Jak znaleźć najmniejszą wartość wzoru funkcji. Jak znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji w ograniczonym obszarze zamkniętym?

Badanie takiego obiektu Analiza matematyczna jak funkcja ma dużą oznaczający oraz w innych dziedzinach nauki. Na przykład w analiza ekonomiczna stale trzeba oceniać zachowanie Funkcje zysk, a mianowicie określenie jego maksimum oznaczający i opracować strategię jego osiągnięcia.

Instrukcja

Badanie każdego zachowania powinno zawsze zaczynać się od poszukiwania dziedziny definicji. Zwykle według warunku Szczególnym zadaniem wymagane jest określenie największej oznaczający Funkcje albo na całym tym obszarze, albo w jego określonym przedziale z otwartymi lub zamkniętymi granicami.

Na podstawie , największy jest oznaczający Funkcje y(x0), w którym dla dowolnego punktu dziedziny definicji jest spełniona nierówność y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Graficznie ten punkt będzie najwyższy, jeśli ułożysz wartości argumentu wzdłuż osi odciętej, a samą funkcję wzdłuż osi rzędnych.

Aby określić największy oznaczający Funkcje, postępuj zgodnie z trzyetapowym algorytmem. Pamiętaj, że musisz umieć pracować z jednostronnym i , a także obliczyć pochodną. Niech więc zostanie podana jakaś funkcja y(x) i trzeba znaleźć jej największą oznaczający w pewnym przedziale z wartościami granicznymi A i B.

Dowiedz się, czy ten przedział mieści się w zakresie Funkcje. Aby to zrobić, musisz to znaleźć, biorąc pod uwagę wszystkie możliwe ograniczenia: obecność ułamka w wyrażeniu, pierwiastek kwadratowy itp. Domeną definicji jest zbiór wartości argumentów, dla których funkcja ma sens. Określ, czy podany przedział jest jego podzbiorem. Jeśli tak, przejdź do następnego kroku.

Znajdź pochodną Funkcje i rozwiąż otrzymane równanie, przyrównując pochodną do zera. W ten sposób uzyskasz wartości tzw. punktów stacjonarnych. Oceń, czy przynajmniej jeden z nich należy do przedziału A, B.

Rozważ te punkty na trzecim etapie, zamień ich wartości na funkcję. Wykonaj następujące dodatkowe kroki w zależności od typu interwału. Jeżeli istnieje odcinek postaci [A, B], punkty graniczne są zawarte w przedziale, co jest oznaczone nawiasami. Oblicz wartości Funkcje dla x = A i x = B. Jeśli otwarty przedział to (A, B), wartości graniczne są przebijane, tj. nie są w nim zawarte. Rozwiąż jednostronne granice dla x→A i x→B. Połączony przedział postaci [A, B) lub (A, B), którego jedna granica należy do niej, a druga nie. Znajdź granicę jednostronną, gdy x dąży do wartości przebicia, i zamień drugą na Nieskończony przedział dwustronny (-∞, +∞) lub jednostronnie nieskończony przedział postaci: , (-∞, B) Dla granic rzeczywistych A i B postępuj według zasad już opisanych, a dla nieskończoności , poszukaj limitów odpowiednio dla x→-∞ i x→+∞.

Zadanie na tym etapie

Niech funkcja y=f(X) ciągły w przedziale [ a, b]. Jak wiadomo taka funkcja osiąga na tym przedziale swoje wartości maksymalne i minimalne. Funkcja może przyjmować te wartości albo w wewnętrznym punkcie segmentu [ a, b] lub na granicy segmentu.

Aby znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji na przedziale [ a, b] niezbędny:

1) znajdź punkty krytyczne funkcji w przedziale ( a, b);

2) obliczyć wartości funkcji w znalezionych punktach krytycznych;

3) obliczyć wartości funkcji na końcach odcinka, czyli dla x=a i x = b;

4) ze wszystkich obliczonych wartości funkcji wybierz największą i najmniejszą.

Przykład. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji

na segmencie.

Znajdowanie punktów krytycznych:

Punkty te leżą wewnątrz segmentu; tak(1) = ‒ 3; tak(2) = ‒ 4; tak(0) = ‒ 8; tak(3) = 1;

w punkcie x= 3 i w punkcie x= 0.

Badanie funkcji wypukłości i punktu przegięcia.

Funkcjonować tak = f (x) nazywa wypukły pomiędzy (a, b) , jeśli jego wykres leży pod styczną narysowaną w dowolnym punkcie tego przedziału i nazywa się wypukły dół (wklęsły) jeśli jego wykres leży powyżej stycznej.

Punkt na przejściu, przez który wypukłość zastępuje się wklęsłością lub odwrotnie, nazywa się punkt przegięcia.

Algorytm do badania wypukłości i punktu przegięcia:

1. Znajdź punkty krytyczne drugiego rodzaju, czyli punkty, w których druga pochodna jest równa zeru lub nie istnieje.

2. Umieść punkty krytyczne na osi liczbowej, dzieląc ją na przedziały. Znajdź znak drugiej pochodnej na każdym przedziale; jeżeli , to funkcja jest wypukła do góry, jeżeli, to funkcja jest wypukła do dołu.

3. Jeżeli przechodząc przez punkt krytyczny drugiego rodzaju zmienia znak iw tym miejscu druga pochodna jest równa zero, to ten punkt jest odciętą punktu przegięcia. Znajdź jego rzędną.

Asymptoty wykresu funkcji. Badanie funkcji na asymptoty.

Definicja. Asymptota wykresu funkcji nazywa się prosty, który ma tę właściwość, że odległość od dowolnego punktu wykresu do tej linii dąży do zera z nieograniczonym usuwaniem punktu wykresu z początku.

Istnieją trzy rodzaje asymptot: pionowe, poziome i nachylone.

Definicja. Bezpośrednio nazywany pionowa asymptota wykres funkcji y = f(x), jeśli przynajmniej jedna z granic jednostronnych funkcji w tym punkcie jest równa nieskończoności, czyli

gdzie jest punkt nieciągłości funkcji, to znaczy nie należy do dziedziny definicji.

Przykład.

D( tak) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - punkt załamania.

Definicja. Prosty y=A nazywa asymptota pozioma wykres funkcji y = f(x) o , jeśli

Przykład.

x
tak

Definicja. Prosty y=kx +b (k≠ 0) nazywa się asymptota ukośna wykres funkcji y = f(x) w , gdzie

Ogólny schemat badania funkcji i kreślenia.

Algorytm badania funkcjiy = f(x) :

1. Znajdź dziedzinę funkcji D (tak).

2. Znajdź (jeśli to możliwe) punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych (z x= 0 i w tak = 0).

3. Zbadaj funkcje parzyste i nieparzyste ( tak (‒ x) = tak (x) ‒ parytet; tak(‒ x) = ‒ tak (x) ‒ dziwne).

4. Znajdź asymptoty wykresu funkcji.

5. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji.

6. Znajdź ekstrema funkcji.

7. Znajdź przedziały wypukłości (wklęsłości) i punkty przegięcia wykresu funkcji.

8. Na podstawie przeprowadzonych badań skonstruuj wykres funkcji.

Przykład. Zbadaj funkcję i wykreśl jej wykres.

1) D (tak) =

x= 4 - punkt załamania.

2) Kiedy x = 0,

(0; – 5) – punkt przecięcia z oj.

Na tak = 0,

3) tak(‒ x)= funkcjonować ogólny widok(ani parzyste, ani nieparzyste).

4) Badamy asymptoty.

a) pionowy

b) poziomy

c) znajdź ukośne asymptoty gdzie

‒ukośne równanie asymptoty

5) B podane równanie nie jest wymagane znajdowanie przedziałów monotoniczności funkcji.

6)

Te punkty krytyczne dzielą całą dziedzinę funkcji na przedział (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) i (10; +∞). Otrzymane wyniki wygodnie jest przedstawić w postaci poniższej tabeli.

Dzięki tej usłudze możesz znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji jedna zmienna f(x) z projektem rozwiązania w programie Word. Jeżeli dana jest funkcja f(x,y), to konieczne jest znalezienie ekstremum funkcji dwóch zmiennych . Można również znaleźć przedziały wzrostu i spadku funkcji.

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji

y=

na odcinku [ ;]

Uwzględnij teorię

Zasady wprowadzania funkcji:

Warunek konieczny dla ekstremum funkcji jednej zmiennej

Równanie f" 0 (x *) = 0 to warunek konieczny ekstremum funkcji jednej zmiennej, czyli w punkcie x * musi zniknąć pierwsza pochodna funkcji. Wybiera stacjonarne punkty x c, w których funkcja nie zwiększa się ani nie zmniejsza.

Warunek wystarczający dla ekstremum funkcji jednej zmiennej

Niech f 0 (x) będzie dwukrotnie różniczkowalny względem x należącego do zbioru D . Jeżeli w punkcie x * warunek jest spełniony:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Wtedy punkt x * jest punktem lokalnego (globalnego) minimum funkcji.

Jeżeli w punkcie x * warunek jest spełniony:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Ten punkt x * to lokalne (globalne) maksimum.

Przykład 1. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji: na segmencie .
Decyzja.

Punktem krytycznym jest jeden x 1 = 2 (f'(x)=0). Ten punkt należy do segmentu . (Punkt x=0 nie jest krytyczny, ponieważ 0∉).
Obliczamy wartości funkcji na końcach odcinka oraz w punkcie krytycznym.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Odpowiedź: f min = 5 / 2 dla x=2; fmax =9 przy x=1

Przykład #2. Używając pochodnych wyższego rzędu, znajdź ekstremum funkcji y=x-2sin(x) .
Decyzja.
Znajdź pochodną funkcji: y’=1-2cos(x) . Znajdźmy punkty krytyczne: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Znajdujemy y''=2sin(x), obliczamy , więc x= π / 3 +2πk, k∈Z są minimalnymi punktami funkcji; , więc x=- π / 3 +2πk, k∈Z są maksymalnymi punktami funkcji.

Przykład #3. Zbadaj funkcję ekstremum w sąsiedztwie punktu x=0.
Decyzja. Tutaj konieczne jest znalezienie ekstremów funkcji. Jeśli ekstremum x=0 , sprawdź jego typ (minimum lub maksimum). Jeżeli wśród znalezionych punktów nie ma x = 0, to oblicz wartość funkcji f(x=0).
Zauważ, że gdy pochodna po każdej stronie danego punktu nie zmienia swojego znaku, nie są wyczerpane możliwe sytuacje nawet dla funkcji różniczkowalnych: może się zdarzyć, że dla dowolnie małego sąsiedztwa po jednej stronie punktu x 0 lub po obu stronach pochodna zmienia znak. W tych punktach trzeba zastosować inne metody do badania funkcji do ekstremum.

Jak znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji na segmencie?

Dla tego postępujemy zgodnie ze znanym algorytmem:

1 . Znajdujemy funkcje ODZ.

2 . Znajdowanie pochodnej funkcji

3 . Zrównaj pochodną do zera

4 . Znajdujemy przedziały, na których pochodna zachowuje swój znak, i z nich wyznaczamy przedziały wzrostu i spadku funkcji:

Jeżeli na przedziale I pochodna funkcji 0" title="(!LANG:f^(prim)(x)>0">, то функция !} wzrasta w tym przedziale.

Jeżeli na przedziale I pochodna funkcji , to funkcja zmniejsza się w tym przedziale.

5 . Znaleźliśmy maksymalne i minimalne punkty funkcji.

W punkt maksimum funkcji, pochodna zmienia znak z „+” na „-”.

W minimalny punkt funkcjizmiany pochodne znak z "-" na "+".

6 . Znajdujemy wartość funkcji na końcach odcinka,

• następnie porównujemy wartość funkcji na końcach odcinka i w punktach maksymalnych, a wybierz największą z nich, jeśli chcesz znaleźć największą wartość funkcji
• lub porównujemy wartość funkcji na końcach odcinka i w punktach minimalnych, a wybierz najmniejszą z nich, jeśli chcesz znaleźć najmniejszą wartość funkcji

Jednak w zależności od tego, jak funkcja zachowuje się na przedziale, algorytm ten może zostać znacznie skrócony.

Rozważ funkcję . Wykres tej funkcji wygląda tak:

Rozważmy kilka przykładów rozwiązywania problemów z Otwartego Banku Zadań dla

jeden . Zadanie B15 (#26695)

Na kroju.

1. Funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich rzeczywistych wartości x

Oczywiście to równanie nie ma rozwiązań, a pochodna jest dodatnia dla wszystkich wartości x. Dlatego funkcja rośnie i przyjmuje największą wartość na prawym końcu przedziału, czyli przy x=0.

Odpowiedź: 5.

2 . Zadanie B15 (nr 26702)

Znajdź największą wartość funkcji na segmencie.

1. Funkcja ODZ title="(!JĘZYK:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Pochodna wynosi zero w , jednak w tych punktach nie zmienia znaku:

Dlatego title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} zwiększa się i przyjmuje największą wartość na prawym końcu przedziału, w .

Aby wyjaśnić, dlaczego pochodna nie zmienia znaku, przekształcamy wyrażenie na pochodną w następujący sposób:

Title="(!LANG:y^(prim)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Odpowiedź: 5.

3 . Zadanie B15 (#26708)

Znajdź najmniejszą wartość funkcji w przedziale .

1. Funkcje ODZ: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Umieśćmy pierwiastki tego równania na okręgu trygonometrycznym.

Przedział zawiera dwie liczby: i

Rozmieśćmy znaki. W tym celu wyznaczamy znak pochodnej w punkcie x=0: . Przy przejściu przez punkty i pochodną zmienia się znak.

Zobrazujmy zmianę znaków pochodnej funkcji na linii współrzędnych:

Punkt jest oczywiście punktem minimalnym (gdzie pochodna zmienia znak z „-” na „+”) i aby znaleźć najmniejszą wartość funkcji na odcinku, należy porównać wartości funkcji na punkt minimalny i na lewym końcu odcinka, .

drobna i ładna proste zadanie z kategorii tych, które służą jako koło ratunkowe dla pływającego ucznia. Na łonie natury senna kraina połowy lipca, więc czas osiąść z laptopem na plaży. Wczesnym rankiem zaczął grać promień teorii, by wkrótce skupić się na praktyce, która mimo deklarowanej lekkości zawiera w piasku odłamki szkła. W związku z tym polecam sumiennie rozważyć kilka przykładów z tej strony. Aby rozwiązywać praktyczne zadania, musisz umieć znajdź pochodne i zrozumieć materiał artykułu Przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji.

Najpierw krótko o tym, co najważniejsze. W lekcji o ciągłość funkcji Podałem definicję ciągłości w punkcie i ciągłości w przedziale. W podobny sposób formułuje się przykładowe zachowanie funkcji na odcinku. Funkcja jest ciągła na segmencie, jeżeli:

1) jest ciągła na przedziale ;
2) ciągły w punkcie po prawej i w punkcie lewy.

Drugi akapit dotyczy tzw jednostronna ciągłość funkcje w punkcie. Jest kilka podejść do jego definicji, ale pozostanę przy linii rozpoczętej wcześniej:

Funkcja jest ciągła w punkcie po prawej, jeśli jest zdefiniowana w danym punkcie, a jej prawa granica pokrywa się z wartością funkcji w danym punkcie: . W punkcie jest ciągły lewy, jeśli jest zdefiniowany w danym punkcie, a jego lewa granica jest równa wartości w tym punkcie:

Wyobraź sobie, że zielone kropki to gwoździe, na których przymocowana jest magiczna gumka:

Mentalnie weź czerwoną linię w swoje ręce. Oczywiście bez względu na to, jak daleko rozciągniemy wykres w górę iw dół (wzdłuż osi), funkcja nadal pozostanie ograniczony- żywopłot powyżej, żywopłot poniżej, a nasz produkt pasie się na padoku. Zatem, funkcja ciągła na odcinku jest na nim ograniczona. W toku analizy matematycznej ten pozornie prosty fakt zostaje stwierdzony i rygorystycznie udowodniony Pierwsze twierdzenie Weierstrassa.… Wiele osób jest zirytowanych, że zdania elementarne są żmudnie uzasadniane w matematyce, ale ma to ważne znaczenie. Załóżmy, że pewien mieszkaniec średniowiecza frotte wyciągnął wykres w niebo poza granice widoczności, ten został wstawiony. Przed wynalezieniem teleskopu ograniczona funkcja w kosmosie wcale nie była oczywista! Rzeczywiście, skąd wiesz, co nas czeka za horyzontem? Wszakże kiedyś Ziemia była uważana za płaską, więc dzisiaj nawet zwykła teleportacja wymaga dowodu =)

Według drugie twierdzenie Weierstrassa, ciągły na segmenciefunkcja osiąga swoje dokładna górna krawędź i jego dokładna dolna krawędź .

Numer jest również nazywany maksymalna wartość funkcji na segmencie i oznaczone przez , a liczba - minimalna wartość funkcji na odcinku oznaczone .

W naszym przypadku:

Notatka : teoretycznie zapisy są powszechne .

Z grubsza rzecz biorąc, największa wartość znajduje się w najwyższym punkcie wykresu, a najmniejsza w najniższym punkcie.

Ważny! Jak już wskazano w artykule na temat ekstrema funkcji, największa wartość funkcji oraz najmniejsza wartość funkcji – NIE TEN SAM, Co funkcja maksymalna oraz funkcja minimum. Tak więc w tym przykładzie liczba jest minimum funkcji, ale nie wartością minimalną.

A propos, co dzieje się poza segmentem? Tak, nawet powódź, w kontekście rozważanego problemu, wcale nas to nie interesuje. Zadanie polega tylko na znalezieniu dwóch liczb i to wszystko!

Ponadto rozwiązanie ma charakter czysto analityczny, dlatego nie trzeba rysować!

Algorytm leży na powierzchni i sugeruje się z powyższego rysunku:

1) Znajdź wartości funkcji w punkt krytyczny, należące do tego segmentu.

Złap jeszcze jeden smakołyk: nie ma potrzeby sprawdzania wystarczającego warunku dla ekstremum, ponieważ, jak właśnie pokazano, obecność minimum lub maksimum jeszcze nie gwarantowane jaka jest minimalna lub maksymalna wartość. Funkcja demonstracyjna osiąga swoje maksimum i z woli losu ta sama liczba jest największą wartością funkcji na przedziale . Ale oczywiście taki zbieg okoliczności nie zawsze ma miejsce.

Tak więc w pierwszym kroku szybciej i łatwiej obliczyć wartości funkcji w krytycznych punktach należących do segmentu, nie przejmując się tym, czy mają ekstrema, czy nie.

2) Obliczamy wartości funkcji na końcach segmentu.

3) Wśród wartości funkcji znajdujących się w akapicie 1 i 2 wybieramy najmniejszą i największą duża liczba, zapisz odpowiedź.

Siedzimy na brzegu błękitnego morza i uderzamy po piętach w płytkiej wodzie:

Przykład 1

Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji na segmencie

Decyzja:
1) Oblicz wartości funkcji w krytycznych punktach należących do tego segmentu:

Obliczmy wartość funkcji w drugim punkcie krytycznym:

2) Oblicz wartości funkcji na końcach segmentu:

3) „Pogrubione” wyniki uzyskano z wykładnikami i logarytmami, co znacznie komplikuje ich porównanie. Z tego powodu uzbroimy się w kalkulator lub Excela i obliczymy przybliżone wartości, nie zapominając o tym, że:

Teraz wszystko jest jasne.

Odpowiedź:

Instancja ułamkowo-racjonalna dla niezależne rozwiązanie:

Przykład 6

Znajdź maksimum i minimalna wartość funkcje na interwale