O ensino da planimetria em um curso escolar.

27.09.2019

A soma dos ângulos de um triângulo

Ao derivar o teorema sobre a soma dos ângulos de um triângulo, recursos visuais podem ser usados. O triângulo ABC é cortado, seus cantos são numerados, então eles são cortados e aplicados um ao outro. Acontece que l+2+3=2d. Desenhe a altura CD do vértice C do triângulo ABC e dobre o triângulo de modo que a altura seja dividida ao meio, ou seja. pico C caiu para o ponto D - a base da altura. A linha de inflexão MN é a linha média do triângulo ABC. Então torça triângulos isósceles AMD e DNB por suas alturas, enquanto os vértices A e B coincidirão com o ponto D e l+2+3=2d.

Deve ser lembrado que o uso de recursos visuais em um curso sistemático de geometria não é de forma alguma a tarefa de substituir a prova lógica de qualquer proposição por sua verificação experimental. Recursos visuais deve apenas ajudar os alunos a compreender este ou aquele facto geométrico, as propriedades desta ou daquela figura geométrica e a disposição mútua dos seus elementos individuais. Ao determinar o ângulo de um triângulo, os alunos devem ser lembrados do teorema anteriormente considerado sobre o ângulo externo de um triângulo e indicar que o teorema da soma dos ângulos de um triângulo permite que tanto a construção quanto o cálculo estabeleçam uma relação numérica entre os ângulos externos e externos. ângulos internos que não são adjacentes a eles.

Como corolário do teorema da soma dos ângulos de um triângulo, prova-se que em um triângulo retângulo o cateto oposto ao ângulo de 30 graus é igual à metade da hipotenusa.

À medida que a apresentação progride, os alunos devem fazer perguntas e tarefas simples facilitando uma melhor assimilação do novo material. Por exemplo, quais linhas são chamadas de paralelas?

Em que posição da secante todos os ângulos formados por duas linhas paralelas e esta secante são iguais?

Uma linha reta traçada em um triângulo paralelo à base corta um pequeno triângulo dela. Prove que o triângulo cortado e o dado são equiângulos.

Calcule todos os ângulos formados por duas paralelas e uma secante, se um dos ângulos for de 72 graus.

Os ângulos laterais internos são respectivamente 540 e 1230. De quantos graus uma das linhas deve ser girada em torno do ponto de sua interseção com a secante para que as linhas sejam paralelas?

Prove que as bissetrizes de: a) dois ângulos iguais mas não opostos formados por duas retas paralelas e uma secante são paralelas, b) dois ângulos desiguais com as mesmas retas e uma secante são perpendiculares.

Dadas duas retas paralelas AB e CD e uma secante EF que intercepta essas retas nos pontos K e L. As bissetrizes KM e KN dos ângulos AKL e BKL cortam o segmento MN na reta CD. Encontre o comprimento MN, se for conhecido que o segmento KL da secante contida entre as paralelas é igual a a.

Qual é o tipo de triângulo em que: a) a soma de quaisquer dois ângulos é maior que d, b) a soma de dois ângulos é igual a d, c) a soma de dois ângulos é menor que d? Resposta: a) aguda, b) retangular, c) obtusa. Qual é a soma dos ângulos externos de um triângulo mais do que a quantidade seus cantos internos? Resposta: 2 vezes.

Todos os ângulos externos de um triângulo podem ser: a) agudos, b) obtusos, c) retos? Resposta: a) não, b) sim, c) não.

Em qual triângulo cada ângulo externo tem o dobro do tamanho de cada um dos ângulos internos? Resposta: equilátero.

Ao estudar o método das linhas paralelas, é necessário usar o histórico, teórico e literatura metódica para a formação completa do conceito de linhas paralelas.

TEOREMA 1.Igualdade de ângulos com lados mutuamente perpendiculares:Se
ambos agudos ou ambos contundentes e
,
, então
. TEOREMA 2. Propriedades da linha média de um trapézio:A) a linha mediana do trapézio é paralela às bases do trapézio;B) a linha mediana é igual à metade da soma das bases do trapézio;C) a linha do meio (e somente ela) corta qualquer segmento entre as bases do trapézio. Essas propriedades também são válidas para a linha média de um triângulo, se considerarmos o triângulo como um trapézio "degenerado", cujas bases têm comprimento igual a zero. TEOREMA 3. Sobre os pontos de intersecção de medianas, bissetrizes, alturas de um triângulo:A) três medianas do triângulo se cruzam em um ponto (chamado centro de gravidade do triângulo) e são divididas nesse ponto na razão de 2:1, contando de cima para baixo;B) três bissetrizes de um triângulo se cruzam em um ponto;C) três alturas se cruzam em um ponto (é chamado de ortocentro do triângulo).TEOREMA 4. Propriedade da mediana em um triângulo retângulo:Em um triângulo retângulo, a mediana traçada para a hipotenusa é igual à metade dela. O teorema inverso também é verdadeiro: se em um triângulo uma das medianas é igual à metade do lado para o qual ela é desenhada, então este triângulo é retânguloTEOREMA 5. propriedade da bissetriz do ângulo interno de um triângulo:A bissetriz do ângulo interno de um triângulo divide o lado para o qual é desenhado em partes proporcionais aos lados opostos:
TEOREMA 6. Relações métricas em um triângulo retângulo:Se umumaeb- cateteres,c- a hipotenusah- altura, e - projeções dos catetos na hipotenusa, então: a)
; b)
; dentro)
; G)
; e)
TEOREMA 7. Determinação do tipo de triângulo em seus lados:Deixe seruma, b, csão os lados do triângulo, sendo c o lado mais comprido; então:E se
, então o triângulo é agudo;B) se
, então o triângulo é retângulo;B) se
, então o triângulo é obtuso.TEOREMA 8. Relações métricas em um paralelogramo:A soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados de todos os seus lados:
. Ao resolver problemas geométricos, muitas vezes é necessário estabelecer a igualdade de dois segmentos (ou ângulos). Nós indicamos três formas principais de prova geométrica da igualdade de dois segmentos: 1) considere os segmentos como lados de dois triângulos e prove que esses triângulos são iguais; 2) representar segmentos como lados de um triângulo e provar que esse triângulo é isósceles; 3 ) substitua o segmento uma segmento igual a ele , e o segmento b – segmento igual a ele e provar a igualdade dos segmentos e . Tarefa 1.Duas linhas perpendiculares entre si cruzam os ladosAB, BC, CD, DE ANÚNCIOSquadradoABCDem pontosE, F, K, eurespectivamente. Prove queEK = FL(veja a figura do problema nº 1).R

Arroz. para a tarefa número 1

Solução: 1. Usando a primeira das formas acima de igualdade de dois segmentos, desenhamos os segmentos
e
- então os segmentos de interesse para nós EK e FL tornam-se lados de dois triângulos retângulos EPK e FML(veja a figura da tarefa nº 1). 2

Arroz. para a tarefa número 1

Nós temos: PK = FM(detalhes: PK = DE ANÚNCIOS, DE ANÚNCIOS = AB, AB = FM, meios,PK = FM), (como ângulos com lados mutuamente perpendiculares, Teorema 1). Então, (ao longo da perna e um ângulo agudo). Da igualdade dos triângulos retângulos segue a igualdade de suas hipotenusas, ou seja, segmentos EK e FL. ■ Observe que ao resolver problemas geométricos, muitas vezes você precisa fazer construções adicionais, por exemplo: desenhar uma linha reta, paralela ou perpendicular a uma das da figura (como fizemos no problema 1); dobrando a mediana do triângulo para completar o triângulo em um paralelogramo (como faremos no problema 2), desenhando uma bissetriz auxiliar. Existem construções adicionais úteis relacionadas ao círculo. Tarefa 2.Partidos
igualuma, b, c. Calcular mediana , desenhado para o lado c. (veja a figura do problema 2).R

Arroz. para a tarefa número 2

Solução: Dobre a mediana adicionando
para o paralelogramo ASVR, e aplique o Teorema 8 a este paralelogramo Obtemos: , i.e.
de onde encontramos:
Tarefa 3.Prove que em qualquer triângulo a soma das medianas é maior que ¾ do perímetro, mas menor que o perímetro.R
Solução: 1. Considerar
(veja a figura do problema 3) Temos:
;
. Como AM + MC >AC, então
(1) P

Arroz. para a tarefa número 3

Tendo feito um raciocínio semelhante para os triângulos AMB e BMC, obtemos:
(2)
(3) Somando as desigualdades (1), (2), (3), obtemos:
, t
.e. provamos que a soma das medianas é maior que ¾ do perímetro. 2. Vamos dobrar a mediana BD completando o triângulo em um paralelogramo (veja a figura do Problema 3). Então de
Nós temos: BK < BC + CK, Essa.
(4) De forma similar:
(5)

Arroz. para a tarefa número 3

(6) Somando as desigualdades (4), (5), (6), obtemos: , ou seja. a soma das medianas é menor que o perímetro. ■ Tarefa 4.Prove que em um triângulo retângulo não isósceles a bissetriz ângulo certo bissecta o ângulo entre a mediana e a altura traçada a partir do mesmo vértice.R
Solução: Seja ACB um triângulo retângulo,

, CH é a altura, CD é a bissetriz, CM é a mediana. Introduzimos a notação: (veja a figura do problema 4) . 1.

como ângulos com lados mutuamente perpendiculares () . 2

Arroz. para a tarefa número 4

Como
(veja o Teorema 4), então CM = MB, e então de
concluimos que
Então, 3. Uma vez que e (afinal, CD é uma bissetriz), então o que precisava ser provado. ■ Tarefa 5.Paralelogramo com ladosuma ebbissetrizes de ângulos internos são desenhadas (veja a figura do Problema 5). Encontre os comprimentos das diagonais do quadrilátero formado na interseção das bissetrizes.Decisão: 1 . AE - bissetriz
, BP é a bissetriz
(ver fig.) . como em um paralelogramo
Essa. então Isso significa que no triângulo ABK a soma dos ângulos A e B é igual a 90 0, então o ângulo K é igual a 90 0, ou seja, as bissetrizes AE e BP são mutuamente perpendiculares. MAS
a perpendicularidade mútua das bissetrizes AE e DQ, BP e CF, CF e DQ é logicamente provada. CONCLUSÃO: KLMN é um quadrilátero com ângulos retos, ou seja, retângulo. As diagonais de um retângulo são iguais, então basta encontrar o comprimento de uma delas, por exemplo, KM. 2

Arroz. para a tarefa número 5

Considerar
Ele tem AK - tanto a bissetriz quanto a altura. Isso significa, em primeiro lugar, que o triângulo ABP é isósceles, ou seja, AB = AR = b, e, em segundo lugar, que o segmento AK é também a mediana do triângulo ABP, i.e. K é o meio da bissetriz VR. Prova-se igualmente que M é o ponto médio da bissetriz DQ. 3. Considere o segmento KM. Ela corta os segmentos BP e DQ. Mas a linha do meio do paralelogramo (note que o paralelogramo é caso especial trapézio; se podemos falar sobre a linha média de um trapézio, podemos igualmente falar sobre a linha média de um paralelogramo que tem as mesmas propriedades) passa pelos pontos K e M (ver Teorema 2). Portanto, KM é um segmento na linha do meio e, portanto,
.4. Como
e
, então KMDP é um paralelogramo e, portanto. Responda:
■ De fato, no processo de resolução do problema (nas etapas 1 e 2), provamos bastante propriedade importante: as bissetrizes dos ângulos adjacentes ao lado lateral do trapézio se cruzam em ângulos retos em um ponto situado na linha média do trapézio. Deve-se notar que o principal método para compilar equações em problemas geométricos é métodoelemento de suporte, que é o seguinte: o mesmo elemento (lado, ângulo, área, raio, etc.) é expresso em termos de quantidades conhecidas e desconhecidas por dois jeitos diferentes e as expressões resultantes são iguais. Muitas vezes, uma área é escolhida como elemento de referência.figuras. Então eles dizem que para compilar a equação é usado método de área.É necessário ensinar as crianças em idade escolar a resolver problemas básicos, ou seja, Essa. Que são incluídos como elementos constitutivos em muitas outras tarefas. Estes são, por exemplo, o problema de encontrar os elementos básicos de um triângulo: mediana, altura, bissetriz, raios dos círculos inscritos e circunscritos, área. C inferno 6.Em um triângulo ABC, os lados AB e BC são iguais, BH é a altura. Um ponto é tomado no lado BCDentão
(veja a figura do problema 6). Em que sentido é o segmentoDE ANÚNCIOSdivide a altura de WH?Decisão: 1. Colocamos BD = uma, então CD = 4 uma, AB = 5a.2

Arroz. para a tarefa número 6

Vamos desenhar um segmento
(veja a figura do problema 6) Como NK é a linha média do triângulo ACD DK = KC = 2 uma .3. Considere o triângulo VNK. Temos: BD = uma,NS = 2 uma e
. De acordo com o teorema de Tales
mas
Daí, e
■ Se em um problema é necessário encontrar a razão de algumas quantidades, então, como regra, o problema é resolvido método de parâmetro auxiliar. Isso significa que no início da resolução do problema declaramos alguns valor linear conhecido, denotando-o, por exemplo, com a letra uma, e então expresso através de uma as quantidades cuja razão deve ser encontrada. Quando a relação desejada é compilada, o parâmetro auxiliar uma está encolhendo. Foi assim que agimos na tarefa . Nosso conselho: ao resolver problemas em que é necessário encontrar a razão de quantidades (em particular, em problemas de determinação do ângulo - afinal, como regra, ao calcular o ângulo nós estamos falando sobre encontrá-lo função trigonométrica, ou seja no relacionamento das partes triângulo retângulo), os alunos devem ser ensinados a destacar a introdução de um parâmetro auxiliar como a primeira etapa da solução. O método de parâmetro auxiliar também é usado em tarefas onde figura geométrica definido até a semelhança. Tarefa 7 .Em um triângulo com lados iguais a 10, 17 e 21 cm, um retângulo está inscrito de modo que dois de seus vértices estejam em um lado do triângulo e os outros dois vértices estejam nos outros dois lados do triângulo. Encontre os lados de um retângulo se seu perímetro for 22,5 cm.R
solução . 1. Em primeiro lugar, definimos o tipo de triângulo. Temos: 10 2 = 100; 17 2 = 289; 21 2 = 441. Como 21 2 > 10 2 + 17 2 , então o triângulo é obtuso (ver Teorema 7), o que significa que o retângulo pode ser inscrito nele de apenas uma maneira: colocando dois de seus vértices no maior lado do triângulo ABC (veja a Fig. . do problema 7), onde AC = 21 cm, AB = 10 cm, BC = 17 cm. 2

Os ângulos são geralmente considerados com lados paralelos correspondentes ou com lados perpendiculares respectivamente. Considere primeiro o primeiro caso.

Sejam dados dois ângulos ABC e DEF. Seus lados são respectivamente paralelos: AB || DE e BC || EF. Esses dois cantos será igual ou sua soma será igual a 180°. Na figura abaixo, no primeiro caso ∠ABC = ∠DEF, e no segundo caso ∠ABC + ∠DEF = 180°.

A prova de que este é realmente o caso se resume ao seguinte.

Considere os ângulos com lados respectivamente paralelos, localizados como na primeira figura. Neste caso, estendemos as linhas AB e EF até a interseção. Vamos denotar o ponto de interseção pela letra G. Além disso, para maior clareza da demonstração subsequente, o lado BC é estendido na figura.

Como as linhas BC e EF são paralelas, se a linha AB cruza uma delas, então necessariamente cruzará a outra. Ou seja, a reta AB é uma secante de duas retas paralelas. Como você sabe, neste caso, os ângulos cruzados na secante são iguais, os unilaterais somam 180 °, os correspondentes são iguais.

Ou seja, não importa que par de ângulos tomemos nos vértices B e G (um ângulo de um, o outro do segundo), sempre obteremos ângulos iguais ou dando um total de 180 °.

No entanto, as linhas AB e DE também são paralelas. Para eles, a reta EF já é uma secante. Isso significa que qualquer par de ângulos dos vértices G e E somarão 180° ou serão iguais entre si. Segue-se que os pares de vértices dos vértices B e E também obedecerão a esta regra.

Por exemplo, considere os ângulos ∠ABC e ∠DEF. Ângulo ABC igual ao ângulo BGE, pois estes são os ângulos correspondentes para as retas paralelas BC e EF. Por sua vez, o ângulo BGE é igual ao ângulo DEF, pois esses ângulos são correspondentes quando AB e DE são paralelos. Assim, ∠ABC e ∠DEF estão provados.

Agora considere os ângulos ∠ABC e ∠DEG. O ângulo ABC é igual ao ângulo BGE. Mas ∠BGE e ∠DEG são ângulos unilaterais com linhas paralelas (AB || DE) interceptadas por uma secante (EF). Como você sabe, esses ângulos somam 180°. Se observarmos o segundo caso da primeira figura, entendemos que corresponde ao par de ângulos ABC e DEG da segunda figura.

Então dois ângulos diferentes, cujos lados são respectivamente paralelos, ou iguais entre si, ou somam 180°. O teorema foi provado.

Um caso especial deve ser observado - quando os cantos são virados. Nesse caso, eles obviamente serão iguais entre si.

Agora considere ângulos com lados respectivamente perpendiculares. Este caso parece mais complicado, porque arranjo mútuo os ângulos são mais variados. Na figura abaixo, há três exemplos de como os cantos com lados respectivamente perpendiculares podem ser colocados. No entanto, em qualquer caso, um lado do primeiro ângulo (ou sua extensão) é perpendicular a um lado do segundo ângulo e o segundo lado do primeiro ângulo é perpendicular ao segundo lado do segundo ângulo.

Vamos considerar um dos casos. Neste caso, desenhamos uma bissetriz em um canto e através de seu ponto arbitrário traçamos perpendiculares aos lados de seu ângulo.

Dado aqui são os ângulos ABC e DEF com lados perpendiculares respectivamente: AB ⊥ DE e BC ⊥ EF. O ponto G é tomado na bissetriz do ângulo ABC, através do qual são traçadas perpendiculares ao mesmo ângulo: GH ⊥ AB e GI ⊥ BC.

Considere os triângulos BGH e BGI. Eles são retangulares, pois os ângulos H e I são ângulos retos neles. Nelas, os ângulos no vértice B são iguais, pois BG é a bissetriz do ângulo ABC. Além disso, os triângulos considerados têm um lado comum BG e é a hipotenusa de cada um deles. Como você sabe, triângulos retângulos são congruentes se suas hipotenusas e uma das cantos afiados. Assim, ∆BGH = ∆BGI.

Como ∆BGH = ∆BGI, então ∠BGH = ∠BGI. Portanto, o ângulo HGI pode ser representado não como a soma desses dois ângulos, mas como um deles multiplicado por 2: ∠HGI = ∠BGH * 2.

O ângulo ABC pode ser representado como a soma de dois ângulos: ∠ABC = ∠GBH + ∠GBI. Como os termos dos ângulos são iguais entre si (já que são formados por uma bissetriz), então o ângulo ABC pode ser representado como o produto de um deles pelo número 2: ∠ABC = ∠GBH * 2.

Os ângulos BGH e GBH são os ângulos agudos de um triângulo retângulo e, portanto, somam 90°. Vejamos as igualdades que obtemos:

∠BGH + ∠GBH = 90°
∠HGI = ∠BGH * 2
∠ABC = ∠GBH*2

Vamos adicionar os dois últimos:

∠HGI + ∠ABC = ∠BGH * 2 + ∠GBH * 2

Vamos tirar o fator comum do colchete:

∠HGI + ∠ABC = 2(∠BGH + ∠GBH)

Como a soma dos ângulos entre parênteses é 90°, verifica-se que os ângulos HGI e ABC somam 180°:

∠ABC + ∠HGI = 2 * 90° = 180°

Assim, provamos que a soma dos ângulos HGI e ABC é 180°. E agora vamos olhar para a figura novamente e voltar nosso olhar para o ângulo com o qual o ângulo ABC tem lados correspondentes perpendiculares. Este é o ângulo DEF.

As linhas GI e EF são paralelas entre si porque ambas são perpendiculares à mesma linha BC. E como você sabe, as linhas que são perpendiculares à mesma linha são paralelas entre si. Pelo mesmo motivo DE || G.H.

Como provado anteriormente, ângulos com lados correspondentes paralelos somam 180° ou são iguais entre si. Então, ou ∠DEF = ∠HGI ou ∠DEF + ∠HGI = 180°.

No entanto, ∠ABC + ∠HGI = 180°. A partir disso, conclui-se que, no caso de lados respectivamente perpendiculares, os ângulos são iguais ou somam 180°.

Embora em este caso limitamo-nos a provar a soma. Mas se estendermos mentalmente o lado EF na direção oposta, veremos um ângulo que é igual ao ângulo ABC e, ao mesmo tempo, seus lados também são perpendiculares ao ângulo ABC. Você pode provar a igualdade de tais ângulos considerando ângulos com lados respectivamente paralelos: ∠DEF e ∠HGI.

53. Cantos ( cantos internos) triângulo três ângulos são chamados, cada um dos quais é formado por três raios que saem dos vértices do triângulo e passam por outros dois vértices.

54. Teorema da soma do triângulo dos ângulos. A soma dos ângulos de um triângulo é 180°.

55. canto externo triângulo é chamado um ângulo adjacente a qualquer ângulo desse triângulo.

56. canto externo triângulo é igual à soma de dois ângulos do triângulo que não são adjacentes a ele.

57. Se todos os três cantos triângulo focado, então o triângulo é chamado ângulo agudo.

58. Se um dos cantos triângulo cego, então o triângulo é chamado obtuso.

59. Se um dos cantos triângulo Em linha reta, então o triângulo é chamado retangular.

60. O lado de um triângulo retângulo que fica oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa(palavra grega gyipotenusa - "contrair"), e os dois lados formando um ângulo reto - pernas(palavra latina katetos - "prumo") .

61. Teorema da relação entre os lados e os ângulos de um triângulo. Em um triângulo contra lado maior encontra-se um ângulo maior e volta, o lado maior é oposto ao ângulo maior.

62. Em um triângulo retângulo a hipotenusa é mais longa que a perna.

Porque o lado maior sempre fica oposto ao ângulo maior.

Sinais de um triângulo isósceles.

Se em um triângulo dois ângulos são iguais, então é isósceles;

Se em um triângulo a bissetriz é a mediana ou altura,
então este triângulo é isósceles;

Se em um triângulo a mediana é a bissetriz ou altura, então

este triângulo é isósceles;

Se em um triângulo a altura é a mediana ou bissetriz,

então o triângulo é isósceles.

64. Teorema. desigualdade triangular. O comprimento de cada lado do triângulo é maior que a diferença e menos do que a quantidade os comprimentos dos outros dois lados:

Propriedades dos ângulos de um triângulo retângulo.

A soma de dois ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90°.

UMA + B = 90°

66. Propriedades de um triângulo retângulo.

O cateto de um triângulo retângulo oposto a um ângulo de 30° é igual à metade da hipotenusa.

Se um/ A \u003d 30 °, então BC = ½ AB

67. Propriedades de um triângulo retângulo.

a) Se o cateto de um triângulo retângulo é metade da hipotenusa, então o ângulo oposto a esse cateto é 30°.

Se BC = ½ AB, então / B = 30°

B) A mediana traçada para a hipotenusa é igual a metade da hipotenusa.

mediana CF = ½ AB

Um sinal de igualdade de triângulos retângulos ao longo de duas pernas.

Se os catetos de um triângulo retângulo são respectivamente iguais aos catetos de outro, então tais triângulos são congruentes.

Para ângulos com lados correspondentemente paralelos, as seguintes proposições são verdadeiras:

1. Se os lados aeb de um ângulo são respectivamente paralelos aos lados aeb de outro ângulo e são igualmente orientados com eles, então os ângulos são iguais.

2. Se, na mesma condição de paralelismo, os lados aeb são corrigidos em oposição aos lados aeb, então os ângulos também são iguais.

3. Se, finalmente, os lados a e são paralelos e igualmente direcionados, e os lados são paralelos e direcionados de forma oposta, então os ângulos se complementam ao expandido.

Prova. Vamos provar a primeira dessas proposições. Deixe os lados dos ângulos e sejam paralelos e igualmente direcionados (Fig. 191). Conecte os vértices dos cantos com uma linha reta.

Neste caso, dois casos são possíveis: a reta passa dentro dos cantos ou fora desses cantos (Fig. 191, b). Em ambos os casos a prova é óbvia: assim, no primeiro caso

mas de onde chegamos. No segundo caso temos

e o resultado segue novamente das igualdades

Deixamos a prova das proposições 2 e 3 para o leitor. Pode-se dizer que se os lados dos ângulos são respectivamente paralelos, então os ângulos são iguais ou se somam ao ângulo expandido.

Obviamente, eles são iguais se ambos são sustenidos ou ambos são contundentes, e sua soma é igual se um deles é sustenido e o outro é contundente.

Ângulos com lados respectivamente perpendiculares são iguais ou se complementam até um ângulo reto.

Prova. Seja a um certo ângulo (Fig. 192), e O o vértice do ângulo formado pelas linhas respectivamente perpendiculares a pode ser qualquer um dos quatro ângulos formados por essas duas linhas). Vamos girar o ângulo (ou seja, ambos os lados) em torno de seu vértice O por um ângulo reto; obtemos um ângulo igual a ele, mas um cujos lados são perpendiculares aos lados do ângulo girado são indicados na Fig. 192 a São paralelas a linhas retas formando determinado ângulo uma. Portanto, os ângulos significam e os ângulos são iguais ou formam um ângulo total.

O ensino da planimetria em um curso escolar.

Leia também

A soma dos ângulos de um triângulo