Na co wpływa c w funkcji kwadratowej. Samouczki wideo z parabolą. IV przypadek pojawia się „b”

Funkcja postaci , gdzie nazywa się funkcja kwadratowa.

Harmonogram funkcja kwadratowa – parabola.

Rozważ przypadki:

PRZYPADEK I, KLASYCZNA PARABOLA

Tj , ,

Aby zbudować, wypełnij tabelę, podstawiając wartości x do wzoru:

Zaznacz punkty (0;0); (1;1); (-1;1) itd. na płaszczyźnie współrzędnych (w mniejszym kroku przyjmujemy wartości x (in ta sprawa krok 1), a im więcej wartości x przyjmiemy, tym krzywa będzie gładsza), otrzymamy parabolę:

Łatwo zauważyć, że jeśli weźmiemy przypadek , , , czyli otrzymamy parabolę symetryczną względem osi (wół). Łatwo to zweryfikować, wypełniając podobną tabelę:

II PRZYPADEK „A” INNY OD JEDNEGO

Co się stanie, jeśli weźmiemy , , ? Jak zmieni się zachowanie paraboli? Z tytułem="(!LANG:Renderowane przez QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Pierwszy rysunek (patrz wyżej) wyraźnie pokazuje, że punkty z tabeli dla paraboli (1;1), (-1;1) zostały przekształcone w punkty (1;4), (1;-4), czyli przy tych samych wartościach rzędna każdego punktu jest mnożona przez 4. To się stanie ze wszystkimi kluczowymi punktami oryginalnej tabeli. Podobnie argumentujemy w przypadku zdjęć 2 i 3.

A kiedy parabola „staje się szersza” parabola:

Podsumujmy:

1)Znak współczynnika odpowiada za kierunek gałęzi. Z tytułem="(!LANG:Renderowane przez QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Całkowita wartość współczynnik (moduł) odpowiada za „rozciąganie”, „ściskanie” paraboli. Im większa , im węższa parabola, im mniejsza |a|, tym szersza parabola.

PRZYPADEK III, POJAWIA SIĘ „C”

Teraz weźmy w grę (to znaczy rozważmy przypadek, w którym ), rozważymy parabole postaci . Łatwo się domyślić (zawsze można odnieść się do tabeli), że parabola będzie przesuwać się w górę lub w dół wzdłuż osi, w zależności od znaku:

PRZYPADEK IV, POJAWI SIĘ „b”

Kiedy parabola „oderwie się” od osi i wreszcie „będzie chodzić” wzdłuż całej płaszczyzny współrzędnych? Kiedy przestaje być równy.

Tutaj, aby skonstruować parabolę, potrzebujemy wzór na obliczenie wierzchołka: , .

Więc w tym momencie (jak w punkcie (0; 0) nowy system współrzędnych) zbudujemy parabolę, która jest już w naszej mocy. Jeśli mamy do czynienia z przypadkiem, to od góry odstawiamy jeden odcinek w prawo, jeden w górę - otrzymany punkt jest nasz (podobnie krok w lewo, krok w górę jest naszym punktem); jeśli mamy do czynienia np. to od góry odkładamy jeden pojedynczy segment w prawo, dwa – w górę itd.

Na przykład wierzchołek paraboli:

Najważniejszą rzeczą do zrozumienia jest to, że w tym wierzchołku zbudujemy parabolę zgodnie z szablonem paraboli, ponieważ w naszym przypadku.

Podczas konstruowania paraboli po znalezieniu współrzędnych wierzchołka jest bardzoWygodnie jest wziąć pod uwagę następujące punkty:

1) parabola musi przejść przez punkt . Rzeczywiście, podstawiając x=0 do wzoru, otrzymujemy . To znaczy rzędna punktu przecięcia paraboli z osią (oy), to jest. W naszym przykładzie (powyżej) parabola przecina oś y w , ponieważ .

2) oś symetrii parabole jest linią prostą, więc wszystkie punkty paraboli będą względem niej symetryczne. W naszym przykładzie od razu bierzemy punkt (0; -2) i budujemy parabolę symetryczną wokół osi symetrii, otrzymujemy punkt (4; -2), przez który parabola będzie przechodzić.

3) Przyrównując do , znajdujemy punkty przecięcia paraboli z osią (wół). Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie. W zależności od dyskryminatora otrzymamy jeden (, ), dwa ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . W poprzednim przykładzie mamy pierwiastek z dyskryminatora - nie jest to liczba całkowita, budując go, nie ma dla nas sensu znajdowanie pierwiastków, ale wyraźnie widać, że będziemy mieli dwa punkty przecięcia z (oh) oś (od title = "(!LANG: Renderowane przez QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Więc poćwiczmy

Algorytm konstruowania paraboli, jeśli jest podana w postaci

1) określić kierunek gałęzi (a>0 - w górę, a<0 – вниз)

2) znajdź współrzędne wierzchołka paraboli według wzoru , .

3) znajdujemy punkt przecięcia paraboli z osią (oy) przez wyraz wolny, budujemy punkt symetryczny względem zadanego względem osi symetrii paraboli (należy zauważyć, że zdarza się, że jest nieopłacalne np. zaznaczenie tego punktu, bo wartość jest duża... pomijamy ten punkt...)

4) W znalezionym punkcie - wierzchołku paraboli (jak w punkcie (0; 0) nowego układu współrzędnych) budujemy parabolę. Jeśli title="(!LANG:Renderowane przez QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Znajdujemy punkty przecięcia paraboli z osią (oy) (jeśli same jeszcze nie „wypłynęły”), rozwiązując równanie

Przykład 1

Przykład 2

Uwaga 1. Jeśli parabola zostanie nam początkowo podana w postaci , gdzie są jakieś liczby (np. ), to będzie jeszcze łatwiej ją zbudować, bo już dane nam były współrzędne wierzchołka . Czemu?

Weźmy trójmian kwadratowy i wybierz w nim pełny kwadrat: Spójrz, tutaj mamy , . Wcześniej nazywaliśmy szczyt paraboli, czyli teraz.

Na przykład, . Zaznaczamy szczyt paraboli na płaszczyźnie, rozumiemy, że gałęzie są skierowane w dół, parabola jest rozszerzona (względnie). Oznacza to, że wykonujemy kroki 1; 3; 4; 5 z algorytmu konstruowania paraboli (patrz wyżej).

Uwaga 2. Jeśli parabola jest podana w postaci podobnej do tej (czyli reprezentowanej jako iloczyn dwóch czynników liniowych), to od razu widzimy punkty przecięcia paraboli z osią (x). W tym przypadku - (0;0) i (4;0). Resztę postępujemy zgodnie z algorytmem, otwierając nawiasy.

Jak zbudować parabolę? Istnieje kilka sposobów na wykreślenie funkcji kwadratowej. Każdy z nich ma swoje plusy i minusy. Rozważmy dwa sposoby.

Zacznijmy od wykreślenia funkcji kwadratowej, takiej jak y=x²+bx+c i y= -x²+bx+c.

Przykład.

Wykreśl funkcję y=x²+2x-3.

Decyzja:

y=x²+2x-3 jest funkcją kwadratową. Wykres jest parabolą z rozgałęzieniami do góry. Współrzędne wierzchołka paraboli

Z wierzchołka (-1;-4) budujemy wykres paraboli y=x² (jak od początku. Zamiast (0;0) - wierzchołek (-1;-4). Od (-1;- 4) idziemy w prawo o 1 jednostkę i w górę o 1, potem w lewo o 1 i w górę o 1, potem: 2 - w prawo, 4 - w górę, 2 - w lewo, 4 - w górę, 3 - w prawo, 9 - w górę, 3 - w lewo, 9 - w górę, te 7 punktów nie wystarczy, potem - 4 w prawo, 16 - w górę itd.).

Wykres funkcji kwadratowej y= -x²+bx+c jest parabolą, której gałęzie są skierowane w dół. Aby zbudować wykres, szukamy współrzędnych wierzchołka iz niego budujemy parabolę y= -x².

Przykład.

Wykreśl funkcję y= -x²+2x+8.

Decyzja:

y= -x²+2x+8 jest funkcją kwadratową. Wykres jest parabolą z rozgałęzieniami w dół. Współrzędne wierzchołka paraboli

Od góry budujemy parabolę y = -x² (1 - prawo, 1 - dół; 1 - lewo, 1 - dół; 2 - prawo, 4 - dół; 2 - lewo, 4 - dół itd.):

Ta metoda pozwala szybko zbudować parabolę i nie sprawia trudności, jeśli wiesz, jak wykreślić funkcje y=x² i y= -x². Wada: jeśli współrzędne wierzchołków są liczby ułamkowe, kreślenie nie jest zbyt wygodne. Jeśli potrzebujesz wiedzieć dokładne wartości punktów przecięcia wykresu z osią Ox, będziesz musiał dodatkowo rozwiązać równanie x² + bx + c = 0 (lub -x² + bx + c = 0), nawet jeśli te punkty można wyznaczyć bezpośrednio z rysunku.

Innym sposobem budowania paraboli są punkty, to znaczy można znaleźć kilka punktów na wykresie i narysować przez nie parabolę (biorąc pod uwagę fakt, że prosta x=xₒ jest jej osią symetrii). Zwykle w tym celu biorą górę paraboli, punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych i 1-2 dodatkowe punkty.

Wykreśl funkcję y=x²+5x+4.

Decyzja:

y=x²+5x+4 jest funkcją kwadratową. Wykres jest parabolą z rozgałęzieniami do góry. Współrzędne wierzchołka paraboli

czyli wierzchołek paraboli jest punktem (-2,5; -2,25).

Szuka . W punkcie przecięcia z osią Wół y=0: x²+5x+4=0. Pierwiastki równania kwadratowego x1 \u003d -1, x2 \u003d -4, to znaczy otrzymały dwa punkty na wykresie (-1; 0) i (-4; 0).

W punkcie przecięcia wykresu z osią Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Zdobył punkt (0; 4).

Aby doprecyzować wykres, możesz znaleźć dodatkowy punkt. Weźmy x=1, potem y=1²+5∙1+4=10, czyli jeszcze jeden punkt wykresu - (1; 10). Zaznaczamy te punkty na płaszczyźnie współrzędnych. Biorąc pod uwagę symetrię paraboli względem prostej przechodzącej przez jej wierzchołek, zaznaczamy jeszcze dwa punkty: (-5; 6) i (-6; 10) i przeciągamy przez nie parabolę:

Wykreśl funkcję y= -x²-3x.

Decyzja:

y= -x²-3x to funkcja kwadratowa. Wykres jest parabolą z rozgałęzieniami w dół. Współrzędne wierzchołka paraboli

Góra (-1,5; 2,25) to pierwszy punkt paraboli.

W punktach przecięcia wykresu z osią x y=0, czyli rozwiązujemy równanie -x²-3x=0. Jego pierwiastki to x=0 i x=-3, czyli (0; 0) i (-3; 0) to dwa kolejne punkty na wykresie. Punkt (o; 0) jest jednocześnie punktem przecięcia paraboli z osią y.

Przy x=1 y=-1²-3∙1=-4, czyli (1; -4) jest dodatkowym punktem do wykreślenia.

Budowanie paraboli z punktów jest bardziej czasochłonną metodą w porównaniu z pierwszą. Jeśli parabola nie przecina osi Wół, wymagane będą dodatkowe punkty.

Zanim będziemy kontynuować wykreślanie funkcji kwadratowych postaci y=ax²+bx+c, rozważmy wykreślanie funkcji za pomocą przekształceń geometrycznych. Wykresy funkcji postaci y=x²+c również najwygodniej buduje się za pomocą jednego z tych przekształceń - translacji równoległej.

Funkcja kwadratowa jest funkcją postaci:
y=a*(x^2)+b*x+c,
gdzie a jest współczynnikiem w najwyższym stopniu nieznanego x,
b - współczynnik przy nieznanym x,
ic jest wolnym członkiem.
Wykres funkcji kwadratowej to krzywa zwana parabolą. Forma ogólna parabolę pokazano na poniższym rysunku.

Rys.1 Widok ogólny paraboli.

Istnieje kilka różne drogi wykreślanie funkcji kwadratowej. Rozważymy główne i najbardziej ogólne z nich.

Algorytm kreślenia wykresu funkcji kwadratowej y=a*(x^2)+b*x+c

1. Zbuduj układ współrzędnych, zaznacz pojedynczy segment i znak osie współrzędnych.

2. Określ kierunek gałęzi paraboli (w górę lub w dół).
Aby to zrobić, musisz spojrzeć na znak współczynnika a. Jeśli plus - to gałęzie są skierowane w górę, jeśli minus - to gałęzie są skierowane w dół.

3. Określ współrzędną x wierzchołka paraboli.
Aby to zrobić, musisz użyć formuły Tops = -b / 2 * a.

4. Określ współrzędne na szczycie paraboli.
Aby to zrobić, zastąp wartość Top znalezioną w poprzednim kroku w równaniu Top = a * (x ^ 2) + b * x + c zamiast x.

5. Umieść wynikowy punkt na wykresie i narysuj przez niego oś symetrii, równoległą do osi współrzędnych Oy.

6. Znajdź punkty przecięcia wykresu z osią x.
To wymaga rozwiązania równanie kwadratowe a*(x^2)+b*x+c = 0 o jeden z znane sposoby. Jeżeli równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych, to wykres funkcji nie przecina osi x.

7. Znajdź współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią Oy.
Aby to zrobić, podstawiamy wartość x = 0 do równania i obliczamy wartość y. Zaznaczamy to i punkt symetryczny do niego na wykresie.

8. Znajdź współrzędne dowolnego punktu A (x, y)
Aby to zrobić, wybieramy dowolną wartość współrzędnej x i podstawiamy ją do naszego równania. W tym momencie otrzymujemy wartość y. Umieść punkt na wykresie. A także zaznacz punkt na wykresie, który jest symetryczny do punktu A (x, y).

9. Połącz uzyskane punkty na wykresie płynną linią i kontynuuj wykres do skrajne punkty, do końca osi współrzędnych. Podpisz wykres w objaśnieniu lub, jeśli pozwala na to miejsce, wzdłuż samego wykresu.

Przykład kreślenia wykresu

Jako przykład wykreślmy funkcję kwadratową podane przez równanie y=x^2+4*x-1
1. Narysuj osie współrzędnych, podpisz je i zaznacz pojedynczy segment.
2. Wartości współczynników a=1, b=4, c= -1. Ponieważ a \u003d 1, które jest większe od zera, gałęzie paraboli są skierowane w górę.
3. Określ współrzędną X wierzchołka paraboli Tops = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Określ współrzędne Na szczycie paraboli
Wierzchołki = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Zaznacz wierzchołek i narysuj oś symetrii.
6. Znajdujemy punkty przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią Ox. Rozwiązujemy równanie kwadratowe x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Uzyskane wartości zaznaczamy na wykresie.
7. Znajdź punkty przecięcia wykresu z osią Oy.
x=0; y=-1
8. Wybierz dowolny punkt B. Niech ma współrzędną x=1.
Wtedy y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Łączymy otrzymane punkty i podpisujemy wykres.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, za pomocą których można zidentyfikować konkretną osobę lub skontaktować się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i komunikaty.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i różne studia w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

• W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakaz sądowy, w spór, i/lub na podstawie publicznych próśb lub próśb ze strony agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.