A função é crescente no intervalo. Sinais suficientes de funções crescentes e decrescentes

Definição de uma função crescente.

Função y=f(x) aumenta no intervalo X, se para qualquer e a desigualdade é satisfeita. Em outras palavras - maior valor argumento corresponde ao maior valor da função.

Definição de função decrescente.

Função y=f(x) diminui no intervalo X, se para qualquer e a desigualdade . Em outras palavras, um valor maior do argumento corresponde a um valor menor da função.

NOTA: se a função for definida e for contínua nas extremidades do intervalo de aumento ou diminuição (a; b), ou seja, quando x=a e x=b, então esses pontos são incluídos no intervalo de aumento ou diminuição. Isso não contradiz as definições de uma função crescente e decrescente no intervalo X.

Por exemplo, pelas propriedades das funções elementares básicas, sabemos que y=sinxé definido e contínuo para todos os valores reais do argumento. Portanto, a partir do aumento da função seno no intervalo, podemos afirmar o aumento no intervalo .

Pontos extremos, função extrema.

O ponto é chamado ponto máximo funções y=f(x) se para todos x de sua vizinhança, a desigualdade é verdadeira. O valor da função no ponto de máximo é chamado função máxima e denotar.

O ponto é chamado ponto mínimo funções y=f(x) se para todos x de sua vizinhança, a desigualdade é verdadeira. O valor da função no ponto mínimo é chamado função mínima e denotar.

A vizinhança de um ponto é entendida como o intervalo , onde é um número positivo suficientemente pequeno.

Os pontos mínimo e máximo são chamados pontos extremos, e os valores da função correspondentes aos pontos extremos são chamados função extrema.

Não confunda os extremos da função com os valores máximo e mínimo da função.

Na primeira foto valor mais alto funções no intervalo é atingido no ponto de máximo e é igual ao máximo da função, e na segunda figura, o valor máximo da função é atingido no ponto x=b, que não é um ponto máximo.

Condições suficientes para funções crescentes e decrescentes.

Com base em condições suficientes (sinais) para o aumento e diminuição da função, os intervalos de aumento e diminuição da função são encontrados.

Aqui estão as formulações dos sinais de funções crescentes e decrescentes no intervalo:

se a derivada da função y=f(x) positivo para qualquer x do intervalo X, então a função aumenta em X;

se a derivada da função y=f(x) negativo para qualquer x do intervalo X, então a função diminui em X.

Assim, para determinar os intervalos de aumento e diminuição de uma função, é necessário:

Considere um exemplo de encontrar os intervalos de funções crescentes e decrescentes para esclarecer o algoritmo.

Exemplo.

Encontre os intervalos de aumento e diminuição da função .

Decisão.

O primeiro passo é encontrar o escopo da definição da função. Em nosso exemplo, a expressão no denominador não deve desaparecer, portanto, .

Vamos passar para encontrar a derivada da função:

Para determinar os intervalos de aumento e diminuição de uma função por um critério suficiente, resolvemos as desigualdades e no domínio de definição. Vamos usar uma generalização do método intervalar. A única raiz real do numerador é x=2, e o denominador desaparece em x=0. Esses pontos dividem o domínio de definição em intervalos nos quais a derivada da função mantém seu sinal. Vamos marcar esses pontos na reta numérica. Por mais e menos, denotamos condicionalmente os intervalos nos quais a derivada é positiva ou negativa. As setas abaixo mostram esquematicamente o aumento ou diminuição da função no intervalo correspondente.

Altamente informação importante sobre o comportamento da função fornecem spans de ascendente e descendente. Encontrá-los faz parte do processo de exploração e plotagem da função. Além disso, os pontos extremos, nos quais há uma mudança de aumento para diminuição ou de diminuição para aumento, são dados Atenção especial ao encontrar o maior e o menor valor de uma função em um determinado intervalo.

Neste artigo, vamos definições necessárias, formulamos um critério suficiente para o aumento e diminuição de uma função em um intervalo e condições suficientes para a existência de um extremo, aplicamos toda essa teoria para resolver exemplos e problemas.

Navegação da página.

Função crescente e decrescente em um intervalo.

Definição de uma função crescente.

A função y=f(x) aumenta no intervalo X se para qualquer e a desigualdade é satisfeita. Em outras palavras, um valor maior do argumento corresponde a um valor maior da função.

Definição de função decrescente.

A função y=f(x) diminui no intervalo X se para qualquer e a desigualdade . Em outras palavras, um valor maior do argumento corresponde a um valor menor da função.

OBSERVAÇÃO: se a função é definida e contínua nas extremidades do intervalo de aumento ou diminuição (a;b) , ou seja, em x=a e x=b , então esses pontos estão incluídos no intervalo de aumento ou diminuição. Isso não contradiz as definições de uma função crescente e decrescente no intervalo X.

Por exemplo, a partir das propriedades do main funções elementares sabemos que y=sinx é definido e contínuo para todos os valores reais do argumento. Portanto, a partir do aumento da função seno no intervalo, podemos afirmar o aumento no intervalo .

Pontos extremos, função extrema.

O ponto é chamado ponto máximo função y=f(x) se a desigualdade for verdadeira para todos os x de sua vizinhança. O valor da função no ponto de máximo é chamado função máxima e denotar.

O ponto é chamado ponto mínimo função y=f(x) se a desigualdade for verdadeira para todos os x de sua vizinhança. O valor da função no ponto mínimo é chamado função mínima e denotar.

A vizinhança de um ponto é entendida como o intervalo , onde é um número positivo suficientemente pequeno.

Os pontos mínimo e máximo são chamados pontos extremos, e os valores da função correspondentes aos pontos extremos são chamados função extrema.

Não confunda os extremos da função com os valores máximo e mínimo da função.

Na primeira figura, o valor máximo da função no segmento é atingido no ponto de máximo e é igual ao máximo da função, e na segunda figura, o valor máximo da função é atingido no ponto x=b , que não é o ponto máximo.

Condições suficientes para funções crescentes e decrescentes.

Com base em condições suficientes (sinais) para o aumento e diminuição da função, os intervalos de aumento e diminuição da função são encontrados.

Aqui estão as formulações dos sinais de funções crescentes e decrescentes no intervalo:

• se a derivada da função y=f(x) for positiva para qualquer x do intervalo X , então a função aumenta em X ;
• se a derivada da função y=f(x) for negativa para qualquer x do intervalo X , então a função é decrescente em X .

Assim, para determinar os intervalos de aumento e diminuição de uma função, é necessário:

Considere um exemplo de encontrar os intervalos de funções crescentes e decrescentes para esclarecer o algoritmo.

Exemplo.

Encontre os intervalos de aumento e diminuição da função .

Decisão.

O primeiro passo é encontrar o escopo da função. Em nosso exemplo, a expressão no denominador não deve desaparecer, portanto, .

Vamos passar para encontrar a derivada da função:

Para determinar os intervalos de aumento e diminuição de uma função por um critério suficiente, resolvemos as desigualdades e no domínio de definição. Vamos usar uma generalização do método intervalar. A única raiz real do numerador é x = 2 , e o denominador desaparece em x = 0 . Esses pontos dividem o domínio de definição em intervalos nos quais a derivada da função mantém seu sinal. Vamos marcar esses pontos na reta numérica. Por mais e menos, denotamos condicionalmente os intervalos nos quais a derivada é positiva ou negativa. As setas abaixo mostram esquematicamente o aumento ou diminuição da função no intervalo correspondente.

Por isso, e .

No ponto x=2 a função é definida e contínua, portanto deve ser adicionada aos intervalos ascendentes e descendentes. No ponto x=0, a função não está definida, portanto este ponto não está incluído nos intervalos necessários.

Apresentamos o gráfico da função para comparar os resultados obtidos com ele.

Responda:

A função aumenta em , diminui no intervalo (0;2] .

Condições suficientes para o extremo de uma função.

Para encontrar os máximos e mínimos de uma função, você pode usar qualquer um dos três sinais de extremo, é claro, se a função satisfizer suas condições. O mais comum e conveniente é o primeiro deles.

A primeira condição suficiente para um extremo.

Seja a função y=f(x) diferenciável em uma -vizinhança do ponto e contínua no próprio ponto.

Em outras palavras:

Algoritmo para encontrar pontos extremos pelo primeiro sinal da função extremo.

• Encontrando o escopo da função.
• Encontramos a derivada da função no domínio de definição.
• Determinamos os zeros do numerador, os zeros do denominador da derivada e os pontos do domínio onde a derivada não existe (todos os pontos listados são chamados pontos de possível extremo, passando por esses pontos, a derivada só pode mudar de sinal).
• Esses pontos dividem o domínio da função em intervalos nos quais a derivada mantém seu sinal. Determinamos os sinais da derivada em cada um dos intervalos (por exemplo, calculando o valor da derivada da função em qualquer ponto de um único intervalo).
• Selecionamos pontos nos quais a função é contínua e, passando por eles, a derivada muda de sinal - são os pontos extremos.

Muitas palavras, vamos considerar alguns exemplos de encontrar pontos extremos e extremos de uma função usando a primeira condição suficiente para o extremo de uma função.

Exemplo.

Encontre os extremos da função .

Decisão.

O escopo da função é todo o conjunto de números reais, exceto x=2 .

Encontramos a derivada:

Os zeros do numerador são os pontos x=-1 e x=5 , o denominador vai para zero em x=2 . Marque esses pontos na reta numérica

Determinamos os sinais da derivada em cada intervalo, para isso calculamos o valor da derivada em qualquer um dos pontos de cada intervalo, por exemplo, nos pontos x=-2, x=0, x=3 e x= 6 .

Portanto, a derivada é positiva no intervalo (na figura colocamos um sinal de mais nesse intervalo). De forma similar

Portanto, colocamos um menos no segundo intervalo, um menos no terceiro e um mais no quarto.

Resta escolher os pontos em que a função é contínua e sua derivada muda de sinal. Esses são os pontos extremos.

No ponto x=-1 a função é contínua e a derivada muda de sinal de mais para menos, portanto, de acordo com o primeiro sinal do extremo, x=-1 é o ponto de máximo, corresponde ao máximo da função .

No ponto x=5 a função é contínua e a derivada muda de sinal de menos para mais, portanto, x=-1 é o ponto de mínimo, corresponde ao mínimo da função .

Ilustração gráfica.

Responda:

ATENÇÃO: o primeiro sinal suficiente de um extremo não exige que a função seja diferenciável no próprio ponto.

Exemplo.

Encontrar pontos extremos e extremos de uma função .

Decisão.

O domínio da função é todo o conjunto dos números reais. A função em si pode ser escrita como:

Vamos encontrar a derivada da função:

No ponto x=0, a derivada não existe, pois os valores dos limites laterais não coincidem quando o argumento tende a zero:

Ao mesmo tempo, a função original é contínua no ponto x=0 (veja a seção sobre investigação de uma função para continuidade):

Encontre os valores do argumento em que a derivada se anula:

Marcamos todos os pontos obtidos na reta real e determinamos o sinal da derivada em cada um dos intervalos. Para fazer isso, calculamos os valores da derivada em pontos arbitrários de cada intervalo, por exemplo, quando x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Ou seja,

Assim, de acordo com o primeiro sinal de um extremo, os pontos mínimos são , os pontos máximos são .

Calculamos os mínimos correspondentes da função

Calculamos o máximo correspondente da função

Ilustração gráfica.

Responda:

.

O segundo sinal do extremo da função.

Como você pode ver, este sinal do extremo da função requer a existência de uma derivada pelo menos até a segunda ordem no ponto .

Trabalho de formatura dentro USE formulário para alunos do 11º ano, contém necessariamente tarefas para calcular limites, intervalos de diminuição e aumento da derivada de uma função, encontrar pontos extremos e traçar gráficos. Um bom conhecimento deste tópico permite que você responda corretamente a várias questões do exame e não tenha dificuldades na formação profissional posterior.

Fundamentos cálculo diferencial um dos principais temas da matemática escola moderna. Ela estuda o uso da derivada para estudar as dependências das variáveis ​​- é através da derivada que se pode analisar o aumento e a diminuição de uma função sem se referir ao desenho.

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Antes de iniciar a solução direta de problemas temáticos, recomendamos que você primeiro vá para a seção "Referência Teórica" ​​e repita as definições de conceitos, regras e fórmulas tabulares. Aqui você também pode ler como encontrar e registrar cada intervalo de funções crescentes e decrescentes no gráfico da derivada.

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Lembrando os pontos principais do tópico, veja os exemplos de aumento da derivada de uma função, semelhante às tarefas das opções de exame. Para consolidar o que você aprendeu, consulte o "Catálogo" - aqui você encontrará exercícios práticos para trabalho independente. As tarefas da secção são selecionadas em diferentes níveis de complexidade, tendo em conta o desenvolvimento de competências. Para cada um deles, por exemplo, algoritmos de solução e respostas corretas são anexados.

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derivado. Se a derivada de uma função é positiva para qualquer ponto no intervalo, então a função é crescente; se for negativa, é decrescente.

Para encontrar os intervalos de aumento e diminuição de uma função, você precisa encontrar o domínio de sua definição, a derivada, resolver desigualdades da forma F'(x) > 0 e F'(x)

Decisão.

3. Resolva as desigualdades y' > 0 e y' 0;
(4 - x)/x³

Decisão.
1. Encontre o domínio da função. Obviamente, a expressão no denominador deve ser sempre diferente de zero. Portanto, 0 é excluído do domínio de definição: a função é definida para x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).

2. Calcule a derivada da função:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² - (3 x² + 2 x - 4) 2 x) / x^4 = (6 x³ + 2 x² - 6 x³ - 4 x² + 8 x) / x^ 4 \u003d (8 x - 2 x²) / x ^ 4 \u003d 2 (4 - x) / x³.

3. Resolva as desigualdades y' > 0 e y' 0;
(4 - x)/x³

4. Lado esquerdo a desigualdade tem um real x = 4 e se torna em x = 0. Portanto, o valor x = 4 está incluído no intervalo e no intervalo decrescente, e o ponto 0 não está incluído.
Assim, a função requerida aumenta no intervalo x ∈ (-∞; 0) ∪ .

4. O lado esquerdo da desigualdade tem um real x = 4 e se transforma em x = 0. Portanto, o valor x = 4 está incluído no intervalo e no intervalo decrescente, e o ponto 0 não está incluído.
Assim, a função requerida aumenta no intervalo x ∈ (-∞; 0) ∪ .

Origens:

• como encontrar intervalos decrescentes em uma função

A função é uma dependência estrita de um número em outro, ou o valor da função (y) no argumento (x). Cada processo (não apenas em matemática) pode ser descrito por sua própria função, que terá características: intervalos de diminuição e aumento, pontos de mínimos e máximos, e assim por diante.

Você vai precisar

• - papel;
• - caneta.

Instrução

Exemplo 2
Encontre os intervalos de f(x)=senx +x decrescentes.
A derivada desta função será igual a: f'(x)=cosx+1.
Resolvendo a desigualdade cosx+1

intervalo monotonia Uma função pode ser chamada de intervalo em que a função só aumenta ou só diminui. Várias ações específicas ajudarão a encontrar esses intervalos para uma função, o que geralmente é necessário em problemas algébricos desse tipo.

Instrução

O primeiro passo para resolver o problema de determinar os intervalos em que a função aumenta ou diminui monotonicamente é o cálculo dessa função. Para fazer isso, descubra todos os valores dos argumentos (valores no eixo x) para os quais você pode encontrar o valor da função. Marque os pontos onde as lacunas são observadas. Encontre a derivada da função. Definida a expressão que representa a derivada, iguale-a a zero. Depois disso, você deve encontrar as raízes do arquivo . Não sobre a área de inadmissível.

Os pontos em que a função ou em que sua derivada é igual a zero são os limites dos intervalos monotonia. Esses intervalos, bem como os pontos que os separam, devem ser inseridos sequencialmente na tabela. Encontre o sinal da derivada da função nos intervalos resultantes. Para fazer isso, substitua qualquer argumento do intervalo na expressão correspondente à derivada. Se o resultado for positivo, a função neste intervalo aumenta, caso contrário, diminui. Os resultados são inseridos em uma tabela.

A linha que denota a derivada da função f'(x) é escrita correspondente aos valores dos argumentos: "+" - se a derivada for positiva, "-" - negativa ou "0" - igual a zero. Na próxima linha, observe a monotonicidade da própria expressão original. A seta para cima corresponde ao aumento, a seta para baixo corresponde à diminuição. Verifique as características. Estes são os pontos onde a derivada é zero. Um extremo pode ser um ponto alto ou um ponto baixo. Se a seção anterior da função estava aumentando e a atual está diminuindo, este é o ponto máximo. No caso em que a função estava diminuindo até um determinado ponto, e agora está aumentando, este é o ponto mínimo. Insira na tabela os valores da função nos pontos extremos.

Origens:

• qual é a definição de monotonicidade

O estudo do comportamento de uma função que tem uma dependência complexa do argumento é feito usando a derivada. Pela natureza da mudança na derivada, pode-se encontrar pontos críticos e áreas de crescimento ou diminuição da função.

Monótono

Altamente propriedade importante função é a sua monotonicidade. Conhecendo essa propriedade de várias funções especiais, pode-se determinar o comportamento de vários processos físicos, econômicos, sociais e muitos outros.

distribuir os seguintes tipos monotonicidade de funções:

1) função aumenta, se em algum intervalo, se para quaisquer dois pontos e este intervalo tal que . Aqueles. um valor maior do argumento corresponde a um valor maior da função;

2) função diminui, se em algum intervalo, se para quaisquer dois pontos e este intervalo tal que . Aqueles. um valor maior do argumento corresponde a um valor menor da função;

3) função não decrescente, se em algum intervalo, se para quaisquer dois pontos e este intervalo tal que ;

4) função não aumenta, se em algum intervalo, se para quaisquer dois pontos e este intervalo tal que .

2. Para os dois primeiros casos, também é usado o termo "monotonicidade estrita".

3. Os dois últimos casos são específicos e geralmente são especificados como uma composição de várias funções.

4. Separadamente, notamos que o aumento e a diminuição no gráfico da função devem ser considerados exatamente da esquerda para a direita e nada mais.

2. Par ou ímpar.

A função é chamada de ímpar, se quando o sinal do argumento muda, ele muda seu valor para o oposto. A fórmula para isso se parece com isso . Isso significa que após substituir os valores de menos x na função no lugar de todos os x, a função mudará de sinal. O gráfico de tal função é simétrico em relação à origem.

Exemplos de funções ímpares são etc.

Por exemplo, o gráfico é de fato simétrico em relação à origem:

A função é chamada par se alterar o sinal do argumento não altera seu valor. A fórmula para isso se parece com isso. Isso significa que depois de substituir os valores de menos x na função no lugar de todos os x, a função não será alterada como resultado. O gráfico de tal função é simétrico em relação ao eixo.

Exemplos de funções pares são etc.

Por exemplo, vamos mostrar a simetria do gráfico em relação ao eixo:

Se a função não pertencer a nenhuma das espécies especificadas, então não é chamado nem par nem ímpar ou função visão geral . Tais funções não têm simetria.

Tal função, por exemplo, é a recentemente considerada Função linear com gráfico:

3. propriedade especial funções é periodicidade.

O ponto é que as funções periódicas, que são consideradas no padrão currículo escolar, são apenas funções trigonométricas. Já falamos sobre eles em detalhes ao estudar o tópico correspondente.

Função periódicaé uma função que não altera seu valor quando um determinado número constante diferente de zero é adicionado ao argumento.

Esse número mínimo é chamado período de função e estão marcados com uma letra.

A fórmula para isso fica assim: .

Vejamos esta propriedade no exemplo de um gráfico seno:

Lembre-se de que o período das funções e é , e o período de e é .

Como já sabemos, para funções trigonométricas com um argumento complexo, pode haver um período fora do padrão. É sobre sobre funções de visualização:

Eles têm o mesmo período. E sobre funções:

Eles têm o mesmo período.

Como você pode ver, para calcular um novo período, o período padrão é simplesmente dividido pelo fator no argumento. Não depende de outras modificações da função.

Limitação.

Função y=f(x) é chamado limitado por baixo no conjunto X⊂D(f) se existe um número a tal que para qualquer xϵX a desigualdade f(x)< a.

Função y=f(x) é chamado limitado de cima no conjunto X⊂D(f) se existe um número a tal que para qualquer xϵX a desigualdade f(x)< a.

Se o intervalo X não for indicado, considera-se que a função está limitada a todo o domínio de definição. Uma função limitada acima e abaixo é chamada de limitada.

A limitação da função é fácil de ler no gráfico. É possível desenhar alguma linha reta y=a, e se a função for maior que essa linha reta, então ela é limitada por baixo.

Se abaixo, então respectivamente acima. Abaixo está um gráfico de uma função limitada inferior. Cronograma função limitada Pessoal, tentem desenhar vocês mesmos.

Tópico: Propriedades das funções: intervalos de aumento e diminuição; maior e menor valor; pontos extremos (máximo e mínimo locais), convexidade da função.

períodos de aumento e diminuição.

Com base em condições suficientes (sinais) para o aumento e diminuição da função, os intervalos de aumento e diminuição da função são encontrados.

Aqui estão as formulações dos sinais de funções crescentes e decrescentes no intervalo:

se a derivada da função y=f(x) positivo para qualquer x do intervalo X, então a função aumenta em X;

se a derivada da função y=f(x) negativo para qualquer x do intervalo X, então a função diminui em X.

Assim, para determinar os intervalos de aumento e diminuição de uma função, é necessário:

encontre o escopo da função;

encontrar a derivada de uma função;

resolver as desigualdades e no domínio da definição;