, temos ou . Sabe-se que e , portanto e .

Responda: .

Exemplo 8 Encontre o denominador de uma progressão geométrica infinita decrescente se

e .

Solução. Da fórmula (7) segue e . A partir daqui e da condição do problema, obtemos o sistema de equações

Se a primeira equação do sistema for elevada ao quadrado, e depois divida a equação resultante pela segunda equação, então obtemos

Ou .

Responda: .

Exemplo 9 Encontre todos os valores para os quais a sequência , , é uma progressão geométrica.

Solução. Deixe , e . De acordo com a fórmula (2), que define a principal propriedade de uma progressão geométrica, podemos escrever ou .

A partir daqui, obtemos a equação quadrática, cujas raízes são e .

Vamos verificar: se, então , e ; se , então , e .

No primeiro caso temos e , e no segundo - e .

Responda: , .

Exemplo 10resolva a equação

, (11)

onde e .

Solução. O lado esquerdo da equação (11) é a soma de uma progressão geométrica infinita decrescente, na qual e , fornecido: e .

Da fórmula (7) segue, o que . A este respeito, a equação (11) assume a forma ou . raiz adequada equação quadrática é

Responda: .

Exemplo 11. P sequência de números positivosforma uma progressão aritmética, uma - progressão geométrica, o que isso tem a ver com . Achar .

Solução. Porque sequência aritmética, então (a principal propriedade de uma progressão aritmética). Porque o, então ou . Isso implica , que a progressão geométrica é. De acordo com a fórmula (2), então escrevemos isso .

Desde e , então . Nesse caso, a expressão toma a forma ou . Por condição, então da equaçãoobtemos a solução única do problema em consideração, ou seja .

Responda: .

Exemplo 12. Calcular soma

. (12)

Solução. Multiplique os dois lados da igualdade (12) por 5 e obtenha

Se subtrairmos (12) da expressão resultante, então

ou .

Para calcular, substituímos os valores na fórmula (7) e obtemos . Desde então .

Responda: .

Os exemplos de resolução de problemas apresentados aqui serão úteis para os candidatos em preparação para os exames de admissão. Para um estudo mais profundo dos métodos de resolução de problemas, associada a uma progressão geométrica, você pode usar os tutoriais da lista de literatura recomendada.

1. Recolha de tarefas em matemática para candidatos a universidades técnicas / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matemática para alunos do ensino médio: seções adicionais do currículo escolar. – M.: Lenand/URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Um curso completo de matemática elementar em tarefas e exercícios. Livro 2: Sequências numéricas e progressões. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

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