Zdefiniuj funkcję parzystą. Jak określić funkcje parzyste i nieparzyste

Aby to zrobić, użyj papieru milimetrowego lub kalkulatora graficznego. Wybierz dowolną liczbę wartości liczbowych dla zmiennej niezależnej x (\styl wyświetlania x) i podłącz je do funkcji, aby obliczyć wartości zmiennej zależnej r (\ Displaystyle y). Umieść znalezione współrzędne punktów na płaszczyźnie współrzędnych, a następnie połącz te punkty, aby zbudować wykres funkcji.

• Podstaw dodatnie wartości liczbowe do funkcji x (\styl wyświetlania x) i odpowiadające im ujemne wartości liczbowe. Na przykład podana funkcja. Zastąp w nim następujące wartości x (\styl wyświetlania x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Masz punkt ze współrzędnymi (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Masz punkt ze współrzędnymi (− 1 , 3) ​​​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Masz punkt ze współrzędnymi (− 2 , 9) (\displaystyle (-2,9)).

Sprawdź, czy wykres funkcji jest symetryczny względem osi y. Symetria odnosi się do lustrzanego odbicia wykresu wokół osi y. Jeżeli część wykresu po prawej stronie osi y (dodatnie wartości zmiennej niezależnej) pasuje do części wykresu po lewej stronie osi y (wartości ujemne zmiennej niezależnej), wykres jest symetryczny względem osi y. Jeśli funkcja jest symetryczna względem osi y, funkcja jest parzysta.

• Możesz sprawdzić symetrię wykresu według poszczególnych punktów. Jeśli wartość r (\ Displaystyle y) x (\styl wyświetlania x), odpowiada wartości r (\ Displaystyle y), co odpowiada wartości − x (\displaystyle -x), funkcja jest parzysta. W naszym przykładzie z funkcją f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) otrzymaliśmy następujące współrzędne punktów:
  • (1.3) i (-1.3)
  • (2,9) i (-2,9)
• Zauważ, że dla x=1 i x=-1 zmienna zależna to y=3, a dla x=2 i x=-2 zmienna zależna to y=9. Więc funkcja jest parzysta. W rzeczywistości, aby dokładnie określić postać funkcji, należy wziąć pod uwagę więcej niż dwa punkty, ale opisana metoda jest dobrym przybliżeniem.

Sprawdź, czy wykres funkcji jest symetryczny względem początku. Początkiem jest punkt o współrzędnych (0,0). Symetria pochodzenia oznacza, że ​​wartość dodatnia r (\ Displaystyle y)(z wartością dodatnią x (\styl wyświetlania x)) odpowiada wartości ujemnej r (\ Displaystyle y)(z wartością ujemną x (\styl wyświetlania x)), i wzajemnie. Funkcje nieparzyste mają symetrię względem początku.

• Jeśli podstawimy do funkcji kilka wartości dodatnich i odpowiadających im wartości ujemnych x (\styl wyświetlania x), wartości r (\ Displaystyle y) będą różnić się znakiem. Na przykład, biorąc pod uwagę funkcję f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x). Zastąp w nim wiele wartości x (\styl wyświetlania x):
  • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2). Otrzymałem punkt o współrzędnych (1,2).
  • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
  • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
  • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). Masz punkt ze współrzędnymi (-2,-10).
• Zatem f(x) = -f(-x), czyli funkcja jest nieparzysta.

Sprawdź, czy wykres funkcji ma jakąkolwiek symetrię. Ostatnim typem funkcji jest funkcja, której wykres nie ma symetrii, to znaczy nie ma odbicia lustrzanego zarówno względem osi y, jak i względem początku. Na przykład podana funkcja.

• Zastąp kilka dodatnich i odpowiadających im ujemnych wartości w funkcji x (\styl wyświetlania x):
  • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ). Otrzymałem punkt ze współrzędnymi (1,4).
  • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2). Otrzymałem punkt ze współrzędnymi (-1,-2).
  • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ). Otrzymaliśmy punkt o współrzędnych (2,10).
  • f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2). Otrzymałem punkt ze współrzędnymi (2,-2).
• Zgodnie z uzyskanymi wynikami nie ma symetrii. Wartości r (\ Displaystyle y) dla przeciwnych wartości x (\styl wyświetlania x) nie pasują i nie są przeciwne. Tak więc funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
• Należy pamiętać, że funkcja f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) można napisać tak: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Napisana w tej formie funkcja wydaje się być parzysta, ponieważ istnieje parzysty wykładnik. Ale ten przykład dowodzi, że nie można szybko określić postaci funkcji, jeśli zmienna niezależna jest ujęta w nawiasy. W takim przypadku musisz otworzyć nawiasy i przeanalizować wynikowe wykładniki.

Wstecz do przodu

Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie do celów informacyjnych i może nie przedstawiać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Cele:

• uformować pojęcie funkcji parzystych i nieparzystych, nauczyć umiejętności wyznaczania i wykorzystywania tych właściwości, gdy badanie funkcji, kreślenie;
• rozwijać twórczą aktywność uczniów, logiczne myślenie, umiejętność porównywania, uogólniania;
• pielęgnować pracowitość, kulturę matematyczną; rozwijać umiejętności komunikacyjne .

Ekwipunek: instalacja multimedialna, tablica interaktywna, Rozdawać.

Formy pracy: frontalny i grupowy z elementami działalności poszukiwawczej i badawczej.

Źródła informacji:

1. Algebra klasa 9 A.G. Mordkovich. Podręcznik.
2. Algebra klasa 9 A.G. Mordkovich. Książka zadań.
3. Algebra klasa 9. Zadania do nauki i rozwoju uczniów. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

PODCZAS ZAJĘĆ

1. Moment organizacyjny

Ustalanie celów i zadań lekcji.

2. Sprawdzanie pracy domowej

nr 10.17 (Księga problemów 9. klasa A.G. Mordkovich).

a) w = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 dla X ~ 0,4
4. f(X) >0 w X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkcja wzrasta wraz z X € [– 2; + ∞)
6. Funkcja ograniczona od dołu.
7. w wynajem = - 3, w naib nie istnieje
8. Funkcja jest ciągła.

(Czy użyłeś algorytmu eksploracji cech?) Ślizgać się.

2. Sprawdźmy tabelę, o którą zostałeś poproszony na slajdzie.

Wypełnij tabelę
	Domena	Zera funkcji	Przedziały stałości		Współrzędne punktów przecięcia grafu z Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Aktualizacja wiedzy

– Podano funkcje.
– Określ domenę definicji dla każdej funkcji.
– Porównaj wartość każdej funkcji dla każdej pary wartości argumentów: 1 i – 1; 2 i - 2.
– Dla której z podanych funkcji w domenie definicji są równości? f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (umieść dane w tabeli) Ślizgać się

		f(1) i f(– 1)	f(2) i f(– 2)	wykresy	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		i nieokreślone.

4. nowy materiał

– Występy ta praca, chłopaki, ujawniliśmy jeszcze jedną właściwość funkcji, nieznaną wam, ale nie mniej ważną niż reszta - jest to funkcja parzysta i nieparzysta. Zapisz temat lekcji: „Funkcje parzyste i nieparzyste”, naszym zadaniem jest nauczenie się wyznaczania funkcji parzystych i nieparzystych, poznanie znaczenia tej właściwości w badaniu funkcji i kreśleniu.
Znajdźmy więc definicje w podręczniku i przeczytajmy (s. 110) . Ślizgać się

Pok. jeden Funkcjonować w = f (X) zdefiniowany na zbiorze X nazywa się parzysty, jeśli dla dowolnej wartości XЄ X w toku równość f (–x) = f (x). Daj przykłady.

Pok. 2 Funkcjonować y = f(x), zdefiniowany na zbiorze X nazywa się dziwne, jeśli dla dowolnej wartości X X równość f(–х)= –f(х) jest spełniona. Daj przykłady.

Gdzie spotkaliśmy się z terminami „parzysty” i „nieparzysty”?
Jak myślisz, która z tych funkcji będzie parzysta? Czemu? Które są dziwne? Czemu?
Dla dowolnej funkcji formy w= x n, gdzie n jest liczbą całkowitą, można argumentować, że funkcja jest nieparzysta dla n jest nieparzyste, a funkcja jest parzysta dla n- parzysty.
– Zobacz funkcje w= i w = 2X– 3 nie jest ani parzyste, ani nieparzyste, bo równości nie są spełnione f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Badanie kwestii, czy funkcja jest parzysta, czy nieparzysta, nazywa się badaniem funkcji parzystości.Ślizgać się

Definicje 1 i 2 dotyczyły wartości funkcji przy x i - x, stąd zakłada się, że funkcja jest również zdefiniowana przy wartości X i w - X.

ODA 3. Jeżeli zbiór liczby wraz z każdym z jej elementów x zawiera przeciwny element x, to zbiór X nazywa się zbiorem symetrycznym.

Przykłady:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) są zbiorami symetrycznymi, a , [–5;4] są niesymetryczne.

- Czy nawet funkcje mają dziedzinę definicji - zbiór symetryczny? Dziwne?
- Jeśli D( f) jest zbiorem asymetrycznym, to jaka jest funkcja?
– Tak więc, jeśli funkcja w = f(X) jest parzyste lub nieparzyste, to jego domeną definicji jest D( f) jest zbiorem symetrycznym. Ale czy jest odwrotnie, jeśli dziedziną funkcji jest zbiór symetryczny, to jest ona parzysta czy nieparzysta?
- A więc obecność symetrycznego zbioru dziedziny definicji jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym.
– Jak więc zbadać funkcję parzystości? Spróbujmy napisać algorytm.

Ślizgać się

Algorytm do badania funkcji na parzystość

1. Określ, czy dziedzina funkcji jest symetryczna. Jeśli nie, to funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Jeśli tak, przejdź do kroku 2 algorytmu.

2. Napisz wyrażenie dla f(–X).

3. Porównaj f(–X).oraz f(X):

• jeśli f(–X).= f(X), to funkcja jest parzysta;
• jeśli f(–X).= – f(X), to funkcja jest nieparzysta;
• jeśli f(–X) ≠ f(X) oraz f(–X) ≠ –f(X), to funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Przykłady:

Zbadaj funkcję parzystości a) w= x 5 +; b) w= ; w) w= .

Decyzja.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), zbiór symetryczny.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcja h(x)= x 5 + nieparzysty.

b) y =,

w = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), zbiór asymetryczny, więc funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

w) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opcja 2

1. Czy dany zbiór jest symetryczny: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Sprawdź funkcję pod kątem parzystości:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Na ryc. kreślony w = f(X), dla wszystkich X, spełniający warunek X? 0.
Wykreśl funkcję w = f(X), jeśli w = f(X) jest funkcją parzystą.

3. Na ryc. kreślony w = f(X), dla wszystkich x spełniających x? 0.
Wykreśl funkcję w = f(X), jeśli w = f(X) jest funkcją nieparzystą.

Wzajemna kontrola ślizgać się.

6. Praca domowa: №11.11, 11.21,11.22;

Dowód geometrycznego znaczenia własności parzystości.

*** (Przypisanie opcji USE).

1. Nieparzysta funkcja y \u003d f (x) jest zdefiniowana na całej linii rzeczywistej. Dla dowolnej nieujemnej wartości zmiennej x, wartość tej funkcji pokrywa się z wartością funkcji g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Znajdź wartość funkcji h( X) = w X = 3.

7. Podsumowując

Hide Show

Sposoby ustawiania funkcji

Niech funkcja będzie dana wzorem: y=2x^(2)-3 . Przypisując dowolną wartość zmiennej niezależnej x , można wykorzystać ten wzór do obliczenia odpowiednich wartości zmiennej zależnej y . Na przykład, jeśli x=-0.5 , to korzystając ze wzoru, otrzymujemy, że odpowiadającą wartością y jest y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 .

Mając dowolną wartość przyjętą przez argument x we ​​wzorze y=2x^(2)-3 , można obliczyć tylko jedną wartość funkcji, która jej odpowiada. Funkcję można przedstawić w postaci tabeli:

x	−2	−1	0	1	2	3
tak	−4	−3	−2	−1	0	1

Korzystając z tej tabeli, możesz wywnioskować, że wartości argumentu -1 będzie odpowiadać wartość funkcji -3; a wartość x=2 będzie odpowiadać y=0 i tak dalej. Ważne jest również, aby wiedzieć, że każda wartość argumentu w tabeli odpowiada tylko jednej wartości funkcji.

Więcej funkcji można ustawić za pomocą wykresów. Za pomocą wykresu ustala się, jaka wartość funkcji koreluje z określoną wartością x. Najczęściej będzie to przybliżona wartość funkcji.

Funkcja parzysta i nieparzysta

Funkcja to nawet funkcja, gdy f(-x)=f(x) dla dowolnego x z domeny. Taka funkcja będzie symetryczna względem osi Oy.

Funkcja to nieparzysta funkcja kiedy f(-x)=-f(x) dla dowolnego x w domenie. Taka funkcja będzie symetryczna względem początku O (0;0) .

Funkcja to nawet nie, ani dziwne i zadzwoniłem funkcjonować ogólny widok gdy nie ma symetrii względem osi lub początku.

Badamy następującą funkcję dla parzystości:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) z symetryczną dziedziną definicji o pochodzeniu. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Stąd funkcja f(x)=3x^(3)-7x^(7) jest nieparzysta.

Funkcja okresowa

Funkcja y=f(x) , w dziedzinie której dla dowolnego x wywoływana jest równość f(x+T)=f(x-T)=f(x) , funkcja okresowa z okresem T \neq 0 .

Powtórzenie wykresu funkcji na dowolnym odcinku osi odciętej, który ma długość T .

Przedziały, w których funkcja jest dodatnia, czyli f (x) > 0 - odcinki osi odciętej, które odpowiadają punktom wykresu funkcji leżącym powyżej osi odciętej.

f(x) > 0 wł (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Luki, w których funkcja jest ujemna, tj. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Ograniczenie funkcji

ograniczony od dołu zwyczajem jest wywoływanie funkcji y=f(x), x \in X, gdy istnieje liczba A, dla której nierówność f(x) \geq A zachodzi dla dowolnego x \in X .

Przykład funkcji ograniczonej poniżej: y=\sqrt(1+x^(2)) ponieważ y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 dla dowolnego x .

ograniczony od góry funkcja y=f(x), x \in X jest wywoływana, jeśli istnieje liczba B, dla której nierówność f(x) \neq B zachodzi dla dowolnego x \in X .

Przykład funkcji ograniczonej poniżej: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] ponieważ y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 dla dowolnego x \in [-1;1] .

Ograniczony przyjęło się wywoływać funkcję y=f(x), x \in X, gdy istnieje liczba K > 0, dla której nierówność \left | f(x) \prawo | \neq K dla dowolnego x \in X .

Przykład ograniczona funkcja: y=\sin x jest ograniczone na całej osi liczbowej, ponieważ \lewo | \sin x \right | \nq 1.

Zwiększanie i zmniejszanie funkcji

Zwyczajowo mówi się o funkcji, która rośnie na rozpatrywanym przedziale jako funkcja zwiększająca wtedy, kiedy większa wartość x dopasuje większą wartość funkcji y=f(x) . Stąd okazuje się, że biorąc z rozpatrywanego przedziału dwie dowolne wartości argumentu x_(1) i x_(2) oraz x_(1) > x_(2) , będzie to y(x_(1)) > r(x_(2)) .

Funkcja, która maleje na rozważanym przedziale, nazywa się funkcja malejąca gdy większa wartość x będzie odpowiadać mniejszej wartości funkcji y(x) . Stąd okazuje się, że biorąc z rozpatrywanego przedziału dwie dowolne wartości argumentu x_(1) i x_(2) oraz x_(1) > x_(2) , będzie to y(x_(1))< y(x_{2}) .

Korzenie funkcyjne zwyczajowo nazywa się punkty, w których funkcja F=y(x) przecina oś odciętych (uzyskuje się je w wyniku rozwiązania równania y(x)=0).

a) Jeżeli funkcja parzysta rośnie dla x > 0, to maleje dla x< 0

b) Gdy funkcja parzysta maleje dla x > 0, to rośnie dla x< 0

c) Gdy funkcja nieparzysta rośnie dla x > 0, to rośnie również dla x< 0

d) Gdy funkcja nieparzysta maleje dla x > 0, to zmniejszy się również dla x< 0

Ekstrema funkcji

Minimalny punkt funkcji y=f(x) zwyczajowo nazywa się taki punkt x=x_(0) , w którym w jego sąsiedztwie będą znajdowały się inne punkty (oprócz punktu x=x_(0) ), a następnie nierówność f(x) > f (x_(0)) . y_(min) - oznaczenie funkcji w punkcie min.

Funkcja maksymalny punkt y=f(x) zwyczajowo nazywa się taki punkt x=x_(0) , w którym w jego sąsiedztwie będą znajdowały się inne punkty (oprócz punktu x=x_(0) ), a następnie nierówność f(x) będą dla nich zadowoleni< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Warunek konieczny

Zgodnie z twierdzeniem Fermata: f"(x)=0, to gdy funkcja f(x) , która jest różniczkowalna w punkcie x_(0) , pojawi się ekstremum w tym punkcie.

Stan dostateczny

1. Gdy znak pochodnej zmieni się z plusa na minus, to x_(0) będzie punktem minimum;
2. x_(0) - będzie punktem maksymalnym tylko wtedy, gdy pochodna zmieni znak z minus na plus przy przejściu przez punkt stacjonarny x_(0) .

Największa i najmniejsza wartość funkcji na przedziale

Kroki obliczeniowe:

1. Szukam pochodnej f"(x) ;
2. Znajdują się punkty stacjonarne i krytyczne funkcji oraz wybiera się te należące do przedziału;
3. Wartości funkcji f(x) znajdują się w punktach stacjonarnych i krytycznych oraz na końcach odcinka. Najmniejszy z wyników będzie najmniejsza wartość Funkcje, i więcej - największy.

Funkcja nazywana jest parzystą (nieparzystą) jeśli dla dowolnego i równości

.

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi
.

Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku.

Przykład 6.2. Sprawdź funkcje parzyste lub nieparzyste

1)
; 2)
; 3)
.

Decyzja.

1) Funkcja jest zdefiniowana za pomocą
. Znajdźmy
.

Tych.
. Więc ta funkcja jest parzysta.

2) Funkcja jest zdefiniowana dla

Tych.
. Tak więc ta funkcja jest dziwna.

3) funkcja jest określona dla , tj. dla

,
. Dlatego funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Nazwijmy to funkcją ogólną.

3. Badanie funkcji dla monotoniczności.

Funkcjonować
nazywamy zwiększaniem (malaniem) na pewnym przedziale, jeśli w tym przedziale każda większa wartość argumentu odpowiada większej (mniejszej) wartości funkcji.

Funkcje narastające (malejące) na pewnym przedziale nazywane są monotonicznymi.

Jeśli funkcja
różniczkowalna na przedziale
i ma dodatnią (ujemną) pochodną
, to funkcja
wzrasta (spada) w tym przedziale.

Przykład 6.3. Znajdź przedziały monotoniczności funkcji

1)
; 3)
.

Decyzja.

1) Ta funkcja jest zdefiniowana na całej osi liczbowej. Znajdźmy pochodną.

Pochodna wynosi zero, jeśli
oraz
. Dziedzina definicji - oś liczbowa podzielona przez punkty
,
na interwały. Wyznaczmy znak pochodnej w każdym przedziale.

W przedziale
pochodna jest ujemna, funkcja maleje na tym przedziale.

W przedziale
pochodna jest dodatnia, zatem funkcja rośnie na tym przedziale.

2) Ta funkcja jest zdefiniowana, jeśli
lub

.

W każdym przedziale wyznaczamy znak trójmianu kwadratowego.

Zatem zakres funkcji

Znajdźmy pochodną
,
, jeśli
, tj.
, ale
. Wyznaczmy znak pochodnej w przedziałach
.

W przedziale
pochodna jest ujemna, zatem funkcja maleje na przedziale
. W przedziale
pochodna jest dodatnia, funkcja rośnie na przedziale
.

4. Badanie funkcji ekstremum.

Kropka
nazywa się maksymalnym (minimalnym) punktem funkcji
, jeśli jest takie sąsiedztwo punktu to dla wszystkich
ta okolica zaspokaja nierówności

.

Punkty maksimum i minimum funkcji nazywane są punktami ekstremami.

Jeśli funkcja
w punkcie ma ekstremum, to pochodna funkcji w tym punkcie jest równa zeru lub nie istnieje (warunek konieczny do istnienia ekstremum).

Punkty, w których pochodna jest równa zero lub nie istnieje, nazywamy krytycznymi.

5. Warunki dostateczne dla istnienia ekstremum.

Zasada nr 1. Jeśli podczas przejścia (od lewej do prawej) przez punkt krytyczny pochodna
zmienia znak z „+” na „-”, a następnie w punkcie funkcjonować
ma maksimum; jeśli od „-” do „+”, to minimum; jeśli
nie zmienia znaku, to nie ma ekstremum.

Zasada 2. Niech w punkcie
pierwsza pochodna funkcji
zero
, a druga pochodna istnieje i jest niezerowa. Jeśli
, następnie to maksymalny punkt, jeśli
, następnie jest minimalnym punktem funkcji.

Przykład 6.4 . Poznaj maksymalne i minimalne funkcje:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Decyzja.

1) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na przedziale
.

Znajdźmy pochodną
i rozwiąż równanie
, tj.
.stąd
są punktami krytycznymi.

Wyznaczmy znak pochodnej w przedziałach ,
.

Przejeżdżając przez punkty
oraz
pochodna zmienia znak z „–” na „+”, a więc zgodnie z regułą 1
są minimalne punkty.

Przejeżdżając przez punkt
pochodna zmienia znak z "+" na "-", więc
jest punktem maksymalnym.

,
.

2) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła w przedziale
. Znajdźmy pochodną
.

Rozwiązując równanie
, znajdować
oraz
są punktami krytycznymi. Jeśli mianownik
, tj.
, to pochodna nie istnieje. Więc,
jest trzecim punktem krytycznym. Wyznaczmy znak pochodnej w przedziałach.

Dlatego funkcja ma minimum w punkcie
, maksymalnie w punktach
oraz
.

3) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła, jeśli
, tj. w
.

Znajdźmy pochodną

.

Znajdźmy punkty krytyczne:

Okolice punktów
nie należą do dziedziny definicji, więc nie są ekstremami. Przyjrzyjmy się więc krytycznym punktom
oraz
.

4) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na przedziale
. Korzystamy z reguły 2. Znajdź pochodną
.

Znajdźmy punkty krytyczne:

Znajdźmy drugą pochodną
i określ jego znak w punktach

W punktach
funkcja ma minimum.

W punktach
funkcja ma maksimum.

Badania funkcji.

1) D(y) - Domena definicji: zbiór wszystkich tych wartości zmiennej x. w którym wyrażenia algebraiczne f(x) i g(x) mają sens.

Jeżeli funkcję podaje formuła, to dziedziną definicji są wszystkie wartości zmiennej niezależnej, dla której formuła ma sens.

2) Własności funkcji: parzyste/nieparzyste, okresowość:

dziwne oraz parzysty nazywane są funkcjami, których wykresy są symetryczne względem zmiany znaku argumentu.

nieparzysta funkcja- funkcja zmieniająca wartość na przeciwną, gdy zmienia się znak zmiennej niezależnej (symetrycznie względem środka współrzędnych).

Nawet funkcja- funkcja, która nie zmienia swojej wartości, gdy zmienia się znak zmiennej niezależnej (symetrycznie względem osi y).

Ani parzysta, ani nieparzysta funkcja (funkcja ogólna) to funkcja, która nie ma symetrii. Ta kategoria obejmuje funkcje, które nie mieszczą się w poprzednich 2 kategoriach.

Funkcje, które nie należą do żadnej z powyższych kategorii są nazywane ani parzyste, ani dziwne(lub funkcje ogólne).

Dziwne funkcje

Nieparzysta potęga, gdzie jest dowolną liczbą całkowitą.

Nawet funkcje

Potęga parzysta, gdzie jest dowolną liczbą całkowitą.

Funkcja okresowa jest funkcją, która powtarza swoje wartości w pewnym regularnym odstępie argumentu, tj. nie zmienia swojej wartości, gdy do argumentu zostanie dodana pewna stała niezerowa liczba ( Kropka funkcje) w całej dziedzinie definicji.

3) Zera (pierwiastki) funkcji to punkty, w których znika.

Znalezienie punktu przecięcia wykresu z osią Oy. Aby to zrobić, musisz obliczyć wartość f(0). Znajdź również punkty przecięcia wykresu z osią Wół, po co znaleźć pierwiastki równania f(x) = 0 (lub upewnij się, że nie ma korzeni).

Punkty, w których wykres przecina oś, nazywane są funkcja zera. Aby znaleźć zera funkcji, musisz rozwiązać równanie, czyli znaleźć te wartości x, dla którego funkcja znika.

4) Przedziały stałości znaków, znaki w nich.

Przedziały, w których funkcja f(x) zachowuje swój znak.

Przedział stałości to przedział w każdym punkcie, w którym funkcja jest dodatnia lub ujemna.

POWYŻEJ osi x.

PONIŻEJ osi.

5) Ciągłość (punkty nieciągłości, charakter nieciągłości, asymptoty).

funkcja ciągła- funkcja bez „skoków”, czyli taka, w której małe zmiany w argumencie prowadzą do niewielkich zmian wartości funkcji.

Wyjmowane punkty przerwania

Jeśli granica funkcji istnieć, ale funkcja nie jest w tym momencie zdefiniowana lub limit nie odpowiada wartości funkcji w tym momencie:

,

wtedy punkt nazywa się punkt przerwania funkcje (w analizie złożonej usuwalny punkt osobliwy).

Jeśli „poprawimy” funkcję w punkcie usuwalnej nieciągłości i położymy , to otrzymujemy funkcję, która w tym momencie jest ciągła. Taka operacja na funkcji nazywa się rozszerzenie funkcji na ciągłą lub rozszerzenie funkcji o ciągłość, co uzasadnia nazwę punktu, jako punkty jednorazowe luka.

Punkty nieciągłości pierwszego i drugiego rodzaju

Jeżeli funkcja ma nieciągłość w danym punkcie (czyli granica funkcji w danym punkcie jest nieobecna lub nie pokrywa się z wartością funkcji w danym punkcie), to dla funkcji numerycznych możliwe są dwie opcje związane z istnieniem funkcji numerycznych jednostronne ograniczenia:

jeśli obie granice jednostronne istnieją i są skończone, to taki punkt nazywamy punkt załamania pierwszego rodzaju. Usuwalne punkty nieciągłości są punktami nieciągłości pierwszego rodzaju;

jeśli przynajmniej jedna z granic jednostronnych nie istnieje lub nie jest wartością skończoną, to taki punkt nazywamy punkt załamania drugiego rodzaju.

Asymptota - prosty, który ma tę właściwość, że odległość od punktu krzywej do tego prosty dąży do zera, gdy punkt przesuwa się wzdłuż gałęzi do nieskończoności.

pionowy

Asymptota pionowa - linia graniczna .

Z reguły, określając asymptotę pionową, szukają nie jednej granicy, ale dwóch jednostronnych (lewej i prawej). Odbywa się to w celu określenia, jak zachowuje się funkcja, gdy zbliża się do pionowej asymptoty z różnych kierunków. Na przykład:

Poziomy

Asymptota pozioma - prosty gatunek, podlegający istnieniu limit

.

skośny

Asymptota ukośna - prosty gatunek, podlegający istnieniu granice

Uwaga: Funkcja może mieć nie więcej niż dwie ukośne (poziome) asymptoty.

Uwaga: jeśli co najmniej jedna z dwóch wspomnianych powyżej granic nie istnieje (lub jest równa ), to ukośna asymptota w (lub ) nie istnieje.

jeśli w pkt 2.), to , a granicę wyznacza wzór na asymptotę poziomą, .

6) Znajdowanie przedziałów monotoniczności. Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f(x) (tj. przedziały wzrostu i spadku). Odbywa się to poprzez badanie znaku pochodnej f(x). Aby to zrobić, znajdź pochodną f(x) i rozwiązać nierówności f(x)0. Na przedziałach, w których ta nierówność jest spełniona, funkcja f(x) wzrasta. Gdzie utrzymuje się odwrócona nierówność f(x)0, funkcja f(x) maleje.

Znalezienie lokalnego ekstremum. Po znalezieniu przedziałów monotoniczności możemy od razu wyznaczyć punkty ekstremum lokalnego, w których wzrost zastępuje się spadkiem, istnieją maksima lokalne, a miejsce spadku zastępuje wzrost, minima lokalne. Oblicz wartość funkcji w tych punktach. Jeśli funkcja ma punkty krytyczne, które nie są punktami ekstremów lokalnych, warto obliczyć wartość funkcji również w tych punktach.

Znalezienie największej i najmniejszej wartości funkcji y = f(x) na odcinku(kontynuacja)

1. Znajdź pochodną funkcji: f(x). 2. Znajdź punkty, w których pochodna wynosi zero: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Określ własność punktów X 1 ,X 2 , … człon [ a; b]: niech będzie x 1a;b, a x 2a;b .