Colocando o numerador sob o sinal do diferencial

Esta é a parte final da lição, no entanto, integrais desse tipo são bastante comuns! Se a fadiga se acumulou, talvez seja melhor ler amanhã? ;)

As integrais que consideraremos são semelhantes às integrais do parágrafo anterior, elas têm a forma: ou (os coeficientes , e não são iguais a zero).

Ou seja, temos uma função linear no numerador. Como resolver essas integrais?

Exemplo 14

Por favor, tenha cuidado, agora vamos considerar um algoritmo típico.

1) Quando uma integral da forma ou é dada (coeficientes , e não são iguais a zero), então a primeira coisa que fazemos é... pegar um rascunho. O fato é que agora temos que realizar uma pequena seleção.

2) Concluímos a expressão que está no denominador (não importa - sob a raiz ou sem a raiz) sob o sinal diferencial, neste exemplo:

3) Abrindo o diferencial:

Vejamos o numerador da nossa integral:

Aconteceram coisas um pouco diferentes.... E agora precisamos escolher um fator para o diferencial , de modo que quando aberto, saia pelo menos . Nesse caso, o multiplicador apropriado é:

4) Para o autocontrole, voltamos a abrir nosso diferencial:

Novamente olhamos para o numerador da nossa integral: .
Já mais próximo, mas temos o termo errado:

5) Ao nosso diferencial:
- atribuímos o termo que originalmente tínhamos no integrando:

- Subtrair ( neste caso - subtrair, às vezes é necessário, pelo contrário, adicionar) nosso termo "não isso":
- Pegamos as duas constantes entre colchetes e atribuímos o ícone diferencial à direita:

- Subtrair (em alguns exemplos você precisa adicionar) constantes:

6) Verificamos:

Obtemos exatamente o numerador do integrando, o que significa que a seleção foi bem sucedida.

O design limpo da solução se parece com isto:

(1) Selecionamos o numerador no calado de acordo com o algoritmo acima. Certifique-se de verificar se a seleção está correta. Com uma certa experiência na resolução de integrais, a seleção não é difícil de realizar na mente.

(2) Divida o numerador pelo denominador termo por termo. Na resolução de problemas práticos, esta etapa pode ser omitida

(3) Usando a propriedade da linearidade, separamos as integrais. É conveniente retirar todas as constantes fora dos sinais das integrais.

(4) A primeira integral é na verdade tabular, usamos a fórmula (atribuiremos a constante mais tarde, quando pegarmos a segunda integral). Na segunda integral, destacamos o quadrado completo (consideramos esse tipo de integral no parágrafo anterior).

O resto é uma questão de técnica.

E, para um lanche, alguns exemplos de uma solução independente - um é mais fácil, o outro é mais difícil.

Exemplo 15

Encontre a integral indefinida:

Exemplo 16

Encontre a integral indefinida:

Para resolver esses exemplos, um caso especial de integração de uma função potência, que não está na minha tabela, será útil:

Como você pode ver, integrar frações é uma tarefa árdua, muitas vezes você tem que usar truques e seleções artificiais. Mas o que fazer…

Existem outros tipos de frações, as chamadas funções fracionárias-racionais, que são resolvidas pelo método de coeficientes indefinidos. Mas esse é o tema da lição. Integração de funções fracionárias racionais.

Cálculo integral

1.1 Antiderivada, integral indefinida

Definição. Função F(x)é chamada de função antiderivada f(x) no conjunto X, se para todos .

Expressão F(x)+Cé a família de todas as primitivas da função f(x). (C=const).

Definição. Se um F(x)é uma das primitivas da função f(x), então a expressão F(x)+Cé chamada de integral indefinida.

Denotado .

As propriedades mais simples.

1)

2)

3)

Tabela de integrais básicas

1) .	10) .
2) .	11) .
3) .	12) .
4) .	13) .
5) .	14) .
6) .	15) .
7) .	16) .
8) .	17) .
9) .

Em particular:

; ; .

Segue da definição e propriedades da integral indefinida que a diferenciação e a integração são ações mutuamente inversas: a derivada do lado direito em cada fórmula é igual ao integrando. Vamos verificar, por exemplo, a fórmula 2.

Exemplos:

Métodos de integração

Método de subsunção sob o signo do diferencial (mudança oral de variável)

Se a integral em relação a uma determinada variável não for tabular, então, em alguns casos, ela pode ser reduzida a uma tabular em relação a uma nova variável, substituindo a função desejada sob o sinal diferencial.

Neste caso, é conveniente usar as seguintes fórmulas, que são obtidas a partir de fórmulas de diferenciação quando lidas na ordem inversa:

…
, n≠-1

Exemplos(ver tarefa 1a)

Método de substituição de variável escrita (substituição)

1. Introduzimos uma nova variável (substituição)

2. Diferencie a permutação.

3. Introduzimos uma nova variável no integrando.

4. Calculamos a integral.

5. Voltamos à variável antiga.

Exemplos(ver tarefa 1a):

Método de integração por partes

Este método é usado para integrais da forma:

uma) , , ;

b), , , , ;

onde é um polinômio.

A fórmula da integração por partes é:

.

1) Para integrais do tipo a) tome U=P(x), todo o resto é igual a dV.

2) Para integrais do tipo b) tome dV = P(x)dx.

3) para integrais do tipo c) para você aceitar qualquer função, o método é aplicado duas vezes.

Exemplos(ver tarefa 1b):

.

4) você pode escrever a solução de forma diferente:

Obtivemos a integral inicial, denotamos por y

Integral definida

Problema da área.

Calcule a área de uma figura plana limitada por um gráfico de uma função contínua e não negativa y=f(x), direto x=a, x=b, segmento [ a, b]. Tal figura é chamada de trapézio curvilíneo.

1) Divida o segmento [ a, b] arbitrariamente em n partes pontilhadas. Pegue n pequenos segmentos com comprimentos ; .

2) Desenhe linhas verticais através dos pontos de divisão. O trapézio vai quebrar n trapézio. Em cada um dos segmentos elementares, escolhemos arbitrariamente pelo ponto .

Vamos encontrar os valores da função nesses pontos

Vamos tomar essas ordenadas como as alturas dos retângulos.

3) Vamos considerar que as áreas dos pequenos trapézios curvilíneos são aproximadamente iguais às áreas dos retângulos com bases e alturas. Então

Quanto menores os segmentos de divisão, mais precisa essa igualdade. Para o valor exato da área do trapézio, tomamos o limite ao qual as áreas das figuras escalonadas tendem a aumentar com um aumento ilimitado no número de segmentos de divisão e tendem a zero do maior dos comprimentos desses segmentos.

.

Propriedades da Integral Definida

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

6) Se , então ;

Se então .

Consequência. Se então .

7) Se f(x) contínuo em [ a, b], milímetros- é, respectivamente, o menor e o maior valor em [ a, b], então a estimativa

8) (Teorema do valor médio) . Se um f(x) contínuo em [ a, b], então existe pelo menos um ponto tal que

Fórmula de Newton-Leibniz

Deixar f(x)é contínuo em [ a, b], F(x)é a primitiva da função f(x) no [ a, b], então a integral definida é igual ao incremento da primitiva (ou seja, a integral indefinida) neste segmento:

Exemplos

Integração por partes

(Veja integração por partes na seção Integral Indefinida)

A fórmula de integração por partes para uma integral definida tem a forma

Exemplo.

Mudança de variável em uma integral definida

Teorema. Deixar f(x) contínuo em [ a, b], introduza a substituição . Se um

1) são contínuas para ,

2) ao mudar t de para , a função muda de uma antes da b, , então a fórmula de mudança de variável é válida:

Exemplo (ver tarefa 2):

Conceitos Básicos

1. Equação Diferencial (DE) Chama-se uma equação que conecta a variável independente, a função desejada e suas derivadas:

2. A ordem mais alta da derivada da função desejada incluída no DE é chamada ordem de controle.

3. Resolva a DE - isso significa encontrar todas as funções que a satisfazem, ou seja, quando são substituídas na equação, ela se transforma em uma identidade.

4. Encontrar soluções para DE é chamado integração de DE, o esquema para resolver o DE é chamado curva integral.

Funções homogêneas

Função f(x,y)é chamado de homogêneo k-º grau de homogeneidade, se a igualdade for satisfeita:

Em particular, se

é uma função homogênea de zero grau de homogeneidade.

Exemplos

1) .

é uma função homogênea do segundo grau de homogeneidade.

2) .

é uma função homogênea de zero grau de homogeneidade.

Chances

Estas são equações da forma

,

(1)

onde são constantes.

A solução geral de tal equação tem a forma

onde são constantes arbitrárias

A solução geral da equação homogênea,

Soluções parciais linearmente independentes da equação (1).

Definição. As funções e são chamadas linearmente independentes (dependentes) de ( a, b), se em

A solução da equação (1) é reduzida à solução da equação algébrica

,

(2)

chamada característica, na qual o grau ké igual à ordem da derivada na equação (1).

Neste caso, os seguintes casos são possíveis:

1. Quando a equação (2) tem raízes reais diferentes , então soluções particulares da equação diferencial (1) têm a forma , (que pode ser verificada por substituição direta).

Eles são linearmente independentes (ver definição). Então a solução geral (1) tem a forma:

2. Quando equação característica (2) tem duas raízes reais iguais , então D.U. (1) são funções , a solução geral (1) tem a forma

3. Se , então a equação característica (2) não tem raízes reais, mas tem raízes complexas da forma .

Então soluções particulares

A solução geral (1) tem a forma

Exemplos(ver tarefa 5):

1) , compomos a equação característica:

; ; .

2) , compomos a equação característica

;

;

3)

fileiras

Série, convergência, soma.

Seja uma sequência de números

Série numérica expressão chamada

. (1)

A soma dos primeiros termos é chamada soma parcial.

As somas parciais, por sua vez, formam uma sequência , que converge para algumas séries e diverge para outras.

A linha (1) é chamada convergente, se houver um limite finito da seqüência de somas parciais .

Sé chamado de soma da série. Se este limite não existir ou for igual ao infinito, então a série é chamada divergente.

Séries divergentes não têm soma.

série alternada

Sinal de Leibniz.

Se em uma série alternada

1) os valores absolutos dos membros da série diminuem ;

então a série alternada converge e sua soma não excede o módulo do primeiro termo.

Consequência. Deixe a série alternada convergir de acordo com o teste de Leibniz. Se a soma desta série for substituída pela soma n primeiros termos, então o erro permitido neste caso não excede o módulo do primeiro termo descartado.

Considere uma série alternada e uma série composta por seus valores absolutos. Se uma série composta de valores absolutos convergir, a série alternada é chamada absolutamente convergente ao lado. Se uma série alternada converge e uma série composta por valores absolutos diverge, a série alternada é chamada condicionalmente convergente.

Exemplo. Investigue a série para convergência condicional e absoluta.

Esta é uma linha alternada. Aplicamos o teste de Leibniz.

1) ;

2). => a série converge de acordo com o teste de Leibniz.

Examinamos a série para convergência condicional e absoluta. Para fazer isso, considere uma série composta pelos valores absolutos dessa série.

é uma série harmônica generalizada, ela converge porque k=3>1, então a série alternada é uma série absolutamente convergente.

Série de potência

Uma série de potências é uma série da forma:

onde são constantes, coeficientes de série, número uma- o centro da linha.

No uma=0 temos

(1)

Em , a série de potências (1) assume a forma

(2)

Isso já é uma reta numérica. pode convergir ou divergir.

Se a série (2) converge, então - ponto de convergência série de potências (1). Se a série (2) diverge, então - ponto de divergência. O conjunto de pontos de convergência é chamado região de convergência série de potência.

Teorema de Abel. Para qualquer série de potências (1), existe um intervalo dentro do qual a série converge absolutamente, fora diverge, e nas fronteiras pode ter um padrão de convergência diferente.

é o raio do intervalo de convergência.

é o intervalo de convergência.

Se um R=0, então o ponto x=0 é o único ponto de convergência.

Se um R=¥, então a série converge em todo o eixo real.

Exemplo.

1) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série de potências. Investigue a convergência da série nas extremidades do intervalo.

Então (-5; 5) é o intervalo dentro do qual a série converge absolutamente. Vamos estudar a natureza da convergência da série nas fronteiras.

1) x=–5, então a série de potências terá a forma

Esta é uma linha alternada. Para ele, aplicamos o sinal de Leibniz:

– a primeira condição do teste de Leibniz não for cumprida, então a série

diverge, o ponto é o ponto de divergência.

2) x=5; – a série diverge pelo corolário do critério necessário, então x=5 – ponto de divergência.

(-5; 5) – região de convergência desta série de potências.

.

é o intervalo de convergência desta série de potências. Explorando nas fronteiras:

1), então a série de potências terá a forma:

é uma série alternada. Vamos verificar duas condições:

1) ;

2) , então a série converge de acordo com o critério de Leibniz, o ponto é o ponto de convergência da série de potências original, ele entra na área de convergência.

2) . Vamos comparar esta série com a série harmônica, que é conhecida por divergir.

é um número finito, então, de acordo com a consequência do teste de comparação, as séries se comportam da mesma maneira, ou seja, ambas divergem, então o ponto é o ponto de divergência da série de potências inicial.

é a região de convergência da série de potências.

Teoria da probabilidade

Probabilidade do evento

Probabilidade desenvolvimentos MASé a razão entre o número de resultados que favorecem a ocorrência desse evento e o número total de todos os resultados elementares possíveis do teste, ou seja, onde m- o número de resultados elementares em que o evento ocorre MAS(resultados favoráveis), né o número de todos os resultados possíveis de uma determinada tentativa. Esta é a definição clássica da probabilidade de um evento.

1) Deixe você- um determinado evento, então qualquer resultado do teste é favorável para o início você, ou seja m=n, então

P(você)=1.

2) V- um evento impossível, então nem um único resultado do teste será favorável, ou seja, m= 0, então

P(V)=0.

3) MAS– evento aleatório, 0<m<n, então , ou seja

0<P(UMA)<1.

Exemplo. Lançamos a moeda duas vezes. Determine a probabilidade de que o brasão apareça pelo menos uma vez.

Deixar MAS- um evento que consiste no aparecimento do brasão pelo menos uma vez. Desfechos elementares como GG, GC, CG, CC, apenas quatro desfechos, dos quais são favoráveis ​​para a ocorrência de um evento MAS- três, então.

Elementos de combinatória

1. Vamos ter três elementos a, b, c. Formamos combinações (seleções) de dois elementos deles: ab, ba, ac, ca, bc, cb- Há seis deles. Eles diferem uns dos outros nos elementos ou na ordem dos elementos. Tais amostras são chamadas canais, são denotados por .

2. Amostras que diferem umas das outras apenas na ordem dos elementos são chamadas permutações, são denotados por .

3. As amostras que diferem umas das outras em pelo menos um elemento são chamadas combinações, são denotados por .

,

.

Deve-se lembrar que.

Exemplo. Entre os 20 alunos do grupo, no qual são 6 meninas, são sorteados cinco ingressos. Determine a probabilidade de que haja duas meninas entre os portadores de ingressos.

5 bilhetes entre 20 pessoas podem ser distribuídos de diferentes formas. 3 ingressos entre 14 meninos podem ser distribuídos de várias maneiras, 2 ingressos entre 6 meninas podem ser distribuídos de várias maneiras. Cada par de meninas pode ser combinado com qualquer trio de meninos, ou seja, o número de resultados favoráveis ​​e o número de todos os resultados possíveis. Então

.

Teoremas básicos.

Teoremas de adição

1. A probabilidade de ocorrência de pelo menos um dos eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades desses eventos:

P(A+B)=P(UMA)+P(B).

2. A probabilidade de ocorrência de pelo menos um dos dois eventos conjuntos é igual à soma das probabilidades desses eventos sem a probabilidade de sua ocorrência conjunta:

P(A+B)=P(UMA)+P(B)–P(AB).

Teoremas de multiplicação

Definições.

1) Os eventos são chamados independente se a probabilidade de ocorrência de um evento não depender da ocorrência ou não de outro evento.

2) Os eventos são chamados dependente se a probabilidade de ocorrência de um deles depende se o outro ocorreu ou não.

3) Probabilidade de um evento MAS, calculado sob a condição de que o evento NO já aconteceu, chama-se Probabilidade Condicional, denotado (leia: " R a partir de MAS providenciou que NO ocorrido").

Teorema 1. A probabilidade de ocorrência conjunta de dois eventos dependentes é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, desde que o primeiro evento já tenha ocorrido.

.

Teorema 2. A probabilidade de ocorrência conjunta de eventos independentes é igual ao produto das probabilidades desses eventos.

Uma tarefa. De um baralho de 36 cartas, duas cartas são retiradas aleatoriamente uma após a outra. encontre a probabilidade de que dois valetes sejam sorteados.

Deixar MAS- um evento que consiste no fato de que a primeira carta é um valete;

NO- um evento que consiste no fato de que a segunda carta é um valete;

A PARTIR DE- um evento que consiste no fato de que dois jacks são retirados.

Então . Desenvolvimentos MAS e NO- dependente, então .

Grupo completo de eventos

Se a soma dos eventos for um determinado evento (ou seja, como resultado do teste, pelo menos um deles certamente acontecerá), então os eventos formam grupo completo eventos. Se esses eventos forem incompatíveis em pares, eles formam um grupo completo de eventos incompatíveis em pares.

Teorema. Se eles formam um grupo completo de eventos incompatíveis aos pares, então a soma das probabilidades desses eventos é igual a 1. .

Definição. Os dois únicos eventos possíveis que formam um grupo completo são chamados oposto.

Ou: o oposto do evento MAS chamado de evento que consiste na não ocorrência MAS(leia "não MAS»).

Teorema. A soma das probabilidades de dois eventos opostos é 1: .

Se um , então p+q= 1 .

A probabilidade de pelo menos um evento ocorrer

Teorema. Deixar MASé um evento que consiste na ocorrência de pelo menos um dos eventos. são eventos independentes. Então .

Uma tarefa. As três máquinas funcionam independentemente uma da outra. A probabilidade de que a primeira máquina falhe em uma hora é de 0,015, para a segunda e terceira máquinas essas probabilidades são de 0,02 e 0,025. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma máquina falhe em uma hora.

Sejam satisfeitas todas as condições do teorema anterior. Mas que já se saiba que o evento MAS- ocorrido. Então a probabilidade da hipótese após o experimento é determinada pela fórmula:

.

P(UMA) é encontrado pela fórmula de probabilidade total.

Uma tarefa. Duas máquinas produzem as mesmas peças que são montadas em um transportador comum. A produtividade da primeira máquina é o dobro da segunda. O primeiro produz em média 60% de peças de excelente qualidade, o segundo - 84%. A peça retirada aleatoriamente da linha de montagem acabou sendo de excelente qualidade. Encontre a probabilidade de que ele tenha sido produzido pelo segundo autômato.

- um acontecimento que consiste no facto de uma peça tomada ao acaso ser feita pelo primeiro autómato, - pelo segundo. MAS- um evento que consiste no fato de que uma peça retirada ao acaso é de excelente qualidade.

Fórmula de Bernoulli

Deixe produzido n ensaios independentes, em cada um dos quais um evento MAS pode aparecer com probabilidade P(UMA)=p, e . Sequência de eventos MAS irrelevante. Então a probabilidade de que em n evento de teste independente MAS vem exatamente m vezes é calculado pela fórmula:

,

onde é o número de combinações de n elementos por m(Veja acima).

Uma tarefa. A arma dispara cinco vezes contra o alvo. A probabilidade de acertar com um tiro é 0,6. Encontre a probabilidade de a arma acertar duas vezes.

variáveis ​​aleatórias

Variável aleatória eles chamam tal valor que, como resultado do teste, toma um e apenas um de seus valores possíveis, desconhecidos de antemão e dependendo de circunstâncias aleatórias que nem sempre podem ser levadas em conta. Denotado X, Y, Z,

Então a lei de distribuição desta variável aleatória assume a forma:

X
P	0,512	0,384	0,096	0,008

Ao controle:

Características numéricas

expectativa matemática Uma variável aleatória discreta é a soma dos produtos de valores possíveis de uma variável aleatória e as probabilidades desses valores possíveis. Designadas:

A expectativa matemática é um número, o centro da distribuição de uma variável aleatória, - seus valores possíveis estão localizados no eixo à esquerda e à direita da expectativa matemática.

dispersão A variável aleatória discreta é chamada de expectativa matemática do desvio quadrado dessa variável aleatória de sua expectativa matemática.

Pode-se provar que

Esta fórmula é conveniente para usar em cálculos. A dispersão caracteriza a medida de dispersão de valores possíveis de uma variável aleatória em relação à sua expectativa matemática.

Desvio padrão chamado .

Exemplo. (ver tarefa 8). Uma série de distribuição de uma variável aleatória é dada. Achar .

Nesta lição, nos familiarizaremos com um dos truques mais importantes e mais comuns usados ​​​​no curso de resolução de integrais indefinidas - o método de mudança de variável. Para o domínio bem-sucedido do material, são necessários conhecimentos iniciais e habilidades de integração. Se houver a sensação de um bule cheio vazio no cálculo integral, você deve primeiro ler o material, onde expliquei de forma acessível o que é uma integral e analisei detalhadamente os exemplos básicos para iniciantes.

Tecnicamente, o método de alterar uma variável em uma integral indefinida é implementado de duas maneiras:

– Colocar a função sob o signo do diferencial;
– A mudança real de variável.

Na verdade, é a mesma coisa, mas o design da solução parece diferente.

Vamos começar com um caso mais simples.

Trazendo uma função sob o sinal diferencial

Na lição Integral indefinida. Exemplos de soluções aprendemos a abrir o diferencial, lembro do exemplo que dei:

Ou seja, abrir a diferencial é formalmente quase o mesmo que encontrar a derivada.

Exemplo 1

Execute uma verificação.

Observamos a tabela de integrais e encontramos uma fórmula semelhante: . Mas o problema é que temos sob o seno não apenas a letra "x", mas uma expressão complexa. O que fazer?

Trazemos a função sob o sinal do diferencial:

Expandindo o diferencial, é fácil verificar que:

De fato e é um registro do mesmo.

Mas, no entanto, a questão permanece, como chegamos à ideia de que, no primeiro passo, precisamos escrever nossa integral exatamente assim: ? Por que assim, e não de outra forma?

Fórmula (e todas as outras fórmulas tabulares) são válidas e aplicáveis ​​NÃO APENAS para uma variável, mas também para qualquer expressão complexa SOMENTE O ARGUMENTO DA FUNÇÃO(- no nosso exemplo) E A EXPRESSÃO SOB O SINAL DIFERENCIAL FORAM O MESMO .

Portanto, o raciocínio mental ao resolver deve ser algo assim: “Preciso resolver a integral. Olhei para a tabela e encontrei uma fórmula semelhante . Mas eu tenho um argumento complexo e não posso usar a fórmula imediatamente. No entanto, se eu conseguir ficar sob o signo do diferencial, tudo ficará bem. Se eu escrever , então . Mas não há fator triplo na integral original, portanto, para que o integrando não mude, preciso multiplicá-lo por ". No decorrer de aproximadamente tal raciocínio mental, nasce um registro:

Agora você pode usar a planilha :

Preparar

A única diferença é que não temos a letra "x", mas uma expressão complexa.

Vamos fazer uma verificação. Abra a tabela de derivadas e diferencie a resposta:

O integrando original foi obtido, o que significa que o integral foi encontrado corretamente.

Observe que durante a verificação usamos a regra de diferenciação de uma função complexa . De fato, colocando a função sob o signo da diferencial e são duas regras mutuamente inversas.

Exemplo 2

Analisamos a função integrando. Aqui temos uma fração, e o denominador é uma função linear (com "x" no primeiro grau). Nós olhamos na tabela de integrais e encontramos a coisa mais semelhante: .

Trazemos a função sob o sinal do diferencial:

Aqueles que acham difícil descobrir imediatamente por qual fração multiplicar podem revelar rapidamente o diferencial em um rascunho:. Sim, acontece que, para que nada mude, preciso multiplicar a integral por .
Em seguida, usamos a fórmula da planilha :

Exame:


O integrando original foi obtido, o que significa que o integral foi encontrado corretamente.

Exemplo 3

Encontre a integral indefinida. Execute uma verificação.

Exemplo 4

Encontre a integral indefinida. Execute uma verificação.

Este é um exemplo de faça você mesmo. Responda no final da aula.

Com alguma experiência em resolver integrais, esses exemplos parecerão fáceis e quebrarão como nozes:

No final deste parágrafo, gostaria também de me deter no caso “livre” quando uma variável entra em uma função linear com um coeficiente unitário, por exemplo:

A rigor, a solução deve ficar assim:

Como você pode ver, trazer a função sob o signo do diferencial foi “indolor”, sem nenhuma multiplicação. Portanto, na prática, uma solução tão longa é muitas vezes negligenciada e imediatamente escrita como . Mas esteja preparado, se necessário, para explicar ao professor como você decidiu! Como não há nenhuma integral na tabela.

Método de mudança de variável em integral indefinida

Voltamos à consideração do caso geral - o método de mudança de variáveis ​​na integral indefinida.

Exemplo 5

Encontre a integral indefinida.

Como exemplo, tomei a integral, que consideramos no início da lição. Como já dissemos, para resolver a integral, gostamos da fórmula tabular , e eu gostaria de reduzir tudo a ela.

A ideia por trás do método de substituição é substituir uma expressão complexa (ou alguma função) por uma letra.
Neste caso ele pergunta:
A segunda carta de substituição mais popular é a carta .
Em princípio, você pode usar outras letras, mas ainda mantemos as tradições.

Então:
Mas ao substituir, nos resta! Provavelmente, muitos adivinharam que, se for feita uma transição para uma nova variável, na nova integral tudo deve ser expresso por meio da letra, e não há lugar para o diferencial.
Segue-se uma conclusão lógica de que é necessário transformar em alguma expressão que depende apenas de.

A ação é a seguinte. Depois de escolhermos um substituto, neste exemplo, , precisamos encontrar o diferencial . Com diferenciais, eu acho, a amizade já foi estabelecida para todos.

Desde então

Após o confronto com o diferencial, recomendo reescrever o resultado final o mais breve possível:
Agora, de acordo com as regras de proporção, expressamos o que precisamos:

Eventualmente:
Nesse caminho:

E esta é a integral mais tabular (a tabela de integrais, claro, também é válida para a variável).

Em conclusão, resta realizar a substituição inversa. Nós lembramos disso.

Preparar.

O design final deste exemplo deve ser algo assim:

“

Vamos substituir:

“

O ícone não tem nenhum significado matemático, significa que interrompemos a solução para explicações intermediárias.

Ao fazer um exemplo em um caderno, é melhor sobrescrever a substituição inversa com um simples lápis.

Atenção! Nos exemplos a seguir, encontrar o diferencial não será descrito em detalhes.

E agora é hora de lembrar a primeira solução:

Qual é a diferença? Não há diferença fundamental. Na verdade é a mesma coisa. Mas do ponto de vista do design da tarefa, o método de colocar a função sob o signo do diferencial é muito mais curto.

Surge a questão. Se a primeira maneira é mais curta, por que usar o método de substituição? O fato é que para várias integrais não é tão fácil "ajustar" a função sob o sinal da diferencial.

Exemplo 6

Encontre a integral indefinida.

Vamos fazer uma substituição: (é difícil pensar em outra substituição aqui)

Como você pode ver, como resultado da substituição, a integral original foi bastante simplificada - reduzida a uma função de potência comum. Este é o propósito da substituição - para simplificar a integral.

Pessoas avançadas preguiçosas podem resolver facilmente essa integral colocando a função sob o sinal diferencial:

Outra coisa é que tal solução não é óbvia para todos os alunos. Além disso, já neste exemplo, o uso do método de trazer uma função sob o sinal diferencial aumenta significativamente o risco de confusão na decisão.

Exemplo 7

Encontre a integral indefinida. Execute uma verificação.

Exemplo 8

Encontre a integral indefinida.

Substituição:
Resta saber o que será

Bem, já expressamos, mas o que fazer com o “X” que fica no numerador?!
De tempos em tempos, durante a resolução de integrais, ocorre o seguinte truque: vamos expressar da mesma substituição !

Exemplo 9

Encontre a integral indefinida.

Este é um exemplo de faça você mesmo. Responda no final da aula.

Exemplo 10

Encontre a integral indefinida.

Certamente alguns notaram que minha tabela de referência não possui uma regra de substituição de variáveis. Foi feito deliberadamente. A regra confundiria a explicação e o entendimento, pois não aparece explicitamente nos exemplos acima.

É hora de falar sobre a premissa básica de usar o método de substituição de variáveis: o integrando deve conter alguma função e sua derivada:(as funções podem não estar no produto)

A este respeito, ao encontrar integrais, muitas vezes é preciso olhar para a tabela de derivadas.

Neste exemplo, notamos que o grau do numerador é um a menos que o grau do denominador. Na tabela de derivadas encontramos a fórmula, que apenas diminui o grau em um. E, portanto, se você designar para o denominador, há grandes chances de que o numerador se transforme em algo bom.

Então, continuamos nosso conhecimento dos métodos básicos de integração. A última vez que aprendemos a usar e considerada a mais simples das funções mais simples. Agora é hora de seguir em frente e expandir gradualmente nossas capacidades.

Então, método de trazer uma função sob um sinal diferencial - qual é a sua essência? De um modo geral, este método não é um método de integração independente. É um caso especial de um método mais geral e poderoso - método de substituição de variável. Ou método de substituição. Por quê? Mas porque o próprio processo de integração por subsumir sob o diferencial ainda é acompanhado pela subsequente introdução de uma nova variável. Parece pouco claro até agora, mas com exemplos tudo ficará muito mais claro.

O que precisamos no material de hoje:

1) A regra para abrir o diferencial de qualquer função f(x). É a própria regra. Não precisamos de uma definição estrita do que é um diferencial. E a regra é:

d(f(x)) = f ’(x)dx

Tudo é simples, como em um conto de fadas: consideramos a derivada da funçãof'(x)e multiplique por dx(diferencial de argumento).

2) Tabela de derivativos. Sim Sim! Estou falando sério. :)

3) Bem, é lógico. Já que estamos integrando com força e principal aqui.) Este é o tópico das duas últimas lições.

4) A regra de diferenciação de uma função complexa.

Isso, na verdade, é tudo.

Quando esse método é mais usado? Na maioria das vezes, é usado em duas situações típicas:

Caso 1 - Função complexa de argumento linear

O integrando tem a forma:

f(kx+ b)

No argumento - desenho linearkx+ b. Ou, de outra forma, sob a integral existe alguma função complexa do argumento linear kx+b.

Por exemplo:

E funções semelhantes. Integrais de tais funções são facilmente reduzidos a tabulares e são levados na mente literalmente após alguns exemplos resolvidos com sucesso. E nós vamos.)

Caso 2 - Função complexa a partir de um argumento arbitrário

Neste caso, o integrando é o produto:

f(g(x))· g’(x)

Em outras palavras, sob a integral está o produto de um certo função complexaf(g(x)) e derivado de seu argumento interno g’(x) . Ou a integral é facilmente reduzida a esta forma. Este é um caso mais complexo. Sobre ele - na segunda parte da lição.

Para não atormentar as pessoas com longas expectativas e desabafos, passamos imediatamente aos exemplos em caso 1 . Vamos integrar as funções que escrevi acima. Em ordem.

Como trazer uma função linear sob o diferencial?

E imediatamente um exemplo no estúdio.)

Exemplo 1

Subimos na tabela de integrais e encontramos uma fórmula semelhante (este é o 4º grupo):

Tudo ficaria bem, mas... há um problema. :) Na tabela de integrais no expoente e x custos apenas x. Temos 3x saindo no indicador. Três X. Não rola... A fórmula tabular para uso direto não é adequada: a troika estragou tudo. Docente! Ah, professor assistente! O que devemos fazer? (Com)

Para lidar com este exemplo, teremos que "ajustar" esta integral a uma fórmula tabular. E agora vou mostrar em detalhes como exatamente o ajuste ocorre. Para fazer isso, vamos voltar ao início da seção e relembrar a notação mais geral da integral indefinida. No geral. Lá está ela:

Então. O truque é que essa notação mais geral da integral indefinida será válida não apenas para a variável x, mas também para qualquer outra letra - y, z, t ou até mesmo um inteiro expressão complexa. O que nós queremos. É importante que um único requisito seja observado: entre parênteses do integrando f(...), a função antiderivada F(...) e sob diferencial d(…) permaneceu expressões idênticas. Todos os três locais! É importante.

Por exemplo:

E assim por diante.) Não importa qual letra e não importa quão complexa seja a expressão nesses três lugares, a fórmula de integração tabular ainda funcionará! E isso não é surpreendente: temos todo o direito de designar qualquer expressão complexa uma carta. E trabalhar inteiramente com toda a estrutura como com uma carta. E a mesa está no tambor, qual letra está lá - x, y, zet, te ... Para ela, todas as letras são iguais.) Portanto, o design em si em todos os colchetes pode ser absolutamente qualquer. Se apenas uma e a mesma.)

Portanto, para nossa fórmula tabular específica ∫ e x dx = e x + C , nós podemos escrever:

E agora vamos discutir. Para que tenhamos o direito de usar a tabela em nosso exemplo, precisamos garantir que a seguinte construção seja formada sob a integral:

Tanto no indicador quanto sob o diferencial deve haver uma expressão 3x. Agora vamos ver nosso exemplo novamente:

Com o indicador, e assim tudo está como deveria, temos 3x. Por condição.) Mas por enquanto vale sob o diferencial apenas x. Transtorno! Como somos nós dx Faz d(3x)?

Para atingir esse nobre objetivo, precisamos de alguma forma conectar os dois diferenciais - o novo d(3x) e velho dx. Neste caso, é muito fácil de fazer. Se, é claro, você souber como o diferencial é revelado.)

Nós temos:

Excelente! Então, a relação entre os antigos e os novos diferenciais será assim:

Dx = d(3x)/3.

O que? Não lembra como abrir o diferencial? Essa é uma pergunta do primeiro semestre. Para cálculo diferencial.)

E agora o que fazemos? Corretamente! Substituímos o antigo diferencial dx pela nova expressão d(3x)/3 em nosso exemplo. O três no denominador não é mais um empecilho para nós: nós somos ela que... fora. para o sinal de integral.)

O que obteremos:

Isso é ótimo. No indicador expositores e sob diferencial formou exatamente a mesma expressão 3x. O que nós, apenas, tão arduamente buscamos.) E agora você pode trabalhar com a expressão 3x em sua totalidade, como com uma nova carta. Seja t, por exemplo. Então, depois de substituir a expressão 3x por t, nossa integral ficará assim:

E a nova integral sobre a variável t já é a integral de tabela que tanto precisamos! E agora você pode usar a fórmula tabular com a consciência tranquila e escrever com mão firme:

Mas é muito cedo para relaxar. Isso ainda não é uma resposta: precisamos de x, não de t. Resta apenas lembrar que t = 3x e executar substituição reversa. E agora nossa resposta está completa! Aqui está ele:

Isso é tudo que aconteceu.) Bem, vamos verificar? E de repente, estragou tudo em algum lugar? Vamos diferenciar o resultado:

Não. Tudo é bom.)

Exemplo 2

Na tabela de integrais da função porque(x+4) não. Existe apenas o cosseno x. Mas! Se de alguma forma organizarmos a expressão x + 4 e sob o diferencial d ( x +4) , então chegamos à integral da tabela:

∫ cos x dx = sen x + C

Então, conectamos nosso novo diferencial necessário d(x+4) com o antigo dx:

d(x+4) \u003d (x + 4) '·dx= 1dx = dx

Nossa, que bom! Acontece que nosso novo diferencial d(x+4) é o mesmo que apenas dx! E sem quaisquer coeficientes adicionais. Gratuito sólido!)

Sim isso está certo. Sinta-se à vontade para substituir dx por d (x + 4), trabalhe com o colchete (x + 4) como uma nova letra e use a tabela com a consciência tranquila.

Desta vez vou escrever a solução de forma um pouco mais compacta:

Verificamos o resultado da integração por derivação inversa:

(sen(x+4)+C)' = (sen(x+4))' + C' = cos(x+4)∙(x+4)'+0 = cos(x+4)∙1 = cos(x+4)

Tudo em chocolate.)

Bem, é problemático? Concordo, é difícil. Anote os diferenciais de cada vez, conecte um ao outro, expresse o antigo diferencial em função do novo... Não se desespere! Há boas notícias! Eles não costumam fazer isso. :) Descrevi a solução com tantos detalhes apenas para entender a essência do algoritmo. Na prática, é muito mais fácil. Vamos reescrever nossas conexões entre os antigos e os novos diferenciais de ambos os exemplos:

O que pode ser visto desses registros? Dois muito fatos importantes!

Lembrar:

1) Qualquer coeficiente numérico diferente de zero k (k≠0)pode ser feito sob o diferencial, para compensação, dividindo o resultado por este coeficiente:

2) Qualquer termo constante bpode ser inserido sob o diferencial sem consequências:

Provar estritamente esses fatos não. Porque é só isso. Tudo fica claro pelos exemplos, espero.) Se você quer rigor, pelo amor de Deus. Simplifique os lados direitos de ambas as igualdades expandindo os diferenciais. E aqui e ali você terá apenas dx. :)

Esses dois fatos podem ser facilmente combinados em um, mais universal.

Qualquer projeto linear kx+b pode ser inserido sob o diferencial dxde acordo com a regra:

Tal procedimento é chamado trazendo uma função sob um sinal diferencial. Neste caso, sob o diferencial resumido construção linear kx+ b. Transformamos artificialmente o diferencial que nos incomoda dx em um confortável d(kx+ b) .

E por que precisamos de oportunidades tão aterrorizantes - você pergunta? Assim - não há necessidade. Mas, por outro lado, com a ajuda de uma manobra tão habilidosa, muitas integrais não tabulares agora vão se encaixar literalmente na mente. como nozes.)

Olhar!

Exemplo 3

Vamos reduzir este exemplo a uma integral de tabela de uma função de potência:

Para fazer isso, colocamos sob o diferencial nossa construção linear 2x + 1, que está sob o quadrado. Ou seja, em vez de dx escrevemos d(2x+1). Então nós necessário. Mas matemáticaé necessário que a partir de nossas ações a essência do exemplo não mudou! Portanto, fazemos um compromisso e, de acordo com nossa regra, multiplicamos adicionalmente toda a estrutura por um fator de 1/2 (temos k = 2, portanto 1/k = 1/2).

Assim:

E agora consideramos:

O caso está pronto.) E aqui alguns leitores podem ter uma pergunta. Aliás, uma ótima pergunta!

Afinal, não poderíamos trazer a expressão 2x + 1 sob o diferencial, não introduzir nenhuma nova variável, mas simplesmente pegar e estupidamente elevar os colchetes de acordo com a fórmula escolar para o quadrado da soma

(2x+1) 2 = 4x 2 +4x+1,

Então termo por termo (na mente!) Integre cada termo. Você pode fazer aquilo? É claro! Por que não? Tente! E compare seus resultados. Haverá uma surpresa para você! Os detalhes estão no final da lição. :)

E ainda estamos seguindo em frente. Vou escrever os exemplos restantes sem nenhum comentário especial... Colocamos o argumento linear kx + b sob o diferencial, e o coeficiente resultante 1/k é retirado do sinal de integral. E trabalhamos de acordo com a tabela. As respostas finais estão em negrito.

Exemplo 4

Facilmente!

Exemplo5

Sem problemas!

E por fim, o último exemplo.

Exemplo 6

E aqui tudo é simples!

Bem, como? Apreciado? E agora você pode clicar nesses exemplos em sua mente! Uma possibilidade tentadora, certo?) Além disso, essas próprias integrais geralmente são termos separados em exemplos mais distorcidos.

Aliás, após certa habilidade em trabalhar com a tabela de antiderivadas, com o tempo, a necessidade de introduzir uma nova variável intermediária t desaparece completamente. Por inutilidade.

Por exemplo, muito em breve, você imediatamente em minha mente você dará uma resposta pronta para esses exemplos:

E mesmo em uma sessão para lidar com monstros como:

E você tenta calcular essa integral "na testa", elevando ao 1000º grau usando a fórmula binomial de Newton! Teremos que integrar 1001 termos termo a termo, sim... Mas com a ajuda da soma sob o diferencial - em uma linha!

Sim, bem bom! Com uma função linear, tudo fica muito claro. Como exatamente trazê-lo sob o diferencial - também. E então ouço uma pergunta natural: Mas só uma função linear pode ser colocada sob um diferencial?

Claro que não! Qualquer função f(x) pode ser colocada sob um diferencial! Aquele que confortável em um exemplo específico. E o que é conveniente lá - depende do exemplo específico, sim ... É só que usando o exemplo de uma função linear é muito fácil demonstrar o próprio procedimento de soma. Nos dedos, como dizem.) E agora estamos nos aproximando suavemente de um ocasião 2 .

Como trazer qualquer função arbitrária sob o diferencial?

Falaremos sobre o caso em que o integrando tem a seguinte forma:

f(g(x))· g’(x ) .

Ou, o que é o mesmo, integrando parece:

f(g(x))· g’(x)dx

Nada especial. Acabei de adicionar dx.)

Em uma palavra, falaremos sobre integrais da forma:

Não temos medo de traços e colchetes! Agora tudo ficará muito mais claro.)

Qual é o ponto aqui. Do integrando original, podemos extrair argumento complexo g(x ) e seu derivado g’(x) . Mas não apenas destaque, mas pinte-o na forma funciona alguma função complexa f(g(x)) deste mesmo argumento para sua derivada g’(x) . O que é expresso pela entrada:

f(g(x))· g’(x)

Vamos reformular tudo em termos de um diferencial: integrando expressão pode ser representado como um produto de alguma função complexa f(g(x)) e diferencial de seu argumento g’(x) dx.

E então, portanto, todo o nosso integrando pode ser escrito assim:

Falando em russo, nós adicionar uma função intermediáriag(x) sob o sinal do diferencial . Era dx, mas se tornou d(g(x)). E por que precisamos dessas metamorfoses? E se agora introduzir uma nova variável t = g(x), então nossa integral se torna muito mais simples:

E se a nova integral por nova variável t de repente (!) se torna tabular, então tudo está no chocolate. Vamos comemorar a vitória!

"Muita bobagem", sim. Mas agora tudo ficará muito mais claro com exemplos. :) Então, a segunda parte da peça!

Exemplo7

Este é um clássico do gênero. Sob a integral é uma fração. Você não pode usar a tabela diretamente, não pode transformar nada com nenhuma fórmula escolar. Apenas somando sob o diferencial economiza, sim.) Para fazer isso, escrevemos nosso integrando como um produto. Pelo menos este:

E agora entendemos. Com o logaritmo ao quadrado, tudo fica claro. Também é um logaritmo na África... E o que é 1/x? Vamos relembrar nossa inesquecível mesa de derivativos... Sim! isto derivada do logaritmo!

Agora inserimos no integrando em vez de 1/x expressão (lnx) ’ :

Então apresentamos a função integrando original do jeito que queremos f(g(x))· g’(x) . Transformou-o em produto de uma função de um logaritmo f(lnx) e derivada deste mesmo logaritmo (lnx) ’ . Ou seja, no trabalho em 2 x e (lnx) ’.

E agora vamos decifrar em detalhes que tipo de ações escondemos atrás de cada letra.

Bem, com a função g(x) tudo fica claro. Este é o logaritmo: g(x) = log x.

Mas o que está escondido sob a letra f? Nem todos percebem imediatamente ... E sob a letra f temos uma ação oculta - quadratura:

Essa é toda a descriptografia.)

MAS todo o integrando agora pode ser reescrito assim:

E que função introduzimos sob o diferencial neste exemplo? Neste exemplo, entramos sob o diferencial logarítmico função lnx!

Pronto.) Para ter certeza de que o resultado está correto, você sempre pode (e deve) diferenciar a resposta:

Viva! Tudo bem.)

Agora observe como diferenciamos exatamente a resposta final de todos os exemplos desta lição. Eles ainda não pegaram o padrão? Sim! Quão função complexa!É natural: a diferenciação de uma função complexa e a colocação da função sob o signo diferencial são duas ações mutuamente inversas. :)

Este foi um exemplo bem simples. Para descobrir o que é o quê. Agora o exemplo é mais impressionante.)

Exemplo 8

Novamente, nada é decidido diretamente. Vamos tentar o método de trazer o diferencial com a substituição subsequente. A questão é o que vamos trazer e substituir? E aqui está o problema.)

Precisamos tentar o integrando x cos(x 2 +1) de alguma forma representá-lo como um produto funções de algo para derivado isso mesmo:

Bem, temos um trabalho já existe - x e cosseno.) A intuição sugere que a função g (x), que traremos sob a diferencial, será a expressão x 2 +1, que fica dentro do cosseno. Ele pergunta diretamente:

Tudo está claro. A função interna de g éx 2 +1,e o f externo é o cosseno.

Bom. Agora vamos verificar se o multiplicador restante está de alguma forma conectado x Com derivada de expressão x 2 +1, que escolhemos como candidato à coroação diferencial.

Diferenciar:

Sim! Existe uma conexão! Se um 2x = (x 2 +1)', então para um único x podemos escrever:

Ou, na forma diferencial:

Tudo. Além de x 2 +1, não temos outras expressões com x em nenhum outro lugar do exemplo. Nem no integrando, nem sob o signo do diferencial. O que estávamos lutando.

Agora reescrevemos nosso exemplo levando em conta esse fato, substituímos a expressão x 2 +1 com uma nova letra e vá em frente! Verdade, isso é... O coeficiente 1/2 ainda saiu... Não importa, a gente tira, sai! :)

Isso é tudo. Como podemos ver, no exemplo anterior, uma função logarítmica foi introduzida sob o diferencial e aqui - quadrático.

Considere agora um exemplo mais exótico.

Exemplo 9

Parece terror! No entanto, é muito cedo para lamentar. É hora de lembrar nossa amada tabela de derivativos.) E um pouco mais especificamente - derivada do arco-seno.

Lá está ela:

Então, se colocarmos esse mesmo arco-seno sob o diferencial, esse exemplo maligno será resolvido em uma linha:

E todas as coisas!

E agora, vamos usar este exemplo para analisar todo o nosso fascinante processo de trazer a função arco-seno sob o diferencial. O que tivemos que fazer para lidar com sucesso com essa tarefa? Nós tivemos que identificar em expressão

derivada de outra expressão – arco-seno! Em outras palavras, primeiro lembrar(de acordo com a tabela de derivativos) que

E depois trabalhar da direita para esquerda. Assim:

Mas isso já é mais complicado do que simples diferenciação, você deve concordar! Assim como, por exemplo, tirar uma raiz quadrada é mais difícil do que elevar ao quadrado.) Temos que pegar função desejada. De acordo com a tabela de derivativos.

Portanto, além da diferenciação direta, na integração também precisaremos realizar constantemente a operação inversa - reconhecer em funções derivadas de outras funções. Não há algoritmo claro aqui. Regras de prática aqui.) Existe apenas uma receita - resolver exemplos! Tanto quanto possível. Resolva pelo menos 20-30 exemplos - e você notará e fará essas substituições de maneira rápida e fácil. Na máquina, eu diria mesmo. E você definitivamente precisa conheça a tabela de derivadas! De coraçâo.)

Eu nem sou muito preguiçoso e vou trazer os designs mais populares em um separado tabela diferencial.

Esta pequena placa de resumo já é suficiente para lidar com sucesso com a maioria dos exemplos resolvidos pelo método de somar uma função sob o sinal diferencial! Faz sentido entender. :)

Direi separadamente que a construção dx/x e a integral de tabela correspondente ln|x| – um dos mais populares em integração!

A esta fórmula tabular com um logaritmo são reduzidos tudo integrais fracionários, cujo numerador é a derivada do denominador. Veja por si mesmo:

Por exemplo, mesmo sem qualquer substituição, de acordo com esta regra, pode-se em uma linha integrar a tangente, por exemplo. Alguém aqui de alguma forma perguntou sobre a tangente? Por favor!

E mesmo esses gigantes também estão integrados em uma linha!

Engraçado, certo? :)

Talvez, especialmente as pessoas de olhos grandes, tenham uma pergunta por que nos três primeiros casos escrevi o módulo sob o logaritmo e no último caso não o escrevi?

Resposta: expressão x +1, ficando sob o logaritmo no último exemplo, positivo para qualquer x real. Portanto, o logaritmo da expressãox +1é sempre definido e, neste caso, parênteses regulares podem ser usados ​​em vez de um módulo. :)

Por que existe um módulo abaixo do logaritmo na integral da tabela? De fato, na tabela de derivadas, o logaritmo não possui nenhum módulo e, ao diferenciar, escrevemos calmamente:

(ln x)' = 1/x

E ao integrar a função 1/x, também escrevemos o módulo por algum motivo...

Vou responder a esta pergunta mais tarde. Nas aulas de integral definida. Este módulo está associado a domínio de definição da primitiva.

Nota: nós, como mágicos de circo, na verdade, apenas realizamos algum tipo de fraude com funções, transformando-os uns nos outros segundo algum tipo de signo. :) E, por enquanto, não nos preocupamos com o domínio da definição. E, para dizer a verdade, em vão. Afinal, ainda trabalhamos com funcionalidades! E o domínio é a parte mais importante de qualquer função, aliás! :) Incluindo as funções com as quais estamos trabalhando aqui - o integrando f(x) e primitivo F(x). Então vamos lembrar sobre o domínio da definição. Em uma aula especial.) Paciência, amigos!

Assim, consideramos com vocês exemplos típicos de integrais que podem ser resolvidas colocando uma função sob o sinal diferencial.) É difícil? A princípio, sim. Mas depois de algum treinamento e desenvolvimento de habilidades, essas integrais parecerão uma das mais simples!

Agora, a surpresa prometida! :)

Vamos voltar para exemplo número 3. Aí, resumindo a expressão 2x+1 sob o diferencial, temos esta resposta:

Essa é a resposta correta. Diferencie no papel como uma função complexa e veja por si mesmo. :)

Agora considere outra maneira de resolver o mesmo exemplo. Não vamos trazer nada sob o diferencial, mas simplesmente abrir estupidamente o quadrado da soma e integrar cada termo termo a termo. Temos todo o direito!

Nós temos:

E isto também a resposta correta!

Pergunta: a primeira e a segunda respostas para a mesma integral são iguais ou diferentes?

Afinal, logicamente, as respostas para o mesmo exemplo obtidas de duas formas diferentes devem ser as mesmas, certo? Vamos descobrir agora! Vamos transformar o primeiro resultado expandindo cubo de soma pela fórmula da multiplicação abreviada (uma+ b) 3 = uma 3 +3 uma 2 b+3 ab 2 + b 3 .

O que obteremos:

Agora vamos comparar os dois resultados:

E… algo está errado aqui! De onde veio a fração "extra" 1/6 no primeiro resultado? Acontece que para a mesma integral, duas respostas diferentes!

Paradoxo? Místico?

Calma! A solução para o mistério está em. Recordamos a primeira lição sobre integração. :) Lá, por algum motivo, é dada uma frase muito importante: duas primitivas da mesma funçãoF 1 ( x ) eF 2 ( x ) diferem entre si por uma constante.

Agora vamos olhar para os nossos resultados novamente. E... vemos que no nosso caso é verdade: as respostas obtidas de duas maneiras diferentes apenas diferem por uma constante. Um sexto. :)

F 1 (x) - F 2 (x) \u003d 1/6

Esse é todo o segredo. Portanto, não há contradição. :)

E, em geral, você já pode tomá-lo ... de três maneiras diferentes! Não acredito? Veja por si mesmo! :)

Método número 1 . Não tocamos no seno do ângulo duplo, mas simplesmente resumimos o argumento 2x sob o diferencial (como, de fato, eles já fizeram no processo de análise):

Método número 2 . Abrimos o seno do ângulo duplo, trazemos sob o diferencial pecado x:

Método número 3 . Novamente abrimos o seno do ângulo duplo, mas trazemos sob o diferencial cosx:

E agora diferenciamos as três respostas e ficamos ainda mais surpresos:

Milagres e muito mais! Havia três respostas diferentes! E desta vez, eles nem se parecem. E a derivada é a mesma! :) É realmente o caso novamente na constante integral, e cada uma das três funções difere da outra por uma constante? Sim! Curiosamente, mas é exatamente assim.) E você mesmo explora essas três funções! Não tome isso como trabalho. :) Converta cada função para Um tipo - quer para sin2x, quer para quanto 2x. E sim, as fórmulas escolares de trigonometria vão te ajudar! :)

Por que eu considerei essas surpresas e geralmente comecei todas essas conversas sobre a constante integral?

E aqui está a coisa.Como você pode ver, mesmo uma pequena diferença na constante integral pode, em princípio, mudar bastante a aparência da resposta, sim ... nunca deixa de estar certo! E, se na coleção de tarefas você de repente vir a resposta, não combina com o seu, é muito cedo para ficar chateado. Porque esse fato não significa que sua resposta esteja errada! É possível que você simplesmente tenha chegado à resposta de uma maneira diferente da pretendida pelo autor do exemplo. Isso acontece.) E a verificação mais confiável baseada em . Que? Corretamente! Diferenciando a resposta final! Temos o integrando - então está tudo bem.

Bem, agora você sente quão importante é o ícone dx sob a integral? Em muitos exemplos, só ele salva, sim. Coisas poderosas! Então não negligencie agora! :)

Agora vamos praticar! Como o tópico não é dos mais fáceis, desta vez haverá mais exemplos para treinamento do que o habitual.

Usando o método de trazer uma função sob o sinal diferencial, encontre integrais indefinidas:

Não vou responder desta vez. Então não vai ser interessante. :) Não tenha preguiça de diferenciar o resultado! Temos o integrando - OK. Não - procure onde você errou. Todos os exemplos são muito simples e são resolvidos em uma (no máximo duas) linhas. Quem precisa desesperadamente de respostas, todos os exemplos são retirados da coleção de tarefas sobre análise matemática de G.N. Berman. Baixe, procure seu exemplo, confira. :) Boa sorte!

§ 5. Integrais e suas aplicações

.

5.1. Definições e fórmulas básicas. Função F(x) é função antiderivada f(x), se em algum set X igualdade F (x)= f(x). A coleção de todas as primitivas para f(x) chamado integral indefinida e é denotado. Ao mesmo tempo, se F(x) - qualquer um dos originais f(x), então
, constante C percorre todo o conjunto de números reais. A Tabela 2 mostra as principais fórmulas em que você= você(x).

mesa 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

É óbvio que as fórmulas 10), 12) e 14) são casos especiais das fórmulas 11), 13) e 15) respectivamente.

Se um f(x) é uma função contínua no intervalo [ uma; b], então existe integral definida desta função, que pode ser calculada a partir de Fórmula de Newton-Leibniz:

, (5.1)

Onde F(x) - qualquer protótipo f(x). Ao contrário da integral indefinida (que é um conjunto de funções), a integral definida é um número.

As integrais definidas e indefinidas têm a propriedade linearidade(a integral da soma das funções é igual à soma das integrais, e o fator constante pode ser retirado do sinal integral):

.

Exemplo 5.1. Encontre um)
; b)
.

Solução. Na tarefa a) primeiro simplificamos o integrando dividindo termo por termo cada termo do numerador pelo denominador, depois usamos a propriedade linearidade e fórmulas de "tabela" 1)-3):

Na tarefa b) além do mais linearidade e fórmulas de "tabela" 3), 9), 1), use a formula de Newton-Leibniz (5.1):

5.2. Inserindo sob o sinal do diferencial e alterando a variável. Pode-se ver que algumas vezes uma parte do integrando forma um diferencial de alguma expressão, o que permite o uso de fórmulas tabulares.

Exemplo 5.2 Encontre um)
; b)
.

Solução. No exemplo a) pode-se notar que
e depois use a fórmula 5) no você=ln x:

Quando b)
, e, portanto, devido 11) no
Nós temos:

Observação 1. Ao introduzir sob o sinal diferencial, é útil, juntamente com os usados ​​acima, levar em conta as seguintes relações:

;
;
; ; ;

;
;
;
.

Observação 2. Integrais de exemplo 5.2. também pode ser encontrado alterando a variável. Neste caso, em uma determinada integral, os limites de integração também devem ser alterados. Conversões para 5.2.b) ficaria assim, por exemplo:

No caso geral, a escolha da substituição é determinada pela forma do integrando. Em alguns casos, são recomendadas substituições especiais. Por exemplo, se a expressão contiver uma irracionalidade da forma
, então podemos colocar
ou
.

Exemplo 5.3 Encontre um)
; b)
.

Solução. Quando a) temos

(após a substituição, foi aplicada a fórmula tabular 11 )).

Ao decidir b) necessariamente mudamos os limites da integração.

5.3. Integração por partes. Em alguns casos, a "fórmula de integração por partes" ajuda. Para a integral indefinida, ela tem a forma

, (5.2)

para um certo

, (5.3)

É importante ter em conta o seguinte.

1) Se o integrando contém o produto de um polinômio de x em funções
, então como você um polinômio é escolhido, e a expressão que fica sob o sinal de integral se refere a DVD.

2) Se o integrando contém trigonométrico inverso ( ) ou logarítmica (
) função, então como você um deles é selecionado.

Exemplo 5.4. Encontre um)
; b)
.

Solução. Quando a) aplique a fórmula (5.2) e segunda regra. Exatamente, suponhamos
. Então
. Mais longe,
, e portanto
. Consequentemente, . Na integral resultante, selecionamos a parte inteira do integrando (isso é feito quando o grau do numerador não é menor que o grau do denominador):

.

A solução final fica assim:

No exemplo b) usar (5.3) e a primeira das regras.

5.4. Integração de expressões contendo um trinômio quadrado. As ideias principais são destacar um quadrado inteiro em um trinômio quadrado e realizar uma substituição linear, o que torna possível reduzir a integral original a uma forma tabular 10 )-16 ).

Exemplo 5.5. Encontre um)
; b)
; dentro)
.

Solução. Quando a) atuamos da seguinte forma:

portanto (tendo em conta 13) )

Ao resolver o exemplo b) transformações adicionais são necessárias devido à presença de uma variável no numerador do integrando. Selecionando o quadrado completo no denominador (), obtemos:

Para a segunda das integrais, devido a 11) (Tabela 2) temos:
. Na primeira integral, introduzimos sob o sinal da diferencial:

Assim, juntando tudo e voltando para a variável x, Nós temos:

No exemplo dentro) também pré-selecionamos o quadrado completo:

5.5. Integração das funções trigonométricas mais simples. Ao integrar expressões da forma
(Onde m e n são números naturais), é recomendável levar em consideração as seguintes regras.

1) Se ambos os graus forem pares, aplicam-se as fórmulas de “diminuição de grau”: ; .

2) Suponha que qualquer um dos números m e n- ímpar. Por exemplo, n=2 k+1. Neste caso, uma das potências da função cosx “split off” para colocar sob o sinal diferencial (porque ). Na expressão restante
usando a identidade trigonométrica básica
expressar através
(). Depois de transformar o integrando (e levando em conta a propriedade de linearidade), obtemos uma soma algébrica de integrais da forma
, cada um dos quais pode ser encontrado usando a fórmula 2) da tabela 2:
.

Além disso, em alguns casos as fórmulas também são úteis

Exemplo 5.6. Encontre um)
; b)
; dentro)
.

Solução. a) O integrando inclui uma potência ímpar (5ª) sinx, então nós agimos segunda regra, dado que .

No exemplo b) use a fórmula (5.4 ), linearidade integral indefinida, igualdade
e fórmula tabular 4):

Quando dentro) sucessivamente abaixe o grau, levamos em consideração a linearidade, a possibilidade de introduzir uma constante sob o sinal diferencial e as fórmulas tabulares necessárias:

5.6. Aplicações de uma integral definida. Como se sabe, um trapézio curvilíneo correspondente a um não negativo e contínuo no segmento [ uma; b] funções f(x), chamada de área limitada pelo gráfico da função y= f(x), eixo BOI e duas linhas verticais x= uma, x= b. Resumidamente, isso pode ser escrito da seguinte forma: fig.3). e onde