Retas paralelas Duas retas em um plano são chamadas de paralelas. Quais são as duas retas chamadas paralelas e quais são perpendiculares

1) Defina linhas paralelas Quais são os dois segmentos chamados paralelos?

2) O que é uma secante? Nomeie os pares de ângulos formados quando duas linhas se cruzam.
3) Prove que se na intersecção de duas retas de uma transversal os ângulos de inclinação são iguais, então as retas são paralelas.
4) Prove que se, na intersecção de duas retas, uma secante ângulos correspondentes são iguais, então as retas são paralelas.
5) Prove que se na intersecção de duas retas a soma secante dos ângulos unilaterais for igual a 180 graus, então as retas são paralelas.
6) Conte-nos sobre maneiras práticas desenhando linhas paralelas.
7) Explique quais afirmações são chamadas de axiomas. Dê exemplos de axiomas.
8) Prove que através dado ponto não está em uma linha dada, existe uma linha paralela à linha dada.
9) Formule o axioma das retas paralelas.
11) Prove que se duas retas são paralelas a uma terceira reta, então elas são paralelas.
13) Prove que quando duas retas paralelas interceptam uma secante transversal, os ângulos de inclinação são iguais.
14) Prove que se uma reta é perpendicular a uma de duas retas paralelas, então também é perpendicular à outra.
15) Prove que na intersecção de duas retas paralelas de uma secante: a) respectivamente, os ângulos são iguais; b) a soma dos ângulos unilaterais é 180 graus.

Dúvidas.Urgente!!!

1. Indique a palavra que falta na definição de linhas paralelas
Duas retas são ditas paralelas se não se cruzam.
a) no espaço
b) na mesa
c) no tabuleiro
d) em um triângulo
e) em um avião

2. de acordo com a imagem

1) Duas retas são paralelas a algum plano Essas retas podem: a) se cruzar b) se cruzar? 2) As linhas a e b podem se cruzar

ser paralelo à linha

3) Os lados do trapézio são paralelos ao plano alfa. O plano alfa e o plano trapézio são paralelos?

4) Dois lados de um paralelogramo são paralelos ao plano alfa. O plano alfa e o plano do paralelogramo são paralelos?

5) Dois segmentos não paralelos entre planos paralelos podem ser iguais?

quais das seguintes afirmações são verdadeiras: 1. Se na interseção de duas linhas da terceira linha os ângulos correspondentes são iguais a 65 graus, então essas duas linhas

paralelo.2. Quaisquer duas linhas têm pelo menos um ponto comum.3 Mais de uma linha passa por qualquer ponto.4. Quaisquer três linhas têm pelo menos um ponto comum.

1. que reta é chamada de secante em relação a um círculo? 2. que linha é chamada de tangente ao círculo? que ponto é chamado de ponto

tocando uma linha e um círculo? 3. Formule e prove o teorema da propriedade tangente. 4. formular e provar o teorema inverso ao teorema da propriedade tangente 5. que ângulo é chamado canto central círculos? 6. Como é determinada a medida de grau de um arco? como é marcado? 7. que ângulo é chamado de inscrito? Formule e prove o teorema do ângulo inscrito. 8. Formule e prove o teorema sobre segmentos de cordas que se intersectam. 9. Formule e prove o teorema da bissetriz do ângulo. 10. que reta é chamada de mediatriz do segmento? 11. Formular e provar o teorema da mediatriz ao segmento 12. Formular e provar o teorema da intersecção das alturas de um triângulo. 13. que círculo se chama inscrito em um polígono? Que polígono é chamado de circunscrito a um círculo?

Se duas linhas no espaço têm um ponto comum, diz-se que essas duas linhas se cruzam. Na figura a seguir, as linhas aeb se cruzam no ponto A. As linhas a e c não se cruzam.

Quaisquer duas linhas têm apenas um ponto comum ou não têm pontos comuns.

Linhas paralelas

Duas linhas no espaço são chamadas paralelas se estiverem no mesmo plano e não se cruzarem. Para designar linhas paralelas use um ícone especial - ||.

A notação a||b significa que a linha a é paralela à linha b. Na figura acima, as linhas a e c são paralelas.

Teorema das linhas paralelas

Por qualquer ponto do espaço que não esteja em uma linha dada, passa uma linha paralela à linha dada e, além disso, apenas uma.

Linhas cruzadas

Duas linhas que estão no mesmo plano podem se cruzar ou ser paralelas. Mas no espaço, duas linhas retas não precisam pertencer ao mesmo plano. Eles podem estar localizados em dois planos diferentes.

Obviamente, linhas localizadas em planos diferentes não se cruzam e não são linhas paralelas. Duas linhas que não estão no mesmo plano são chamadas passando dos limites.

A figura a seguir mostra duas linhas de interseção a e b que estão em planos diferentes.

Teorema do sinal e das linhas oblíquas

Se uma das duas linhas estiver em um determinado plano e a outra linha cruzar esse plano em um ponto que não está na primeira linha, essas linhas são enviesadas.

Teorema das linhas cruzadas: por cada uma das duas linhas que se cruzam passa um plano paralelo à outra linha e, além disso, apenas um.

Assim, consideramos todos os casos possíveis posição relativa linhas retas no espaço. Existem apenas três deles.

1. As linhas se cruzam. (Ou seja, eles têm apenas um ponto comum.)

2. As linhas são paralelas. (Ou seja, eles não têm pontos comuns e estão no mesmo plano.)

3. Linhas retas se cruzam. (Ou seja, eles estão localizados em planos diferentes.)

Resposta à esquerda Guru

1) A primeira propriedade básica do plano
Propriedade 1.

Por quaisquer dois pontos em um plano, pode-se traçar uma linha reta, e apenas uma.

A linha que passa pelos pontos A e B será chamada de linha AB.
Como você pode ver, a designação AB é usada em quatro casos: pode denotar tanto um segmento quanto o comprimento de um segmento, um raio e uma linha reta. Mas isso não introduzirá nenhuma confusão em nosso raciocínio, apenas indicaremos em cada caso o que em questão.

A distância no plano entre dois pontos A e B é igual ao comprimento do segmento AB. O caminho mais curto de A a B é a linha reta que liga esses dois pontos.

Na verdade, a primeira propriedade não é um fato puramente planimétrico. Isso também vale para o espaço.
A segunda propriedade básica do plano
Propriedade 2.

Qualquer linha reta de um plano divide esse plano em duas partes - dois semiplanos.

O que significa esta propriedade?

Desenhe alguma linha reta no plano, que denotaremos pela letra a. Qualquer ponto A que não esteja nesta linha está em um dos dois semiplanos formados. Além disso, se os pontos A e B estão localizados em semiplanos diferentes, então o segmento AB intercepta a. Se os pontos A e B estão no mesmo semiplano, então o segmento AB não intercepta a.

O mesmo pode ser expresso de uma forma ligeiramente diferente.

Dois pontos do plano A e B que não estão na reta a deste plano estão localizados em semiplanos diferentes ou no mesmo semiplano em relação à reta a, dependendo se o segmento AB interceptará ou não a reta a .
A terceira propriedade básica do avião
Propriedade 3.

Qualquer linha reta do plano é o eixo de simetria do plano.
O que isto significa?

Como sabemos, uma linha reta é uma linha de interseção de dois planos.
Segue-se que quando uma folha de papel, que é um modelo de avião, é dobrada, uma linha reta é formada.
Isso ficará mais claro se você separar levemente as partes da folha resultantes de sua dobra. Então veremos que a linha de dobra é a linha de interseção dos dois planos.

2) Linhas de interseção são linhas que estão no mesmo plano e têm um ponto comum, que é chamado de ponto de interseção das linhas. Duas linhas que se cruzam em ângulos retos são chamadas de perpendiculares. A perpendicularidade das linhas retas (ou seus segmentos) é indicada pelo sinal de perpendicularidade "?".

3) Um segmento é um conjunto de pontos em uma linha reta localizada entre dois pontos A e B, incluindo os próprios pontos A e B. Um segmento de linha conectando dois pontos A e B (que são chamados de extremidades do segmento) é denotado como segue - A; B entre colchetes. Se os colchetes forem omitidos na designação do segmento, eles escreverão "segmento AB".

4) de quaisquer dois pontos pertencentes a um desses subconjuntos, um fica entre o outro ponto e O. Cada um desses conjuntos é chamado de raio aberto começando em O.

5) Primeira propriedade: O comprimento do segmento é expresso como um número positivo.
Segunda propriedade: segmentos iguais têm comprimentos iguais.
Terceira propriedade: quando um ponto divide um segmento em dois segmentos, o comprimento de todo o segmento é igual à soma dos comprimentos desses dois segmentos.

6) Dois segmentos são chamados iguais se tiverem o mesmo comprimento, ou seja, nas mesmas unidades de medida, seus comprimentos são expressos em números iguais

7) A distância entre os pontos é o comprimento do segmento entre esses pontos.

8) O ponto médio de um segmento é o ponto que divide o segmento dado em duas partes iguais.

9) Se um raio é uma meia linha ou uma parte de uma linha que sai de um ponto (o início do raio) em uma direção, então o raio adicional é um raio adjacente que sai do mesmo ponto no outra direção e está na mesma linha reta.

10) Fazer? meta - figura geométrica, formado por dois raios (lados do ângulo) saindo de um ponto (que é chamado de vértice do ângulo). Um plano contendo ambos os lados de um ângulo é dividido pelo ângulo em duas regiões

11) Ângulos iguais são ângulos que possuem o mesmo ângulo, o mesmo número de graus, ou seja, são iguais. Um ângulo reto é um ângulo que tem lados que formam uma linha reta. Um ângulo reto é um ângulo que tem exatamente 90 graus.

12) A bissetriz de um ângulo de um triângulo é um segmento da bissetriz desse ângulo, conectando esse vértice a um ponto do lado oposto. Qualquer uma das três bissetrizes cantos internos triângulo é chamado de bissetriz do triângulo.

Retas paralelas Duas retas em um plano são chamadas de paralelas se não se cruzam, ou seja, não possuem pontos comuns. O paralelismo de linhas é denotado por ||. Se as linhas aeb são paralelas, então escreva a || b. Sejam a e b duas linhas e c a terceira linha que as cruza, chamada de secante. Vamos denotar os ângulos formados por essas linhas retas como 1, . . . , 8 como mostrado na figura. Os ângulos 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7 são chamados correspondentes; os ângulos 3 e 5, 4 e 6 são chamados de transversais internos; os cantos 4 e 5, 3 e 6 são chamados internos de um lado.

Teorema 1 Teorema. (Um sinal do paralelismo de duas linhas.) Se na intersecção de duas linhas por uma terceira linha, os ângulos internos cruzados são iguais, então essas duas linhas são paralelas. Corolário 1. Se na intersecção de duas linhas por uma terceira linha os ângulos correspondentes são iguais, então essas duas linhas são paralelas. Corolário 2. Se na intersecção de duas linhas por uma terceira linha, os ângulos laterais internos somam 180º, então essas duas linhas são paralelas. Corolário 3. Se duas retas são perpendiculares a uma terceira reta, então essas duas retas são paralelas.

Axioma das paralelas. Por um ponto que não pertence a uma reta dada passa no máximo uma reta paralela à reta dada. Teorema. Se duas linhas paralelas são interceptadas por uma terceira linha, então os ângulos internos que se interceptam são iguais. Corolário 1. Se duas linhas paralelas são intersectadas por uma terceira linha, então os ângulos correspondentes são iguais. Corolário 2. Se duas linhas paralelas são intersectadas por uma terceira linha, então os ângulos laterais internos somam 180º.

História das retas paralelas A questão do número de retas que passam por um dado ponto e paralelas a uma dada reta tem um antigo e história interessante. Entre os axiomas dos "Elementos" de Euclides, o quinto postulado em seu conteúdo coincide com o axioma do paralelismo: "Por um ponto tomado fora de uma dada reta, é possível traçar no máximo uma reta paralela a essa reta". Por dois mil anos depois de Euclides, os matemáticos tentaram provar este postulado, mas todas as suas tentativas terminaram em fracasso, mais cedo ou mais tarde foram encontrados erros em seu raciocínio. Somente em 1826, o grande geômetra russo N. I. Lobachevsky (1792-1856), professor da Universidade de Kazan, sugeriu que esse postulado não pode ser deduzido logicamente de outros postulados (axiomas) de Euclides, ou seja, não pode ser provado. Portanto, pode ser tomado como um axioma, ou outra propriedade sobre a existência de várias linhas passando por um determinado ponto e paralelas a uma determinada linha pode ser tomada como um axioma. Tendo colocado este novo axioma do paralelismo como base da geometria, Lobachevsky criou um completamente novo - a geometria não-euclidiana, que foi chamada de geometria de Lobachevsky.

As ideias de NI Lobachevsky Lobachevsky eram tão originais e tão contrárias ao chamado senso comum que nem mesmo os grandes matemáticos da época as entendiam. Apesar disso, Lobachevsky não abandonou suas ideias. Ele não apenas estava convencido da consistência lógica da nova geometria, mas também acreditava firmemente em sua aplicabilidade ao estudo do espaço real. O reconhecimento da geometria de Lobachevsky veio somente após sua morte. As obras de Lobachevsky foram traduzidas para outras línguas e estudadas por matemáticos de todo o mundo. Atualmente, a geometria de Lobachevsky é parte integrante da matemática moderna e é utilizada em diversas áreas do conhecimento humano, contribuindo para uma compreensão mais profunda do mundo que nos cerca.

Questão 1 Como duas linhas podem ser localizadas em um plano em relação uma à outra? Resposta: Duas linhas em um plano podem ter um ponto comum ou nenhum ponto comum.

Questão 2 Quais retas são chamadas de paralelas? Resposta: Duas retas em um plano são ditas paralelas se não se cruzam, ou seja, não possuem pontos em comum.

Questão 3 Qual reta é chamada de secante de duas retas dadas? Resposta: Uma secante é uma linha que intercepta duas linhas dadas.

Questão 4 Nomeie os ângulos correspondentes. Resposta: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7.

Questão 7 Formule um sinal de paralelismo de duas linhas. Resposta: Se na intersecção de duas linhas por uma terceira linha, os ângulos internos cruzados são iguais, então essas duas linhas são paralelas.

Questão 8 Formule o axioma da paralela. Resposta: Por um ponto não pertencente a uma reta dada passa no máximo uma reta paralela à reta dada.

Questão 9 Como os ângulos transversais internos estão relacionados na interseção de duas retas paralelas por uma terceira? Resposta: Igual.

Questão 10 Como os ângulos correspondentes estão relacionados na interseção de duas retas paralelas por uma terceira? Resposta: Igual.

Questão 11 Como os ângulos internos unilaterais se relacionam quando duas retas paralelas se cruzam com uma terceira? Resposta: Eles somam 180 r.

Questão 12 Os raios AB e CD não possuem pontos em comum. Segue-se que eles são paralelos? Resposta: Não.

Exercício 5 Especifique pares de linhas paralelas. Resposta: a e f, b e e, c e g, d e h, p e q.

Exercício 7 Quando duas linhas se cruzam com uma terceira, formam-se 8 ângulos. Quantos deles podem ser estúpidos? Resposta: 0, 2 ou 4.

Exercício 8 Ambos os ângulos internos de um lado podem ser obtusos na interseção de duas retas por uma terceira? Resposta: Sim.

Exercício 9 Os ângulos laterais internos podem ser iguais quando duas retas se cruzam com uma terceira? Resposta: Sim.

Exercício 10 Todos os ângulos formados na interseção de duas retas por uma terceira podem ser iguais entre si? Resposta: Sim.

Exercício 11 A soma dos ângulos internos cruzados na intersecção de duas linhas paralelas pela terceira é 70º. O que é cada um dos ângulos? Resposta: 35º.

Exercício 12 Um dos ângulos formados na intersecção de duas retas paralelas com uma terceira é três vezes maior que um dos outros. Encontre todos os ângulos. Resposta: 135 aproximadamente, 45 aproximadamente.

Exercício 13 Encontre os ângulos formados na intersecção de duas retas paralelas de uma secante se: a) um dos ângulos for 150 o; b) um dos ângulos é 70 graus maior que o outro. Resposta: a) 150 o, 30 o; b) 55º, 125º.

Exercício 14 A diferença entre dois ângulos internos unilaterais formados por linhas paralelas e uma secante é de 30 o. Encontre esses cantos. Resposta: 75 aproximadamente, 105 aproximadamente.

Exercício 15 O ângulo ABC é 80° e o ângulo BCD é 120°. As retas AB e CD podem ser paralelas? Resposta: Não.

Exercício 16 No triângulo ABC A = 40 o, B = 70 o. A linha BD é traçada através do vértice B de modo que a raia BC é a bissetriz do ângulo ABD. As linhas AC e BD serão paralelas? Resposta: Sim.

Exercício 17 Os lados opostos do quadrilátero ABCD são paralelos aos pares. Encontre os ângulos desse quadrilátero se A = 30 o. Resposta: B = 150 o, C = 30 o, D = 150 o.

Exercício 19 Desenhe uma semi-reta CD para a qual a soma dos ângulos ABC e BCD é 180 o. Responda.

Questão 1

Sinais:

1. Se na intersecção de duas retas de uma transversal, os ângulos deitados são iguais, então as retas

são paralelos.

2. Se na intersecção de duas linhas de uma secante, os ângulos correspondentes são iguais, então as linhas

são paralelos.

3. Se, na intersecção de duas linhas retas, a soma secante dos ângulos unilaterais for 180°,

então as retas são paralelas.

Vamos provar o terceiro critério.

Bilhete 2

Questão 1

Duas retas em um plano são chamadas paralelas se não se cruzam.

Teoremas sobre ângulos formados na interseção:

1. Se duas retas paralelas são interceptadas por uma secante, então os ângulos que se cruzam são iguais.
2. Se duas retas paralelas são interceptadas por uma secante, então os ângulos correspondentes são iguais.
3. Se duas retas paralelas são interceptadas por uma secante, então a soma dos ângulos unilaterais é 180°.

Vamos provar segundo teorema: Se duas retas paralelas são interceptadas por uma secante, então os ângulos correspondentes são iguais.

Axioma. Por um ponto fora de uma reta dada, existe apenas uma reta paralela à reta dada.

Consequências do axioma:

1°. Se uma linha intercepta uma de duas linhas paralelas, então ela intercepta e

2°. Se duas retas são paralelas a uma terceira reta, então elas são paralelas.