Ângulos com lados mutuamente paralelos, ângulos com lados mutuamente perpendiculares. O ensino da planimetria em um curso escolar.

Um ângulo é uma parte de um plano limitada por dois raios que partem do mesmo ponto. Os raios que delimitam o ângulo são chamados de lados do ângulo. O ponto de onde os raios saem é chamado de ápice do ângulo.

Esquema de designação de ângulo Considere o exemplo do ângulo mostrado na Figura 1.

O ângulo mostrado na Figura 1 pode ser designado de três maneiras:

Ângulos são chamados ângulos iguais se eles podem ser combinados.

Se, na intersecção de duas linhas, quatro ângulos iguais , então tais ângulos são chamados de ângulos retos (Fig. 2). As linhas que se cruzam e formam ângulos retos são chamadas linhas perpendiculares.

Se uma linha é traçada através de um ponto A, não estando na linha l, perpendicular à linha l e cruzando a linha l até o ponto B, então eles dizem que a partir do ponto B caiu perpendicular a AB à linha l(Fig. 3). O ponto B é chamado a base da perpendicular AB.

Observação. O comprimento do segmento AB é chamado distância do ponto A à linha l.

Ângulo de 1° (um grau)é chamado de ângulo um nonagésimo ângulo certo.

Um ângulo que é k vezes maior que um ângulo de 1° é chamado de ângulo de k° (k graus).

Os ângulos também são medidos em radianos. Você pode ler sobre radianos na seção de nosso guia “Medição de ângulos. Graus e radianos".

Tabela 1 - Tipos de ângulos em função do valor em graus

Foto	Tipos de canto	Propriedades do canto
	Ângulo certo	O ângulo reto é 90°
	Canto afiado	Ângulo agudo menor que 90°
	Ângulo obtuso	Ângulo obtuso maior que 90° mas menor que 180°
	Ângulo expandido	O ângulo desenvolvido é de 180°
		Este ângulo é maior que 180°, mas menor que 360°
	ângulo completo	O ângulo total é de 360°
	Ângulo igual a zero	Este ângulo é 0°

Ângulo certo

Propriedade: O ângulo reto é 90°

Canto afiado

Propriedade: Ângulo agudo menor que 90°

Ângulo obtuso

Propriedade: Ângulo obtuso maior que 90° mas menor que 180°

Ângulo expandido

Propriedade: O ângulo desenvolvido é de 180°

Ângulo maior que o ângulo

Propriedade: Este ângulo é maior que 180°, mas menor que 360°

ângulo completo

Propriedade: O ângulo total é de 360°

Ângulo igual a zero

Propriedade: Este ângulo é 0°

Tabela 2 - Tipos de cantos dependendo da localização das laterais

Foto	Tipos de canto	Propriedades do canto
	Ângulos verticais	Os ângulos verticais são iguais
	Cantos adjacentes	A soma dos ângulos adjacentes é 180°
		Ângulos com lados respectivamente paralelos são iguais se ambos são agudos ou ambos são obtusos
		A soma dos ângulos com lados correspondentemente paralelos é 180° se um deles é agudo e o outro é obtuso
		Ângulos com lados respectivamente perpendiculares são iguais se ambos são agudos ou ambos são obtusos
		A soma dos ângulos com lados respectivamente perpendiculares é 180° se um deles é agudo e o outro é obtuso

Ângulos verticais

Propriedade dos cantos verticais: Os ângulos verticais são iguais

Cantos adjacentes

Propriedade dos cantos adjacentes: A soma dos ângulos adjacentes é 180°

Ângulos com lados respectivamente paralelos

Ângulos com lados respectivamente paralelos são iguais se ambos são agudos ou ambos são obtusos

Propriedade dos ângulos com lados correspondentemente paralelos: A soma dos ângulos com lados correspondentemente paralelos é 180° se um deles é agudo e o outro é obtuso

Ângulos com lados respectivamente perpendiculares

Ângulos com lados respectivamente perpendiculares são iguais se ambos são agudos ou ambos são obtusos

Propriedade dos ângulos com lados respectivamente perpendiculares: A soma dos ângulos com lados respectivamente perpendiculares é 180° se um deles é agudo e o outro é obtuso

Definição. A bissetriz de um ângulo é um raio que corta um ângulo ao meio.

Tarefa . Prove que as bissetrizes de ângulos adjacentes são perpendiculares a .

Decisão. Considere a Figura 4.

Nesta figura, os ângulos AOB e BOC são adjacentes, e os raios OE e OD são as bissetrizes desses ângulos. Na medida em que

2α + 2β = 180°.

Q.E.D.

Em nosso site você também pode conhecer os materiais didáticos desenvolvidos pelos professores do centro de formação Resolventa para a preparação para o Exame Estadual Unificado e o OGE em matemática.

Para crianças em idade escolar que querem se preparar bem e passar no exame ou OGE em matemática ou russo para uma pontuação alta O centro educacional"Resolvente" detém

Também organizamos para crianças em idade escolar

53. Cantos (cantos internos) de um triângulo três ângulos são chamados, cada um dos quais é formado por três raios que saem dos vértices do triângulo e passam por outros dois vértices.

54. Teorema da soma do triângulo dos ângulos. A soma dos ângulos de um triângulo é 180°.

55. canto externo triângulo é chamado de ângulo adjacente a qualquer ângulo desse triângulo.

56. canto externo triângulo é igual à soma de dois ângulos do triângulo que não são adjacentes a ele.

57. Se todos os três cantos triângulo focado, então o triângulo é chamado ângulo agudo.

58. Se um dos cantos triângulo cego, então o triângulo é chamado obtuso.

59. Se um dos cantos triângulo Em linha reta, então o triângulo é chamado retangular.

60. Parte triângulo retângulo deitado em frente ao ângulo reto é chamado hipotenusa(palavra grega gyipotenusa - “contrair”), e os dois lados formando um ângulo reto - pernas(palavra latina katetos - "prumo") .

61. Teorema da relação entre os lados e os ângulos de um triângulo. Em um triângulo um ângulo maior fica oposto ao lado maior, e volta, o lado maior é oposto ao ângulo maior.

62. Em um triângulo retângulo a hipotenusa é mais longa que a perna.

Porque o lado maior sempre fica oposto ao ângulo maior.

Sinais de um triângulo isósceles.

Se em um triângulo dois ângulos são iguais, então é isósceles;

Se em um triângulo a bissetriz é a mediana ou altura,
então este triângulo é isósceles;

Se em um triângulo a mediana é a bissetriz ou altura, então

este triângulo é isósceles;

Se em um triângulo a altura é a mediana ou bissetriz,

então o triângulo é isósceles.

64. Teorema. desigualdade triangular. O comprimento de cada lado do triângulo é maior que a diferença e menos do que a quantidade os comprimentos dos outros dois lados:

Propriedades dos ângulos de um triângulo retângulo.

A soma de dois ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90°.

UMA + B = 90°

66. Propriedades de um triângulo retângulo.

O cateto de um triângulo retângulo oposto a um ângulo de 30° é igual à metade da hipotenusa.

Se um/ A \u003d 30 °, então BC = ½ AB

67. Propriedades de um triângulo retângulo.

a) Se o cateto de um triângulo retângulo é metade da hipotenusa, então o ângulo oposto a esse cateto é 30°.

Se BC = ½ AB, então / B = 30°

B) A mediana traçada para a hipotenusa é igual a metade da hipotenusa.

mediana CF = ½ AB

Um sinal de igualdade de triângulos retângulos ao longo de duas pernas.

Se os catetos de um triângulo retângulo são respectivamente iguais aos catetos de outro, então tais triângulos são congruentes.

Ensino de planimetria em curso escolar.

Liceu nº 000

Liceu nº 000.

“Se um e o mesmo caso for confiado

dois igualmente ignorantes disso

pessoas e um deles é um matemático,

então o matemático fará melhor,

Introdução

Domínio de quase qualquer profissão moderna requer algum conhecimento matemático. A ideia do papel da matemática na mundo moderno, o conhecimento matemático tornou-se um componente necessário da cultura geral. Para a auto-realização da vida, oportunidades atividade produtiva no mundo da informação, é necessária uma base matemática suficientemente forte.

O papel e o lugar da matemática na ciência e na vida da sociedade, o valor da educação matemática, a humanização e humanização da educação, a compreensão do assunto da matemática, a estrutura da personalidade determinam os objetivos da educação matemática. Existem três grupos de objetivos, correlacionando-os com as funções educativas gerais, educativas e práticas.

Ø A educação matemática inclui o domínio do sistema de conhecimento matemático, habilidades e habilidades, dando uma idéia do assunto da matemática, sua linguagem e símbolos, períodos de desenvolvimento, modelagem matemática, técnicas matemáticas especiais, métodos científicos gerais básicos de cognição.

Ø Formação da visão de mundo dos alunos, os componentes lógicos e heurísticos do pensamento, a educação da moralidade, a cultura da comunicação, a independência, a atividade, a educação da diligência, a responsabilidade pela tomada de decisões, o desejo de auto-realização.

Ø A concretização dos componentes individuais dos objetivos é importante para a construção de um conjunto de objetivos de aula, adequação ao conteúdo da disciplina material educacional. A transformação dos objetivos da educação em ações permitirá diagnosticar e gerenciar o processo de domínio de conhecimentos, habilidades, desenvolvimento e formação do aluno.

Ao nível de um processo educativo real, os objetivos de aprendizagem já são formados tendo em conta as características dos alunos, as possibilidades de diferenciação da sua aprendizagem.

No processo de atividade matemática dos alunos, o arsenal de técnicas e métodos de pensamento inclui indução e dedução, generalização e concretização, análise e síntese, classificação e sistematização, abstração, analogia. Os objetos das inferências matemáticas e as regras para sua construção revelam o mecanismo das construções lógicas, desenvolvem a capacidade de formular, fundamentar e provar julgamentos, desenvolvendo assim o pensamento lógico. O papel principal pertence à matemática na formação do pensamento algorítmico, no desenvolvimento da capacidade de agir de acordo com um determinado algoritmo e construir novos no decorrer da resolução de problemas, a base da atividade educacional nas aulas de matemática. Os lados criativo e aplicado do pensamento estão se desenvolvendo.

objeções à redução do curso de matemática escolar;

Considerar o programa do curso sobrecarregado com informações desnecessárias ou muito especiais (por exemplo, muitas fórmulas a serem memorizadas);

falar sobre a aparente insuficiência das horas atribuídas à matemática (como principal ferramenta para o desenvolvimento pensamento lógico escolares, etc.);

os requisitos do curso de matemática escolar e dos exames de admissão; qualificação dos professores de matemática, porque qualquer reforma da educação, qualquer reestruturação do programa está fadada ao sucesso apenas se os professores estiverem preparados para isso com antecedência e de forma abrangente.

Atualmente, existem muitos livros didáticos para cada paralelo no arsenal do professor. Ao escolher um determinado sistema, cada professor, é claro, parte de seus próprios critérios e das especificidades da instituição de ensino. No entanto, é necessário ter em conta a possibilidade de implementação de sucessivas ligações entre cursos, bem como analisar a possibilidade de organizar aprendizado diferenciado. O professor, dependendo das condições específicas de trabalho, do nível de formação dos alunos, pode organizar um processo educacional. O aluno recebe oportunidade real, estudando em uma classe e de acordo com um programa, escolha o nível de assimilação que corresponde às suas necessidades, interesses, habilidades. O mínimo obrigatório em matemática determina a lista de questões que devem ser apresentadas no programa e nos livros didáticos de matemática, independentemente de seu nível e foco. Em outras palavras, programas e livros didáticos específicos utilizados em uma instituição podem ampliar esse nível, mas não reduzi-lo ou constrangê-lo.

A escolha do nível de preparação matemática deve ser determinada pelas necessidades dos alunos, portanto, em instituições educacionais humanitário, jurídico e outros perfis, é aconselhável usar um programa aprofundado em matemática, pois seus graduados também frequentam universidades técnicas, além disso, é necessária matemática séria para a formação e desenvolvimento do pensamento lógico.

A essência da geometria é contraditória: "... nela se estudam diretamente figuras geométricas ideais, que não existem na realidade, mas suas conclusões são aplicáveis ​​a coisas reais, a problemas práticos". A tarefa de qualquer professor é aproximar os alunos de sua compreensão, sem obscurecer a própria geometria das crianças em idade escolar com inúmeras pesquisas, testes, testes, para permitir que as crianças escolham o nível de conhecimento da geometria. Toda escolha é digna do objetivo que o aluno enfrenta, às vezes determinado intuitivamente, mas livremente. Muitas vezes a busca teimosa do objetivo, a persistência em alcançá-lo são completamente sem sentido, especialmente se o objetivo do professor não for o objetivo do aluno. Provavelmente, vale a pena tentar aprender a organizar as atividades dos alunos nas aulas de geometria para que eles não fiquem algemados por nossos objetivos, nossas perguntas, para que estejam abertos a todas as percepções. Uma criança vai para a escola com muitas perguntas, mas a própria escola preparou várias vezes mais perguntas para ela. Ela também responde suas próprias perguntas e até se irrita quando suas respostas são mal percebidas.

Uma das formas de cognição consiste nas seguintes etapas: um pensamento, uma cadeia de pensamentos e, finalmente, um resultado desejado estritamente logicamente justificado da busca. Segundo, mais caminho aberto Gostaria de implementar através do generoso conjunto de tarefas propostas para cada tópico. Ao usar esse caminho, o pensamento não desacelera a fantasia, não fecha a busca intuitiva, não há busca de pensamentos, não há salto rápido para a meta, mas a percepção calma, sem pressa, a observação reina, a sensibilidade aparece, parece um estranho, mas às vezes é esse estranho que enriquece a busca, leva ao objetivo. Quantas vezes na aula apressamos as crianças, empurramos como um chicote com as palavras: “Pense. Acho." Ou quem sabe realmente, quem procura demais pode não ter tempo de encontrar?

Nossa tarefa com você é buscar caminhos que levem ao conhecimento da geometria. Vamos pensar em como ajudar as crianças a descobrir as verdades, as verdades da geometria. O que o professor deve guiar, quais táticas e estratégias ele deve escolher? O que um professor deve fazer em sala de aula? Seja para defender o conhecimento, as habilidades, as habilidades, argumentando que o conhecimento é poder, ou por todos os meios tentar organizar o processo educacional de tal forma que o conhecimento não obscureça o conhecimento, não desvie a alma da criança do conhecimento.

Talvez a sabedoria do professor esteja no conhecimento dos segredos da descoberta, dos segredos da cognição e, em particular, dos segredos da geometria, na capacidade de criar uma atmosfera na sala de aula que contribua para o domínio desses métodos de percepção e conhecimento. A lógica do professor e a lógica do aluno, em que proporções deveriam estar na aula? O que mais? Talvez quando o professor oferece não uma série de perguntas bem pensadas, mas uma sequência de tarefas, refletindo sobre as quais o aluno, seu pensamento faz todo o trabalho necessário para o momento de antecipação da descoberta. Então a lógica do professor está na proporção exigida com a lógica do aluno. Ou talvez escolher a intuição como base da busca, libertá-la, estimulá-la, confiar nela? Ou outra coisa?

Talvez, entre todos os livros didáticos e entre todas as aulas, o livro didático do 7º ano seja o mais importante e a primeira aula seja a mais responsável, pois são eles que introduzem um curso sistemático no estudo. Desde as primeiras aulas, desde a leitura das primeiras páginas do livro didático, depende se o processo de aprendizagem será bem-sucedido, se será possível desenvolver um interesse constante pelo assunto entre os alunos. Nem um único aluno é colocado em barreira para estudar um curso de geometria em qualquer nível. O único obstáculo pode não ser a complexidade do material, nem a dificuldade de apresentação, mas a falta de interesse em ler mais páginas do livro didático. No entanto, tendo estudado a teoria mesmo no primeiro nível (visual), o aluno pode resolver qualquer problema sobre esse tópico, pois terá conhecimento suficiente para resolvê-lo.

Passemos à caracterização dos níveis de domínio do material educativo e digamos ao professor como pode encontrar o material relacionado com cada um deles.

O primeiro nível é a educação geral, humanitária. Inclui conteúdo que todo aluno deve dominar. Na geometria, o estudo de tal material prossegue em um nível visual, razão pela qual chamamos o primeiro nível de visual. Inclui definições de conceitos, acompanhadas de um grande número de ilustrações, formulações de teoremas, uma explicação de seu significado nos desenhos e as conclusões lógicas mais simples.

No segundo nível, o material do primeiro nível é expandido, resolvem-se problemas de natureza aplicada, mostra-se como o conhecimento geométrico é aplicado ao conhecimento do mundo. Chamamos esse nível de nível aplicado. Neste nível, espera-se que os alunos dominem as provas da maioria dos teoremas.

Finalmente, o terceiro nível é um aprofundamento significativo do material do primeiro nível, sua fundamentação lógica suficientemente completa é dada. Este nível avançado inclui as provas de teoremas mais difíceis, problemas teóricos. O terceiro nível também é problemático.

Selecionamos o primeiro nível de assimilação - visual - prático, no qual os alunos, como físicos, extraem informações da experiência. O aluno deve imaginar o objeto, descrevê-lo, resolver o uma tarefa simples. E não importa se ao mesmo tempo ele não pode pronunciar com precisão a definição. Nesse nível, é essencial o conhecimento visual-operacional do assunto, contendo representações visuais e a capacidade de operar corretamente com elas.

Ao estudar geometria, é necessário oferecer aos alunos a formulação independente de uma definição de um conceito específico. Isso é feito não para que os caras memorizem depois, mas para que, participando desse processo, eles se aprofundem no significado do conceito, aprendam a estrutura da própria definição e várias formulações de teoremas. Isso contribuirá para uma assimilação mais profunda do material educacional relevante. As descobertas da galera são um grande incentivo para o aprendizado.

É geralmente aceito que um curso de geometria deve ensinar o pensamento lógico. No entanto, muitas vezes, muitos alunos não assimilam tanto a lógica das formulações e provas quanto as memorizam formalmente. Um dos primeiros meios de superar esse perigo é reduzir o número de formulações e provas que o aluno deve conhecer (aprender, lembrar). Se queremos ensinar o pensamento lógico, devemos ensinar isso, e não a memorização mecânica de raciocínios prontos. Portanto, as formulações devem ser consideradas antes como exercícios para o desenvolvimento do pensamento lógico, e não como postulados que devem ser conhecidos de cor. É útil que os alunos desmontem e não memorizem sem pensar - o máximo de evidências possível e resolvam possíveis grande quantidade tarefas para prova: é muito mais agradável e útil para o aluno se ele descobriu sozinho, independentemente fez pelo menos uma pequena conclusão e não memorizou o raciocínio de outras pessoas (sem contar, é claro, aqueles que são especialmente instrutivos, espirituosos e elegante).

A lógica da geometria não está apenas em formulações individuais, mas em todo o seu sistema como um todo. O significado de cada definição, cada teorema, cada prova é, em última análise, determinado apenas por este sistema. O que torna a geometria uma teoria holística, e não uma coleção definições individuais e declarações. Portanto, sugerimos que os colegas tentem não pedir aos alunos que avaliem uma única prova de teoremas durante um determinado período de tempo, mas que levem essa pesquisa até o final de um tópico bastante extenso como um teste teórico contínuo, que é o que fazemos em o liceu. Os caras devem se acostumar com os próprios conceitos e termos "teorema", "dado", "provar", "provar", entender seu significado. É claro que os teoremas devem ser provados. Pode ser mais de uma vez para analisar suas evidências na classe: frontalmente em pares, em desenhos diferentes. É bem possível que, do nosso ponto de vista, antes de provar o teorema, imediatamente após analisar sua formulação, devamos começar a resolver problemas. E quando os alunos se acostumarem com as palavras, entenderem seu significado, você poderá começar a analisar as evidências. A essa altura, os alunos já terão desenvolvido até certo ponto o gosto pela busca da verdade. Respeito por ela.

Claro, se o ensino é completamente limitado apenas ao conhecimento geométrico real, então o desenvolvimento de habilidades de pensamento lógico e elementos da visão de mundo científica será realizado apenas no âmbito dessa ciência. Portanto, o professor deve constantemente chamar a atenção dos alunos para a conexão da geometria com outras ciências e práticas e mostrar a importância universal (e não apenas da geometria) da exigência de evidência e precisão no estabelecimento da verdade. Este momento é especialmente importante para aqueles alunos que têm motivação insuficiente para estudar geometria como ciência, em contraste com crianças motivadas e interessadas que não precisam ser empurradas e estimuladas mais uma vez para resolver problemas complexos, tarefas não padronizadas, considere várias opções soluções. A prática também mostra que os alunos adoram ouvir as histórias do professor sobre a história da disciplina. É possível na primeira aula para alunos mais fortes que estão interessados ​​em simplesmente resolver problemas bonitos, interessantes, incomuns na forma e nos métodos de resolução de problemas. Tarefas que permitiriam aos alunos descobrir algo novo por si mesmos. Para os alunos desmotivados, o processo é importante, eles querem construir, desenhar formas geométricas com as próprias mãos, e é necessário justificar suas expectativas, principalmente nas primeiras aulas, para oferecer-lhes o desenho de ornamentos que incluem várias formas geométricas, e então será proporcionado o início emocional dessas lições. A primeira lição é importante; como um diapasão, dá o tom de todo o trabalho.

Eu gostaria de enfatizar uma coisa: agora, quando não há exame obrigatório de geometria, pode não valer a pena afastar uma criança de tão belo, inexprimível ciência útil qual é a geometria? Talvez uma vez na vida para trabalhar em silêncio. Para que a espada de marca de Dâmocles, a avaliação não paira sobre você. Para que na aula o professor e o aluno fossem iguais em conhecimento, em potencialidades. Ser GEOMETRIA.

De quais tarefas matemática elementar considerado o mais difícil? Provavelmente, a maioria dos leitores responderá: geométrica. Por quê? Sim, porque em álgebra, trigonometria, princípios analise matemática uma série de algoritmos para resolver tarefas típicas. Se existe um algoritmo, significa que existe um programa de ação e, portanto, as dificuldades, se ocorrerem, são na maioria das vezes de natureza técnica e não fundamental.

Outra coisa são os problemas geométricos. Como regra, não há algoritmos para resolvê-los e escolher o mais adequado para esta ocasião um teorema de uma extensa lista de teoremas não é fácil. Portanto, a receita principal é mais filosófica do que didática por natureza: se você quer aprender a resolver problemas geométricos - resolva-os! No entanto, existem algumas disposições gerais que são úteis para a resolução de problemas geométricos. Sobre estes disposições gerais gostaríamos de conversar.

Ao resolver problemas geométricos, geralmente são usados ​​três métodos principais: geométrico- quando a afirmação requerida é derivada usando raciocínio lógico de um número de teoremas bem conhecidos; álgebraraic- quando o valor geométrico desejado é calculado com base em várias dependências entre os elementos de figuras geométricas diretamente ou usando equações; combinado- quando em alguns estágios a solução é realizada por um método geométrico, e em outros - por um método algébrico.

Qualquer que seja o caminho de solução escolhido, o sucesso de seu uso depende naturalmente do conhecimento dos teoremas e da capacidade de aplicá-los. Sem considerar aqui todos os teoremas da planimetria, prestemos atenção àqueles que, por um lado, são usados ​​ativamente na resolução de problemas, mas, por outro lado, como mostra a experiência, nem sempre estão “no primeiro nível de memória ” entre os alunos. Deve-se amar esses teoremas, torná-los seus assistentes, para que os alunos lhes dêem preferência.

Vamos soar esses teoremas e mostrar tarefas específicas como eles trabalham.

Ao resolver problemas, como regra, são fixados estágios separados de raciocínio. Isso é feito por conveniência, para que seja mais fácil seguir o curso do raciocínio. E também gostaria de observar: as tarefas serão de dificuldade variada, mas aquelas que são mais úteis para o professor em termos de metodologia.

TRIÂNGULOS E QUADRÂNGULOS.

Ao resolver problemas sobre triângulos e quadriláteros, prestamos atenção aos seguintes teoremas:

TEOREMA 1. Igualdade de ângulos com lados mutuamente perpendiculares:

Se ambos são sustenidos ou ambos são obtusos e , , então .

TEOREMA 2. Propriedades da linha média de um trapézio:

A) a linha mediana do trapézio é paralela às bases do trapézio;

B) a linha mediana é igual à metade da soma das bases do trapézio;

C) a linha do meio (e somente ela) corta qualquer segmento entre as bases do trapézio.

Essas propriedades também são válidas para a linha média de um triângulo, se considerarmos o triângulo como um trapézio "degenerado", cujas bases têm comprimento igual a zero.

TEOREMA 3. Sobre os pontos de intersecção de medianas, bissetrizes, alturas de um triângulo:

A) três medianas do triângulo se cruzam em um ponto (chamado centro de gravidade do triângulo) e são divididas nesse ponto na razão de 2:1, contando de cima para baixo;

B) três bissetrizes de um triângulo se cruzam em um ponto;

C) três alturas se cruzam em um ponto (é chamado de ortocentro do triângulo).

TEOREMA 4. Propriedade da mediana em um triângulo retângulo:

Em um triângulo retângulo, a mediana traçada para a hipotenusa é igual à metade dela.

O teorema inverso também é verdadeiro: se em um triângulo uma das medianas é igual à metade do lado para o qual ela é desenhada, então este triângulo é retângulo

TEOREMA 5. propriedade da bissetriz do ângulo interno de um triângulo:

A bissetriz do ângulo interno de um triângulo divide o lado para o qual é desenhado em partes proporcionais aos lados opostos:

TEOREMA 6. Relações métricas em um triângulo retângulo:

Se umum eb - pernas,c é a hipotenusa,h - altura, e - projeções dos catetos na hipotenusa, então: a) ; b); dentro) ; G); e)

TEOREMA 7. Determinação do tipo de triângulo em seus lados:

Deixe seruma,b,c - lados do triângulo, com c - o maior lado; então:

A) se , então o triângulo é agudo;

B) se , então o triângulo é retângulo;

C) se , então o triângulo é obtuso.

TEOREMA 8. Relações métricas em um paralelogramo:

A soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados de todos os seus lados:

.

Ao resolver problemas geométricos, muitas vezes é necessário estabelecer a igualdade de dois segmentos (ou ângulos). Nós indicamos três formas principais de prova geométrica da igualdade de dois segmentos:

1) considere os segmentos como lados de dois triângulos e prove que esses triângulos são iguais;

2) representar segmentos como lados de um triângulo e provar que esse triângulo é isósceles;

3) substitua o corte uma segmento igual a ele https://pandia.ru/text/78/456/images/image008_12.gif" width="17" height="19 src="> e provar a igualdade de segmentos e .

Tarefa 1.Duas linhas perpendiculares entre si cruzam os ladosAB,BC,CD,quadrado ADABCD em pontosE,F,K,L respectivamente. Prove queEK=FL (veja a figura do problema nº 1).

Decisão: 1. Usando a primeira das formas acima de igualdade de dois segmentos, desenhamos os segmentos e - depois os segmentos de interesse para nós EK e FL tornam-se lados de dois triângulos retângulos EPK e FML(veja a figura da tarefa nº 1).

2 . Nós temos: PK=FM(detalhes: PK=DE ANÚNCIOS,AD=AB,AB=FM significaPK=FM),(como ângulos com lados mutuamente perpendiculares, Teorema 1). Então, (na perna e canto afiado). Da igualdade dos triângulos retângulos segue a igualdade de suas hipotenusas, ou seja, segmentos EK e FL. ■

Observe que ao resolver problemas geométricos, muitas vezes você precisa fazer construções adicionais, por exemplo, as seguintes: desenhar uma linha reta, paralela ou perpendicular a uma das da figura (como fizemos no problema 1); dobrando a mediana do triângulo para completar o triângulo em um paralelogramo (como faremos no problema 2), desenhando uma bissetriz auxiliar. Existem construções adicionais úteis relacionadas ao círculo.

Tarefa 2.os lados são iguaisuma,b,c. Calcule a mediana desenhada para o lado c (veja a figura do problema 2).

Decisão: Duplicamos a mediana, estendendo o ASVR ao paralelogramo, e aplicamos o Teorema 8 a este paralelogramo, obtemos: , ou seja. de onde encontramos:

Tarefa 3.Prove que em qualquer triângulo a soma das medianas é maior que ¾ do perímetro, mas menor que o perímetro.

Decisão: 1. Considere https://pandia.ru/text/78/456/images/image036_6.gif" width="131" height="41">; . Como AM + MC >AC, então

https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_4.gif" alt="(!LANG:Assinatura:" align="left" width="148" height="32">Проведя аналогичные рассуждения для треугольников АМВ и ВМС, получим:!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image041_3.gif" width="111" height="41 src="> (3)

Somando as desigualdades (1), (2), (3), obtemos: ,

ou seja, provamos que a soma das medianas é maior que ¾ do perímetro.

2. Duplicamos a mediana BD , completando o triângulo em um paralelogramo (veja a figura do problema 3)..gif" width="80" height="24 src="> (4)

Da mesma forma: https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_4.gif" alt="(!LANG:Signature: Fig. para o problema nº 3" align="left hspace=12" width="148" height="32"> (6)!}

Adicionando as desigualdades (4), (5), (6), obtemos: https://pandia.ru/text/78/456/images/image049_2.gif" align="left" width="159" height=" 93 "> Decisão: Seja ASV um triângulo retângulo, https://pandia.ru/text/78/456/images/image051_2.gif" width="233" height="21"> (veja a figura do problema 4) .

1. como cantos com lados mutuamente perpendiculares (https://pandia.ru/text/78/456/images/image054_2.gif" alt="(!LANG:Signature:" align="left" width="148" height="33">!} 2. Como (veja o Teorema 4), então CM = MB, e então concluímos que Então,

3. Uma vez que e (afinal, CD é uma bissetriz), então o que precisava ser provado. ■

Tarefa 5. Paralelogramo com ladosuma eb bissetrizes são desenhadas cantos internos(veja a figura do problema 5). Encontre os comprimentos das diagonais do quadrilátero formado na interseção das bissetrizes.

Decisão: 1 ..gif" width="27 height=17" height="17">(ver fig.) . como em um paralelogramo ou seja, então Isso significa que em um triângulo ABC a soma dos ângulos A e B é igual a 900, então o ângulo K é igual a 900, ou seja, as bissetrizes AE e BP são mutuamente perpendiculares.

A perpendicularidade mútua das bissetrizes AE e DQ, BP e CF, CF e DQ é provada de forma semelhante.

CONCLUSÃO: KLMN é um quadrilátero com ângulos retos, ou seja, um retângulo. As diagonais de um retângulo são iguais, então basta encontrar o comprimento de uma delas, por exemplo, KM.

2. Vamos considerar que Ele tem AK - tanto a bissetriz quanto a altura. Isso significa que, em primeiro lugar, o triângulo ABP é isósceles, ou seja, AB \u003d AR \u003d b, e, em segundo lugar, que o segmento AK é também a mediana do triângulo ABP, ou seja, K é o ponto médio da bissetriz BP.

Prova-se igualmente que M é o ponto médio da bissetriz DQ.

3. Considere o segmento KM. Ela corta os segmentos BP e DQ. Mas a linha do meio do paralelogramo (note que o paralelogramo é caso especial trapézio; se podemos falar sobre a linha média de um trapézio, podemos igualmente falar sobre a linha média de um paralelogramo que tem as mesmas propriedades) passa pelos pontos K e M (ver Teorema 2). Portanto, KM é um segmento na linha média e, portanto, .

4. Como e , então KMDP é um paralelogramo e, portanto,

Responda: ■

De fato, no processo de solução do problema (nas etapas 1 e 2), provamos bastante propriedade importante: as bissetrizes dos ângulos adjacentes ao lado lateral do trapézio se cruzam em ângulos retos em um ponto situado na linha média do trapézio.

Deve-se notar que o principal método para compilar equações em problemas geométricos é método elemento de suporte, que é o seguinte: o mesmo elemento (lado, ângulo, área, raio, etc.) é expresso em termos de quantidades conhecidas e desconhecidas por dois jeitos diferentes e as expressões resultantes são iguais.

Muitas vezes, uma área é escolhida como elemento de referência. figuras. Então eles dizem que para compilar a equação é usado método de área.

É necessário ensinar as crianças em idade escolar a resolver problemas básicos, ou seja, aqueles. Que são incluídos como elementos constitutivos em muitas outras tarefas. Estes são, por exemplo, o problema de encontrar os elementos básicos de um triângulo: mediana, altura, bissetriz, raios dos círculos inscritos e circunscritos, área.

Tarefa 6. Em um triângulo ABC, os lados AB e BC são iguais, BH é a altura. Um ponto é tomado no lado BCD para que (veja a figura do problema 6). Em que sentido é o segmentoAD divide a altura de HH?

Decisão: 1. Colocamos BD = uma, então CD = 4 uma, AB = 5a.

2. Vamos desenhar um segmento (veja a figura do problema 6) Como NK é a linha média do triângulo ACD DK = KC = 2 uma .

3. Considere o triângulo VNK. Temos: BD = uma,

NS = 2uma e https://pandia.ru/text/78/456/images/image080_2.gif" width="84" height="41"> mas Portanto, e ■

Se no problema for necessário encontrar a proporção de qualquer - ou valores, então, como regra, o problema é resolvido método de parâmetro auxiliar. Isso significa que no início da resolução do problema declaramos alguns valor linear conhecido, denotando-o, por exemplo, com a letra uma, e então expresso através de uma as quantidades cuja razão deve ser encontrada. Quando a relação desejada é compilada, o parâmetro auxiliar uma está encolhendo. Foi assim que agimos na tarefa . Nosso conselho: ao resolver problemas em que é necessário encontrar a razão de quantidades (em particular, em problemas de determinação do ângulo - afinal, como regra, ao calcular o ângulo nós estamos falando sobre encontrá-lo função trigonométrica, ou seja, sobre a razão dos lados de um triângulo retângulo), os alunos devem ser ensinados a destacar a introdução de um parâmetro auxiliar como o primeiro estágio da solução. O método de parâmetro auxiliar também é usado em tarefas onde figura geométrica definido até a semelhança.

Tarefa 7 . Em um triângulo com lados iguais a 10, 17 e 21 cm, um retângulo está inscrito de modo que dois de seus vértices estejam em um lado do triângulo e os outros dois vértices estejam nos outros dois lados do triângulo. Encontre os lados de um retângulo se seu perímetro for 22,5 cm.

Decisão. 1. Em primeiro lugar, definimos o tipo de triângulo. Temos: 102 = 100; 172 = 289; 212 = 441. Como 212 > 102 + 172, o triângulo é obtuso (ver Teorema 7), o que significa que um retângulo pode ser inscrito nele de apenas uma maneira: colocando dois de seus vértices sobre lado maior triângulo ABC (veja a figura do problema 7), onde AC \u003d 21 cm, AB \u003d 10 cm, BC \u003d 17 cm.

2. Encontre a altura BH do triângulo ABC. HH = 8 cm.

3. Coloque ED=x. Então EF = 11,25 -x(porque o perímetro do retângulo DEFKé igual a 22,5 cm), BP \u003d 8 - x. Os triângulos BEF e ABC são semelhantes, o que significa que (em triângulos semelhantes a razão das alturas correspondentes é igual ao coeficiente de similaridade), ou seja, onde encontramos x = 6.

Resposta: 6 cm, 5,25 cm. ■

Ao resolver o problema, usamos a afirmação de que em tais triângulos não apenas os lados, mas também as alturas correspondentes são proporcionais. Um fator mais geral é o seguinte, que é, por assim dizer, um teorema de similaridade generalizado:

Se dois triângulos são semelhantes, então qualquer elemento de linha (ou soma de elementos de linha) de um triângulo está relacionado ao elemento de linha correspondente (ou soma de elementos de linha correspondentes) do outro triângulo como lados correspondentes.

Em particular, os raios dos círculos circunscritos ou inscritos, perímetros, alturas correspondentes, medianas, bissetrizes de dois triângulos semelhantes são relacionados como lados correspondentes.

Tarefa 8 .Em um triângulo ABC, o ângulo A é o dobro do ângulo C, o lado BC é 2 cm maior que o lado AB e AC = 5 cm Encontre AB e BC.

Decisão. 1. Desenhe a bissetriz AD do ângulo А..gif" alt="(!LANG:Signature:" align="left" width="148" height="33">!} 3. Os triângulos ABC e ABC são semelhantes porque também têm um ângulo comum B. Da semelhança de triângulos, concluímos que ou seja

4. Para encontrar X e no um sistema de duas equações com duas incógnitas é obtido: Onde

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos 5y - 10 = 2y, ou seja, y = . Ou seja, x = 4.

Resposta: AB = 4 cm; BC = 6 cm. ■

Muitas vezes, ao elaborar as razões dos lados correspondentes em triângulos semelhantes em casos não triviais (casos triviais de semelhança estavam nos problemas 6 e 7 - o triângulo foi cortado do último por uma linha reta paralela a um de seus lados ), aqueles que resolvem o problema. Eles cometem erros puramente técnicos: ou confundem a ordem dos triângulos (qual é o primeiro e qual é o segundo), ou escolhem sem sucesso pares de lados como correspondentes. Nosso conselho: se a semelhança dos triângulos ABC e DEF for estabelecida, recomendamos que você proceda da seguinte forma: "conduza" os lados de um triângulo em numeradores, por exemplo: considerando que os lados correspondentes em triângulos semelhantes são aqueles que estão opostos ângulos iguais, encontre os pares mais simples de lados correspondentes; se for AB e DE, BC e DF, escreva: https://pandia.ru/text/78/456/images/image100_1.gif" align="left" width="121" height="96 src= " >b) para que possa ser inscrito em um quadrilátero aprox.circularidade, é necessário e suficiente que as somas dos comprimentos de seus lados opostos sejam iguais.

TEOREMA 5. Razões métricas em um círculo:

https://pandia.ru/text/78/456/images/image103_2.gif" alt="(!LANG:Assinatura: Fig.2" align="left" width="76" height="29">!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image105_2.gif" alt="(!LANG:Assinatura: Fig.3" align="left" width="76" height="28">!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image107_1.gif" width="13 height=19" height="19">, hipotenusa - c (ver figura). Calcular raio r do círculo inscrito.

Decisão. 1. A partir do centro O do círculo inscrito, desenhe os raios até os pontos de contato com os lados do triângulo; levando em conta que eles são perpendiculares aos lados correspondentes (ver Teorema 1, a), e então usando o Teorema 1, b, marcamos pares de segmentos iguais: CD= CE, AE= AF,B.D.=namorado(ver fig.).

2. Como EODC- quadrado (cantos E,D, C - direto e eu= CD), então OE =OD= CD=CE= r. Então BD= uma -r, AE =b-r e , respectivamente, namorado =BD = um– r,AF=EA=b-r.

3. Porque AB= AF+Facebook, então c = (b-r) + (à –e), de onde .■

Observe que, se o problema é sobre um círculo inscrito em um triângulo (ou quadrilátero), quase sempre é aconselhável traçar os raios nos pontos de contato do círculo com os lados, dado que os raios serão perpendiculares ao ângulo correspondente. lados, e imediatamente marque pares de segmentos iguais no desenho (para duas tangentes desenhadas para o círculo a partir de um determinado ponto). Isto é o que fizemos ao resolver o problema acima.

Preste atenção à fórmula https://pandia.ru/text/78/456/images/image110_1.gif" width="43" height="44">, onde S é a área, Ré o semiperímetro do triângulo.

Quanto ao raio R circunscrito perto de um triângulo de um círculo, então para um triângulo retângulo (a hipotenusa é o diâmetro de um círculo circunscrito perto de um triângulo retângulo), para um triângulo não retangular, a fórmula é geralmente usada https://pandia.ru/text /78/456/images/image114_1.gif "width="59 "height="41 src=">.

Tarefa 10. Dado um setor circular retangular.Um círculo de mesmo raio é desenhado com o centro na extremidade do arco do setor; ele divide o setor em dois triângulos curvilíneos. Um círculo está inscrito no menor desses triângulos (ver fig.). Encontre a razão entre os raios do círculo inscrito e o setor.

Decisão. 1. Realize as construções adicionais necessárias, que geralmente são feitas quando se trata de tangência interna ou externa de círculos ou tangência de um círculo e uma linha: O2O3– linha de centros; NO- ponto de contato; O1O3– linha de centros; MAS- ponto de contato; O3C O1C; Com- ponto de toque (ver Fig.).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image119_1.gif" width="43" height="41">.

Responda: . ■

Aqui estão mais duas adições sobre construções adicionais úteis: 1) se dois círculos são tangentes (internos ou exteriormente), então é imperativo traçar uma linha de centros, ou seja, uma linha reta passando pelos centros dos círculos tangentes, e levar em conta que o ponto de contato está na linha de centros (foi o que fizemos ao resolver o problema acima, que foi a chave para o sucesso); 2) às vezes é útil (como construções adicionais) fazer um desenho chamado “remoto”, ou seja, retirar um fragmento de um desenho bastante complexo existente separadamente para estudo especial (assim, ao resolver o problema, retiramos um fragmento separado contendo ∆ O1O2O3- ver fig.).

Tarefa 11. Círculo com raioR passa por dois vértices adjacentes A eQuadrado D (ver fig.). O segmento BM da tangente ao círculo traçado a partir do terceiro vértice B do quadrado é o dobro do lado deste. Encontre o lado do quadrado.

Decisão. Vamos introduzir a notação VA= x, BM = 2x. Vamos continuar o segmento VA até a intersecção com o círculo em um ponto PARA. Então VK ∙ VA = VM2(ver Teorema 5, c), i.e. VK ∙ x= 4x2, de onde encontramos: VK= 4x- meios, AK= Zx. Mais distante, KAD = = 90°, então KDé o diâmetro do círculo. De um triângulo retângulo ADK encontrar: AD2+ AK2= KD2, ou seja x2+9x2= 4R 2, de onde X= https://pandia.ru/text/78/456/images/image125_0.gif" largura="45" altura="45 src=">. ■

O ortocentro, ou seja, o ponto de intersecção das alturas de um triângulo, tem uma série de propriedades interessantes: o ortocentro de um triângulo de ângulo agudo coincide com o centro de um círculo inscrito em um triângulo cujos vértices são as bases do alturas de um determinado triângulo; em um triângulo não retangular ABC, a distância do ortocentro ao vértice B é duas vezes a distância do centro do círculo circunscrito ao triângulo ao lado AC. Usamos a última propriedade para introduzir o conceito da linha de Euler. Por razões óbvias, nos limitamos a um triângulo de ângulo agudo.

Então deixe Hé o ortocentro, O é o centro do círculo circunscrito, OD CA,OD║bh,DE ANÚNCIOS= DC(ver fig.).

Vamos desenhar a mediana BD e segmento É ELE. triângulos VNM e MOD são semelhantes, então https://pandia.ru/text/78/456/images/image128_0.gif" width="56" height="41 src=">.gif" width="17" height="16 src \u003d "\u003e C \u003d 90 °, então a linha de Euler é uma linha reta que passa pelo vértice C do ângulo reto e do meio O hipotenusa AB, ou seja, a mediana.

Vamos continuar falando sobre como resolver problemas planimétricos. Vamos passar a resolver problemas relacionados ao conceito da área de uma figura plana.

Vamos começar, como nos casos anteriores, destacando os teoremas "de trabalho". Existem dois desses teoremas no cálculo de áreas.

TEOREMA 1. A razão das áreas de figuras semelhantes é igual ao quadrado do coeficiente de similaridade.

TEOREMA 2. a) Se dois triângulos são iguaisbases, suas áreas são tratadas como alturas.

b) Se dois triângulos têm alturas iguais, então seusáreas são tratadas como bases.

E, claro, faz sentido fornecer as fórmulas básicas para calcular as áreas de figuras planas.

1. Fórmulas para a área de um triângulo:

a) https://pandia.ru/text/78/456/images/image131_0.gif" width="84" height="41 src=">; c) ;

e) S = Rr, Onde R=; Ré o raio do círculo circunscrito; r- raio do círculo inscrito;

e) S = https://pandia.ru/text/78/456/images/image136_0.gif" align="left hspace=12" width="159" height="139"> a) S= CA∙ BDsin;

CAPÍTULO III.
LINHAS PARALELAS

§ 40. ÂNGULOS COM RESPECTIVAMENTE PARALELOS
E LADOS PERPENDICULARES.

1. Ângulos com lados correspondentemente paralelos.

Vamos pegar dois pontos C e O no plano e desenhar dois pares de raios a partir desses pontos
SA || OM e CB || ON para que os ângulos ACB e MON sejam ambos agudos (Fig. 211) ou ambos obtusos (Fig. 212).

Os ângulos ACB e MON são ângulos com lados paralelos, respectivamente. Vamos provar que esses ângulos são iguais entre si.

Deixe NE interceptar OM no ponto D. / DIA = / Mdv like ângulos correspondentes com AC e MO paralelos e SW secante.

/ MDB = / MON, como os ângulos correspondentes em paralelo CB e ON e secante MO, mas então / DIA = / SEG.

Conseqüentemente, ângulos com lados correspondentemente paralelos são iguais se ambos são agudos ou ambos obtusos.

Vamos construir dois ângulos agudos ACB e MON com lados respectivamente paralelos (Fig. 213): CA || MO e NE || ON, e continue além do vértice O do lado do ângulo MON.

No vértice O, dois ângulos profundos EOM e FON foram formados (já que o ângulo MON adjacente a eles é agudo por construção).

Cada um deles no total com o ângulo MON é 2 d, e desde / SEG = / DIA,
então / DIA+ / MEU = 2 d e / DIA+ / FON = 2 d.

Conseqüentemente, ângulos com lados correspondentemente paralelos somam 2

2. Cantos com lados respectivamente perpendiculares.

Vamos construir um ângulo agudo arbitrário ABC. Traçamos raios pelo vértice do ângulo, perpendiculares aos seus lados, de modo que formem um ângulo agudo.

BO_|_ BC e VC _|_ AB (Fig. 214). Vamos obter um novo ângulo OBK.
Os lados dos ângulos ABC e OVK são mutuamente perpendiculares.

/ ABC = d - / SVK;
/ HVAC = d - / SVK.

Daí segue que / ABC = / HVAC.

Vamos construir um arbitrário ângulo obtuso AOB e desenha raios através de seu vértice, perpendiculares aos seus lados, de modo que eles formem um ângulo obtuso.
OK_|_OA e OS_|_OV (Fig. 215), o ângulo KOS é obtuso. Os lados dos ângulos AOB e KOS são mutuamente perpendiculares, portanto

/ AOB = d + / KOV;
/ KOS = d+ / KOV.

Daí segue que / AOB = / KOS.

Ângulos com lados respectivamente perpendiculares são iguais se forem ambos agudos ou ambos obtusos.

Vamos construir um ângulo agudo arbitrário AOB e traçar perpendiculares a seus lados através de seu vértice de modo que formem um ângulo agudo (Fig. 216).
Nós temos: / COM = / AOW. Continuamos o lado OK além do vértice O. Os lados do ângulo EOM são perpendiculares aos lados do ângulo AOB. Em que / EOM - obtuso, como adjacente a ele / COI - aguda. / KOM + / EOM = 2 d(como ângulos adjacentes). Mas / KOM, como provado anteriormente, é igual a / AOW. Portanto, e / AOB + / EOM = 2 d.

Os ângulos com lados respectivamente perpendiculares somam 2d se um é afiado e o outro é sem corte.

Consideramos ângulos formados por lados mutuamente perpendiculares quando tinham um vértice comum. As propriedades que derivamos também serão válidas no caso em que os cantos não tenham um vértice comum.

Vamos construir um ângulo agudo arbitrário AOB e desenhar os raios CE __|_OA e CK _|_ OB através de algum ponto C (Fig. 217) de modo que o ângulo KSE também seja agudo.

Os ângulos AOB a KSE são formados por lados mutuamente perpendiculares. Vamos provar que eles são iguais entre si. Para isso, através do ponto O (vértice / AOB) realizaremos OK "|| SK e OE" || SE. / KSE = / UFC", uma vez que são compostos de lados paralelos entre si e ambos são pontiagudos. / K"OE" = / AOB de acordo com o comprovado. Conseqüentemente, / AOB = / KSE.

Se continuarmos o lado CE além do vértice do canto, obtemos / MSC adjacente a / KSE.
/ MSC + / KSE = 2 d, mas / KSE = / AOW, portanto / AOB + / MSC = 2 d.

TEOREMA 1.Igualdade de ângulos com lados mutuamente perpendiculares:Se
ambos agudos ou ambos contundentes e
,
, então
. TEOREMA 2. Propriedades da linha média de um trapézio:A) a linha mediana do trapézio é paralela às bases do trapézio;B) a linha mediana é igual à metade da soma das bases do trapézio;C) a linha do meio (e somente ela) corta qualquer segmento entre as bases do trapézio. Essas propriedades também são válidas para a linha média de um triângulo, se considerarmos o triângulo como um trapézio "degenerado", cujas bases têm comprimento igual a zero. TEOREMA 3. Sobre os pontos de intersecção de medianas, bissetrizes, alturas de um triângulo:A) três medianas do triângulo se cruzam em um ponto (chamado centro de gravidade do triângulo) e são divididas nesse ponto na razão de 2:1, contando de cima para baixo;B) três bissetrizes de um triângulo se cruzam em um ponto;C) três alturas se cruzam em um ponto (é chamado de ortocentro do triângulo).TEOREMA 4. Propriedade da mediana em um triângulo retângulo:Em um triângulo retângulo, a mediana traçada para a hipotenusa é igual à metade dela. O teorema inverso também é verdadeiro: se em um triângulo uma das medianas é igual à metade do lado para o qual ela é desenhada, então este triângulo é retânguloTEOREMA 5. propriedade da bissetriz do ângulo interno de um triângulo:A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado para o qual é desenhado em partes proporcionais aos lados opostos:
TEOREMA 6. Relações métricas em um triângulo retângulo:Se umumaeb- cateteres,c- a hipotenusah- altura, e - projeções dos catetos na hipotenusa, então: a)
; b)
; dentro)
; G)
; e)
TEOREMA 7. Determinação do tipo de triângulo em seus lados:Deixe seruma, b, csão os lados do triângulo, sendo c o lado mais comprido; então:E se
, então o triângulo é agudo;B) se
, então o triângulo é retângulo;B) se
, então o triângulo é obtuso.TEOREMA 8. Relações métricas em um paralelogramo:A soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados de todos os seus lados:
. Ao resolver problemas geométricos, muitas vezes é necessário estabelecer a igualdade de dois segmentos (ou ângulos). Nós indicamos três formas principais de prova geométrica da igualdade de dois segmentos: 1) considere os segmentos como lados de dois triângulos e prove que esses triângulos são iguais; 2) representar segmentos como lados de um triângulo e provar que esse triângulo é isósceles; 3 ) substitua o segmento uma segmento igual a ele , e o segmento b – segmento igual a ele e provar a igualdade dos segmentos e . Tarefa 1.Duas linhas perpendiculares entre si cruzam os ladosAB, BC, CD, DE ANÚNCIOSquadradoABCDem pontosE, F, K, eurespectivamente. Prove queEK = FL(veja a figura do problema nº 1).R

Arroz. para a tarefa número 1

Solução: 1. Usando a primeira das formas acima de igualdade de dois segmentos, desenhamos os segmentos
e
- então os segmentos de interesse para nós EK e FL tornam-se lados de dois triângulos retângulos EPK e FML(veja a figura da tarefa nº 1). 2

Arroz. para a tarefa número 1

Nós temos: PK = FM(detalhes: PK = DE ANÚNCIOS, DE ANÚNCIOS = AB, AB = FM, meios,PK = FM), (como ângulos com lados mutuamente perpendiculares, Teorema 1). Então, (ao longo da perna e um ângulo agudo). Da igualdade dos triângulos retângulos segue a igualdade de suas hipotenusas, ou seja, segmentos EK e FL. ■ Observe que ao resolver problemas geométricos, muitas vezes você precisa fazer construções adicionais, por exemplo: desenhar uma linha reta, paralela ou perpendicular a uma das da figura (como fizemos no problema 1); dobrando a mediana do triângulo para completar o triângulo em um paralelogramo (como faremos no problema 2), desenhando uma bissetriz auxiliar. Existem construções adicionais úteis relacionadas ao círculo. Tarefa 2.Partidos
igualuma, b, c. Calcular mediana , desenhado para o lado c. (veja a figura do problema 2).R

Arroz. para a tarefa número 2

Solução: Dobre a mediana adicionando
para o paralelogramo ASVR, e aplique o Teorema 8 a este paralelogramo Obtemos: , i.e.
de onde encontramos:
Tarefa 3.Prove que em qualquer triângulo a soma das medianas é maior que ¾ do perímetro, mas menor que o perímetro.R
Solução: 1. Considerar
(veja a figura do problema 3) Temos:
;
. Como AM + MC >AC, então
(1) P

Arroz. para a tarefa número 3

Tendo feito um raciocínio semelhante para os triângulos AMB e BMC, obtemos:
(2)
(3) Somando as desigualdades (1), (2), (3), obtemos:
, t
.e. provamos que a soma das medianas é maior que ¾ do perímetro. 2. Vamos dobrar a mediana BD completando o triângulo em um paralelogramo (veja a figura do Problema 3). Então de
Nós temos: BK < BC + CK, Essa.
(4) De forma similar:
(5)

Arroz. para a tarefa número 3

(6) Somando as desigualdades (4), (5), (6), obtemos: , ou seja. a soma das medianas é menor que o perímetro. ■ Tarefa 4.Prove que em um triângulo retângulo não isósceles, a bissetriz de um ângulo reto corta ao meio o ângulo entre a mediana e a altura traçada a partir do mesmo vértice.R
Solução: Seja ACB um triângulo retângulo,
, CH é a altura, CD é a bissetriz, CM é a mediana. Introduzimos a notação: (veja a figura do problema 4) . 1.
como ângulos com lados mutuamente perpendiculares () . 2

Arroz. para a tarefa número 4

Como
(veja o Teorema 4), então CM = MB, e então de
concluimos que
Então, 3. Uma vez que e (afinal, CD é uma bissetriz), então o que precisava ser provado. ■ Tarefa 5.Paralelogramo com ladosuma ebbissetrizes de ângulos internos são desenhadas (veja a figura do Problema 5). Encontre os comprimentos das diagonais do quadrilátero formado na interseção das bissetrizes.Decisão: 1 . AE - bissetriz
, BP é a bissetriz
(ver fig.) . como em um paralelogramo
Essa. então Isso significa que no triângulo ABK a soma dos ângulos A e B é igual a 90 0, então o ângulo K é igual a 90 0, ou seja, as bissetrizes AE e BP são mutuamente perpendiculares. MAS
a perpendicularidade mútua das bissetrizes AE e DQ, BP e CF, CF e DQ é logicamente provada. CONCLUSÃO: KLMN é um quadrilátero com ângulos retos, ou seja, retângulo. As diagonais de um retângulo são iguais, então basta encontrar o comprimento de uma delas, por exemplo, KM. 2

Arroz. para a tarefa número 5

Considerar
Ele tem AK - tanto a bissetriz quanto a altura. Isso significa, em primeiro lugar, que o triângulo ABP é isósceles, ou seja, AB = AR = b, e, em segundo lugar, que o segmento AK é também a mediana do triângulo ABP, i.e. K é o meio da bissetriz VR. Prova-se igualmente que M é o ponto médio da bissetriz DQ. 3. Considere o segmento KM. Ela corta os segmentos BP e DQ. Mas a linha mediana de um paralelogramo (observe que um paralelogramo é um caso especial de um trapézio; se podemos falar sobre a linha mediana de um trapézio, podemos falar igualmente sobre a linha mediana de um paralelogramo com as mesmas propriedades) passa pelos pontos K e M (ver teorema 2). Portanto, KM é um segmento na linha do meio e, portanto,
.4. Como
e
, então KMDP é um paralelogramo e, portanto. Responda:
■ De fato, no processo de resolução do problema (nos estágios 1 e 2), provamos uma propriedade bastante importante: as bissetrizes dos ângulos adjacentes ao lado lateral do trapézio se cruzam em um ângulo reto em um ponto situado no linha média do trapézio. Deve-se notar que o principal método para compilar equações em problemas geométricos é métodoelemento de apoio, que é o seguinte: o mesmo elemento (lado, ângulo, área, raio, etc.) é expresso em termos de quantidades conhecidas e desconhecidas de duas maneiras diferentes e as expressões resultantes são equacionadas. Muitas vezes, uma área é escolhida como elemento de referência.figuras. Então eles dizem que para compilar a equação é usado método de área.É necessário ensinar as crianças em idade escolar a resolver problemas básicos, ou seja, Essa. Que são incluídos como elementos constitutivos em muitas outras tarefas. Estes são, por exemplo, o problema de encontrar os elementos básicos de um triângulo: mediana, altura, bissetriz, raios dos círculos inscritos e circunscritos, área. C inferno 6.Em um triângulo ABC, os lados AB e BC são iguais, BH é a altura. Um ponto é tomado no lado BCDentão
(veja a figura do problema 6). Em que sentido é o segmentoDE ANÚNCIOSdivide a altura de WH?Decisão: 1. Colocamos BD = uma, então CD = 4 uma, AB = 5a.2

Arroz. para a tarefa número 6

Vamos desenhar um segmento
(veja a figura do problema 6) Como NK é a linha média do triângulo ACD DK = KC = 2 uma .3. Considere o triângulo VNK. Temos: BD = uma,NS = 2 uma e
. De acordo com o teorema de Tales
mas
Daí, e
■ Se em um problema for necessário encontrar a razão de algumas quantidades, então, como regra, o problema é resolvido método de parâmetro auxiliar. Isso significa que no início da resolução do problema declaramos alguma quantidade linear conhecida, denotando-a, por exemplo, pela letra uma, e então expresso através de uma as quantidades cuja razão deve ser encontrada. Quando a relação desejada é compilada, o parâmetro auxiliar uma está encolhendo. Foi assim que agimos na tarefa . Nosso conselho: ao resolver problemas em que é necessário encontrar a razão de quantidades (em particular, em problemas de determinação do ângulo - afinal, em regra, ao calcular um ângulo, estamos falando em encontrar sua função trigonométrica, ou seja, sobre a razão dos lados de um triângulo retângulo), os alunos devem ser ensinados como a primeira etapa da decisão de alocar a introdução de um parâmetro auxiliar. O método dos parâmetros auxiliares também é utilizado em problemas onde a figura geométrica é definida até a similaridade. Tarefa 7 .Em um triângulo com lados iguais a 10, 17 e 21 cm, um retângulo está inscrito de modo que dois de seus vértices estejam em um lado do triângulo e os outros dois vértices estejam nos outros dois lados do triângulo. Encontre os lados de um retângulo se seu perímetro for 22,5 cm.R
solução . 1. Em primeiro lugar, definimos o tipo de triângulo. Temos: 10 2 = 100; 17 2 = 289; 21 2 = 441. Como 21 2 > 10 2 + 17 2 , então o triângulo é obtuso (ver Teorema 7), o que significa que o retângulo só pode ser inscrito nele de uma maneira: colocando dois de seus vértices sobre o lado maior do triângulo ABC (veja a Fig. . do problema 7), onde AC = 21 cm, AB = 10 cm, BC = 17 cm. 2