Jak odwrócić znaki w nawiasach. Otwarcie wspornika: zasady i przykłady (klasa 7)
Przeczytaj także
W tym artykule szczegółowo omówimy podstawowe zasady dotyczące tak ważnego tematu kursu matematyki, jak otwieranie nawiasów. Musisz znać zasady otwierania nawiasów, aby poprawnie rozwiązywać równania, w których są używane.
Jak prawidłowo otwierać nawiasy podczas dodawania
Rozwiń nawiasy poprzedzone znakiem „+”
Jest to najprostszy przypadek, bo jeśli przed nawiasami znajduje się znak dodawania, to po otwarciu nawiasów znaki w nich się nie zmieniają. Przykład:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Jak otworzyć nawiasy poprzedzone znakiem „-”
W ta sprawa musisz przepisać wszystkie terminy bez nawiasów, ale jednocześnie zmienić wszystkie znaki w nich na przeciwne. Znaki zmieniają się tylko dla terminów tych nawiasów, które były poprzedzone znakiem „-”. Przykład:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Jak otworzyć nawiasy podczas mnożenia
Nawiasy są poprzedzone mnożnikiem
W takim przypadku należy pomnożyć każdy wyraz przez współczynnik i otworzyć nawiasy bez zmiany znaków. Jeśli mnożnik ma znak „-”, to podczas mnożenia znaki terminów są odwrócone. Przykład:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Jak otworzyć dwa nawiasy ze znakiem mnożenia między nimi?
W takim przypadku należy pomnożyć każdy termin z pierwszego nawiasu przez każdy termin z drugiego nawiasu, a następnie dodać wyniki. Przykład:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Jak otworzyć nawiasy kwadratowe?
W przypadku kwadratu sumy lub różnicy dwóch wyrazów należy rozszerzyć nawiasy według następującego wzoru:
(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.
W przypadku minusa w nawiasach formuła się nie zmienia. Przykład:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Jak otwierać nawiasy w różnym stopniu
Jeśli suma lub różnica terminów zostanie podniesiona na przykład do trzeciej lub czwartej potęgi, wystarczy podzielić stopień nawiasu na „kwadraty”. Potęgi tych samych czynników są dodawane, a podczas dzielenia stopień dzielnika jest odejmowany od stopnia dywidendy. Przykład:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Jak otworzyć 3 nawiasy
Istnieją równania, w których mnoży się jednocześnie 3 nawiasy. W takim przypadku należy najpierw pomnożyć wyrazy z pierwszych dwóch nawiasów między sobą, a następnie pomnożyć sumę tego mnożenia przez wyrazy z trzeciego nawiasu. Przykład:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Te zasady otwierania nawiasów mają zastosowanie zarówno do równań liniowych, jak i trygonometrycznych.
W tej lekcji dowiesz się, jak przekształcić wyrażenie zawierające nawiasy w wyrażenie niezawierające nawiasów. Dowiesz się, jak otwierać nawiasy poprzedzone znakiem plus i minus. Będziemy pamiętać, jak otwierać nawiasy za pomocą rozdzielczego prawa mnożenia. Rozważane przykłady pozwolą połączyć nowy i wcześniej zbadany materiał w jedną całość.
Temat: Rozwiązywanie równań
Lekcja: rozszerzenie nawiasów
Jak otworzyć nawiasy poprzedzone znakiem „+”. Zastosowanie prawa asocjacyjnego dodawania.
Jeśli chcesz dodać sumę dwóch liczb do liczby, możesz dodać do tej liczby pierwszy wyraz, a następnie drugi.
Po lewej stronie znaku równości znajduje się wyrażenie z nawiasami, a po prawej wyrażenie bez nawiasów. Oznacza to, że przy przejściu z lewej strony równości na prawą otwierały się nawiasy.
Rozważ przykłady.
Przykład 1 
Rozwijając nawiasy zmieniliśmy kolejność operacji. Liczenie stało się wygodniejsze.
Przykład 2 
Przykład 3
Zauważ, że we wszystkich trzech przykładach po prostu usunęliśmy nawiasy. Sformułujmy regułę:
Komentarz.
Jeżeli pierwszy termin w nawiasie jest nieoznaczony, to musi być napisany ze znakiem plus.
Możesz śledzić przykład krok po kroku. Najpierw dodaj 445 do 889. To działanie mentalne można wykonać, ale nie jest to łatwe. Otwórzmy nawiasy i zobaczmy, że zmieniona kolejność operacji znacznie uprości obliczenia.
Jeśli zastosujesz się do wskazanej kolejności działań, musisz najpierw odjąć 345 od 512, a następnie dodać do wyniku 1345. Rozwijając nawiasy, zmienimy kolejność działań i znacznie uprościmy obliczenia.
Ilustracyjny przykład i reguła.
Rozważmy przykład: . Możesz znaleźć wartość wyrażenia, dodając 2 i 5, a następnie biorąc wynikową liczbę z przeciwnym znakiem. Dostajemy -7.
Z drugiej strony ten sam wynik można uzyskać, dodając przeciwne liczby.
Sformułujmy regułę:
Przykład 1 
Przykład 2
Zasada nie zmienia się, jeśli w nawiasach nie ma dwóch, ale trzy lub więcej wyrazów.
Przykład 3 
Komentarz. Znaki są odwrócone tylko przed terminami.
Aby otworzyć nawiasy, w tym przypadku musimy przypomnieć własność rozdzielności.
Najpierw pomnóż pierwszy nawias przez 2, a drugi przez 3.
Pierwszy nawias poprzedzony jest znakiem „+”, co oznacza, że znaki należy pozostawić bez zmian. Drugi jest poprzedzony znakiem „-”, dlatego wszystkie znaki muszą być odwrócone
Bibliografia
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematyka 6 klasa. - Gimnazjum, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. - Oświecenie, 1989.
- Rurukin A.N., Czajkowski I.V. Zadania na kurs matematyki klasy 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Czajkowski K.G. Matematyka 5-6. Podręcznik dla uczniów VI klasy szkoły korespondencyjnej MEPhI. - MEPhI ZSH, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematyka: Podręcznik rozmówcy dla klas 5-6 Liceum. Biblioteka nauczyciela matematyki. - Oświecenie, 1989.
- Testy matematyczne online ().
- Możesz pobrać te określone w punkcie 1.2. książki ().
Zadanie domowe
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (patrz link 1.2)
- Praca domowa: nr 1254, nr 1255, nr 1256 (b, d)
- Inne zadania: nr 1258(c), nr 1248
Nawiasy są używane do wskazania kolejności wykonywania czynności w wyrażeniach numerycznych i alfabetycznych, a także w wyrażeniach ze zmiennymi. Wygodnie jest przejść od wyrażenia z nawiasami do identycznie równe wyrażenie bez nawiasów. Ta technika nazywa się otwieraniem nawiasów.
Rozszerzenie nawiasów oznacza pozbycie się ekspresji tych nawiasów.
Na szczególną uwagę zasługuje inny punkt, który dotyczy specyfiki pisania rozwiązań przy otwieraniu nawiasów. Wyrażenie początkowe możemy zapisać w nawiasach, a wynik uzyskany po otwarciu nawiasów jako równość. Na przykład po otwarciu nawiasów zamiast wyrażenia
3−(5−7) otrzymujemy wyrażenie 3−5+7. Oba te wyrażenia możemy zapisać jako równość 3−(5−7)=3−5+7.
I jeszcze jeden ważny punkt. W matematyce, aby zredukować wpisy, zwyczajowo nie pisze się znaku plus, jeśli jest on pierwszy w wyrażeniu lub w nawiasach. Na przykład, jeśli dodamy dwie liczby dodatnie, na przykład siedem i trzy, to piszemy nie +7 + 3, ale po prostu 7 + 3, mimo że siedem jest również liczbą dodatnią. Podobnie, jeśli widzisz na przykład wyrażenie (5 + x) - wiedz, że przed nawiasem kwadratowym jest plus, którego nie ma, a przed znakiem jest plus + (+5 + x). pięć.
Reguła rozszerzania wspornika do dodawania
Podczas otwierania nawiasów, jeśli przed nawiasami jest plus, to ten plus jest pomijany wraz z nawiasami.
Przykład. Otwórz nawiasy w wyrażeniu 2 + (7 + 3) Przed nawiasami plus, znaki przed liczbami w nawiasach nie zmieniają się.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Zasada rozwijania nawiasów przy odejmowaniu
Jeśli przed nawiasami jest minus, to ten minus jest pomijany wraz z nawiasami, ale wyrazy, które były w nawiasach, zmieniają swój znak na przeciwny. Brak znaku przed pierwszym terminem w nawiasie oznacza znak +.
Przykład. Otwarte nawiasy w wyrażeniu 2 − (7 + 3)
Przed nawiasami jest minus, więc musisz zmienić znaki przed liczbami z nawiasów. Nie ma znaku w nawiasach przed liczbą 7, co oznacza, że siódemka jest dodatnia, uważa się, że znak + jest przed nią.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Przy otwieraniu nawiasów usuwamy z przykładu minus, który był przed nawiasami, oraz same nawiasy 2 − (+ 7 + 3) i zmieniamy znaki, które były w nawiasach na przeciwne.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Rozwijanie nawiasów podczas mnożenia
Jeśli przed nawiasami znajduje się znak mnożenia, każda liczba w nawiasie jest mnożona przez czynnik przed nawiasami. Jednocześnie pomnożenie minusa przez minus daje plus, a pomnożenie minusa przez plus, jak pomnożenie plusa przez minus, daje minus.
W ten sposób nawiasy w iloczynach są rozszerzane zgodnie z rozdzielczą własnością mnożenia.
Przykład. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Podczas mnożenia nawiasu przez nawias każdy wyraz pierwszego nawiasu jest mnożony przez każdy wyraz drugiego nawiasu.
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
Tak naprawdę nie ma potrzeby zapamiętywać wszystkich reguł, wystarczy pamiętać tylko jedną, tę c(a−b)=ca−cb. Czemu? Ponieważ jeśli podstawimy jedynkę zamiast c, otrzymamy regułę (a-b)=a-b. A jeśli podstawimy minus jeden, otrzymamy regułę −(a−b)=−a+b. Cóż, jeśli zastąpisz c inny nawias kwadratowy, uzyskasz ostatnią regułę.
Rozwiń nawiasy podczas dzielenia
Jeśli po nawiasach znajduje się znak dzielenia, to każda liczba w nawiasie jest podzielna przez dzielnik po nawiasach i odwrotnie.
Przykład. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
Jak rozwinąć nawiasy zagnieżdżone
Jeśli wyrażenie zawiera nawiasy zagnieżdżone, są one rozwijane w kolejności, zaczynając od zewnętrznego lub wewnętrznego.
Jednocześnie przy otwieraniu jednego z nawiasów ważne jest, aby nie dotykać pozostałych nawiasów, tylko przepisać je tak, jak są.
Przykład. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
W tej lekcji dowiesz się, jak przekształcić wyrażenie zawierające nawiasy w wyrażenie niezawierające nawiasów. Dowiesz się, jak otwierać nawiasy poprzedzone znakiem plus i minus. Będziemy pamiętać, jak otwierać nawiasy za pomocą rozdzielczego prawa mnożenia. Rozważane przykłady pozwolą połączyć nowy i wcześniej zbadany materiał w jedną całość.
Temat: Rozwiązywanie równań
Lekcja: rozszerzenie nawiasów
Jak otworzyć nawiasy poprzedzone znakiem „+”. Zastosowanie prawa asocjacyjnego dodawania.
Jeśli chcesz dodać sumę dwóch liczb do liczby, możesz dodać do tej liczby pierwszy wyraz, a następnie drugi.
Po lewej stronie znaku równości znajduje się wyrażenie z nawiasami, a po prawej wyrażenie bez nawiasów. Oznacza to, że przy przejściu z lewej strony równości na prawą otwierały się nawiasy.
Rozważ przykłady.
Przykład 1
Rozwijając nawiasy zmieniliśmy kolejność operacji. Liczenie stało się wygodniejsze.
Przykład 2
Przykład 3
Zauważ, że we wszystkich trzech przykładach po prostu usunęliśmy nawiasy. Sformułujmy regułę:
Komentarz.
Jeżeli pierwszy termin w nawiasie jest nieoznaczony, to musi być napisany ze znakiem plus.
Możesz śledzić przykład krok po kroku. Najpierw dodaj 445 do 889. To działanie mentalne można wykonać, ale nie jest to łatwe. Otwórzmy nawiasy i zobaczmy, że zmieniona kolejność operacji znacznie uprości obliczenia.
Jeśli zastosujesz się do wskazanej kolejności działań, musisz najpierw odjąć 345 od 512, a następnie dodać do wyniku 1345. Rozwijając nawiasy, zmienimy kolejność działań i znacznie uprościmy obliczenia.
Ilustracyjny przykład i reguła.
Rozważmy przykład: . Możesz znaleźć wartość wyrażenia, dodając 2 i 5, a następnie biorąc wynikową liczbę z przeciwnym znakiem. Dostajemy -7.
Z drugiej strony ten sam wynik można uzyskać, dodając przeciwne liczby.
Sformułujmy regułę:
Przykład 1
Przykład 2
Zasada nie zmienia się, jeśli w nawiasach nie ma dwóch, ale trzy lub więcej wyrazów.
Przykład 3
Komentarz. Znaki są odwrócone tylko przed terminami.
Aby otworzyć nawiasy, w tym przypadku musimy przypomnieć własność rozdzielności.
Najpierw pomnóż pierwszy nawias przez 2, a drugi przez 3.
Pierwszy nawias poprzedzony jest znakiem „+”, co oznacza, że znaki należy pozostawić bez zmian. Drugi jest poprzedzony znakiem „-”, dlatego wszystkie znaki muszą być odwrócone
Bibliografia
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematyka 6 klasa. - Gimnazjum, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. - Oświecenie, 1989.
- Rurukin A.N., Czajkowski I.V. Zadania na kurs matematyki klasy 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Czajkowski K.G. Matematyka 5-6. Podręcznik dla uczniów VI klasy szkoły korespondencyjnej MEPhI. - MEPhI ZSH, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematyka: Podręcznik-rozmówca dla klas 5-6 liceum. Biblioteka nauczyciela matematyki. - Oświecenie, 1989.
- Testy matematyczne online ().
- Możesz pobrać te określone w punkcie 1.2. książki ().
Zadanie domowe
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (patrz link 1.2)
- Praca domowa: nr 1254, nr 1255, nr 1256 (b, d)
- Inne zadania: nr 1258(c), nr 1248