Pochodna i funkcja pierwotna funkcji wykładniczej. Funkcja pierwotna funkcji i forma ogólna
Przeczytaj także
Dzisiaj porozmawiamy o badaniu funkcji. Należy zauważyć, że matematyka jest ułożona w taki sam sposób, jak zwykły dom: najpierw kładzie się fundament, a następnie układa się cegły warstwa po warstwie. Rolę podstawy w matematyce odgrywa funkcja (korespondencja między dwoma zbiorami). Po wprowadzeniu pojęcia funkcji, zaczynają badać ją jako przedmiot w taki sam sposób, jak robiono to z liczbami.
Tak naprawdę w życiu też często posługujemy się nie tylko przedmiotami, ale także korespondencjami między nimi, relacjami między przedmiotami. Przykładem są książki o miłości (miłość to związek między ludźmi).
Po przestudiowaniu funkcji w matematyce zaczynamy studiować zbiory funkcji, potem przestrzenie funkcji i tak dalej. Ale dzisiaj porozmawiamy o pierwotnej analizie funkcji.
Czym jest funkcja? Funkcja to korespondencja między zestawami. W tej lekcji porozmawiamy funkcje numeryczne, czyli o powiązaniach między zestawami liczbowymi. Porozmawiamy również o właściwości lokalnej funkcji (zachowanie się funkcji w tym konkretnym punkcie) oraz właściwości globalnej (właściwości związanej z całym zakresem funkcji). Pochodna to opis lokalnych własności funkcji, a całka to opis globalnych.
Na przykład istnieją dwie różne funkcje, ale w pewnym momencie ich wykresy się pokrywają (patrz rys. 1). Ale jaka jest różnica między zachowaniem funkcji w pobliżu tego punktu? To zostanie omówione.
Ryż. 1. Przecięcie wykresów dwóch różnych funkcji
Z wykresu funkcji można łatwo określić jej właściwości: monotoniczność (wzrost lub zmniejszenie funkcji), parzystość (nieparzystość) i okresowość (patrz rys. 2).
Ryż. 2. Specyfikacje funkcji
Wszystkie te cechy są matematyczne. Ale pochodna jest często używana w życiu. Najczęściej, kiedy opisujemy proces za pomocą grafu, interesuje nas dynamika tego procesu, czyli nie wartość funkcji w danym punkcie, ale to, jak funkcja będzie się zachowywać w przyszłości (czy będzie się zwiększać, czy zmniejszać?). Na przykład, gdy chcemy przeanalizować wzrosty cen lub porównać ceny dla różne okresy czas ( Wartości bezwzględne może się zmienić, ale dynamika pozostała taka sama) (patrz rys. 3).
Ryż. 3. Dynamika cen złota
Pochodna pomaga obliczyć, jak funkcja będzie się zachowywać w sąsiedztwie danego punktu.
Warto wyjaśnić, że w szkole pochodnej funkcji najczęściej poszukuje się po całej domenie definicji. Wynika to z faktu, że badane cechy są „dobre”, czyli ich zachowanie jest przewidywalne na całej osi. Ale generalnie pochodna jest lokalną charakterystyką funkcji.
Na przykład podczas przeglądania zdjęć z różnymi czasami otwarcia migawki może być dostępnych kilka opcji:
- samochody stoją, a ludzie są na swoim miejscu (patrz rys. 4);
- rozmazany obraz, możesz zobaczyć, kto dokąd idzie (patrz rys. 5).
Ryż. 4. Zdjęcie z ekspozycją na
Ryż. 5. Zdjęcie z ekspozycją na
Druga opcja to wizualna ilustracja pochodnej (rozmycie obrazu).
W tym momencie funkcja nabiera określonej wartości i praktycznie nie da się z niej wyciągnąć żadnych wniosków na temat jej zachowania. A jeśli weźmiemy pod uwagę sąsiedztwo tego punktu, to już możemy powiedzieć, która strona jest mniejsza (która jest większa) i stwierdzić, czy rośnie, czy maleje. Oznacza to, że gdy czas otwarcia migawki jest krótki, widzimy wartość funkcji w pewnym momencie, a biorąc pod uwagę opóźnienie klatki, możemy już analizować zachowanie funkcji (patrz rys. 6).
Ryż. 6. Analogia między pochodną a fotografią
W Życie codzienne często analizujemy sytuację, taką jak analiza funkcji w matematyce. Na przykład, gdy mówimy, że na zewnątrz robi się cieplej (chłodniej), nie podajemy konkretnej temperatury w ten moment, ale mamy na myśli, że wkrótce temperatura wzrośnie (spadnie). Jest to podobne do obliczania pochodnej (patrz rys. 7).
Ryż. 7. Analiza zmian temperatury
Przedstawmy się precyzyjna definicja pochodna.
Funkcja pochodnaw punkcie limit nazywa się stosunkiem przyrostu funkcji w tym punkcie do przyrostu argumentu (pod warunkiem, że ten limit istnieje):
Ponieważ chcemy wprowadzić takie pojęcie jak tempo zmian funkcji (główne słowo to prędkość), wtedy możemy narysować paralelę z fizyką. Prędkość chwilowa jest wektorową wielkością fizyczną równą stosunkowi przemieszczenia do przedziału czasu, w którym nastąpiło to przemieszczenie, jeśli przedział czasu dąży do zera:
Prędkość chwilowa, m/s; - przemieszczenie ciała, m (w ); - dążenie do zerowego przedziału czasu, ust.
Ale ważne jest, aby wyjaśnić, że kiedy mówiliśmy o temperaturze, wskazaliśmy tylko cechy jakościowe procesu, ale nie mówiliśmy o szybkości zmian temperatury. Pochodna uwzględnia tempo zmian funkcji. Funkcje mogą rozwijać się na różne sposoby. Na przykład parabola () rośnie szybciej niż logarytm () (patrz rys. 8).
Ryż. 8. Tempo wzrostu wykresów funkcji i
Jest to porównanie tempa wzrostu (spadku) funkcji, którą wprowadzamy specyficzna charakterystyka funkcje - pochodna. Rysując analogię pomiędzy pochodną a prędkością ruchu obiektu (prędkość to stosunek przebytej drogi do czasu, czyli zmiana współrzędnych w jednostce czasu), możemy powiedzieć, że w limicie pochodna to stosunek zmiana funkcji (czyli drogi, którą przebył punkt, jeśli poruszał się po wykresie funkcji) na przyrost argumentu (czas, w którym ruch został wykonany) (patrz rys. 9). To jest mechaniczne (fizyczne) znaczenie pochodnej.
Ryż. 9. Analogia między prędkością a pochodną
Pochodna jest lokalną własnością funkcji. Ważne jest, aby rozróżnić obliczanie pochodnej po całej dziedzinie definicji iw określonym obszarze, ponieważ funkcja na jednym przedziale może być kwadratowa, na drugim liniowa i tak dalej. Ale to wszystko jest jedna funkcja i w różnych punktach taka funkcja będzie miała różne znaczenia pochodna.
Dla większości funkcji podanych analitycznie (przez określony wzór) mamy tabelę pochodnych (patrz rys. 10). Jest to odpowiednik tabliczki mnożenia, to znaczy istnieją podstawowe funkcje, dla których pochodne zostały już obliczone (można udowodnić, że mają dokładnie taką postać), a następnie istnieją pewne zasady (patrz ryc. 11) ( analogi mnożenia lub dzielenia w kolumnie), za pomocą których można obliczać pochodne funkcji złożonych, produkty pochodne i tak dalej. Tak więc dla prawie wszystkich funkcji wyrażonych w terminach znanych nam funkcji możemy opisać zachowanie funkcji w całej dziedzinie definicji.
Ryż. 10. Tabela instrumentów pochodnych
Ryż. 11. Zasady różnicowania
Jednak definicja pochodnej, którą podaliśmy wcześniej, jest punktowa. Aby uogólnić pochodną w punkcie na całą dziedzinę funkcji, należy udowodnić, że w każdym punkcie wartość pochodnej będzie pokrywać się z wartościami tej samej funkcji.
Jeśli wyobrazimy sobie funkcję, która nie jest zapisana analitycznie, to w sąsiedztwie każdego punktu możemy ją przedstawić w postaci funkcja liniowa. Pochodna funkcji liniowej w sąsiedztwie jakiegoś punktu jest łatwa do obliczenia. Jeśli reprezentujemy funkcję liniowo, to pokrywa się ona z jej styczną (patrz rys. 12).
Ryż. 12. Reprezentacja funkcji w każdym punkcie jako funkcja liniowa
Od trójkąt prostokątny wiemy, że styczna jest równy stosunkowi przeciwległa noga do sąsiedniej. Stąd, zmysł geometryczny pochodna polega na tym, że pochodna jest tangensem nachylenia stycznej w tym punkcie (patrz rys. 13).
Ryż. 13. Geometryczne znaczenie pochodnej
Mówiąc o pochodnej jak o prędkości, możemy powiedzieć, że jeśli funkcja maleje, to jej pochodna jest ujemna i odwrotnie, jeśli funkcja rośnie, to jej pochodna jest dodatnia. Z drugiej strony zdefiniowaliśmy pochodną jako tangens nachylenia tangensa. To też jest łatwe do wytłumaczenia. Jeśli funkcja rośnie, to styczna tworzy kąt ostry, a styczna kąt ostry pozytywny. Dlatego pochodna jest dodatnia. Jak widać, fizyczne i geometryczne znaczenie pochodnej pokrywało się.
Przyspieszenie to tempo zmiany prędkości (czyli pochodna prędkości). Z drugiej strony prędkość jest pochodną przemieszczenia. Okazuje się, że przyspieszenie jest drugą pochodną (pochodną pochodnej) przemieszczenia (patrz rys. 14).
Ryż. 14. Zastosowanie pochodnej w fizyce
Pochodna to sposób na badanie właściwości funkcji.
Pochodna służy do rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jest na to wytłumaczenie. Ponieważ pochodna pokazuje wzrost funkcji, można jej użyć do znalezienia lokalnych maksimów i minimów funkcji. Wiedząc, że funkcja wzrosła w jednej sekcji, a potem zaczęła maleć, zakładamy, że w pewnym momencie istnieje lokalne maksimum. Podobnie, jeśli funkcja maleje, a następnie zaczyna rosnąć, w pewnym momencie istnieje lokalne minimum (patrz rys. 15).
Ryż. 15. Minima i maksima lokalne funkcji
W praktyce można to wykorzystać do znalezienia np. maksymalnego zysku w danych warunkach. Aby to zrobić, musisz znaleźć punkt, w którym będzie lokalne maksimum. Jeśli musimy zdefiniować minimalne koszty, wówczas odpowiednio należy określić punkt, w którym znajduje się lokalne minimum (patrz rys. 16).
Ryż. 16. Znalezienie maksymalnego zysku i minimalnego kosztu
Szkoła rozwiązuje wiele problemów optymalizacyjnych. Rozważmy jeden z nich.
Czym powinien być prostokątny płot o stałej długości, aby obejmował maksymalną powierzchnię (patrz rys. 17)?
Ryż. 17. Problem optymalizacji
Okazuje się, że ogrodzenie powinno być kwadratowe.
Takich zadań jest bardzo dużo, gdy jeden parametr jest ustalony, a drugi wymaga optymalizacji. Ustalony parametr to nasze dane zadania (np. materiał na ogrodzenie). I jest parametr, który chcemy uzyskać minimum lub maksimum (na przykład maksymalna powierzchnia, minimalny rozmiar). Oznacza to, że powstaje para „zasób - efekt”. Istnieje pewien zasób, który jest wstępnie ustalony i jakiś efekt, który chcemy uzyskać.
Przejdźmy teraz do globalnych właściwości funkcji. Rozważ najprostszy przypadek całki. Weźmy serię liczb: . Szereg jest także funkcją (argumentu naturalnego), każda liczba ma swój numer seryjny i wartość. 
.
Napiszmy wzór na znalezienie sumy tego szeregu:
Suma do pewnej określonej wartości będzie wartością całki.
Na przykład dla:
Oznacza to, że całka jest w rzeczywistości sumą (w ta sprawa suma wartości funkcji).
Większość uczniów kojarzy całkę z obszarem. Spróbujmy połączyć przykład z sumą szeregu i powierzchni. Zapiszmy tę serię jako funkcję liniową: .
Wtedy suma tego szeregu będzie sumą pól powierzchni części pod wykresem (w tym przypadku trapezów) (patrz ryc. 18).
Ryż. 18. Pole pod wykresem funkcji
Suma obszarów jest równa powierzchni sumy (jeśli części, na które podzielona jest figura, nie przecinają się). Więc całka jest polem pod wykresem funkcji. W ten sposób, po znalezieniu całki, możemy znaleźć obszar jakiejś części płaszczyzny. Na przykład możesz znaleźć obszar pod wykresem.
Jeśli chcemy ściśle wprowadzić definicję całki w zakresie pola powierzchni figury pod funkcją, to musimy rozbić samą figurę na bardzo małe kawałki. Obliczenie pola powierzchni nie zawsze jest tak wygodne, jak w przypadku funkcji liniowej. Weźmy na przykład funkcję. Jeżeli przybliżymy funkcję liniowo (tak jak proponowaliśmy zrobić w przypadku pochodnej), to tak jak w poprzednim przykładzie, otrzymamy podział całego pola na sumę pól trapezów (patrz rys. 19).
Następnie w granicy jest to całka, czyli obszar pod wykresem funkcji.
Ryż. 19. Obszar pod wykresem funkcji
Ale jak obliczyć ten obszar (całkę)? Dla znanych funkcji istnieje tablica całek (podobna do tablicy pochodnych). Ale w ogólnym przypadku przybliżamy funkcję segmentami i obliczamy sumę pól trapezów pod tymi segmentami. Zmniejszając odcinki, w limicie otrzymujemy wartość całki.
W przeciwieństwie do pochodnej, gdy pochodna „dobra” jest zawsze uzyskiwana dla funkcji „dobrej”, nie ma to miejsca w przypadku całki. Na przykład dla tak prostej funkcji, że nie możemy obliczyć całki i przedstawić jej w postaci funkcji analitycznych (patrz rys. 20).
Obliczenie całki nie jest łatwym zadaniem, dlatego istnienie tak prostego wzoru Newtona-Leibniza (patrz rys. 20), który pozwala szybko obliczyć wartość całki, jeśli znamy jej formę, znacznie ułatwia obliczenia . W przeciwnym razie trudno byłoby za każdym razem obliczyć obszar graniczny.
Ryż. 20. Wzór Newtona-Leibniza do obliczania całek
Dlatego głównymi metodami obliczeniowymi są:
- tabela całek dla tych funkcji, które możemy obliczyć (patrz rys. 21);
- własności całki pozwalające obliczyć różne kombinacje funkcje stołu(patrz rys. 22);
- Wzór Newtona-Leibniza (jeśli obliczymy wartość w skrajnym prawym punkcie i odejmiemy wartość w skrajnym lewym punkcie, otrzymamy powierzchnię) (patrz ryc. 20).
Ryż. 21. Tabela całek
Ryż. 22. Własności całki oznaczonej
W szkole wzór Newtona-Leibniza nie jest wyprowadzany, chociaż nie jest to trudne, jeśli zdefiniujesz całkę jako pole pod wykresem.
Więcej o wyprowadzeniu wzoru Newtona-Leibniza:
Aby lepiej zrozumieć różnicę między lokalnymi i globalnymi właściwościami funkcji, rozważmy przykład strzelania do celu. Jeśli wykonasz kilka strzałów dookoła (żaden nie trafił w środek) i obliczysz średnią, uzyskasz praktycznie (patrz rys. 23). Chociaż w rzeczywistości strzelec mógł trafić cały czas powyżej lub poniżej celu, średnia nadal byłaby bliska .
Ryż. 23. Strzelanie do celu
Możemy podać przykład z fizyki - środek ciężkości. Ta sama masa z tym samym środkiem ciężkości może być rozłożona na zupełnie różne sposoby (patrz rys. 24).
Ryż. 24. Warianty rozkładu masy z tym samym środkiem ciężkości
Jako inny przykład można: Średnia temperatura przez szpital. Jeśli ktoś ma temperaturę, a ktoś ją ma, to średnio się okazuje i wydaje się, że pacjenci nie są aż tak chorzy.
Jeśli mówimy o związku między pochodną (charakterystyka lokalna) a całką (charakterystyka globalna), to intuicyjnie widać, że są to pojęcia wzajemnie odwrotne. W rzeczywistości tak jest. Jeśli weźmiemy pochodną całki lub całkę pochodnej, otrzymamy pierwotną funkcję. Aby to wyjaśnić, rozważ ruch ciała. Wiemy już, że prędkość jest pochodną przemieszczenia. Spróbujmy wykonać operację odwrotną. Aby to zrobić, wyrażamy ruch w kategoriach szybkości i czasu:
A jeśli spojrzymy na wykres (prędkość zmienia się liniowo), zobaczymy, że ścieżka jest iloczynem prędkości i czasu. Z drugiej strony jest to obszar pod wykresem (patrz rys. 25).
Ryż. 25. Związek między pochodną a całką
Jeśli obliczysz całkę prędkości, otrzymasz wartość ścieżki. A prędkość jest pochodną odległości.
Dlatego pochodna i całka są funkcjami wzajemnie odwrotnymi. Istnieją na to mocne dowody.
Ryż. 26. Związek między pochodną a całką
Ale żeby przeanalizować, zrozumieć co… w pytaniu oraz praca z operacjami różniczkowania (obliczanie pochodnej) i całkowania (obliczanie całki), wystarczą to, co zostało powiedziane w tej lekcji i materiały z lekcji głównych.
Gdy potrzebujemy znaleźć dom przy ul. Neva i wyszliśmy przed dom, potem idziemy na lewo lub na prawo od tego domu, aby zrozumieć, jak idzie numeracja.
Harmonogram funkcja wykładnicza to zakrzywiona, gładka linia bez załamań, do której w każdym punkcie, przez który przechodzi, można narysować styczną. Logiczne jest założenie, że jeśli możliwe jest narysowanie stycznej, to funkcja będzie różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny definicji.
Wyświetlacz w jednym osie współrzędnych kilka wykresów funkcji y \u003d x a, Dla a \u003d 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.
W punkcie o współrzędnych (0;1). Kąty nachylenia tych stycznych będą wynosić odpowiednio około 35, 40, 48 i 51 stopni. Logiczne jest założenie, że w przedziale od 2 do 3 jest liczba, przy której kąt nachylenia stycznej będzie wynosił 45 stopni.
Podajmy dokładne sformułowanie tego stwierdzenia: istnieje taka liczba większa od 2 i mniejsza od 3, oznaczona literą e, że funkcja wykładnicza y = e x w punkcie 0 ma pochodną równą 1. Czyli: (e ∆x -1) / ∆x dąży do 1, ponieważ ∆x dąży do zera.
Podany numer mi jest nieracjonalne i jest zapisywane jako nieskończony nieokresowy ułamek dziesiętny:
e = 2,7182818284…
Ponieważ liczba e jest dodatnia i niezerowa, podstawa e ma logarytm. Ten logarytm nazywa się naturalny logarytm. Oznaczone ln(x) = log e (x).
Pochodna funkcji wykładniczej
Twierdzenie: Funkcja e x jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny, a (e x)’ = e x .
Funkcja wykładnicza a x jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny definicji, a ponadto (a x)’ = (a x)*ln(a).
Konsekwencją tego twierdzenia jest fakt, że funkcja wykładnicza jest ciągła w dowolnym punkcie swojej dziedziny definicji.
Przykład: znajdź pochodną funkcji y = 2 x .
Zgodnie ze wzorem na pochodną funkcji wykładniczej otrzymujemy:
(2x)' = (2x)*ln(2).
Odpowiedź: (2x)*ln(2).
Funkcja pierwotna funkcji wykładniczej
Dla funkcji wykładniczej a x podanej na zbiorze liczb rzeczywistych, funkcją pierwotną będzie funkcja (a x)/(ln(a)).
ln(a) jest pewną stałą, wtedy (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x dla dowolnego x. Udowodniliśmy to twierdzenie.
Rozważ przykład znajdowania pierwotnej funkcji wykładniczej.
Przykład: znajdź funkcję pierwotną funkcji f(x) = 5 x . Wykorzystajmy powyższy wzór i zasady znajdowania funkcji pierwotnych. Otrzymujemy: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.
\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)
ZawartośćElementy treści
Pochodna, tangens, pierwotna, wykresy funkcji i pochodne.
Pochodna Niech funkcja \(f(x)\) będzie zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie punktu \(x_0\).
Pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) zwany limitem
\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)
jeśli ten limit istnieje.
Pochodna funkcji w punkcie charakteryzuje szybkość zmian tej funkcji w danym punkcie.
| Funkcjonować | Pochodna |
| \(stała\) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^n\) | \(n\cdot x^(n-1)\) |
| \(\dfrac(1)(x)\) | \(-\dfrac(1)(x^2)\) |
| \(\sqrt(x)\) | \(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\cdot \ln(a)\) |
| \(\ln(x)\) | \(\dfrac(1)(x)\) |
| \(\log_a(x)\) | \(\dfrac(1)(x\ln(a))\) |
| \(\grzech x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tgx\) | \(\dfrac(1)(\cos^2 x)\) |
| \(\ctg x\) | \(-\dfrac(1)(\sin^2x)\) |
Zasady różnicowania\(f\) i \(g\) są funkcjami zależnymi od zmiennej \(x\); \(c\) to liczba.
2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)
3) \((f+g)"= f"+g"\)
4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)
5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)
6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - pochodna funkcji zespolonej
Geometryczne znaczenie pochodnej Równanie prostej- oś nierównoległą \(Oy\) można zapisać jako \(y=kx+b\). Współczynnik \(k\) w tym równaniu nazywa się nachylenie linii prostej. On równy tangens Kąt pochylenia ta prosta linia.
Kąt prosty- kąt między dodatnim kierunkiem osi \(Ox\) a daną linią prostą, mierzony w kierunku dodatnich kątów (czyli w kierunku najmniejszego obrotu od osi \(Ox\) do \ (Oy\) oś).
Pochodna funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\) jest równa nachyleniu stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie: \(f"(x_0)=\tg \alfa.\)
Jeżeli \(f"(x_0)=0\), to styczna do wykresu funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\) jest równoległa do osi \(Ox\).
Równanie styczne
Równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\):
\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)
Monotoniczność funkcji Jeżeli pochodna funkcji jest dodatnia we wszystkich punktach przedziału, to funkcja rośnie na tym przedziale.
Jeśli pochodna funkcji jest ujemna we wszystkich punktach przedziału, to funkcja maleje na tym przedziale.
Punkty minimalne, maksymalne i przegięcia pozytywny na negatywny w tym momencie \(x_0\) jest punktem maksymalnym funkcji \(f\).
Jeżeli funkcja \(f\) jest ciągła w punkcie \(x_0\), a wartość pochodnej tej funkcji \(f"\) zmienia się od negatywny na pozytywny w tym momencie \(x_0\) jest minimalnym punktem funkcji \(f\).
Punkty, w których pochodna \(f"\) jest równa zero lub nie istnieje, nazywamy punkt krytyczny funkcje \(f\).
Punkty wewnętrzne obszaru definicji funkcji \(f(x)\), gdzie \(f"(x)=0\) mogą być punktami minimum, maksimum lub punktów przegięcia.
Fizyczne znaczenie pochodnej Jeżeli punkt materialny porusza się po linii prostej, a jego współrzędna zmienia się w zależności od czasu zgodnie z prawem \(x=x(t)\), to prędkość tego punktu jest równa pochodnej czasowej współrzędnej:
Przyspieszenie punktu materialnego jest równe pochodnej prędkości tego punktu względem czasu:
\(a(t)=v"(t).\)
Plik do lekcji 29.
Pochodna. Aplikacja pochodna. Prymitywny.
Nachylenie styczna do wykresu funkcji w punkcie z odciętą x 0 równa się pochodnej funkcji w punkcie x 0. .
Tych. pochodna funkcji w punkcie x 0 jest równa tangensowi nachylenia stycznej narysowanej na wykresie funkcji w punkcie (x 0; f (x 0)).
Ćwiczenie 1. Rysunek przedstawia wykres funkcji y \u003d f (x) i styczną do tego wykresu, narysowany w punkcie z odciętą x x 0 .
Odpowiedź: 0,25
Ćwiczenie 2. Rysunek przedstawia wykres funkcji y \u003d f (x) i styczną do tego wykresu, narysowany w punkcie z odciętą x 0 . Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 . Odpowiedź: 0,6
Ćwiczenie 3. Rysunek przedstawia wykres funkcji y \u003d f (x) i styczną do tego wykresu, narysowany w punkcie z odciętą x 0 . Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 . Odpowiedź: -0,25
Ćwiczenie 4. Rysunek przedstawia wykres funkcji y \u003d f (x) i styczną do tego wykresu, narysowany w punkcie z odciętą x 0 . Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 . Odpowiedź: -0,2.
zmysł mechaniczny pochodna.
v ( t 0 ) = x' ( t 0 )
prędkość jest pochodną współrzędnej na czas. Podobnie, przyspieszenie jest pochodną prędkości względem czasu :
a = w' ( t ).
Ćwiczenie 5 . Punkt materialny porusza się prostoliniowo zgodnie z prawem x(t)=12 t 2 +4 t+27, gdzie x to odległość od punktu odniesienia w metrach, t to czas w sekundach mierzony od momentu rozpoczęcia ruchu. Znajdź jego prędkość (w metrach na sekundę) w czasie t=2 s. Odpowiedź: 52
Zadanie 6. Punkt materialny porusza się po linii prostej zgodnie z prawemx (t) \u003d 16 t 3 + t 2 - 8 t + 180, gdzie x- odległość od punktu odniesienia w metrach,t- czas w sekundach, mierzony od początku ruchu. W którym momencie (w sekundach) jej prędkość wynosiła 42 m/s? Odpowiedź 1
Wystarczający znak funkcja zwiększająca (malejąca)
1. Jeśli f `(x ) w każdym punkcie przedziału (, funkcja zwiększa się o (.
2. Jeśli f `(x ) w każdym punkcie przedziału (, funkcja zmniejsza się o (.
Warunek konieczny ekstremum
Jeśli punkt x 0 jest ekstremum funkcji i w tym miejscu jest pochodna, wtedy f `( x 0 )=0
Wystarczający stan ekstremalny
Jeśli f `( x 0 x 0 wartość pochodnej zmienia znak z „+” na „-”, a następnie x 0 jest maksymalnym punktem funkcji.
Jeśli f `( x 0 ) = 0 i przy przejściu przez punkt x 0 wartość pochodnej zmienia znak z „-” na „+”, a następnie x 0 jest minimalnym punktem funkcji.
Zadanie 7. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), zdefiniowany na przedziale (−7; 10). Znajdź liczbę minimalnych punktów funkcji f(x) na odcinku [-3; osiem].
Rozwiązanie. Punkty minimalne odpowiadają punktom, w których znak pochodnej zmienia się z minus na plus. W przedziale [−3; 8] funkcja ma jeden punkt minimalny x= 4. Stąd taki punkt to 1. Odpowiedź: 1.
Zadanie 8. Rysunek przedstawia wykres funkcji różniczkowalnej y=f(x) i zaznaczono siedem punktów na osi x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x 7. W ilu z tych punktów pochodna funkcji f(x) jest ujemna? Odpowiedź: 3
Zadanie 9. Rysunek przedstawia wykres funkcji różniczkowalnej y=f(x) określonej na przedziale (− 11 ; − 1). Znajdź punkt z odcinka [− 7 ; − 2], w którym pochodna funkcji f(x) jest równa 0. Odpowiedź: -4
Zadanie 10. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f′(x) - pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (2 ; 13). Znajdź maksymalny punkt funkcji f(x). Odpowiedź: 9
Zadanie 11. Rysunek przedstawia wykres y=f′(x) pochodnej funkcji f(x) określonej na przedziale (− 3; 8). W którym punkcie odcinka [− 2; 3] funkcja f(x) przyjmuje najmniejsza wartość? Odpowiedź: -2
Zadanie 12. Rysunek przedstawia wykres y=f "(x) - pochodną funkcji f(x) określoną na przedziale (− 2 ; 11). Znajdź odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) jest równoległa do osi odciętej lub pokrywa się z jej odpowiedzią: 3
Zadanie 13. Rysunek przedstawia wykres y=f "(x) - pochodną funkcji f(x), określoną na przedziale (− 4 ; 6). Znajdź odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcja y=f(x) jest równoległa do linii y=3x lub do niej pasuje.Odpowiedź: 5
Zadanie 14. Rysunek przedstawia wykres y=f "(x) - pochodna funkcji f(x) zdefiniowana na przedziale (− 4 ; 13). Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji y= f(x) jest równoległa do prostej y=− 2x−10 lub jej równa Odpowiedź: 5
Zadanie 15. Linia y =5x -8 jest styczna do wykresu funkcji 4x 2 -15x +c . Znajdować c. O odpowiedź: 17.
pierwotna
funkcja pierwotna F(x) dla funkcji f(x) nazywa się funkcją pochodna która jest równa pierwotnej funkcji. F " ( x )= f ( x ).
Zadanie 16. Rysunek przedstawia wykres y=F (x) jedna z funkcji pierwotnych pewnej funkcji f(x) zdefiniowane w przedziale (1;13). Korzystając z rysunku, określ liczbę rozwiązań równania f (x)=0 w segmencie . Odpowiedź: 4
Zadanie 17. Rysunek przedstawia wykres y=F(x) jednej z funkcji pierwotnych pewnej funkcji f(x) określonej na przedziale (− 7; 8). Korzystając z rysunku, określ liczbę rozwiązań równania f(x)=0 na przedziale . Odpowiedź 1
Zadanie 18. Rysunek przedstawia wykres y=F(x) jednej z funkcji pierwotnych pewnej funkcji f(x), a na osi x zaznaczono osiem punktów: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. W ilu z tych punktów funkcja f(x) jest ujemna? Odpowiedź: 3
Zadanie 19. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y=f(x). Funkcja F(x)=12x 3 −3x 2 +152x−92 jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x). Znajdź obszar zacienionej figury. Odpowiedź: 592
Algorytm znajdowania punktów ekstremalnych
Znajdź zakres funkcji.
Znajdź pochodną funkcji f "( x)
Znajdź punkty, w których f "( x) = 0.
Zaznacz na linii rzeczywistej dziedzinę funkcji oraz wszystkie zera pochodnej.
Zdefiniuj znak pochodnadla każdego przedziału. (W tym celu podstawiamy wartość „wygodna” x od tego przedziału do f "( x)).
Wyznacz za pomocą znaków pochodnej obszary wzrostu i spadku funkcji oraz wyciągnij wnioski o obecności lub braku ekstremum i jego naturze ( maks lubmin ) w każdym z tych punktów.
Zadanie 20. Znajdź punkt maksymalny funkcji y=(2x−1)cosx−2sinx+5, który należy do przedziału (0 ; π/2). Odpowiedź: 0,5
Zadanie 21.Znajdź maksymalny punkt funkcjiy=. Odpowiedź: 6
Algorytm znajdowania największa i najmniejsza wartość funkcji na przedziale
Zadanie 22. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y =x −6x +1 na odcinku . Odpowiedź: -31
Zadanie 23. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y=8cosx+30x/π+19 na przedziale [− 2π/3; 0]. Odpowiedź: -5
Do tego. jeden. Znajdź maksymalny punkt funkcji y=(x−11) 2 ⋅e x − 7 .
2. Znajdź najwyższa wartość funkcje y=x 5 -5x 3 -20x na przedziale [− 9 ; jeden]. Odpowiedź: 48
Ta lekcja jest pierwszą z serii filmów o integracji. W nim przeanalizujemy, czym jest funkcja pierwotna funkcji, a także zbadamy podstawowe metody obliczania tych samych funkcji pierwotnych.
Właściwie nie ma tu nic skomplikowanego: w zasadzie wszystko sprowadza się do pojęcia pochodnej, z którym powinieneś już być zaznajomiony :)
Od razu to zauważam, ponieważ jest to pierwsza lekcja naszego nowy temat, dzisiaj nie będzie skomplikowanych obliczeń i formuł, ale to, co dziś będziemy studiować, będzie stanowić podstawę znacznie bardziej złożonych obliczeń i struktur przy obliczaniu złożonych całek i powierzchni.
Ponadto, przystępując do studiowania w szczególności całkowania, a w szczególności całek, domyślnie zakładamy, że uczeń zna już co najmniej pojęcia pochodnej i posiada przynajmniej elementarne umiejętności ich obliczania. Bez jasnego zrozumienia tego, integracja nie ma absolutnie nic do roboty.
Tu jednak tkwi jeden z najczęstszych i najbardziej podstępnych problemów. Faktem jest, że wielu uczniów, zaczynając obliczać swoje pierwsze pochodne, myli je z pochodnymi. W rezultacie na egzaminach i niezależna praca popełniane są głupie i obraźliwe błędy.
Dlatego teraz nie podam jasnej definicji składnika pierwotnego. A w zamian proponuję przyjrzeć się, jak to jest rozpatrywane na prostym konkretnym przykładzie.
Co jest prymitywne i jak jest to rozważane
Znamy tę formułę:
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Ta pochodna jest uważana za elementarną:
\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
Przyjrzyjmy się dokładnie wynikowemu wyrażeniu i wyrażmy $((x)^(2))$:
\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]
Ale możemy też napisać to w ten sposób, zgodnie z definicją pochodnej:
\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]
A teraz uwaga: to, co właśnie zapisaliśmy, to definicja funkcji pierwotnej. Ale żeby napisać to poprawnie, musisz napisać:
Zapiszmy następujące wyrażenie w ten sam sposób:
Jeśli uogólnimy tę zasadę, możemy wyprowadzić następujący wzór:
\[((x)^(n))\do \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Teraz możemy sformułować jasną definicję.
Funkcja pierwotna funkcji to funkcja, której pochodna jest równa funkcji pierwotnej.
Pytania o funkcję pierwotną
Wydawałoby się, że dość prosta i zrozumiała definicja. Jednak po usłyszeniu tego uważny uczeń od razu będzie miał kilka pytań:
- Powiedzmy, że ta formuła jest poprawna. Jednak w tym przypadku, gdy $n=1$, mamy problemy: w mianowniku pojawia się „zero” i nie da się podzielić przez „zero”.
- Formuła ogranicza się tylko do uprawnień. Jak obliczyć pierwotną, na przykład sinus, cosinus i dowolną inną trygonometrię, a także stałe.
- Pytanie egzystencjalne: czy zawsze można w ogóle znaleźć pierwotną? Jeśli tak, co z sumą pierwotną, różnicą, iloczynem itp.?
Od razu odpowiem na ostatnie pytanie. Niestety, funkcja pierwotna, w przeciwieństwie do pochodnej, nie zawsze jest brana pod uwagę. Nie ma czegoś takiego uniwersalna formuła, zgodnie z którym z dowolnej konstrukcji początkowej otrzymamy funkcję równą tej podobnej konstrukcji. Jeśli chodzi o potęgi i stałe, porozmawiamy o tym teraz.
Rozwiązywanie problemów z funkcjami zasilania
\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
Jak widzimy, podana formuła dla $((x)^(-1)$ nie działa. Powstaje pytanie: co wtedy działa? Czy nie możemy policzyć $((x)^(-1)$? Oczywiście możemy. Zacznijmy od tego:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
A teraz pomyślmy: pochodna której funkcji jest równa $\frac(1)(x)$. Oczywiście każdy student, który choć trochę zajmował się tym tematem, pamięta, że wyrażenie to jest równe pochodnej logarytmu naturalnego:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
Dlatego śmiało możemy napisać:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]
Ta formuła musi być znana, podobnie jak pochodna funkcji potęgowej.
Więc co wiemy do tej pory:
- Dla funkcji potęgowej — $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- Dla stałej — $=const\to \cdot x$
- Specjalny przypadek funkcji potęgowej — $\frac(1)(x)\to \ln x$
A jeśli zaczniemy mnożyć i dzielić najprostsze funkcje, to jak obliczyć funkcję pierwotną iloczynu lub ilorazu. Niestety analogie z pochodną produktu lub ilorazem nie sprawdzają się tutaj. Nie ma standardowej formuły. W niektórych przypadkach istnieją trudne formuły specjalne – poznamy je w przyszłych samouczkach wideo.
Pamiętaj jednak: ogólna formuła, nie ma podobnego wzoru na obliczanie pochodnej ilorazu i iloczynu.
Rozwiązywanie prawdziwych problemów
Zadanie 1
Niech każdy funkcje zasilania liczyć osobno:
\[((x)^(2))\do \frac(((x)^(3)))(3)\]
Wracając do naszego wyrażenia, piszemy ogólną konstrukcję:
Zadanie nr 2
Jak już powiedziałem, prymitywne dzieła i prywatne „pustki na wylot” nie są brane pod uwagę. Jednak tutaj możesz wykonać następujące czynności:
Podzieliliśmy ułamek na sumę dwóch ułamków.
Obliczmy:
Dobrą wiadomością jest to, że gdy już znasz wzory obliczania funkcji pierwotnych, możesz już obliczyć więcej złożone struktury. Chodźmy jednak dalej i poszerzajmy naszą wiedzę trochę bardziej. Faktem jest, że wiele konstrukcji i wyrażeń, które na pierwszy rzut oka nie mają nic wspólnego z $((x)^(n))$ można przedstawić jako potęgę z racjonalny wskaźnik, a mianowicie:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
Wszystkie te techniki można i należy łączyć. Wyrażenia mocy móc
- pomnóż (uprawnienia są dodawane);
- dzielenie (stopnie są odejmowane);
- pomnóż przez stałą;
- itp.
Rozwiązywanie wyrażeń ze stopniem z wykładnikiem wymiernym
Przykład 1
Policzmy każdy korzeń osobno:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
W sumie całą naszą konstrukcję można zapisać w następujący sposób:
Przykład #2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac() 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
Dlatego otrzymamy:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
W sumie zbierając wszystko w jednym wyrażeniu możemy napisać:
Przykład #3
Po pierwsze, zauważ, że już obliczyliśmy $\sqrt(x)$:
\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
Przepiszmy:
Mam nadzieję, że nikogo nie zaskoczę, jeśli powiem, że to, co właśnie studiowaliśmy, jest tylko najbardziej proste obliczenia prymitywne, najbardziej elementarne konstrukcje. Przyjrzyjmy się teraz trochę więcej złożone przykłady, w którym oprócz tabelarycznych elementów pierwotnych konieczne będzie również przypomnienie program nauczania, a mianowicie zredukowane wzory mnożenia.
Rozwiązywanie bardziej złożonych przykładów
Zadanie 1
Przypomnij sobie wzór na kwadrat różnicy:
\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
Przepiszmy naszą funkcję:
Musimy teraz znaleźć funkcję pierwotną takiej funkcji:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
Zbieramy wszystko we wspólnym projekcie:
Zadanie nr 2
W takim przypadku musimy otworzyć kostkę różnicy. Zapamiętajmy:
\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]
Biorąc pod uwagę ten fakt, można to zapisać w następujący sposób:
Zmodyfikujmy nieco naszą funkcję:
Jak zawsze, dla każdego terminu rozpatrujemy z osobna:
\[((x)^(-3))\do \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\do \frac(((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\do \ln x\]
Napiszmy wynikową konstrukcję:
Zadanie nr 3
Na górze mamy kwadrat sumy, otwórzmy go:
\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
Napiszmy ostateczne rozwiązanie:
A teraz uwaga! Bardzo ważna rzecz, która wiąże się z lwią częścią błędów i nieporozumień. Faktem jest, że do tej pory, licząc pochodne za pomocą pochodnych, podając przekształcenia, nie myśleliśmy o tym, jaka jest pochodna stałej. Ale pochodna stałej jest równa „zero”. A to oznacza, że możesz napisać następujące opcje:
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$
Jest to bardzo ważne, aby zrozumieć: jeśli pochodna funkcji jest zawsze taka sama, to ta sama funkcja ma nieskończoną liczbę funkcji pierwotnych. Możemy po prostu dodać dowolne stałe liczby do naszych prymitywów i uzyskać nowe.
To nie przypadek, że w wyjaśnieniu zadań, które właśnie rozwiązaliśmy, napisano „Zapisz ogólna forma prymitywów”. Tych. już z góry zakłada się, że nie jest ich jeden, ale całe mnóstwo. Ale w rzeczywistości różnią się tylko stałą $C$ na końcu. Dlatego w naszych zadaniach poprawimy to, czego nie zrealizowaliśmy.
Jeszcze raz przepisujemy nasze konstrukcje:
W takich przypadkach należy dodać, że $C$ jest stałą — $C=const$.
W naszej drugiej funkcji otrzymujemy następującą konstrukcję:
I ostatni:
A teraz naprawdę dostaliśmy to, czego od nas wymagano w początkowym stanie problemu.
Rozwiązywanie problemów ze znajdowaniem pochodnych z zadanym punktem
Teraz, gdy wiemy o stałych i o osobliwościach pisania pierwotnych, pojawia się to całkiem logicznie następny typ problemy, gdy ze zbioru wszystkich funkcji pierwotnych wymagane jest znalezienie jednej i jedynej, która by przeszła dany punkt. Co to za zadanie?
Faktem jest, że wszystkie funkcje pierwotne danej funkcji różnią się tylko tym, że są przesunięte w pionie o pewną liczbę. A to oznacza, że bez względu na to, który punkt na płaszczyźnie współrzędnych przyjmiemy, z pewnością przejdzie jedna pierwotna, a ponadto tylko jedna.
Zatem zadania, które teraz rozwiążemy, są sformułowane w następujący sposób: nie jest łatwo znaleźć pierwotną, znając wzór pierwotnej funkcji, ale wybrać dokładnie jedną z nich, która przechodzi przez dany punkt, którego współrzędne będą być podane w stanie problemu.
Przykład 1
Najpierw po prostu obliczmy każdy termin:
\[((x)^(4))\do \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\do \frac(((x)^(4)))(4)\]
Teraz podstawiamy te wyrażenia do naszej konstrukcji:
Ta funkcja musi przejść przez punkt $M\left(-1;4 \right)$. Co to znaczy, że przechodzi przez punkt? Oznacza to, że jeśli zamiast $x$ umieścimy wszędzie $-1$, a zamiast $F\left(x \right)$ - $-4$, to otrzymamy poprawną równość liczbową. Zróbmy to:
Widzimy, że mamy równanie na $C$, więc spróbujmy je rozwiązać:
Zapiszmy rozwiązanie, którego szukaliśmy:
Przykład #2
Przede wszystkim należy otworzyć kwadrat różnicy za pomocą skróconego wzoru mnożenia:
\[((x)^(2))\do \frac(((x)^(3)))(3)\]
Oryginalna struktura zostanie napisana w następujący sposób:
Teraz znajdźmy $C$: podstaw współrzędne punktu $M$:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
Wyrażamy $C$:
Pozostaje wyświetlić końcowe wyrażenie:
Rozwiązywanie problemów trygonometrycznych
Jako ostatni akord tego, co właśnie przeanalizowaliśmy, proponuję rozważyć jeszcze dwa wymagające zadania zawierające trygonometrię. W nich w ten sam sposób trzeba będzie znaleźć pierwotne dla wszystkich funkcji, a następnie wybrać z tego zbioru tę jedyną, która przechodzi przez punkt $M$ na płaszczyźnie współrzędnych.
Patrząc w przyszłość, chciałbym zauważyć, że technika, której teraz użyjemy, aby znaleźć pochodne od funkcje trygonometryczne w rzeczywistości jest powszechny odbiór do autotestu.
Zadanie 1
Zapamiętajmy następujący wzór:
\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]
Na tej podstawie możemy napisać:
Podstawmy współrzędne punktu $M$ do naszego wyrażenia:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]
Przepiszmy wyrażenie, mając na uwadze ten fakt:
Zadanie nr 2
Tutaj będzie trochę trudniej. Teraz zobaczysz dlaczego.
Zapamiętajmy tę formułę:
\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Aby pozbyć się „minusa”, musisz wykonać następujące czynności:
\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Oto nasz projekt
Podstaw współrzędne punktu $M$:
Zapiszmy ostateczną konstrukcję:
To wszystko, co chciałem ci dzisiaj powiedzieć. Przestudiowaliśmy samo pojęcie pochodne, jak je liczyć od podstawowe funkcje, a także jak znaleźć funkcję pierwotną przechodzącą przez określony punkt na płaszczyźnie współrzędnych.
Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże ci choć trochę zrozumieć ten złożony temat. W każdym razie to na instrumentach pierwotnych jest nieokreślony i całki nieoznaczone, więc koniecznie trzeba je policzyć. To wszystko dla mnie. Do zobaczenia wkrótce!