Funkcja kwadratowa. Wykres funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa jest funkcją postaci:
y=a*(x^2)+b*x+c,
gdzie a jest współczynnikiem w najwyższym stopniu nieznanego x,
b - współczynnik przy nieznanym x,
ic jest wolnym członkiem.
Wykres funkcji kwadratowej to krzywa zwana parabolą. Forma ogólna parabolę pokazano na poniższym rysunku.

Rys.1 Widok ogólny paraboli.

Istnieje kilka różne drogi wykreślanie funkcji kwadratowej. Rozważymy główne i najbardziej ogólne z nich.

Algorytm kreślenia wykresu funkcji kwadratowej y=a*(x^2)+b*x+c

1. Zbuduj układ współrzędnych, zaznacz pojedynczy segment i znak osie współrzędnych.

2. Określ kierunek gałęzi paraboli (w górę lub w dół).
Aby to zrobić, musisz spojrzeć na znak współczynnika a. Jeśli plus - to gałęzie są skierowane w górę, jeśli minus - to gałęzie są skierowane w dół.

3. Określ współrzędną x wierzchołka paraboli.
Aby to zrobić, musisz użyć formuły Tops = -b / 2 * a.

4. Określ współrzędne na szczycie paraboli.
Aby to zrobić, zastąp w równaniu Top = a * (x ^ 2) + b * x + c zamiast x, wartość Top znalezioną w poprzednim kroku.

5. Umieścić uzyskany punkt na wykresie i narysować przez niego oś symetrii, równoległą do osi współrzędnych Oy.

6. Znajdź punkty przecięcia wykresu z osią x.
To wymaga rozwiązania równanie kwadratowe a*(x^2)+b*x+c = 0 o jeden z znane sposoby. Jeśli równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych, to wykres funkcji nie przecina osi x.

7. Znajdź współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią Oy.
Aby to zrobić, podstawiamy wartość x = 0 do równania i obliczamy wartość y. Zaznaczamy to i punkt symetryczny do niego na wykresie.

8. Znajdź współrzędne dowolnego punktu A (x, y)
Aby to zrobić, wybieramy dowolną wartość współrzędnej x i podstawiamy ją do naszego równania. W tym momencie otrzymujemy wartość y. Umieść punkt na wykresie. A także zaznacz punkt na wykresie, który jest symetryczny do punktu A (x, y).

9. Połącz uzyskane punkty na wykresie płynną linią i kontynuuj wykres do skrajne punkty, do końca osi współrzędnych. Podpisz wykres w objaśnieniu lub, jeśli pozwala na to miejsce, wzdłuż samego wykresu.

Przykład kreślenia wykresu

Jako przykład wykreślmy funkcję kwadratową podane przez równanie y=x^2+4*x-1
1. Narysuj osie współrzędnych, podpisz je i zaznacz pojedynczy segment.
2. Wartości współczynników a=1, b=4, c= -1. Ponieważ a \u003d 1, które jest większe od zera, gałęzie paraboli są skierowane w górę.
3. Określ współrzędną X wierzchołka paraboli Tops = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Określ współrzędne Na szczycie paraboli
Wierzchołki = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Zaznacz wierzchołek i narysuj oś symetrii.
6. Znajdujemy punkty przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią Ox. Rozwiązujemy równanie kwadratowe x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Uzyskane wartości zaznaczamy na wykresie.
7. Znajdź punkty przecięcia wykresu z osią Oy.
x=0; y=-1
8. Wybierz dowolny punkt B. Niech ma współrzędną x=1.
Wtedy y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Łączymy otrzymane punkty i podpisujemy wykres.

Ta lekcja algebry jest prowadzona jako podsumowanie-uogólnienie w ramach przygotowań do GIA w klasie 9. To jest lekcja złożonego zastosowania wiedzy. Lekcja powinna kształtować podstawowe pojęcia funkcji kwadratowej, jej własności, wykres. Studenci powinni znać definicję funkcji kwadratowej, umieć wykreślić funkcję kwadratową, przekształcić ją i zastosować tę wiedzę przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych

Pobierać:

Zapowiedź:

MOU „Szkoła średnia nr 3 w Erszowie, obwód saratowski”

Stopień 9

Podmiot: " funkcja kwadratowa, jego wykres i właściwości"

Motto lekcji: „Trudno uczynić łatwym, łatwym nawykiem, nawykiem przyjemnym”

Nauczyciel: EI Kormilina

2010 - 2011 rok akademicki.

Funkcja kwadratowa, jej własności i wykres.

Rodzaj lekcji: Lekcja kompleksowego zastosowania wiedzy.

Cele Lekcji:

1. Ujawnić stopień ukształtowania się pojęcia funkcji kwadratowej wśród studentów, jej własności do rozwiązywania nierówności, cechy jej wykresu.
2. Stworzenie warunków do kształtowania umiejętności analizowania, porównywania, klasyfikowania wykresów funkcji kwadratowych.
3. Kontynuuj rozwijanie kultury wykreślania funkcji kwadratowej.
4. Pielęgnuj poczucie koleżeństwa, delikatności i dyscypliny.

Logika lekcji:

1. Aktualizacja wiedzy
2. Powtórzenie
3. Pokazanie przykładowego zastosowania zbioru wiedzy
4. Niezależne zastosowanie wiedzy
5. Kontrola, samokontrola
6. Korekta

Struktura lekcji:

1. Organizacyjny
2. Aktualizacja
3. Zastosowanie wiedzy, umiejętności i zdolności

4. Kontrola, samokontrola

5. Korekta

6. Informacje o pracy domowej

7. Podsumowując

8. Odbicie

Podpisy slajdów:

Funkcja kwadratowa, jej wykres i właściwości Nasze motto brzmi: „Uczyń trudne łatwym, łatwe znanym, znanym przyjemnym!”

y x 0 Wykres funkcji y = a x , 2 dla a=1 dla a= -1 1 2 3 4 5 6 Х -3 -2 -1 0 1 2 3 y - 9 - 4 - 1 0 - 1 - 4 - 9 - 6 -5-4-3-2-1 1 4 9 -9 -4

Przekształcanie wykresu funkcji kwadratowej

Funkcje kreślenia y=x 2 i y=x 2 + m.

0 m X Y m 1 1 y \u003d x 2 + m, m>0

0 X Y m 1 1 m r \u003d x 2 + m, m

Funkcje kreślenia y \u003d x 2 i y \u003d (x + l) 2.

0 l l X Y 1 1 y \u003d (x + l) 2, l\u003e 0

0 l l X Y 1 1 y \u003d (x + l) 2, l

Narysuj wykresy funkcji na jednej płaszczyźnie współrzędnych:

Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli: Y=2(x-4)² +5 Y=-6(x-1)² Y=-x²+12 Y= x²+4 Y= (x+7)² - 9 Y=6 x² (4;5) (1;0) (0;12) (0;4) (-7;-9) (0;0)

Wykres funkcji kwadratowej, jej własności

Funkcja kwadratowa to funkcja, którą można określić za pomocą wzoru w postaci y=ax² + bx+c, gdzie x jest zmienną niezależną, a, b i c to pewne liczby (ponadto a ≠ 0). Na przykład: y \u003d 5x ² + 6x + 3, y \u003d -7x ² + 8x-2, y \u003d 0,8x ² +5, y \u003d ¾ x ² -8x, y \u003d -12x ² funkcje kwadratowe

Wykres funkcji kwadratowej to parabola, której gałęzie są skierowane w górę (jeśli a > 0) lub w dół (jeśli a 0). y \u003d -7 x ² -x + 3 - wykres jest parabolą, której gałęzie są skierowane w dół (ponieważ a \u003d -7 i

Określ współrzędne wierzchołka paraboli za pomocą wzorów: Zaznacz ten punkt na płaszczyźnie współrzędnych. Narysuj oś symetrii paraboli przez wierzchołek paraboli Znajdź zera funkcji i zaznacz je na osi liczbowej Znajdź współrzędne dwóch dodatkowych punktów i tych symetrycznych do nich Narysuj krzywą paraboli. Algorytm rozwiązania

Zbuduj wykres funkcji y \u003d 2x ² + 4x-6, opisz jego właściwości

X Y 1 1 -2 2 3 -1 1. D(y) = R 2. y=0 jeśli x= 1; -3 3. y > 0 jeśli x 4. y ↓ jeśli x y jeśli x 5. y naim = -8 jeśli x= -1 y naib nie istnieje. 6. E (y): Sprawdź się: y

Rozwiązywanie nierówności kwadratowej za pomocą wykresu funkcji kwadratowej

Definicja: Nierówność, lewa strona który jest wielomianem drugiego stopnia, a prawy to zero, nazywamy nierównością drugiego stopnia. Wszystkie nierówności kwadratowe można zredukować do jednej z następujące typy: 1) ax 2 + bx + c >0; 2) topór 2 + bx + c

Którą z nierówności nazwałbyś nierównościami drugiego stopnia: 1) 6x 2 -13x>0; 2) x 2 -3 x -14>0; 3) (5+ x)(x -4)>7; 4) ; 5) 6) 8 x 2 >0; 7) (x -5) 2 -25>0;

Jakie liczby są rozwiązaniem nierówności? 1 -3 0 -1 5 -4 -2 0,5 ? ? ? ? ? ? ? ?

Jaka jest liczba pierwiastków równania a x 2 + b x + c \u003d 0 i znak współczynnika a, jeśli wykres odpowiedniej funkcji kwadratowej znajduje się w następujący sposób: f a b c d e

Nazwij przedziały stałości znaku funkcji, jeśli jej wykres znajduje się we wskazany sposób: Ι wariant. Ι I opcja. c b a c b

Nazwij przedziały znaku stałej funkcji, jeśli jej wykres znajduje się we wskazany sposób: Ι wariant f(x)>0 dla x Є R f(x) 0 dla x Є (-∞ ;1) U (2.5;+ ); f(x)

Nazwij przedziały stałości funkcji, jeśli jej wykres znajduje się we wskazany sposób: Ι opcja f(x)>0 dla x Є (-∞ ;-3) U (-3;+∞) f(x) 0 dla x Є (-∞ ; 0,5) U (0,5;+∞) f(x)

Nazwij przedziały stałości funkcji, jeśli jej wykres znajduje się we wskazany sposób Ι opcja f (x)> 0 dla x Є (-∞ ;-4) U (3; + ∞); f(x) 0 __________ ; f(x)

Algorytm rozwiązywania nierówności drugiego stopnia z jedną zmienną 5x 2 +9x-2 0 (a x 2 + b x+ c 0 (y

Algorytm rozwiązywania nierówności drugiego stopnia z jedną zmienną 5x 2 +9x-2 0 (a x 2 + b x+ c 0 (y 0 (y

W tabeli 1 znajdź poprawne rozwiązanie nierówności 1, w tabeli 2 - rozwiązanie nierówności 2: 1. 2. Tabela 1 a c c d a b c d Tabela 2

W tabeli 1 znajdź prawidłowe rozwiązanie nierówności 1, w tabeli 2 rozwiązanie nierówności 2: 1. 2. Tabela 1 a c c d a b c d Tabela 2

W tabeli 1 znajdź prawidłowe rozwiązanie nierówności 1, w tabeli 2 rozwiązanie nierówności 2: 1. 2. Tabela 1 a c c d a b c d Tabela 2

Podsumowanie lekcji Rozwiązując te zadania, udało nam się usystematyzować wiedzę na temat wykorzystania funkcji kwadratowej. Matematyka jest znacząca, ekscytująca i dostępne pole zajęcia, które dają uczniowi do myślenia. Własności funkcji kwadratowej leżą u podstaw rozwiązania nierówności kwadratowe. Wiele relacji fizycznych wyraża się za pomocą funkcji kwadratowej; na przykład kamień rzucony w górę z prędkością v 0 znajduje się w chwili t w odległości s (t)=- q \2 t 2+ v 0 t od powierzchni ziemi (tu q jest przyspieszeniem ziemskim); ilość ciepła Q uwolnionego podczas przepływu prądu w przewodniku o rezystancji R jest wyrażona w kategoriach natężenia prądu I wzorem Q \u003d RI 2. Znajomość właściwości funkcji kwadratowej pozwala obliczyć zasięg lotu ciało rzucone pionowo w górę lub pod pewnym kątem. Jest to wykorzystywane w przemyśle obronnym.

Niedokończone zadanie zdanie: Wypełnij jedno z trzech zdań, które najlepiej pasuje do twojego stanu. „Trudno mi wykonywać zadania i rozwiązywać problemy, ponieważ…” „Łatwo mi wykonywać zadania i rozwiązywać problemy, ponieważ…” „Jest mi przyjemnie i ciekawie wykonywać zadania i rozwiązywać problemy , ponieważ ..."

Podręcznik pracy domowej nr 142; №190

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i różne studia w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

• W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakaz sądowy, w spór, i/lub na podstawie publicznych próśb lub próśb ze strony agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie dla bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych publicznych ważne okazje.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Na lekcjach matematyki w szkole zapoznałeś się już z najprostszymi własnościami i wykresem funkcji y=x2. Poszerzmy naszą wiedzę funkcja kwadratowa.

Ćwiczenie 1.

Wykreśl funkcję y=x2. Skala: 1 = 2 cm Zaznacz punkt na osi Oy F(0; 1/4). Za pomocą cyrkla lub paska papieru zmierz odległość od punktu F do pewnego momentu M parabole. Następnie przypnij pasek w punkcie M i obróć go wokół tego punktu, aby stał się pionowy. Koniec paska spadnie nieco poniżej osi x (rys. 1). Zaznacz na pasku, jak daleko wykracza poza oś x. Zrób teraz kolejny punkt na paraboli i powtórz pomiar jeszcze raz. O ile krawędź paska spadła teraz poza oś x?

Wynik: bez względu na punkt na paraboli y \u003d x 2, odległość od tego punktu do punktu F (0; 1/4) będzie większa niż odległość od tego samego punktu do osi x zawsze o to samo liczba - o 1/4.

Można powiedzieć inaczej: odległość od dowolnego punktu paraboli do punktu (0; 1/4) jest równa odległości od tego samego punktu paraboli do prostej y = -1/4. Ten wspaniały punkt F(0; 1/4) nazywa się centrum parabole y \u003d x 2, a linia prosta y \u003d -1/4 - dyrektorka szkoły ta parabola. Każda parabola ma kierownicę i ognisko.

Ciekawe właściwości paraboli:

1. Każdy punkt paraboli jest równoodległy od pewnego punktu, zwanego ogniskiem paraboli, i pewnej linii zwanej jej kierownicą.

2. Jeśli obrócisz parabolę wokół osi symetrii (na przykład parabolę y \u003d x 2 wokół osi Oy), otrzymasz bardzo interesującą powierzchnię, zwaną paraboloidą obrotu.

Powierzchnia cieczy w wirującym naczyniu ma kształt paraboloidy obrotowej. Możesz zobaczyć tę powierzchnię, jeśli mocno zamieszasz łyżką w niepełnej szklance herbaty, a następnie wyjmiesz łyżkę.

3. Jeśli rzucisz kamień w pustkę pod pewnym kątem do horyzontu, poleci on wzdłuż paraboli (rys. 2).

4. Jeśli przetniesz powierzchnię stożka płaszczyzną równoległą do jednego z jego generatorów, to w sekcji otrzymasz parabolę (rys. 3).

5. W wesołych miasteczkach urządzają czasem zabawną atrakcję zwaną Paraboloidem Cudów. Każdemu ze stojących wewnątrz obracającego się paraboloidy wydaje się, że stoi na podłodze, a reszta jakimś cudem trzyma się ścian.

6. W teleskopach zwierciadlanych stosuje się również lustra paraboliczne: światło odległej gwiazdy, poruszającej się w równoległym wiązce, padającej na zwierciadło teleskopu, jest skupiane w ognisku.

7. W przypadku reflektorów lustro jest zwykle wykonane w formie paraboloidy. Jeśli umieścisz źródło światła w ognisku paraboloidy, to promienie odbite od lustro paraboliczne, tworzą belkę równoległą.

Wykreślanie funkcji kwadratowej

Na lekcjach matematyki uczyłeś się, jak uzyskać wykresy funkcji postaci z wykresu funkcji y \u003d x 2:

1) y=ax2– rozwinięcie wykresu y = x 2 wzdłuż osi Oy w |a| razy (dla |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, Ryż. 4).

2) y=x2+n– przesunięcie wykresu o n jednostek wzdłuż osi Oy, a jeśli n > 0, to przesunięcie jest w górę, a jeśli n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m)2– przesunięcie wykresu o m jednostek wzdłuż osi Ox: jeśli m< 0, то вправо, а если m >0, potem w lewo, (rys. 5).

4) y=-x2- symetryczne wyświetlanie wokół osi Ox wykresu y = x 2 .

Zajmijmy się bardziej szczegółowym kreśleniem wykresu funkcji. y = a(x - m) 2 + n.

Funkcję kwadratową postaci y = ax 2 + bx + c można zawsze sprowadzić do postaci

y \u003d a (x - m) 2 + n, gdzie m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a).

Udowodnijmy to.

Naprawdę,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x (b/a) + b 2 /(4a 2) - b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a).

Wprowadźmy nową notację.

Zostawiać m = -b/(2a), a n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),

wtedy otrzymujemy y = a(x - m) 2 + n lub y - n = a(x - m) 2 .

Zróbmy jeszcze kilka podstawień: niech y - n = Y, x - m = X (*).

Następnie otrzymujemy funkcję Y = aX 2 , której wykres jest parabolą.

Wierzchołek paraboli znajduje się na początku. x=0; Y = 0.

Podstawiając współrzędne wierzchołka w (*), otrzymujemy współrzędne wierzchołka grafu y = a(x - m) 2 + n: x = m, y = n.

Tak więc, aby wykreślić funkcję kwadratową reprezentowaną jako

y = a(x - m) 2 + n

przez przekształcenie możesz postępować w następujący sposób:

a) zbuduj wykres funkcji y = x 2 ;

b) przez przesunięcie równoległe wzdłuż osi Ox o m jednostek i wzdłuż osi Oy o n jednostek - przenieś wierzchołek paraboli od początku do punktu o współrzędnych (m; n) (rys. 6).

Napisz przekształcenia:

y = x 2 → y = (x - m) 2 → y = a(x - m) 2 → y = a(x - m) 2 + n.

Przykład.

Korzystając z przekształceń, skonstruuj wykres funkcji y = 2(x - 3) 2 w kartezjańskim układzie współrzędnych – 2.

Decyzja.

Łańcuch przekształceń:

y=x2 (1) → y = (x - 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x - 3) 2 - 2 (4) .

Konstrukcję wykresu przedstawiono na Ryż. 7.

Możesz samodzielnie ćwiczyć wykreślanie funkcji kwadratowej. Na przykład zbuduj wykres funkcji y = 2(x + 3) 2 + 2 w jednym układzie współrzędnych za pomocą przekształceń.Jeśli masz pytania lub chcesz uzyskać poradę od nauczyciela, masz możliwość przeprowadzenia bezpłatna 25-minutowa lekcja z korepetytorem online po rejestracji . Do dalsza praca z nauczycielem możesz wybrać plan taryfowy, który Ci odpowiada.

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak narysować funkcję kwadratową?
Aby uzyskać pomoc korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.