Napisz równanie przelatującego samolotu. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt prostopadły do ​​danej prostej

W ramach tego materiału przeanalizujemy, jak znaleźć równanie płaszczyzny, jeśli znamy współrzędne jej trzech różnych punktów, które nie leżą na jednej prostej. Aby to zrobić, musimy pamiętać, czym jest prostokątny układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej. Najpierw przedstawiamy podstawową zasadę podane równanie i pokazać, jak go wykorzystać w rozwiązywaniu konkretnych problemów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Na początek musimy zapamiętać jeden aksjomat, który brzmi tak:

Definicja 1

Jeśli trzy punkty nie pokrywają się ze sobą i nie leżą na jednej linii prostej, to w przestrzeni trójwymiarowej przechodzi przez nie tylko jedna płaszczyzna.

Innymi słowy, jeśli mamy trzy różne punkty, których współrzędne się nie pokrywają i których nie można połączyć linią prostą, to możemy określić przechodzącą przez nie płaszczyznę.

Powiedzmy, że mamy prostokątny układ współrzędnych. Oznaczmy to O x y z . Zawiera trzy punkty M o współrzędnych M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3), których nie można połączyć prosto linia. Na podstawie tych warunków możemy zapisać równanie potrzebnej nam płaszczyzny. Istnieją dwa podejścia do rozwiązania tego problemu.

1. Pierwsze podejście wykorzystuje ogólne równanie płaszczyzny. W postaci dosłownej jest zapisany jako A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Dzięki niemu możesz ustawić w prostokątnym układzie współrzędnych pewną płaszczyznę alfa, która przechodzi przez pierwszą dany punkt M1 (x1, y1, z1). Okazuje się, że wektor płaszczyzny normalnej α będzie miał współrzędne A , B , C .

Definicja N

Znając współrzędne wektora normalnego i współrzędne punktu, przez który przechodzi płaszczyzna, możemy napisać ogólne równanie tej płaszczyzny.

Od tego przejdziemy dalej.

Tak więc, zgodnie z warunkami problemu, mamy współrzędne pożądanego punktu (nawet trzy), przez który przechodzi samolot. Aby znaleźć równanie, musisz obliczyć współrzędne jego wektora normalnego. Oznacz to n → .

Przypomnijmy sobie zasadę: każdy niezerowy wektor danej płaszczyzny jest prostopadły do ​​wektora normalnego tej samej płaszczyzny. Wtedy mamy, że n → będzie prostopadłe do wektorów złożonych z początkowych punktów M 1 M 2 → i M 1 M 3 → . Wtedy możemy oznaczyć n → jako iloczyn wektorowy postaci M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Ponieważ M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) i M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (dowody na te równości podane są w artykule poświęconym obliczaniu współrzędnych wektora ze współrzędnych punktów), wtedy okazuje się, że:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z jeden

Jeśli obliczymy wyznacznik, otrzymamy współrzędne wektora normalnego n → potrzebujemy. Teraz możemy napisać równanie, którego potrzebujemy dla płaszczyzny przechodzącej przez trzy podane punkty.

2. Drugie podejście do znalezienia równania przechodzącego przez M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) to w oparciu o takie pojęcie jak komplanarność wektorów.

Jeśli mamy zbiór punktów M (x, y, z) , to w prostokątnym układzie współrzędnych definiują one płaszczyznę dla danych punktów M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) tylko wtedy, gdy wektory M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) i M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) będą współpłaszczyznowe.

Na schemacie będzie to wyglądać tak:

To będzie oznaczać, że mieszany produkt wektory M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → będą równe zero: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , ponieważ jest to główny warunek zgodności : M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) i M 1 M 3   → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) .

Otrzymane równanie zapisujemy w postaci współrzędnych:

Po obliczeniu wyznacznika możemy otrzymać równanie płaszczyzny, której potrzebujemy dla trzech punktów, które nie leżą na jednej prostej M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M3 (x 3 , y 3 , z 3 ) .

Z otrzymanego równania można przejść do równania płaszczyzny w segmentach lub do równania normalnego płaszczyzny, jeśli wymagają tego warunki problemu.

W następnym akapicie podamy przykłady, w jaki sposób wskazane przez nas podejścia są wdrażane w praktyce.

Przykłady zadań do kompilacji równania płaszczyzny przechodzącej przez 3 punkty

Wcześniej zidentyfikowaliśmy dwa podejścia, które można wykorzystać do znalezienia pożądanego równania. Zobaczmy, jak są wykorzystywane w rozwiązywaniu problemów i kiedy wybrać każdy z nich.

Przykład 1

Istnieją trzy punkty, które nie leżą na jednej prostej, o współrzędnych M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1 ). Napisz równanie dla przechodzącego przez nie samolotu.

Rozwiązanie

Stosujemy kolejno obie metody.

1. Znajdź współrzędne dwóch wektorów, których potrzebujemy M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Teraz obliczamy ich iloczyn wektorowy. W tym przypadku nie będziemy opisywać obliczeń wyznacznika:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Mamy wektor normalny płaszczyzny, która przechodzi przez trzy wymagane punkty: n → = (-5 , 30 , 2) . Następnie musimy wziąć jeden z punktów, na przykład M 1 (- 3 , 2 , - 1) , i napisać równanie dla płaszczyzny o wektorze n → = (- 5 , 30 , 2) . Otrzymujemy, że: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

To jest równanie płaszczyzny, której potrzebujemy, która przechodzi przez trzy punkty.

2. Stosujemy inne podejście. Piszemy równanie dla płaszczyzny z trzema punktami M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) w następujący formularz:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Tutaj możesz podstawić dane ze stanu problemu. Ponieważ x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, w efekcie otrzymamy:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 r + 2 z - 73

Mamy równanie, którego potrzebujemy.

Odpowiadać:- 5x + 30y + 2z - 73 .

Ale co, jeśli podane punkty nadal leżą na tej samej prostej i musimy ułożyć dla nich równanie płaszczyzny? Tutaj trzeba od razu powiedzieć, że ten warunek nie będzie całkowicie poprawny. Przez takie punkty może przechodzić nieskończenie wiele samolotów, więc nie da się obliczyć jednej odpowiedzi. Rozważmy taki problem, aby dowieść niepoprawności takiego sformułowania pytania.

Przykład 2

Mamy prostokątny układ współrzędnych w przestrzeni 3D zawierający trzy punkty o współrzędnych M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1 ). Konieczne jest napisanie równania dla przechodzącego przez niego samolotu.

Rozwiązanie

Używamy pierwszej metody i zaczynamy od obliczenia współrzędnych dwóch wektorów M 1 M 2 → i M 1 M 3 → . Obliczmy ich współrzędne: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Iloczyn wektorowy będzie równy:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Ponieważ M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , to nasze wektory będą współliniowe (przeczytaj artykuł na ich temat, jeśli zapomniałeś definicji tego pojęcia). Zatem początkowe punkty M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (-1 , 1 , 1) leżą na tej samej prostej, a nasz problem ma nieskończenie wiele opcji odpowiedzi.

Jeśli zastosujemy drugą metodę, otrzymamy:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Z otrzymanej równości wynika również, że dane punkty M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) leżą na tej samej linii.

Jeśli chcesz znaleźć chociaż jedną odpowiedź na ten problem od nieskończony zestaw opcje, musisz wykonać następujące kroki:

1. Napisz równanie linii prostej M 1 M 2, M 1 M 3 lub M 2 M 3 (jeśli to konieczne, zobacz materiał o tej akcji).

2. Weź punkt M 4 (x 4 , y 4 , z 4) , który nie leży na prostej M 1 M 2 .

3. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy różne punkty M 1 , M 2 i M 4 , które nie leżą na jednej prostej.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Ten artykuł daje wyobrażenie, jak napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt w przestrzeni trójwymiarowej prostopadłej do danej linii. Przeanalizujmy powyższy algorytm na przykładzie rozwiązywania typowych problemów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Znalezienie równania płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt w przestrzeni prostopadłej do danej prostej

Niech będzie w niej dana przestrzeń trójwymiarowa i prostokątny układ współrzędnych O x y z. Podano również punkt M 1 (x 1, y 1, z 1), prostą a i płaszczyznę α przechodzącą przez punkt M 1 prostopadłą do prostej a. Konieczne jest spisanie równania płaszczyzny α.

Zanim przejdziemy do rozwiązania tego problemu, przypomnijmy sobie twierdzenie o geometrii z programu dla klas 10-11, które brzmi:

Definicja 1

Pojedyncza płaszczyzna przechodzi przez dany punkt w przestrzeni trójwymiarowej i jest prostopadła do danej prostej.

Zastanówmy się teraz, jak znaleźć równanie tej pojedynczej płaszczyzny przechodzącej przez punkt początkowy i prostopadłej do danej prostej.

Można zapisać ogólne równanie płaszczyzny, jeśli znane są współrzędne punktu należącego do tej płaszczyzny, a także współrzędne wektora normalnego płaszczyzny.

Przez warunek zadania otrzymujemy współrzędne x 1, y 1, z 1 punktu M 1, przez który przechodzi płaszczyzna α. Jeśli określimy współrzędne wektora normalnego płaszczyzny α, będziemy mogli napisać pożądane równanie.

Wektor normalny płaszczyzny α, ponieważ jest niezerowy i leży na prostej a, prostopadłej do płaszczyzny α, będzie dowolnym wektorem kierunkowym prostej a. Tak więc problem znalezienia współrzędnych wektora normalnego płaszczyzny α zostaje przekształcony w problem wyznaczenia współrzędnych wektora kierunkowego prostej a .

Można przeprowadzić wyznaczenie współrzędnych wektora kierunkowego prostej a różne metody: zależy od możliwości określenia prostej a w warunkach początkowych. Na przykład, jeśli linia a w stanie problemu jest podana przez równania kanoniczne postaci

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

lub równania parametryczne postaci:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

wtedy wektor kierunkowy prostej będzie miał współrzędne ax, ay i az. W przypadku, gdy prosta a jest reprezentowana przez dwa punkty M 2 (x 2, y 2, z 2) i M 3 (x 3, y 3, z 3), to współrzędne wektora kierunkowego zostaną określone jako (x3 - x2, y3 - y2 , z3 – z2).

Definicja 2

Algorytm znajdowania równania płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt prostopadle do danej prostej:

Wyznacz współrzędne wektora kierunkowego prostej a: a → = (a x, a y, a z) ;

Współrzędne wektora normalnego płaszczyzny α definiujemy jako współrzędne wektora kierunkowego prostej a:

n → = (A , B , C) , gdzie A = a x , B = a y , C = a z;

Piszemy równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) i posiadającej wektor normalny n→=(A, B, C) w postaci A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Będzie to wymagane równanie płaszczyzny, która przechodzi przez dany punkt w przestrzeni i jest prostopadła do danej linii.

Wynikowe ogólne równanie samolotu: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 umożliwia uzyskanie równania płaszczyzny w segmentach lub równania normalnego płaszczyzny.

Rozwiążmy kilka przykładów za pomocą algorytmu otrzymanego powyżej.

Przykład 1

Podano punkt M 1 (3, - 4, 5), przez który przechodzi płaszczyzna, a płaszczyzna ta jest prostopadła do linii współrzędnych O z.

Rozwiązanie

wektor kierunkowy linii współrzędnych O z będzie wektorem współrzędnych k = (0 , 0 , 1 ). Dlatego wektor normalny płaszczyzny ma współrzędne (0 , 0 , 1 ). Napiszmy równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt M 1 (3, - 4, 5), której wektor normalny ma współrzędne (0, 0, 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Odpowiadać: z-5 = 0 .

Rozważ inny sposób rozwiązania tego problemu:

Przykład 2

Płaszczyzna prostopadła do linii O z będzie dana przez niepełne ogólne równanie płaszczyzny postaci С z + D = 0 , C ≠ 0 . Zdefiniujmy wartości C i D: te, dla których samolot przelatuje przez dany punkt. Podstaw współrzędne tego punktu w równaniu C z + D = 0 , otrzymujemy: C · 5 + D = 0 . Tych. liczby, C i D są powiązane przez - D C = 5 . Biorąc C \u003d 1, otrzymujemy D \u003d - 5.

Zastąp te wartości równaniem C z + D = 0 i uzyskaj wymagane równanie płaszczyzny prostopadłej do linii O z i przechodzącej przez punkt M 1 (3, - 4, 5) .

Będzie to wyglądać tak: z - 5 = 0.

Odpowiadać: z-5 = 0 .

Przykład 3

Napisz równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez początek i prostopadłej do prostej x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Rozwiązanie

Na podstawie warunków problemu można argumentować, że wektor kierunkowy danej prostej można przyjąć jako wektor normalny n → danej płaszczyzny. Zatem: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Napiszmy równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt O (0, 0, 0) i posiadającej wektor normalny n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Otrzymaliśmy wymagane równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez początek prostopadły do ​​danej prostej.

Odpowiadać:- 3x - 7y + 2z = 0

Przykład 4

Dany prostokątny układ współrzędnych O x y z w przestrzeni trójwymiarowej zawiera dwa punkty A (2 , - 1 , - 2) i B (3 , - 2 , 4 ). Płaszczyzna α przechodzi przez prostopadły do ​​prostej AB punkt A. Konieczne jest ułożenie równania płaszczyzny α w odcinkach.

Rozwiązanie

Płaszczyzna α jest prostopadła do prostej A B, to wektor A B → będzie wektorem normalnym płaszczyzny α. Współrzędne tego wektora są określane jako różnica między odpowiednimi współrzędnymi punktów B (3, - 2, 4) i A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Ogólne równanie samolotu zostanie zapisane w postaci:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Teraz tworzymy pożądane równanie płaszczyzny w segmentach:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Odpowiadać:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Należy również zauważyć, że istnieją problemy, których wymogiem jest napisanie równania dla płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do dwóch danych płaszczyzn. Ogólnie rozwiązaniem tego problemu jest napisanie równania dla płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt prostopadły do ​​danej prostej, ponieważ dwie przecinające się płaszczyzny definiują linię prostą.

Przykład 5

Dany jest prostokątny układ współrzędnych O x y z, w którym znajduje się punkt M 1 (2, 0, - 5) . Podano również równania dwóch płaszczyzn 3 x + 2 y + 1 = 0 i x + 2 z - 1 = 0, które przecinają się wzdłuż prostej a . Konieczne jest skomponowanie równania dla płaszczyzny przechodzącej przez punkt M 1 prostopadle do prostej a.

Rozwiązanie

Wyznaczmy współrzędne wektora kierunkowego prostej a . Jest prostopadła zarówno do wektora normalnego n 1 → (3 , 2 , 0) płaszczyzny n → (1 , 0 , 2) jak i wektora normalnego 3 x + 2 y + 1 = 0 płaszczyzny x + 2 z -1 = 0 .

Następnie wektor kierujący α → prosta a bierzemy iloczyn wektorowy wektorów n 1 → i n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2)

Zatem wektor n → = (4, - 6, - 2) będzie wektorem normalnym płaszczyzny prostopadłej do linii a. Piszemy pożądane równanie samolotu:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Odpowiadać: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Aby pojedyncza płaszczyzna mogła być poprowadzona przez dowolne trzy punkty w przestrzeni, konieczne jest, aby te punkty nie leżały na jednej linii prostej.

Rozważ punkty M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) we wspólnym kartezjańskim układzie współrzędnych.

Aby dowolny punkt M(x, y, z) leżał na tej samej płaszczyźnie co punkty M 1 , M 2 , M 3 , wektory muszą być współpłaszczyznowe.

(
) = 0

W ten sposób,

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty:

Równanie płaszczyzny względem dwóch punktów i wektora współliniowego do płaszczyzny.

Niech punkty M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) i wektor
.

Skomponujmy równanie płaszczyzny przechodzącej przez dane punkty M 1 i M 2 oraz dowolny punkt M (x, y, z) równoległy do ​​wektora .

Wektory
i wektor
musi być współpłaszczyznowa, tj.

(
) = 0

Równanie płaszczyzny:

Równanie płaszczyzny względem jednego punktu i dwóch wektorów,

współliniowa płaszczyzna.

Niech dane będą dwa wektory
oraz
, współliniowe płaszczyzny. Wtedy dla dowolnego punktu M(x,y,z) należącego do płaszczyzny wektory
musi być współpłaszczyznowa.

Równanie płaszczyzny:

Równanie płaszczyzny według punktu i wektora normalnego .

Twierdzenie. Jeśli punkt M jest podany w przestrzeni 0 (X 0 , tak 0 , z 0 ), to równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt M 0 prostopadle do wektora normalnego (A, B, C) ma postać:

A(x – x 0 ) + B(tak – tak 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dowód. Dla dowolnego punktu M(x,y,z) należącego do płaszczyzny tworzymy wektor . Dlatego wektor - wektor normalny, to jest prostopadły do ​​płaszczyzny, a zatem prostopadły do ​​wektora
. Następnie iloczyn skalarny

= 0

W ten sposób otrzymujemy równanie płaszczyzny

Twierdzenie zostało udowodnione.

Równanie płaszczyzny w odcinkach.

Jeśli w ogólnym równaniu Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, podziel obie części przez (-D)

,

wymiana
, otrzymujemy równanie płaszczyzny w odcinkach:

Liczby a, b, c są odpowiednio punktami przecięcia płaszczyzny z osiami x, y, z.

Równanie płaszczyzny w postaci wektorowej.

gdzie

- promień-wektor bieżącego punktu M(x,y,z),

Wektor jednostkowy, którego kierunek prostopadły spadł na płaszczyznę od początku.

,  i  to kąty utworzone przez ten wektor z osiami x, y, z.

p to długość tej prostopadłej.

We współrzędnych to równanie ma postać:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Odległość od punktu do płaszczyzny.

Odległość od dowolnego punktu M 0 (x 0, y 0, z 0) do płaszczyzny Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 wynosi:

Przykład. Znajdź równanie płaszczyzny, wiedząc, że punkt P (4; -3; 12) jest podstawą prostopadłej opuszczonej od początku do tej płaszczyzny.

Więc A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, użyj wzoru:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Przykład. Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez dwa punkty P(2; 0; -1) i

Q(1; -1; 3) jest prostopadłe do płaszczyzny 3x + 2y - z + 5 = 0.

Wektor normalny do płaszczyzny 3x + 2y - z + 5 = 0
równolegle do pożądanej płaszczyzny.

Otrzymujemy:

Przykład. Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(2, -1, 4) i

В(3, 2, -1) prostopadle do płaszczyzny X + w + 2z – 3 = 0.

Pożądane równanie płaszczyzny ma postać: A x+ B tak+ C z+ D = 0, wektor normalny do tej płaszczyzny (A, B, C). Wektor
(1, 3, -5) należy do płaszczyzny. Podana nam płaszczyzna prostopadła do pożądanej ma wektor normalny (1, 1, 2). Dlatego punkty A i B należą do obu płaszczyzn, a płaszczyzny są wzajemnie prostopadłe, wtedy

Więc wektor normalny (11, -7, -2). Dlatego punkt A należy do pożądanej płaszczyzny, to jego współrzędne muszą spełniać równanie tej płaszczyzny, tj. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

W sumie otrzymujemy równanie płaszczyzny: 11 x - 7tak – 2z – 21 = 0.

Przykład. Znajdź równanie płaszczyzny, wiedząc, że punkt P(4, -3, 12) jest podstawą prostopadłej rzuconej od początku do tej płaszczyzny.

Znajdowanie współrzędnych wektora normalnego
= (4, -3, 12). Pożądane równanie płaszczyzny ma postać: 4 x – 3tak + 12z+ D = 0. Aby znaleźć współczynnik D, podstawiamy współrzędne punktu Р do równania:

16 + 9 + 144 + D = 0

W sumie otrzymujemy pożądane równanie: 4 x – 3tak + 12z – 169 = 0

Przykład. Biorąc pod uwagę współrzędne wierzchołków piramidy A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Znajdź długość krawędzi A 1 A 2 .

Znajdź kąt między krawędziami A 1 A 2 i A 1 A 4.

Znajdź kąt pomiędzy krawędzią A 1 A 4 a ścianą A 1 A 2 A 3 .

Najpierw znajdź wektor normalny do ściany A 1 A 2 A 3 jako iloczyn krzyżowy wektorów
oraz
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Znajdź kąt między wektorem normalnym a wektorem
.

-4 – 4 = -8.

Pożądany kąt  między wektorem a płaszczyzną będzie równy  = 90 0 - .

Znajdź obszar twarzy A 1 A 2 A 3 .

Znajdź objętość piramidy.

Znajdź równanie płaszczyzny А 1 А 2 А 3 .

Używamy wzoru na równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

W przypadku korzystania z wersji PC programu „ Kurs matematyki wyższej” możesz uruchomić program, który rozwiąże powyższy przykład dla dowolnych współrzędnych wierzchołków piramidy.

Kliknij dwukrotnie ikonę, aby uruchomić program:

W otwartym oknie programu wprowadź współrzędne wierzchołków ostrosłupa i naciśnij Enter. W ten sposób wszystkie punkty decyzyjne można uzyskać jeden po drugim.

Uwaga: Aby uruchomić program, musisz mieć zainstalowany na komputerze Maple ( Waterloo Maple Inc.), każda wersja zaczynająca się od MapleV Release 4.

13. Kąt między płaszczyznami, odległość od punktu do płaszczyzny.

Niech płaszczyzny α i β przecinają się wzdłuż prostej c.
Kąt między płaszczyznami to kąt między prostopadłymi do linii ich przecięcia, narysowany w tych płaszczyznach.

Innymi słowy, w płaszczyźnie α rysujemy prostą prostopadłą do c. W płaszczyźnie β - linia b, również prostopadła do c. Kąt między płaszczyznami α i β równy kątowi między wierszami a i b.

Zauważ, że kiedy przecinają się dwie płaszczyzny, w rzeczywistości tworzą się cztery rogi. Widzisz je na zdjęciu? Jako kąt między płaszczyznami, które przyjmujemy Pikantny narożnik.

Jeśli kąt między płaszczyznami wynosi 90 stopni, to płaszczyzny prostopadły,

To jest definicja prostopadłości płaszczyzn. Przy rozwiązywaniu problemów w stereometrii posługujemy się również znak prostopadłości płaszczyzn:

Jeżeli płaszczyzna α przechodzi przez prostopadłą do płaszczyzny β, to płaszczyzny α i β są prostopadłe.

odległość od punktu do płaszczyzny

Rozważ punkt T podany przez jego współrzędne:

T \u003d (x 0, y 0, z 0)

Rozważ także płaszczyznę α podaną równaniem:

Topór + By + Cz + D = 0

Wtedy odległość L od punktu T do płaszczyzny α można obliczyć ze wzoru:

Innymi słowy podstawiamy współrzędne punktu do równania płaszczyzny, a następnie dzielimy to równanie przez długość wektora normalnego n do płaszczyzny:

Wynikowa liczba to odległość. Zobaczmy, jak to twierdzenie działa w praktyce.

Wyprowadziliśmy już równania parametryczne prostej w płaszczyźnie, weźmy równania parametryczne prostej, która jest podana w prostokątnym układzie współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej.

Niech prostokątny układ współrzędnych zostanie ustalony w przestrzeni trójwymiarowej Oxyz. Zdefiniujmy linię prostą a(patrz rozdział dotyczący definiowania linii prostej w przestrzeni) poprzez określenie wektora kierunkowego linii prostej i współrzędne jakiegoś punktu na linii . Od tych danych zaczniemy kompilując równania parametryczne prostej w przestrzeni.

Niech będzie dowolnym punktem w przestrzeni trójwymiarowej. Jeśli odejmiemy od współrzędnych punktu M odpowiadające współrzędne punktu M 1, wtedy otrzymamy współrzędne wektora (patrz artykuł znajdowanie współrzędnych wektora przez współrzędne punktów jego końca i początku), czyli .

Oczywiście zbiór punktów definiuje linię a wtedy i tylko wtedy, gdy wektory i są współliniowe.

Zapiszmy warunek konieczny i wystarczający, aby wektory były współliniowe oraz : , gdzie jest jakaś liczba rzeczywista. Otrzymane równanie nazywa się wektorowo-parametryczne równanie prostej w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz w przestrzeni trójwymiarowej. Równanie wektorowo-parametryczne prostej w postaci współrzędnych ma postać i reprezentuje równania parametryczne prostej a. Nazwa „parametryczna” nie jest przypadkowa, ponieważ współrzędne wszystkich punktów linii określa się za pomocą parametru .

Podajmy przykład równań parametrycznych prostej w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz w kosmosie: . Tutaj

15. Kąt między linią prostą a płaszczyzną. Punkt przecięcia prostej z płaszczyzną.

Dowolne równanie pierwszego stopnia ze względu na współrzędne x, y, z

Topór + By + Cz + D = 0 (3.1)

definiuje płaszczyznę i odwrotnie: dowolną płaszczyznę można przedstawić równaniem (3.1), które nazywa się równanie samolotu.

Wektor n(A, B, C) prostopadłe do płaszczyzny nazywamy wektor normalny samoloty. W równaniu (3.1) współczynniki A, B, C nie są jednocześnie równe 0.

Szczególne przypadki równania (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - samolot przechodzi przez początek.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - płaszczyzna jest równoległa do osi Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - samolot przechodzi przez oś Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny Oyz.

Równania płaszczyzny współrzędnych: x = 0, y = 0, z = 0.

Prostą linię w przestrzeni można podać:

1) jako linia przecięcia dwóch płaszczyzn, tj. układ równań:

A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0; (3.2)

2) jego dwa punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), a przechodząca przez nie prosta jest określona równaniami:

3) należący do niego punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1) oraz wektor a(m, n, p), s współliniowe. Następnie linię prostą wyznaczają równania:

. (3.4)

Równania (3.4) nazywają się kanoniczne równania linii.

Wektor a nazywa wektor prowadzący prosto.

Równania parametryczne prostej otrzymujemy, przyrównując każdą z zależności (3.4) do parametru t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pkt. (3.5)

System rozwiązywania (3.2) jako system równania liniowe stosunkowo nieznany x oraz tak, dochodzimy do równań prostej in projekcje lub zredukowane równania linii prostych:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Z równań (3.6) można przejść do równań kanonicznych, stwierdzając z z każdego równania i zrównanie otrzymanych wartości:

.

Od równań ogólnych (3.2) do równań kanonicznych można przejść w inny sposób, jeśli znajdzie się dowolny punkt tej prostej i jej wektor kierunkowy n= [n 1 , n 2], gdzie n 1 (A 1 , B 1 , C 1) i n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - wektory normalne danych płaszczyzn. Jeśli jeden z mianowników m, n lub R w równaniach (3.4) okazuje się być równy zero, wówczas licznik odpowiedniej frakcji musi być ustawiony na zero, tj. system

jest równoznaczne z systemem ; taka linia jest prostopadła do osi x.

System jest równoważne systemowi x = x 1 , y = y 1 ; linia prosta jest równoległa do osi Oz.

Przykład 1.15. Napisz równanie płaszczyzny, wiedząc, że punkt A (1,-1,3) służy jako podstawa prostopadłej narysowanej od początku do tej płaszczyzny.

Rozwiązanie. Według stanu problemu wektor OA(1,-1,3) jest wektorem normalnym płaszczyzny, to jego równanie można zapisać jako
x-y+3z+D=0. Podstawiając współrzędne punktu A(1,-1,3) należącego do płaszczyzny, otrzymujemy D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Więc x-y+3z-11=0.

Przykład 1.16. Napisz równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez oś Oz i tworzącej kąt 60 stopni z płaszczyzną 2x+y-z-7=0.

Rozwiązanie. Płaszczyzna przechodząca przez oś Oz jest określona równaniem Ax+By=0, gdzie A i B nie znikają jednocześnie. Niech B nie
wynosi 0, A/Bx+y=0. Zgodnie ze wzorem na cosinus kąta między dwiema płaszczyznami

.

Decydując równanie kwadratowe 3m 2 + 8m - 3 = 0, znajdź jego korzenie
m 1 = 1/3, m 2 = -3, z czego otrzymujemy dwie płaszczyzny 1/3x+y = 0 i -3x+y = 0.

Przykład 1.17. Napisz równania kanoniczne prostej:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Rozwiązanie. Równania kanoniczne prostej mają postać:

gdzie m, n, p- współrzędne wektora kierunkowego prostej, x1, y1, z1- współrzędne dowolnego punktu należącego do linii. Linia prosta jest definiowana jako linia przecięcia dwóch płaszczyzn. Aby znaleźć punkt należący do linii prostej, jedna ze współrzędnych jest ustalona (najłatwiej jest wstawić np. x=0), a wynikowy układ jest rozwiązywany jako układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Niech więc x=0, wtedy y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, skąd y=-1, z=1. Znaleźliśmy współrzędne punktu M (x 1, y 1, z 1) należącego do tej prostej: M (0,-1,1). Wektor kierunkowy prostej jest łatwy do znalezienia, znając wektory normalne oryginalnych płaszczyzn n 1 (5,1,1) i n 2(2,3,-2). Następnie

Równania kanoniczne linii to: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Przykład 1.18. W belce wyznaczonej przez płaszczyzny 2x-y+5z-3=0 i x+y+2z+1=0 znajdź dwie prostopadłe płaszczyzny, z których jedna przechodzi przez punkt M(1,0,1).

Rozwiązanie. Równanie wiązki zdefiniowanej przez te płaszczyzny to u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, gdzie u i v nie znikają jednocześnie. Przepiszmy równanie wiązki w następujący sposób:

(2u + v)x + (- u + v)y + (5u + 2v)z - 3u + v = 0.

Aby wybrać z belki płaszczyznę przechodzącą przez punkt M, podstawiamy współrzędne punktu M do równania belki. Otrzymujemy:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0 lub v = - u.

Następnie znajdujemy równanie płaszczyzny zawierającej M, podstawiając v = - u do równania belki:

u(2x-y +5z - 3) - u(x + y +2z +1) = 0.

Dlatego u¹0 (inaczej v=0, a to przeczy definicji belki), to mamy równanie płaszczyzny x-2y+3z-4=0. Druga płaszczyzna należąca do belki musi być do niej prostopadła. Piszemy warunek na ortogonalność płaszczyzn:

(2u + v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u + 2v)×3 = 0 lub v = -19/5u.

Stąd równanie drugiej płaszczyzny ma postać:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 lub 9x +24y + 13z + 34 = 0

Niech będzie konieczne znalezienie równania płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty, które nie leżą na jednej prostej. Oznaczając ich wektory promieni przez , a aktualny wektor promieni przez , możemy łatwo uzyskać żądane równanie w postaci wektorowej. Rzeczywiście, wektory , muszą być współpłaszczyznowe (wszystkie leżą na pożądanej płaszczyźnie). Dlatego iloczyn wektorowo-skalarny tych wektorów musi być równy zero:

Jest to równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty w postaci wektorowej.

Wracając do współrzędnych, otrzymujemy równanie we współrzędnych:

Jeśli trzy dane punkty leżą na tej samej prostej, to wektory byłyby współliniowe. Dlatego odpowiednie elementy dwóch ostatnich wierszy wyznacznika w równaniu (18) byłyby proporcjonalne, a wyznacznik byłby identycznie równy zero. Dlatego równanie (18) stałoby się identycznością dla dowolnych wartości x, y i z. Geometrycznie oznacza to, że płaszczyzna przechodzi przez każdy punkt przestrzeni, w której również leżą trzy dane punkty.

Uwaga 1. Ten sam problem można rozwiązać bez użycia wektorów.

Oznaczając odpowiednio współrzędne trzech podanych punktów, zapisujemy równanie dowolnej płaszczyzny przechodzącej przez pierwszy punkt:

Aby otrzymać równanie żądanej płaszczyzny, należy wymagać, aby równanie (17) spełniało współrzędne dwóch pozostałych punktów:

Z równań (19) należy określić stosunki dwóch współczynników do trzeciego i wpisać znalezione wartości do równania (17).

Przykład 1. Napisz równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez punkty.

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez pierwszy z tych punktów będzie następujące:

Warunkiem przejścia samolotu (17) przez dwa inne punkty i pierwszy punkt są:

Dodając drugie równanie do pierwszego otrzymujemy:

Podstawiając do drugiego równania, otrzymujemy:

Podstawiając do równania (17) zamiast odpowiednio A, B, C 1, 5, -4 (liczby proporcjonalne do nich), otrzymujemy:

Przykład 2. Napisz równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez punkty (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Równanie dowolnej płaszczyzny przechodzącej przez punkt (0, 0, 0) będzie]

Warunki przejścia tej płaszczyzny przez punkty (1, 1, 1) i (2, 2, 2) to:

Zmniejszając drugie równanie o 2, widzimy, że aby wyznaczyć dwie niewiadome, relacja ma jedno równanie z

Stąd otrzymujemy . Podstawiając teraz do równania płaszczyzny zamiast jego wartości, znajdujemy:

To jest równanie wymaganej płaszczyzny; to zależy arbitralnie

wielkości B, C (czyli ze stosunku, tzn. istnieje nieskończona liczba płaszczyzn przechodzących przez trzy dane punkty (trzy podane punkty leżą na jednej prostej).

Uwaga 2. Problem przerysowania płaszczyzny przez trzy podane punkty, które nie leżą na jednej prostej, można łatwo rozwiązać w ogólna perspektywa jeśli używasz wyznaczników. Rzeczywiście, skoro w równaniach (17) i (19) współczynniki A, B, C nie mogą być jednocześnie równe zero, to biorąc pod uwagę te równania jako układ jednorodny z trzema niewiadomymi A, B, C, piszemy konieczne i wystarczające warunek istnienia innego niż zerowe rozwiązania tego systemu (cz. 1, rozdz. VI, § 6):

Rozszerzając ten wyznacznik o elementy pierwszego rzędu, otrzymujemy równanie pierwszego stopnia względem aktualnych współrzędnych , które będą spełniały w szczególności współrzędne trzech podanych punktów.

To ostatnie można również zweryfikować bezpośrednio, podstawiając współrzędne dowolnego z tych punktów zamiast równania zapisanego przy użyciu wyznacznika. Po lewej stronie uzyskuje się wyznacznik, w którym albo elementy pierwszego rzędu mają wartość zero, albo są dwa identyczne rzędy. Tak więc sformułowane równanie przedstawia płaszczyznę przechodzącą przez trzy dane punkty.