Jak rozkładać na czynniki kwadratowy wzór trójmianowy. Trójmian kwadratowy i jego pierwiastki

W tej lekcji nauczymy się rozkładać trójmiany kwadratowe na czynniki liniowe. W tym celu należy przypomnieć twierdzenie Viety i jego odwrotność. Ta umiejętność pomoże nam szybko i wygodnie rozłożyć trójmiany kwadratowe na czynniki liniowe, a także uprości redukcję ułamków składających się z wyrażeń.

Wróćmy więc do równania kwadratowego , gdzie .

To, co mamy po lewej stronie, nazywa się trójmianem kwadratowym.

Twierdzenie jest prawdziwe: Jeśli są pierwiastkami trójmianu kwadratowego, to tożsamość jest prawdziwa

Gdzie jest wiodący współczynnik, są pierwiastkami równania.

Mamy więc równanie kwadratowe - trójmian kwadratowy, gdzie pierwiastki równanie kwadratowe zwany także pierwiastkami trójmianu kwadratowego. Dlatego jeśli mamy pierwiastki z trójmianu kwadratowego, to ten trójmian rozkłada się na czynniki liniowe.

Dowód:

Dowodem na to jest twierdzenie Vieta, które rozważaliśmy na poprzednich lekcjach.

Pamiętajmy, co mówi nam twierdzenie Viety:

Jeśli są pierwiastkami trójmianu kwadratowego dla którego , to .

Twierdzenie to implikuje następujące twierdzenie, że .

Widzimy, że zgodnie z twierdzeniem Vieta, czyli podstawiając te wartości do powyższego wzoru, otrzymujemy następujące wyrażenie

co było do okazania

Przypomnijmy, że udowodniliśmy twierdzenie, że jeśli są pierwiastkami trójmianu kwadratowego, to rozkład jest prawidłowy.

Przypomnijmy teraz przykład równania kwadratowego, do którego wybraliśmy pierwiastki za pomocą twierdzenia Viety. Z tego faktu możemy uzyskać następującą równość dzięki udowodnionemu twierdzeniu:

Sprawdźmy teraz poprawność tego faktu, po prostu rozwijając nawiasy:

Widzimy, że dokonaliśmy poprawnego rozłożenia na czynniki i każdy trójmian, jeśli ma pierwiastki, może być rozłożony zgodnie z tym twierdzeniem na czynniki liniowe zgodnie ze wzorem

Sprawdźmy jednak, czy dla dowolnego równania taka faktoryzacja jest możliwa:

Weźmy na przykład równanie. Najpierw sprawdźmy znak dyskryminatora

I pamiętamy, że aby spełnić nauczone twierdzenie, D musi być większe od 0, więc w ta sprawa faktoryzacja przez badane twierdzenie jest niemożliwa.

Dlatego formułujemy nowe twierdzenie: jeśli trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków, to nie można go rozłożyć na czynniki liniowe.

Rozważaliśmy więc twierdzenie Vieta, możliwość rozłożenia trójmianu kwadratowego na czynniki liniowe, a teraz rozwiążemy kilka problemów.

Zadanie 1

W tej grupie faktycznie rozwiążemy problem odwrotny do postawionego. Mieliśmy równanie i znaleźliśmy jego korzenie rozkładające się na czynniki. Tutaj zrobimy odwrotnie. Powiedzmy, że mamy pierwiastki równania kwadratowego

Odwrotny problem jest taki: napisz równanie kwadratowe tak, aby były jego pierwiastkami.

Istnieją 2 sposoby rozwiązania tego problemu.

Skoro są pierwiastkami równania, to jest równaniem kwadratowym, którego pierwiastki mają podane liczby. Teraz otwórzmy wsporniki i sprawdźmy:

To był pierwszy sposób, w jaki stworzyliśmy równanie kwadratowe z danymi pierwiastkami, które nie mają żadnych innych pierwiastków, ponieważ każde równanie kwadratowe ma najwyżej dwa pierwiastki.

Ta metoda polega na użyciu odwrotnego twierdzenia Vieta.

Jeśli są pierwiastkami równania, to spełniają warunek, że .

Dla zredukowanego równania kwadratowego , czyli w tym przypadku , i .

W ten sposób stworzyliśmy równanie kwadratowe, które ma podane pierwiastki.

Zadanie nr 2

Musisz zmniejszyć ułamek.

Mamy trójmian w liczniku i trójmian w mianowniku, a trójmiany mogą, ale nie muszą być faktoryzowane. Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik są faktoryzowane, to wśród nich mogą być równe współczynniki, które można zmniejszyć.

Przede wszystkim konieczne jest rozłożenie licznika na czynniki.

Najpierw musisz sprawdzić, czy to równanie można rozłożyć na czynniki, znaleźć dyskryminator . Ponieważ , to znak zależy od iloczynu (powinien być mniejszy od 0), w tym przykładzie tj. podane równanie ma korzenie.

Do rozwiązania używamy twierdzenia Vieta:

W takim przypadku, ponieważ mamy do czynienia z korzeniami, dość trudno będzie po prostu zebrać korzenie. Ale widzimy, że współczynniki są zrównoważone, tzn. jeśli przyjmiemy, że i podstawimy tę wartość do równania, to otrzymamy następujący układ: tj. 5-5=0. W ten sposób wybraliśmy jeden z pierwiastków tego równania kwadratowego.

Drugiego pierwiastka poszukamy podstawiając do układu równań to, co już jest znane, np. , tj. .

W ten sposób znaleźliśmy oba pierwiastki równania kwadratowego i możemy podstawić ich wartości do pierwotnego równania, aby je rozłożyć na czynniki:

Przypomnijmy pierwotny problem, musieliśmy zmniejszyć ułamek.

Spróbujmy rozwiązać problem, podstawiając zamiast licznika .

Nie należy zapominać, że w tym przypadku mianownik nie może być równy 0, tj.

Jeśli te warunki są spełnione, sprowadzamy pierwotny ułamek do postaci .

Zadanie #3 (zadanie z parametrem)

Przy jakich wartościach parametru jest suma pierwiastków równania kwadratowego

Jeśli pierwiastki tego równania istnieją, to , pytanie brzmi kiedy .

Trójmian kwadratowy jest wielomianem postaci ax^2 + bx + c, gdzie x jest zmienną, a, b i c to pewne liczby, ponadto a ≠ 0.

Aby podzielić trójmian na czynniki, musisz znać korzenie tego trójmianu. (dalej przykład na trójmianu 5x^2 + 3x- 2)

Uwaga: wartość trójmianu kwadratowego 5x^2 + 3x - 2 zależy od wartości x. Na przykład: Jeśli x = 0, to 5x^2 + 3x - 2 = -2

Jeśli x = 2, to 5x^2 + 3x - 2 = 24

Jeśli x = -1, to 5x^2 + 3x - 2 = 0

Gdy x \u003d -1 znika trójmian kwadratowy 5x ^ 2 + 3x - 2, w tym przypadku wywoływana jest liczba -1 pierwiastek trójmianu kwadratowego.

Jak uzyskać pierwiastek równania

Wyjaśnijmy, w jaki sposób otrzymaliśmy pierwiastek tego równania. Najpierw musisz jasno poznać twierdzenie i wzór, według którego będziemy pracować:

„Jeśli x1 i x2 są pierwiastkami trójmianu kwadratowego ax^2 + bx + c, to ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).”

X \u003d (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a \

Ta formuła znajdowania pierwiastków wielomianu jest najbardziej prymitywną formułą, dzięki której nigdy się nie pomylisz.

Wyrażenie 5x^2 + 3x - 2.

1. Zrównaj się ze zerem: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. Znajdujemy pierwiastki równania kwadratowego, w tym celu podstawiamy wartości we wzorze (a jest współczynnikiem dla X ^ 2, b jest współczynnikiem dla X, wyrazem swobodnym, czyli a rysunek bez X):

Znajdujemy pierwszy pierwiastek ze znakiem plus przed pierwiastkiem kwadratowym:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Drugi pierwiastek ze znakiem minus przed pierwiastkiem kwadratowym:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Znaleźliśmy więc pierwiastki trójmianu kwadratowego. Aby upewnić się, że są poprawne, możesz sprawdzić: najpierw podstawiamy pierwszy pierwiastek w równaniu, a następnie drugi:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Jeśli po podstawieniu wszystkich pierwiastków równanie znika, to równanie jest rozwiązane poprawnie.

3. Teraz użyjmy wzoru z twierdzenia: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), pamiętajmy, że X1 i X2 są pierwiastkami równania kwadratowego. Czyli: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. Aby upewnić się, że rozkład jest prawidłowy, możesz po prostu pomnożyć nawiasy:

5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x - 0,4) = 5x^2 + 3 - 2. Co potwierdza poprawność decyzji.

Druga opcja znajdowania pierwiastków trójmianu kwadratowego

Inną opcją znalezienia pierwiastków trójmianu kwadratowego jest odwrotne twierdzenie twierdzenia Viette'a. Tutaj pierwiastki równania kwadratowego znajdują się we wzorach: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Ale ważne jest, aby zrozumieć, że tego twierdzenia można użyć tylko wtedy, gdy współczynnik a \u003d 1, czyli liczba przed x ^ 2 \u003d 1.

Na przykład: x^2 - 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Rozwiązywanie: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Teraz ważne jest, aby zastanowić się, jakie liczby w produkcie dają jednostkę? Oczywiście to 1 * 1 oraz -1 * (-1) . Z tych liczb wybieramy oczywiście te, które odpowiadają wyrażeniu x1 + x2 = 2 - to jest 1 + 1. Więc znaleźliśmy pierwiastki równania: x1 = 1, x2 = 1. Łatwo to sprawdzić, czy podstawiasz x ^ 2 w wyrażeniu - 2x + 1 = 0.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i komunikaty.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i różne studia w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

• W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakaz sądowy, w spór, i/lub na podstawie publicznych próśb lub próśb ze strony agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Świat jest pogrążony w ogromnej liczbie liczb. Wszelkie obliczenia odbywają się za ich pomocą.

Ludzie uczą się liczb, aby w późniejszym życiu nie dać się zwieść. Trzeba poświęcić ogromną ilość czasu na edukację i kalkulację własnego budżetu.

Matematyka to Dokładna nauka która odgrywa w życiu dużą rolę. W szkole dzieci uczą się liczb, a następnie działań na nich.

Działania na liczbach są zupełnie inne: mnożenie, rozwijanie, dodawanie i inne. Oprócz prostych formuł w nauce matematyki stosuje się również bardziej złożone czynności. Istnieje ogromna liczba formuł, dzięki którym znane są wszelkie wartości.

W szkole, gdy tylko pojawia się algebra, w życie ucznia wprowadzane są uproszczenia. Istnieją równania, gdy istnieją dwie nieznane liczby, ale znajdź w prosty sposób nie będzie działać. Trójmian to związek trzech jednomianów, za pomocą prosta metoda odejmowania i dodawania. Trójmian jest rozwiązywany za pomocą twierdzenia Vieta i dyskryminatora.

Wzór na rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki

Są dwa poprawne i proste rozwiązania przykład:

• dyskryminujący;
• Twierdzenie Viety.

Trójmian kwadratowy ma niewiadomą do kwadratu, a także liczbę bez kwadratu. Pierwsza opcja rozwiązania problemu wykorzystuje formułę Vieta. To jest prosta formuła jeśli cyfry przed nieznanym to minimalna wartość.

W przypadku innych równań, w których liczba znajduje się przed niewiadomą, równanie musi być rozwiązane przez dyskryminator. To koniec trudna decyzja, ale dyskryminator jest używany znacznie częściej niż twierdzenie Viety.

Początkowo, aby znaleźć wszystko zmienne równania konieczne jest podniesienie przykładu do 0. Rozwiązanie przykładu można sprawdzić i dowiedzieć się, czy liczby są ustawione poprawnie.

Dyskryminujący

1. Konieczne jest zrównanie równania z 0.

2. Każda liczba przed x będzie nazywana liczbami a, b, c. Ponieważ nie ma liczby przed pierwszym kwadratem x, równa się 1.

3. Teraz rozwiązanie równania zaczyna się od dyskryminatora:

4. Teraz znaleźliśmy wyróżnik i znaleźliśmy dwa x. Różnica polega na tym, że w jednym przypadku b będzie poprzedzone plusem, a w drugim minusem:

5. Rozwiązując dwie liczby, okazało się, że -2 i -1. Podstaw pod pierwotnym równaniem:

6. W tym przykładzie okazało się, że dwa poprawne opcje. Jeśli oba rozwiązania są poprawne, to każde z nich jest prawdziwe.

Rozwiąż dyskryminację i nie tylko złożone równanie. Ale jeśli wartość samego wyróżnika jest mniejsza niż 0, to przykład jest błędny. Wyróżnik w wyszukiwaniu zawsze znajduje się pod korzeniem, a wartość ujemna nie może znajdować się w korzeniu.

Twierdzenie Viety

Służy do rozwiązywania prostych problemów, w których pierwszy x nie jest poprzedzony liczbą, czyli a=1. Jeśli opcja jest zgodna, obliczenia są przeprowadzane za pomocą twierdzenia Vieta.

Aby rozwiązać dowolny trójmian konieczne jest podniesienie równania do 0. Pierwsze kroki dla dyskryminatora i twierdzenia Vieta są takie same.

2. Teraz istnieją różnice między tymi dwiema metodami. Twierdzenie Viety wykorzystuje nie tylko „suche” obliczenia, ale także logikę i intuicję. Każda liczba ma swoją własną literę a, b, c. Twierdzenie wykorzystuje sumę i iloczyn dwóch liczb.

Pamiętać! Liczba b jest zawsze dodawana z przeciwny znak, a liczba c pozostaje niezmieniona!

Podstawianie wartości danych w przykładzie , otrzymujemy:

3. Stosując metodę logiczną podstawiamy najbardziej odpowiednie liczby. Rozważ wszystkie możliwe rozwiązania:

1. Liczby to 1 i 2. Po dodaniu otrzymujemy 3, ale jeśli pomnożymy, nie otrzymamy 4. Nieodpowiednie.
2. Wartość 2 i -2. Po pomnożeniu będzie to -4, ale po dodaniu okazuje się, że 0. Nieodpowiednie.
3. Liczby 4 i -1. Ponieważ mnożenie zawiera wartość ujemną, oznacza to, że jedna z liczb będzie z minusem. Nadaje się do dodawania i mnożenia. Właściwa opcja.

4. Pozostaje tylko sprawdzić, ułożyć liczby i sprawdzić, czy wybrana opcja jest poprawna.

5. Dzięki kontroli online stwierdziliśmy, że -1 nie odpowiada warunku przykładu, co oznacza, że ​​jest to złe rozwiązanie.

Podczas dodawania wartości ujemnej w przykładzie liczba musi być ujęta w nawiasy kwadratowe.

W matematyce zawsze będzie proste zadania i złożone. Sama nauka zawiera różnorodne problemy, twierdzenia i formuły. Jeśli zrozumiesz i poprawnie zastosujesz wiedzę, wszelkie trudności z obliczeniami będą błahe.

Matematyka nie wymaga ciągłego zapamiętywania. Musisz nauczyć się rozumieć rozwiązanie i nauczyć się kilku formuł. Stopniowo, do logiczne wnioski, możesz rozwiązywać podobne problemy, równania. Taka nauka na pierwszy rzut oka może wydawać się bardzo trudna, ale jeśli zanurzymy się w świat liczb i zadań, to pogląd zmieni się diametralnie w lepsza strona.

Specjalności techniczne zawsze pozostają najbardziej poszukiwanymi na świecie. Teraz na świecie nowoczesne technologie Matematyka stała się nieodzownym atrybutem każdej dziedziny. Musisz zawsze o tym pamiętać użyteczne właściwości matematyka.

Rozkład trójmianu z nawiasami

Oprócz rozwiązywania w zwykły sposób jest jeszcze jeden - rozkład na nawiasy. Używany z formułą Vieta.

1. Zrównaj równanie z 0.

topór 2 + bx+ c= 0

2. Pierwiastki równania pozostają takie same, ale zamiast zera używają teraz wzorów na rozwinięcie nawiasów.

topór 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Rozwiązanie x=-1, x=3

Trójmian kwadratowy nazywa się wielomianem postaci topór2+bx +c, gdzie x- zmienny, a,b,c to niektóre liczby, a ≠ 0.

Współczynnik a nazywa starszy współczynnik, c – Wolny Członek trójmian kwadratowy.

Przykłady trójmianów kwadratowych:

2 x 2 + 5x + 4(tutaj a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 - 7x + 5(tutaj a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x - 9(tutaj a = 9, b = 9, c = -9)

Współczynnik b lub współczynnik c lub oba współczynniki mogą być jednocześnie równe zero. Na przykład:

5 x 2 + 3x(tutaja = 5b = 3c = 0, więc wartości c nie ma w równaniu).

6x 2 - 8 (tutaja=6, b=0, c=-8)

2x2(tutaja=2, b=0, c=0)

Wartość zmiennej, przy której znika wielomian, nazywa się pierwiastek wielomianowy.

Aby znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowegotopór2+ bx + c, musimy to przyrównać do zera -
czyli rozwiązać równanie kwadratowetopór2+ bx + c= 0 (patrz rozdział „Równanie kwadratowe”).

Faktoryzacja trójmianu kwadratowego

Przykład:

Rozkładamy na czynniki trójmian 2 x 2 + 7x - 4.

Widzimy współczynnik a = 2.

Teraz znajdźmy korzenie trójmianu. Aby to zrobić, przyrównujemy to do zera i rozwiązujemy równanie

2x 2 + 7x - 4 = 0.

Jak rozwiązuje się takie równanie - patrz rozdział „Wzory pierwiastków równania kwadratowego. Dyskryminujący”. Tutaj od razu nazywamy wynik obliczeń. Nasz trójmian ma dwa korzenie:

x 1 \u003d 1/2, x 2 \u003d -4.

Wstawmy do naszego wzoru wartości pierwiastków, wyjmując z nawiasów wartość współczynnika a, a otrzymujemy:

2x 2 + 7x - 4 = 2(x - 1/2) (x + 4).

Otrzymany wynik można zapisać inaczej, mnożąc współczynnik 2 przez dwumian x – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 = (2x - 1) (x + 4).

Problem został rozwiązany: trójmian rozkłada się na czynniki.

Taki rozkład można uzyskać dla dowolnego trójmianu kwadratowego z pierwiastkami.

UWAGA!

Jeśli wyróżnik trójmianu kwadratowego wynosi zero, to ten trójmian ma jeden pierwiastek, ale przy dekompozycji trójmianu ten pierwiastek jest przyjmowany jako wartość dwóch pierwiastków - czyli jako ta sama wartość x 1 ix 2 .

Na przykład trójmian ma jeden pierwiastek równy 3. Następnie x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 3.