Charakterystyka wykresu funkcji kwadratowej. Jak poprawnie zbudować osie współrzędnych? Wykreślanie funkcji kwadratowej

- — [] funkcja kwadratowa Funkcja postaci y= ax2 + bx + c (a ? 0). Wykres K.f. jest parabolą, której wierzchołek ma współrzędne [ b / 2a, (b2 4ac) / 4a], dla a> 0 gałęzi paraboli ... ...

FUNKCJA KWADRATOWA, FUNKCJA matematyczna, której wartość zależy od kwadratu zmiennej niezależnej x i jest dana odpowiednio przez wielomian kwadratowy, na przykład: f(x) = 4x2 + 17 lub f(x) = x2 + 3x + 2. zobacz także KWADRAT RÓWNANIE … Naukowy i techniczny słownik encyklopedyczny

funkcja kwadratowa- Funkcja kwadratowa jest funkcją postaci y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Wykres K.f. jest parabolą, której wierzchołek ma współrzędne [b/2a, (b2 4ac) /4a], dla a> 0 gałęzie paraboli skierowane są do góry, dla a< 0 –вниз… …

- (kwadratowa) funkcja mająca następny widok: y=ax2+bx+c, gdzie a≠0 i najwyższy stopień x to kwadrat. Równanie kwadratowe y=ax2 +bx+c=0 można również rozwiązać za pomocą następującego wzoru: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Te korzenie są prawdziwe... Słownik ekonomiczny

Afiniczną funkcją kwadratową na przestrzeni afinicznej S jest dowolna funkcja Q: S→K, która ma postać Q(x)=q(x)+l(x)+c w postaci wektorowej, gdzie q jest funkcją kwadratową, l jest funkcja liniowa, a c jest stałą. Spis treści 1 Przeniesienie pochodzenia 2 ... ... Wikipedia

Afiniczna funkcja kwadratowa na przestrzeni afinicznej to dowolna funkcja, która ma postać zwektoryzowaną, gdzie jest macierzą symetryczną, funkcją liniową, stałą. Spis treści ... Wikipedia

Funkcja na przestrzeni wektorowej określona przez wielomian jednorodny drugiego stopnia we współrzędnych wektora. Spis treści 1 Definicja 2 Powiązane definicje ... Wikipedia

- jest funkcją, która w teorii decyzji statystycznych charakteryzuje straty spowodowane nieprawidłowym podejmowaniem decyzji na podstawie zaobserwowanych danych. Jeśli problem szacowania parametru sygnału na tle zakłóceń jest rozwiązywany, to funkcja straty jest miarą rozbieżności ... ... Wikipedia

funkcja celu- — [Ja.N. Ługiński, MS Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Angielsko-rosyjski słownik elektrotechniki i energetyki, Moskwa, 1999] funkcja celu W problemach ekstremalnych należy znaleźć funkcję, której minimum lub maksimum należy znaleźć. To jest… … Podręcznik tłumacza technicznego

funkcja celu- w problemach ekstremalnych funkcja, której minimum lub maksimum należy znaleźć. To jest kluczowa koncepcja optymalnego programowania. Odkrywszy ekstremum C.f. a zatem przez określenie wartości sterowanych zmiennych, które są do niego…… Słownik ekonomiczny i matematyczny

Książki

• Zestaw stołów. Matematyka. Wykresy funkcji (10 tabel) , . Album edukacyjny 10 arkuszy. Funkcja liniowa. Graficzne i analityczne przypisanie funkcji. Funkcja kwadratowa. Transformacja grafu funkcja kwadratowa. Funkcja y=sinx. Funkcja y=cosx.…
• Najważniejsza funkcja matematyki szkolnej - kwadratowa - w problemach i rozwiązaniach, Pietrow N.N. Funkcja kwadratowa jest główną funkcją kurs szkolny matematyka. Nic dziwnego. Z jednej strony prostota tej funkcji, a z drugiej strony głębokie znaczenie. Wiele zadań szkoły...

W wielu problemach wymagane jest obliczenie maksymalnego lub minimalna wartość funkcja kwadratowa. Maksimum lub minimum można znaleźć, jeśli oryginalna funkcja jest napisana w forma standardowa: lub poprzez współrzędne wierzchołka paraboli: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Co więcej, maksimum lub minimum dowolnej funkcji kwadratowej można obliczyć za pomocą operacji matematycznych.

Kroki

Funkcja kwadratowa jest napisana w standardowej formie

Napisz funkcję w formie standardowej. Funkcja kwadratowa to funkcja, której równanie zawiera zmienną x 2 (\displaystyle x^(2)). Równanie może zawierać lub nie zawierać zmiennej x (\styl wyświetlania x). Jeżeli równanie zawiera zmienną z wykładnikiem większym niż 2, nie opisuje funkcji kwadratowej. Jeśli to konieczne, przynieś podobne terminy i zmień ich kolejność, aby zapisać funkcję w standardowej formie.

• Na przykład, biorąc pod uwagę funkcję f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Dodaj terminy ze zmienną x 2 (\displaystyle x^(2)) i członków ze zmienną x (\styl wyświetlania x) zapisać równanie w postaci standardowej:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. Wykres funkcji kwadratowej to parabola. Gałęzie paraboli skierowane w górę lub w dół. Jeżeli współczynnik a (\styl wyświetlania a) ze zmienną x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\styl wyświetlania a)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Tutaj a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Tutaj parabola jest skierowana w dół.
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Tutaj a = 1 (\displaystyle a=1) więc parabola jest skierowana w górę.
   • Jeśli parabola skierowana jest w górę, trzeba poszukać jej minimum. Jeśli parabola jest skierowana w dół, poszukaj jej maksimum.

2. Oblicz -b/2a. Oznaczający − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) jest współrzędną x (\styl wyświetlania x) szczyt paraboli. Jeśli funkcja kwadratowa jest zapisana w postaci standardowej a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), użyj współczynników dla x (\styl wyświetlania x) oraz x 2 (\displaystyle x^(2)) w następujący sposób:

   • We współczynnikach funkcji a = 1 (\displaystyle a=1) oraz b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Jako drugi przykład rozważmy funkcję . Tutaj a = − 3 (\displaystyle a=-3) oraz b = 6 (\displaystyle b=6). Dlatego oblicz współrzędną x wierzchołka paraboli w następujący sposób:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Znajdź odpowiednią wartość f(x). Zastąp znalezioną wartość „x” oryginalną funkcją, aby znaleźć odpowiednią wartość f(x). W ten sposób znajdziesz minimum lub maksimum funkcji.

   • W pierwszym przykładzie f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) obliczyłeś, że współrzędna x wierzchołka paraboli to x = − 5 (\displaystyle x=-5). W pierwotnej funkcji zamiast x (\styl wyświetlania x) zastąpić − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f (x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • W drugim przykładzie f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) odkryłeś, że współrzędna x wierzchołka paraboli to x = 1 (\displaystyle x=1). W pierwotnej funkcji zamiast x (\styl wyświetlania x) zastąpić 1 (\styl wyświetlania 1) aby znaleźć jego maksymalną wartość:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Zapisz odpowiedź. Przeczytaj ponownie stan problemu. Jeśli chcesz znaleźć współrzędne wierzchołka paraboli, zapisz obie wartości w swojej odpowiedzi x (\styl wyświetlania x) oraz r (\ Displaystyle y)(lub f (x) (\displaystyle f(x))). Jeśli chcesz obliczyć maksimum lub minimum funkcji, zapisz tylko wartość w odpowiedzi r (\ Displaystyle y)(lub f (x) (\displaystyle f(x))). Spójrz ponownie na znak współczynnika a (\styl wyświetlania a) aby sprawdzić, czy obliczyłeś maksimum czy minimum.

   • W pierwszym przykładzie f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) oznaczający a (\styl wyświetlania a) jest dodatnia, więc obliczyłeś minimum. Wierzchołek paraboli leży w punkcie o współrzędnych (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26)), a minimalna wartość funkcji to − 26 (\ Displaystyle -26).
   • W drugim przykładzie f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) oznaczający a (\styl wyświetlania a) negatywny, więc znalazłeś maksimum. Wierzchołek paraboli leży w punkcie o współrzędnych (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), a maksymalna wartość funkcji jest równa − 1 (\displaystyle -1).

5. Określ kierunek paraboli. Aby to zrobić, spójrz na znak współczynnika a (\styl wyświetlania a). Jeżeli współczynnik a (\styl wyświetlania a) pozytywny, parabola skierowana jest w górę. Jeżeli współczynnik a (\styl wyświetlania a) ujemna, parabola jest skierowana w dół. Na przykład:

   • . Tutaj a = 2 (\displaystyle a=2), czyli współczynnik jest dodatni, więc parabola jest skierowana w górę.
   • . Tutaj a = − 3 (\displaystyle a=-3), czyli współczynnik jest ujemny, więc parabola jest skierowana w dół.
   • Jeśli parabola jest skierowana w górę, musisz obliczyć minimalną wartość funkcji. Jeśli parabola jest skierowana w dół, konieczne jest znalezienie maksymalnej wartości funkcji.

6. Znajdź minimalną lub maksymalną wartość funkcji. Jeśli funkcja jest zapisana w postaci współrzędnych wierzchołka paraboli, minimum lub maksimum jest równe wartości współczynnika k (\styl wyświetlania k). W powyższych przykładach:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Tutaj k = − 4 (\displaystyle k=-4). Jest to minimalna wartość funkcji, ponieważ parabola jest skierowana w górę.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Tutaj k = 2 (\displaystyle k=2). Jest to maksymalna wartość funkcji, ponieważ parabola jest skierowana w dół.

7. Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli. Jeśli w zadaniu wymagane jest znalezienie wierzchołka paraboli, to jej współrzędne to (h , k) (\displaystyle (h,k)). Zauważ, że gdy funkcja kwadratowa jest zapisywana jako współrzędne wierzchołka paraboli, operacja odejmowania musi być ujęta w nawiasy kwadratowe (x − h) (\displaystyle (x-h)), więc wartość h (\styl wyświetlania h) wzięty z przeciwnym znakiem.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Tutaj operacja dodawania (x+1) jest ujęta w nawiasy, które można przepisać w następujący sposób: (x-(-1)). Zatem, h = − 1 (\displaystyle h=-1). Dlatego współrzędne wierzchołka paraboli tej funkcji to (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Tutaj w nawiasach jest wyrażenie (x-2). Stąd, h = 2 (\displaystyle h=2). Współrzędne wierzchołka to (2,2).

Jak obliczyć minimum lub maksimum za pomocą operacji matematycznych

1. Rozważmy najpierw standardową postać równania. Napisz funkcję kwadratową w postaci standardowej: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Jeśli to konieczne, przynieś podobne terminy i przestaw je, aby uzyskać standardowe równanie.

   • Na przykład: .

2. Znajdź pierwszą pochodną. Pierwsza pochodna funkcji kwadratowej, zapisana w standardowej postaci, jest równa f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime)(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). Pierwsza pochodna tej funkcji jest obliczana w następujący sposób:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime)(x)=4x-4)

3. Ustaw pochodną na zero. Przypomnijmy, że pochodna funkcji jest równa nachyleniu funkcji w pewnym punkcie. Minimum lub maksimum nachylenie równa się zero. Dlatego, aby znaleźć minimalną lub maksymalną wartość funkcji, pochodna musi być równa zeru. W naszym przykładzie.

Lekcja 15.
Wpływ współczynnikówa, b orazz do lokalizacji
wykres funkcji kwadratowej

Cele: kontynuować tworzenie umiejętności budowania wykresu funkcji kwadratowej i wymieniania jej właściwości; ujawnić wpływ współczynników a, b oraz z na lokalizacji wykresu funkcji kwadratowej.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny.

II. praca ustna.

Określ, który wykres funkcji jest pokazany na rysunku:

w = X 2 – 2X – 1;

w = –2X 2 – 8X;

w = X 2 – 4X – 1;

w = 2X 2 + 8X + 7;

w = 2X 2 – 1.

b)

w = X 2 – 2X;

w = –X 2 + 4X + 1;

w = –X 2 – 4X + 1;

w = –X 2 + 4X – 1;

w = –X 2 + 2X – 1.

III. Kształtowanie umiejętności i zdolności.

Ćwiczenia:

1. Nr 127 (a).

Decyzja

Prosty w = 6X + b dotyka paraboli w = X 2 + 8, czyli ma z nim tylko jeden punkt wspólny w przypadku, gdy równanie 6 X + b = X 2 + 8 będzie miało unikalne rozwiązanie.

To równanie jest kwadratowe, znajdźmy jego wyróżnik:

X 2 – 6X + 8 + b = 0;

D 1 = 9 – (8 – b) = 1 + b;

D 1 = 0 jeśli 1 + b= 0, czyli b= –1.

Odpowiedź: b= –1.

3. Ujawnij wpływ współczynników a, b oraz z do lokalizacji wykresu funkcji w = Oh 2 + bx + z.

Studenci posiadają wystarczającą wiedzę do samodzielnego wykonania tego zadania. Należy ich poprosić o zapisanie wszystkich wyników w zeszycie, podkreślając „główną” rolę każdego ze współczynników.

1) Współczynnik a wpływa na kierunek gałęzi paraboli: kiedy a> 0 - gałęzie skierowane do góry, z a < 0 – вниз.

2) Współczynnik b wpływa na położenie wierzchołka paraboli. Na b= 0 wierzchołek leży na osi OU.

3) Współczynnik z pokazuje punkt przecięcia paraboli z osią OU.

Można wtedy podać przykład, aby pokazać, co można powiedzieć o współczynnikach a, b oraz z zgodnie z wykresem funkcji.

Oznaczający z można nazwać precyzyjnie: skoro wykres przecina oś OU w punkcie (0; 1), to z = 1.

Współczynnik a można porównać z zerem: skoro gałęzie paraboli są skierowane w dół, to a < 0.

znak współczynnika b można znaleźć ze wzoru określającego odciętą wierzchołka paraboli: t= , ponieważ a < 0 и t= 1, to b> 0.

4. Określ, który wykres funkcji jest pokazany na rysunku, na podstawie wartości współczynników a, b oraz z.

w = –X 2 + 2X;

w = X 2 + 2X + 2;

w = 2X 2 – 3X – 2;

w = X 2 – 2.

Decyzja

a, b oraz z:

a> 0, ponieważ gałęzie paraboli skierowane są do góry;

b OU;

z= -2, ponieważ parabola przecina oś y w punkcie (0; -2).

w = 2X 2 – 3X – 2.

w = X 2 – 2X;

w = –2X 2 + X + 3;

w = –3X 2 – X – 1;

w = –2,7X 2 – 2X.

Decyzja

Zgodnie z przedstawionym wykresem wyciągamy następujące wnioski dotyczące współczynników a, b oraz z:

a < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

b≠ 0, ponieważ wierzchołek paraboli nie leży na osi OU;

z= 0, ponieważ parabola przecina oś OU w punkcie (0; 0).

Wszystkie te warunki spełnia tylko funkcja w = –2,7X 2 – 2X.

5. Zaplanowana funkcja w = Oh 2 + bx + z a, b oraz z:

a) b)

Decyzja

a) Gałęzie paraboli skierowane są do góry, więc a > 0.

Parabola przecina oś y w dolnej półpłaszczyźnie, więc z < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b używamy wzoru, aby znaleźć odciętą wierzchołka paraboli: t= . Z wykresu widać, że t < 0, и мы определим, что a> 0. Dlatego b> 0.

b) Podobnie wyznaczamy znaki współczynników a, b oraz z:

a < 0, z > 0, b< 0.

Studentom, którzy mają silną pozycję w nauce, można dodatkowo nadać nr 247.

Decyzja

w = X 2 + px + q.

a) Z twierdzenia Viety wiadomo, że jeśli X 1 i X 2 - pierwiastki równania X 2 +
+ piksel + q= 0 (czyli zera tej funkcji), wtedy X jeden · X 2 = q oraz X 1 + X 2 = –R. Rozumiemy to q= 3 4 = 12 i R = –(3 + 4) = –7.

b) Punkt przecięcia paraboli z osią OU da wartość parametru q, tj q= 6. Jeśli wykres funkcji przecina oś OH w punkcie (2; 0), to liczba 2 jest pierwiastkiem równania X 2 + px + q= 0. Podstawienie wartości X= 2 do tego równania, otrzymujemy, że R = –5.

c) Ta funkcja kwadratowa osiąga najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli, stąd , skąd R= -12. Według warunku wartość funkcji w = X 2 – 12X + q w punkcie x= 6 równa się 24. Podstawianie x= 6 i w= 24 cale ta funkcja, znaleźliśmy to q= 60.

IV. Prace weryfikacyjne.

opcja 1

1. Wykres funkcji w = 2X 2 + 4X– 6 i znajdź za pomocą wykresu:

a) zera funkcji;

b) przedziały, w których w> 0 i tak < 0;

G) najmniejsza wartość Funkcje;

e) zakres funkcji.

2. Nie wykreślanie funkcji w = –X 2 + 4X, znajdować:

a) zera funkcji;

c) zakres funkcji.

3. Zaplanowana funkcja w = Oh 2 + bx + z określić znaki współczynników a, b oraz z:

Opcja 2

1. Wykres funkcji w = –X 2 + 2X+ 3 i znajdź za pomocą wykresu:

a) zera funkcji;

b) przedziały, w których w> 0 i tak < 0;

c) przedziały wzrostu i spadku funkcji;

G) najwyższa wartość Funkcje;

e) zakres funkcji.

2. Nie wykreślanie funkcji w = 2X 2 + 8X, znajdować:

a) zera funkcji;

b) przedziały wzrostu i spadku funkcji;

c) zakres funkcji.

3. Zaplanowana funkcja w = Oh 2 + bx + z określić znaki współczynników a, b oraz z:

V. Wyniki lekcji.

pytania

– Opisz algorytm konstruowania funkcji kwadratowej.

– Lista właściwości funkcji w = Oh 2 + bx + z w a> 0 i a < 0.

– Jak wpływają współczynniki a, b oraz z na położenie wykresu funkcji kwadratowej?

Zadanie domowe: nr 127 (b), nr 128, nr 248.

Uzupełniający: nr 130.

Na lekcjach matematyki w szkole zapoznałeś się już z najprostszymi własnościami i wykresem funkcji y=x2. Poszerzmy naszą wiedzę funkcja kwadratowa.

Ćwiczenie 1.

Wykreśl funkcję y=x2. Skala: 1 = 2 cm Zaznacz punkt na osi Oy F(0; 1/4). Za pomocą cyrkla lub paska papieru zmierz odległość od punktu F do pewnego momentu M parabole. Następnie przypnij pasek w punkcie M i obróć go wokół tego punktu, aby stał się pionowy. Koniec paska spadnie nieco poniżej osi x (rys. 1). Zaznacz na pasku, jak daleko wykracza poza oś x. Zrób teraz kolejny punkt na paraboli i powtórz pomiar jeszcze raz. O ile krawędź paska spadła teraz poza oś x?

Wynik: bez względu na punkt na paraboli y \u003d x 2, odległość od tego punktu do punktu F (0; 1/4) będzie większa niż odległość od tego samego punktu do osi x zawsze o to samo liczba - o 1/4.

Można powiedzieć inaczej: odległość od dowolnego punktu paraboli do punktu (0; 1/4) jest równa odległości od tego samego punktu paraboli do prostej y = -1/4. Ten wspaniały punkt F(0; 1/4) nazywa się centrum parabole y \u003d x 2, a linia prosta y \u003d -1/4 - dyrektorka szkoły ta parabola. Każda parabola ma kierownicę i ognisko.

Ciekawe właściwości paraboli:

1. Każdy punkt paraboli jest równoodległy od pewnego punktu, zwanego ogniskiem paraboli, i pewnej linii zwanej jej kierownicą.

2. Jeśli obrócisz parabolę wokół osi symetrii (na przykład parabolę y \u003d x 2 wokół osi Oy), otrzymasz bardzo interesującą powierzchnię, zwaną paraboloidą obrotu.

Powierzchnia cieczy w wirującym naczyniu ma kształt paraboloidy obrotowej. Możesz zobaczyć tę powierzchnię, jeśli mocno zamieszasz łyżką w niepełnej szklance herbaty, a następnie wyjmiesz łyżkę.

3. Jeśli rzucisz kamień w pustkę pod pewnym kątem do horyzontu, poleci on wzdłuż paraboli (rys. 2).

4. Jeśli przetniesz powierzchnię stożka płaszczyzną równoległą do jednego z jego generatorów, to w sekcji otrzymasz parabolę (rys. 3).

5. W wesołych miasteczkach urządzają czasem zabawną atrakcję zwaną Paraboloidem Cudów. Każdemu ze stojących wewnątrz obracającego się paraboloidy wydaje się, że stoi na podłodze, a pozostali jakimś cudem trzymają się ścian.

6. W teleskopach zwierciadlanych stosuje się również lustra paraboliczne: światło odległej gwiazdy, poruszającej się w równoległym wiązce, padającej na zwierciadło teleskopu, jest skupiane w ognisku.

7. W przypadku reflektorów lustro jest zwykle wykonane w formie paraboloidy. Jeśli umieścisz źródło światła w ognisku paraboloidy, to promienie odbite od lustro paraboliczne, tworzą belkę równoległą.

Wykreślanie funkcji kwadratowej

Na lekcjach matematyki uczyłeś się, jak uzyskać wykresy funkcji postaci z wykresu funkcji y \u003d x 2:

1) y=ax2– rozwinięcie wykresu y = x 2 wzdłuż osi Oy w |a| razy (dla |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, Ryż. 4).

2) y=x2+n– przesunięcie wykresu o n jednostek wzdłuż osi Oy, a jeśli n > 0, to przesunięcie jest w górę, a jeśli n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m)2– przesunięcie wykresu o m jednostek wzdłuż osi Ox: jeśli m< 0, то вправо, а если m >0, potem w lewo, (rys. 5).

4) y=-x2- symetryczne wyświetlanie wokół osi Ox wykresu y = x 2 .

Zajmijmy się bardziej szczegółowym kreśleniem wykresu funkcji. y = a(x - m) 2 + n.

Funkcję kwadratową postaci y = ax 2 + bx + c można zawsze sprowadzić do postaci

y \u003d a (x - m) 2 + n, gdzie m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a).

Udowodnijmy to.

Naprawdę,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x (b/a) + b 2 /(4a 2) - b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a).

Wprowadźmy nową notację.

Zostawiać m = -b/(2a), a n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),

wtedy otrzymujemy y = a(x - m) 2 + n lub y - n = a(x - m) 2 .

Zróbmy jeszcze kilka podstawień: niech y - n = Y, x - m = X (*).

Następnie otrzymujemy funkcję Y = aX 2 , której wykres jest parabolą.

Wierzchołek paraboli znajduje się na początku. x=0; Y = 0.

Podstawiając współrzędne wierzchołka w (*), otrzymujemy współrzędne wierzchołka grafu y = a(x - m) 2 + n: x = m, y = n.

Tak więc, aby wykreślić funkcję kwadratową reprezentowaną jako

y = a(x - m) 2 + n

przez przekształcenie możesz postępować w następujący sposób:

a) zbuduj wykres funkcji y = x 2 ;

b) przez przesunięcie równoległe wzdłuż osi Ox o m jednostek i wzdłuż osi Oy o n jednostek - przenieś wierzchołek paraboli od początku do punktu o współrzędnych (m; n) (rys. 6).

Napisz przekształcenia:

y = x 2 → y = (x - m) 2 → y = a(x - m) 2 → y = a(x - m) 2 + n.

Przykład.

Korzystając z przekształceń, skonstruuj wykres funkcji y = 2(x - 3) 2 w kartezjańskim układzie współrzędnych – 2.

Decyzja.

Łańcuch przekształceń:

y=x2 (1) → y = (x - 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x - 3) 2 - 2 (4) .

Konstrukcję wykresu przedstawiono na Ryż. 7.

Możesz samodzielnie ćwiczyć wykreślanie funkcji kwadratowej. Na przykład zbuduj wykres funkcji y = 2(x + 3) 2 + 2 w jednym układzie współrzędnych za pomocą przekształceń.Jeśli masz pytania lub chcesz uzyskać poradę od nauczyciela, masz możliwość przeprowadzenia bezpłatna 25-minutowa lekcja z korepetytorem online po rejestracji . Do dalsza praca Z nauczycielem możesz wybrać plan taryfowy, który Ci odpowiada.

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak narysować funkcję kwadratową?
Aby uzyskać pomoc korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.