Funkcje trygonometryczne lekcji argumentu kątowego. Funkcje trygonometryczne argumentu liczbowego i kątowego. Linie sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów

Funkcje trygonometryczne argumentu liczbowego przeanalizowaliśmy. Wzięliśmy punkt A na okręgu i szukaliśmy sinusów i cosinusów z otrzymanego kąta β.

Oznaczyliśmy ten punkt jako A, ale w algebrze często oznaczamy go jako t i wszystkie formuły/funkcje są z nim podane. Nie będziemy też odchodzić od kanonów. Tych. t - będzie to pewna liczba, a zatem funkcja numeryczna(np. sint)

To logiczne, że skoro mamy okrąg o promieniu jeden, to

Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego pomyślnie go również przeanalizowaliśmy - zgodnie z kanonami napiszemy dla takich funkcji: sin α°, czyli przez α° dowolny kąt o liczbie stopni, jakiej potrzebujemy.

Promień tego kąta da nam drugi punkt na okręgu (OA - punkt A) i odpowiadające mu punkty C i B dla funkcji argumentu liczbowego, jeśli tego potrzebujemy: sin t = grzech α°

Linie sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów

Nigdy tego nie zapomnij oś y to linia sinusoidalna, oś x to linia cosinusów! Na tych osiach zaznaczono punkty uzyskane z okręgu.

ALE linie stycznych i cotangensów są do nich równoległe i przechodzą przez punkty (1; 0) i (0; 1) odpowiednio.

Jakakolwiek liczba rzeczywista t jest brana, można jej przypisać jednoznacznie określoną liczbę sin t. To prawda, że ​​zasada korespondencji jest dość skomplikowana i jak widzieliśmy powyżej, składa się z następujących rzeczy.

Aby znaleźć wartość sin t przez liczbę t, potrzebujesz:

1) ustawić okrąg liczbowy na płaszczyźnie współrzędnych tak, aby środek okręgu pokrywał się z początkiem współrzędnych, a punkt początkowy A okręgu uderzył w punkt (1; 0);

2) znajdź na okręgu punkt odpowiadający liczbie t;

3) znajdź rzędną tego punktu.

Ta rzędna to sin t.

W rzeczywistości mówimy o funkcji u = sin t, gdzie t jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Wszystkie te funkcje są nazywane funkcje trygonometryczne argumentu liczbowego t.

Istnieje szereg zależności łączących wartości różnych funkcji trygonometrycznych, otrzymaliśmy już niektóre z tych zależności:

grzech 2 t + cos 2 t = 1

Z dwóch ostatnich wzorów łatwo uzyskać zależność łączącą tg t i ctg t:

Wszystkie te wzory są stosowane w przypadkach, gdy znając wartość funkcji trygonometrycznej, wymagane jest obliczenie wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

Terminy „sinus”, „cosinus”, „tangens” i „cotangens” były właściwie znane, jednak nadal używano ich w nieco innej interpretacji: w geometrii i fizyce brali pod uwagę sinus, cosinus, tangens i cotangens ja(ale nie

numery, jak to było w poprzednich akapitach).

Z geometrii wiadomo, że sinus (cosinus) kąta ostrego jest stosunkiem ramienia trójkąta prostokątnego do jego przeciwprostokątnej, a tangens (cotangens) kąta jest stosunkiem ramion trójkąta prostokątnego. Inne podejście do pojęć sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa zostało opracowane w poprzednich akapitach. W rzeczywistości te podejścia są ze sobą powiązane.

Weźmy kąt z miarą stopnia bo i ułóżmy go w modelu „koło numeryczne w prostokątnym układzie współrzędnych”, jak pokazano na rys. czternaście

blat narożny kompatybilny z centrum

okręgi (z początkiem układu współrzędnych),

a jedna strona rogu jest kompatybilna z

dodatni promień osi x. Punkt

przecięcie drugiej strony kąta z

koło będzie oznaczone literą M. Ordina-

Rysunek 14 b o , a odcięta tego punktu jest cosinusem kąta bo .

Aby znaleźć sinus lub cosinus kąta bo wcale nie jest konieczne każdorazowe wykonywanie tych bardzo skomplikowanych konstrukcji.

Wystarczy zauważyć, że łuk AM jest tą samą częścią długości okręgu liczbowego, co kąt bo od kąta 360°. Jeżeli długość łuku AM oznaczymy literą t, to otrzymujemy:

Zatem,

Na przykład,

Uważa się, że 30° jest miarą kąta w stopniach i jest miarą radiacyjną tego samego kąta: 30° = rad. Ogólnie:

Szczególnie cieszę się, skąd z kolei dostajemy.

Czym więc jest 1 radian? Istnieją różne miary długości segmentów: centymetry, metry, jardy itp. Istnieją również różne miary wskazujące wielkość kątów. Rozważamy środkowe kąty okręgu jednostkowego. Kąt 1° to kąt środkowy oparty na łuku będącym częścią okręgu. Kąt 1 radiana to kąt środkowy oparty na łuku o długości 1, tj. na łuku, którego długość jest równa promieniowi okręgu. Ze wzoru otrzymujemy 1 rad \u003d 57,3 °.

Biorąc pod uwagę funkcję u = sin t (lub dowolną inną funkcję trygonometryczną), możemy uznać zmienną niezależną t za argument liczbowy, tak jak to miało miejsce w poprzednich akapitach, ale możemy również uznać tę zmienną za miarę kąta, tj. argument kątowy. Dlatego mówiąc o funkcji trygonometrycznej, w pewnym sensie obojętne jest traktowanie jej jako funkcji argumentu liczbowego lub kątowego.

Lekcja wideo „Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego” to wizualny materiał do prowadzenia lekcji matematyki na odpowiedni temat. Film jest skomponowany w taki sposób, aby badany materiał był jak najbardziej zrozumiały dla uczniów, jest łatwy do zapamiętania, dobrze ujawnia związek między dostępnymi informacjami o funkcjach trygonometrycznych z części dotyczącej badania trójkątów a ich definicją za pomocą koło jednostkowe. Może stać się samodzielną częścią lekcji, ponieważ w pełni obejmuje ten temat, uzupełniony ważnymi uwagami podczas punktacji.

Efekty animacji służą do wizualnego zademonstrowania relacji między różnymi definicjami funkcji trygonometrycznych. Podkreślanie tekstu kolorem, jasne zrozumiałe konstrukcje, uzupełnianie komentarzami pomaga szybko opanować, zapamiętać materiał i szybciej osiągnąć cele lekcji. Związek między definicjami funkcji trygonometrycznych jest wyraźnie ukazany za pomocą efektów animacji i podświetlania kolorów, przyczyniając się do zrozumienia i zapamiętywania materiału. Podręcznik ma na celu poprawę efektywności treningu.

Lekcja zaczyna się od wprowadzenia tematu. Następnie przywołuje się definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta ostrego trójkąta prostokątnego. Definicja wyróżniona w ramce przypomina, że ​​sinus i cosinus są tworzone jako stosunek nogi do przeciwprostokątnej, tangens i cotangens są tworzone przez stosunek nóg. Przypomina się również studentom ostatnio przestudiowany materiał, że przy rozpatrywaniu punktu należącego do okręgu jednostkowego odcięta punktu jest cosinusem, a rzędną jest sinusem liczby odpowiadającej temu punktowi. Połączenie tych pojęć pokazano za pomocą konstrukcji. Na ekranie wyświetlany jest okrąg jednostkowy, umieszczony tak, aby jego środek pokrywał się z początkiem. Promień jest skonstruowany z początku współrzędnych, tworząc kąt α z dodatnią półosią odciętej. Promień ten przecina okrąg jednostkowy w punkcie O. Prostopadłe opadają z punktu do odciętej i osi y, pokazując, że współrzędne tego punktu wyznaczają cosinus i sinus kąta α. Należy zauważyć, że długość łuku AO od punktu przecięcia okręgu jednostkowego z kierunkiem dodatnim osi odciętej do punktu O jest taką samą częścią całego łuku jak kąt α od 360°. Pozwala to na ustawienie proporcji α/360=t/2π, która jest wyświetlana w tym miejscu i podświetlona na czerwono w celu zapamiętania. Z tej proporcji wyprowadza się wartość t=πα/180°. Biorąc to pod uwagę, wyznacza się zależność między definicjami sinusa i cosinusa sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=cost=cosπα/180. Na przykład podano znalezienie sin60 °. Podstawiając miarę stopnia kąta do wzoru, otrzymujemy sin π 60°/180°. Zmniejszając ułamek o 60, otrzymujemy sin π/3, który jest równy √3/2. Należy zauważyć, że jeśli miarą kąta w stopniach jest 60°, to π/3 nazywamy miarą kąta w radianach. Istnieją dwa możliwe zapisy stosunku miary stopnia kąta do radiana: 60°=π/3 i 60°=π/3 rad.

Pojęcie kąta jednego stopnia definiuje się jako kąt środkowy oparty na łuku, którego długość 1/360 reprezentuje część obwodu. Poniższa definicja ujawnia pojęcie kąta jednego radiana - kąta środkowego opartego na łuku o długości jeden lub równej promieniowi okręgu. Definicje są oznaczone jako ważne i wyróżnione do zapamiętania.

Aby przekonwertować miarę kąta o jeden stopień na radiany i odwrotnie, stosuje się wzór α ° \u003d πα / 180 rad. Ta formuła jest podświetlona w ramce na ekranie. Z tego wzoru wynika, że ​​1° = π/180 rad. W tym przypadku jeden radian odpowiada kątowi 180°/π≈57,3°. Należy zauważyć, że przy ustalaniu wartości funkcji trygonometrycznych zmiennej niezależnej t można ją uznać zarówno za argument liczbowy, jak i kątowy.

W dalszej części przedstawiono przykłady wykorzystania zdobytej wiedzy w trakcie rozwiązywania problemów matematycznych. W przykładzie 1 wymagane jest przeliczenie wartości ze stopni na radiany 135° i 905°. Po prawej stronie ekranu znajduje się wzór, który wyświetla zależność między stopniem a radianem. Po podstawieniu wartości do wzoru otrzymujemy (π/180) 135. Po zmniejszeniu tego ułamka o 45 otrzymujemy wartość 135°=3π/4. Ten sam wzór służy do konwersji kąta 905° na radiany. Po podstawieniu do niej wartości okazuje się (π / 180) 905 \u003d 181π / 36 rad.

W drugim przykładzie rozwiązano problem odwrotny - znaleziono miarę kątów wyrażoną w radianach π/12, -21π/20, 2,4π. Po prawej stronie ekranu przywołano badany wzór na zależność między stopniem a miarą radiacyjną kąta 1 rad \u003d 180 ° / π. Każdy przykład jest rozwiązywany przez podstawienie miary w radianach do wzoru. Zastępując π/12, otrzymujemy (180°/π)·(π/12)=15°. Podobnie znajdują się wartości pozostałych kątów -21π/20=-189° i 2,4π=432°.

Lekcja wideo „Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego” jest zalecana do wykorzystania na tradycyjnych lekcjach matematyki w celu zwiększenia efektywności uczenia się. Materiał pomoże zapewnić wizualizację uczenia się podczas nauczania na odległość na ten temat. Szczegółowe, zrozumiałe wyjaśnienie tematu, rozwiązywanie problemów na nim może pomóc uczniowi samodzielnie opanować materiał.

INTERPRETACJA TEKSTU:

„Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego”.

Wiemy już z geometrii, że sinus (cosinus) kąta ostrego trójkąta prostokątnego jest stosunkiem nogi do przeciwprostokątnej, a tangens (cotangens) jest stosunkiem nóg. W algebrze odciętą punktu na okręgu jednostkowym nazywamy cosinusem, a rzędną tego punktu sinusem. Zadbamy o to, aby wszystko to było ze sobą ściśle powiązane.

Umieśćmy kąt ze stopniem miarą α° (stopnie alfa), jak pokazano na rysunku 1: wierzchołek kąta jest zgodny ze środkiem okręgu jednostkowego (z początkiem układu współrzędnych) i jedną stroną kąt jest zgodny z dodatnim promieniem osi x. Drugi bok kąta przecina okrąg w punkcie O. Rzędna punktu O jest sinusem kąta alfa, a odcięta tego punktu jest cosinusem alfa.

Zauważ, że łuk AO jest tą samą częścią długości okręgu jednostkowego, co kąt alfa od kąta trzysta sześćdziesiąt stopni. Oznaczmy długość łuku AO przez t(te), wtedy uzupełnimy proporcję =

(alfa odnosi się do trustów sześćdziesięciu jako te do dwóch pi). Stąd znajdujemy te: t = = (te równa się pi alfa podzielone przez sto osiemdziesiąt).

Tak więc, aby znaleźć sinus lub cosinus kąta alfa stopni, możesz użyć wzoru:

grzech α ° \u003d grzech \u003d grzech (sinus stopni alfa jest równy sinusowi te i jest równy sinusowi prywatnej pi alfa do stu osiemdziesięciu),

cosα° \u003d koszt \u003d cos (cosinus stopni alfa jest równy cosinusowi te i jest równy cosinusowi prywatnej pi alfa do stu osiemdziesięciu).

Na przykład sin 60 ° \u003d sin \u003d sin \u003d (sinus sześćdziesięciu stopni jest równy sinusowi pi o trzy, zgodnie z tabelą podstawowych wartości sinusów jest równy pierwiastkowi z trzech na dwa).

Uważa się, że 60 ° jest miarą kąta w stopniach, a (pi przez trzy) jest miarą radiacyjną tego samego kąta, czyli 60 ° = zadowolony(sześćdziesiąt stopni równa się pi razy trzy radiany). Dla zwięzłości uzgodniliśmy zapis zadowolony pominąć, to znaczy, że dopuszcza się następującą notację: 60°= (pokaż skróty miara radiana = rad.)

Kąt jednego stopnia to kąt środkowy podtrzymywany przez łuk, który stanowi (jedna trzysta sześćdziesiąta) część łuku. Kąt jednego radiana to kąt środkowy, który opiera się na łuku o długości jeden, to znaczy na łuku, którego długość jest równa promieniowi okręgu (rozważamy kąty środkowe okręgu jednostkowego, aby pokazać kąt w pi radiany na kole).

Zapamiętajmy ważny wzór na przeliczanie miary stopni na radiany:

α° = zadowolony. (alfa równa się pi alfa podzielone przez sto osiemdziesiąt radianów) W szczególności 1° = zadowolony(jeden stopień to pi podzielone przez sto osiemdziesiąt radianów).

Z tego możemy stwierdzić, że jeden radian jest równy stosunkowi stu osiemdziesięciu stopni do pi i jest w przybliżeniu równy pięćdziesięciu siedmiu przecinkom trzy dziesiątym stopnia: 1 zadowolony= ≈ 57,3°.

Z powyższego: kiedy mówimy o dowolnej funkcji trygonometrycznej, na przykład o funkcji s \u003d sint (es jest równe sinus te), zmienną niezależną t (te) można uznać zarówno za argument liczbowy, jak i argument kątowy.

Rozważ przykłady.

PRZYKŁAD 1. Przelicz ze stopni na radiany: a) 135°; b) 905°.

Decyzja. Użyjmy wzoru na przeliczanie stopni na radiany:

a) 135° = 1° ∙ 135 = zadowolony ∙ 135 = zadowolony

(sto trzydzieści pięć stopni równa się pi razy sto osiemdziesiąt radianów razy sto trzydzieści pięć, a po redukcji trzy pi razy cztery radiany)

b) Podobnie, korzystając ze wzoru na przeliczanie miary stopni na radiany, otrzymujemy

905° = zadowolony ∙ 905 = zadowolony.

(dziewięćset pięć stopni równa się sto osiemdziesiąt jeden pi razy trzydzieści sześć radianów).

PRZYKŁAD 2. Wyraź w stopniach: a) ; b) -; c) 2,4π

(pi razy dwanaście; minus dwadzieścia jeden pi razy dwadzieścia; dwie przecinek cztery dziesiąte liczby pi).

Decyzja. a) Wyraź w stopniach pi przez dwanaście, użyj wzoru na przekształcenie miary kąta w radianach na miarę stopnia w 1 zadowolony=, otrzymujemy

zadowolony = 1 zadowolony∙ = ∙ = 15°

Podobnie b) - = 1 zadowolony∙ (-) \u003d ∙ (-) \u003d - 189 ° (minus dwadzieścia jeden pi na dwadzieścia równa się minus sto osiemdziesiąt dziewięć stopni),

c) 2,4π = 1 zadowolony∙ 2,4π = ∙ 2,4π = 432° (dwa przecinek cztery liczby pi to czterysta trzydzieści dwa stopnie).

Lekcja i prezentacja na temat: „Funkcja trygonometryczna argumentu kątowego, miara stopnia kąta i radianów”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii. Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Instrukcje i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 10 od 1C
Rozwiązujemy problemy z geometrii. Interaktywne zadania budowlane
Rozwiązujemy problemy z geometrii. Interaktywne zadania do budowania w przestrzeni

Co będziemy studiować:
1. Zapamiętajmy geometrię.
2. Definicja argumentu kątowego.
3. Stopniowa miara kąta.
4. Radialna miara kąta.
5. Co to jest radian?
6. Przykłady i zadania do samodzielnego rozwiązania.

Powtórzenie geometrii

Chłopaki w naszych funkcjach:

y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)

Zmienna t może przyjmować nie tylko wartości liczbowe, czyli być argumentem liczbowym, ale może być również uważana za miarę kąta - argument kątowy.

Pamiętajmy o geometrii!
Jak zdefiniowaliśmy tam sinus, cosinus, tangens, cotangens?

Sinus kąta to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej

Cosinus kąta - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej

Tangens kąta to stosunek przeciwległego ramienia do sąsiedniego.

Cotangens kąta to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej.

Definicja funkcji trygonometrycznej argumentu kątowego

Zdefiniujmy funkcje trygonometryczne jako funkcje argumentu kąta na okręgu liczbowym:
Za pomocą koła liczbowego i układu współrzędnych zawsze możemy łatwo znaleźć sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta:

Umieszczamy wierzchołek naszego kąta α w środku okręgu, tj. do środka osi współrzędnych i umieść jeden z boków tak, aby pokrywał się z dodatnim kierunkiem osi x (OA)
Następnie druga strona przecina okrąg liczbowy w punkcie M.

Rzędna punkty M: sinus kąta α
Odcięta punkty M: cosinus kąta α

Zauważ, że długość łuku AM jest tą samą częścią okręgu jednostkowego, co nasz kąt α od 360 stopni: gdzie t jest długością łuku AM.

Miara stopnia kąta

1) Chłopaki, dostaliśmy wzór na określenie miary stopnia kąta przez długość łuku koła liczbowego, przyjrzyjmy się mu bliżej:

Następnie zapisujemy funkcje trygonometryczne w postaci:

Na przykład:

Radialna miara kątów

Przy obliczaniu stopnia lub miary kąta w radianach pamiętaj! :
Na przykład:

Tak poza tym! Oznaczenie rad. możesz spaść!

Co to jest radian?

Drodzy przyjaciele, natknęliśmy się na nową koncepcję - Radian. Więc co to jest?

Istnieją różne miary długości, czasu, wagi, na przykład: metr, kilometr, sekunda, godzina, gram, kilogram i inne. Tak więc Radian jest jedną z miar kąta. Warto wziąć pod uwagę kąty środkowe, czyli znajdujące się w środku okręgu numerycznego.
Kąt 1 stopnia to kąt środkowy oparty na łuku równym 1/360 obwodu.

Kąt 1 radiana to kąt środkowy oparty na łuku równym 1 w okręgu jednostkowym oraz w dowolnym okręgu na łuku równym promieniowi okręgu.

Przykłady:

Przykłady zamiany miary kąta w stopniach na radian i na odwrót

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. Znajdź radianową miarę kątów:
a) 55° b) 450° c) 15° d) 302°

2. Znajdź:
a) sin (150°) b) cos (45°) c) tg (120°)

3. Znajdź miarę kątów w stopniach: