Definição de distâncias. Os problemas mais simples com uma linha reta em um plano. Arranjo mútuo de linhas. Ângulo entre as linhas

Oh-oh-oh-oh-oh ... bem, é minúsculo, como se você lesse a frase para si mesmo =) No entanto, o relaxamento ajudará, especialmente porque comprei acessórios adequados hoje. Portanto, vamos para a primeira seção, espero que até o final do artigo eu mantenha um clima alegre.

Arranjo mútuo de duas linhas retas

O caso em que o salão canta junto em coro. Duas linhas podem:

1) partida;

2) ser paralelo: ;

3) ou se cruzam em um único ponto: .

Ajuda para manequins : lembre-se do sinal matemático da interseção , isso ocorrerá com muita frequência. A entrada significa que a linha cruza com a linha no ponto.

Como determinar a posição relativa de duas linhas?

Vamos começar com o primeiro caso:

Duas linhas coincidem se e somente se seus respectivos coeficientes são proporcionais, ou seja, existe tal número "lambda" que as igualdades

Vamos considerar linhas retas e compor três equações a partir dos coeficientes correspondentes: . De cada equação segue-se que, portanto, essas linhas coincidem.

De fato, se todos os coeficientes da equação multiplicar por -1 (sinais de mudança), e todos os coeficientes da equação reduzir por 2, você obtém a mesma equação: .

O segundo caso quando as linhas são paralelas:

Duas linhas são paralelas se e somente se seus coeficientes nas variáveis ​​são proporcionais: , mas.

Como exemplo, considere duas linhas retas. Verificamos a proporcionalidade dos coeficientes correspondentes para as variáveis:

No entanto, é claro que.

E o terceiro caso, quando as linhas se cruzam:

Duas linhas se cruzam se e somente se seus coeficientes das variáveis ​​NÃO são proporcionais, ou seja, NÃO existe tal valor de "lambda" que as igualdades sejam cumpridas

Então, para linhas retas vamos compor um sistema:

Da primeira equação segue que , e da segunda equação: , portanto, o sistema é inconsistente(sem soluções). Assim, os coeficientes nas variáveis ​​não são proporcionais.

Conclusão: as linhas se cruzam

Em problemas práticos, o esquema de solução que acabamos de considerar pode ser usado. A propósito, é muito semelhante ao algoritmo para verificar a colinearidade de vetores, que consideramos na lição. O conceito de (não) dependência linear de vetores. Base vetorial. Mas há um pacote mais civilizado:

Exemplo 1

Descubra a posição relativa das linhas:

Decisão baseado no estudo de vetores diretores de linhas retas:

a) Das equações, encontramos os vetores de direção das linhas: .

, então os vetores não são colineares e as linhas se cruzam.

Por precaução, vou colocar uma pedra com ponteiros na encruzilhada:

O resto salta sobre a pedra e segue em frente, direto para Kashchei, o Imortal =)

b) Encontre os vetores de direção das linhas:

As linhas têm o mesmo vetor de direção, o que significa que elas são paralelas ou iguais. Aqui o determinante não é necessário.

Obviamente, os coeficientes das incógnitas são proporcionais, enquanto .

Vamos descobrir se a igualdade é verdadeira:

Por isso,

c) Encontre os vetores de direção das linhas:

Vamos calcular o determinante, composto pelas coordenadas desses vetores:
, portanto, os vetores de direção são colineares. As linhas são paralelas ou coincidentes.

O fator de proporcionalidade "lambda" é fácil de ver diretamente da razão de vetores de direção colineares. No entanto, também pode ser encontrado através dos coeficientes das próprias equações: .

Agora vamos descobrir se a igualdade é verdadeira. Ambos os termos livres são zero, então:

O valor resultante satisfaz esta equação(se adapta a qualquer número em geral).

Assim, as linhas coincidem.

Responda:

Muito em breve você aprenderá (ou mesmo já aprendeu) a resolver o problema considerado verbalmente literalmente em questão de segundos. A este respeito, não vejo razão para oferecer qualquer coisa para solução independente, é melhor colocar outro tijolo importante na fundação geométrica:

Como desenhar uma linha paralela a uma dada?

Por desconhecimento disso a tarefa mais simples pune severamente o Rouxinol, o Ladrão.

Exemplo 2

A linha reta é dada pela equação . Escreva uma equação para uma reta paralela que passa pelo ponto.

Decisão: Denote a linha desconhecida pela letra. O que a condição diz sobre isso? A linha passa pelo ponto. E se as linhas são paralelas, então é óbvio que o vetor diretor da linha "ce" também é adequado para construir a linha "de".

Tiramos o vetor de direção da equação:

Responda:

A geometria do exemplo parece simples:

A verificação analítica consiste nas seguintes etapas:

1) Verificamos que as retas têm o mesmo vetor de direção (se a equação da reta não for devidamente simplificada, então os vetores serão colineares).

2) Verifique se o ponto satisfaz a equação resultante.

A verificação analítica na maioria dos casos é fácil de realizar oralmente. Olhe para as duas equações e muitos de vocês descobrirão rapidamente como as linhas são paralelas sem nenhum desenho.

Exemplos de auto-solução hoje serão criativos. Porque você ainda tem que competir com Baba Yaga, e ela, você sabe, é uma amante de todos os tipos de enigmas.

Exemplo 3

Escreva uma equação para uma reta que passa por um ponto paralelo à reta se

Existe racional e não tão maneira racional soluções. O caminho mais curto é no final da lição.

Fizemos um pequeno trabalho com linhas paralelas e voltaremos a elas mais tarde. O caso de linhas coincidentes é de pouco interesse, então considere um problema que é bem conhecido por você desde currículo escolar:

Como encontrar o ponto de intersecção de duas linhas?

Se em linha reta intersectam no ponto , então suas coordenadas são a solução sistemas de equações lineares

Como encontrar o ponto de intersecção das linhas? Resolva o sistema.

Aqui está para você sentido geométrico dois equações lineares com duas incógnitas são duas linhas retas que se cruzam (na maioria das vezes) em um plano.

Exemplo 4

Encontre o ponto de intersecção das linhas

Decisão: Existem duas maneiras de resolver - gráfica e analítica.

A maneira gráfica é simplesmente desenhar as linhas dadas e descobrir o ponto de interseção diretamente do desenho:

Aqui está o nosso ponto: . Para verificar, você deve substituir suas coordenadas em cada equação de uma linha reta, elas devem caber tanto ali quanto ali. Em outras palavras, as coordenadas de um ponto são a solução do sistema. Na verdade, consideramos uma forma gráfica de resolver sistemas de equações lineares com duas equações, duas incógnitas.

O método gráfico, é claro, não é ruim, mas há desvantagens visíveis. Não, a questão não é que os alunos da sétima série decidam dessa forma, a questão é que levará tempo para fazer um desenho correto e EXATO. Além disso, algumas linhas não são tão fáceis de construir, e o próprio ponto de interseção pode estar em algum lugar no trigésimo reino fora da folha do caderno.

Portanto, é mais conveniente buscar o ponto de interseção pelo método analítico. Vamos resolver o sistema:

Para resolver o sistema, foi utilizado o método de adição de equações termo a termo. Para desenvolver as habilidades relevantes, visite a lição Como resolver um sistema de equações?

Responda:

A verificação é trivial - as coordenadas do ponto de interseção devem satisfazer cada equação do sistema.

Exemplo 5

Encontre o ponto de interseção das linhas se elas se cruzam.

Este é um exemplo de faça você mesmo. A tarefa pode ser convenientemente dividida em várias etapas. A análise da condição sugere que é necessário:
1) Escreva a equação de uma reta.
2) Escreva a equação de uma reta.
3) Descubra a posição relativa das linhas.
4) Se as linhas se cruzam, encontre o ponto de interseção.

O desenvolvimento de um algoritmo de ação é típico para muitos problemas geométricos, e vou focar repetidamente nisso.

Solução completa e resposta no final do tutorial:

Um par de sapatos ainda não foi usado, pois chegamos à segunda seção da lição:

Linhas perpendiculares. A distância de um ponto a uma linha.
Ângulo entre as linhas

Vamos começar com um típico e muito tarefa importante. Na primeira parte, aprendemos a construir uma linha reta paralela à dada, e agora a cabana nas pernas de frango girará 90 graus:

Como desenhar uma linha perpendicular a uma dada?

Exemplo 6

A linha reta é dada pela equação . Escreva uma equação para uma reta perpendicular que passa por um ponto.

Decisão: Sabe-se por suposição que . Seria bom encontrar o vetor de direção da linha reta. Como as linhas são perpendiculares, o truque é simples:

Da equação “retiramos” o vetor normal: , que será o vetor orientador da reta.

Compomos a equação de uma reta por um ponto e um vetor diretor:

Responda:

Vamos desdobrar o esboço geométrico:

Hmmm... Céu laranja, mar laranja, camelo laranja.

Verificação analítica da solução:

1) Extraia os vetores de direção das equações e com a ajuda produto escalar de vetores concluímos que as linhas são de fato perpendiculares: .

A propósito, você pode usar vetores normais, é ainda mais fácil.

2) Verifique se o ponto satisfaz a equação resultante .

A verificação, novamente, é fácil de realizar verbalmente.

Exemplo 7

Encontre o ponto de intersecção das linhas perpendiculares, se a equação for conhecida e ponto.

Este é um exemplo de faça você mesmo. Existem várias ações na tarefa, por isso é conveniente organizar a solução ponto a ponto.

É nosso uma viagem divertida continuou:

Distância do ponto à linha

Diante de nós está uma faixa reta do rio e nossa tarefa é alcançá-la pelo caminho mais curto. Não há obstáculos, e a rota mais ideal será o movimento ao longo da perpendicular. Ou seja, a distância de um ponto a uma linha é o comprimento do segmento perpendicular.

A distância em geometria é tradicionalmente denotada pela letra grega "ro", por exemplo: - a distância do ponto "em" à linha reta "de".

Distância do ponto à linha é expresso pela fórmula

Exemplo 8

Encontrar a distância de um ponto a uma linha

Decisão: tudo que você precisa é substituir cuidadosamente os números na fórmula e fazer os cálculos:

Responda:

Vamos executar o desenho:

A distância encontrada do ponto até a linha é exatamente o comprimento do segmento vermelho. Se você fizer um desenho em papel quadriculado em uma escala de 1 unidade. \u003d 1 cm (2 células), então a distância pode ser medida com uma régua comum.

Considere outra tarefa de acordo com o mesmo desenho:

A tarefa é encontrar as coordenadas do ponto , que é simétrico ao ponto em relação à linha . Proponho realizar as ações por conta própria, no entanto, descreverei o algoritmo da solução com resultados intermediários:

1) Encontre uma linha que é perpendicular a uma linha.

2) Encontre o ponto de intersecção das linhas: .

Ambas as ações são discutidas em detalhes nesta lição.

3) O ponto é o ponto médio do segmento. Conhecemos as coordenadas do meio e de uma das extremidades. De fórmulas para as coordenadas do meio do segmento encontrar .

Não será supérfluo verificar se a distância também é igual a 2,2 unidades.

Dificuldades aqui podem surgir nos cálculos, mas na torre uma microcalculadora ajuda muito, permitindo contar frações comuns. Já aconselhei muitas vezes e recomendarei novamente.

Como encontrar a distância entre duas retas paralelas?

Exemplo 9

Encontre a distância entre duas retas paralelas

Este é outro exemplo para uma solução independente. Uma pequena dica: existem infinitas maneiras de resolver. Debriefing no final da lição, mas é melhor tentar adivinhar por si mesmo, acho que você conseguiu dispersar bem sua ingenuidade.

Ângulo entre duas linhas

Seja qual for o canto, então o batente:


Na geometria, o ângulo entre duas linhas retas é tomado como o ângulo MENOR, do qual se segue automaticamente que não pode ser obtuso. Na figura, o ângulo indicado pelo arco vermelho não é considerado o ângulo entre as linhas de interseção. E seu vizinho “verde” ou orientado opostamente canto carmesim.

Se as linhas são perpendiculares, qualquer um dos 4 ângulos pode ser considerado como o ângulo entre elas.

Como os ângulos são diferentes? Orientação. Primeiro, a direção de "rolagem" do canto é fundamentalmente importante. Em segundo lugar, um ângulo orientado negativamente é escrito com um sinal de menos, por exemplo, se .

Por que eu disse isso? Parece que você pode conviver com o conceito usual de um ângulo. O fato é que nas fórmulas pelas quais encontraremos os ângulos, um resultado negativo pode ser facilmente obtido, e isso não deve surpreendê-lo. Um ângulo com sinal de menos não é pior e tem um significado geométrico muito específico. No desenho de um ângulo negativo, é imperativo indicar sua orientação (sentido horário) com uma seta.

Como encontrar o ângulo entre duas linhas? Existem duas fórmulas de trabalho:

Exemplo 10

Encontre o ângulo entre as linhas

Decisão e Método um

Considere duas linhas retas dadas por equações na forma geral:

Se em linha reta não perpendicular, então orientado o ângulo entre eles pode ser calculado usando a fórmula:

Vamos prestar muita atenção ao denominador - isso é exatamente produto escalar vetores de direção de linhas retas:

Se , então o denominador da fórmula desaparece, e os vetores serão ortogonais e as linhas serão perpendiculares. Por isso, foi feita uma ressalva quanto à não perpendicularidade das linhas na formulação.

Com base no exposto, a solução é convenientemente formalizada em duas etapas:

1) Calcule o produto escalar de vetores diretores de linhas retas:
então as retas não são perpendiculares.

2) Encontramos o ângulo entre as linhas pela fórmula:

Através da função inversa fácil de encontrar o canto em si. Neste caso, usamos a estranheza do arco tangente (ver Fig. Gráficos e propriedades de funções elementares):

Responda:

Na resposta, indique valor exato, bem como um valor aproximado (de preferência em graus e radianos) calculado usando uma calculadora.

Bem, menos, então menos, está tudo bem. Aqui está uma ilustração geométrica:

Não é de surpreender que o ângulo tenha uma orientação negativa, porque na condição do problema o primeiro número é uma linha reta e a “torção” do ângulo começou precisamente a partir dela.

Se você realmente deseja obter um ângulo positivo, precisa trocar as linhas retas, ou seja, pegar os coeficientes da segunda equação , e pegue os coeficientes da primeira equação . Em suma, você precisa começar com um .

Este artigo fala sobre o tema « distância do ponto à linha », as definições da distância de um ponto a uma linha são consideradas com exemplos ilustrados pelo método das coordenadas. Cada bloco de teoria no final mostrou exemplos de resolução de problemas semelhantes.

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A distância de um ponto a uma linha é encontrada determinando a distância de um ponto a um ponto. Vamos considerar com mais detalhes.

Seja uma reta a e um ponto M 1 não pertencente à reta dada. Desenhe uma linha através dele localizada perpendicularmente à linha a. Tome o ponto de intersecção das linhas como H 1. Obtemos que M 1 H 1 é uma perpendicular, que foi baixada do ponto M 1 até a linha a.

Definição 1

Distância do ponto M 1 à reta a chamada de distância entre os pontos M 1 e H 1 .

Há registros da definição com a figura do comprimento da perpendicular.

Definição 2

Distância do ponto à linhaé o comprimento da perpendicular traçada de um ponto dado a uma linha dada.

As definições são equivalentes. Considere a figura abaixo.

Sabe-se que a distância de um ponto a uma linha reta é a menor de todas as possíveis. Vejamos isso com um exemplo.

Se tomarmos o ponto Q situado na linha a, não coincidindo com o ponto M 1, obtemos que o segmento M 1 Q é chamado oblíquo, descido de M 1 até a linha a. É necessário indicar que a perpendicular do ponto M 1 é menor do que qualquer outra oblíqua traçada do ponto à reta.

Para provar isso, considere o triângulo M 1 Q 1 H 1 , onde M 1 Q 1 é a hipotenusa. Sabe-se que seu comprimento é sempre maior que o comprimento de qualquer uma das pernas. Assim, temos que M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Os dados iniciais para encontrar de um ponto a uma reta permitem o uso de diversos métodos de solução: através do teorema de Pitágoras, definições de seno, cosseno, tangente de um ângulo, entre outros. A maioria das tarefas deste tipo são resolvidas na escola nas aulas de geometria.

Quando, ao encontrar a distância de um ponto a uma linha, é possível inserir um sistema de coordenadas retangulares, o método de coordenadas é usado. Neste parágrafo, consideramos os dois principais métodos para encontrar a distância desejada de dado ponto.

O primeiro método envolve encontrar a distância como uma perpendicular traçada de M 1 à linha a. O segundo método usa a equação normal da linha reta a para encontrar a distância necessária.

Se houver um ponto no plano com coordenadas M 1 (x 1, y 1) localizado em um sistema de coordenadas retangular, uma linha reta a, e você precisar encontrar a distância M 1 H 1, poderá calcular de duas maneiras. Vamos considerá-los.

Primeira maneira

Se houver coordenadas do ponto H 1 iguais a x 2, y 2, então a distância do ponto à linha é calculada a partir das coordenadas da fórmula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - e 1) 2.

Agora vamos passar para encontrar as coordenadas do ponto H 1.

Sabe-se que uma linha reta em O x y corresponde à equação de uma linha reta em um plano. Vamos dar um jeito de definir uma reta a escrevendo uma equação geral de uma reta ou uma equação com inclinação. Compomos a equação de uma reta que passa pelo ponto M 1 perpendicular a uma reta dada a. Vamos denotar a linha por faia b . H 1 é o ponto de intersecção das linhas a e b, portanto, para determinar as coordenadas, você deve usar o artigo em que em questão nas coordenadas dos pontos de intersecção de duas linhas.

Pode-se ver que o algoritmo para encontrar a distância de um determinado ponto M 1 (x 1, y 1) até a reta a é realizado de acordo com os pontos:

Definição 3

• encontrar a equação geral da linha reta a , com a forma A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, ou uma equação com um coeficiente de inclinação, com a forma y \u003d k 1 x + b 1;
• obtendo a equação geral da linha b, que tem a forma A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 ou uma equação com inclinação y \u003d k 2 x + b 2 se a linha b cruza o ponto M 1 e é perpendicular à reta dada a;
• determinação das coordenadas x 2, y 2 do ponto H 1, que é o ponto de interseção de a e b, para isso, resolve-se o sistema de equações lineares A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ou y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• cálculo da distância necessária de um ponto a uma linha reta, usando a fórmula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Segunda via

O teorema pode ajudar a responder à questão de encontrar a distância de um determinado ponto a uma determinada linha em um plano.

Teorema

Um sistema de coordenadas retangulares tem O x y tem um ponto M 1 (x 1, y 1), a partir do qual uma linha reta é traçada a ao plano, dada pela equação normal do plano, tendo a forma cos α x + cos β y - p \u003d 0, igual a módulo o valor obtido no lado esquerdo da equação da linha reta normal, calculado em x = x 1, y = y 1, significa que M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Prova

A linha a corresponde à equação normal do plano, que tem a forma cos α x + cos β y - p = 0, então n → = (cos α , cos β) é considerado um vetor normal da linha a em um distância da origem à linha a com p unidades . É necessário representar todos os dados na figura, adicionar um ponto com as coordenadas M 1 (x 1, y 1) , onde o vetor raio do ponto M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . É necessário traçar uma linha reta de um ponto a uma linha reta, que denotaremos por M 1 H 1 . É necessário mostrar as projeções M 2 e H 2 dos pontos M 1 e H 2 em uma linha reta que passa pelo ponto O com um vetor diretor da forma n → = (cos α , cos β) , e a projeção numérica do vetor será denotado como O M 1 → = (x 1 , y 1) na direção n → = (cos α , cos β) como n p n → O M 1 → .

As variações dependem da localização do próprio ponto M 1. Considere a figura abaixo.

Fixamos os resultados usando a fórmula M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Então trazemos a igualdade para esta forma M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p para obter n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

O produto escalar de vetores resulta em uma fórmula transformada da forma n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , que é um produto na forma coordenada do forma n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Assim, obtemos que n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Segue que M 1 H 1 = n p n → O M 1 → -p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . O teorema foi provado.

Obtemos que para encontrar a distância do ponto M 1 (x 1, y 1) até a reta a no plano, várias ações devem ser realizadas:

Definição 4

• obter a equação normal da reta a cos α · x + cos β · y - p = 0, desde que não esteja na tarefa;
• cálculo da expressão cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , onde o valor resultante leva M 1 H 1 .

Vamos aplicar esses métodos para resolver problemas de encontrar a distância de um ponto a um plano.

Exemplo 1

Encontre a distância do ponto com as coordenadas M 1 (- 1 , 2) até a linha 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Decisão

Vamos usar o primeiro método para resolver.

Para fazer isso, você precisa encontrar a equação geral da linha b, que passa por um determinado ponto M 1 (- 1 , 2) perpendicular à linha 4 x - 3 y + 35 = 0 . Pode-se ver a partir da condição que a linha b é perpendicular à linha a, então seu vetor direcional tem coordenadas iguais a (4, - 3) . Assim, temos a oportunidade de escrever a equação canônica da reta b no plano, pois existem coordenadas do ponto M 1, pertencente à reta b. Vamos determinar as coordenadas do vetor diretor da reta b . Obtemos que x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . A equação canônica resultante deve ser convertida para uma geral. Então obtemos isso

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Vamos encontrar as coordenadas dos pontos de intersecção das linhas, que tomaremos como a designação H 1. As transformações ficam assim:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Do exposto, temos que as coordenadas do ponto H 1 são (- 5; 5) .

É necessário calcular a distância do ponto M 1 à reta a. Temos que as coordenadas dos pontos M 1 (- 1, 2) e H 1 (- 5, 5), então substituímos na fórmula para encontrar a distância e obtemos que

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

A segunda solução.

Para resolver de outra forma, é necessário obter a equação normal de uma reta. Calculamos o valor do fator de normalização e multiplicamos ambos os lados da equação 4 x - 3 y + 35 = 0 . A partir daqui, obtemos que o fator de normalização é - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , e a equação normal será da forma - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

De acordo com o algoritmo de cálculo, é necessário obter a equação normal de uma linha reta e calculá-la com os valores x = - 1 , y = 2 . Então obtemos isso

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Daqui obtemos que a distância do ponto M 1 (- 1 , 2) à reta dada 4 x - 3 y + 35 = 0 tem o valor - 5 = 5 .

Responda: 5 .

Vê-se que em este métodoé importante usar a equação normal de uma linha reta, pois esse método é o mais curto. Mas o primeiro método é conveniente por ser consistente e lógico, embora tenha mais pontos de cálculo.

Exemplo 2

No plano existe um sistema de coordenadas retangular O x y com um ponto M 1 (8, 0) e uma linha reta y = 1 2 x + 1. Encontre a distância de um ponto dado a uma linha reta.

Decisão

A solução da primeira maneira implica a redução de uma dada equação com um coeficiente de inclinação à equação visão geral. Para simplificar, você pode fazer diferente.

Se o produto das inclinações das linhas perpendiculares tiver um valor de -1, então inclinação a linha perpendicular ao dado y = 1 2 x + 1 tem o valor 2 . Agora obtemos a equação de uma linha reta que passa por um ponto com coordenadas M 1 (8, 0) . Temos que y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Prosseguimos para encontrar as coordenadas do ponto H 1, ou seja, os pontos de interseção y \u003d - 2 x + 16 e y \u003d 1 2 x + 1. Compomos um sistema de equações e obtemos:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Segue-se que a distância do ponto com as coordenadas M 1 (8 , 0) até a linha y = 1 2 x + 1 é igual à distância do ponto inicial e final com as coordenadas M 1 (8 , 0) e H 1 (6, 4). Vamos calcular e obter que M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

A solução da segunda maneira é passar da equação com um coeficiente para sua forma normal. Ou seja, obtemos y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, então o valor do fator de normalização será - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Segue-se que a equação normal de uma linha reta assume a forma - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Vamos calcular a partir do ponto M 1 8 , 0 até uma linha reta da forma - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Nós temos:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Responda: 2 5 .

Exemplo 3

É necessário calcular a distância do ponto de coordenadas M 1 (- 2 , 4) até as retas 2 x - 3 = 0 e y + 1 = 0 .

Decisão

Obtemos a equação da forma normal da linha reta 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Em seguida, passamos a calcular a distância do ponto M 1 - 2, 4 até a linha reta x - 3 2 = 0. Nós temos:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

A equação de linha reta y + 1 = 0 tem um fator de normalização com um valor de -1. Isso significa que a equação terá a forma - y - 1 = 0 . Prosseguimos para calcular a distância do ponto M 1 (- 2 , 4) até a reta - y - 1 = 0 . Temos que é igual a - 4 - 1 = 5.

Responda: 3 1 2 e 5 .

Vamos dar uma olhada em encontrar a distância de um determinado ponto do plano para eixos de coordenadas Ox e Oy.

Em um sistema de coordenadas retangulares, o eixo O y tem uma equação de uma linha reta, que é incompleta e tem a forma x \u003d 0 e O x - y \u003d 0. As equações são normais para os eixos coordenados, então é necessário encontrar a distância do ponto com as coordenadas M 1 x 1 , y 1 até as retas. Isso é feito com base nas fórmulas M 1 H 1 = x 1 e M 1 H 1 = y 1 . Considere a figura abaixo.

Exemplo 4

Encontre a distância do ponto M 1 (6, - 7) às linhas de coordenadas localizadas no plano O x y.

Decisão

Como a equação y \u003d 0 se refere à linha O x, você pode encontrar a distância de M 1 com as coordenadas dadas até essa linha usando a fórmula. Obtemos que 6 = 6 .

Como a equação x \u003d 0 se refere à linha O y, você pode encontrar a distância de M 1 até essa linha usando a fórmula. Então temos que - 7 = 7 .

Responda: a distância de M 1 a O x tem um valor de 6, e de M 1 a O y tem um valor de 7.

Quando no espaço tridimensional temos um ponto com coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1), é necessário encontrar a distância do ponto A à reta a.

Considere duas maneiras que permitem calcular a distância de um ponto a uma linha reta localizada no espaço. O primeiro caso considera a distância do ponto M 1 à reta, onde o ponto da reta é chamado H 1 e é a base da perpendicular traçada do ponto M 1 à reta a. O segundo caso sugere que os pontos desse plano devem ser procurados como a altura do paralelogramo.

Primeira maneira

Da definição, temos que a distância do ponto M 1 localizado na linha reta a é o comprimento da perpendicular M 1 H 1, então obtemos isso com as coordenadas encontradas do ponto H 1, então encontramos a distância entre M 1 (x 1, y 1, z 1 ) e H 1 (x 1, y 1, z 1) com base na fórmula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Obtemos que toda a solução vai para encontrar as coordenadas da base da perpendicular traçada de M 1 à reta a. Isto é feito da seguinte forma: H 1 é o ponto onde a linha a intercepta o plano que passa pelo ponto dado.

Isso significa que o algoritmo para determinar a distância do ponto M 1 (x 1, y 1, z 1) até a reta a do espaço implica vários pontos:

Definição 5

• elaborar a equação do plano χ como uma equação do plano que passa por um dado ponto perpendicular à reta;
• determinação das coordenadas (x 2 , y 2 , z 2 ) pertencentes ao ponto H 1 que é o ponto de intersecção da reta a com o plano χ ;
• cálculo da distância de um ponto a uma linha usando a fórmula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Segunda via

A partir da condição temos uma linha a, então podemos determinar o vetor de direção a → = a x, a y, a z com coordenadas x 3, y 3, z 3 e um certo ponto M 3 pertencente à linha a. Dadas as coordenadas dos pontos M 1 (x 1 , y 1) e M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → pode-se calcular:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

É necessário adiar os vetores a → \u003d a x, a y, a z e M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 do ponto M 3, conectar e obter uma figura de paralelogramo. M 1 H 1 é a altura do paralelogramo.

Considere a figura abaixo.

Temos que a altura M 1 H 1 é a distância desejada, então você precisa encontrá-la usando a fórmula. Ou seja, estamos procurando por M 1 H 1 .

Denote a área do paralelogramo pela letra S, é encontrado pela fórmula usando o vetor a → = (a x , a y , a z) e M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . A fórmula da área tem a forma S = a → × M 3 M 1 → . Além disso, a área da figura é igual ao produto dos comprimentos de seus lados e a altura, obtemos que S \u003d a → M 1 H 1 com a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, que é o comprimento do vetor a → \u003d (a x, a y, a z) , que é igual ao lado do paralelogramo. Portanto, M 1 H 1 é a distância do ponto à linha. É encontrado pela fórmula M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Para encontrar a distância de um ponto com coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) a uma linha reta a no espaço, você precisa executar vários pontos do algoritmo:

Definição 6

• determinação do vetor de direção da reta a - a → = (a x , a y , a z);
• cálculo do comprimento do vetor de direção a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• obtenção das coordenadas x 3 , y 3 , z 3 pertencentes ao ponto M 3 localizado na reta a;
• cálculo das coordenadas do vetor M 3 M 1 → ;
• encontrar produto vetorial vetores a → (a x , a y , a z) e M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 como a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 para obter o comprimento de acordo com a fórmula a → × M 3 M 1 → ;
• cálculo da distância de um ponto a uma linha M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Resolvendo problemas sobre como encontrar a distância de um determinado ponto a uma determinada linha reta no espaço

Exemplo 5

Encontre a distância do ponto com as coordenadas M 1 2 , - 4 , - 1 até a reta x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Decisão

O primeiro método começa escrevendo a equação do plano χ que passa por M 1 e é perpendicular a um ponto dado. Obtemos uma expressão como:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

É necessário encontrar as coordenadas do ponto H 1, que é o ponto de interseção com o plano χ com a reta dada pela condição. Deve passar de Forma canônica ao que se cruza. Então obtemos um sistema de equações da forma:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

É necessário calcular o sistema x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 pelo método de Cramer, então temos que:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Portanto, temos que H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

O segundo método deve ser iniciado pela busca de coordenadas na equação canônica. Para fazer isso, preste atenção aos denominadores da fração. Então a → = 2 , - 1 , 5 é o vetor de direção da linha x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . É necessário calcular o comprimento usando a fórmula a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

É claro que a reta x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 intercepta o ponto M 3 (- 1 , 0 , - 5), portanto temos que o vetor com origem M 3 (- 1 , 0 , - 5) e sua extremidade no ponto M 1 2 , - 4 , - 1 é M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Encontre o produto vetorial a → = (2, - 1, 5) e M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Obtemos uma expressão da forma a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16i → + 7j → - 5k →

obtemos que o comprimento do produto vetorial é a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Temos todos os dados para usar a fórmula para calcular a distância de um ponto para uma linha reta, então aplicamos e obtemos:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Responda: 11 .

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Determinação de distâncias

Distâncias de ponto a ponto e de ponto a linha

Distância de ponto a pontoé determinado pelo comprimento do segmento de linha que liga esses pontos. Como mostrado acima, esse problema pode ser resolvido pelo método do triângulo retângulo ou substituindo os planos de projeção movendo o segmento para a posição da linha de nível.

Distância do ponto à linha medida por um segmento de uma perpendicular traçada de um ponto a uma linha. Um segmento desta perpendicular é representado em tamanho real no plano de projeção se for desenhado para a linha de projeção. Assim, primeiro a linha reta deve ser transferida para a posição de projeção e, em seguida, uma perpendicular deve ser baixada sobre ela a partir de um determinado ponto. Na fig. 1 mostra a solução para este problema. Para tradução direta posição geral AB na posição do nível direto gasta x14 IIA1 B1. Então AB é transferido para a posição de projeção introduzindo um plano de projeção adicional P5, para o qual um novo eixo de projeção x45 \ A4 B4 é executado.

Imagem 1

Da mesma forma que os pontos A e B, o ponto M é projetado no plano de projeção P5.

A projeção K5 da base K da perpendicular baixada do ponto M até a reta AB, no plano de projeção P5, coincidirá com as projeções correspondentes dos pontos

A e B. A projeção M5 K5 da perpendicular MK é o valor natural da distância do ponto M à linha AB.

No sistema de planos de projeção P4/P5, a perpendicular MK será uma linha de nível, pois se encontra em um plano paralelo ao plano de projeções P5. Portanto, sua projeção M4 K4 no plano P4 é paralela a x45 , ou seja. perpendicular à projeção A4 B4. Estas condições determinam a posição da projeção K4 da base da perpendicular K, que é encontrada traçando uma linha reta de M4 paralela a x45 até cruzar com a projeção A4 B4. As demais projeções da perpendicular são encontradas projetando o ponto K no plano das projeções P1 e P2.

Distância do ponto ao plano

A solução para este problema é mostrada na Fig. 2. A distância do ponto M ao plano (ABC) é medida por um segmento da perpendicular baixado do ponto ao plano.

Figura 2

Como a perpendicular ao plano de projeção é uma linha de nível, traduzimos para esta posição dado avião, como resultado, no plano de projeção P4 recém-introduzido, obtemos uma projeção degenerada C4 B4 do plano ABC. Em seguida, projetamos o ponto M em P4. O valor natural da distância do ponto M ao plano é determinado pelo segmento da perpendicular

[MK]=[M4 K4]. As projeções restantes da perpendicular são construídas da mesma forma que no problema anterior, ou seja. levando em consideração o fato de que o segmento MK no sistema de planos de projeção P1 / P4 é uma linha de nível e sua projeção M1 K1 é paralela ao eixo

x14.

Distância entre duas retas

A menor distância entre as linhas oblíquas é medida pelo segmento da perpendicular comum a elas, cortada por essas linhas. O problema é resolvido por escolha (como resultado de duas substituições sucessivas) plano de projeção perpendicular a uma das linhas de interseção. Neste caso, o segmento desejado da perpendicular será paralelo ao plano de projeção selecionado e será exibido nele sem distorção. Na fig. 3 mostra duas linhas retas que se cruzam definidas pelos segmentos AB e CD.

Figura 3

As retas são projetadas no início sobre o plano de projeção P4, paralelas a uma (qualquer) delas, por exemplo, AB, e perpendiculares a P1.

No plano de projeções P4, o segmento AB será exibido sem distorção. Os segmentos são então projetados em novo avião P5 perpendicular à mesma linha AB e plano P4. No plano das projeções P5, a projeção do segmento AB perpendicular a ele degenera no ponto A5 = B5, e o valor desejado N5 M5 do segmento NM é perpendicular a C5 D5 e é representado em tamanho real. Usando as linhas de comunicação apropriadas, as projeções do segmento MN são construídas no

desenho. Como mostrado anteriormente, a projeção N4 M4 do segmento desejado no plano P4 é paralela ao eixo de projeção x45, pois é uma linha de nível no sistema de planos de projeção P4 / P5.

A tarefa de determinar a distância D entre duas linhas paralelas AB a CD - caso especial a anterior (Fig. 4).

Figura 4

Por uma dupla substituição dos planos de projeção, as linhas paralelas são transferidas para a posição de projeção, como resultado, no plano de projeção P5 teremos duas projeções degeneradas A5 = B5 e C5 = D5 das linhas AB e CD. A distância entre eles D será igual ao seu valor natural.

A distância de uma linha reta a um plano paralelo a ela é medida por um segmento da perpendicular baixado de qualquer ponto da linha reta até o plano. Portanto, basta transformar o plano de posição geral na posição do plano de projeção, tomar um ponto direto, e a solução do problema se reduzirá a determinar a distância do ponto ao plano.

Para determinar a distância entre planos paralelos, é necessário traduzi-los em uma posição de projeção e construir uma perpendicular às projeções degeneradas dos planos, cujo segmento entre eles será a distância necessária.

A distância de um ponto a uma linha é o comprimento da perpendicular do ponto à linha. NO geometria Descritivaé determinado graficamente de acordo com o algoritmo abaixo.

Algoritmo

1. A linha reta é transferida para uma posição na qual será paralela a qualquer plano de projeção. Para fazer isso, aplique os métodos de transformação de projeções ortogonais.
2. Desenhe uma perpendicular de um ponto a uma linha. No centro esta construçãoé o teorema da projeção do ângulo reto.
3. O comprimento de uma perpendicular é determinado convertendo suas projeções ou usando maneira triângulo retângulo.

A figura a seguir mostra um desenho complexo do ponto M e da linha b definidos pelo segmento de linha CD. Você precisa encontrar a distância entre eles.

De acordo com nosso algoritmo, a primeira coisa a fazer é mover a linha para a posição paralelo ao plano projeções. É importante entender que após as transformações, a distância real entre o ponto e a linha não deve mudar. É por isso que é conveniente usar aqui método de substituição de avião, que não envolve o movimento de figuras no espaço.

Os resultados da primeira etapa de construções são mostrados abaixo. A figura mostra como um plano frontal adicional P 4 é introduzido paralelo a b. NO novo sistema(P 1 , P 4) os pontos C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 estão à mesma distância do eixo X 1 que C"", D"", M"" do eixo X.

Executando a segunda parte do algoritmo, de M"" 1 abaixamos a perpendicular M"" 1 N"" 1 para a reta b"" 1, pois o ângulo reto MND entre b e MN é projetado no plano P 4 em tamanho real. Determinamos a posição do ponto N" ao longo da linha de comunicação e traçamos a projeção M"N" do segmento MN.

No estágio finalé necessário determinar o valor do segmento MN por suas projeções M"N" e M"" 1 N"" 1 . Para isso construímos triângulo retângulo M"" 1 N"" 1 N 0 , cuja perna N"" 1 N 0 é igual à diferença (Y M 1 – Y N 1) da retirada dos pontos M" e N" do eixo X 1. O comprimento da hipotenusa M"" 1 N 0 do triângulo M"" 1 N"" 1 N 0 corresponde à distância desejada de M a b.

A segunda maneira de resolver

• Paralelamente ao CD introduzimos um novo plano frontal П 4 . Ele intercepta P 1 ao longo do eixo X 1 e X 1 ∥C"D". De acordo com o método de substituição de planos, determinamos as projeções dos pontos C "" 1, D"" 1 e M"" 1, conforme mostrado na figura.
• Perpendicular a C "" 1 D "" 1, construímos um plano horizontal adicional P 5 no qual a linha reta b é projetada para o ponto C" 2 \u003d b" 2.
• A distância entre o ponto M e a reta b é determinada pelo comprimento do segmento M "2 C" 2 marcado em vermelho.

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