Um sinal de linhas paralelas nos ângulos correspondentes. Sinais e propriedades de linhas paralelas

15.10.2019

Propriedades das linhas paralelas

As declarações que são inversas aos sinais de paralelismo de linhas são suas propriedades. Eles são baseados nas propriedades dos ângulos formados pela interseção de duas linhas paralelas por uma terceira linha.

1. Quando duas linhas paralelas se cruzam com uma terceira linha, a soma dos ângulos laterais internos formados por elas é 180°:

Se um uma||b, então ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Quando duas linhas paralelas se cruzam com uma terceira linha, os ângulos correspondentes formados por elas são iguais:

Se um uma||b, então ∠2 = ∠4.

3. Na interseção de duas linhas paralelas por uma terceira linha, os ângulos de inclinação formados por elas são iguais:

Se um uma||b, então ∠1 = ∠3.

Próxima propriedadeé um caso especial para cada anterior:

4. Se uma linha em um plano é perpendicular a uma das duas linhas paralelas, então também é perpendicular à outra:

Se um uma||b e c⊥uma, então c⊥b.

A quinta propriedade é o axioma das linhas paralelas:

5. Por um ponto não pertencente a uma reta dada, apenas uma reta pode ser traçada paralelamente à reta dada.

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Questão 1. Prove que duas retas paralelas à terceira são paralelas.
Responda. Teorema 4.1. Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas.
Prova. Sejam as retas a e b paralelas à reta c. Suponha que aeb não são paralelos (Fig. 69). Então elas não se cruzam em algum ponto C. Assim, duas retas passam pelo ponto C e são paralelas à reta c. Mas isso é impossível, pois através de um ponto que não pertence a uma linha dada, no máximo uma linha paralela à linha dada pode ser traçada. O teorema foi provado.

Questão 2. Explique quais são os ângulos chamados internos de um lado. Que ângulos são chamados de cruzamentos internos?
Responda. Pares de ângulos que são formados quando as linhas AB e CD interceptam AC têm nomes especiais.
Se os pontos B e D estão no mesmo semiplano em relação à reta AC, então os ângulos BAC e DCA são chamados de unilaterais internos (Fig. 71, a).
Se os pontos B e D estão em semiplanos diferentes em relação à linha AC, então os ângulos BAC e DCA são chamados de transversais internos (Fig. 71, b).

Arroz. 71

Questão 3. Prove que se os ângulos internos de um par são iguais, então os ângulos internos do outro par também são iguais, e a soma dos ângulos internos de um lado de cada par é 180°.
Responda. A secante AC forma com as linhas AB e CD dois pares de ângulos internos unilaterais e dois pares de ângulos internos transversais. Os cantos cruzados internos de um par, por exemplo, ângulo 1 e ângulo 2, são adjacentes aos ângulos cruzados internos de outro par: ângulo 3 e ângulo 4 (Fig. 72).

Arroz. 72

Portanto, se os ângulos internos cruzados de um par são iguais, então os ângulos internos cruzados do outro par também são iguais.
Um par de cantos internos cruzados, como o ângulo 1 e o ângulo 2, e um par de cantos internos de um lado, como o ângulo 2 e o ângulo 3, têm um ângulo comum, ângulo 2, e dois outros ângulos adjacentes, ângulo 1 e ângulo 3.
Portanto, se os ângulos internos cruzados são iguais, então a soma cantos internosé igual a 180°. E vice-versa: se a soma dos ângulos transversais internos é igual a 180°, então os ângulos transversais internos são iguais. Q.E.D.

Pergunta 4. Prove o critério para linhas paralelas.
Responda. Teorema 4.2 (teste para linhas paralelas). Se os ângulos transversais internos são iguais ou a soma dos ângulos laterais internos é 180°, então as linhas são paralelas.
Prova. Deixe que as linhas aeb formem ângulos internos iguais com a secante AB (Fig. 73, a). Suponha que as linhas aeb não sejam paralelas, o que significa que elas se cruzam em algum ponto C (Fig. 73, b).

Arroz. 73

A secante AB divide o plano em dois semiplanos. Em um deles está o ponto C. Vamos construir o triângulo BAC 1 , igual ao triângulo ABC, com o vértice C 1 no outro semiplano. Por condição, os ângulos internos cruzados para as paralelas a, b e secante AB são iguais. Como os ângulos correspondentes dos triângulos ABC e BAC 1 com vértices A e B são iguais, eles coincidem com os ângulos internos cruzados. Assim, a linha AC 1 coincide com a linha a, e a linha BC 1 coincide com a linha b. Acontece que duas linhas diferentes a e b passam pelos pontos C e C 1. E isso é impossível. Portanto, as retas a e b são paralelas.
Se as retas a e b e a secante AB têm a soma dos ângulos internos unilaterais igual a 180°, então, como sabemos, os ângulos internos cruzados são iguais. Portanto, pelo que foi provado acima, as retas a e b são paralelas. O teorema foi provado.

Pergunta 5. Explique quais são os ângulos correspondentes. Prove que, se os ângulos transversais internos são iguais, então os ângulos correspondentes também são iguais e vice-versa.

Responda. Se um par de ângulos internos transversais tiver um ângulo substituído por um vertical, será obtido um par de ângulos, chamados de ângulos correspondentes das linhas dadas com uma secante. Que é o que precisava ser explicado.
Da igualdade dos ângulos internos transversais segue a igualdade dos ângulos correspondentes e vice-versa. Digamos que temos duas retas paralelas (porque por condição os ângulos internos cruzados são iguais) e uma secante, que formam os ângulos 1, 2, 3. Os ângulos 1 e 2 são iguais como internos cruzados. E os ângulos 2 e 3 são iguais como verticais. Obtemos: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 e \(\angle\)2 = \(\angle\)3. Pela propriedade da transitividade do sinal de igual, segue que \(\angle\)1 = \(\angle\)3. A afirmação inversa é provada de forma semelhante.
Isso resulta em um sinal de linhas paralelas nos ângulos correspondentes. Ou seja, as linhas são paralelas se os ângulos correspondentes são iguais. Q.E.D.

Pergunta 6. Prove que através de um ponto não pertencente a uma dada reta, é possível traçar uma reta paralela a ela. Quantas retas paralelas a uma dada reta podem ser traçadas por um ponto que não está nessa reta?

Responda. Problema (8). Dada uma reta AB e um ponto C não pertencentes a esta reta. Prove que pelo ponto C é possível traçar uma reta paralela à reta AB.
Solução. A reta AC divide o plano em dois semiplanos (Fig. 75). O ponto B encontra-se em um deles. A partir da meia linha CA, vamos traçar o ângulo ACD igual ao ângulo CAB no outro semiplano. Então as linhas AB e CD serão paralelas. De fato, para essas retas e a secante AC, os ângulos BAC e DCA são internos transversalmente. E como são iguais, as retas AB e CD são paralelas. Q.E.D.
Comparando o enunciado do problema 8 e o axioma IX (a principal propriedade das linhas paralelas), chegamos a uma importante conclusão: através de um ponto que não pertence a uma determinada linha, pode-se traçar uma linha paralela a ela, e apenas uma.

Pergunta 7. Prove que se duas retas se cruzam com uma terceira reta, então os ângulos internos cruzados são iguais, e a soma dos ângulos laterais internos é 180°.

Responda. Teorema 4.3(converso ao Teorema 4.2). Se duas linhas paralelas se cruzam com uma terceira linha, então os ângulos internos cruzados são iguais, e a soma dos ângulos laterais internos é 180°.
Prova. Sejam a e b retas paralelas e c a reta que as intercepta nos pontos A e B. Traçamos uma reta a 1 passando pelo ponto A de modo que os ângulos internos cruzados formados pela secante c com as retas a 1 e b sejam igual (Fig. 76).
Pelo critério de paralelismo de linhas, as linhas a 1 e b são paralelas. E como apenas uma linha passa pelo ponto A, paralela à linha b, então a linha a coincide com a linha a 1 .
Isso significa que os ângulos internos cruzados formados pela secante com
as retas paralelas a e b são iguais. O teorema foi provado.

Pergunta 8. Prove que duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas. Se uma linha é perpendicular a uma das duas linhas paralelas, então também é perpendicular à outra.
Responda. Segue do Teorema 4.2 que duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas.
Suponha que quaisquer duas linhas sejam perpendiculares à terceira linha. Portanto, essas linhas se cruzam com a terceira linha em um ângulo igual a 90°.
Da propriedade dos ângulos formados na intersecção de linhas paralelas por uma secante, segue-se que, se uma linha é perpendicular a uma das linhas paralelas, também é perpendicular à outra.

Pergunta 9. Prove que a soma dos ângulos de um triângulo é 180°.

Responda. Teorema 4.4. A soma dos ângulos de um triângulo é 180°.
Prova. Seja ABC o triângulo dado. Desenhe uma linha através do vértice B paralela à linha AC. Marque um ponto D nele de modo que os pontos A e D fiquem ao longo lados diferentes da reta BC (Fig. 78).
Os ângulos DBC e ACB são iguais como transversais internos, formados pela secante BC com retas paralelas AC e BD. Portanto, a soma dos ângulos do triângulo nos vértices B e C é igual ao ângulo ABD.
E a soma dos três ângulos de um triângulo é igual à soma dos ângulos ABD e BAC. Como esses ângulos são internos de um lado para as paralelas AC e BD e secante AB, sua soma é 180°. O teorema foi provado.

Pergunta 10. Prove que qualquer triângulo tem pelo menos dois ângulos agudos.
Responda. De fato, suponha que um triângulo tenha apenas um ângulo agudo ou nenhum. cantos afiados. Então este triângulo tem dois ângulos, cada um dos quais é pelo menos 90°. A soma desses dois ângulos não é menor que 180°. Mas isso é impossível, pois a soma de todos os ângulos de um triângulo é 180°. Q.E.D.

Neste artigo, falaremos sobre linhas paralelas, daremos definições, designaremos os sinais e condições do paralelismo. Para maior clareza do material teórico, utilizaremos ilustrações e a solução de exemplos típicos.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definição 1

Linhas paralelas no plano são duas retas no plano que não têm pontos comuns.

Definição 2

Linhas paralelas no espaço 3D- duas retas no espaço tridimensional que se encontram no mesmo plano e não possuem pontos comuns.

Deve-se notar que, para determinar linhas paralelas no espaço, é extremamente importante o esclarecimento “no mesmo plano”: duas linhas no espaço tridimensional que não possuem pontos comuns e não estão no mesmo plano não são paralelas, mas cruzadas.

Para denotar linhas paralelas, é comum usar o símbolo ∥ . Isto é, se as linhas a e b dadas são paralelas, esta condição deve ser resumidamente escrita da seguinte forma: a ‖ b . Verbalmente, o paralelismo das linhas é indicado da seguinte forma: as linhas a e b são paralelas, ou a linha a é paralela à linha b, ou a linha b é paralela à linha a.

Vamos formular uma afirmação que desempenha um papel importante no tema em estudo.

Axioma

Por um ponto que não pertence a uma reta dada, existe apenas uma reta paralela à reta dada. Esta afirmação não pode ser provada com base nos axiomas conhecidos da planimetria.

Caso quando nós estamos falando sobre o espaço, o teorema é verdadeiro:

Teorema 1

Por qualquer ponto do espaço que não pertença a uma determinada linha, haverá apenas uma linha paralela à dada.

Este teorema é fácil de provar com base no axioma acima (programa de geometria para graus 10-11).

O sinal de paralelismo é uma condição suficiente sob a qual as linhas paralelas são garantidas. Em outras palavras, o cumprimento desta condição é suficiente para confirmar o fato do paralelismo.

Em particular, existem condições necessárias e suficientes para o paralelismo de linhas no plano e no espaço. Vamos explicar: necessário significa a condição, cujo cumprimento é necessário para linhas paralelas; se não for satisfeito, as linhas não são paralelas.

Resumindo, uma condição necessária e suficiente para o paralelismo de linhas é tal condição, cuja observância é necessária e suficiente para que as linhas sejam paralelas entre si. Por um lado, isso é um sinal de paralelismo, por outro lado, uma propriedade inerente às linhas paralelas.

Antes de dar uma formulação precisa das condições necessárias e suficientes, lembramos mais alguns conceitos adicionais.

Definição 3

linha secanteé uma linha que intercepta cada uma das duas linhas não coincidentes dadas.

Intersectando duas linhas retas, a secante forma oito ângulos não expandidos. Para formular a condição necessária e suficiente, usaremos tipos de ângulos como cruzados, correspondentes e unilaterais. Vamos demonstrá-los na ilustração:

Teorema 2

Se duas retas em um plano interceptam uma secante, então, para que as retas dadas sejam paralelas, é necessário e suficiente que os ângulos cruzados sejam iguais, ou os ângulos correspondentes sejam iguais, ou a soma dos ângulos laterais seja igual a 180 graus.

Vamos ilustrar graficamente a condição necessária e suficiente para linhas paralelas no plano:

A comprovação dessas condições está presente no programa de geometria para os graus 7-9.

Em geral, essas condições também se aplicam ao espaço tridimensional, desde que as duas linhas e a secante pertençam ao mesmo plano.

Vamos apontar mais alguns teoremas que são frequentemente usados para provar o fato de que as retas são paralelas.

Teorema 3

Em um plano, duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si. Esta característica é provada com base no axioma do paralelismo mencionado acima.

Teorema 4

No espaço tridimensional, duas linhas paralelas a uma terceira são paralelas entre si.

A prova do atributo é estudada no programa de geometria do 10º ano.

Damos uma ilustração desses teoremas:

Vamos indicar mais um par de teoremas que provam o paralelismo de retas.

Teorema 5

Em um plano, duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.

Vamos formular um similar para um espaço tridimensional.

Teorema 6

No espaço tridimensional, duas linhas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.

Vamos ilustrar:

Todos os teoremas, sinais e condições acima permitem provar convenientemente o paralelismo das linhas pelos métodos da geometria. Ou seja, para provar o paralelismo das retas, pode-se mostrar que os ângulos correspondentes são iguais, ou demonstrar o fato de que duas retas dadas são perpendiculares à terceira, e assim por diante. Mas notamos que muitas vezes é mais conveniente usar o método das coordenadas para provar o paralelismo de linhas em um plano ou no espaço tridimensional.

Paralelismo de linhas em um sistema de coordenadas retangulares

Em um dado sistema de coordenadas retangulares, uma linha reta é determinada pela equação de uma linha reta no plano de um dos tipos possíveis. Da mesma forma, uma linha reta dada em um sistema de coordenadas retangulares no espaço tridimensional corresponde a algumas equações de uma linha reta no espaço.

Vamos escrever as condições necessárias e suficientes para o paralelismo de linhas em um sistema de coordenadas retangulares, dependendo do tipo de equação que descreve as linhas dadas.

Vamos começar com a condição de linhas paralelas no plano. Baseia-se nas definições do vetor de direção da linha e do vetor normal da linha no plano.

Teorema 7

Para que duas linhas não coincidentes sejam paralelas em um plano, é necessário e suficiente que os vetores de direção das linhas dadas sejam colineares, ou os vetores normais das linhas dadas sejam colineares, ou o vetor de direção de uma linha seja perpendicular ao vetor normal da outra reta.

Torna-se óbvio que a condição de linhas paralelas no plano é baseada na condição de vetores colineares ou na condição de perpendicularidade de dois vetores. Ou seja, se a → = (a x , a y) eb → = (b x , b y) são os vetores de direção das linhas a e b ;

e n b → = (n b x , n b y) são vetores normais das linhas a e b , então escrevemos a condição necessária e suficiente acima como segue: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y ou n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y ou a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , onde t é algum número real. As coordenadas dos vetores diretores ou diretos são determinadas pelas equações dadas das linhas. Vamos considerar os principais exemplos.

A linha a em um sistema de coordenadas retangulares é determinada pela equação geral da linha: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; linha b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Então os vetores normais das linhas dadas terão coordenadas (A 1 , B 1) e (A 2 , B 2) respectivamente. Escrevemos a condição de paralelismo da seguinte forma:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

A reta a é descrita pela equação de uma reta com inclinação da forma y = k 1 x + b 1 . Linha reta b - y \u003d k 2 x + b 2. Então os vetores normais das linhas dadas terão coordenadas (k 1 , - 1) e (k 2 , - 1), respectivamente, e escrevemos a condição de paralelismo da seguinte forma:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Assim, se as linhas paralelas em um plano em um sistema de coordenadas retangulares são dadas por equações de inclinação, então fatores de inclinação linhas dadas serão iguais. E a afirmação inversa é verdadeira: se linhas não coincidentes em um plano em um sistema de coordenadas retangulares são determinadas pelas equações de uma linha com os mesmos coeficientes de inclinação, então essas linhas dadas são paralelas.

As linhas a e b em um sistema de coordenadas retangulares são dadas pelas equações canônicas da linha no plano: x - x 1 a x = y - y 1 a y e x - x 2 b x = y - y 2 b y ou as equações paramétricas da linha no plano: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y ex = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Então os vetores de direção das linhas dadas serão: a x , a y e b x , b y respectivamente, e escrevemos a condição de paralelismo da seguinte forma:

a x = t b x a y = t por y

Vejamos exemplos.

Exemplo 1

Dadas duas linhas: 2 x - 3 y + 1 = 0 e x 1 2 + y 5 = 1 . Você precisa determinar se eles são paralelos.

Solução

Escrevemos a equação de uma linha reta em segmentos na forma de uma equação geral:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vemos que n a → = (2 , - 3) é o vetor normal da linha 2 x - 3 y + 1 = 0 , e n b → = 2 , 1 5 é o vetor normal da linha x 1 2 + y 5 = 1.

Os vetores resultantes não são colineares, porque não existe tal valor de t para o qual a igualdade seja verdadeira:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Assim, a condição necessária e suficiente de paralelismo de linhas no plano não é satisfeita, o que significa que as linhas dadas não são paralelas.

Responda: as linhas dadas não são paralelas.

Exemplo 2

Dadas as linhas y = 2 x + 1 ex 1 = y - 4 2 . Eles são paralelos?

Solução

Vamos transformar a equação canônica da linha reta x 1 \u003d y - 4 2 na equação de uma linha reta com inclinação:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vemos que as equações das retas y = 2 x + 1 e y = 2 x + 4 não são as mesmas (se fosse de outra forma, as retas seriam as mesmas) e as inclinações das retas são iguais, o que significa que as retas dadas são paralelas.

Vamos tentar resolver o problema de forma diferente. Primeiro, verificamos se as linhas dadas coincidem. Usamos qualquer ponto da linha y \u003d 2 x + 1, por exemplo, (0, 1), as coordenadas deste ponto não correspondem à equação da linha x 1 \u003d y - 4 2, o que significa que as linhas não coincidem.

O próximo passo é determinar o cumprimento da condição de paralelismo para as linhas dadas.

O vetor normal da reta y = 2 x + 1 é o vetor n a → = (2 , - 1) , e o vetor direcional da segunda reta dada é b → = (1 , 2) . O produto escalar desses vetores é zero:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Assim, os vetores são perpendiculares: isso nos demonstra o cumprimento da condição necessária e suficiente para que as linhas originais sejam paralelas. Aqueles. as linhas dadas são paralelas.

Responda: essas linhas são paralelas.

Para provar o paralelismo de linhas em um sistema de coordenadas retangulares de espaço tridimensional, a seguinte condição necessária e suficiente é usada.

Teorema 8

Para que duas linhas não coincidentes no espaço tridimensional sejam paralelas, é necessário e suficiente que os vetores de direção dessas linhas sejam colineares.

Aqueles. no equações dadas linhas no espaço tridimensional, a resposta à pergunta: são paralelas ou não, é encontrada determinando as coordenadas dos vetores de direção das linhas dadas, bem como verificando a condição de sua colinearidade. Em outras palavras, se a → = (a x, a y, a z) e b → = (b x, b y, b z) são os vetores de direção das linhas a e b, respectivamente, então para que sejam paralelas, a existência de tal número real t é necessário, de modo que a igualdade vale:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Exemplo 3

Dadas as linhas x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 ex = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . É necessário provar o paralelismo dessas linhas.

Solução

As condições do problema são as equações canônicas de uma reta no espaço e as equações paramétricas de outra reta no espaço. Vetores de direção a → e b → as linhas dadas possuem coordenadas: (1 , 0 , - 3) e (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , então a → = 1 2 b → .

Portanto, a condição necessária e suficiente para linhas paralelas no espaço é satisfeita.

Responda: o paralelismo das linhas dadas é provado.

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Sinais de paralelismo de duas linhas

Teorema 1. Se na interseção de duas linhas de uma secante:

ângulos na diagonal são iguais, ou

ângulos correspondentes são iguais, ou

a soma dos ângulos unilaterais é 180°, então

as linhas são paralelas(Figura 1).

Prova. Restringimo-nos à prova do caso 1.

Suponha que na intersecção das linhas a e b por uma secante AB entre os ângulos de repouso sejam iguais. Por exemplo, ∠ 4 = ∠ 6. Vamos provar que a || b.

Suponha que as linhas a e b não sejam paralelas. Então eles se cruzam em algum ponto M e, consequentemente, um dos ângulos 4 ou 6 será o ângulo externo do triângulo ABM. Seja, por definição, ∠ 4 o vértice externo do triângulo ABM, e ∠ 6 o vértice interno. A partir do teorema canto externo triângulo segue que ∠ 4 é maior que ∠ 6, e isso contradiz a condição, o que significa que as linhas a e 6 não podem se cruzar, portanto são paralelas.

Corolário 1. Duas retas distintas em um plano perpendicular à mesma reta são paralelas(Figura 2).

Comente. A forma como acabamos de provar o caso 1 do Teorema 1 é chamada de método de prova por contradição ou redução ao absurdo. Esse método recebeu seu primeiro nome porque no início do raciocínio é feita uma suposição oposta (oposta) ao que se deseja provar. Chama-se redução ao absurdo devido ao fato de que, argumentando com base na suposição feita, chegamos a uma conclusão absurda (absurdo). Receber tal conclusão nos obriga a rejeitar a suposição feita no início e aceitar aquela que era necessária para ser provada.

Tarefa 1. Construir uma linha através dado ponto M e paralela a uma reta dada a que não passa pelo ponto M.

Solução. Traçamos uma linha p através do ponto M perpendicular à linha a (Fig. 3).

Em seguida, traçamos uma linha b através do ponto M perpendicular à linha p. A linha b é paralela à linha a de acordo com o corolário do Teorema 1.

Uma importante conclusão segue do problema considerado:
Por um ponto fora de uma reta dada, sempre se pode traçar uma reta paralela à reta dada..

A principal propriedade das linhas paralelas é a seguinte.

Axioma das retas paralelas. Por um ponto dado que não está em uma reta dada, existe apenas uma reta paralela à reta dada.

Considere algumas propriedades de retas paralelas que decorrem desse axioma.

1) Se uma linha intercepta uma das duas linhas paralelas, então ela intercepta a outra (Fig. 4).

2) Se duas linhas diferentes são paralelas à terceira linha, então elas são paralelas (Fig. 5).

O seguinte teorema também é verdadeiro.

Teorema 2. Se duas linhas paralelas são cruzadas por uma secante, então:

os ângulos de repouso são iguais;

ângulos correspondentes são iguais;

a soma dos ângulos unilaterais é 180°.

Consequência 2. Se uma linha é perpendicular a uma das duas linhas paralelas, então também é perpendicular à outra.(ver Fig.2).

Comente. O Teorema 2 é chamado de inverso do Teorema 1. A conclusão do Teorema 1 é a condição do Teorema 2. E a condição do Teorema 1 é a conclusão do Teorema 2. Nem todo teorema tem um inverso, ou seja, se um determinado teorema é verdadeiro, então o teorema inverso pode ser falso.

Vamos explicar isso com o exemplo do teorema sobre ângulos verticais. Este teorema pode ser formulado da seguinte forma: se dois ângulos são verticais, então eles são iguais. O teorema inverso seria este: se dois ângulos são iguais, então eles são verticais. E isso, claro, não é verdade. Dois ângulos iguais não precisa ser vertical.

Exemplo 1 Duas linhas paralelas são cruzadas por uma terceira. Sabe-se que a diferença entre dois ângulos internos unilaterais é de 30°. Encontre esses ângulos.

Solução. Deixe a figura 6 atender à condição.

Um sinal de linhas paralelas nos ângulos correspondentes. Sinais e propriedades de linhas paralelas

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