Jest to wykres funkcji y kx b. Funkcja liniowa

Instrukcja

Jeżeli wykres jest linią prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i tworzącą kąt α z osią OX (kąt nachylenia linii prostej do dodatniej półosi OX). Funkcja opisująca tę linię będzie wyglądać tak: y = kx. Współczynnik proporcjonalności k jest równy tg α. Jeśli linia przechodzi przez drugą i czwartą ćwiartkę współrzędnych, to k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 i funkcja rośnie. Niech będzie to linia prosta położona na różne sposoby względem osi współrzędnych. Jest to funkcja liniowa i ma postać y = kx + b, gdzie zmienne x i y są w pierwszej potędze, a k i b mogą przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne lub równe zero. Prosta jest równoległa do prostej y = kx i odcina się na osi |b| jednostki. Jeżeli linia prosta jest równoległa do osi odciętej, to k = 0, jeżeli oś rzędnych, to równanie ma postać x = const.

Krzywa składająca się z dwóch gałęzi znajdujących się w różnych ćwiartkach i symetryczna względem początku, hiperbola. Ten wykres odwrotna zależność zmienna y od x i jest opisana równaniem y = k/x. Tutaj k ≠ 0 jest współczynnikiem proporcjonalności. Ponadto, jeśli k > 0, funkcja maleje; jeśli k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в kąty współrzędnych.

Funkcja kwadratowa ma postać y = ax2 + bx + c, gdzie a, b i c są stałymi, a a  0. Gdy warunek b = c = 0 jest spełniony, równanie funkcji wygląda tak: y = ax2 ( najprostszy przypadek), a jego wykres jest parabolą przechodzącą przez początek. Wykres funkcji y = ax2 + bx + c ma taką samą postać jak najprostszy przypadek funkcji, ale jej wierzchołek (punkt przecięcia z osią OY) nie leży w początku.

Parabola jest również wykresem funkcji potęgowej wyrażonej równaniem y = xⁿ, jeśli n jest dowolną liczbą parzystą. Jeśli n jest dowolne liczba nieparzysta, wykres takiej funkcji potęgowej będzie wyglądał jak parabola sześcienna.
Jeśli n jest dowolne , równanie funkcji przyjmuje postać. Wykres funkcji dla nieparzystego n będzie hiperbolą, a dla parzystego n ich gałęzie będą symetryczne względem osi op-y.

Nawet w latach szkolnych funkcje są szczegółowo badane i budowane są ich wykresy. Ale niestety praktycznie nie uczą odczytywania wykresu funkcji i znajdowania jej typu zgodnie z przedstawionym rysunkiem. To całkiem proste, jeśli pamiętasz podstawowe typy funkcji.

Instrukcja

Jeżeli prezentowanym wykresem jest , czyli poprzez początek i oś OX kąt α (który jest kątem nachylenia prostej do dodatniej półosi), to funkcja opisująca taką prostą będzie reprezentowana jako y = kx. W tym przypadku współczynnik proporcjonalności k równy tangens kąt α.

Jeżeli dana linia przechodzi przez drugą i czwartą ćwiartkę współrzędnych, to k wynosi 0 i funkcja rośnie. Niech prezentowany wykres będzie linią prostą położoną w dowolny sposób względem osi współrzędnych. Wtedy funkcja takiego grafika będzie liniowa, co jest reprezentowane przez postać y = kx + b, gdzie zmienne y i x znajdują się w pierwszej , a b i k mogą przyjmować zarówno wartości ujemne, jak i dodatnie lub .

Jeśli linia jest równoległa do linii z wykresem y = kx i odcina b jednostek na osi y, to równanie ma postać x = const, jeśli wykres jest równoległy do ​​osi x, to k = 0 .

Linia zakrzywiona, która składa się z dwóch odgałęzień, symetrycznych względem początku i znajdujących się w różnych ćwiartkach, hiperboli. Wykres taki pokazuje odwrotną zależność zmiennej y od zmiennej x i jest opisany równaniem postaci y = k/x, gdzie k nie powinno być równe zeru, gdyż jest to współczynnik odwrotna proporcjonalność. W takim przypadku, jeśli wartość k jest większa od zera, funkcja maleje; jeśli k jest mniejsze od zera, wzrasta.

Jeśli proponowany graf jest parabolą przechodzącą przez początek układu współrzędnych, jego funkcja, jeśli spełniony jest warunek b = c = 0, będzie wyglądać tak, jak y = ax2. To najprostszy przypadek funkcja kwadratowa. Wykres funkcji o postaci y = ax2 + bx + c będzie miał taką samą postać jak najprostszy przypadek, jednak wierzchołek (punkt przecięcia wykresu z osią y) nie będzie miał początku. W funkcji kwadratowej reprezentowanej przez postać y = ax2 + bx + c, wartości a, b i c są stałe, a a nie jest równe zeru.

Parabola może być również wykresem funkcji potęgowej wyrażonej równaniem postaci y = xⁿ, tylko jeśli n jest liczbą parzystą. Jeżeli wartość n jest liczbą nieparzystą, to taki wykres funkcji potęgowej będzie reprezentowany przez parabolę sześcienną. Jeśli zmienna n jest dowolna Liczba ujemna równanie funkcji przyjmuje postać .

Powiązane wideo

Współrzędna absolutnie dowolnego punktu na płaszczyźnie jest określona przez jego dwie wartości: wzdłuż osi odciętej i osi rzędnych. Zbiór wielu takich punktów to wykres funkcji. Zgodnie z nim możesz zobaczyć, jak zmienia się wartość Y w zależności od zmiany wartości X. Możesz także określić, w którym odcinku (przedziale) funkcja wzrasta, a w którym maleje.

Instrukcja

Co można powiedzieć o funkcji, której wykres jest linią prostą? Sprawdź, czy ta linia przechodzi przez początek współrzędnych (czyli ten, w którym wartości X i Y wynoszą 0). Jeśli przejdzie, to taka funkcja jest opisana równaniem y = kx. Łatwo zrozumieć, że im większa wartość k, tym linia ta będzie bliżej osi y. A sama oś Y faktycznie odpowiada nieskończenie bardzo ważne k.

W tym artykule przyjrzymy się funkcja liniowa, wykres funkcji liniowej i jego własności. I jak zwykle rozwiążemy kilka problemów na ten temat.

Funkcja liniowa nazywana jest funkcją postaci

W równaniu funkcji liczba, przez którą pomnożymy, nazywana jest współczynnikiem nachylenia.

Na przykład w równaniu funkcji ;

w równaniu funkcji ;

w równaniu funkcji ;

w równaniu funkcji.

Wykres funkcji liniowej jest linią prostą.

jeden . Aby wykreślić funkcję, potrzebujemy współrzędnych dwóch punktów należących do wykresu funkcji. Aby je znaleźć, musisz wziąć dwie wartości x, zastąpić je równaniem funkcji i obliczyć z nich odpowiednie wartości y.

Na przykład, aby wykreślić funkcję , wygodnie jest przyjąć i , wtedy rzędne tych punktów będą równe i .

Otrzymujemy punkty A(0;2) i B(3;3). Połączmy je i uzyskajmy wykres funkcji:

2 . W równaniu funkcji współczynnik odpowiada za nachylenie wykresu funkcji:

Title="(!JĘZYK:k>0">!}

Współczynnik odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż osi:

Title="(!JĘZYK:b>0">!}

Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji; ;

Zauważ, że we wszystkich tych funkcjach współczynnik Powyżej zera Prawidłowy. Co więcej, niż więcej wartości, tym bardziej stroma idzie linia prosta.

We wszystkich funkcjach - i widzimy, że wszystkie wykresy przecinają oś OY w punkcie (0;3)

Rozważmy teraz wykresy funkcji; ;

Tym razem we wszystkich funkcjach współczynnik mniej niż zero, a wszystkie wykresy funkcji są przekrzywione w lewo.

Zauważ, że im większe |k|, tym bardziej stromo idzie linia. Współczynnik b jest taki sam, b=3, a wykresy tak jak w poprzednim przypadku przecinają oś OY w punkcie (0;3)

Rozważ wykresy funkcji ; ;

Teraz we wszystkich równaniach funkcji współczynniki są równe. I mamy trzy równoległe linie.

Ale współczynniki b są różne, a te wykresy przecinają oś OY w różnych punktach:

Wykres funkcji (b=3) przecina oś OY w punkcie (0;3)

Wykres funkcji (b=0) przecina oś OY w punkcie (0;0) - początku.

Wykres funkcji (b=-2) przecina oś OY w punkcie (0;-2)

Jeśli więc znamy znaki współczynników k i b, to od razu możemy sobie wyobrazić, jak wygląda wykres funkcji.

Jeśli k<0 и b>0 , wtedy wykres funkcji wygląda tak:

Jeśli k>0 i b>0 , wtedy wykres funkcji wygląda tak:

Jeśli k>0 i b<0 , wtedy wykres funkcji wygląda tak:

Jeśli k<0 и b<0 , wtedy wykres funkcji wygląda tak:

Jeśli k=0 , wtedy funkcja zamienia się w funkcję, a jej wykres wygląda następująco:

Rzędne wszystkich punktów wykresu funkcji są równe

Jeśli b=0, to wykres funkcji przechodzi przez początek:

To jest wykres bezpośredniej proporcjonalności.

3 . Oddzielnie zaznaczam wykres równania. Wykres tego równania jest linią prostą równoległą do osi, której wszystkie punkty mają odciętą.

Na przykład wykres równania wygląda tak:

Uwaga! Równanie nie jest funkcją, ponieważ różne wartości argumentu odpowiadają tej samej wartości funkcji, która nie odpowiada .

4 . Warunek równoległości dwóch linii:

Wykres funkcji równolegle do wykresu funkcji, jeśli

5. Warunek prostopadłości dwóch linii:

Wykres funkcji prostopadle do wykresu funkcji jeśli lub

6. Punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych.

z osią OY. Odcięta dowolnego punktu należącego do osi OY jest równa zeru. Dlatego, aby znaleźć punkt przecięcia z osią OY, musisz zastąpić zero zamiast x w równaniu funkcji. Otrzymujemy y=b. Oznacza to, że punkt przecięcia z osią OY ma współrzędne (0;b).

Z osią OX: Rzędna dowolnego punktu należącego do osi OX wynosi zero. Dlatego, aby znaleźć punkt przecięcia z osią OX, musisz zastąpić zero zamiast y w równaniu funkcji. Otrzymujemy 0=kx+b. Stąd. Oznacza to, że punkt przecięcia z osią OX ma współrzędne (; 0):

Rozważ rozwiązywanie problemów.

jeden . Zbuduj wykres funkcji, jeśli wiadomo, że przechodzi ona przez punkt A (-3; 2) i jest równoległa do linii y \u003d -4x.

W równaniu funkcji występują dwa nieznane parametry: k i b. Dlatego w tekście zadania powinny znajdować się dwa warunki charakteryzujące wykres funkcji.

a) Z faktu, że wykres funkcji jest równoległy do ​​prostej y=-4x wynika, że ​​k=-4. Oznacza to, że równanie funkcji ma postać

b) Pozostaje nam znaleźć b. Wiadomo, że wykres funkcji przechodzi przez punkt A (-3; 2). Jeśli punkt należy do wykresu funkcji, to podstawiając jego współrzędne do równania funkcji, otrzymujemy poprawną równość:

stąd b=-10

Dlatego musimy wykreślić funkcję

Znamy punkt A(-3;2), weźmy punkt B(0;-10)

Umieśćmy te punkty na płaszczyźnie współrzędnych i połączmy je linią prostą:

2. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1;1); B(2;4).

Jeżeli prosta przechodzi przez punkty o podanych współrzędnych, to współrzędne punktów spełniają równanie prostej. To znaczy, jeśli podstawimy współrzędne punktów do równania linii prostej, otrzymamy poprawną równość.

Podstaw współrzędne każdego punktu w równaniu i uzyskaj układ równania liniowe.

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego równania układu i otrzymujemy . Podstaw wartość k w pierwszym równaniu układu i otrzymaj b=-2.

A więc równanie linii prostej.

3 . Wykreśl równanie

Aby dowiedzieć się, przy jakich wartościach nieznanej iloczyn kilku czynników jest równy zeru, należy zrównać każdy czynnik do zera i wziąć pod uwagę każdy mnożnik.

To równanie nie ma ograniczeń dotyczących ODZ. Rozłóżmy drugi nawias na czynniki i przyrównajmy każdy czynnik do zera. Otrzymujemy zestaw równań:

Konstruujemy wykresy wszystkich równań zbioru w jednej płaszczyźnie współrzędnych. To jest wykres równania :

4 . Zbuduj wykres funkcji, jeśli jest prostopadła do prostej i przechodzi przez punkt M (-1; 2)

Nie będziemy budować wykresu, znajdziemy tylko równanie prostej.

a) Ponieważ wykres funkcji, jeśli jest prostopadły do ​​linii prostej, to stąd. Oznacza to, że równanie funkcji ma postać

b) Wiemy, że wykres funkcji przechodzi przez punkt M (-1; 2). Podstaw jego współrzędne do równania funkcji. Otrzymujemy:

Stąd.

Dlatego nasza funkcja wygląda tak: .

5 . Wykreśl funkcję

Uprośćmy wyrażenie po prawej stronie równania funkcji.

Ważny! Zanim uprościmy wyrażenie, znajdźmy jego ODZ.

Mianownik ułamka nie może wynosić zero, więc title="(!LANG:x1">, title="x-1">.!}

Wtedy nasza funkcja staje się:

Title="(!LANG:delim(lnawias)(macierz(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

Oznacza to, że musimy zbudować wykres funkcji i wskazać na nim dwa punkty: z odciętymi x=1 i x=-1:

„Punkty krytyczne funkcji” - Punkty krytyczne. Wśród punktów krytycznych znajdują się punkty ekstremalne. Warunek konieczny ekstremum. Odpowiedź: 2. Definicja. Ale jeśli f "(x0) = 0, to nie jest konieczne, aby punkt x0 był punktem ekstremalnym. Punkty ekstremalne (powtórzenie). Punkty krytyczne funkcji. Punkty ekstremalne.

"Płaszczyzna współrzędnych klasa 6" - Matematyka klasa 6. 1. X. 1. Znajdź i zapisz współrzędne punkty A,B, C, D: -6. Płaszczyzna współrzędnych. O. -3. 7. W.

„Funkcje i ich wykresy” – Ciągłość. Największy i najmniejsza wartość Funkcje. pojęcie funkcja odwrotna. Liniowy. Logarytmiczny. Monotonia. Jeśli k > 0, to utworzony kąt jest ostry, jeśli k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

"Functions Grade 9" - Dopuszczalne operacje arytmetyczne na funkcjach. [+] - dodawanie, [-] - odejmowanie, [*] - mnożenie, [:] - dzielenie. W takich przypadkach mówi się o zadanie graficzne Funkcje. Edukacja klasowa podstawowe funkcje. Funkcja zasilania y=x0,5. Iovlev Maxim Nikolaevich, uczeń 9 klasy szkoły RIOU Raduzhskaya.

„Równanie stycznej lekcji” - 1. Wyjaśnij pojęcie stycznej do wykresu funkcji. Leibniz rozważał problem rysowania stycznej do dowolnej krzywej. ALGORYTM DO UKŁADANIA RÓWNANIA FUNKCJI stycznej do WYKRESU y=f(x). Temat lekcji: Test: znajdź pochodną funkcji. Równanie styczne. Fluktuacja. Klasa 10. Odszyfruj, jak Izaak Newton nazwał pochodną funkcji.

„Zbuduj wykres funkcji” — podana jest funkcja y=3cosx. Wykres funkcji y=m*sin x. Sporządź wykres funkcji. Treść: podano funkcję: y=sin (x+?/2). Rozciągnięcie wykresu y=cosx wzdłuż osi y. Aby kontynuować, naciśnij L. Przycisk myszy. Podana jest funkcja y=cosx+1. Przesunięcia wykresu y=sinx w pionie. Podana jest funkcja y=3sinx. Przesunięcie wykresu y=cosx w poziomie.

Łącznie w temacie jest 25 prezentacji

Instrukcja

Istnieje kilka sposobów rozwiązywania funkcji liniowych. Przyjrzyjmy się większości z nich. Najczęściej używane metoda krok po kroku substytucje. W jednym z równań konieczne jest wyrażenie jednej zmiennej w kategoriach innej i zastąpienie jej innym równaniem. I tak dalej, aż w jednym z równań pozostanie tylko jedna zmienna. Aby go rozwiązać, musisz pozostawić zmienną po jednej stronie znaku równości (może to być ze współczynnikiem), a po drugiej stronie znaku równości wszystkie dane liczbowe, nie zapominając o zmianie znaku liczby na odwrotnie przy przenoszeniu. Po obliczeniu jednej zmiennej zastąp ją innymi wyrażeniami, kontynuuj obliczenia według tego samego algorytmu.

Weźmy na przykład system liniowy Funkcje, składający się z dwóch równań:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Z drugiego równania wygodnie jest wyrazić x:
x=y+2.
Jak widać, przy przenoszeniu z jednej części równości na drugą, zmienił się znak i zmienne, jak opisano powyżej.
Otrzymane wyrażenie podstawiamy do pierwszego równania, wyłączając z niego zmienną x:
2*(y+2)+y-7=0.
Rozwijanie nawiasów:
2 lata+4+r-7=0.
Komponujemy zmienne i liczby, dodajemy je:
3lat-3=0.
Przechodzimy na prawą stronę równania, zmieniamy znak:
3 lata=3.
Dzielić przez ogólny stosunek, otrzymujemy:
y=1.
Podstaw wynikową wartość do pierwszego wyrażenia:
x=y+2.
Otrzymujemy x=3.

Innym sposobem rozwiązania podobnych równań jest uwzględnienie dwóch równań semestr po semestrze, aby uzyskać nowe z jedną zmienną. Równanie można pomnożyć przez pewien współczynnik, najważniejsze jest pomnożenie każdego członu równania i nie zapomnienie, a następnie dodanie lub odjęcie jednego równania. Ta metoda dużo oszczędza przy wyszukiwaniu liniowych Funkcje.

Weźmy znany już układ równań z dwiema zmiennymi:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Łatwo zauważyć, że współczynnik zmiennej y jest identyczny w pierwszym i drugim równaniu i różni się tylko znakiem. Oznacza to, że dodając te dwa równania wyraz po wyrazie, otrzymujemy nowe, ale z jedną zmienną.
2x+x+y-y-7-2=0;
3x-9=0.
Przenosimy dane liczbowe na prawą stronę równania, zmieniając znak:
3x=9.
Znalezienie wspólnego czynnika równy współczynnikowi stojąc na x i podziel przez niego obie strony równania:
x=3.
Wynikowy można podstawić do dowolnego równania układu, aby obliczyć y:
x-y-2=0;
3-y-2=0;
-y+1=0;
-y=-1;
y=1.

Możesz także obliczyć dane, kreśląc dokładny wykres. Aby to zrobić, musisz znaleźć zera Funkcje. Jeśli jedna ze zmiennych jest równa zeru, to taką funkcję nazywamy jednorodną. Rozwiązując takie równania uzyskasz dwa punkty potrzebne i wystarczające do zbudowania linii prostej - jeden z nich będzie znajdował się na osi x, drugi na osi y.

Bierzemy dowolne równanie systemu i podstawiamy tam wartość x \u003d 0:
2*0+y-7=0;
Otrzymujemy y=7. Zatem pierwszy punkt, nazwijmy go A, będzie miał współrzędne A (0; 7).
Aby obliczyć punkt leżący na osi x, wygodnie jest podstawić wartość y \u003d 0 do drugiego równania układu:
x-0-2=0;
x=2.
Drugi punkt (B) będzie miał współrzędne B (2;0).
Uzyskane punkty zaznaczamy na siatce współrzędnych i przecinamy je linią prostą. Jeśli zbudujesz go dość dokładnie, inne wartości x i y można obliczyć bezpośrednio z niego.